Trigonometri

MADRASAH ALIYAH SUNAN PANDANARAN

Kelas : X IPA

Semester : Genap

Kompetensi Dasar :

3. 6 Menjelaskan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecant, secan, dan cotangen)

pada segitiga siku-siku.

3. 7 Menggeneralisasi rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran dan sudut-

sudut berelasi.

3. 8 Menjelaskan aturan sinus dan aturan cosinus.

TRIGONOMETRI

A. PENGUKURAN SUDUT

1. Satuan Derajat 1 putaran = 90o (derajat) 1o = 60’ ( menit)
1 putaran = 360° (derajat) 1’ = 60” (detik)
1 putaran = 180o (derajat) 4

2 1 putaran = 1o (derajat)

360

2. Satuan Radian B

Definisi: rr
Perbandingan antara panjang busur di hadapan sudut dan
panjang jari-jari lingkaran. OA

r

1 rad diperoleh dengan membuat busur yang panjangnya sama dengan jari-jari

AOB = 1 radian

1 putaran penuh = g lingkaran radian = 2 radian = 2 radian
− gkaran

1 putaran = radian 1 putaran = 1 radian
4 2
2

1 putaran = 2 radian
3 3

3. Hubungan Satuan Derajat dan Radian

1 putaran penuh = 360o = 2 rad 1 rad = 180° (derajat)

1o = 1 putaran = rad
360° 180

Contoh:
90° = 90°. =
1. 6. 7 = 7 . 180° = 7.36° = 252°
180° 2
55

2. 240° = 240°. = 4 7. 2 = 2 . 180° = 2.60° = 120°

180° 3 33

3. 30° = 30°. = 8. Besar sudut 330° jika dinyatakan

180° 6

4. 2 = 2 . 180° = 2.60° = 120° dalam radian adalah..
11
33
330° = 330°. 180° = 6
5. 5 = 5 . 180° = 5.30° = 150°

66

Trigonometri – Kelas X

4. Kuadran

Satu putaran penuh (360°) dibagi menjadi 4
bagian yang disebut “kuadran” seperti tampak

pada gambar di samping.

B. Perbandingan Trionometri pada Segitia Siku-siku

(de) 1
g (sa) sin = sec = cos =

1
cos = csc = sin =

1
tan = cot = tan =

 Teorema Pythagoras

Triple Pythagoras

3, 4, 5 dan kelipatannya
5, 12, 13 dan kelipatannya
7, 24, 25 dan kelipatannya
8, 15, 17 dan kelipatannya
2 = 2 + 2

Contoh:
1. Diketahui seitiga ABC siku-siku di A. Jika cos = 35, maka sin = ⋯

Jawab: 3 Samping (AB)
C cos = 5 Miring (BC)

5 dengan triple Pythagoras, = 4
4

A3B Sehingga, sin = = = 4
5

2. Diketahui seitiga ABC siku-siku di B. Jika tan = 2, maka sin . cos = ⋯

Jawab:

Trigonometri – Kelas X

A 2 depan (BC)
tan = 2 = 1 samping (AB)

1 √5 dengan teorema Pythagoras,

= 22 + 12 = √5

B2 C

sin = = = 2 dan cos = = = 1
√5 √5

Sehingga, sin . cos = 2 . 1 = 2
√5 √5 5

3. Diketahui seitiga ABC siku-siku di C. Panjang = 10 dan = 8 maka
tan = ⋯

Jawab: dengan triple Pythagoras, = 6

B

8 10 Sehingga, tan = = = 8 = 4
6 3

CA

4. Perhatikan gambar berikut!
DC

A6 B

Jika cos ∠ = √3 dan tan ∠ = 54, panjang = ⋯
2

JawPaebrh: atikan ∆ ! Perhatikan ∆ ! C
D D

A6 B B
4
√3 tan ∠ = 5
cos ∠ = 2 4
= 5
= √3 4√3 4
2 = 5
= 5√3
6 √3
= 2 Trigonometri – Kelas X

12 √3
= .

√3 √3

= 4√3

C. Perbandingan Triongometri Sudut Istimewa

0o 30o 45o 60o 90o

sin 11 1
0 2 31

22 2

cos 1 11 1 0
2 √3 2 √2 2

tan 0 1 1 √3 -
3 √3

csc - 2 2 1

√2 3 √3

sec 1 2 √2 2 -
3 √3

cot - √3 1 1 0
3 √3

Contoh:

1. Nilai sin 30° − cos 60° adalah…

Jawab:
11

sin 30° − cos 60° = 2 − 2 = 0

2. tan2 60° = ⋯

Jawab:

tan2 60° = 2 = 3

(√3)

3. cos2 30° + sin2 45 = ⋯

Jawab:

cos2 30° + sin2 45 = 1 2 + 1 2 = 3 + 2 = 5
(2 (2 4 4 4
√3) √2)

4. Nilai sec 60° − csc 30° + cot 45° adalah…

Jawab:
sec 60° − csc 30° + cot 45° = 2 − 2 + 1 = 1

5. Jika = 17 dan = 7, panjang = ⋯

A. 7

B. 14

C. 24

D. 25

E. 26 135°


Trigonometri – Kelas X

Jawab: ∠ = 180° − 135° = 45°
7
135°
17 → tan 45° =


1 =
7

1 =

= 7

Triple Pythagoras 7, 24 ,25:
= 25

6. Andi menyandarkan sebuah tangga pada tembok samping rumah. Posisi tangga
tersebut membentuk sudut 60° terhadap lantai. Jika panjang tangga 4 m, maka jarak
antara pangkal tangga (kaki tangga) dan tembok adalah…

Jawab:

Yang ditanya: sisi samping =
Yang diketahui: sisi miring

tembok 4m mping
cos 60° = miring
60°
1
2=4
= 2

Jadi, jarak antara pangkal tangga (kaki tangga) dan tembok adalah 2 m

Trigonometri – Kelas X

C. Sudut Berelasi Dari grafik dapat disimpulkan:
 Kuadran  dan bernilai positif di kuadran I

 Sudut Berelasi dan II
 Basic °  dan bernilai negative di kuadran

Kuadran I III dan IV
sin(90° − ) = cos  dan bernilai positif di kuadran I
cos(90° − ) = sin
tan(90° − ) = cot dan IV
csc(90° − ) = sec  dan bernilai negative di kuadran
sec(90° − ) = csc
cot(90° − ) = tan II dan III
 dan bernilai positif di kuadran I
 Basic °
Kuadran II dan III
sin(180° − ) = sin  dan bernilai negative di kuadran
cos(180° − ) = −cos
tan(180° − ) = −tan II dan IV
csc(180° − ) = csc
sec(180° − ) = −sec Kuadran II
cot(180° − ) = −cot sin(90° + ) = cos
cos(90° + ) = −sin
 Basic ° tan(90° + ) = −cot
Kuadran III csc(90° + ) = sec
sin(270° − ) = −cos sec(90° + ) = −csc
cos(270° − ) = −sin cot(90° + ) = −tan
tan(270° − ) = cot
csc(270° − ) = −sec Kuadran III
sec(270° − ) = −csc sin(180° + ) = −sin
cot(270° − ) = tan cos(180° + ) = −cos
tan(180° + ) = tan
csc(180° + ) = −csc
sec(180° + ) = −sec
cot(180° + ) = cot

Kuadran IV
sin(270° + ) = −cos
cos(270° + ) = sin
tan(270° + ) = −cot
csc(270° + ) = −sec
sec(270° + ) = csc
cot(270° + ) = −tan

Trigonometri – Kelas X

 Basic °  Sudut negative
(−si n )(− ) = −sin
Kuadran IV cos(− ) = cos
sin(360° − ) = −sin tan(− ) = −tan
cos(360° − ) = cos csc(− ) = −csc
tan(360° − ) = −tan sec(− ) = sec
csc(360° − ) = −csc cot(− ) = −cot
sec(360° − ) = sec
cot(360° − ) = −cot csc( + . 360°) = csc
sec( + . 360°) = sec
 Relasi sudut > ° cot( + . 360°) = cot

sin( + . 360°) = sin
cos( + . 360°) = cos
tan( + . 360°) = tan

Contoh:
1. Nilai cos 210° adalah…

Jawab:

cos 210° = cos(180° + 30°) atau cos 210° = cos(270° − 60°)

= −cos 30 = − sin 60°

1 1
= − 2 √3 = − 2 √3

2. Nilai sin 150° adalah…

Jawab: atau sin 150° = sin(90° + 60°)

sin 150° = sin(180° − 30°) = cos 60°
1
= sin 30
1 =2

=2

3. Jika sin 10° = , maka tan 190° = ⋯

Jawab:
tan 190° = tan(180° + 10°)

= tan 10°
=

4. Nilai cos 1110° adalah…

Jawab:

cos 1110° = cos(1110° − 3.360°)

= cos 30
1

= 2 √3

Trigonometri – Kelas X

5. cos(−60) + sin 210° = ⋯

Jawab:

cos(−60) + sin 210° = cos 60° + sin(180° + 30°)
1

= 2 − sin 30°
11

=2−2
=0

6. Jika sin 37° = 3 (nilai pebulatan), maka tan 53° + cos 143° = ⋯
5

Jawab: 3 depan
sin 37° = 5 miring
5
3 dengan triple Pythagoras,
= 4
37°

4

cot 37° = = 4 dan cos 37° = = 4
3 5

Sehingga, tan 53° + cos 143° = tan(90° − 37°) + cos(180° − 37°)

= cot 37° + (− cos 37°)
44

=3−5
8

= 15

7. Diketahui sin = 15 dan sudut tumpul, maka tan = ⋯
17

Jawab:

15 depan
sin = 17 miring

17 15 ℎ goras → samping = 8
sudut tumpul → di kuadran II (selain sin negative)

Sehingga:
15

tan = = − 8

Trigonometri – Kelas X

D. Aturan Sinus pada Segitiga

C ∆ segitiga sebarang dengan = , = dan
= , berlaku:


sin = sin = sin

A B

Contoh:
1. Diketahui segitiga ABC dengan = 6 , ∠ = 30° dan ∠ = 45°. Panjang

sisi = ⋯

Jawab:

B 6
sin = sin → sin 45° = sin 30°
6 6
=
45° 1 1
30° 2 √2 2
A
C = 6√2

2. Sebidang tanah berbentuk segitiga dengan setiap titik sudutnya diberi tonggak

pembatas P, Q dan R. Jika jarak antara tonggak P dan Q adalah 90 m, ∠ = 75°
dan ∠ = 60°, maka jarak antara tonggak Q dan R adalah…

Jawab: Q ∠ = ∠ = 180° − (75° + 60°) = 45°

90 75° 90
P sin = sin → sin 45° = sin 60°
60° 90
=
R 1 1
2 √2 2 √3

= 30√6 m

E. Aturan Cosinus pada Segitiga ∆ segitiga sebarang dengan = , = dan
C = , berlaku:

2 = 2 + 2 − 2 . cos
2 = 2 + 2 − 2 . cos
2 = 2 + 2 − 2 . cos

A B

Contoh:
1. Diketahui segitiga ABC dengan = 20, = 10√3 dan ∠ = 30°. Panjang

AC adalah…

Trigonometri – Kelas X

Jawab : B Aturan Cosinus:
20 30°
2 = 202 + 2 − 2.20.10√3. cos 30°
A 10√3
(10√3)
C
1
= 400 + 300 − 400√3. 2 √3
= 700 − 600

2 = 100

= 10

2. Diberikan segitiga PQR dengan = 3 , = 4 dan = √13°, maka
cos = ⋯

Jawab:

Q Misal: sudut =

Aturan Cosinus:

√13 3 2 = 32 + 42 − 2.3.4. cos
R
(√13)
4 P
13 = 9 + 16 − 24. cos

24 cos = 12
1

cos = 2
= 60°

3. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A ke pelabuhan B dengan jurusan tiga angka

120° sejauh 40 km, kemudian berlayar menuju ke pelabuhan C dengan jurusan 240°
sejauh 80 km. Jarak antara pelabuhan A dan C adalah…

Jawab:

U ∠ = 180° − 120° = 60°
A 120° = ∠ = 360° − (240° + 60°) = 60°

40 Aturan Cosinus:
U 2 = 402 + 802 − 2.40.80. cos 60°

1
B 240° = 1600 + 6400 − 2.3200. 2
= 8000 − 3200
C 80 2 = 4800

= 40√3

Jadi, jarak pelabuhan A ke pelabuhan C adalah 40√3

Trigonometri – Kelas X