การแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

เอกสารประกอบการเรยี นออนไลน เรอื่ ง การแจกแจงความนา จะเปน ของตวั แปรสมุ ไมต อเนอ่ื ง By ครูไมค

การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสมุ ไมตอเน่ือง

1) การแจกแจงเอกรปู ไมตอเนื่อง (Discrete Uniform Distribution)

การแจกแจงเอกรปู ไมตอเนื่อง เปนการแจกแจงที่เกิดจากการทดลอง 1คร้ัง ซึง่ มีผลลพั ธเปนไปไดทง้ั หมด k แบบ โดยที่
ผลลพั ธแตละแบบมีโอกาสเกิดขึ้นเทา ๆ กัน ซ่งึ การแจกแจงเอกรูปไมต อ เนื่อง เขยี นดวยสัญลักษณ Uniform(k) หรอื U(k)

ตวั อยา งของตวั แปรสุมท่ีมกี ารแจกแจงเอกรูปไมตอเน่ือง เชน
1. กาํ หนด X เปน ตวั แปรสมุ แทนแตม ที่ไดจ ากการทอดลูกเตา 1ลูก 1ครัง้ จะเห็นวา X มีการแจกแจงแบบ
Uniform(6) หรอื U (6) เขยี นแทนดว ยสัญลักษณ X  Uniform(6) หรือ X U (6)
2. กําหนด X เปนตวั แปรสมุ แทนเลขทายสองตัวจากการจบั รางวลั ของกองสลากกนิ แบง รัฐบาล
จะเห็นวา X มีการแจกแจงแบบ Uniform(100) หรือ U (100) เขียนแทนดวยสัญลักษณ X  Uniform(100) หรือ

X  U (100)

ขอตกลง : เราจะใชส ญั ลักษณ X U (k) และ  เรยี กวา Tilde (มกี ารแจกแจง)

บทนยิ าม

ให X เปนตัวแปรสมุ ชนิดไมต อเนอื่ ง ถาของทเ่ี ปนไปไดทั้งหมดของ X คอื x1, x2, x3,..., xn
แลวการแจกแจงความนาจะเปนท่ีตัวแปรสุม X เปน การแจกแจงเอกรูปไมตอเน่ือง (Discrete Uniform Distribution)

เมอื่ P( X  xi )  1 , i  1, 2, 3, ..., n

n

จากบทนิยาม จะเห็นวาการแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุมจะเปนการแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่อง เม่อื การเกิดคา

แตล ะคาท่ีเปนไปไดข องตัวแปรสมุ มคี วามนาจะเปน เทากัน

จากหวั ขอท่ผี า นมา เราสามารถหาคา คาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุมชนดิ ไมตอ เนื่องไดดวยสตู ร
n
E(X )   xf (x) หรือ X   xi P( X  xi )

xX i1 n

V(X )  E( X 2)  E(X )2 หรือ  2  ( xi  X )2 P( X  xi )
X
i1

ดังน้ันเม่ือหาคาคาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุม X U (k) ทําไดโดยให f (x)= 1 จะไดผลลัพธดัง

k

ทฤษฎีตอ ไปน้ี

ทฤษฎีบท

คา คาดหมายและความแปรปรวนของตัวแปรสุม X ท่ีมกี ารแจกแจงเอกรูปไมตอเน่ือง หรอื X U (k) คือ

E(X )  X  1 k xi และ V( X )  1 k  xi  X 2 หรอื  2  1 k  xi   2
 X
k k   k  X 
i1
i1 i1

เอกสารประกอบการเรียนออนไลน เรอ่ื ง การแจกแจงความนาจะเปนของตวั แปรสมุ ไมต อ เน่ือง By ครไู มค

ตัวอยางที่ 1 ในการทอดลูกเตาที่เท่ียงตรง 1 ลูก 1คร้ัง ใหตัวแปรสุม X คือแตมบนหนาลูกเตา จงพิจารณาวาการแจกแจง
ความนาจะเปนท่ีตัวแปรสุม X เปนการแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่องหรือไม พรอมท้ังเขียนแสดงการแจกแจงความนาจะเปนท่ีตัว
แปรสมุ X ในรปู ตารางและกราฟ

วิธที ํา คา ทเ่ี ปนไปไดข องตัวแปรสมุ X คอื 1, 2,3, 4,5 และ 6
สําหรบั x 1, 2,3, 4,5,6 จะไดว า P(X  x) คือความนา จะเปน ท่ลี กู เตาขน้ึ แตม x

เนื่องจากลกู เตาเที่ยงตรง จะไดว า P(X  x)  1
6

ดงั น้นั การแจกแจงความนา จะเปน ที่ตัวแปรสมุ X เปนการแจกแจงเอกรูปไมตอ เนือ่ ง
จะไดต ารางแสดงการแจกแจงความนา จะเปนทตี่ ัวแปรสุม X ดงั นี้

x 12 34 5 6
1 1
P(X  x) 1 1 1 1 6 6

6666

และจะไดกราฟแสดงการแจกแจงความนา จะเปน ที่ตวั แปรสุม X ดงั นี้

ตัวอยา งท่ี 2 ปยุ ฝายสมุ หยิบสลาก 1ใบ จาก 4 ใบ แตละใบมจี าํ นวนเงินรางวัลแตกตา งกันคือ 20,50,100 และ 500
ใหต วั แปรสุม X คอื จาํ นวนเงนิ รางวลั ท่ปี ุยฝา ยจะไดร ับ
1) จงพิจารณาวาการแจกแจงความนาจะเปน ทต่ี วั แปรสุม X เปนการแจกแจงเอกรปู ไมตอ เน่อื งหรอื ไม
2) จงหาคา คาดหมายของตวั แปรสุม X
3) ถา ปุยฝายตองจายเงนิ ซ้ือต๋ัวราคา 150 บาท เพื่อหยิบสลาก 1ใบ จงพิจารณาวาปุยฝายสุมหยิบสลากหลาย ๆ ครั้ง โดยเฉล่ีย
แลวปุยฝายไดเ ปรยี บหรอื เสยี เปรียบ

วธิ ที ํา
1) เนือ่ งจากตวั แปรสุม X คอื จํานวนเงินท่ีปุยฝายจะไดรบั
คาทเี่ ปนไปไดของตัวแปรสมุ X คือ 20,50,100 และ 500
สาํ หรบั x 20,50,100,500 จะไดว า P(X  x) คอื ความนาจะเปนทีป่ ยุ ฝา ยจะไดรับเงนิ รางวลั x บาท นั่นคือ

เอกสารประกอบการเรียนออนไลน เรอ่ื ง การแจกแจงความนา จะเปน ของตวั แปรสมุ ไมต อ เนือ่ ง By ครไู มค

P(X  x)  1

4

ดังน้นั การแจกแจงความนา จะเปน ท่ตี วั แปรสุม X เปน การแจกแจงเอกรปู ไมตอเนื่อง

2) เนอื่ งจาก E(X )  X  20  1   50  1   100  1   500  1   167.50
 4   4   4   4 

ดังนน้ั คา คาดหมายของตัวแปรสมุ X คอื 167.50 บาท

3) ในแตละครัง้ ท่ปี ุยฝา ยซื้อตั๋วราคา 150 บาท เพ่ือหยบิ สลาก มีคา คาดหมายท่ีปุยฝา ยจะไดร บั เงินรางวลั 167.50 บาท
ซึ่งไดเ ปรยี บอยู 167.50 150  17.50 บาท แสดงวาถาปยุ ฝา ยสมุ หยบิ สลากหลาย ๆ ครงั้ โดยเฉล่ียแลว ปุยฝายไดเ ปรียบ

ตัวอยางท่ี 3 กําหนดให X เปนตวั แปรสุมแบบไมตอ เนื่อง ที่มีฟงกชันการแจกแจงความนาจะเปนคือ P(X  x)  C สําหรับ

x 20, 40, 60,80 จงหา

1) คา C 2) E( X ), X 3) P(X  X ) 4) V (X ), 2
X

วิธที าํ 1) เราสามารถเขียนตารางแจกแจงความนาจะเปน ของตวั แปรสุม X ดงั นี้

x 20 40 60 80 รวม

P(X  x) C C CC 1

จากนยิ ามของฟงกชนั การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสมุ X จะไดว า

P( X  20)  P(X  40)  P(X  60)  P(X  80)  1 C  1

4

2) E(X )  X  20  1   40  1   60  1   80  1   50
 4   4   4   4 

3) โดยอาศยั คาของ E(X ), X ในขอ 2) จะไดวา

P( X  X )  P( X  50)  P( X  20)  P( X  40)  1  1  1
4 4 2

4) V ( X )   2  1 k  xi  X 2
X
k  

i1

  1  (20  50)2   1  (40  50)2   1  (60  50)2   1  (80  50)2
 4   4   4   4 

  1  (900  100  900  100)  500
 4 

เอกสารประกอบการเรยี นออนไลน เรอ่ื ง การแจกแจงความนาจะเปน ของตวั แปรสมุ ไมต อ เน่อื ง By ครไู มค

ตวั อยา งที่ 4 วงลอหมุนวงหนึ่งแบงพนื้ ท่ีออกเปน 5 สวนเทา ๆ กัน และมหี มายเลข 2,4,6,8 และ 10 กํากับไวในแตละสวน ดังรปู
กาํ หนด X เปนตัวแปรสุมแทนหมายเลขที่ลกู ศรชี้ เม่อื วงลอ หยุดหมนุ

1) จงหาฟงกช ันมวลความนาจะเปน ของตัวแปรสุม X
2) จงหาความนาจะเปนทล่ี ูกศรตรงกบั หมายเลขไมเ กนิ 6
3) จงหาความนา จะเปน ที่ลูกศรตรงกับหมายเลขที่ไมเ ปนจํานวนเฉพาะ
4) จงหาคา คาดหมายและความแปรปรวนของตวั แปรสุม X

วธิ ีทาํ
1) เนอื่ งจากโอกาสทล่ี กู ศรจะตรงกับหมายเลข 2,4,6,8 และ 10 เทากัน
ดงั นนั้ X เปน การแจกแจงเอกรูปไมตอเนอื่ ง จะไดวา

 1 , x  2, 4, 6, 8, 10
f (x ; 5)= 5

0, x is otherwise

2) ความนาจะเปน ท่ีลกู ศรตรงกบั หมายเลขไมเกนิ 6 จะได

P( X  6)  P( X  2)  P( X  4)  P(X  6)  1  1  1  3
5 5 5 5

3) ความนาจะเปน ทลี่ กู ศรตรงกบั หมายเลขทไ่ี มเ ปนจํานวนเฉพาะ จะได

 P( X  4)  P( X  6)  P(X  8)  P( X  10)  1  1  1  1  4
5 5 5 5 5

4) คาคาดหมายของตวั แปรสุม X จะได

E(X )  X  1 k xi

k
i1

E(X )  X  1 2  4  6  8  10  6
5

ความแปรปรวนของตัวแปรสมุ X จะได

V ( X )   2  1 k  xi   X 2
X
k  

i1

  1   2  62  4  62  6  62  8  62  10  62   8
 5  

เอกสารประกอบการเรยี นออนไลน เรอื่ ง การแจกแจงความนาจะเปนของตวั แปรสมุ ไมต อเนอ่ื ง By ครไู มค

แบบฝกหัด เรอื่ ง การแจกแจงเอกรปู ไมต อเนือ่ ง

1) อนริ ทุ ธิ์รวมเลน กิจกรรมหมนุ วงลอ เงนิ รางวัลวงหนึ่ง ทแี่ บง เปน 8 สวนเทา ๆ กนั โดยมเี งินรางวลั 300, 100,10, 20, 50,
100, 200 และ 300 บาท กําหนด X แทนรางวัลที่อนิรทุ ธ์หิ มุนได จงหา

A) ฟงกชนั มวลความนา จะเปน ของ X
B) ความนา จะเปนที่อนิรุทธ์ิหมนุ ไดเงินรางวัลมากกวา 50 บาท
C) คา คาดหมายและความแปรปรวนของ X

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

เอกสารประกอบการเรยี นออนไลน เรอื่ ง การแจกแจงความนา จะเปนของตวั แปรสมุ ไมต อ เน่อื ง By ครไู มค

2) ครปู ระจําชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 / 3 ไดน ําของขวัญมารว มจับสลากในวนั ข้ึนปใหม โดยมูลคา ของของขวัญทน่ี อ ยท่ีสดุ คือ 100
บาท และเม่อื นาํ มูลคา ของของขวญั ท้งั หมดมาเรยี งลําดับจากนอยไปมาก พบวา มูลคาของของขวญั ท่ีอยตู ดิ กนั จะตา งกัน 100
บาท ถา ความนาจะเปน ทนี่ กั เรยี นจะไดรบั ของขวญั แตละชิ้นมคี า เทา กนั คือ 0.125 จงหาคา คาดหมายของมลู คา ของขวัญทง้ั หมด
ทค่ี รูนํามาจับสลาก

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....

เอกสารประกอบการเรยี นออนไลน เรอ่ื ง การแจกแจงความนา จะเปนของตวั แปรสมุ ไมต อเนือ่ ง By ครูไมค

3) ในงานประจําปข องโรงเรยี นแหงหน่ึงจัดกจิ กรรมเกมลูกเตา เส่ยี งโชค โดยมีกติกาวา ผูเลนจะตองทอดลูกเตา ที่เที่ยงตรง 1ลูก
ถา ลูกเตา ขึน้ แตม 1, 2, 3, 4, 5 หรอื 6 ผูเลนจะไดร บั เงินรางวลั 30,18,12,10, 5 หรือ 1 บาท ตามลําดับ โดยใหตวั แปรสมุ X

แทนเงินรางวลั ทผี่ เู ลนจะไดร ับจากการเลนกจิ กรรมเกมลกู เตา เส่ียงโชค อยากทราบวาผูจัดเกมนีค้ วรตง้ั ราคาตวั๋ สาํ หรบั เลน เกม
อยางนอยเทา ไร (ตอบเปน จาํ นวนเตม็ ) โดยเฉล่ยี แลวจงึ จะไมข าดทุน เมอ่ื มีการเลนกิจกรรมเกมลกู เตา เสยี่ งโชคหลาย ๆ คร้งั

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….....