โครงงานคณิตศาสตร์

โครงงานคณิตศาสตร์
เรื่อง หลายเหลี่ยม หลายมมุ

โดย
1. เด็กหญิงสภุ านี เฉิดดลิ ก
2. เด็กหญิงสุพตั รา กลางโหลน
3. เด็กหญิงไอลดา ออ่ นบัวขาว

ครทู ่ปี รึกษา
1. นางสาวตติยา เวียงนนท์
2. นางสาวนภสร กว้ั มาลา
3. นายสทิ ธินนท์ จันทะมาตร

โรงเรียนหนองโพนสูง สานักงานเขตพน้ื ทีก่ ารศึกษาประถมศกึ ษากาฬสนิ ธุ์ เขต 3
รายงานฉบบั นี้เป็นสว่ นประกอบของโครงงานคณิตศาสตร์

ประเภทสรา้ งทฤษฎแี ละคาอธิบายทางคณิตศาสตร์ ระดับช้ันประถมศกึ ษาตอนปลาย
เน่ืองในงานศลิ ปหตั ถกรรมนกั เรียนครัง้ ท่ี 70 ประจาปีการศึกษา 2565

ก

ชอ่ื โครงงาน หลายเหลี่ยม หลายมุม

ชอ่ื ผ้จู ัดทาโครงงาน 1. เด็กหญิงสุภานี เฉดิ ดิลก ชนั้ ประถมศึกษาปที ่ี ๕
2. เดก็ หญงิ สุพตั รา กลางโหลน ชัน้ ประถมศึกษาปีที่ ๕
3. เดก็ หญงิ ไอลดา อ่อนบวั ขาว ช้นั ประถมศึกษาปีท่ี ๔

ครูทป่ี รกึ ษา 1. นางสาวตตยิ า เวียงนนท์
2. นางสาวนภสร กว้ั มาลา
3. นายสิทธินนท์ อ่อนบวั ขาว

โรงเรยี นหนองโพนสูง

ปกี ารศกึ ษา 2565

บทคดั ยอ่

ในการเรยี นวชิ าคณติ ศาสตรเ์ รอื่ งรปู สามเหล่ียม ซ่ึงมมี ุมภายในรวมกันเท่ากับ 180 องศา และรปู
สี่เหล่ียมมีมุมภายในรวมกนั เท่ากบั 360 องศา จึงเกดิ ข้อสงสยั ว่าถา้ เปน็ รปู ห้าเหล่ยี ม รูปหกเหล่ยี ม รูปเจด็
เหลย่ี ม รปู แปดเหลย่ี ม รปู เกา้ เหลยี่ ม และรปู สิบเหลย่ี ม มุมภายในของรูปเหล่ยี มตา่ ง ๆ จะเพ่ิมข้นึ ครั้งละ 180
องศาหรือไม่ จงึ ได้ทาการทดลองออกแบบสรา้ งรูปเหลย่ี มต่าง ๆ แลว้ วัดมุมภายในของรูปเหลีย่ มตา่ ง ๆ ผลจาก
การทดลองปรากฏวา่ รูปห้าเหลี่ยมมีมมุ ภายในรวมกันเทา่ กบั 720 องศา รูปเจด็ เหลี่ยม มีมุมภายในรวมกัน
เทา่ กบั 900 องศา รปู หกเหล่ียมมมี มุ ภายในรวมกนั เทา่ กบั 1,080 องศา รปู เก้าเหล่ียมมมี ุมภายในรวมกัน
เท่ากบั 1,260 องศา และรูปสิบเหลย่ี มมมี มุ ภายในรวมกัน เท่ากบั 1,440 องศา

จากการทดลองทาโครงงานคณติ ศาสตร์เรื่องหลายเหลี่ยม หลายมมุ ทาให้ได้ข้อสรุปวา่ รูปเหลย่ี มท่ี
เพิ่มขึ้น 1 ด้าน จะมีขนาดของมุมภายในเพิ่มข้นึ ครั้งละ 180 องศา และความสัมพนั ธ์ระหวา่ งดา้ นของรูป
เหล่ียมที่เพ่ิมขึน้ กบั ขนาดของมุมภายในของรูปเหลีย่ มนัน้ ๆ หาไดจ้ าก ( n-2) x 180 องศา

ข

กติ ติกรรมประกาศ
โครงงานนส้ี าเรจ็ ไดด้ ้วยดี เน่อื งจากไดร้ ับความกรุณาให้คาปรกึ ษา และช่วยแนะนาแก้ไขข้อบกพร่อง
ต่าง ๆ อยา่ งดยี ิ่ง จากคุณครูตตยิ า เวียงนนท์ คุณครนู ภสร ก้ัวมาลา และคุณครสู ทิ ธนิ นท์ จนั ทะมาตร ซึง่
เป็นคณุ ครูท่ีปรึกษารวมถงึ คณะครูและนกั เรยี นชน้ั ประถมศึกษาตอนปลาย ทีใ่ ห้ความอนเุ คราะห์ทั้งด้าน
สถานท่ี การอานวยความสะดวก และการให้ความชว่ ยเหลือด้านต่าง ๆ ทาให้คณะทางานท่จี ดั ทาโครงงานนี้
ไดร้ บั แนวทางการศึกษาคน้ คว้า จงึ ขอกราบขอบพระคุณอย่างสงู
นอกจากน้ยี งั ขอขอบคุณคณะครู ผูป้ กครอง และนักเรียนโรงเรียนหนองโพนสูงทกุ คนที่เกี่ยวขอ้ งที่
คอยให้ความร่วมมือในการทากจิ กรรมตา่ ง ๆ มีส่วนช่วยใหก้ ารทาโครงงานนี้สาเร็จลงได้อย่างดี

คณะผู้จดั ทาโครงงาน

สารบญั ค

บทคดั ย่อ หน้า
กติ ตกิ รรมประกาศ ก
สารบญั ข
บทที่ 1 บทนา ค
บทที่ 2 เอกสารทเี่ ก่ยี วขอ้ ง 1
บทท่ี 3 วธิ กี ารดาเนินการ 2
บทท่ี 4 ผลการดาเนนิ การ 6
บทท่ี 5 สรปุ ผล อภปิ รายและข้อเสนอแนะ 7
ภาคผนวก 8
บรรณานกุ รม 9
15

1

บทท่ี 1
บทนา

ที่มาและความสาคญั ของโครงงาน

โครงงานคณิตศาสตร์ เร่อื ง “หลายเหลี่ยม หลายมุม” เกดิ ข้นึ เน่ืองจากการเรียนวิชาคณติ ศาสตร์
เร่ืองมุมภายในของรูปสามเหล่ยี มต่างๆ รวมกันจะเท่ากบั 180 องศา และมุมภายในของรปู ส่ีเหลี่ยมตา่ งๆ
รวมกนั จะเทา่ กับ 360 องศา จากการตงั้ ขอ้ สังเกตวา่ มุมภายในของรปู สามเหลี่ยมและรปู สเ่ี หลย่ี มมี
ขนาดตา่ งกนั เท่ากบั 180 องศา ถา้ เป็นรปู ห้าเหล่ยี มจะมีภายในต่างจากรปู สี่เหล่ียม 180 องศา หรอื ไม่
คอื จะมีมุมภายในเท่ากับมมุ ภายในของรูปสเี่ หลย่ี มเพ่ิมขนึ้ อีก 180 องศา รวมเป็น 540 องศา หรอื ไม่
และรปู หกเหล่ยี ม เจด็ เหลย่ี ม แปดเหลย่ี ม เกา้ เหลยี่ ม และสบิ เหล่ยี ม จะมีมมุ ภายในรวมกนั เพ่ิมข้ึนครง้ั
ละ 180 องศา ตอ่ การเพม่ิ ด้านของรูปเหลีย่ ม 1 ดา้ น ทกุ ครง้ั จริงหรือไม่ จึงเป็นแรงกระต้นุ ใหค้ ณะผจู้ ัด
ทาโครงงานทั้งสามคนสนใจใครศ่ กึ ษาทดลองเพ่ือหาข้อเท็จจริงถงึ ความสมั พนั ธร์ ะหว่างด้านของรูปเหล่ยี มที่
เพ่มิ ข้ึนกับมุมภายในของรปู เหลยี่ มนัน้ ๆ

จุดประสงคก์ ารทาโครงงาน
เพ่ือทดลองออกแบบสร้างรูปเหล่ยี มชนิดตา่ งๆและศกึ ษาถึงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งดา้ นของรปู เหลยี่ มที่

เพ่มิ ขนึ้ กบั ขนาดของมุมภายในของรูปเหลีย่ มนนั้ ๆ

ประโยชน์ทีค่ าดวา่ จะได้รับจากการทาโครงงาน
1. นักเรียนมคี วามเข้าใจเก่ยี วกบั เรอื่ ง รปู สามเหลี่ยมและรูปหลายเหล่ยี ม
2. นกั เรยี นสามารถนาทักษะทเี่ รียนมานาไปใช้ในการเรยี นได้

ขอบเขตของการทาโครงงาน

1. เนื้อหาได้แก่ เรื่อง รูปสามเหล่ียม และรูปหลายเหลย่ี ม ชัน้ ประถมศกึ ษาปที ี่ 6
2. ระยะเวลาท่ใี ช้ในการทาโครงงาน ตัง้ แต่ 1 ตลุ าคม 2565 – 5 พฤศจิกายน 2565

2

บทท่ี 2
เอกสารที่เกยี่ วขอ้ ง

โครงงานเรอื่ ง หลายเหลย่ี ม หลายมุม คณะทางานได้ศกึ ษาค้นควา้ เอกสาร ตาราทเ่ี ก่ยี วข้อง โดยมี
หัวขอ้ ดังน้ี

1. รปู สามเหล่ียม
2. รปู หลายเหลี่ยม

1. รปู สามเหล่ียม

รปู สามเหลย่ี ม(Triangle) คอื หนึง่ ในรปู ร่างพื้นฐานในเรขาคณติ เป็นรปู 2 มติ ิ ท่ปี ระกอบดว้ ยจุดยอด
3 จดุ และด้าน 3 ดา้ นทีเ่ ปน็ ส่วนของเส้นตรง

ชนดิ ของรูปสามเหลีย่ ม
รูปสามเหลย่ี มด้านเท่า มีดา้ นทกุ ดา้ นยาวเทา่ กัน รปู สามเหล่ียมดา้ นเทา่ จะเป็นรปู มมุ เท่าอีกด้วย น่นั คือ

มุมภายในทุกมุมจะมีขนาดเท่ากนั คอื 60° รปู สามเหลย่ี มหนา้ จว่ั มดี า้ นสองดา้ นยาวเท่ากัน
รปู สามเหลย่ี มหนา้ จ่วั จะมมี ุมสองมุมมีขนาดเทา่ กัน
รูปสามเหลย่ี มด้านไม่เทา่ ดา้ นทกุ ด้านจะมีความยาวแตกตา่ งกัน มมุ ภายในในรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เทา่

จะมีขนาดแตกต่างกนั

รูปสามเหลี่ยมแบ่งชนิดตามขนาดของมุมภายในทีใ่ หญท่ ี่สุด อธบิ ายด้วยองศา
รปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก มีมุมภายในมุมหนง่ึ มีขนาด 90° (มุมฉาก) ด้านที่อยู่ตรงขา้ มกับมุมฉาก คือ ดา้ น

ตรงข้ามมุมฉาก ซ่งึ เป็นด้านที่ยาวทสี่ ดุ ในรูปสามเหลีย่ มมุมฉาก อีกสองด้าน คือ ด้านประกอบมมุ ฉาก
รปู สามเหลี่ยมมุมป้าน มีมุมภายในมมุ หน่ึงมีขนาดใหญก่ ว่า 90° (มุมปา้ น)
รูปสามเหล่ียมมมุ แหลม มมุ ภายในทุกมุมมีขนาดเล็กกวา่ 90° (มุมแหลม)

3

ข้อเท็จจรงิ พ้ืนฐาน
ยุคลดิ ได้แสดงขอ้ เท็จจรงิ พน้ื ฐานเก่ียวกับรปู สามเหลยี่ มไวใ้ นหนังสอื Elements เล่ม 1-4 เม่อื ราวๆ

300 ปีกอ่ นคริสตกาล
รูปสามเหลยี่ มเปน็ รปู หลายเหลี่ยม และเปน็ 2-ซมิ เพล็กซ์ (2-simplex)
รูปสามเหล่ียม 2 รปู จะเรยี กวา่ คล้ายกนั ก็ต่อเมื่อ มมุ ของรปู สามเหลี่ยมหนึ่ง มขี นาดเท่ากบั มมุ ทีส่ ม

นยั กันของอีกรูปสามเหล่ยี มหนง่ึ ด้านที่สมนัยกนั จะเป็นสดั สว่ นกัน ตวั อย่างเช่น รูปสามเหล่ยี ม 2 รปู ที่มมี ุม
รว่ มกันมมุ หน่ึง และด้านทต่ี รงขา้ มกบั มุมน้ันขนานกนั

ฟงั กช์ ันตรโี กณมิติ ไซน์ และ โคไซน์ สามารถนยิ ามข้นึ จากรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉากและเร่อื งความ
คล้ายกนั ได้ ฟังชนั ก์เหลา่ น้ีเป็นฟังก์ชนั ของมุม ซ่งึ ดูไดใ้ นตรีโกณมติ ิ

พจิ ารณา รูปสามเหล่ยี มทป่ี ระกอบด้วยจดุ ยอด A, B และ C, มมุ α, β และ γ และดา้ น a, b และ c
ด้าน a อยูต่ รงขา้ มกับ จุดยอด A และมมุ α และทานองเดียวกับดา้ นอืน่ ๆ

ทฤษฎบี ทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem) กล่าววา่ ในรูปสามเหลย่ี มมุมฉากใด ๆ พน้ื ทีข่ องรูป
สี่เหลีย่ มจัตรุ ัสบนดา้ นตรงข้ามมุมฉาก จะเทา่ กบั ผลรวมของพ้นื ที่ของรูปสี่เหลี่ยมจตั ุรสั บนดา้ นอกี สองด้านที่
เหลอื ถา้ จดุ ยอด C เป็นมุมฉาก จะไดว้ ่า

นั่นหมายความว่า ถ้ารู้ความยาวของด้าน 2 ดา้ นของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ก็เพียงพอท่ีจะคานวณดา้ น
ท่ีสาม ซ่ึงเปน็ ลักษณะเฉพาะของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก ทฤษฎบี ทพีทาโกรสั สามารถทาให้อย่ใู นรปู ท่วั ไปโดยกฎ
โคไซน์ (law of cosines) ได้ว่า

4

ซ่ึงใชไ้ ดก้ ับทกุ รปู สามเหลยี่ ม แม้วา่ γ จะไมเ่ ปน็ มมุ ฉาก กฎโคไซน์ใชค้ านวณความยาวของด้านและ
ขนาดของมุมของรูปสามเหลี่ยมได้ เม่อื รู้ความยาวของด้านท้ังสามดา้ น หรือ รคู้ วามยาวของดา้ นทั้งสองทีอ่ ยู่ติด
กบั มุมที่รูข้ นาด

เม่ือ d คือเสน้ ผา่ นศนู ย์กลางของวงกลมลอ้ ม (วงกลมท่ีเลก็ ท่สี ดุ ที่สามารถบรรจุรปู สามเหลี่ยมไว้
ภายในได้พอดี) กฎไซน์ใชค้ านวณความยาวของดา้ นของรูปสามเหลยี่ มได้ เมื่อรู้ขนาดของมมุ 2 มุมและด้าน 1
ดา้ น ถ้าร้คู วามยาวของด้าน 2 ดา้ นและขนาดของมุมท่ีไม่อยู่ติดกนั กฎไซน์ก็สามารถใชไ้ ดเ้ ช่นเดียวกัน อยา่ งไรก็
ตาม ในกรณนี ้ีอาจมีไม่มีคาตอบ หรืออาจมี 1 หรือ 2 คาตอบ

2. รปู หลายเหล่ียม
รปู หลายเหล่ยี ม เปน็ รปู ปิดท่ีเกิดจากส่วนของเส้นตรงตง้ั แต่ 3 เส้นข้ึนไปจานวนมมุ ในรปู หลายเหล่ยี ม
จะเท่ากับจานวนด้านของรูปหลายเหลยี่ ม ส่วนของเสน้ ตรงท่ีลากเชือ่ มจุดยอดท่ไี มใ่ ชป่ ลายของส่วนของ
เสน้ ตรงเดียวกัน เรียกวา่ เส้นทแยงมมุ ( diagonal )
ตัวอย่างรูปหลายเหลีย่ ม
1 รปู สามเหล่ยี ม
2 รูปสเ่ี หลีย่ ม
3 รูปห้าเหลยี่ ม
4 รูปหกเหลยี่ ม
5 รูปแปดเหล่ียม
6 อนื่ ๆ

5

6

บทท่ี 3
วิธีการดาเนินการ

การศกึ ษาครงั้ นี้เป็นการนาความรู้เร่ือง รปู สามเหลี่ยม และรูปหลายเหลี่ยม โดยวธิ ีการทดลองหามมุ
ภายในรปู ส่เี หลีย่ ม หา้ เหล่ียม หกเหลยี่ ม เจด็ เหลยี่ ม แปดเหลีย่ ม เก้าเหล่ียม สิบเหลยี่ ม โดยอาศัยรปู
สามเหล่ียม ซ่ึงมรี ายละเอยี ดและขัน้ ตอนในการดาเนนิ การครั้งน้ี

ขน้ั ตอนการดาเนินงาน

1. หามมุ ภายในรปู สามเหล่ยี ม โดยวิธีทดลอง
2. หามมุ ภายในรปู สีเ่ หล่ียม ห้าเหล่ียม หกเหลย่ี ม เจด็ เหลย่ี ม แปดเหลี่ยม เก้าเหลี่ยม สิบเหลี่ยม

โดยอาศยั รปู สามเหล่ยี ม
3. สังเกตผลจากข้อ 2 และสรุปผล

7

บทที่ 4
ผลการดาเนินการ

สรุปการหาผลรวมของมมุ ภายในรปู หลายเหลีย่ มชนิดตา่ งๆ

จานวนเหลีย่ ม(n) จานวนรปู สามเหลยี่ มทีแ่ บ่งได้ ผลรวมของมุมภายใน
สามเหลย่ี ม 1 1 x 180 ๐ = 180๐
สเี่ หล่ยี ม 2 2 x 180 ๐ = 360๐
หา้ เหล่ียม 3 3 x 180 ๐ = 540๐
หกเหลี่ยม 4 4 x 180 ๐ = 720๐
เจ็ดเหล่ยี ม 5 5 x 180 ๐ = 900๐
แปดเหลี่ยม 6 6 x 180 ๐ = 1,080๐
เก้าเหลย่ี ม 7 7 x 180 ๐ = 1,260๐
สบิ เหล่ยี ม 8 8 x 180 ๐ = 1,440๐

จากการสังเกตพบว่า จานวนรูปสามเหลี่ยมท่ีแบ่งได้จะมีจานวนน้อยกว่าจานวนเหล่ียมอยู่ 2
ดังนน้ั มุมภายในรปู n เหลี่ยม จะได้ ( n – 2 ) x 180๐

8

บทท่ี 5
สรปุ อภปิ รายและขอ้ เสนอแนะ

สรุป และอภปิ รายผล
การทาโครงงานคณติ ศาสตร์เร่ือง “หลายเหลยี่ ม หลายมุม” ทาให้เกิดความเขา้ ใจเกย่ี วกับ

การสร้างรูปเหล่ยี มชนิดตา่ งๆ ซึ่งสามารถนาไปใชป้ ระยุกต์ในการสร้างแบบ pattern ตา่ งๆ ได้ และเขา้
ใจถึงความสัมพนั ธ์ระหวา่ งด้านของรปู เหลย่ี มทเ่ี พิ่มข้นึ กับมุมภายในของรูปเหลี่ยมวา่ รูปใด ๆ ก็ตามสา
มารถแบ่งเป็นสามเหลีย่ มย่อย ๆ ได้ ซ่ึงก็จะได้ผลรวมของมุมภายในเท่ากับจานวนสามเหลย่ี มทแี่ บ่งได้
นอกจากนีย้ งั ทาให้ทราบวา่ รปู เหล่ยี มใด ๆ ก็ตาม เม่อื แบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมจะไดจ้ านวนของรปู สามเหล่ี
ยมน้อยกว่าจานวนเหลี่ยมของรูปนั้นอยู่ 2 เสมอ ซง่ึ สามรถทาใหส้ รุปเป็นสูตรในการคานวณหามุมภายใน
ของรูปเหลย่ี มใด ๆ ได้ คือ

สรุปมุมภายในรูป n เหล่ยี ม = ( n-2) x 180๐

ข้อเสนอแนะ
1. ควรศกึ ษาหาความรู้เพิม่ เติมจากมมุ ภายในของรูปเรขาคณิตให้หลากหลายมากกวา่ นี้
2. ควรมกี ารเก็บขอ้ มูลประเภทของมมุ ให้ละเอียดมากขึน้

9

ภาคผนวก

10

คณะผจู้ ดั ทา

1. เดก็ หญิงสุภานี เฉิดดลิ ก
ชนั้ ประถมศกึ ษาปที ี่ 5

2. เดก็ หญิงสตุ รา กลางโหลน
ช้นั ประถมศกึ ษาปีท่ี 5

3. เดก็ หญิงไอลดา ออ่ นบัวขาว
ชนั้ ประถมศกึ ษาปที ี่ 4

11

ครทู ป่ี รกึ ษา

1. นางสาวตตยิ า เวยี งนนท์
ตาแหนง่ ครอู ัตราจ้าง

2. นางสาวนภสร กวั้ มาลา
ตาแหน่ง ครผู ชู้ ว่ ย

1. นางสาวตติยา เวียงนนท์
ตาแหนง่ ครูอตั ราจา้ ง

3. นายสิทธินนท์ จันทะมาตร
ตาแหนง่ ครชู านาญการพเิ ศษ

1. นางสาวตตยิ า เวยี งนนท์
ตาแหน่ง ครูอัตราจ้าง

12

13

14

15

บรรณานกุ รม

สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีกระทรวงศึกษาธิการ. 2551. หนงั สือเรยี นรายวชิ า
คณติ ศาสตร์พืน้ ฐาน ชั้นประถมศกึ ษาปีท่ี 6. พิมพ์คร้งั ท่ี 3. กรงุ เทพฯ : องคก์ ารคา้ ของ สกสค.

รปู สามเหล่ียม. (ออนไลน์). แหล่งท่ีมา :
http://www4.eduzones.com/dena/3746

วนั ที่สบื คน้ 1 ตลุ าคม 2565

รปู หลายเหลี่ยม. (ออนไลน์). แหล่งที่มา :
http://lalidawan.weebly.com/

วนั ท่ีสบื คน้ 1 ตลุ าคม 2565