สรุป เรื่องเซต & เลขยกกำลัง

สรุ ป



เรื่อง เซต & เลขยกกำลัง

นาย ณัฐดนัย แสงนุ่ม
ชั้นม.6/9 เลขที่ 3

เซต

( SET )

เซต (Set)




ความหมายของเซต
ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า "เซต" หมายถึง กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง
ฝูง ชุด เเละเมื่อกล่าวถึงเซตของสิ่งใดๆ จะทราบได้ทันทีว่าในเซต
นั้ นมีอะไรบ้าง เราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า 'สมาชิก'
สัญลักษณ์ที่ใช้แทนเซต ชื่อเเละสมาชิกของเซต
1. สามารถใช้วงกลม, วงรี แทนเซตต่างๆ ได้
2. ชื่อเซตนิ ยมใช้ตัวใหญ่ทั้งหมด เช่น A, B, C, ...

∈3. สัญลักษณ์ แทนคำว่า " เป็นสมาชิก "
∉ แทนคำว่า " ไม่เป็นสมาชิก "




ลักษณะของเซต

∅เซตว่าง (Empty Set) คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก เขียนแทนด้วย " { }

" หรือ
เช่น เซตของจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 1 กับ 2
เซตของสระในคำว่า " อรวรรณ "

∅เซตจำกัด (Finite Set) คือ เซตที่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้
เช่น มีจำนวนสมาชิกเป็น 0
{ 1, 2, 3, ... , 50 } มีจำนวนสมาชิกเป็น 50
เซตอนั นต์ (Infinite Set) คือ เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่สามารถ
บอกจำนวนสมาชิกได้

เช่น เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, 4, ... }
เซตของจุดบนระนาบ

การเขียนเซต



1. การเขียนแบบแจกแจงสมาชิก (Tabular form)
หลักการเขียน
1. เขียนสมาชิกทั้งหมดในวงเล็บปีกกา
2. สมาชิกเเต่ละตัวคั่นด้วยเครื่องจุลภาค (,)
3. สมาชิกที่ซ้ำกันให้เขียนเพียงตัวเดียว
4. ในกรณีที่มีจำนวนสมาชิกมากๆ ให้เขียนสมาชิกอย่างน้ อย 3 ตัว เเล้วใช้จุด

3 จุด (Tripple dot) เเล้วจึงเขียนสมาชิกตัวสุดท้าย

2. การเขียนเซตแบบบแกเงื่อนไขของสมาชิกในเซต (Set builder form)
หลักการเขียน
1. เขียนเซตด้วยวงเล็บปีกกา
2. กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกทั้งหมดตามด้วยเครื่องหมาย l ( l อ่านว่า โดยที่ )

เเล้วตามโดยเงื่อนไขของตัวแปรนั้ น ดังรูปแบบ { x l เงื่อนไขของ x }




ตัวอย่าง

ความสั มพันธ์ของเซต



1. เซตที่เท่ากัน (Equal Sets) คือ เซตสองเซตจะเท่ากัน
ก็ต่อเมื่อ เซตทั้งสองมีสมาชิกเหมือนกัน

สัญลักษณ์ เซต A เท่ากับ เซต B แทนด้วย A = B
เซต A ไม่เท่ากับ เซต B แทนด้วย A ≠ B

2. เซตที่เทียบเท่ากัน (Equivalent Sets) คือ เซตที่มี
จำนวนสมาชิกเท่ากัน และสมาชิกของเซตจับคู่กันได้พอดี
แบบหนึ่ งต่อหนึ่ ง

สัญลักษณ์ เซต A เทียบเท่ากับ เซต B แทนด้วย A ⟷ B
* หมายเหตุ 1. ถ้า A = B แล้ว A ⟷ B

2. ถ้า A ⟷ B แล้ว ไม่อาจสรุปได้ว่า A = B

สับเซต (Subset)



ถ้าสมาชิกทุกตัวของเซต A เป็นสมาชิกในเซต B เเล้ว เซต A จะ

เป็นสับเซตของเซต B

⊂สัญลักษณ์ เซต A เป็นสับเซตของเซต B เขียนแทนด้วย A B
⊄เซต B ไม่เป็นสับเซตของเซต A เขียนแทนด้วย A B

สมบัติของสั บเซต

⊂1. A A ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของมันเอง )


⊂2. A U ( เซตทุกเซตเป็นสับเซตของเอกภพสัมพัทธ์)
∅ ⊂3. A ( เซตว่างเป็นสับเซตของทุกๆ เซต)
⊂ ∅ ∅4. ถ้า A
เเล้ว A =
⊂ ⊂ ⊂5. ถ้า A B เเละ B C เเล้ว A C (สมบัติการถ่ายทอด)
⊂ ⊂6. A = B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ B A

7. ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตของเซตจะมีทั้งสิ้น 2^n

( 2 ยกกำลัง n ) สับเซต





สั บเซตแท้

⊂นิ ยาม A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ A B เเละ A ≠ B
∅ตัวอย่าง กำหนดให้ A = { a, b, c } จงหาสับเซตแท้ทั้งหมดของ A

วิธีทำ สับเซตแท้ของ A ได้แก่ , {a}, {b}, {c}, {a, b},
{a, c}, {b, c}

หมายเหตุ ถ้า A มีจำนวนสมาชิก n ตัว สับเซตแท้ของเซต A จะมี
ทั้งสิ้น 2^n-1 (2 ยกกำลัง n-1) สับเซต เราสามารถเขียนความสัมพันธ์
ของสั บเซตออกมาในรู ปแผนภาพได้ดังนี้




⊂A B

เพาเวอร์เซต (Power Set)




ถ้า A เป็ตเซต เเล้ว เพาเวอร์เซตของเซต A คือ เซตที่มีสมาชิกประกอบไปด้วย
สับเซตของ A ทั้งหมด

สัญลักษณ์ เพาเวอร์เซตของเซต A เขียนแทนด้วย P(A) = {สับเซตทั้งหมดของ A}
ตัวอย่าง A = {1, 2}

∅วิธีทำ สับเซตของ A คือ , {1}, {2}, A
∅ดังนั้น P(A) = { , {1}, {2}, A }



สมบัติของเพาเวอร์เซต

กำหนดให้ A และ B เป็นเซตใดๆ

∅ ∈ ∅ ⊂1. P(A) เพราะ A เสมอ
∅ ⊂2. P(A) เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต เเล้ว P(A) ก็เป็นเซตเช่นกัน
∈ ⊂3. A P(A) เพราะ A A เสมอ

4. ถ้า A เป็นเซตจำกัด เเละ n(A) คือจำนวนสมชิกของ A เเล้ว P(A) จะมีสมาชิก 2^ n(A) ( 2 ยกกำลัง
n(A) ) ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซตของ A)

⊂ ⊂5. A B ก็ต่อเมื่อ P(A) P(B)
∩ ∩6. P(A) P(B) = P(A B)
∪ ⊂ ∪7. P(A) P(B) P(A B)




เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe)



เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ถูกกำหนดขึ้นโดยมีข้อตกลงว่า จะกล่าวถึงสิ่งที่เป็นสมาชิกของเซตนี้

เท่านั้ น จะไม่กล่าวถึงสิ่งอื่นใดที่ไม่เป็นสมาชิกของเซตนี้ โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ U แทนเซตที่

เป็นเอกภพสั มพัทธ์

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]
A = {1, 3, 5, 7}
B = {2, 4, 8}

∈ตัวอย่างที่ 2 กำหนดให้ U = { x N | 1 < x < 20 }
∈A = { x N | x = n + 3 เมื่อ n เป็นจำนวนนั บคี่ }
∈B = { x N | x = n + 3 เมื่อ n เป็นจำนวนนั บคู่ }

นั่ นคือ ทั้ง A และ B เป็นสับเซตของ U

แผนภาพของเวนน์ - ออยเออร์
(Venn - Euler diagram)

แผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ คือ แผนภาพแสดงความ


เกี่ยวข้องของเซตต่างๆ ซึ่งชื่อที่ใช้เรียกเป็นชื่อของนั ก


คณิตศาสตร์สองคน คือ จอห์น เวนน์ เเละ เลโอนาร์ด ออย


เลอร์




การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์

การเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ มักเขียนเเทนเอกภพ


สัมพัทธ์ U ด้วยรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าหรือรูปปิดใดๆ ส่วนเซต A,


B, C, D, ... ซึ่งเป็นเซตย่อยของ U อาจเขียนแทนด้วยวงกลม


หรือวงรีหรือรูปปิดใดๆ โดยให้ภาพที่แทนเซตย่อยอยู่ในรูป


ปิดใดๆ ที่แทนเอกภพสัมพัทธ์




ตัวอย่าง

กำหนดให้ U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }
A = { 1, 2, 3 }, B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, C = { 3, 5, 6, 7 }
จะสามารถจะเขียนแผนภาพเวนน์ - ออยเลอร์ แสดงภาพ


ภพสัมพัทธ์ U ของเซตย่อยต่างๆ ดังแผนภาพต่อไนี้

ถ้าเซต A เเละเซต B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

ถ้าเซต A เเละ เซต B มีสมาชิกร่วมกันบางส่วน แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

⊂ถ้าเซต A B เเต่ A ≠ B แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

ถ้าเซต A = B แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

การดำเนิ นการบนเซต



การดำเนิ นการระหว่างเซต คือ การนำเซตต่างๆ

มากระทำกันเพื่อให้เกิดเป็นเซตใหม่ ซึ่งทำได้ 4 วิธี คือ
1. ยูเนี ยน (Union)

ยูเนี ยนของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วย


∪สมาชิกของเซต A หรือ เซต B

เขียนแทนด้วย A B

∪ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้ น A B = { 1, 2, 3, 4, 5 }
เราสามารถเขียนการยูเนี ยนในแผนภาพได้ดังนี้

2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection)
อินเตอร์เซกชันของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วย


∩สมาชิกของเซต A เเละเซต B

เขียนแทนด้วย A B

∩ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }

ดังนั้ น A B = { 3 }
เราสามารถเขียนการยูเนี ยนในแผนภาพได้ดังนี้

3. คอมพลีเมนต์ (Complement)
คอมพลีเมนต์ของของเซต A คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็น

สมาชิกของเอกภพสัมพัทธ์ แต่ไม่เป็นสมาชิกของ A
เขียนแทนด้วย A'

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }
ดังนั้ น A' = { 4, 5}

เราสามารถเขียนการยูเนี ยนในแผนภาพได้ดังนี้

4. ผลต่างของเซต (Difference)
ผลต่างของเซต A เเละเซต B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกที่เป็น

สมาชิกของเซต A แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต B
เขียนแทนด้วย A - B

ตัวอย่าง A = { 1, 2, 3 }, B = { 3, 4, 5 }
ดังนั้ น A - B = { 1, 2 }
เราสามารถเขียนการยูเนี ยนในแผนภาพได้ดังนี้

สั ญลักษณ์ ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนต่างๆ

สมบัติการดำเนิ นการบนเซต




สมบัติพื้นฐาน
∪ ∅ ∪1. A
= A, A U=U
∩ ∅ ∅ ∩A = , A U=A

∪ ∪ ∪ ∪ ∪ ∪2. A B C = A (B C) = (A B) C
∩ ∩ ∩ ∩ ∩ ∩A B C = A (B C) = (A B) C

∪ ∩ ∪ ∩ ∪3. A (B C) = (A B) (A C)
∩ ∪ ∩ ∪ ∩A (B C) = (A B) (A C)

4. (A')' = A B'
B'
∪ ∩(A B)' = A'
∩ ∪(A B)' = A'

∩5. A - B = A B'

เพิ่มเติม

⊂ ∅ถ้า A B เเล้ว 1. A - B =
∩2. A B = A
∪3. A B = B

การหาจำนวนสมาชิกของเซตจำกัด

1. เซตจำกัด 2 เซต B)]

∪ ∩n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)
∪ ∩n[(A - B) (B - A)] = n(A) + n(B) - 2[n(A

2. เซตจำกัด 3 เซต

∪ ∪ ∩ ∩ ∩n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A
∩ ∩+ n(A B C)
B) - n(A C) - n(B C)

แบบฝึกหัด

1. A = {0, 1, 2, 3, 4} และ B = {4 , 5 , 6 , 7 } ข้อใดเป็นเอกภพสัมพัทธ์ของเซต
A และ B
ก. U = {0 , 1, 2, 3, 6 , 7 , 8 , 9}
ข. U = {0 , 1, 2, 3, 4, 5 , 7 , 8 , 9,10}
ค. U = {0 , 1, 2, 3, 5, 6 , 7 , 8 , 9, 10}
ง. U = {0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7 , 8 , 9, 10}

2.. ถ้า A = {0, 1} ข้อใดเป็นเพาเวอร์เซต ของ A ก. {{ }, 0, 1}
ข. {{ }, {0, 1}}
ค. {{ }, {0}, {1}}
ง. {{ }, {0}, {1}, {0, 1}}

3.กําหนดให้ A = เซตของสระในภาษาอังกฤษ B = เซตของคําว่า “Yes” C = {i,
e, a } ข้อใดถูกต้อง
ก. A เปนสับเซตของ B
ข. B เปนสับเซตของ C
ค. B เปนสับเซตแท้ของ A
ง. C เปนสับเซตแท้ของ A

4.ข้อใดเปนเซตที่เท่ากัน
ก. A = {5, 7, 9} และ B = {7, 7, 9}
ข. A = {5, 9, 7} และ B = {5, 5, 9, 5}
ค. A = {5, 9, 11} และ B = {5, 7, 9, 11}
ง. A = {7, 9, 11} และ B = {11, 7, 7, 9}

5กําหนดให้ B = {a, b, c, d} จํานวนสับเซต ทั้งหมดของเซต B เท่ากับ
ขัอใด

ก. 4
ข. 8
ค. 16
ง. 32

เลขยกกำลัง

( Exponential )

เลขยกกำลัง

(Exponential)

ความหมายของเลขยกกำลัง



คือ การคูณตัวเลขนั้ นๆตามจำนวนของเลขชี้กำลัง ซึ่งตัวเลข
นั้ นๆจะคูณตัวของมันเองและเมื่อแทน a เป็นจำนวนใด ๆ และ
แทน n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่มี a เป็นฐานหรือตัวเลข และ n
เป็นเลขชี้กำลัง(an) จะได้ว่า a คูณกัน n ตัว
จากนิ ยาม จะเรียก a กำลัง n ว่าเลขยกกำลัง เรียก a ว่าฐาน
และเรียก n ว่า เลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง

เช่น 1) 3 กำลัง 4 = 3*3*3*3 มี 3 เป็น ฐาน และ มี 4 เป็น
เลขชี้กำลัง

2) (-5) กำลัง 3 = -5*-5*-5 มี -5 เป็น ฐาน และ มี 3 เป็น
เลขชี้กำลัง
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ ให้อยู่ในรูปของเลขยกกำลัง
วิธีทำ 1) 8 * 16 = (2*2*2) * (2*2*2*2)

= 2* 2* 2 * 2* 2* 2* 2
= 2 กำลัง 7

2) 75 * 15 = (3*5*5) * (3*5)
= 3*5*5*3*5
= 3 กำลัง 2 * 5 กำลัง 3

สมบัติของเลขยกกำลัง

ถ้า a , b เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ m , n เป็นจำนวนเต็มบวก
1) การคูณเลขยกกำลัง ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเหมือนกัน เมื่อคูณ

กัน ให้นำเลขชี้กำลังของตัวคูณแต่ละตัวมาบวกกัน โดยใช้ฐาน

ตัวเดิม นั่ นคือ a กำลัง m * a กำลัง n = a กำลัง n+m

เช่น 2 กำลัง 3 * 2 กำลัง 4 = 2 กำลัง 3+4 = 2 กำลัง 7
2) การหารเลขยกกำลัง ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเหมือนกัน เมื่อ

หารกัน ให้นำเลขชี้กำลังของตัวหารไปลบเลขชี้กำลังของตัวตั้ง

โดยใช้ฐานตัวเดิม นั่ นคือ a กำลัง m / a กำลัง n = a กำลัง m-n

เช่น 3 กำลัง 7 / 3 กำลัง 4 = 3 กำลัง 7-4 = 3 กำลัง 3
3) เลขยกกำลังซ้อน ให้นำเลขชี้กำลังมาคูณกัน นั่ นคือ
(a กำลัง m )
ทั้งหมดยกกำลัง n = a กำลัง m*n เช่น (3 กำลัง 4 )ทั้งหมดยก

กำลัง 2 = 3 กำลัง 8

4) เลขยกกำลังของผลคูณ สามารถกระจายเป็นผล

คูณของเลขยกกำลังแต่ละตัว เมื่อมีฐานคงเดิม นั่ นคือ

(ab) กำลัง n = a กำลัง n * b กำลัง n เช่น (3p) กำลัง


7 = 3 กำลัง 7 * p กำลัง 7



5) เลขยกกำลังของผลหาร สามารถกระจายเป็นผล

หารของเลขยกกำลังแต่ละตัว เมื่อมีฐานคงเดิม นั่ นคือ


a/b ทั้งหมดกำลัง n = a กำลัง n / b กำลัง n

6) เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบ สามารถ

เขียนให้เป็นส่ วนกลับของ

เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวกได้ นั่ นคือ a

กำลัง -n = 1 / a กำลัง n

7) เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์(0) เลข

ยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ (0) มีค่าเท่ากับ 1 เสมอ

นั่ นคือ a กำลัง 0 = 1 เมื่อ a ไม่เท่ากับ 0

การจัดรูปเลขยกกำลัง













การจัดรูปเลขยกกำลัง มีจุดประสงค์เพื่อจัดให้เลข

ยกกำลังของเราอยู่ในรูปอย่างง่าย
รูปอย่างง่ายของเลขยกกำลัง หมายถึงเลขยกกำลังที่
1. เลขชี้กำลังทุกตัวเป็นบวก
2. รวมเลขยกกำลังที่มีฐานเดียวกันเอาไว้ด้วยกัน

การใช้เลขยกกำลังแทนจำนวน

การเขียนจำนวนที่มีค่ามากๆนิ ยมเขียนแทนได้ด้วยรูป

Ax10nเมื่อ 1≤A<10 และ n เป็นจำนวนเต็มบวก
เช่น 16,000,000 = 1.6×107 และทำนองเดียวกันการเขียน

จำนวนเต็มที่มีค่าน้ อยๆก็สามารถเขียนในรูป Ax10n ได้
เช่นเดียวกัน แต่ n จะเป็นจำนวนเต็มลบ
เช่น 0.000016 = 1.6×10-5

หลักการเปลี่ยนจำนวนให้อยู่ในรูป Ax10n เมื่อ 1≤A<10

และ n เป็นจำนวนเต็มอย่างง่ายๆ คือให้พิจารณาว่าจุดทศนิ ยมมี

การเลื่อนตำแหน่ งไปทางซ้ายหรือขวากี่ตำแหน่ ง ถ้าเลื่อนไป

ทางซ้ายเลขชี้กำลังจะเป็นบวก และถ้าเลื่อนไปทางขวา

เลขชี้กำลังก็จะเป็นลบ
เช่น 75000.0=7.5×104

0.000075 = 7.5×10-5

หรือกล่าวได้ว่า ถ้าจุดทศนิ ยมเลื่อนไปทางขวา n ตำแหน่ ง

เลขชี้กำลังของ 10 จะลดลง n ถ้าจุดทศนิ ยมเลื่อนไปทางซ้าย n

ตำแหน่ ง เลขชี้กำลังของ10 จะเพิ่มขึ้น n

การบวก ลบ เลขยกกำลัง





1. การบวก ลบ เลขยกกำลังที่มีฐานเหมือนกัน

และเลขยกกำลังเท่ากัน ให้นำสัมประสิทธิ์ของ

เลขยกกำลังมาบวกลบกัน
2. การบวก ลบ เลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากัน แต่

เลขยกกำลังไม่เท่ากัน จะนำสัมประสิทธิ์มาบวก
ลบกันไม่ได้ ต้องทำในรูปของการแยก

ตัวประกอบ และดึงตัวประกอบร่วมออก

แบบฝึกหัด