คณิตศาสตร์ระดับชาวบ้าน ตอน ตรรกศาสตร์

คณติ ศาสตรร์ ะดับชาวบา้ น

จรงิ เท็จ

กะ

ทนงชยั ไชยโกฏ



คาํ นาํ

หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (E-book) เล่มนีเปนส่วนหนึงของรายวิชา
คณิตศาสตร์ ชันมัธยมศึกษาปที4 จัดทาํ ขึนเพือให้ผู้ทีสนใจศึกษาได้อ่าน
และทาํ ความเข้าใจแนวคิดและหลักการของคณิตศาสตร์เรืองตรรกศาสตร์ให้
มากยิงขึนและจะได้นําความรู้นีไปต่อยอดในการศึกษาคณิตศาสตร์ขันสูงต่อไป

หนังสืออิเล็กทรอนิกส์ (E-book) เล่มนีผู้จัดทําจัดทาํ ขึนจากประสบการณ์
ทีผู้จัดทาํ พบเจอมากับตัวเองโดยตรงรวมทังได้ใส่ความคิดเห็นและแนวคิด
ส่วนตัวลงไปด้วยทังนีผู้อ่านไม่จําเปนต้องจดจาํ และนาํ ไปใช้ทังหมดเพราะ
แนวคิดของแต่ละคนมันไม่เหมือนกันผู้จัดทาํ เพียงแค่อยากแสดงให้เห็นว่า
คณิตศาสตร์ไม่จําเปนต้องทาํ ในรูปแบบเดียวกันทังหมดมันขึนกับอยู่แต่ละ
บุคคล

ทนงชัย ไชยโกฏ
ผู้จัดทํา



สารบัญ 1
2
จากใจผู้เขียน 3
โครงสร้างของคณติตศาสตร์ 4
4
สรุปโครงสร้างของคณิตศาสตร์ 6
ตรรกศาสตร์คืออะไร 6
ประพจน์คืออะไร 6
7
ประพจน์เชิงเดียว 7
ประพจน์เชิงประกอบ 7
ตารางค่าความจริง 8
ตัวเชือมประพจน์ 8
ประพจน์นิเสธ 9
ประพจน์ร่วม(และ) 9
ประพจน์เลือก(หรือ) 10
ประพจน์เงือนไข(ถ้า...แล้ว...) 11
ประพจน์เงือนไขไปกลับ(ก็ต่อเมือ) 12
สรุปตัวเชือมประพจน์ 12
สัจนิรันดร์ 14
การตรวจสอบสัจนิรันดร์ 15
ตัวอย่างการตรวจสอบสัจนิรันดร์ด้วยวิธีหาข้อขัดแย้ง 16
กรณีทีเปนประพจน์ร่วม(และ) 17
กรณีทีเปนประพจน์เลือก(หรือ) 18
กรณีทีเปนประพจน์เงือนไข(ถ้า...แล้ว...) 19
กรณีทีเปนประพจน์เงือนไขไปกลับ(ก็ต่อเมือ)
สรุปการตรวจสอบสัจนิรันดร์ด้วยวิธีหาข้อขัดแย้ง
อ้างอิง
ประวัติผู้จัดทาํ

จากใจผู้เขียน

พวกคุณเคยสงสัยกันไหมครับ
ว่าทําไมคณิตศาสตร์มันต้องเปนภาษาต่างดาวด้วย
ทังทีปกติการจะเข้าใจ concept มันก็ยากอยู่แล้ว

ภาษาของมันยังจะเข้าใจยากอีก
นันแหละครับผมก็สงสัยเหมือนกัน
คณิตศาสตร์ เมือได้ยินชือนีหลายคนอาจจะหันหน้าหนี
ไม่เอา ชีวิตนีฉันไม่ขอยุ่งเกียวกับมันอีก
เพราะมันเข้าใจยาก ปวดหัวอะไรก็ไม่รู้
นีอาจจะเปนหนึงในเหตุผลหลักๆทีทาํ ให้หลายคนไม่ชอบมัน
แต่ผมเองเปนคนหนึงทีชืนชอบในศาสตร์นี
และอยากทีจะทําให้ศาสตร์นีมันเข้าใจง่าย
ผมเลยเขียนหนังสือเล่มนีขึนเพือจุดประสงค์

1
เพือให้ผู้อ่านได้รู้ว่าจริงๆแล้วคณิตศาสตร์
มันสามารถสือสารด้วยภาษาพูดปกติทัวไปได้

2
เพือให้ผู้อ่านได้มีพืนฐานในการศึกษาคณิตศาสตร์ขันสูงต่อไป

3
ให้คนทีไม่ชอบคณิตศาสตร์ได้เห็นมุมมองใหม่ๆเกียวกับคณิตศาสตร์

4
เพือเปนอีกหนึงทางเลือกในการศึกษาคณิตศาสตร์

5
จริงๆแล้วจุดประสงค์มันก็มีข้อเดียวนันแหละครับ
ผมแค่อยากเขียนให้มันเยอะๆจะได้ดูมีความรู้555

คือด้วยทีจุดประสงค์หลักคือการอยากให้เข้าใจ concept ของมันอะนะครับ
เนือหาในเล่มก็จะเปนการเขียนเชิงอธิบายซะมากกว่า

แล้วก็ด้วยทีเรืองพวกนีมันเปนนามธรรมอะนะครับการจะหารูปมาประกอบมันก็ยาก
ผมก็ได้แต่หวังว่าอ่านแล้วจะได้แนวคิดหรือวิธีเข้าใจคณิตศาสตร์มากขึนนะครับ

ทนงชัย ไชยโกฏ

มาเริมกันเลย

โครงสร้างของคณิตศาสตร์

อันดับแรกเรามารู้จักกับโครงสร้างของคณิตศาสตร์กันก่อนนะครับ
องค์ประกอบทีสาํ คัญของโครงสร้างของคณิตศาสตร์ มี 4 ส่วนก็คือ
1. อนิยาม (Undefined Terms) คือ คาํ ทีไม่สามารถให้คําจาํ กัดความ
ไม่สามารถอธิบายได้ว่าเปนอย่างไร แต่สามารถเข้าใจความหมายของคาํ นัน
โดยอาศัยการรับรู้จากประสบการณ์ความคุ้นเคยกับคุณสมบัติของมันหรือทราบได้จาก
สามัญสํานึกถ้าให้ความหมายคาํ เหล่านีก็จะเกิดการวนเวียนไม่รู้จบ
เช่น จุด เส้น เซต สมาชิก พ่อ ฯลฯ

2. นิยาม (Defined Terms) คือ คําทีสามารถอธิบายหรือให้คําจาํ กัดความได้
โดยอาศัย อนิยามเปนพืนฐาน หรือ นิยามอืน ๆเพือให้เข้าใจตรงกัน ตัวอย่างนิยาม
เช่น รูปสีเหลียมผืนผ้าคือรูปสีเหลียมทีมีมุมทุกมุมเปนมุมฉากและมีด้านตรงข้ามเท่ากัน
สามเหลียมด้านเท่าคือสามเหลียมทีมีด้านเท่ากันทุกด้าน ปู คือพ่อของพ่อ

3. ข้อตกลงเบืองต้น (Assumption , Axiom , Postulate) คือ ข้อความที
ยอมรับว่าเปนจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ ทังนีเพราะเหตุ 3 ประการ คือ

3.1 ความเชือว่าสิงนันเปนจริงโดยอาศัยประสบการณ์และความคุ้นเคย
เช่นความเชือทีว่า ทาํ ดีได้ดี ทาํ ชัวได้ชัว หรือความเชือทีว่า โลกแบน
ในสมัยก่อนฯลฯความเชือดังกล่าวนี เรียกว่า สมมุติฐาน (Assumption)

3.2 สิงนันเปนจริงในตัวของมัน หรือเปนสิงทีทุกคนยอมรับว่าเปนจริง เช่น
ของสองสิงทีต่างเท่ากับสิงเดียวกัน ย่อมเท่ากันหรือ ดวงอาทิตย์ขึนทางทิศตะวันออก
และตกทางทิศตะวันตก ฯลฯ สิงทีเปนจริงในตัวเองนัน เรียกว่า สิงทีเห็นจริงแล้ว
หรือสัจพจน์ (Axiom)

3.3 เปนหลักทีต้องยอมรับร่วมกันเพือความสะดวกในการดาํ รงชีวิต หรือ
เพือการศึกษาคันคว้าร่วมกัน หรือเพือขจัดความขัดแยังต่าง ๆ เช่น กติกาในการแข่งขัน
กีฬาประเภทต่าง ๆ กฎหมายในการปกครองประเทศ ขนบธรรมเนียมประเพณีของ
กลุ่มชนต่าง ๆ ฯลฯ หลักการดังกล่าวนี เรียกว่า กติกา (Postulate)
ทังสมมุติฐาน สิงทีเห็นจริงแล้วหรือสัจพจน์ และกติกา รวมเรียกว่า ข้อตกลงเบืองต้น

4.ทฤษฎีบท (Theorem) คือ ข้อความทีสามารถพิสูจน์ได้ว่าเปนจริง การพิสูจน์
ทฤษฎีนันต้องอาศัยข้อความทีเปนจริงมาอ้างอิง ซึงได้แก่ อนิยาม นิยาม
ข้อตกลงเบืองตัน และทฤษฎีทีมีมาก่อน แล้วใช้กระบวนการให้เหตุผลทําให้ได้ข้อความ
ทีเปนจริงใหม่ขึนมา ซึงเรียกว่า ทฤษฎีบท

ฮ่าๆ งงใช่ไหมล่ะ

โอเคเดียวสรุปเปนภาษาคนให้ฟง
โครงสร้างของคณิตศาสตร์มี 4 ส่วนได้แก่
1 อนิยาม 2 นิยาม 3 ข้อตกลงเบืองต้น 4 ทฤษฎีบท

อนิยาม
คือคาํ ทีไม่สามารถอธิบายความหมายของมันได้
แต่เมือพูดถึงเราจะเข้าใจตรงกันว่าหมายถึงอะไร

นิยาม
คือจํากัดความ

ข้อตกลงร่วมกัน
คือสิงทีเราต่างยอมรับว่ามันคือความจริง

ทฤษฎีบท
คือข้อความทีเราพิสูจน์ได้แล้วว่ามันเปนความจริง

จากโครงสร้างของคณิตศาสตร์เราจะสังเกตเห็นคาํ คาํ หนึงนันก็คือคําว่า
พิสูจน์

สปอยนิดนึง ถ้าเราเรียนปริญญาตรีเอกเลข คาํ ๆนีมันจะหลอนประสาทมาก
เพราะว่าเอะอะก็พิสูจน์ อันนันก็ต้องพิสูจน์ อันนีก็ต้องพิสูจน์
บอกเลยว่าต้องเจอกับตัวเท่านันถึงจะรู้ แต่ก็นันแหละครับ
มันไม่ยากขนาดนันหรอกถ้าเราเข้าใจ concept มัน

มาถึงตรงนีหลายคนอาจจะงงว่าไอ้ข้างบนมันเกียวกับตรรกศาสตร์ยังไง
ก็ไอ้การพิสูจน์ทีมันหลอนประสาทเราๆชาวเอกเลขนีแหละครับ
มันต้องใช้ตรรกศาสต์ในการพิสูจน์

ถ้าถามว่ามีการพิสูจน์ด้วยวิธีอืนไหมสารภาพตามตรงเลยว่า ผมไม่รู้ครับ 555

ว่าแต่ตรรกศาสตร์คืออะไร

ตรรกศาสตร์ เปนการศึกษาเชิงปรัชญาว่าด้วยการให้เหตุผล
โดยมักจะเปนส่วนสําคัญของวิชาปรัชญา คณิตศาสตร์ คอมพิวเตอร์
รวมถึงภาษาศาสตร์ ตรรกศาสตร์เปนการตรวจสอบข้อโต้แย้งทีสมเหตุสมผล

(valid argument) หรือการให้เหตุผลแบบผิดๆ (fallacies)
ตรรกศาสตร์ เปนการศึกษาทีมีมานานโดยมนุษยชาติทีเจริญแล้ว
เช่น กรีก จีน หรืออินเดีย และถูกยกขึนเปนสาขาวิชาหนึงโดย อริสโตเติล

ประพจน์คืออะไร???

ประพจน์คือประโยคหรือข้อความทีสามารถระบุได้ว่าค่าาความจริงเปนจริงหรือเปนเท็จ
เพียงอย่างใดอย่างหนึงเท่านัน

นันก็คือ ถ้ามันจะเปนประพจน์ได้มันก็ต้องบอกได้ว่าข้อความหรือประโยคนันจริงหรือเท็จ
อย่างเช่น 1+1=3 อันนีเปนประพจน์ เปนประพจน์ทีมีค่าความจริงเปนเท็จ

จังหวัดอุดรธานีอยู่ในประเทศไทย อันนีก็เปนประพจน์ เปนประพจน์ทีมีค่าความจริงเปนจริง
x>1 อันนีไม่เปนประพจน์ละ เพราะเราไม่รู้ว่า x ของเรามันคืออะไร

ถ้าเราแทนค่า x เปน 0 มันค่อยจะเปนประพจน์ เปนประพจน์ทีมีค่าความจริงเปนเท็จ
ถ้าเราแทนค่า x เปน 4 อันนีก็เปนประพจน์เหมือนกัน เปนประพจน์ทีมีค่าความจริงเปนจริง

ถ้าจะพูดภาษาชาวบ้านก็คือ การทีมันจะเปนประพจน์ได้

1
มันต้องระบุได้ชัดเจนว่ามีค่าความจริงเปนจริงหรือเปนเท็จ

2
ถ้ามันเปนจริงมันก็ต้องเปนจริงพียงอย่างดียวเท่านัน

ถ้ามันเปนเท็จมันก็ต้องเปนเท็จอย่างเดียวเท่านัน
ไม่สามารถเปนจริงและเท็จในเวลาเดียวกันได้

คาํ ถาม "มนุษย์ต่างดาวมีอยู่จริง" ประโยคนีเปนประพจน์หรือเปล่า????????
เมือกีเรารู้ว่า การจะเปนประพจน์มันต้องบอกได้ว่าเปนจริงหรือเท็จอย่างใดอย่างหนึงเท่านัน

ทีนีถ้าถามว่ามนุษย์ต่างดาวมีจริงมัย คาํ ตอบมันก็มีแค่ 2 คําตอบ คือ ไม่จริงก็เท็จ
ซึงโดยตอนนีเราก็ไม่รู้หรอกว่ามันหรือเท็จ วิทยาศาสตร์ในปจจุบันมันยังพิสูจน์ไม่ได้
แต่มันก็ยังคงมีค่าความจริงถูกมัย คือถ้าอนาคตอีกร้อยล้านปเราหาเจอ ก็แปลว่า มีอยู่จริง
ประพจน์ก็เปนจริง แต่ถ้าเราพิสูจน์ได้ว่ามันไม่มีจริงนะ ประพจน์ข้างต้นก็ไม่เปนจริง

ดังนันให้จําไว้เลยว่า
ถึงแม้เราจะยังไม่รู้ค่าความจริงว่ามันจริงหรือมันเท็จ

มันก็สามารถเปนประพจน์ได้เหมือนกัน

ยังไม่รู้ว่าจริงมัย
แต่มันใจแน่ๆว่าไม่จริงก็เท็จ

ถือว่าเปนประพจน์นะจ๊ะ

ประพจน์เชิงเดียว (simple statement)
หมายถึงประพจน์ทีมีส่วนประกอบเพียงประพจน์เดียวไม่สามารถแยกย่อยได้อีก

ประพจน์เชิงประกอบ(complex statement) บางทีเรียกประพจน์เชิงซ้อน
หมายถึงประพจน์ทีเกิดจากประพจน์เดียวสองประพจน์ขึนไปเปนส่วนประกอบ

ตารางค่าความจริง
คือ ตารางทีสร้างขึนเพือบอกว่าค่าความจริงของแต่ละประพจน์คืออะไร
โดยทีตารางค่าความจริงจะต้องแสดงค่าความจริงของประพจน์ในทุกกรณี
ซึงประพจน์เชิงซ้อนทีประกอบไปด้วยประพจน์เชิงเดียว n ประพจน์
จะมีค่าควมจริงทังหมด 2 ยกกาํ ลัง n กรณี

กาํ หนดให้
p และ q เปนประพจน์
T แทนค่าความจริงของประพจน์ทีมีค่าเปนจริงเปนจริง
F แทนค่าความจริงของประพจน์ทีมีค่าความจริงเปนเท็จ

เราจะเขียนตารางค่าความจริงของประพจน์ p และ q ได้ดังนี

ตัวเชือมประพจน์

บทนิยาม 1.1 ประพจน์นิเสธ(negation)
ใช้สัญลักษณ์ ~P (อ่านว่า นิเสธ p ) คือประพจน์ทีมีค่าความจริงตรงข้ามกับ P
จากบทนิยาม 1.1 จะสามารถเขียนตารางค่าความจริงของ ~p ได้ดังนี

บทนิยาม 1.2 ประพจน์ร่วม (conjunctive statement)
คือประพจน์ทีมีตัวเชือม "และ" เขียนแทน ด้วยสัญลักษณ์ " "
ถ้า p,q เปนประพจน์ p q (อ่านว่า P และ q) คือประพจน์เชิงซ้อนที
ประกอบด้วยประพจน์เชิงเดียว p และประพจน์เชิงเดียว q เชือมด้วยตัวเชือม"และ"
ค่าความจริงของประพจน์เชิงช้อน p q จะมีค่าความจริงเปนจริงในกรณีเดียวคือใน
กรณีที P เปนจริงและ q เปนจริง
จากบทนิยาม 1.2 จะสามารถเขียนตารางค่าความจริงของ p q ได้ดังนี

บทนิยาม 1.3 ประพจน์เลือก(disjunctive statement) คือประพจน์ทีมีตัวเชือม
“หรือ” เขียนแทน ด้วยสัญลักษณ์ “ ” ประพจน์ p q (อ่านว่า p หรือ q)
คือประพจน์เชิงซ้อนทีประกอบด้วย ประพจน์เชิงเดียว p และประพจน์เชิงเดียว q
เชือมด้วยตัวเชือม“หรือ” ค่าความจริงของประพจน์ เชิงซ้อน p q จะมีค่าความจริง
เปนเท็จในกรณีเดียวคือในกรณีที p เปนเท็จและ q เปนเท็จ
จากบทนิยาม 1.3 จะสามารถเขียนตารางค่าความจริงของ p q ได้ดังนี

บทนิยาม 1.4 ประพจน์เงือนไข(conditional statements) คือประพจน์ทีมีตัว
เชือม “ถ้า.....แล้ว.....” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “ ” ประพจน์ p q
(อ่านว่า ถ้า p แล้ว q) คือประพจน์เชิงซ้อนที ประกอบด้วยประพจน์เชิงเดียว p
และประพจน์เชิงเดียว q เชือมด้วยตัวเชือม“ถ้า.....แล้ว.....” ค่าความจริงของ
ประพจน์เชิงซ้อน p q จะมีค่าความจริงเปนเท็จในกรณีเดียวคือในกรณีที
p เปน จริงและ q เปนเท็จ
จากบทนิยาม 1.4 จะสามารถเขียนตารางค่าความจริงของ p q ได้ดังนี

หมายเหตุ พิจารณาประพจน์เงือนไข p q
1. จะเรียก p ว่าเหตุ(premise หรือ hypothesis)

2. จะเรียก q ว่าผลสรุป
(conclusion หรือ consequence)

3. อาจเรียกประพจน์ p q
ว่า“p เปนเงือนไขทีพอเพียงของ q
(p is sufficient condition for q)”
หรือ q เปนเงือนไขทีจําเปนของ p
(q is a necessary condition for p)

บทนิยาม 1.5 ประพจน์เงือนไขไปกลับ(biconditional statements)
คือประพจน์ทีมีตัวเชือม “ก็ ต่อเมือ” เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ “ ” เช่น
ประพจน์ p q (อ่านว่า p ก็ต่อเมือ q) คือ ประพจน์เชิงซ้อนทีประกอบด้วย
ประพจน์เชิงเดียว p และประพจน์เชิงเดียว q เชือมด้วยตัวเชือม“ก็ ต่อเมือ”
ค่าความจริงของประพจน์เชิงซ้อน p q จะมีค่าความจริง
จากบทนิยาม 1.5 จะสามารถเขียนตารางค่าความจริงของ p q ได้ดังนี

สรุปแบบภาษาชาวบ้าน

การเชือมประพจน์มี 5 แบบคือ 1 นิเสธ,2 และ,3 หรือ,4 ถ้า...แล้ว...,5 ก็ต่อเมือ

นิเสธ ค่าความจริงจะตรงข้าม

และ ค่าความจริงจะเปนจริงถ้าเปนจริงทังคู่ ทีเหลือจะเปนเท็จทังหมด

หรือ ค่าความจริงจะเปนเท็จถ้าเปนเท็จทังคู่ ทีเหลือจะจริงทังหมด

ถ้า...แล้ว... ค่าความจริงจะเปนเท็จถ้าตัวข้างหน้าเปนจริงตัวข้างหลังเปนเท็จ

ทีเหลือจะจริงทังหมด

ก็ต่อเมือ ค่าความจริงจะเปนจริงถ้าทังคู่ค่าความจริงเหมือนกันทังคู่

ทีเหลือจะเท็จทังหมด

ไม่รู้คนอืนท่องยังไงแต่ผมท่องอย่างนี
(อันทีใส่วงเล็บไว้ไม่ต้องอ่านนะครับแค่ใส่เพือบอกไว้ว่ามันคืออะไร)
นิเสธตรงข้าม(นิเสธ) ถูกทังหมดค่อยถูก(และ) ผิดทังหมดค่อยผิด(หรือ)
ถูกผิดผิด(ถ้า...แล้ว...) เหมือนกันถูก(ก็ต่อเมือ)
สัญลักษณ์ A(และ) V(หรือ) ไป(ถ้า...แล้ว...) กลับ(ก็ต่อเมือ)

หมายเหตุ ไม่จําเปนต้องท่องแบบผมนะครับ
แต่ละคนมีวิธีทําความเข้าใจทีต่างกัน จาํ ในแบบทีตัวเองถนัดจะดีทีสุดครับ

บทนิยาม 2 สัจนิรันดร์ (Tautology) คือ ข้อความทีมีค่าความจริงเปนจริงทุกกรณี
ตัวอย่างประพจน์ทีเปนสัจนิรันดร์
(p q) p

[(p q) p] q

(p q) (~p q)

การตรวจสอบสัจนิรันดร์

เท่าทีผมเรียนมานะครับมันก็จะมี 2 วิธีก็คือ
1 ใช้ตารางค่าความจริงแบบตัวอย่าง 3 ข้อทีแล้วของหน้าเมือกี
2 วิธีหาข้อขัดแย้ง
การตรวจสอบสัจนิรันด์ด้วยวิธีหาข้อขัดแย้งคือการทดสอบว่ามันไม่เปนเท็จแน่ ๆ
ซึงส่วนใหญทีเราจะเจอคือข้อความทีเชือมด้วย ถ้า...แล้ว...
หลักการคือสมมุติว่ามันเปนเท็จแล้วตรวจสอบไปเรือย ๆ ถ้ามันเกิดข้อขัดแย้งกัน
แสดงว่ากรณีนันมันไม่สามารถเกิดขึนได้ อย่างทีเรารู้ว่าประพจน์ไม่เปนจริงก็เปนเท็จ
ถ้ามันไม่สามารถเปนเท็จได้มันก็หมายความว่ามันจะเปนจริงอย่างแน่นอน

สังเกตุว่าช่องทีไฮไลท์สีเขียวคือช่องทีมีค่าความจริงเปนจริง
ส่วนช่องทีไฮไลท์สีแดงคือช่องทีมีค่าความจริงเปนเท็จ
ดังนันถ้าจะตรวจสอบสัจนิรันด์ด้วยวิธีหาข้อขัดแย้งเราก็ต้อง
ตรวจสอบว่าช่องทีไฮไลท์สีแดงไม่สามารถเกิดขึนได้

ตัวอย่างการตรวจสอบสัจนิรันด์ด้วยวิธีหาข้อขัดแย้ง
กรณีทีเชือมด้วย "และ"

วิธีทํา สมมุติว่าข้อความนีมีค่าความจริงเปนเท็จ มันจะมีโอกาสเกิดขึนได้ 3 กรณีคือ
กรณีที 1 ตัวข้างหน้าเปนจริงตัวข้างหลังเปนเท็จจะได้

F
TF
T F FF

กรณีที 2 ตัวข้างหน้าเปนเท็จตัวข้างหลังเปนจริงจะได้

F T
F

FF TF

กรณีที 3 ทังตัวข้างหน้าและตัวข้างหลังเปนเท็จทังคู่จะได้

F

F F
FF FF

จะเห็นว่าทัง 3 กรณีไม่เกิดข้อขัดแย้งเลยนันหมายความว่ามันสามารถ
มีค่าความจริงเปนเท็จได้ ดังนันข้อความนีไม่เปนสัจนิรันดร์

ในทางปฏิบัติถ้าเราตรวจสอบแล้วว่ามันไม่เกิดข้อขัดแย้ง ต่อให้มันมีแค่กรณีเดียว
ก็ตามมันก็เพียงพอแล้วทีจะสรุปว่าไม่เปนสัจนิรันด์
เพราะการทีมันจะเปนสัจนิรันดร์มันต้องเปนจริงทุกกรณี

กรณีทีเชือมด้วย "หรือ"

วิธีทาํ สมมุติว่าข้อความนีมีค่าความจริงเปนเท็จ มันจะมีโอกาสเกิดขึนได้กรณีเดียว
นันก็คือทังตัวข้างหน้าและตัวข้างหลังเปนเท็จทังคู่

F

FF

F FTF
TF

เกิดข้อขัดแย้ง

เนืองจากการเชือมด้วยหรือมันสามารถเปนเท็จได้กรณีเดียว แต่เมือกีเราตรวจ
สอบแล้วว่าถ้าสมมุติให้มันเปนเท็จมันเกิดข้อขัดแย้งก็อย่างทีบอกไปตังแต่แรกๆ
ประพจน์ไม่สามารถเปนจริงและเท็จในกรณีเดียวกันได้ถ้าจริงก็ต้องจริงทังหมด
ถ้าเท็จก็ต้องเท็จทังหมดนันหมายความว่ากรณีนีมันไม่สามารถเกิดขึนได้
ถ้ากรณีนีมันเกิดขึนไม่ได้มันก็ต้องเปนกรณีทีเหลือซึงกรณีทีเหลือเนียมันเปนจริง
หมดเลย ดังนันเราจึงสรุปได้ว่าข้อความนีเปนสัจนิรันดร์

กรณีทีเชือมด้วย "ถ้า...แล้ว..."

วิธีทํา สมมุติว่าข้อความนีมีค่าความจริงเปนเท็จ มันจะมีโอกาสเกิดขึนได้กรณีเดียว
นันก็คือตัวข้างหน้าเปนจริงตัวข้างหลังเปนเท็จ

F

เกิดข้อขัดแย้ง T F
TT FT
TTT T

.

สรุปได้ว่าข้อความนีเปนสัจนิรันดร์ ส่วนเหตุผลก็เหมือนข้อทีแล้วนะครับ

เท่าทีผมเรียนมานะครับ การเชือมด้วย ถ้า...แล้ว... เนียอันนีเจอบ่อยมากใน
ตรรกศาสตร์ ม.ปลาย แล้วก็เจอบ่อยมากในการพิสูจน์ ไม่ว่าจะเปนวิชาหลักการ
ระบบจํานวน ทฤษฎีจาํ นวนพวกนีเจอบ่อยมาก ในสาขาวิชาคณิตศาสตร์
ตอนเราเรียนมหาลัย

กรณีทีเชือมด้วย "ก็ต่อเมือ"

วิธีทาํ สมมุติว่าข้อความนีมีค่าความจริงเปนเท็จ มันจะมีโอกาสเกิดขึนได้ 2 กรณีคือ
กรณีที 1 ตัวข้างหน้าเปนจริงตัวข้างหลังเปนเท็จจะได้

F

TF

T T FT

FF FF

กรณีที 2 ตัวข้างหน้าเปนเท็จตัวข้างหลังเปนจริงจะได้

F T
F TT
FT

TF T T เกิดข้อขัดแย้ง

สรุปได้ว่าข้อความนีเปนสัจนิรันดร์

ขอสังเกตุ ข้อนีมีแค่กรณีเดียวทีไม่เกิดข้อขัดแย้งซึงมันก็เพียงพอแล้ว
ทีจะสรุปว่ามันไม่เปนสัจนิรันดร์

สรุปการตรวจสอบสัจนิรันดร์ด้วยวิธีหาข้อขัดแย้ง

เชือมด้วย "และ"
ให้ตรวจสอบว่า
1 ตัวข้างหน้าเปนจริงตัวข้างหลังเปนเท็จ
2 ตัวข้างหน้าเปนเท็จตัวข้างหลังเปนจริง
3 ทังตัวข้างหน้าและตัวข้างหลังเปนเท็จทังคู่
ทัง 3 กรณีนีเกิดข้อขัดแย้งไหม ถ้าเกิดข้อขัดแย้งทังหมดสรุปได้ว่าจะเปนสัจนิรันดร์
แต่ถ้ามีกรณีใดกรณีหนึงไม่เกิดข้อขัดแย้งถึงแม้จะมีแค่กรณีเดียวก็จะสรุปได้ทันทีว่า
ไม่เปนสัจนิรันดร์

เชือมด้วย "หรือ"
ให้ตรวจสอบว่า กรณีทีมันเปนเท็จทังคู่เกิดข้อขัดแย้งไหม
ถ้าเกิดข้อขัดแย้งจะสรุปได้ว่าเปนสัจนิรันดร์
แต่ถ้าไม่เกิดข้อขัดแย้งก็จะสรุปได้ว่าไม่เปนสัจนิรันดร์

เชือมด้วย "ถ้า...แล้ว..."
ให้ตรวจสอบว่า กรณีทีตัวข้างหน้ามันเปนจริงตัวข้างหลังเปนเท็จเกิดข้อขัดแย้งไหม
ถ้าเกิดข้อขัดแย้งจะสรุปได้ว่าเปนสัจนิรันดร์
แต่ถ้าไม่เกิดข้อขัดแย้งก็จะสรุปได้ว่าไม่เปนสัจนิรันดร์

เชือมด้วย "ก็ต่อเมือ"
ให้ตรวจสอบว่า
1 ตัวข้างหน้าเปนจริงตัวข้างหลังเปนเท็จ
2 ตัวข้างหน้าเปนเท็จตัวข้างหลังเปนจริง
ทัง 2 กรณีนีเกิดข้อขัดแย้งไหม ถ้าเกิดข้อขัดแย้งทังหมดสรุปได้ว่าจะเปนสัจนิรันดร์
แต่ถ้ามีกรณีใดกรณีหนึงไม่เกิดข้อขัดแย้งก็จะสรุปได้ทันทีว่าไม่เปนสัจนิรันดร์

อ้างอิง

วัลลภ เหมวงษ์.(2558). ประพจน์.สืบค้น 7 ตุลาคม 2564
จาก https://bit.ly/3ahVOGD

ทีมงานทรูปลูกปญญา.(2557) ตรรกศาสตร์คืออะไร.สืบค้น 7 ตุลาคม 2564
จาก https://bit.ly/3iJ4gTN

เตอร์ติวติวเตอร์.(ม.ป.ป.).ประพจน์ และ ตัวเชือมประพจน์.สืบค้น 7 ตุลาคม 2564
จาก https://www.tertututor.com/m4/proposition.php#intro

ต้นตาล.(ม.ป.ป.).ตารางค่าความจริง.สืบค้น 7 ตุลาคม 2564
จาก https://bit.ly/3oRjr0S

มหาวิทยาลัยราชภัฏพิบูลสงคราม.(ม.ป.ป.).ประพจน์เชิงเดียวและประพจน์
เชิงประกอบ.สืบค้น 7 ตุลาคม 2564
จาก http://elearning.psru.ac.th/courses/172/2.2.pdf

NockAcaddemy.(ม.ป.ป.).สัจนิรันดร์.สืบค้น 7 ตุลาคม 2564
จาก https://bit.ly/3iEVvKo

uniquenessiam.(2558).ตรารางค่าความจริงเบืองต้น.สืบค้น 7 ตุลาคม 2564
จาก https://uniquenessiam.wordpress.com/ตรรกศาสตร์เบืองต้น/

MTHAI.(2562).สาดนาํ .สืบค้น 7 ตุลาคม 2564
จาก https://news.mthai.com/general-news/722860.html

amazingstore.th.(ม.ป.ป.).กระชอนตักอาหาร.สืบค้น 7 ตุลาคม 2564
จาก https://bit.ly/2YBqEaP

pixabay.(ม.ป.ป.).การ์ตูน.สืบค้น 7 ตุลาคม 2564
จาก https://pixabay.com/th/images/search/การ์ตูน/

19

PROFILE

ขอ้ มูลสว่ นตัว

นาไชยยทโนกงฏชยั

ติดต่อ การศึกษา

Cell: 0829643405 ระดบั ประถมศกึ ษา : โรงเรยี นเรียนชุมพลนาคลงั
Email: mummy [email protected] ระดบั มัธยมศึกษา : โรงเรีโรงเรยี นยงู ทองพทิ ยาคม
Facebook: Mc Atom ปจปจจบุ ัน : สาขาวชิ าคณิตศาสตร์ คณะครศุ าสตร์
Line ID : mummyboy_gg มหาวิทยาลัยราชภัฎอดุ รธานี
Instagram: __mbcx__
คตปิ ระจาํ ใจ

งานอดเิ รก “ขยนั วนั นี สบายวันหน้า
ขีเกยี จวันนี สบายวนั นี”

งานอดเิ รก ดูหนัง ฟงเพลง เล่นเกม



อ่านจบแล้วอย่าลืม

ไปปรับใช้ นําความรู้
แล้วพบกับใหม่

ในตอนหน้านะคร้าบบบบบบ