ลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต

เร่ือง ลำดบั เลขคณิตและลำดบั เรขำคณติ (ช้ันมธั ยมศึกษำปี ท่ี 5)

เสนอ
อำจำรย์พรหมมำ วหิ คไพบูลย์

จดั ทำโดย
นำงสำวปิ ยดำ สว่ำงชำติ

รหสั 6310121204029
คณะวทิ ยำลยั กำรฝึ กหัดครู
สำขำคณติ ศำสตร์ ช้ันปี ที่ 3 หมู่เรียนที่ 1

เป็ นส่วนนึ่งของกำรศึกษำในรำยวชิ ำเทคโนโลยดี ิจิทลั เพื่อกำรจดั กำรเรียนรู้คณติ ศำสตร์
ภำคเรียนที่ 1/2565

มหำวทิ ยำลยั รำชภัฏพระนคร

คำนำ

รายงานเล่มน้ีเป็นส่วนน่ึงของการศึกษาในรายวิชาเทคโนโลยดี ิจิทลั เพ่ือการ
จดั การเรียนรู้คณิตศาสตร์ รหสั 4092107 เพ่อื ใหผ้ ทู้ ่ีสนใจจะศึกษาเกี่ยวกบั เร่ือง ลาดบั
เลขคณิตและลาดบั เรขาคณิต ไดศ้ ึกษาหาความรู้เก่ียวกบั ความหมายของคาวา่ ลาดบั
เลขคณิตและลาดบั เรขาคณิต หลกั การและการดาเนินการตา่ งๆของลาดบั เลขคณิตและ
ลาดบั เรขาคณิต

ท้งั น้ีคณะผจู้ ดั ทาหวงั เป็นอยา่ งยง่ิ วา่ รายงานเล่มน้ีจะเป็นประโยชน์ต่อผอู้ ่าน
หรือผทู้ ี่สนใจท่ีกาลงั สืบคน้ ขอ้ มูลเกี่ยวกบั ลาดบั เลขคณิตและลาดบั เรขาคณิต หากมี
ขอ้ ผดิ พลาดประการใด คณะผจู้ ดั ทาขอนอ้ มรบั ไวเ้ พื่อประปรุงและแกไ้ ข

ผู้จดั ทำ
นำงสำวปิ ยดำ สว่ำงชำติ

สำรบัญ หน้ำ
1
เรื่อง 5
ลาดบั 7
แบบฝึกหดั ที่ 1 เร่ืองลาดบั 11
ลาดบั เลขคณิต 13
แบบฝึกหดั ที่ 2 เร่ืองลาดบั เลขคณิต 18
ลาดบั เรขาคณิต 20
แบบฝึกหดั ที่ 3 เร่ืองลาดบั เรขาคณิต
เอกสารอา้ งอิง

1

ลำดบั

ลาดบั เป็นจานวนหรือพจนท์ ่ีเขียนเรียงกนั ภายใตก้ ฎเกณฑอ์ ยา่ งใดอยา่ งหน่ึงเป็นลาดบั
ทวั่ ๆไป โดยแบ่งออกเป็น 2 ชนิด ไดแ้ ก่

ลำดบั จำกดั คือ ลาดบั ซ่ึงมีจานวนพจน์จากดั เช่น 1, 2, 3, 4, …, 100
ลำดบั อนันต์ คือ ลาดบั ซ่ึงมีจานวนพจนไ์ ม่จากดั เช่น 1, 2, 3, 4, … ฯลฯ

นิยำม คือ ฟังกช์ นั ท่ีมีโดเมนเป็ นเซตของจานวนเตม็ บวกท่ีเรียงจากนอ้ ยไปมากโดยเริ่มต้งั แต่ 1 เรียกวา่
“ลาดบั ” ถา้ ฟังกช์ นั เป็นลาดบั ที่มีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, …, n } เรียกวา่ “ลาดบั จากดั ” และถา้ ฟังกช์ นั เป็นลาดบั
ท่ีมีโดเมนเป็น { 1, 2, 3, … } เรียกวา่ “ลาดบั อนนั ต”์

ความหมายของลาดบั ในการเขียนลาดบั จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจเ์ รียงกนั ไป
กล่าวคือ

ถา้ a เป็น ลำดบั จำกดั จะเขียนแทนดว้ ย a1, a2, a3, …, an และถา้ a เป็น ลำดับอนันต์
จะเขียนแทนดว้ ย a1, a2, a3, …, an, …

เรียก a1 วา่ พจนท์ ี่ 1 ของลาดบั
เรียก a2 วา่ พจนท์ ี่ 2 ของลาดบั
เรียก a3 วา่ พจนท์ ี่ 3 ของลาดบั
และเรียก an วา่ พจนท์ ี่ n ของลาดบั หรือพจน์ทวั่ ไปของลาดบั

2

ตวั อย่ำงของกำรเขยี นลำดบั
ตัวอย่ำงท่ี 1 : 4, 7, 10, 13 เป็นลาดบั จากดั ท่ีมี a1 = 4, a2 = 7, a3 = 10, a4 = 13 และ an = 3n + 1
ตวั อย่ำงท่ี 2 : – 2, 1, 6, 13, … เป็นลาดบั อนนั ตท์ ่ีมี a1 = – 2, a2 = 1, a3 = 6, a4 = 13 และ an =
n2 – 3

นอกจากการเขียนลาดบั นอกจากจะเขียนโดยการแจงพจนแ์ ลว้ อาจจะเขียนเฉพาะพจนท์ ี่ n
หรือพจนท์ ว่ั ไป พร้อมท้งั ระบุสมาชิกในโดเมนดว้ ย

ตัวอย่ำงกำรเขยี นพจน์ทว่ั ไป
ตัวอย่ำงท่ี 1 : ลาดบั 4, 7, 10, 13 อาจเขียนแทนดว้ ย an = 3n + 1 เมื่อ n { 1, 2, 3, 4 }
ตวั อย่ำงท่ี 2 : – 2 , 1, 6, 13, … อาจเขียนแทนดว้ ย an = n2 – 3 เมื่อ n เป็นจานวนเตม็ บวก

ท้งั น้ีในกรณีท่ีกาหนดลาดบั โดยพจน์ท่ี n หรือพจน์ทว่ั ไป ถา้ ไม่ไดร้ ะบุสมาชิกในโดเมน
ใหถ้ ือวา่ ลาดบั น้นั เป็น ลาดบั อนนั ต์

ตัวอย่ำงกำรเขยี นลำดบั จัดและลำดับอนันต์
โดยที่ลำดับจำกดั เป็นลาดบั ที่มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก n ในพจนแ์ รก และลาดบั
อนนั ต์ เป็นลาดบั ที่มีโดเมนเป็นเซตของจานวนเตม็ บวก
ตวั อย่ำงท่ี 1 : 6, 12, 18, 24, 30 เป็ นลำดบั จำกดั
ตวั อย่ำงที่ 2 : an= 5n – 2 เมื่อ n { 1, 2, 3, …, 20 } เป็ นลำดบั จำกดั
ตัวอย่ำงที่ 3 : 2, 4, 8, 16, …, an, … เป็ นลำดับอนันต์
ตวั อย่ำงที่ 4 : an = n2 +3 เป็ นลำดับอนันต์

ท่ีมา https://campus.campus-star.com/variety/132757.html

3

ตัวอย่ำงกำรหำส่ีพจน์แรกของลำดับ
ตัวอย่ำงที่ 1 จงหา 4 พจนแ์ รกของลาดบั ท่ีมีพจนท์ วั่ ไปเป็น an = 3n + 1
วธิ ีทำ a1 = 3(1) + 1 = 3 + 1 = 4

a2 = 3(2) + 1 = 6 + 1 = 7
a3 = 3(3) + 1 = 9 + 1 = 10
a4 = 3(4) + 1 = 12 + 1 = 13
ดงั น้นั สี่พจนแ์ รกของลาดบั an = 3n + 1 คือ 4, 7, 10, 13
ตวั อย่ำงท่ี 2 จงหา 4 พจนแ์ รกของลาดบั ท่ีมีพจนท์ วั่ ไปเป็น an = (-1)n (n)
วธิ ที ำ a1 = (-1)1(1) = (-1) (1) = -1
a2 = (-1)2 (2) = (1)(2) = 2
a3 = (-1)3 (3) = (-1) (3) = -3
a4 = (-1)4 (4) = (1)(4) = 4
ดงั น้นั สี่พจนแ์ รกของลาดบั an = (-1)n (n) คือ -1, 2, -3, 4

4

ตวั อย่ำงกำรหำพจน์ถดั ไปของลำดับ
ตัวอย่ำงท่ี 1 จงหาสองพจนถ์ ดั ไปของลาดบั 1, 2, 4, 7, …
วธิ ที ำ พิจารณาความสมั พนั ธข์ องพจนใ์ นลาดบั พบวา่

1247
+1 +2 +3
จะเห็นวา่ พจนท์ ี่อยถู่ ดั ไปจะเพิ่มข้ึน 1, 2, 3 ตามลาดบั
ดงั น้นั สองพจนถ์ ดั ไปของลาดบั น้ีจะเพิ่มข้ึน 4 และ 5 ตามลาดบั
จะได้ 11 กบั 16 เป็นพจนถ์ ดั ไปของลาดบั ท่ีกาหนดให้
1 2 4 7 11 16
+1 +2 +3 +4 +5

ที่มา https://jinnycu.wordpress.com

5

แบบฝึ กหัดที่ 1 เร่ืองลำดบั

1.จงหำพจน์ทว่ั ไปของลำดับ 3, 5, 7, 9, 11
วธิ ีทำ จากลาดบั จากดั 3, 5, 7, 9, 11

จะได้ a1 =.........3........... = (2 x1) + 1
a2 =.......................=...................................
a3 = .......................= ..................................
a4 =........................=..................................
a5 = .......................= ..................................

พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั น้ีคือ.........................เมื่อ n = 1, 2, 3, 4, 5

2.ให้นักเรียนศึกษำกำรหำพจน์ 4 พจน์แรกของลำดบั ทมี่ ีพจน์ทวั่ ไปเป็ น an = (-2)n (n)
วธิ ีทำ ............................................................................................................................................

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

3.ให้นักเรียนศึกษำกำรหำพจน์ 4 พจน์แรกของลำดับทมี่ พี จน์ทว่ั ไปเป็ น an = 2n – 1
วธิ ีทำ ............................................................................................................................................

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

6

4.ให้นักเรียนศึกษำกำรหำสองพจน์ถัดไปของลำดับ 10, 20, 40, 80, …
วธิ ีทำ ............................................................................................................................................

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

5.ให้นักเรียนศึกษำกำรหำสองพจน์ถดั ไปของลำดบั 800, 400, 200, …
วธิ ีทำ ............................................................................................................................................

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

7

ลำดบั เลขคณิต

ลาดบั เลขคณิต เป็นลาดบั ท่ีมีผลต่างที่ไดจ้ ากการนาพจนท์ ่ี n+1 ลบดว้ ยพจนท์ ี่ n แลว้ มี
ค่าคงที่เสมอ และเรียกผลต่างท่ีมีค่าคงที่วา่ ผลต่ำงร่วม (Common difference)

ถา้ a1, a2, a3, …, an, an+1 , … เป็นลาดบั เลขคณิตแลว้ จะได้ a2 – a1 = a3 – a2 = … = an+1 – an
เทา่ กบั ค่าคงท่ี เรียกค่าคงท่ีน้ีวา่ “ผลต่ำงร่วม” (Common difference) เขียนแทนดว้ ย “d”
จำกบทนิยำม d = an+1 – an หรือ an+1 = an + d

ถา้ ให้ d เป็นผลต่างร่วม จะไดว้ า่ ซ่ึงจะไดพ้ จนท์ ว่ั ไปของลาดบั เลขคณิต คือ

ตัวอย่ำงท่ี 1 พจิ ำำรณำลำดบั 1,3,5,7,9,…

จะเห็นวา่ ถา้ เอา 3-1=2

5-3=2

7-5=2

9-7=2

นาพจนท์ ่ีอยขู่ า้ งหลงั ลบ พจนท์ ี่อยดู่ า้ นหนา้ จะไดค้ ่าค่าหน่ึงซ่ึงคงท่ีตลอดจากตวั อยา่ งคือ 2

ลาดบั ท่ีมีลกั ษณะเช่นน้ี เรียกวา่ ลำดับเลขคณติ (Arithmetic Sequence)

8

ตวั อย่ำงท่ี 2 พิจารณาลาดบั 4,8,12,16,20,24,….

จะเห็นวา่ ถา้ เอา 8-4=4

12-8=4

16-12=4

20-16=4

24-20=4

นาพจนท์ ี่อยขู่ า้ งหลงั ลบ พจนท์ ่ีอยดู่ า้ นหนา้ จะไดค้ ่าค่าหน่ึงซ่ึงคงท่ีตลอดจากตวั อยา่ ง
คือ 4 ลาดบั ท่ีมีลกั ษณะเช่นน้ี เรียกวา่ ลาดบั เลขคณติ (Arithmetic Sequence) จำกตัวอย่ำงข้อ
1) และ 2)

ค่าที่เกิดจากการนา พจนท์ ี่อยดู่ า้ นหลงั ลบ พจนท์ ี่อยดู่ า้ นหนา้ ค่าน้ีจะเรียกวา่ ผลต่ำงร่วม
(common difference) เราจะแทนผลต่ำงร่วมด้วยตวั d

ดงั น้นั จึงไดว้ า่ ลาดบั 1,3,5,7,9,… มีผลต่างร่วมหรือวา่ d=2

และ ลาดบั 4,8,12,16,20,24,…. มีผลต่างร่วมหรือวา่ d=4

ท่ีมา https://tuemaster.com/blog

กำรตรวจสอบว่ำลำดบั ทก่ี ำหนดให้เป็ นลำดับเลขคณติ หรือไม่

9

กำรหำพจน์ทว่ั ไปของลำดบั เลขคณติ

ตัวอย่ำงท่ี 1 จงเขียนส่ีพจนถ์ ดั ไปของลาดบั เลขคณิต 2, 5, 8, 11, 14, …

วธิ ที ำ เป็นลาดบั เลขคณิตท่ีมีa1 = 2 , d = 3

a6 = a5 + d = 14 + 3 = 17 a7 = a6 + d = 17 + 3 = 20

a8 = a7 + d = 20 + 3 = 23 a9 = a8 + d = 23 + 3 = 26

ดงั น้นั สี่พจนถ์ ดั ไปของลาดบั เลขคณิตที่กาหนดใหค้ ือ 17, 20, 23, 26

ตวั อย่ำงที่ 2 จงหาพจนท์ ี่ 30 ของลาดบั เลขคณิต 1, 8, 15, 22, …

วธิ ที ำ 1, 8, 15, 22, … เป็นลาดบั เลขคณิตท่ีมี a1 = 1 , d = 7

จาก an = a1 + (n-1)d

จะได้ an = 1 + (30-1)(7)

an = 1 + (29)(7) = 1 + 203
an = 204

ตวั อย่ำงท่ี 3 จงหาพจนท์ ว่ั ไปของลาดบั เลขคณิต 8, 3, -2, -7, …

วธิ ที ำ เป็นลาดบั เลขคณิตที่มี a1 = 8 , d = -5

จาก an = a1 + (n-1)d

an = 8 + (n-1)(-5)

an = 8 -5n + 5

an = -5n + 13

10

ตวั อย่ำงที่ 4 ถา้ 3, a, b, c, d, e, f, g, 35 เป็นเกา้ พจนเ์ รียงกนั ในลาดบั เลขคณิต จงหา f
วธิ ีทำ เป็นลาดบั เลขคณิตท่ีมีa1 = 3 , a9 = 35

จาก an = a1 + (n-1)d
a9 = a1 + 8d
35 = 3 + 8d
32 = 8d
d=4

หา f ซ่ึงเป็นพจนท์ ่ี 7 ของลาดบั เลขคณิตจาก an = a1 + (n-1)d
a7 = a1 + 6d
a7 = 3 + 6(4)
a7 = 3 + 24
a7 = 27

ดงั น้นั f มีค่าเท่ากบั 27

ตัวอย่ำงท่ี 5 จงหาพจนแ์ รกของลาดบั เลขคณิตที่มี a5 = 19 และ a20 = 64

วธิ ที ำ จาก an = a1 + (n-1)d a5= a1 + 4d และ a20 = a1 + 19d

จะได้ 19 = a1 + 4d ……….(1)

64 = a1+ 19d ……….(2)

(2) – (1) 45 = 15d

d=3

แทนค่า d = 3 ในสมการ (1)

a1 + 4d = 19

a1+ 4(3) = 19

a1 = 19 – 12

a1 = 7

ดงั น้นั พจนแ์ รกของลาดบั เลขคณิตหรือ a1 = 7

ท่ีมา https://krubowky.files.wordpress.com/

11

แบบฝึ กหัดท่ี 2 เร่ืองลำดบั เลขคณติ

1.จงตรวจว่ำลำดบั ทกี่ ำหนดให้ต่อไปนีเ้ ป็ นลำดับเลขคณติ หรือไม่

ขอ้ ลาดบั ผลต่างร่วม เป็นลาดบั เลขคณิต
1. 2, 6, 10, 14, …
2. 3, 9, 12, 15, 18, …
3. 5, 11, 17, 23, 29, …
4. 10, 20, 40, 80,
5. -7, -5, -3, -1, 2, 4, …

2.จงเขียนส่ีพจน์ถัดไปของลำดบั เลขคณติ 5, 8, 11, 14, …

วธิ ีทำ เป็นลาดบั เลขคณิตท่ีมีa1 = …….. , d = ……….

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
3.จงหำพจน์ที่ 50 ของลำดบั เลขคณติ -5, -1, 3, 7, 11, …

วธิ ีทำ เป็นลาดบั เลขคณิตที่มี a1 = ……... , d = …………

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

12

4.จงหำพจน์ทวั่ ไปของลำดบั เลขคณติ 8, 12, 16, 20, …

วธิ ีทำ .........................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

5.ถ้ำ 3, a, b, c, d, e, f, g, h, i, 52 เป็ นสิบเอด็ พจน์เรียงกันในลำดบั เลขคณติ จงหำ f

วธิ ีทำ .........................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

13

ลำดบั เรขำคณิต

บทนิยำม ลาดบั เรขาคณิต (geometric sequence)คือลาดบั ท่ีมีอตั ราส่วนของพจนท์ ี่ n + 1
ต่อพจน์ที่ n เป็นค่าคงตวั ทุกค่าของจานวนนบั n และเรียกคา่ คงตวั น้ีวา่
อตั รำส่วนร่วม (common ratio) เขียนแทนดว้ ย r

กำรตรวจสอบว่ำลำดับทกี่ ำหนดให้เป็ นลำดบั เรขำคณติ หรือไม่

14

15

พจน์ทว่ั ไปของลำดับเรขำคณติ
การหาพจนท์ วั่ ไป คือการหาค่าของพจนส์ ุดทา้ ยหรือ
พิจารณา พจนท์ ี่1 :
พจนท์ ่ี2 :
พจนท์ ี่3 :

พจนท์ ี่n

ดงั น้นั พจนท์ ว่ั ไปของลาดบั เรขาคณิตคือ

ตัวอย่ำงท่ี 1 หาพจนท์ ี่ 20 ของ 1, 4, 16, …
วธิ ที ำ โจทยต์ อ้ งการพจนท์ ี่ 20 นน่ั คือ

จากโจทย์ สิ่งท่ีโจทยใ์ หม้ าคือ และ อตั ราส่วนร่วม
ดงั น้นั จะได้

16

ตวั อย่ำงท่ี 2 ลาดบั เรขาคณิตมี , จงหา
วธิ ีทำ โจทยต์ อ้ งการหา

ส่ิงที่โจทยใ์ หม้ าคือ และ
จะไดว้ า่

จากที่เราได้ r มาแลว้ เราสามารถหาพจนท์ ่ี 13 ไดแ้ ลว้ จะไดว้ า่

=8(32)
= 256
ดงั น้นั

17 แลว้ มีค่าเท่าใด

ตวั อย่ำงท่ี 3 ใหล้ าดบั เรขาคณิตชุดหน่ึงมีอตั ราส่วนร่วมเป็น -2 ถา้
วธิ ที ำ จากโจทย์ r = -2 และ

ตวั อย่ำงท่ี 4 ลาดบั 2, 10, 50, … , 1250 มีก่ีพจน์
วธิ ที ำ โจทยต์ อ้ งการทราบวา่ มีก่ีพจน์ นนั่ คือ ตอ้ งการทราบค่า n

ส่ิงท่ีโจทยใ์ หม้ า จากโจทย์ และ
หา n โดยที่

ดงั น้นั ลาดบั ขา้ งตน้ มี 5 พจน์

ท่ีมา https://nockacademy.com/math/math-

18
แบบฝึ กหดั ท่ี 3 เรื่องลำดบั เรขำคณติ

1.จงตรวจว่ำลำดบั ทก่ี ำหนดให้ต่อไปนีเ้ ป็ นลำดบั เลขคณติ หรือไม่

ขอ้ ลาดบั อตั ราส่วนร่วม เป็นลาดบั เรขาคณิต
1. 2, -4, 8, -16, 32, …
2. 3, 6, 18, 36, 108, …
3. 5, 15, 45, 135, …
4. 10, 20, 60, 120,
5. -1, 4, -16, 64, -256, …

2.จงเขยี นสี่พจน์แรกของลำดบั เรขำคณติ ทมี่ ี a1= 3 และ r = 4

วธิ ีทำ .........................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

19

3.จงเขียนพจน์ท่ี 7 ของลำดับเรขำคณติ 2, 10, 50, …

วธิ ีทำ .........................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

4.จงหำพจน์ท่ี 10 ของลำดับเรขำคณติ ที่ a1 12 , r  3

วธิ ีทำ .........................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

5.จงหำพจน์ทว่ั ไปของลำดับเรขำคณติ 9, 27, 81, …
วธิ ีทำ .........................................................................................................................................

............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................
............................................................................................................................................

20

เอกสำรอ้ำงองิ

ลำดบั และอนุกรม ม.5 . (2565). [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก https://campus.campus-star.com/variety/132757.html.
(วนั ท่ีสืบคน้ ขอ้ มูล : 18 กรกฎาคม 2565)

สรุปเนื้อหำเร่ืองลำดบั . (2565). [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก https://jinnycu.wordpress.com/ (วนั ที่สืบคน้ ขอ้ มูล : 18
กรกฎาคม 2565)

เอกสำรประกอบกำรเรียนเรื่องลำดบั และอนุกรม ช้ัน ม.5 . (2565). [ออนไลน]์ . เขา้ ถึงไดจ้ าก : https://krubowky.files
.wordpress.com/ (วนั ที่สืบคน้ ขอ้ มูล : 18 กรกฎาคม 2565)

ลำดบั เลขคณิต . (2565). [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก : https://nockacademy.com/math/math-%. (วนั ที่สืบคน้ ขอ้ มลู : 18
กรกฎาคม 2565)

ลำดบั เรขำคณติ . (2565). [ออนไลน]์ . เขา้ ถึงไดจ้ าก : https://nockacademy.com/math/math-% . (วนั ท่ีสืบคน้ ขอ้ มลู : 18
กรกฎาคม 2565)

ตำรำงเปรียบเทยี บลกั ษณะโจทย์ลำดบั เลขคณิตและลำดบั เรขำคณติ . (2565). [ออนไลน์]. เขา้ ถึงไดจ้ าก :
http://www.tutormathphysics.com/i . (วนั ท่ีสืบคน้ ขอ้ มูล : 18 กรกฎาคม 2565)