มีน Hyperbola

(Hyperbola)

P2 P1

F1 F2
P3
ไฮเพอร์โบลา คือ เซตของจดุ ทงั้ หมดในระนาบซ่งึ
ผลต่างของระยะทางจากจดุ ใดๆไปยงั จุด F1 และ F2 ที่
ตรงึ อยูก่ บั ทม่ี คี ่าคงตัว โดยค่าคงตัวนอ้ ยกวา่ ระยะหา่ ง
ระหวา่ งจดุ คงที่ทต่ี รึงอยกู่ บั ทท่ี งั้ สอง จุด F1 และ F2
ดงั กลา่ วนี้เรยี กว่า โฟกสั

รูปแบบของสมการไฮเพอร์โบลาจะแบง่
ออกตามรปู กราฟสมการสองแบบ คอื
1.ไฮเพอรโ์ บลาแบบนอน
2.ไฮเพอรโ์ บลาแบบต้งั

1. ถ้าจุดศูนยก์ ลางของสมการ C อยู่
C ท่จี ุด (0,0) เราจะได้สมการ
a ไฮเพอร์โบลาทีจ่ ดุ กาเนิดดงั นี้

b

F1 V1 V2 F2 ระยะโฟกัส มคี วามยาว
c = 2 + 2
C

2 2
2 − 2 = 1

สมการไฮเพอรโ์ บลา คือ สังเกตวา่ หนา้ X เป็นบวก ดงั นน้ั แกนตาม

− ℎ 2 − 2 ขวางจึงวางตัวในแนวแกน X (A อย่กู บั X)แกน
2 − 2 = 1 ตามขวาง (แกนที่ลากตดั ก่ึงกลางของกราฟ)
มคี วามยาวเป็น 2A แกนสงั ยคุ มีความยาวเป็น

2B

2.

F1 C ถ้าจุดศนู ยก์ ลางของสมการ C อยู่
a ทีจ่ ดุ (0,0) เราจะได้สมการ
V1 ไฮเพอร์โบลาท่ีจุดกาเนิดดงั นี้
C
V2 2 2 ระยะโฟกัส มีความยาว
F2 2 − 2 = 1
= 2 + 2

b สงั เกตว่าหนา้ X เป็นบวก ดงั นนั้ แกน
ตามขวางจึงวางตวั ในแนวแกน X (A อยู่
สมการไฮเพอรโ์ บลา คอื
กบั X)แกนตามขวาง (แกนทีล่ ากตดั
− 2 − ℎ 2 ก่งึ กลางของกราฟ) มคี วามยาวเป็น 2A
2 − 2 = 1
แกนสงั ยคุ มคี วามยาวเป็น 2B

ℎ, +
F

ℎ, ℎ, +
U
ℎ + ,
ℎ − , CU C ℎ,
U
F
F ℎ + ,
ℎ − ,

U ℎ, −

F
ℎ, −

สมการ สมการ

จุดศนู ยก์ ลาง ℎ, จุดศนู ยก์ ลาง ℎ,
จดุ ยอด จุดยอด
ℎ, ± ℎ ± ,

จดุ โฟกัส ℎ, ± จุดโฟกัส ℎ ± ,
สมการเสน้ กากับ − = ± − ℎ
สมการเสน้ กากับ − = ± − ℎ





A ไมจ่ าเป็นต้องยาวกว่า B เหมือนในสมการวงรี
แตถ่ ้า A=B จะได้สเ่ี หลีย่ มจตั ุรัสอย่ตู รงกลาง จะ

เรียกวา่ เป็น ไฮเพอร์โบลามุมฉาก
(RECTANGULAR HYPERBOLA)



Ex. จงหาจดุ ศูนยก์ ลาง โฟกัส จดุ ยอดและเสน้ กาดบั ไฮเพอร์โบลา

− 1 2 + 3 2
9 − 16 = 1

วิธีทา − ℎ 2 − 2
2 − 2 = 1

2 = 9 , 2 = 16

ดังนน้ั a = 3 , = 4
2 = 2 + 2
จาก

= 2 + 2

= 9 + 16

= 5

ดงั น้ัน จุดศูนยก์ ลางคือ (1,−3)

จุดยอดคือ (−2,−3),(4,−3)

จดุ โฟกัสคอื (−4,−3),(6,−3)

แกนตามขวางยาว 2a=2(3)=6

หน่วยแกนสงั ยคุ ยาว 2b=2(4)=8 หน่วย

อ้างอิง https://www.mathpaper.net/index.php/en/4/756-hiperbola

Ex. จากสมการไฮเพอรโ์ บลา16 2- 9 2 จงหาจดุ ยอดจุดโฟกัสความยาวแกนตามขวาง
แกนสังยุค

วธิ ที า นา 1 คณู ทั้งสอนขา้ งของสมการ จะได้ 16 2 − 9 2 = 144

144 144 144 144

จดั สมการให้อยูใ่ นรปู มาตรฐาน 2 − 2 = 1

9 16

เทยี บกบั สมการ 2 − 2 =1
2 2

จะได้ 2 = 9 , = 3

2 = 16 , = 3
หาคา่ c จาก 2 = 2 + 2

จะได้ 2 = 2 + 2

= 9 + 16

= 25

จะได้ = 5

ดงั น้นั จุดยอดอย่ทู ่จี ดุ (0,3) และ (0,-3)

โฟกัสอยทู่ ่จี ดุ (0,5) และ (0,-5)

แกนตามขวางยาว 2a=6 หน่วย

แกนสังยุคยาว 2b=8 หน่วย

อ้างอิง https://www.youtube.com/watch?v=5fU2ZB5at0Q