BAHAN AJAR SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL (SPtLDV) Disusun Oleh: Mezika Wahyuni, S.Pd. SMK YP IPPI Petojo Jl. Petojo Barat III No. 2, Gambir. Jakarta Pusat 2023
KOMPETENSI DASAR DAN TUJUAN PEMBELAJARAN Kompetensi Dasar: 3.1. Mendeskripsikan konsep sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dua variabel dan menerapkannya dalam pemecahan masalah program linear 4.1. Merancang dan mengajukan masalah nyata berupa masalah program linear dan menerapkan konsep SPtLDV untuk menentukan nilai optimum dan minimum Tujuan Pembelajaran: • Siswa dapat memodelkan masalah kontekstual ke dalam sistem pertidaksamaan linear dua variabel dengan tepat • siswa dapat menentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel ke dalam masalah kontekstual dengan benar.
A. PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL Pertidaksamaan Linear Dua Variabel merupakan suatu kalimat terbuka matematika yang didalamnya memuat dua variabel. Dengan masing-masing variabel berderajat satu serta dihubungkan dengan tanda ketidaksamaan. Tanda ketidaksamaan yang dimaksud adalah: >, <, ≤, ≥ Pertidaksamaan linear dua variabel memiliki bentuk: + > ; + < ; + ≥ atau + ≤ Cara mencari daerah penyelesaian dari pertidaksamaan linear dua variabel : • Tetapkan persamaan garis yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda pertidaksamaannya dengan tanda sama dengan • Cari titik potong terhadap sumbu-x dan sumbu-y • Gambarkan titik yang diperoleh dari Langkah 2 pada koordinat cartesius Perhatikan bahwa grafik garis dari pertidaksamaan bertanda > < merupakan garis putus-putus. Garis putus-putus dimaksudkan sebagai tanda bahwa titik-titik pada garis tersebut tidak termasuk penyelesaian. Jika bertanda ≤ ≥ merupakan garis lurus. • Tetapkan satu titik sebagai titik acuan. Titik acuan adalah sembarang titik yang tidak dilalui oleh garis. Jika titik acuan memenuhi pertidaksamaan, maka daerah yang memuat titik acuan merupakan daerah penyelesaian. Kemudian arsirlah daerah yang memuat titik acuan sebagai himpunan penyelesaian. Contoh: Tentukan daerah penyelesaian 2 + ≥ 6! Jawab: • Tetapkan persamaan garis yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda pertidaksamaannya dengan tanda sama dengan 2 + ≥ 6 menjadi 2 + = 6 • Cari titik potong terhadap sumbu-x dan sumbu-y Titik potong terhadap sumbu-x ( = ) 2 + = 6 2 + 0 = 6 2 = 6
= 6 2 = 3 ℎ − = (3,0) Titik potong terhadap sumbu-y (x= ) 2 + = 6 2(0) + = 6 = 6 ℎ − = (0,6) Sehingga diperoleh titik (3,0) dan (0,6) • Gambarkan titik yang diperoleh dari Langkah 2 pada koordinat cartesius Perhatikan bahwa grafik garis dari pertidaksamaan bertanda > < merupakan garis putus-putus. Garis putus-putus dimaksudkan sebagai tanda bahwa titik-titik pada garis tersebut tidak termasuk penyelesaian. Jika bertanda ≤ ≥ merupakan garis lurus. • Tetapkan satu titik sebagai titik acuan. Titik acuan adalah sembarang titik yang tidak dilalui oleh garis. Jika titik acuan memenuhi pertidaksamaan, maka daerah yang memuat titik acuan merupakan daerah penyelesaian. Kemudian arsirlah daerah yang memuat titik acuan sebagai himpunan penyelesaian Missal titik (0,0) 2 + ≥ 6 2(0) + (0) ≥ 6 0 + 0 ≥ 6 0 ≥ 6 pernyataan bernilai salah
B. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL Penyajian dua pertidaksaam linear atau lebih secara bersamaan atau simultan menghasilkan sebuah sistem pertidaksamaan linear. Solusi atau penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear adalah irisan dari penyelesaian pertidaksamaanpertidaksamaan yang membentuknya. Cara mencari daerah penyelesaian dari system pertidaksamaan linear dua variabel : • Tetapkan persamaan garis yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda pertidaksamaannya dengan tanda sama dengan • Cari titik potong terhadap sumbu-x dan sumbu-y • Gambarkan titik yang diperoleh dari Langkah 2 pada koordinat cartesius • Tetapkan satu titik sebagai titik acuan. Titik acuan adalah sembarang titik yang tidak dilalui oleh garis. Jika titik acuan memenuhi pertidaksamaan, maka daerah yang memuat titik acuan merupakan daerah penyelesaian. Kemudian arsirlah daerah yang memuat titik acuan sebagai himpunan penyelesaian. Carilah irisan dari 2 daerah. Contoh: Tentukan daerah penyelesaian dari system pertidaksamaan linear dua variabel: 2 + > 6 3 + 2 ≤ 12 Jawab: Daerah Penyelesaian
• Tetapkan persamaan garis yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda pertidaksamaannya dengan tanda sama dengan 2 + > 6 menjadi 2 + = 6 3 + 2 ≤ 12 menjadi 3 + 2 = 12 • Carilah titik potong terhadap sumbu-x dan sumbu-y Persamaan 1: 2 + = 6 Titik potong terdahap sumbu-x ( = ) 2 + = 6 2 + 0 = 6 2 = 6 = 6 2 = 3 Titik potong (3,0) Titik potong terdahap sumbu-y ( = ) 2 + = 6 2(0) + = 6 = 6 Titik potong (0,6) Persamaan 2: 3 + 2 = 12 Titik potong terdahap sumbu-x ( = ) 3 + 2 = 12 3 + 2(0) = 12 3 = 12 = 12 3 = 4 Titik potong (4,0) Titik potong terdahap sumbu-y ( = ) 3 + 2 = 12 3(0) + 2 = 12 2 = 12 = 12 2 = 6 Titik potong (0,6)
• Tetapkan satu titik sebagai titik acuan. Titik acuan adalah sembarang titik yang tidak dilalui oleh garis. Jika titik acuan memenuhi pertidaksamaan, maka daerah yang memuat titik acuan merupakan daerah penyelesaian. Kemudian arsirlah daerah yang memuat titik acuan sebagai himpunan penyelesaian. Carilah irisan dari 2 daerah Titik Acuan (0,0) 2 + > 6 2(0) + 0 > 6 0 > 6 pernyataan bernilai salah 3 + 2 ≤ 12 3(0) + 2(0) ≤ 12 0 ≤ 12 pernyataan bernilai benar C. MASALAH KONTEKSTUAL Contoh : Bu Tuti seorang pembuat kue. Hari ini ia membawa uang belanja Rp240.000,00. Bu Tuti ingin membeli tepung terigu dan tepung panir kemasan 1 kg. Harga tepung terigu Rp12.000,00 per kg. Harga tepung panir Rp18.000,00 per kg. Sepeda motor yang ia gunakan hanya dapat mengangkut 15kg belanjaan. Berapa kg yang dapat bu Tuti beli agar motor dapat menampung maksimal dan uang yang digunakan cukup? Jawab: Diketahui :
Uang bu Tuti = Rp240.000,00 Harga 1 kg tepung terigu = Rp12.000,00 Harga 1 kg tepung panir = Rp18.000,00 Sepada motor hanya mampu mengangkut kurang dari sama dengan 15 kg Misalkan: x = banyak tepung terigu yang dapat dibeli y = banyak tepung panir yang dapat dibeli Persamaan 1: Harga tepung terigu Rp12.000,00 per kg. harga tepung panir Rp18.000,00 per kg. dengan uang yang dibawa Rp240.000,00 12000 + 18000 ≤ 240000 : (6000) 2 + 3 < 40 ……………………………………………………………………………………………. (persamaan 1) Persamaan 2: Sepada motor hanya mampu mengangkut kurang dari sama dengan 15 kg + ≤ 15 ……………………………………………………………………………………………. (persamaan 2) Persamaan 3: ≥ 0 , ≥ 0 ………………………………………………………………………………………… (persamaan 3) Ditanya: Bu Tuti dapat membeli beberapa kg tepung terigu dan beberapa kg tepung panir? Dijawab: • Tetapkan persamaan garis yang diperoleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda pertidaksamaannya dengan tanda sama dengan 2 + 3 ≤ 40 menjadi 2 + 3 = 40 + ≤ 15 menjadi + = 15 • Cari titik potong terhadap sumbu-x dan sumbu-y ✓ Titik potong sumbu x, (y = 0) 2 + 3 = 40 2 + 0 = 40 2 = 40 = 40 2 = 20 ✓ Titik potong sumbu x, (y = 0) + = 15 + 0 = 15 = 15 Titik potong (15,0) ✓ Titik potong sumbu y, ( = 0) + = 15
Titik potong (20,0) ✓ Titik potong sumbu y, ( = 0) 2 + 3 = 40 2(0) + 3 = 40 0 + 3 = 40 3 = 40 = 40 3 = 13,33 Titiknya potong (0; 13,33) (0) + = 15 = 15 Titiknya potong (0, 15) • Tetapkan satu titik sebagai titik acuan. Titik acuan adalah sembarang titik yang tidak dilalui oleh garis. Jika titik acuan memenuhi pertidaksamaan, maka daerah yang memuat titik acuan merupakan daerah penyelesaian. Kemudian arsirlah daerah yang memuat titik acuan sebagai himpunan penyelesaian. Carilah irisan dari 2 daerah Titik acuan (0,0) 2 + 3 ≤ 40 2(0) + 3(0) ≤ 40 0 + 0 ≤ 40 0 ≤ 40 pernyataan bernilai benar Titik acuan (0,0) + ≤ 15 (0) + (0) ≤ 15 0 + 0 ≤ 15 0 ≤ 15 pernyataan bernilai benar Solusinya adalah daerah yang merupakan irisan semua daerah jawab. Daerah Penyelesaian