Algebra

ÁLGEBRA 4.
5. Y
3
Y D x=
A X 2

B X

EJERCICIO 75 C 5.
Y Y
1. m = 1

2. m = – 12

3. m = 8
9

4. m = − 22 y = 2x + 5
27
X
5. m = 5 6.
14
Y
EJERCICIO 76 y = 4x
1.
X
y=–2 X
2. 7.
y= Y
Y X
1
3. x=4 y= x
Y X
2

8. X
Y X

15
y= x

22

434

Solución a los ejercicios

9. 4.
Y
Y b=0
b=3 b=–3

3
y= x 3

4

X

X

10. b=2 b=–2
Y 5.

1 b=3 Y
y= x 3
b=0
3
b=–3

X X

EJERCICIO 77 Y b=1
1.
b=–1
m=0 6.

Y b=0

X

m=1 X b=3 b=–3
2. m=–1

m=–1 m=2 m=–2 EJERCICIO 78
m=–2 1. S = 40t
Y m=2 4. a) G = 11 I + 1 800
m=1 20

2. a) P = 7 t + 3.5 b) U = 9 I – 1 800
3 20

b) P = 24.5 kg c) R = $4 000

X c) t = 10 años 6 meses 5. a) C = F = – 40o

3. C = 1390 T + 1 681 b) C = 160o y F = 320o
3
m=0

CAPÍTULO 8

3.

4 Y 4 EJERCICIO 79
m=– m=
( ) ( )1. 2, − 3 , 7,0 son solución
3 3
1
1 2. ⎛ 1 , − 3⎞ es solución
m=– m= ⎝⎜ 2 4 ⎠⎟
3
3 ( ) ( )3. 3, − 4 , −3, − 12 son solución
m=0 X

4. ⎛ 1 , 2⎞ es solución
⎜⎝ 5 3 ⎠⎟

5. ⎛ − 1 , 130 ⎟⎠⎞ es solución
⎜⎝ 2

435

ÁLGEBRA Y 6.
EJERCICIO 80 x+y–3=0 Y
1. X
2x + 7y = 0
2. Y
x–y+2=0 X
3. X
7.
4. Y Y
3x – 2y + 6 = 0
5. X – 3x + 5y – 10 = 0

Y X
4x + 3y – 12 = 0
X 8.
Y
Y 8x = 2y – 4

X X

9.
Y

X
21

x y4
32

10.
Y
3x 1 y 2
5 10

X

3x – 4y = 0

436

Solución a los ejercicios

EJERCICIO 81 6. Conjunto infinito de soluciones (rectas coincidentes)
Y
1. (4,− 2)

Y

5x + 3y = 2

x+y=2 x–y=6
X
X

2. Conjunto infinito de soluciones 10x + 6y = 4
(rectas coincidentes)
Y 7. Conjunto vacío (rectas paralelas)
Y
2x – 3y = 6
6x – 9y = 18 6x + 3y = – 9 2x + y = 5
X X

3. Conjunto vacío (rectas paralelas) 8. ( − 2,3 )
Y
3x – 15y = – 15 Y

x – 5y = 10 X 2x + 3y = 5
X
4. ( −1, 2 )
5x + 4y = 2
x + 2y = 3
Y EJERCICIO 82
5x – 3y = – 11
1. ⎪⎨⎧⎩⎪ x =3 7. ⎨⎩⎪⎪⎧ m = −1
X y =1 n=4

2. ⎧ x = 1 1 8. ⎪⎧ x = −1
⎪⎪ y = 3 2 ⎨⎩⎪ y = 2
⎨
⎪ −
⎩⎪
2
5. ( 0,1 ) 3. ⎧⎪ x = − 2 9. ⎧ u =
⎩⎨⎪ y = 5 ⎪⎪ v = 3
Y ⎨ 1
4x + y = 1 ⎪
⎪⎩ 4

3x – 2y = – 2 4. ⎧⎪ x = 2 10. Conjunto infinito de soluciones
⎩⎪⎨ y = 3

5. ⎨⎪⎩⎧⎪ x = 2 11. No hay solución
y = 4
X

6. ⎪⎨⎪⎩⎧ a = 3 12. No hay solución
b = 2

437

ÁLGEBRA

EJERCICIO 83 EJERCICIO 87

1. ⎪⎧ x = − 4 5. ⎧ p= 3 9. Conjunto infinito 1. ⎧⎪ x = −1 9. ⎪⎧ x = 6 17. ⎧ x = 1 1
⎩⎪⎨ y = − 2 ⎪⎪ q= de soluciones ⎩⎪⎨ y = 2 ⎪⎩⎨ y = 5 ⎪⎪ y = 3 2
⎨ 2 ⎨
⎪ 4 10. No hay solución ⎪ −
⎩⎪ ⎪⎩
3 11. Conjunto infinito
de soluciones
2. ⎪⎩⎨⎧⎪ m=−3 6. ⎪⎩⎪⎨⎧ x = 8 2. ⎩⎨⎧⎪⎪ a= − 3 10. ⎩⎪⎨⎧⎪ x = −1 18. ⎪⎨⎧⎪⎩ x = 2
n=−4 y = − 12. No hay solución b= 4 y = 2 y = 5
2

3. ⎧⎪ r = −1 7. ⎧⎪ p =− 4 ⎧ x 1
⎨ t =1 ⎨ q =0 ⎨⎪⎪ y
⎩⎪ ⎪⎩ 3. ⎪⎩⎪⎨⎧ m=−2 11. ⎩⎧⎪⎨⎪ x = 4 19. ⎪ = − 2
n=−2 y = −1 ⎪⎩ = − 1
⎧ x 1 ⎪⎧ x = 12
4. ⎪ = 3 8. ⎨ y =9 4
⎨ ⎪⎩
⎩⎪ y = 3
1 p=5 ⎧ x = 1
⎧⎪ x = 2 ⎪⎧ q = −1 ⎨⎪⎪ y 10
EJERCICIO 84 4. ⎨⎪⎩ y = 12. ⎨⎩⎪ 20. ⎪
⎪⎩ 1
⎧ u 5 = 5
⎪⎪ v =6
1. ⎧⎪ x =3 4 5. ⎪⎧ p = −1 9. ⎨ =− 2 ⎧⎪⎩⎪⎨ m=3 ⎪⎩⎪⎨⎧ x = 2 ⎪⎩⎪⎨⎧ x =b
⎨ y =− ⎨ q =1 ⎪ 3 n=5 y = − y =a
⎩⎪ ⎩⎪ ⎪⎩ 5. 13. 21.
3
⎧ 3
⎪⎪ m = 2 ⎪⎧ x = − 4 ⎧⎪⎨ 3 3 ⎨⎪⎧ a2
⎨ ⎪⎨⎩ y = 0 ⎪⎩ 2 − ⎪⎩ b2
2. ⎪ 1 6. 10. Conjunto infinito 6. x = 14. ⎨⎪⎩⎪⎧ x = 22. x =
⎪⎩ 2 de soluciones y = y = y =
n = 7

3. ⎨⎪⎩⎪⎧ a =− 2 7. ⎪⎪⎩⎧⎨ a= −1 11. No hay solución 7. ⎪⎧ x = − 5 15. ⎪⎧ a =1 23. ⎪⎧ x = a + b
b =1 b= 3 ⎨⎩⎪ y = 4 ⎩⎪⎨ b =− ⎩⎪⎨ y = a − b
2

⎪⎧ x = − 3 ⎧ m = 2 ⎧ x = 2 ⎧ m = 1 ⎧⎪ x = a
⎪⎨⎩ y = 4 ⎪⎪ 3 ⎪⎪ y = ⎪⎪ 3 ⎨ y = b
4. 8. ⎨ 12. No hay solución 8. ⎨ 5 16. ⎨ 24. ⎩⎪
⎪ 1 ⎪ 1 ⎪ 1
⎩⎪ n = 5 ⎪⎩ ⎩⎪ n = 2
2

EJERCICIO 85 EJERCICIO 88
1. 23
5. 9 9. − 7 1. ⎪⎧ 180 12. ⎧⎪ Primera parte=350
4 9 ⎨ 45 ⎨ Segunda parte=200
⎩⎪ ⎩⎪
6. 73
2. 62 30 10. a + b 2. ⎨⎪⎪⎩⎧ 140° 13. ⎩⎨⎧⎪⎪ 14
a 40° 70
7. 2ab − a2
3. 0 11. x−2 3. ⎪⎧ 80 14. ⎪⎧ 7
8. n2 − 3mn x+5 ⎩⎪⎨ 50 ⎪⎩⎨ 45

4. 39 ⎧1

EJERCICIO 86 4. ⎪⎪⎨ 8 15. ⎪⎩⎨⎧⎪ Alejandra tiene=$120
⎪ 1 Beatriz tiene=$50

1. ⎪⎧ x = − 3 7. ⎪⎧ a = 2 ⎩⎪ 6
⎩⎨⎪ y = − 6 ⎨⎩⎪ b = 0
5. ⎪⎧ $80 por adulto 16. Lancha:10 km/h
⎨⎩⎪$50 por niño Corriente:1 km/h
⎧ 9
⎪⎪⎨⎩⎧ m=−2 ⎪⎨⎪ m = 5 ⎨⎧⎪⎩⎪ 25 gallinas
n=−3 ⎪ 19 borregos
2. 8. ⎪⎩ 1 6. 5 monedas de $10 17.
3
n = −

3. ⎧⎪ a = − 2 9. Conjunto infinito de soluciones 7. ⎧⎪ Lados iguales =19 cm 18. ⎪⎧ Gallinas = $30
⎪⎨⎩ b = 5 ⎨ Base =10 cm ⎨ Borregos = $300
⎪⎩ ⎪⎩

4. ⎪⎧ x = −7 10. No hay solución 8. ⎧⎨⎪⎩⎪ Agenda = $750 19. ⎧⎨⎩⎪⎪ Álgebra L.=$120
⎨⎩⎪ y = −1 Traductor = $550 Geometría A.=$90

⎨⎪⎩⎪⎧ p=2 9. ⎪⎧ Hermano =15 años 20. ⎪⎧12.5 lt de la de 30%
5. q=3 11. No hay solución ⎨ Antonio = 5 años ⎨ 6%
⎪⎩ ⎩⎪ 37.5 lt de la de

⎧ x = − 2 10. ⎩⎧⎪⎪⎨ 73 21. ⎪⎩⎪⎨⎧ Veracruz=0.75 kg
⎪⎪ y = − 65 Chiapas=0.25 kg
6. ⎨ 3 12. Conjunto infinito de soluciones
⎪ 7 ⎧⎪ Carlos tenía $300
⎩⎪ 11. ⎩⎨⎪ Gabriel tenía $200
2

438

Solución a los ejercicios

EJERCICIO 89 9. 3 − 2
− +
⎧ x=7 ⎧ x=8 4 x x 3

1. ⎪ y = 3 7. ⎪ y = 6 10. 1 7 + x 5 2
⎨ ⎨ 2x + −
⎪ ⎪
⎩ z = 1 ⎩ z = 4 1 3
3x − 3x − 2 2
⎧ d =6 ⎧ a=5 ( )11. 2 −

2. ⎪ e = − 2 8. ⎪ b = − 2 2 1 3
⎨ ⎨ x + −3
⎪ ⎪
⎩ f =3 ⎩ c = − 3 12. − x 2 + x

⎧ 13. 2 − 1 + 1
⎪ x 3 ⎧ m =7 − x +1 +
⎪⎪ y = − ⎪ x 2 x 4
3. ⎨ = 3 9. ⎨ n = 3
1 2 3
⎪ z = 1 ⎪ r = 1 ( )14.x + 3 + x − 2 − x−2 2
⎪ 3 ⎩
⎩⎪

⎧ x = 2 15. 5 + 4 + x 1 3
⎪ 3 x 2x − 1 −
⎪ ⎧ x=− 4
⎪ 1 ⎪ 2 3 4
4. ⎨ y = 5 10. ⎨ y = 3 16. x + x −1 + x + 2
⎪
⎪ z = −1 ⎪ z = 2 1 1 5
⎩ 2x + 3x − x
17. − −
⎪ 3 2
⎩

⎧m=−3 ⎧ x=3 18. 3 + 1 − 2
⎪ ⎪ x +1 x + 3 x − 2
5. ⎨ n = − 2 11. ⎨ y = 4
2 6 3
⎪ r = − 1 ⎪ z = 5 19. x +1 − 2x +1 + x − 2
⎩ ⎩

⎧ a = 1 ⎧ a = 1 21 1
⎪ 4 ⎪ 3 x +1 2 − x +1 − x +1 3
⎪ ⎪ ( ) ( )20.
⎪ 1 ⎪ 1
6. ⎨ b = 3 12. ⎨ b = 2 1 1 32
⎪ ⎪ x x −1 3 − x −1 2 − x −1
⎪ 1 ⎪ c =1 ( ) ( )21.+
⎪ c 2
⎩ = ⎪

⎩ 11 11
x+3 2 + x+3− x−3 2 + x−3
EJERCICIO 90 ( ) ( )22.

⎧ Paleta =$2 ⎧ Paresde calcetas=$50 EJERCICIO 92
⎪ ⎪
1. ⎨ Helado = $4 3. ⎨ Pantalón =$550

⎪ Dulce = $1 ⎪ Playera = $120 1. 3 + x +1
⎩ ⎩ x x2 − 3

⎧ Camisa =$300 ⎧ Centenas=8 1 x−2
⎪⎪ +1 3x2 + 1
2. ⎪ Pantalón =$500 4. ⎨ Decenas = 6 2. x +
⎨ ⎪ Unidades = 2
⎪
⎩ Playera = $400 ⎩⎪ Número=862 1 x −1
− x2 +1
3. x 2 +

EJERCICIO 91 4. 2 − 1
x2 + x2 −
1. 2 + 3 5 7
x +1 −1
x 5. 1 + 2x + 3
−1 x2 + x +1
2. 7 + 5 x
3x − 2x −
7 3 6. x +1 − 7x
x2 + 5 x2 +
3. 1 − 1 3
5x − 5x +
4 4 7. 1 x+3 x +1
x x2 − 2 x2 + 3
4. 2 1 − +
+ −
x 2 − x 5

5. − 3 − 1 8. x 5 3 + x2 1 −1
− − − − 2x
x 7 x 4
x−3 5x −1
6. 8 − 6 9. 2x2 − 7 + x2 +5
2x − 1 2x + 1
x −2 8
7. 1 + 1 10. x2 + 5x − 3 − x
+3 +
x x 2

8. 3 5 − 2 11. x2 3x − 1 5 − 1 4
2x + 3x −1 + 4x + 2x −

439

ÁLGEBRA

( )12.1+ x +1 2 + 1 EJERCICIO 94 19. 16y20
x x2 − 3 x2 − 3 1. x9 y8 z6
10. 1
y
x 2x + 1 7
+x x2 + x −1 2 3
( )13.x2 −1 + ( )11. x + 3y 6 20. x2 + y2
2. x 4
x −3 15 12. y12 21. (x – 2y)2
x2 +1 x2 +1 2 − x2 +1 11 64 x 3
( ) ( )14. 3 +
3. x 4 y 2
2 11 13. a3b2 22. b3 − a3
x +1 x2 − 2 2 − x2 − 2 4. 1 c a3 + b3
( )15. + 4z4
y6 23. 1
5. 2x2 14. x7 y−x
y4
x +1 11
+ 3x + x2 + 3x + 4 2 + x 6. c
( )16.x2 4 − 15. y2 y
7. 6x2 y5 x10 z 5 +1
24. y
8. 16ab2 16. c 4
2 1 11 a2b4 25. y6 − x4
x2 x x2 +1 2 − x2 +1 9. y12 x4 y6
( )17. − + 4x10 z14 17. 9ab12
8
1 1 26. x + y
x4 x2 + 2 2
( )18. −

1 3x + 1 1 18. m3 n7 27. x2 − xy + y2
−2 x2 − 2 x2 +1 xy
( )19. + −
2
x2

5x + 17 14 − 34x 16 4 EJERCICIO 95
x2 − x +1 2 x2 − x + x +1 + x −1
20. + 9 1 +9

( ) ( ) ( )3 1. 27 – 54x + 36x2 – 8x3

2. 1 + 4x + 6x2 +4x3 + x4

3. x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3

CAPÍTULO 9 4. 1 + 3x + 3x 2 + x3
2 4 8

EJERCICIO 93 5. x6 – 6x5 + 15x4 – 20x3 + 15x2 – 6x + 1
1. 27x6
13. a8 25. a3 6. 16 – 32x + 24x2 – 8x3 + x4
b2
7. x10 + 5x8y2 + 10x6y4 + 10x4y6 + 5x2y8 + y10
26. 1
2. 16x2y2 14. 9 b12 8. x5 − 5x4 + 5x3 − 5x2 + 5x −1
m6 32 16 4 2 2
27. 1
3. 16 a16 15. 3a2 z3 9. 1 − 2x + x2 − x3 + x4
625 b 81 27 6 6 16
28. (x + 2y) 6
4. – 216x6y9 16. m5 10. x9 + 15x6y3 + 75x3y6 + 125y9
n3
11. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + …
17. 3 x2 x4 x6 x8 x10
5. – 32a30 17a4b 29. 108a9
1 3 3 5 15
12. 8x3 + 16x4 + 16x 5 + 32x 6 + 128x7 + …

6. 49 m−4 18. x4 30. y9 13. 1 4 10 20 35 …
16 y 12x 4 x4 x5 x6 x7 x8
+ + + + +

7. 32a5 19. − 1 m10 31. − 2 ( )1 1 1 5 10 11 + …
b5 243 x9 2− 5+ 8−
14. 3x 3 +
8. 16a4x4 20. 16x4 32. 1 3(3x)3 9(3x)3 81(3x)3 (243 3x) 3
9. –15y3
21. – 9 33. a2b2 1

10. xy7 22. 2 34. 72a13 15. 4 + 8x 3 + 8 32 80 8 + …
3 2− 5+
23. 5 x3
x3
11. x 9x 3 81x 3 243x 3

12. –mn 24. − 1 2 16. 1 3 21 77 1155 + …
36x 3+ 7 + 11 + 15 +
19

x 4 2x 4 8x 4 16x 4 128x 4

440

Solución a los ejercicios

EJERCICIO 96 5. – 253 125 000x3 EJERCICIO 99 9. 35 z2 4 y
1. 127 575x5 6. 1792 1. 3 2 4
2. 35 x4
x9 2. 7 54 10. 5 m2 − 3 n
8 7. 1 3. 3 m2
11. 7 a + 7 b
3. – 439 040x3y3 x5 ( )4. 3y 11
8. 729 12. 3 x − 4 y
4. 22 ( )5. 4 2xy2 3
5 ( )13. 5 2x + y 4
14 6. x3 y
512x 2
729(8x) 3 7. 7 5 y2

EJERCICIO 97 8. 3 5 a3 7 b8 14. m + n

1. 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1 ( )15. 3 a3 + b3 2
( )16. 7 m−1 − n−2 3
2. 2 187 – 10 206y + 20 412y2 – 22 680y3 + 15 120y4 – 6 048y5 + 1344y6 – 128y7

3. x8 + 8x7 + 28x6 + 56x5 + 70x4 + 56x3 + 28x2 + 8x + 1

4. x6 – 6x5 + 15x4 – 20x3 + 15x2 – 6x + 1

5. 3 125m5 – 6 250m4n + 5 000m3n2 – 2 000m2n3 + 400mn4 – 32n5

6. a8 + 16a7b + 112a6b2 + 448a5b3 + 1120a4b4 + 1792a3b5 + 1792a2b6 + 1024ab7 EJERCICIO 100

+ 256b8 1. 27 11. 3m2n3
2. 2 12. 2x4
7. x12 + 30x10y + 375x8y2 + 2 500x6y3 + 9 375x4y4 + 18 750x2y5 + 15 625y6 3. 3 13. 2x3y5
4. 14 14. 2m3n
8. x7 + 7x5 + 21x 3 + 35x + 35 + 21 + 7 + 1
128 64 32 16 8x 4x3 2x5 x7 5. 4 15. 5
y2n
9. x3 + 3x2y – 6x2 + 3xy2 – 12xy + 12x + y3 – 6y2 +12y – 8

10. x10 − 5x7 + 10x4 y − 10xy4 + 5y7 − y10
y5 y2 x2 x5

11. x12 – 12x11 + 66x10 – 220x9 + 495x8 – 792x7 + 924x6 – 792x5 + 495x4 – 220x3 6. 9 16. 5m2 – xn 4y – 3
+ 66x2 – 12x + 1 4

12. 32 40 20 5 5 1 7. 6 17. 2(1 + x)
x5 x4 x3 x2 8x 32 18. x − y
+ + + + + 8. – 8

9. – 4 19. 3x , − 3x
2 2

CAPÍTULO 10 10. 2xy2 20. x + 2y
xy
1
EJERCICIO 98 EJERCICIO 101 11. 6mn2 5 3m3n2 21. xy 4 x3 y
( )11. x4 y4 8 1. x x 2z3
5 12. 2x 2 yz3 3 xy2
1 2. 3xy3 3y 22. 2ab 3 2a2
1. m 2 13. −6m3n3 4 8mn2 15d 2 cd
( )12. x6 + y6 3 3. 8mnz 2 m
2 4. 3mn5 3 m2 14. a2 2a 23. 3 4 5
1 5. xyz 2 3 x 2 y 43
2. x 7 6. 5xy2 4 x 15. 5a 5 ab4
( )13. x7 − y7 2 7. 15a2b 2b 24. 2 4 5
4 8. 15 p2q3 q 16. 4 mn3 3 20mp2 3 x2
4 9. 6xy 4 3xz 3
3. y 3 25. 3m m − 2n
( )14. x2 + y2 3 10. 10bc 4 5a3b3 17. xy 3 y 26. 4x2 + 5y3 x
2 27. 3ab 3 a4 − 2ab
11 18. 2 4 x
4. a 5 x 28. m − n m − n
( )15. x + 2y 5
11 19. 3x x ( ) ( )29. 3 x2 − y2 5 x2 − y2 2
93 y
5. b 2 30. 1 ; − 1
16. a5 − b7 20. 2ab2 3 2a
1 m 3m2 ( ) ( )3 2 − m 2 3 2 − m 2
⎛ 1 1⎞ 5
6. (5x) 2 17. ⎜ x 2 + y 2 ⎟ 2

5 ⎝⎜ ⎠⎟

7. (2x) 6 73

3 18. m 4 n5

( )8. 3y2 4 13

9 ( )19. m2 n + p 2

9. (2xy) 2 2 13 7

2 20. a 3 m 3 n 4

( )10. x2 y 9

441

ÁLGEBRA

EJERCICIO 102 11. 1 EJERCICIO 104 16. 3a 2a
1. 45 3 4a 1. 3 2 5x x

2. 175 12. 3 4a2 2. 5 6 17. 2x 3
5b 2 3. 2 3 9 am2
3. 3 128 4. 27 10
4. 25 13. 4 27y7 5. xy2 18. 6 − 4 6
128x 2 6. xy 3 xy2
8 7. 2 x3 19. 5 − 3 25
5. 5 32 14. 3ax2
15 20. 8 x2 2−x
81 15. 3 4x 8. 18a2b 2b 3
6. x3 9. 2xy3 3xy
7. 3 8x5 16. 4a3b + 4a2b2 + ab3 10. a4 a 21. 19 − 8 3
17. 9 11. 2a2 4 a
8. 4 m13n5 12. −8ab2 3 6b 22. 95
a+b 13. 6a a
18. x + 1 14. 8x 4 x3 23. 2m − 3n 2m − 4n2
15. −6a3b3 2b 24. x − y
(x − 1)3 EJERCICIO 105 25. x + y x − y
1. 6 18
9. 4 x5 y9 19. 3 x2 + 2x + 4 2. x x 26. x2 − y
x2 − 4x + 4 27. 1 − x
10. 50a5b6c3 3. 16 x15
20. 2a3 x 4. xy 6 108x3 y2 ( )28. 3 3 x − y
5. 3x 2 y 4 x3
EJERCICIO 103 EJERCICIO 106 29. x + y x − y
1. n m 30. 1

1. 5 5 20. 8a b 2. xy2 6 xy
2. −6 3 3 21. 11x 3 3x
3. 3a3b2c
3. 0 22. −14x2 4 2 6. a 4 4ab3 11. y 6 y
4. 8 7 − 5 4. 4 y x 7. x 6 72x
23. 3ay x 12. 1 3 2xy
5. 3x 2 y 3 3y2 8. 6 2x5 y5 y
5. −3 3 − 7 2 24. 11 ab 2b 13 ab 3b 9. a 12 a
6 + 4 6. 6ab 10. x 6 x5 3 9
2
6. 5 1 25. 17 a2b c 7. 2a3 13. 8mn2
4 2 12 5b 4
10 + 13 14. 3 x 2 10 16xy4
2
7. − 5 6 26. − 23 a2b 4 2ab
8 24
15. 12 x 4 y3 z 2
8. −4 3 m 27. 10x y − 7x2 2y

9. 3 x 28. −xy2 xy − x2 y 3x

10. 5 4 xy 29. x 2y + 4 y 3x 8. 9m2 x 2 15. 2 p4
3 3m3n2

11. 4 7 30. −2ab 2c + 16ac 3b 9. 3n6 16. 2n2
4m2 p2
12. 27 2 31. −2x 3 y2 − 3y 3 4x

13. −17 3 32. 10ab 4 5a2b3 − 6a2b3 4 3ab2 10. 2 17. 3 18 y13
3zw 2 2x
1 1
14. 8 5 + 7 2 33. 3 a 5a − 3 b 3ab 11. 5z 2 5
3 2
19 x 3 5 18. y2z
20 12
15. −2 3 34. y + xy 3 xy2

12. 2u3v2 19. − 5n 3 n2
5 4m2
16. 2 − 10 5 35. − 1 a3b 2a + 2 ab 3 5a
9 b 3 3
13. 4a2 20. y4 x 4
17. 47 5 − 50 11 36. 6 a − 2 3b 2 2

18. −2 2 + 4 5 37. −x x + 2 14. 3x3
5 2y4

19. 9 7a2 38. 10xy x − 3y

442

Solución a los ejercicios

EJERCICIO 107 6. 2 6 9 11. 6 4x CAPÍTULO 11
1. 1 8a y4
EJERCICIO 110 9. 5 5i 13. 3 + 6i
66 7. a 9 a 12. n2 +n x 1. 4i 5. 25i
2. 3 4 2. 6i 6. 2 2i 10. 9 2i 14. 2 − 4 7i
8. a 6 108ab4 13. n2 +n x + 1
y 9. 1 14. 6 x − 1 3. 7i 7. 5 2i 11. 2 3i 15. 2 + 1 5i
3. 6 2y2 7 3 2
6 xy ( )15. 12 a − b 5
3 10. 1 4. 11i 8. 3 6i 12. 5 3i 16. 4 − 2 2i
4. 8 3 b 2 5
x4 x
a2 EJERCICIO 111 8. 1 3i + 5 2i
5. 15 32a 1. 9i 2 2

b 2. 3 + i
3. – 9i
EJERCICIO 108 4. 11i 9. 11 – i
5. 6 6i
1. 3 8. 1 3 3a2b2 ( )15. 1 6. 0 10. 7
3 b 10
4− 6 7. −4 2i + 3 3i 11. 0

25 9. 1 12. 0
5 4x2
2. 6xy 16. 3a + 2b 13. 5 4 i

3. 3 300 10. 2 4 25a3b2 ( )( )17. 1 + x 1 − x 14. 23 x xi
6 5ab 12
18. 2xy ⎛⎝⎜ 3 x2 − 3 xy + 3 y2 ⎟⎞⎠
4. 3 3 x ( )11. 1 x+y EJERCICIO 112
11 1. – 1
1+ 2 3 19. − ⎝⎜⎛1 + 3 x + 3 x2 ⎟⎠⎞ 2. – i 6. i 11. 3i – 2
3. –3i 7. – i 12. 0
5. 2x 3xy 3+( )12. 2 2 20. 3 9a2 − 3 3ab + 3 b2 4. – 1 8. 3i – 2 13. – 1
7 9. 4i 14. Si n es par: 0
6. 1 4 8x3 y3 5. i
xy 13. 5x + 5x 10. 1 Si n es impar: – i
1 − 5x 15. 0
7. 3 5 16a4
2 14. 3 − 2 EJERCICIO 113
1. – 9
EJERCICIO 109 6. − 18 11. 2 16. 0
1. 3 2. −12 3i 5 5 17. 1

3 11. 7 7. – 60 12. 2 − 4 4
2. 10 7−2 7 18. −in
3. −4 3i 8. −6 − 3 6 13. 9 i
2 12. 1 10 19. 2i
3. 2 5+ 2
4. – 2 9. 4i 14. 6 20. – i
48 13. 1 10. 3 5
4. x 5+2 6
5. − 3 − 5 i 15. 0
6 x5 2 4
(( )14. − 1
5. 1
2y 3 x2 y2 x+3 x + 3) EJERCICIO 114

6. 1 15. x − y 1. (2,3) 5. (5, − 2) 9. 3
34 x3 x + 3 xy + 2y
2. – 1 + 5i 6. 1 − 6 i 10. ⎛ 5, − 2⎞
7. 3 2 7 ⎝⎜ 11⎠⎟
2 6x ( )16. 1
2 5x + 6y 3. (0, 7) 7. – 2i 11. 5 − 8i
8. 1 2
23 4x
17. x − 5 4. ⎛ 2, − 5⎞ 8. ⎛ − 1 , 0⎠⎟⎞ 12. (1, − 1)
9. 2 x+ 5 ⎝⎜ 3 4 ⎠⎟ ⎜⎝ 3
x 5 2x2
18. 1 EJERCICIO 115 4. (5, –6) 7. ⎛ 4 ,− 1⎞
10. x 3 x2 + 33 x + 9 1. (10, 1) ⎜⎝ 5 2 ⎟⎠
2y 3x
19. 1 2. (1, 0) 5. ⎛ 31 , − 1⎞ ( )8. 2,− 5
3 a2 + 2 3 ab + 4 3 b2 3. (– 2, –5) ⎜⎝ 20 3⎠⎟

20. − 1 6. (0,1) ( )9. 3, 2

( )y + 2 ⎜⎛⎝ 3 y2 + 3 2y + 3 4 ⎞⎟⎠

443

ÁLGEBRA

10. 7 – i 15. 11 − 7 i 20. 16 – 4i EJERCICIO 118
2
11. 6 21. 2 + 3i z
12. 0 16. 4 – 10i 22. 4 + 5i Imaginarios
17. 1
13. – 1 + 11i
14. 3i 18. − 1 + 19 i z1
2 6 z4

19. 4 – 3i

EJERCICIO 116 13 w1 w3 z6
1. –17 + 6i 6 v
7. i 13. – 8 – 6i Reales
2. 5 + i w2
3. 6 + 4i 8. −2 + 2 i 14. 39 1 i z3 z5
4. 1 – 3i 2 400 5 w
5. – 3 + 4i −

6. −1 + 2 6i z2

9. 6 + 18i 15. 32 – 126i

10. – 2 + 10i 16. 4

11. − 14 + 4i 17. – 5 + 13i EJERCICIO 119
3 1. 13

12. i 18. – 3 + 4i 2. 41 16. – 5i 31. 3 + 2i
32. 2 – 4i
( )( )19. a + bi a − bi = a2 − b2i 2 = a2 + b2 17. − 1 i
2

= Re(z )2 + Im (z )2 3. 41 18. (2, –1) 33. 1 + 8i
4. 3 19. (0, 3) 34. 2 – 9i

( )( ) ( ) ( )20. n 5. 5 3 2 35. 4
1+i n ⋅ 1−i n= 1− i2 1+1 n 20. − 7 + 5 i
=

( ) ( )= ⎡⎣Re z1 + Re z2 ⎤⎦n 6. 85 21. – 2 – 6i 36. 11
37. – 4 + 6i
2n ⎡ 2 ⎤n n si n es par, 7. 3 22. (– 1, 1)
( ) ( ) ( )21. w2n = ⎢⎣ 1 ⎦⎥ 2
1+i = + i = 2i

entonces n = 2k con k ∈Z, sustituyendo: 8. 5 23. −2 − 11 i 38. 7 – 6i
4

2k = k 9. 2 24. ⎛ 1 ,− 1⎞ 39. 1 + 2
( )( ) ( ) ( ) ( )2i ⎝⎜ 2 3⎠⎟ 3
n= 2i 4i 2 = −4 k = −1 ⋅ 4 k − i

= ( )−1 k ⋅ (4)k 10. 79 25 a 30. 40. 5 i
3 No se incluye 6
n la solución
11. 2 13 41. 17 − 7i
= (−1) 2(2)2k 3 13

= ( −1) n (2, 0)n 12. 11 42. 2 + i
2 13. 5 – 4i 5

2n ⎡ 2 ⎤n n= 0, 2 n 43. 1
( ) ( ) ( ) ( )22. w2n = = ⎣⎢ 1 ⎦⎥
1+i + i = 2i 44. 5
12
14. – 5

EJERCICIO 117 15. 1 – i 45. i
4
1. i − 2 8. −1 + 8i
5 5

2. 5 − 12i 9. −2 + 3i CAPÍTULO 12
13 2

3. – 3 – i 10. −13 − 9i
5
EJERCICIO 120
4. −1 −2 6i 11. −2 + 11i 1. x1 = − 4, x2 = −1 6. z1 =15, z2 = − 2
5 25 2. x1 = − 9, x2 = 3
3. x1 = − 6, x2 = − 5 7. x1 = 6, x2 = 4
5. −4 − 2i 12. −129 − 107i 4. y1 = 3 + i, y2 = 3 − i
2 10 8. x1 = − 20, x2 =12
5. w1 = − 5, w2 = 8
6. 1 + i 13. 4 2 − 4i 9. x1 = −1 + 2i, x2 = − 1 − 2i
3
10. x1 = 1, x2 = − 2
7. 3 + i 3
2 14. – i

444

Solución a los ejercicios

11. x1 = − 1 , x2 = − 2 16. w1 = − 3 a, w2 = 5a ⎧ x1 = − 1 ⎧ x1 = − 5 b ⎪⎧ x1 = 2 7
2 7 ⎪⎪ x2 7 ⎪⎪ x2 = 2 ⎨ x2 = 5 7
10. ⎨ 16. ⎨ 2 22. ⎪⎩
3 1 ⎪ 5 ⎪ 3 b
12. w1 = 2 , w2 = − 5 17. x1 = − 5b, x2 = 2b ⎩⎪ = 2 ⎩⎪

13. x1 = 3, x2 = − 2 18. x1 = − 5 , x2 = 6 ⎧ x1 =− 2 ⎧ x1 = ab ⎧ y1 = − 1
3 b b ⎪⎪ x2 5 ⎪ 2 ⎪⎪ y2 = 2
11. ⎨ 17. ⎨ 23. ⎨
1 1 1 1 2b b ⎪ 1 ⎪ 1
14. x1 = 2 − 3 i, x2 = 2 + 3 i 19. y1 = − a , y2 = − a ⎪⎩ = 4 ⎪⎩ x2 = 2ab ⎩⎪ − 15

15. x1 = − b, x2 = − 1 b 20. y1 = 10 a, y2 = a ⎧ z1 = 7 ⎧ x1 = − 1 ⎧ x1 = 2
4 7 2 ⎪ 5 ⎪⎪ x2 = a ⎪⎪ x2 = 3
12. ⎨ 18. ⎨ 3 24. ⎨
⎪ a ⎪ − 1
EJERCICIO 121 ⎩⎪ z2 = 2 ⎩⎪ ⎩⎪ 4
1. x1 = 3, x2 = 5
11. x1 = − 1 − 2i , x2 = − 1 + 2i ⎧ w1 =− 1 ⎧ x1 = − 3b ⎧ w1 = − 1
2 2 ⎪⎪ w2 2 ⎪⎪ x2 = a ⎪⎪ w2 = 3
13. ⎨ 19. ⎨ 25. ⎨ 2
1 3 1 3 ⎪ 6 ⎪ 2b ⎪ 5
2. x1 = 3, x2 = – 2 12. x1 = 3 + 2 i , x2 = 3 − 2 i ⎪⎩ = 5 ⎪⎩ ⎩⎪
3. x1 = – 4, x2 = – 2 a
4. x1 = 5, x2 = – 3
13. w1 = 0, w2 = 5 ⎧ x1 = − 3
⎪⎪ x2 2
14. z1 = 0, z2 = − 5 14. ⎨ 20. ⎪⎧ z1 = 2 3
2 ⎪ 2 ⎨ z2 = − 3
⎩⎪ = 7 ⎩⎪
5 5 a
5. x1 = 2 , x2 = 2 15. y1 = 0, y2 = 3 x1 =−5
x2 3
5 1 b 15. ⎧ 21. ⎧⎪⎨ x1 = − 3 3
2 3 a ⎪⎨ =2 ⎩⎪ x2 = 5 3
6. x1 = − , x2 = 16. x1 = 0, x2 = ⎪⎩

7. y1 = − 3 , y2 = 1 17. x1 = – 5, x2 = 5 EJERCICIO 124
5

8. x1 = 3 – 7 , x2 = 3 + 7 18. x1 = − 1 , x2 = 1 ⎪⎨⎧ x1 =0 ⎧ x1 =0
2 2 ⎩⎪ x2 =− ⎪⎨ x2
1. 6 6. ⎩⎪ = 5
7
9. x1 = – 1 – 6 , x2 = – 1 + 6 19. x1 = − b i , x2 = b i
a a ⎧ x1 =0
⎧⎪ x1 =0 ⎪ x2 1
10. x1 = 2 – i, x2 = 2 + i 20. w1 = − 4 , w2 = 4 2. ⎨ x2 =2 7. ⎨
a a ⎩⎪ ⎩⎪ =2
EJERCICIO 122
3. ⎧⎨⎪ x1 =0 8. ⎧⎨⎪ x1 =0 4
1. Reales y diferentes ⎩⎪ x2 =5 ⎪⎩ x2 =−
2. Complejas
3. Complejas 4. ⎧ x1 =0 2 9. ⎧⎪ x1 =0 8
4. Reales e iguales ⎪ x2 =− 3 ⎨ x2 =−
5. Reales y diferentes ⎨ ⎩⎪
6. Complejas ⎩⎪
7. Reales y diferentes
8. Complejas 5. ⎪⎧ x1 = 0 10. ⎪⎧ x1 =0
9. Reales y diferentes ⎨ x2 = 1 ⎨ x2 =2
10. Reales e iguales ⎩⎪ ⎪⎩
11. Complejas
12. Reales e iguales EJERCICIO 125 ⎧ a ⎧ 2
⎪⎪ 4 ⎪⎪ 3
⎧⎪ x1 =− 2 ⎨ x1 =− ⎨ x1 = −
⎨ x2 =2 ⎪ x2 ⎪ x2 =
1. ⎪⎩ 6. ⎩⎪ a 11. ⎩⎪ 2
4 3
=

EJERCICIO 123 ⎧ z1 = − 6
⎪⎪ z2 = 5
2. ⎧⎪ x1 = −1 7. ⎨ 6 12. ⎪⎧ x1 =− 1
⎨ x2 =1 ⎪ 5 ⎨ x2 =1
1. ⎧⎪ x1 = −1 4. ⎪⎧ x1 =−9 7. ⎧ x1 =1 ⎪⎩ ⎩⎪ ⎩⎪
⎨ x2 =6 ⎨ x2 = 10 ⎪ x2 =− 2
⎩⎪ ⎪⎩ ⎨ 3
⎩⎪ ⎪⎧ w1 = −10 ⎧⎪ y1 6 ⎪⎧ y1 = − 4i
⎨ w2 = 10 ⎨ y2 =− ⎨ y2 = 4i
⎧⎪ x1 =−8 ⎪⎧ w1 =1 ⎧ y1 =−4 3. ⎩⎪ 8. ⎪⎩ =6 13. ⎩⎪
⎨ x2 =−3 ⎨ w2 =4 ⎪ y2
2. ⎪⎩ 5. ⎩⎪ 8. ⎨ = 1
⎪⎩ 2
4. ⎧⎪ x1 =− 8 9. ⎧⎪ w1 = − 7 14. ⎪⎧ w1 = − 5i
⎨ x2 =8 ⎨ w2 = ⎨ w2 = 5i
⎧⎪ y1 4 ⎧ y1 5 ⎧ x1 2 ⎪⎩ ⎪⎩ 7 ⎩⎪
⎨ y2 =− ⎪ = 3 ⎪ = − 3
3. ⎩⎪ =5 6. ⎨ 9. ⎨
⎧⎪ y1 =− 3 ⎪⎧ x1 = − 3 ⎪⎧ x1 =− i
⎪⎩ y2 = 2 ⎪⎩ x2 = 3 5. ⎨ y2 = 10. ⎨ x2 = 15. ⎨ x2 =i
⎪⎩ 3 ⎩⎪ 3 ⎩⎪

445

ÁLGEBRA

EJERCICIO 126 12. ⎧⎨⎪⎪⎩AAllefrjeadnodr=o4=a8ñoañs os ⎪⎨⎧ x1 + x2 =1 ⎧ x1 + x2 = − 3
1. 27 y 15 13. 7 ⎪⎩ x1 ⋅ x2 = −12 ⎪
14. ⎩⎪⎪⎨⎧áfirlbaos =le1s3=15 7. 9. ⎨ 14
15. r = 4 cm ⎩⎪ x1 ⋅ x2 = 9

2. 30 y 12 16. ⎧⎨⎩⎪⎪alanrcghoo==1176ccmm ⎧ x1 + x2 = − 1 ⎪⎧x1 + x2 = − 7a
17. 39 años ⎪⎪ 2 ⋅ x2 =12a2
3. 3, 5 y 7 8. ⎨ 10. ⎨
18. 5 segundos 1 ⎩⎪ x1
⎪ x1 ⋅ x2 = − 2
⎪⎩
4. 12, 14 y 16

5. 1 y 5 EJERCICIO 130
5 1. x2 − 9 = 0
2. x2 + 7x = 0 6. x2 + 4x + 29 = 0
6. 5 y 20 3. x2 +16 = 0 7. 2x2 − 5x + 2 = 0
4. x2 − 5x + 4 = 0 8. 20x2 +19x + 3 = 0
7. ⎧⎨⎪⎩⎪lbaarsgeo==122050mm 19. 7.5 segundos 5. x2 + 8x +15 = 0 9. x2 + 2bx − 3b2 = 0
10. x2 − 7ax +10a2 = 0
⎧⎪largo = 250 m
⎪⎨⎩base =100 m 20. ⎪⎧⎪⎩⎨spergimunedraa llave=8 h h EJERCICIO 131
llave = 24 1. x = 49
8. ⎨⎧⎪⎪⎩ablatusera==3100mm 1
9. 3, 4 y 5 21. $20 7. x = 3 13. x = 256
10. 96 m3
22. 8, 6 y 10 unidades 2. x = − 8 8. x = 7 14. x =1

11. ⎧⎪altura =18 m 3. x = 13 9. x = −1 15. x = 3
⎨⎩⎪base = 54 m 2
10. x =1 16. x = − 2, − 7
4. x = 5 11. x = 4 17. x = −1,1
12. x =1 18. x = 9
EJERCICIO 127 5. x = 5

( )1. V 2, − 2 x1 =1, x2 = 3 6. x = 2

2. V ⎛ 1 , 25 ⎞ x1 = − 2, x2 = 3 EJERCICIO 132
⎜⎝ 2 2 ⎠⎟
1. (0, 0), (4, 4)
3. V ⎛ 1 , − 81 ⎞ x1 = − 4, x2 = 5 2. (0, 3), (3, 0)
⎜⎝ 2 4 ⎟⎠ 3. (3, – 3), ( – 3, 3)
4. (2, 4), ( – 2, – 4)
( )4. V − 2, − 7 x1 = − 7 − 2, x2 = 7 − 2 5. ( – 3, – 5), (5, 3)
( )5. V −1, 4 x1 = − 1 + 2i, x2 = − 1 − 2i 6. (3, 2), ( – 3, – 1)
( )6. V 1,0 x1 =1, x2 =1 7. (4, 3), (4, – 3), ( – 4, 3), ( – 4, – 3)
( )7. V 2,9 x1 = 2 + 3i, x2 = 2 − 3i
( )8. V 5,0 x1 = 5, x2 = 5 8. ⎛ 1 , 0⎞⎠⎟ , ⎛ − 1 , 0⎠⎟⎞
( )9. V 0, − 9 x1 = 3i, x2 = − 3i ⎝⎜ 3 ⎜⎝ 3

( ) ( ) ( ) ( )9. 2, 4 2 , 2, − 4 2 , −2, 4 2 , −2, − 4 2

10. V ⎛ 3 , − 9 ⎞ x1 = 0, x2 = 3 ( ) ( )10. (7, – 7), ( – 7, 7), 2 7, 7 , −2 7, − 7
⎝⎜ 2 2 ⎠⎟
11. (4, 2), ( – 4, – 2), (5, 1), ( – 5, – 1)
EJERCICIO 128
( ) ( )( ) ( )12. 5,1 , −5, − 1 , − 3, 2 3 , 3, − 2 3
1. 50 y 50 6. 19 cm y 19 cm
2. – 10 y 10 7. 500 ejemplares 13. (1, 1),( – 1, – 1), ( – 2, 0), (2, 0)
3. 20 y 20 8. 20 pelotas 14. (3, 2), ( – 3, – 2), (4i, i ), ( – 4i, – i )
4. 55 y 55 9. 35 cajas
30 ⎞ ⎛
( ) ( )⎛ 30 2 ,⎜− 30 , 2 30 ⎞ , , −2,
5 ⎝ 5 5 ⎟
15. ⎜ ⎠
⎝
, 5 ⎟ − 2, − 3 3
⎠
⎪⎩⎨⎧⎪5463..55 cm
5. 72 pies 10. cm 16. (3, 6), ( – 3, – 6)
EJERCICIO 129
⎛ 2 ⎞⎛ 2 ⎞
2,1 , −2, −1 ,⎜ − 2 2⎟ ,⎜ 2 2⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠
( ) ( )17. , , −

⎧ x1 + x2 = 0 ⎪⎨⎧ x1 + x2 =1 ⎨⎧⎪ x1 + x2 = 5 18. ( – 2, 1), (2, – 1)
⎪ ⎪⎩ x1 ⋅ x2 = 0 ⎩⎪ x1 ⋅ x2 = 6
1. ⎨ 9 3. 5. ⎛ 5 17 17 ⎞ ⎛ 5 17 17 ⎞
⎪⎩ x1 x2 4 ( )( )19. 1. 0 , ⎜ 17 , ,⎜− 17 ,
⋅ = − −1, 0 ⎝ 17 ⎟ ⎝ − 17 ⎟
⎠ ⎠
⎪⎨⎧ x1 + x2 = 0 ⎧ x1 x2 8 ⎪⎧⎨ x1 + x2 = − 4
2. ⎪⎩ x1 ⋅ x2 = − 25 4. ⎪⎨ + = − 3 6. ⎩⎪ x1 ⋅ x2 = 3 20. ( – 1, – 4), (2, – 7), (1, 4), ( – 2, 7)

⎪⎩x1 ⋅ x2 = 0

446

Solución a los ejercicios

CAPÍTULO 13 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎤
⎜⎝ 3 ⎠⎟ ⎜⎝ 2 ⎥
)14.
13. − ,1 − ∞, − ∪ ⎣⎡ 3, ∞

EJERCICIO 133 ⎦

1. ( 3, ∞ ) 21. ⎛ 18 ,∞ ⎞ EJERCICIO 135
⎝⎜ 5 ⎠⎟
⎛ 3 ⎞
2. ( − ∞,3 ) (22. − ∞,13 ⎦⎤ 1. ⎜⎝ 4 , ∞ ⎠⎟ 8. ( −1,3 )∪( 11, ∞ )
3. ( − ∞, − 4 )
23. ( − 2,3 ) ⎛ 5 ⎞ ( )9.⎡ 1 ⎞
2. ⎝⎜ − ∞, 2 ⎟⎠ ⎢ − 9, − 3 ⎟⎠ ∪ 4, ∞
3,7 ⎣
(4. − ∞, −1 ⎦⎤ 24. ⎛ − 22 ⎞
⎜⎝ ⎟⎠ ⎛ 5 ⎞
3. ⎝⎜ 2, 2 ⎟⎠ ( ) (10. − ∞, − 2 ∪ 2, 4 ⎦⎤
5. ( − ∞, − 7 ) 25. ⎡⎣ − 3, −1 ⎦⎤
4. (− ∞, 2 )∪( 2, ∞ ) 11. ( − 4, − 2 ) ∪( 1, ∞ )
6. ⎡ − 8 ,∞ ⎞ )26. ⎡⎣ − 9, − 1
⎢ 7 ⎠⎟ ⎡ 3,4 ⎞
⎣ 5. ( − ∞,3 ) ( )12. ⎢ 2 ⎟⎠
− ∞, − 2 ∪
⎛ 3 ⎞ ⎣
7. ⎝⎜ 2 , ∞ ⎟⎠ 27. ( − 3,3 )
)6. ⎣⎡ − 3, 2 ( ) (13. − ∞, − 6 ∪ 1, 4⎦⎤
8. ( − ∞, 2 ) )28. ⎣⎡ − 23, −10 7. ( − ∞, −1 ⎦⎤ ∪( 3, ∞ )
29. ( − 2, 4 )
(9. − ∞,10 ⎤⎦ )30. ⎣⎡− 4,1 EJERCICIO 136 4. ( − ∞, − 4 )
(10. − ∞,5 ⎤⎦ 1. ⎡⎣ − 2, −1 ⎦⎤ ∪ ⎣⎡ 2, 4 ⎤⎦ 5. ( − 3,0 )∪( 3, ∞ )
( )31. −1000,100 6. ( − ∞, − 2 )∪( 4, ∞ )
11. ⎛ 5 , ∞ ⎞ 2. ⎣⎡2, ∞) ∪ {− 2}
⎜⎝ 3 ⎠⎟ 3. ( − ∞, − 2 )∪( −1,1 )

12. ⎛ − ∞, 8 ⎤ 32. ⎡ 2 , 3 ⎤
⎜⎝ 53 ⎥ ⎢ 5 5 ⎥
⎦ ⎣ ⎦ EJERCICIO 137

13. ⎛ 4 , ∞ ⎞ )33. ⎣⎡ −16,8 ( )1. − ∞, − 7 ⎤⎦ ∪ ⎣⎡ 7, ∞ 10. ⎡ 1 , 5 ⎤
⎜⎝ 5 ⎟⎠ ⎢ 2 6 ⎥
⎣ ⎦

14. ⎛ − ∞, − 1 ⎞ 34. ⎛ − 21 ,11 ⎞ 2. ( − 7,7 ) 11. ⎛ 1 , ∞ ⎞
⎜⎝ 23 ⎠⎟ ⎝⎜ 22 ⎠⎟ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

15. ( 2, ∞ ) 35. ⎛ − 1 , 129 ⎤ 3. ( − ∞,1 )∪( 9, ∞ ) ( )12. − ∞, − 2 ⎦⎤ ∪ ⎡⎣ 0, ∞
⎝⎜ 2 ⎥
⎦ 4. ⎡ 9 ,3 ⎤ 13. φ
⎢ − 5 ⎥
⎡ 10 32 ⎤ ⎣ ⎦
16. ( 6, ∞ ) 36. ⎢ −3 , 3 ⎥ ⎛ 1⎞
⎣ ⎦ 5. ( − ∞,3 )∪( 5, ∞ ) ⎜⎝ 2 ⎠⎟
14. − ∞,

)17. ⎡⎣ − 21, ∞ ( )37. −14, − 2 ⎛ 4 ⎞
)18. ⎣⎡ 6, ∞ ⎜⎝ 3 ⎠⎟
38. ⎡⎣− 2, 4 ⎦⎤ 6. φ ( )15. − ,0 ∪ 0, 4

(19. − ∞, − 6 ⎦⎤ 39. ⎡9 , 19 ⎤ 7. ⎡⎣ − 9,10 ⎤⎦ 16. ⎛ ∞, 1 ⎤
⎢ 2 ⎥ ⎝⎜ 2 ⎥
⎣ 2 ⎦ 8. ( − ∞, − 4 )∪( 20, ∞ ) − ⎦

20. ⎡ − 19 , ∞ ⎞ 40. ⎛ 14 , 8 ⎞ 9. ⎣⎡ 2,18 ⎦⎤ 17. ( − ∞,0 )∪( 4, ∞ )
⎢ 28 ⎠⎟ ⎜⎝ 9 3 ⎠⎟
⎣ EJERCICIO 138

EJERCICIO 134 7. ( − ∞,0 )∪( 4, ∞ ) 1. 2.
8. ( − ∞, − 4 )∪( 5, ∞ ) Y Y
1. ( − 3,3 )
9. ⎛ − 1 ,3 ⎞
2. ⎡⎣ − 4, 4 ⎦⎤ ⎜⎝ 2 ⎠⎟

( )3. − ∞, − 5 ⎤⎦ ∪ ⎣⎡ 5, ∞

4. ( − ∞, − 6 )∪( 6, ∞ ) 10. ⎡ − 1 , 3 ⎤ y=6
⎢ 3 2 ⎥
⎣ ⎦ y=–5 X
⎡ 1 ⎤ X
5. ⎢ 0, 3 ⎥ 11. ( − ∞, − 4 )∪( −1, ∞ )
⎣ ⎦
3
6. ( − ∞,0 )∪( 5, ∞ ) (12. − ∞, −1 ⎤⎦ ∪ ⎡ 4 ,∞ ⎞
⎢ ⎠⎟
⎣

447

ÁLGEBRA 8. Y EJERCICIO 139
X x=4
3. 1. 6.
Y X
Y x=3 Y y = 3x – 10
y=4

y=2

X X
2x – 3y = 9

4. 9. 2. 7.
Y Y Y Y

y=3 X 2x + y = 1
2x – y = 3
X x=4 x–y=2
X
y=–3 X

5. 10.

x=4 Y 3. 8.
Y Y Y

3x – 2y = 0 y=1 2x2
X
XX

x – 3y = 0 X
x + 2y = 0

6. 11. Y 4. 9.
Y X 0x3
x+y=1 Y
x=–3 X Y x=y

1c yc4 X
x+y=1
X

7. 12. 5. 10.
Y Y Y Y

x=–3 xy x+y=3 y=1–x
1
X X y=x–4
23 x–y=1 X
X

448

Solución a los ejercicios

CAPÍTULO 14 11. 1 log 4 3+ log 4 x + 2 log4 y
2

EJERCICIO 140 ( )12. 2 log 5 log z
1. 8 = 2 3 x+y + 2
2. 16 = x 4 13. log17 a = 2
1 1
14. log5 625 = 4 13. 3 log x − 2 log y

3. 81 = 3 4 15. log64 4 = 1 14. 3 log a + 1 log b − 2 log c − 1 log d
3 2 2 3 3

4. 1 = 6−2 16. log N 1 = 2 ( ) ( )15.1
36 16 2 log 2 x+y − 4 log2 x−y

( )4 17. log 2 ⎛ 4⎞ = 2 ( ) ( )16. 1
⎝⎜ 9 ⎟⎠ 2 log x − 3 log x−3 − 2 log x+z
5. 9 = 3 3

6. 343 = 7 x ( )18. log2 x + 3 = 4 ( ) ( ) ( ) ( )17. 1 log 1 log 1
2 2 4
1 x+3 + y−5 − 2 log x+6 − log y−2

7. 6 = (a)2 19. log2 256 = x 2 x 2 7
3 3 5 30
8. x – 1 = 32 ( ) ( )18.
20. log(x−2) 8 = 3 − + ln x +1 + ln x −1
9. 625 = w 4
21. log x z = w 19. ln 25x2 28. log 4 4
10. 128 = (x – 1)7 20. log m3 m2 − 1
22. log3 1 = −4
11. 243 = (3x)5 81 n2 11
12. 256 = (2x – 1)8 21. log7 6 x3 y2
23. log5 125 = −3x 22. ln 8e4x 29. log x 8 y 3

24. log(3x+2) 441 = 2 1

z4

EJERCICIO 141 30. ln 5ey
1. x = 5 x7

8. m = 8 15. x = 3 x+y 3
( )e2−x

31. ln
(x − y)3
2. x = 4 9. y = 1 16. a = − 2
32 5
2 x +1 2

x−2 3
3. y = 3 10. N = 8 17. x = –6 23. log n4 5 m2 ( ) ( )32. log
4
(x + 2)5
4. b = 1 11. w = 3 18. y = 1
5 12. x = 4 − 4 2x14
y3
9 24. log2 3 ⋅ 4x 33. log2
13. b = 2
5. x = 4 19. x = –3

6. a = 343 ( ) ( )25. logb 12 1 11
x +1 8 x+2 3
( ) ( )x + 1 3 x − 1 2

34. log

1

10x 6

7. x = 81 14. x = 2 26. log 3y ( )10x2 +x+1 x + 1 3
x
EJERCICIO 142 35. log
x2

x ⎛ 9m2 p ⎞ 2
yz ⎜ 7xy3 ⎟
1. 4 loga 7 27. log 2 36. ln ⎝ ⎠

2. − 3 log6 3 EJERCICIO 143
2

3. 7 + 1 loge x 1. x = 1 9. x = 17, x =7
3 3
2. x = –20 10. x = 9
4. log 5 + log x + 2 log y 2

5. 3 log3 x + 2 log3 y + log3 z 3. x = 9, x = − 27 11. x = 8, x = 22
6. 8 + 2 ln 3 + 4 ln x 5 9

7. 3 log (x + y) + log (x − z ) 4. x = 17 12. x = –1
13. x = 0, x = –35
5. x = 6, x = –6 14. x = 6

8. log 1 7 − 2 log 1 x 6. x = 13

22 7. x = 40 15. x = 3

9. ln x + 2 ln y − 3 − 4 ln z 8. x = 25 16. x = 12, x = 7
11
10. log5 3 + 3 log5 x + 6 log5 (1–2x) – log5 2 –
y log5 x – log5(x2 – y2)

449

ÁLGEBRA

17. x = 5 21. x = e + 1 25. x = ee + 3 CAPÍTULO 15
18. x = 6 e −1 2 − ee
19. x = 7 EJERCICIO 146
22. x = 4e 26. x = 1
e 1. 1, 1 , 1 , 1 , 1
23. x = 4 2 34 5

2. 9.9, 9.99, 9.999, 9.9999, 9.99999

20. x = 4 24. x = 2 e − 1 3. 2, 5 , 10 , 17 , 26
EJERCICIO 144 e −1 4 9 16 25

1. x = 4 19. x = − 1 4. 1 , 2 , 2 , 8 , 2
2 4537

2. x = 3 log 2 20. x = 6 , x = − 6 5. 1, 3 , 5 , 7 , 3
log 3 2 6 24 40

3. x = 0 6. – 1, 4, – 9, 16, – 25
7. 0, 0, 2, 6, 12

21. x = 3, x = –1 8. − 1 , − 2 ,− 3 , − 4 , − 5
2 3 4 5 6
4. x = 1 22. x = 2
2 9. 1, 2, 3, 4, 5

5. x = 1.20557 23. x = − 3 10. 1, 4 , 3 , 8 , 5
2 −3 2 −5 3

6. x = 2 24. x = –1, x = –2 11. 2, 5, 11, 23, 47

7. x = 3 25. x = – 1 12. 1 , 1, 1 , 1, 1
222

8. x = 2 26. x = 2 13. 2 , − 1 , 4 , − 7 , − 10
3 3 −3 3 3

9. x = –1 27. x = log 2 14. 27, – 9, 3, – 1, 1
3
2 log 2 − log 3

10. x = 3 28. x = 0, x = 2 15. – 1, – 1, – 2, – 6, – 24

2 log 2 + 3 log 5 2 log 7 + log 5 16. – 2, 4, 16, 256, 65 536
2 log 5 2 log 7 − log 5
11. x = 29. x = 11
17. 4, 2, 1, 3 , 24 3
12. x = –1.72683 30. x = 0 18. 3, 1, – 1, 1, – 1

13. x = − 7 31. y = ln 11 – ln 13 EJERCICIO 147
3
1. 48
14. x = 7 32. x = 2, x = 1 2. 165 8. 21
3 33. x = ln 3 2 9. n2

15. x = –4 617 n (n + 1)
140
16. x = 2 3. 10. 2
5
34. x = 0 4. 126 11. c = 3
17. x = 5
3 ( )35. x = ln 1 − e 5. 7 − 1 12. c = 1
6. 18
18. x = 5 13. c = 3
2
36. x = ln 5 7. − 11 14. c = 2, − 20
2 13

EJERCICIO 145 EJERCICIO 148

1. pH = 4.7212 9. 1 38.62 años 1. Sí es 7. a8 = 23 13. a12 = – 5 19. n = 9
2. pH = 3.2218 10. 18 321 habitantes 2. No es 14. a18 = 454
3. 1 × 10 –9 11. 3.5 horas 8. a11 = 7 20. r = – 1
4. 4.3010 12. 29.15 años 3. Sí es 2 4
5. 0.9 segundos 13. T = 64.762°C
6. 3 500 micrómetros 14. T = 94.84°C 9. a15 = 103 15. a13 = – 27 21. a11 = – 28
7. 59.46% 15. t = 133.9 min 12
8. 6.4321 años
4. No es 10. a10 = 55 16. a17 = 11 22. a1 = – 15
4

5. Sí es 11. a16 = 27 17. a1 = 7 23. n = 10
6. Sí es 4 24. a1 = 7

12. a7 = 48 18. r = – 2

450

Solución a los ejercicios

25. a1 = − 17 27. r = 1 29. a7 = 8n – 5 19. a1 = 2 23. n = 5 27. a4 = 1
6 4 m4

26. n = 10 28. a5 = − 15 30. a4 = 20n − 7 23 x −9
4 6
20. a2 = 4 24. n = 8 28. a11= 26

EJERCICIO 149 21. r = 1 25. n = 9
1. S8 = 176 3
2. S9 = 9 6. S12 = 450 11. S = n2
3. S8 = 31 7. S11 = 0 12. n = 12 22. r = 3 26. a1 = 1
8. S = 40 600 13. n = 10 4 4
4. S9 = 648
( )n n +1 14. a1 = – 9 EJERCICIO 154
5. S13 = – 78 2
9. S = 15. a1 = 2, an = 100 1. 9, 3 , 1 ,– 1
EJERCICIO 150 24
1. 365 lugares 10. S = n(n + 1) 5. 30 388 bacterias
2. 518 ladrillos 9, 3, 1, – 1
3. $1 375 6. at = 25 000(1.05) 3t
4. 9 rollos 2. 4 096 células 7. $339 814.7
5. 18 filas 3. 3, 5, 7 8. 67 392 bebés
4. 6 células 9. 4 cm2

EJERCICIO 155 ( )11.

1. S6 = 364 Sn = a1 r 2n − 1
27 r2 −1
EJERCICIO 151 −

1. 27 1 , 34, 40 1 , 47, 53 1 2. S7 = 2 059 12. Sn = 2n − 1
222 486 2n

2. 6 1 , 8, 9 1 , 11, 12 1 , 14, 15 1 3. S9 = – 855 13. n = 8
22 2 2 989 527
14. r = 1
3. 1, 1 1 , 1 2 , 2, 2 1 , 2 2 4. S10 = 2187 2
33 3 3
5. S15 = 32 767 15. a1 = 27
4. 1 1 , 2 1 , 3 1 , 4 1 , 5 1 , 6 1 , 7 1 8
2222222 1
6. S18 = 524 286 16. an = 64
5. – 2.5, – 2, – 1.5, – 1, – 0.5, 0
6. 5 , 4 , 11 7. S12 = 1 092 + 364 3 17. a1 = – 2

63 6 8. S10 = 31 – 31 2 18. r = 3
7. Promedio = 8.24 2

EJERCICIO 152 9. S12 = n21 − n 19. n = 7
n −1
1. 8 años
2. 9.8 de calificación 10. S9 = 511 ⋅ 2x−2
3. Promedio = 9
EJERCICIO 156
4. Promedio = a1 + an
2 1. 5 461 triángulos
2. 127 personas
5. 7 hileras y constan de 80, 76, 72, 68, 64, 60, 56 tejas 3. 65 761.7 ton.
6. 8 hileras de 58, 62, 66, 70, 74, 78, 82 y 86 tejas 4. 34 316.76 partos
5. 1.01 % por año, 110.4 millones
EJERCICIO 153
1. Sí es 7. a6 = – 81 13. a12 = 32
2. Sí es 243
3. No es EJERCICIO 157
8. a9 = 128 14. a9 = m24
4. No es 2187 3
1. S = – 4 6. r = 5
5. No es 9. a5 = – 80 15. a10 = n14

6. Sí es 10. a7 = 5 16. a7 = n3 2. S = 9 7. r = 1
128 n +1 4 3

11. a10 = − 1 17. a13= 227x−16 3. S = 9 8. S = 4 cm2
2187 3
4. S = 27
1 4 9. S = 2 048 cm2
16
12. a8 = 18. a9 = a1r 16 5. S = 23
8

451

ÁLGEBRA

EJERCICIO 158 10. 1, 2 , 2, 2 2 4. A + B = ⎡3 −9 3⎤ , A− B = ⎡1 3 − 5⎤ , A − A = ⎡0 0 0⎤
1. 1, 2, 4, 8, 16 11. 3 6 ⎢⎣1 −4 8 ⎦⎥ ⎢⎣7 −8 − 6⎥⎦ ⎣⎢0 0 0⎦⎥
2. 4, 4 , 4 12. − 4 2
13. 5 5 4A − 3B = ⎡5 6 − 16⎤ , 2A − 0B = ⎡4 −6 − 2⎤
39 14. 12 ⎣⎢25 − 30 ⎥ ⎣⎢8 − 12 2⎦⎥
3. – 6, –12, – 24, – 48 15. 3 36 −17 ⎦
16. 8 3 2
4. 6, 24, 96, 384, 1 536 ⎢⎡− 3 16 1⎤ ⎡ 7 14 1 ⎤
17. 3 3 ⎢ 5 3 ⎥ ⎢ ⎥
18. 2 8 ⎥ ⎢ 5 3 8 ⎥

5. 6, 6 3 , 18 8 5. A + B = ⎢ 1 −2 10 ⎥ , A − B = ⎢ − 1 8 − 6 ⎥
⎢ 3 ⎥ ⎢ 3 ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
6. 2 , 8 , 32 , 128 ⎢ 23 3 ⎥ ⎢ 19 3 3⎥
3 9 27 81 ⎢ 1 − 2 ⎥ ⎢ − 5 ⎥
⎣ 3 ⎦ ⎣ 3 2 ⎦
7. – 64, – 32, – 16, – 8, – 4, – 2

8. (x − 1)3 , (x − 1)4 , (x − 1)5 ⎡ 23 19 1⎤
3 9 27 ⎢ ⎥
⎡0 0 0⎤ ⎢ 5 27 2 ⎥
A − A = ⎢⎢0 0 0⎥⎥ ⎢ −1 8
0 0⎦⎥ , 4A − 3B = ⎢ −5 − 16 ⎥
⎢⎣0 ⎢ 26 ⎥
9. a, 2, 4 ⎣⎢ 9 ⎥
a
2 ⎦⎥

EJERCICIO 159 ⎡4 10 1⎤
1. $25 937.4 ⎢ ⎥
2. $64 390.28 11. $17 483 ⎢ 5 4 ⎥

⎧⎪ 2.5% trimestral 2A − 0B = ⎢ 0 6 4 ⎥
⎨⎩⎪ 10% anual ⎢ ⎥
12. ⎣⎢⎢14 2 ⎥
5 0 ⎦⎥

3. $49 783.2 13. 14.86% {6. a = 7,b = 2, c = 2,d = 5,v = − 3,w = 4
4. $43 346.6
5. $13 324.4 14. 7%
6. $18 824.8
7. $1 292.2 15. 11.1 años {7. n = − 3,w = −10, x = 3, y = 6
8. $8 723.2
9. $8 682.5 16. 9 955 habitantes {8. v = 4,w = − 2, x = 3, y = 7, z = 2
10. $188 542
17. 3 años

18. $655 446.5 EJERCICIO 163

19. 3%

20. $12 244.5

1. AB = ⎣⎡ − 2 ⎦⎤ , BA = ⎡ 5 7⎤
⎢ −5 ⎥
EJERCICIO 160 ⎣ − 7 ⎦

1. $55 700.19 5. $156 738.56 2. AB = ⎡⎣ 5 − 5 ⎦⎤
2. $3 652.26 6. 20%
3. 25% 7. 10 años de vida útil ⎡ 5 −4 ⎤
4. 8% ⎢ ⎥
3. BA = ⎢ −5 0 ⎥

⎣⎢ − 6 1 ⎦⎥

CAPÍTULO 16 4. AB = ⎡ −7 −7 − 4⎤
⎢⎣− 5 −5 ⎥
− 8 ⎦

EJERCICIO 161 5. AB = ⎡ − 8 − 8 ⎤ , BA = ⎡ −4 − 2⎤
⎢ − 2 − 4 ⎥ ⎢ −8 − 8⎦⎥
1. a = 2, b = – 1 3. q = 2, r = 1, t = 1, ⎣ ⎦ ⎣
2. x = – 2, y = 4, z = 0 4. x = 7, y = 1, z = – 2
6. AB = ⎡ 12 −7 ⎤ , BA = ⎡ 1 3⎤
⎢ −5 2 ⎥ ⎢ 8 13⎥⎦
⎣ ⎦ ⎣

EJERCICIO 162 ⎡4 ( )2 0⎤
⎢⎢1 −3⎥⎥ , A
1. A + B = ⎡− 6 2⎤ , A − B = ⎡0 0⎤ , A − A = ⎡0 0⎤ 7. AB = ⎡ −1 25 ⎤ , BA = ⎢⎣7 −1 3 ⎦⎥ BC = ⎡74 98⎤
⎢ 4⎥⎦ ⎣⎢0 0⎦⎥ ⎢⎣0 0⎦⎥ ⎢ −1 7 ⎥ 5 ⎣⎢20 26⎦⎥
⎣ 0 ⎣ ⎦

4A − 3B = ⎡− 3 1⎤ , 2A − 0B = ⎡− 6 2⎤ ⎡ 11 3⎤ ⎡ 1 5 ⎤ ⎡17 −3 ⎤
⎢ 0 2⎦⎥ ⎢ 0 ⎥
⎣ ⎣ 4 ⎦ ⎢ 4 ( )2⎥ , ⎢ ( )0⎥ ⎢ ⎥
8. AB = ⎢ ⎥ A B − 2C = ⎢ 4 ⎥ , A BC = ⎢ 8 − 2 ⎥

2. A + B = ⎣⎡− 4 7 4⎦⎤ , A − B = ⎣⎡8 − 7 − 2⎦⎤ , A − A = ⎣⎡0 0 0⎦⎤ ⎢⎣ 2 0 ⎦⎥ ⎣⎢ − 2 2 ⎥⎦ ⎣⎢ 2 0 ⎥⎦

4A − 3B = ⎣⎡26 − 21 − 5⎦⎤ , 2A − 0B = ⎣⎡4 0 2⎦⎤ EJERCICIO 164

⎡− 2 − 2⎤ ⎡ 6 − 12 ⎤ ⎡0 0⎤ 1. detA = 22
⎢ − 6⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢0 0⎥⎥ 2. detB = 8
3. A + B = ⎢ 3 , A−B= ⎢ −1 6 ⎥ , A − A = 0⎦⎥ 3. detC = – 50
4. detD = 43
⎢⎣ 3 4⎥⎦ ⎣⎢ 1 −10 ⎥⎦ ⎢⎣0 5. detE = 122

⎡20 −43 ⎤ ⎡4 −14⎤
4A − 3B = ⎢⎢−2 ⎥ ⎢ ⎥
18 ⎥ , 2A − 0B = ⎢ 2 0 ⎥
⎣⎢ 5
−33⎦⎥ ⎢⎣4 −6 ⎦⎥

452

Solución a los ejercicios

EJERCICIO 165 CAPÍTULO 17

⎡1 2⎤ EJERCICIO 167
⎢ ⎥
1. A−1 = ⎢ 7 7 ⎥ = 1 ⎡ 2 4⎤
⎢ 1 3 ⎥ 14 ⎢ 2 ⎥
⎢⎣ 7 − ⎦⎥ ⎣ −3 ⎦ 1. (x – 1) y (x – 5)
14 2. (x + 1) y (2x + 3)
3. (x + 2)(3x – 2) y (x – 2)
⎡ −1 0⎤ 1 ⎡ −2 0⎤ 4. (x + 1) y (x + 3i )
−1 ⎢ ⎥ 2 ⎢ 5 5. (x + 2i ) y (x – 2i )
2. B = ⎢ 5 1 ⎥ = ⎣ ⎥ 6. (x),(x + 1 – i ) y (x + 2 + 3i )
1 ⎦ 7. Residuo –72
⎣⎢ 2 2 ⎦⎥

3. C −1 = ⎡ 2 1⎤ 9
⎢ 3 ⎥ 2
⎣ 2 ⎦ 8. Residuo −

⎡6 2⎤ 273
⎢ ⎥ 9. Residuo 2
4. D −1 = ⎢ 7 7 ⎥ = 1 ⎡ 6 2⎤
12 3 ⎥ 7 ⎢ − 12 ⎥
⎢ −7 ⎥⎦ ⎣ 3 ⎦ 10. Residuo 12
⎣⎢ 7 11. Residuo 264
12. Residuo –240
⎡5 1 − 1 ⎤ 13. k = 2
⎢ − ⎥ 14. k = 3, k = –6
⎢ 6 6 2 ⎥ ⎡ 5 1 −3 ⎤
1 1 ⎥ ⎢ −1 1
5. E −1 = ⎢ 1 ⎥ = 1 ⎢ 3 3 ⎥ 46
⎢ −6 6 2 ⎥ 6 ⎣⎢ 3 ⎥ 3
⎢ 1 1 ⎥ − 3 ⎦⎥ 15. k = 6, k =
1 ⎥⎦
⎢ 2 2
⎣⎢ 2
16. k = 4, k = − 167
73
⎡⎢− 1 3 1 ⎤
⎢ 8 − ⎥ ⎡− 3 18 −3 ⎤ 17. k = 4, k = − 1
4 − 8 ⎥ − 12 3
6. F −1 = ⎢ 1 1 1 ⎥ = 1 ⎢ 6 − 14 6 ⎥
⎢ 4 −2 ⎥ 24 ⎢ ⎥ 18. Todos son raíces
⎢ 7 4 ⎥ ⎣⎢ 5 − 3 ⎦⎥ 19. Todos son raíces
⎢5 − 12 1 ⎥ 20. Ninguno es raíz
⎢ ⎥
⎣ 24 8 ⎦ 11
2
⎢⎡− 5 2 3⎤ 21. x = –1, x =
⎢ 17
17 17 ⎥ ⎡ − 10 4 6⎤ 22. x = 2 + i, x = 3
11 ⎥ − 11 5
7. G −1 = ⎢ 1 − 34 4 ⎥ = 1 ⎢ 2 − 8 ⎥ −
⎢ 17 3 − 17 ⎥ 34 ⎢ 6 ⎥
⎢ ⎥ ⎢⎣ 2 −8 ⎥⎦
⎢1 17 4 ⎥ 23. x = 1 , x = 5
⎢ − 17 ⎥ −2 3
⎣ 17 ⎦
24. x = 2 i, x = –2 i
⎡1 1 3
⎢ − 10 − ⎤ 25. x = 4, x = 3
⎢ 5 10 ⎥ 5
3 9 ⎥ ⎡ 2 −1 −3 ⎤
⎢ 1 ⎥ 1 ⎢ 2 6 ⎥ 26. f (x) = x3 + 4x2 – 5x
8. H −1 = ⎢ − 5 5 5 ⎥ = 10 ⎢ − 2 6 18 ⎥
⎢ 3 4 ⎥ ⎢⎣ −
1 ⎥ 8 ⎦⎥ 27. f (x) = x3 + 4x2 – 9x – 36
⎢ 5 5 28. f (x) = 3x3 – x2 + 48x – 16
⎢ − ⎥ 29. f (x) = 8x3 + 2x2 – 43x – 30
⎣ 5 ⎦ 30. f (x) = x4 – 5x3 – 13x2 + 133x – 260

⎡ 43 49 − 19 1⎤ 31. f (x) = 6x4 – 5x3 + 7x2 – 5x + 1
⎢ 6 ⎥
⎢ 6 6 6 ⎥ ⎡ 43 49 − 19 1⎤ 32. f (x) = 3x3 + 5x2 + 4x – 2
−1 1 − 1 ⎥⎥ 33. f (x) = x3 – x2 – x + 1
⎢ 1 1 1 − 1⎥ ⎢ − 79 −− 12 ⎦⎥⎥⎥
⎢ −6 −6 − ⎥ ⎢ − 38 31
9. J −1 = ⎢ 6 6 ⎥ = 1 −1 14 34. f (x) = x4 – x3 – x2 – x – 2
⎢ 31 6
⎢ − 67 − 79 1⎥ ⎢ − 67 35. f (x) = x4 – 6x2 + 8x – 3
⎢ 6 6 ⎥ ⎢ − 32
6 6 ⎥ ⎢⎣ 36. f (x) = x4 – 4x3 + 16x – 16
37. f (x) = x5 + 2x4 – x – 2
⎢ − 16 19 7 − 1 ⎥
⎣⎢ 3 −3 3 3 ⎥⎦ 38. x = –1, x = 1, x = 5

39. x = 5, x = 4, x = 3

EJERCICIO 166 40. x = 1 1 , x = − 2 ,x=4
5 3
⎧ x=5
⎩⎪⎧⎪⎨ x = 5 ⎧⎪⎩⎪⎨ a = 11 ⎪ 5
1. y = − 2 3. b = −10 5. ⎨ y =2 41. x = − 2 , x = – 2 + i, x = –2 – i

⎪ z = −1 42. x = 2, x = –3, x = 7, x = 0
⎩

⎩⎧⎪⎪⎨ m=− 4 ⎧a=4 ⎧ x =1 43. x = – 4 i, x = 4 i, x = –2, x = 3
n=2
2. 4. ⎪ b = − 3 6. ⎪ y = −1 44. x = − 2 ,x= 5 , x = –1 + i, x = –1 – i
⎨ ⎨ 3 2
⎪ ⎪
⎩ c = 2 ⎩ z = − 2

45. x = – i, x = i, x = – 4, x = –3, x = 1
2

453



Anexo: Ejercicios preliminares

ÁLGEBRA

Operaciones con números enteros: 17. −12
1. 6 − 4 3

2. − 8 + 6 18. 15
−5

3. 3 + 7 19. −28
−14

4. − 5 − 7 20. − (− 3) + (5) − 2(− 1) + (− 4) + 7

5. − 2 − 5 + 6 + 4 21. (− 2) + (+ 5)

6. − 3 − 6 − 8 +5 + 4 + 7 22. − 4 − (6 + 8 − 2)

7. 8 + 6 + 3 − 5 − 9 − 2 23. 7 − (5 + 3) − (−1 − 9 + 4) + (− 8)

8. 4 + 5 − 1 + 2 − 7 − 3 24. 5 − (− 4 − 3) − (7 + 2 − 1)

9. − 2 + 6 − 8 − 12 + 10 − 3 − 7 25. 6 − 2(1 − 3 − 4) + (5 − 2 + 7)

10. 1 − 5 + 9 − 3 + 16 − 8 + 13 26. 13 + 15
7

11. 3 (− 2) 27. −3 − 12 − 5
10

12. (− 5)(− 4) 28. 30 + 6
9+3

13. − 6(5) 29. 14 − 2
2+4

14. (4)(3)(5) 30. 8 + 5 + 7
6 − 3− 7

15. 2(− 4)(− 3) 31. 2(5 − 7) + 20
5+3

16. 3−( − 4 ) 32. (4 − 3) + 3(2 + 4 − 1)
5(4) − 6(3)

Descomposición en factores primos los siguientes números:

33. 6 40. 460

34. 8 41. 125

35. 20 42. 576

36. 50 43. 980

37. 72 44. 1000

38. 120 45. 1120

39. 225 46. 1800
Determina el MCD de los siguientes números:

47. 8 y 6 53. 24, 36 y 42

48. 9 y 18 54. 20, 35 y 70

49. 12 y 24 55. 32, 28 y 72

50. 36 y 18 56. 18, 24, 72 y 144

51. 6, 18 y 48 57. 12, 28, 44 y 120

52. 5, 10 y 15 58. 24, 72, 84 y 180

456

Anexo: Ejercicios preliminares

Determina el mcm de los siguientes números: 65. 7, 14 y 21
59. 6 y 3 66. 3, 10, 12
60. 9 y 6 67. 8, 9, 12 y 18
61. 12 y 18 68. 2, 3, 6 y 12
62. 20 y 25 69. 8, 12, 16 y 24
63. 2, 6 y 4 70. 4, 6, 15 y 18
64. 8, 9 y 12
Efectúa las siguientes operaciones con fracciones: 89. 1 + 1 + 1
71. 3 + 7 6 15 30

22 90. 5 + 4 + 1
72. 4 + 8 2 3 24

55 91. 8 + 4 − 2
73. 2 + 3 + 1 5 15 9

777 92. 1 1 + 3 − 1
74. 9 + 3 + 7 248

444 93. 1 3 + 2 2 + 3 1
75. 5 + 6 + 15 + 8 462

11 11 11 11 94. 4 1 − 13
76. 2 1 + 5 2 + 5 46

3 33 95. 1 − 1 − 3 5
77. 17 − 9 4 12 6

55 96. 5 1 − 2 5 + 4
78. 13 − 7 37

66 97. 6 − 1 − 1 − 7
79. 2 1 − 7 5 4 15 20

44 98. 2 − 11 − 5
80. 1 3 − 3 1 + 2 7 3 12

888 99. 1 × 9
81. 3 2 − 12 − 18 47

77 7 100. 7 × 5
82. 1 3 + 3 1 − 1 7 − 3 68

4 4 44 101. 4 × 3
83. 1 + 3 38

62 102. 1 × 2
84. 7 + 1 63

48 103. 2 3 × 9
85. 7 + 5 58

12 3 104. 3 × 3 1
86. 1+ 2 54

3 105. 1 1 × 2 3
87. 2 + 2 + 1 38

36 106. 1 × 13 × 10
88. 1 + 1 + 1 3 6 78

263

457

ÁLGEBRA

107. 4 × 1 × 2 112. 4 ÷ 1
368 15 6

108. 4 × 1 × 5 × 15 113. 2 1 ÷ 9
3 20 16 48

109. 1 ÷ 2 114. 1 ÷ 2 1
5 15 64

110. 5 ÷ 1 115. 4 ÷ 5
42 3

111. 5 ÷ 4 = 116. 4 ÷ 12
63 5

Efectúa las siguientes operaciones: 125. 25
117. 62 126. 81
127. 64
118. 43 128. 3 8
129. 3 27
119. (−2)4
120. (−3)3 130. 4 16

121. −52 131. 5 32

⎛ 3 ⎞ 4 132. 5 243
⎜⎝ 2 ⎟⎠
122. − 3
138.
⎛ 3 ⎞ 4
⎝⎜ 2 ⎟⎠ 23
123. − 139. 1

124. 4 32
Racionaliza las siguientes expresiones: 140. 6

1 43
133. 2

3 141.
134. 1 55

7 142. 14
135. 2 27

2
4
136.
6
137. 6
5

458

SOLUCIONES A EJERCICIOS PRELIMINARES

Operaciones con números enteros: 83. 5 100. 35
3 48
1. 2 12. 20 23. – 3
2. – 2 13. – 30 24. 4 84. 15 101. 1
3. 10 14. 60 25. 28 8 2
4. – 12 15. 24 26. 4
5. 3 16. 7 27. – 2 85. 9 102. 1
6. – 1 17. – 4 28. 3 4 9
7. 1 18. – 3 29. 2
8. 0 19. 2 30. – 5 86. 5 103. 117
9. – 16 20. 13 31. 2 3 40
10. 23 21. 3 32. 8
11. – 6 22. – 16 87. 17 104. 39
6 20

88. 1 105. 19
6
Descomposición en factores primos los siguientes 89. 4
números: 15 106. 5
54
33. 2 × 3 90. 31
34. 2 × 2 × 2 8 107. 1
35. 2 × 2 × 5 18
36. 2 × 5 × 5 91. 74
37. 2 × 2 × 2 × 3 × 3 45 108. 5
38. 2 × 2 × 2 × 3 × 5 16
39. 3 × 3 × 5 × 5 92. 17
40. 2 × 2 × 5 × 23 8 109. 3
41. 5 × 5 × 5 2
42. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 93. 91
43. 2 × 2 × 5 × 7 × 7 12 110. 5
44. 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 5 2
45. 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 7 94. 25
46. 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 × 5 12 111. 5
8
95. − 11
3 112. 8
5
96. 139
21 113. 2

Determina el MCD de los siguientes números: 97. 8 114. 2
15 27

47. 2 53. 6 98. 1 115. 4
48. 9 54. 5 4 15
49. 12 55. 4
50. 18 56. 6 99. 9 116. 5
51. 6 57. 4 28 3
52. 5 58. 12
Efectúa las siguientes operaciones:

Determina el mcm de los siguientes números: 117. 36 124. 2
125. 5
59. 6 65. 42 118. 64 126. 9
60. 18 66. 60 127. 8
61. 36 67. 72 119. 16 128. 2
62. 100 68. 12 129. 3
63. 12 69. 48 120. – 27 130. 2
64. 72 70. 180 131. 2
121. – 25 132. 3

122. 81
16

Efectúa las siguientes operaciones con fracciones: 123. − 81
16

71. 5 77. 8 Racionaliza las siguientes expresiones:
5

72. 12 78. 1 133. 3 138. 3
5 3 2

73. 6 79. 1 134. 7 139. 2
7 2 7 6

74. 19 80. 9 135. 2 140. 3
4 8 2
136. 2 6
75. 34 81. −1 3 141. 25
11 25

76. 29 82. 3 137. 65 142. 7
3 2 5

459