การแจกแจงทวินาม

เอกสารประกอบการเรียนออนไลน เรอ่ื ง การแจกแจงความนา จะเปนของตวั แปรสมุ ไมต อ เนอ่ื ง By ครูไมค

การแจกแจงความนา จะเปนของตวั แปรสมุ ไมตอ เน่อื ง

2) การแจกแจงความนา จะเปนแบบทวนิ าม (Binomial Probability Distribution)
นกั เรียนไดศกึ ษาเกีย่ วกบั การแจกแจงเอกรูปไมตอเนื่อง ซ่งึ เปนการแจกแจงความนา จะเปน ของตัวแปรสมุ อยางงา ย

เนอื่ งจากการเกิดคา แตล ะคาท่ีเปนไปไดข องตวั แปรสุม มคี วามนา จะเปน เทา กัน ซงึ่ อาจพบไดไ มมากนักในชวี ิตจรงิ

บทนยิ าม
การแจกแจงความนาจะเปนแบบทวินาม (Binomial Probability Distribution) คือ การแจกแจงความนาจะ

เปนของตัวแปรสุม X ซ่งึ คือจํานวนคร้ังของการเกิดผลสําเรจ็ จากการทดลองสมุ n คร้ังทเ่ี ปนอิสระกนั โดยแตละครง้ั มโี อกาส
เกิดผลสําเรจ็ ดว ยความนาจะเปน เทากบั p และ ไมเ กดิ ผลสําเรจ็ ดว ยความนาจะเปน เทา กบั 1 p

หมายเหตุ :
1) เรยี ก n และ p วา พารามิเตอรข องการแจกแจงทวนิ าม เขียนสญั ลกั ษณ X  B(n, p) เพ่อื แสดงวาจากแจกแจง

ความนาจะเปน ของตวั แปรสมุ X เปนการแจกแจงทวินามท่ีมี n และ p เปน พารามิเตอร
2) การทดลองสุม 1ครัง้ มีผลลพั ธท่เี ปนไปไดเพยี ง 2 แบบ คือ สาํ เร็จและไมส าํ เร็จ เรียกวา การลองแบรน ลู ลี

(Bernoulli trial) เชน การโยนเหรยี ญ 1เหรียญ 1ครง้ั

Jacob Bernoulli
จากบทนิยามขางตน สรปุ ไดว า การแจกแจงทวินามคอื การแจกแจงความนาจะเปน ของตัวแปรสุมไมต อเนื่องท่ีมลี ักษณะ
ดังตอ ไปน้ี
1) เกิดจากการทดลองสุม n ครั้งท่ีเปนอิสระกัน กลาวคือ ผลที่ไดจากการทดลองสุมในครั้ง กอนหนาไมสงผลตอการ
ทดลองสมุ ในครง้ั ตอ ๆ ไป
2) การทดลองสมุ ในแตล ะครั้งมผี ลลพั ธทเี่ ปนไปไดเพียง 2 แบบ คือ สําเร็จและไมส าํ เร็จ
3) ความนาจะเปนที่จะเกิดผลสําเร็จในการทดลองสุมแตล ะคร้ังเทากัน ใหเปน p เมื่อ 0  p  1 และจะไดความนาจะ
เปน ที่จะไมเ กดิ ผลสําเรจ็ ในการทดลองสมุ ในแตล ะครงั้ เปน 1 p

เอกสารประกอบการเรยี นออนไลน เรอื่ ง การแจกแจงความนาจะเปนของตวั แปรสมุ ไมต อ เนอ่ื ง By ครไู มค

ตัวอยา งของการทดลองสมุ แบบทวนิ าม

การทดลอง X n ส่งิ ท่ีสนใจ สง่ิ ที่ไมสนใจ p
การโยนเหรยี ญ หวั กอ ย
จาํ นวนครั้งที่ออกหัว จํานวนครั้งในการ 1
การมบี ตุ ร โยนเหรยี ญ หญิง ชาย 2
จาํ นวนบตุ รสาว จํานวนบุตร
ผิด 1
การทําขอสอบเลือกตอบ จาํ นวนขอทตี่ อบถูก จาํ นวนขอ สอบ ถกู 2
4 ตัวเลอื ก ลูกบอลสีเขียว ลูกบอลสอี นื่ ๆ 1
จํานวนครั้งในการหยิบ ทไ่ี มใชส ีเขียว 4
การหยบิ ลูกบอลจาก จาํ นวนลูกบอลสีเขียว ลกู บอล
กลองท่มี ลี ูกบอลสเี หลือง 4
5 ลูก สแี ดง 3 ลกู 12
สเี ขยี ว 4 ลูก

ในการคํานวณความนาจะเปนที่จะเกิดความสําเร็จ x คร้ัง จากการทดลองทวินาม B(n, p) เราจะใชความรู เรื่อง
ความนาจะเปน ของเหตุการณท ่ีเปน อสิ ระตอกัน กลาวไดวา ถา A และ B เปน เหตุการณท ่ีเปน อสิ ระตอกัน แลว

P(A  B)  P( A)P(B)

พิจารณาการเลน เปายงิ ฉบุ กับเพ่อื นท้ังหมด 20 ครั้ง เม่ือการท่ชี นะเปนความสาํ เรจ็

เมอ่ื ให X เปนตวั แปรสมุ แทนจาํ นวนครง้ั ทีเ่ ปายงิ ฉบุ ชนะ ดังนนั้ X  B(20,1)
3

ถาเราสนใจความนาจะเปนท่ีจะเปายิงฉุบชนะทั้งหมด 7 คร้ัง กลาวไดวา ใหหาคา P(X  7) เนื่องจาก B(20,1) คือ
3

การทดลองทวินามท่ีมีการทดลอง 20 คร้ัง และความนาจะเปนที่จะเกิดความสําเร็จใน แตละครั้ง คือ 1 ซึ่งตองการหา
3

ความนาจะเปนท่ีจะเกิดความสําเรจ็ ท้ังหมด 7 ครั้ง น่ันคือ จะเกิดความไมสําเร็จ 13 คร้ัง เราสามารถคํานวณความนาจะเปน
ท่ีจะเปา ยิงฉุบชนะทง้ั หมด 7 คร้ังได ตามข้นั ตอนตอไปนี้

ข้นั ที่ 1 : ในการทดลอง 20 ครั้ง จะเกดิ ความสําเรจ็ ทง้ั หมด 7 ครัง้ มีวิธที ัง้ หมด  20  วิธี เชน
 
 7 

อาจจะเกิดความสําเร็จในการทดลองคร้งั ท่ี 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 หรือในการทดลองคร้งั ที่ 2, 8,11,15,17,19, 20

ขน้ั ที่ 2 : ในแตละวธิ ีมกี ารทดลองทวนิ าม 20 ครงั้ โดยจะเกิดความสาํ เร็จดวยความนาจะเปน 1 รวมท้ังหมด 7 คร้ัง
3

และจะเกดิ ความไมส ําเร็จดว ยความนาจะเปน 1 รวมท้งั หมด 13 คร้ัง เนือ่ งจากการทดลองแตละครงั้ เปน อิสระตอกัน

1
3

จึงคาํ นวณหาความนาจะเปน ดวยการนาํ ความนาจะเปนของการทดลองท้ัง 20 คร้งั มาคูณกันไดผ ลลพั ธเปน

 1 7  1  1 13
 3   3 

เอกสารประกอบการเรียนออนไลน เรอื่ ง การแจกแจงความนาจะเปนของตวั แปรสมุ ไมต อ เน่อื ง By ครไู มค

ขั้นท่ี 3 : จากทง้ั 2 ขัน้ ตอน ความนาจะเปน ของการเปา ยิงฉบุ ชนะทงั้ หมด 7 ครง้ั เทากับ

P( X  7)   20   1 7  1  1 13  0.1821
     3 
 7  3

จากการทดลองทวินามขางตน เราสามารถเขียนใหอยูใ นรปู กรณที ั่วไปของการหาความนาจะเปนของการทดลองทวินาม

เม่ือ X  B(n, p) ได ดงั น้ี

P( X  x)  n px (1  p)nx
 
 x 

ทฤษฎีบท

ถา การแจกแจงความนาจะเปนของตัวแปรสุม X เปน การแจกแจงแบบทวินาม จะไดวา

1) P( X  x)   n  px (1 p)nx , x 0,1,2,..., n หรือ
 x 
 

P( X  x)   n  px (q)nx ,x 0,1,2,..., n, q 1 p
 x 
 

2) E( X )  X  np

3) V ( X )   2  np(1  p)  npq
X

4)  X  np(1  p)  npq

เมอ่ื n แทนจาํ นวนครั้งของการทดลองสุม p แทนความนาจะเปน ที่จะเกดิ ผลสาํ เรจ็ ในการทดลองสมุ แตล ะคร้งั และ q
แทนความนา จะเปนที่จะไมเ กิดผลสาํ เร็จในการทดลองสมุ แตละครัง้

ขน้ั ตอนการหาความนา จะเปนของการแจกแจงความนา จะเปนแบบทวินาม

1) พจิ ารณาวาเปน การทดลองสุม แบบทวินามหรือไม โดยพิจารณาวา โจทยใ หจ ํานวนครงั้ ของการทดลองท่ซี ้าํ ๆ กันหรือไม
และบอกความนาจะเปน ของส่ิงทส่ี นใจ ( p ) หรือไม

2) ถาโจทยไมก ําหนด p มาให ตองคาํ นวณหาคา p จากส่งิ ทโ่ี จทยกําหนดมาให

3) หาความนาจะเปน ตามที่โจทยตองการ โดยการแทนคา n และ p ลงในฟงกชนั ความนาจะเปน
หรือเปด ตารางทวนิ าม (อาจใชโปรแกรม GeoGebra มาชว ยในการหาความนาจะเปนแบบทวินาม)

เอกสารประกอบการเรียนออนไลน เรอ่ื ง การแจกแจงความนาจะเปน ของตวั แปรสมุ ไมต อเนื่อง By ครไู มค

ตวั อยางท่ี 1 ในการทอดลูกเตา 1 ลูก 5 คร้งั จงหาความนาจะเปนท่ลี ูกเตา จะเกดิ แตม 6 จาํ นวน 2 ครั้ง

วธิ ีทํา มขี นั้ ตอนในการคาํ นวณดังน้ี
1) โจทยขอน้ีเปนการทดลองสมุ แบบทวินาม โดยท่ี
- จํานวนคร้งั ในการทอดลูกเตา เปนการทดลองซํ้า ๆ กนั 5 ครั้ง นัน่ คอื n  5
- สง่ิ ทส่ี นใจ คือ ลกู เตาเกิดแตม 6

2) คํานวณหาคา p จากสิง่ ทโ่ี จทยกาํ หนดมาให

- ความนาจะเปน ของสิ่งทีส่ นใจ โจทยไมไ ดบ อกแตส ามารถหาได นั่นคือ

P (ทีเ่ กิดแตม 6 )  1  p P (ทีจ่ ะไมเกิดแตม 6 )  1 1  5  q
6 66

ดังนัน้ X เปน ตวั แปรสุมแบบไมตอเน่อื ง แทนจํานวนครั้งท่ลี กู เตาเกดิ แตม 6

X  B(5, 1) โดยท่ี x 1, 2, 3, 4, 5
6

3) หาความนาจะเปนตามทีโ่ จทยตองการ
โจทยถ ามหาความนาจะเปน ลูกเตาจะเกิดแตม 6 จํานวน 2 ครง้ั ซึ่งเราตองเปลยี่ นประโยคขอความใหเ ปนประโยค
สัญลักษณ เพื่อคาํ นวณหาความนา จะเปน ตอ ไป

โดยท่ี ความนา จะเปน ลกู เตาจะเกิดแตม 6 จํานวน 2 ครัง้

P (X = 2)

ดงั นั้น ส่งิ ทโี่ จทยตองการหา คือ P(X  2)

P( X  x)   n  px (1 p)nx , x 0,1,2,..., n
 x 
 

P( X  2)   5   1 2  1  1 52  5  1 2  5 3  5!  1 2  5 3  0.1608
 2   6   6       6  (5  2)!2!  6   6 
   2  6

ดังนนั้ ความนาจะเปนท่ลี กู เตาจะเกดิ แตม 6 จาํ นวน 2 คร้งั มีคา ประมาณ 0.1608

ตัวอยา งท่ี 2 จงหาความนาจะเปน ในการที่จะไดรับคาํ ตอบจากแบบสอบถามจาํ นวน 3ชดุ จาก 10 ชุดท่ีแจกไป
ถา ความนา จะเปนของตอบแบบสอบถามเปน 1

5

วิธที าํ มขี นั้ ตอนในการคาํ นวณดังนี้
1) โจทยข อน้เี ปน การทดลองสุมแบบทวนิ าม โดยท่ี
- จํานวนแบบสอบถามท่ีแจกไปเปน การทดลองซาํ้ ๆ กัน จํานวน 10 ชดุ นัน่ คอื n  10
- ส่งิ ทส่ี นใจ คือ การตอบแบบสอบถาม

เอกสารประกอบการเรยี นออนไลน เรอื่ ง การแจกแจงความนาจะเปนของตวั แปรสมุ ไมต อเน่อื ง By ครูไมค

2) คาํ นวณหาคา p จากสง่ิ ท่โี จทยกาํ หนดมาให

- ความนา จะเปนของส่งิ ทสี่ นใจ โจทยไมไ ดบ อกแตสามารถหาได นน่ั คอื
P (ของการตอบแบบสอบถาม)  1  0.2  p P (ของการตอบแบบสอบถาม)  1 0.2  0.8  q

5

ดังน้นั X เปนตวั แปรสุมแบบไมต อเน่ือง แทนจํานวนชดุ ของแบบสอบถามที่ไดรับการตอบ
X  B(10,0.2) โดยท่ี x 1, 2, 3, ..., 10

3) หาความนาจะเปน ตามท่ีโจทยตอ งการ
โจทยถามหาความนาจะเปน การไดร ับคําตอบจากแบบสอบถามจาํ นวน 3ชดุ ซ่ึงเราตองเปล่ยี นประโยคขอ ความใหเปน
ประโยคสัญลกั ษณ เพื่อคํานวณหาความนา จะเปน ตอไป
โดยท่ี ความนา จะเปน ในการทีจ่ ะไดร ับคําตอบจากแบบสอบถาม จาํ นวน 3ชดุ

P ( X = 3)

ดังนั้น ส่ิงทโี่ จทยตอ งการหา คอื P(X  3) ซึ่งวธิ ีการหาคาํ ตอบสามารถทําได 2 วิธี คือ

วธิ ีท่ี 1 : แทนคาในสตู ร แลว คาํ นวณตามสูตร

P( X  3)   100.2 3  0.8 7  1  1 52  10! 0.23 0.87  0.2013
   6 
3 7!3!

ดงั นั้น ความนา จะเปนท่จี ะไดรับคาํ ตอบจากแบบสอบถามจาํ นวน 3ชดุ มีคาประมาณ 0.2013

วธิ ีท่ี 2 : การเปดตารางทวินาม

วธิ ีการเปดตาราง
1) พจิ ารณาวาตารางท่ีมเี ปน ตารางลักษณะใด เพราะตารางแตล ะแบบมกี ารเปด ตารางท่ีแตกตางกัน โดยท่ัวไปตารางทวินามมี 2
ลักษณะ เปนตารางความนา จะเปนสะสม P(X  x) และตารางความนา จะเปน ของคา x แตละคา P(X  x)
2) หา n และ p ทตี่ องการเปด ในทน่ี ค้ี ือ n  10, p  0.2 จะไดคอลัมมท ่ีจะใชในการเปดตาราง
3) หาคา x ทีต่ อ งการเปด ในทีน่ ี้ คอื x  3
4) คาํ ตอบท่ีไดคือ 0.2013

เอกสารประกอบการเรยี นออนไลน เรอื่ ง การแจกแจงความนาจะเปน ของตวั แปรสมุ ไมต อเน่อื ง By ครูไมค

Binomial Table

หมายเหตุ : ในตารางคา k คอื x
ดังนน้ั ความนา จะเปนทจี่ ะไดรับคําตอบจากแบบสอบถามจาํ นวน 3ชดุ มีคาประมาณ 0.2013

สามารถแสดงคา ความนาจะเปน ของการแจกแจงแบบทวินามดว ยโปรแกรม GeoGebra ดังน้ี

เอกสารประกอบการเรียนออนไลน เรอื่ ง การแจกแจงความนา จะเปนของตวั แปรสมุ ไมต อเนอ่ื ง By ครไู มค

ตัวอยา งท่ี 3 ในการโยนเหรยี ญเท่ยี งตรง 1 เหรียญ 5 ครงั้ ความนา จะเปนท่ีเหรียญจะข้ึนหัวหรอื กอ ยเทากนั
จงหาความนาจะเปนทเี่ หรียญ

1) จะข้นึ หัว 2 คร้ัง
2) จะข้ึนหัวมากกวา 3 ครง้ั
3) จะขนึ้ หวั มากกวา 2 ครัง้ แตไ มเ กนิ 4 คร้งั

วิธที าํ เนอ่ื งจากความนาจะเปนทีเ่ หรยี ญจะข้ึนหวั ในแตละครงั้ คือ ความสําเร็จ

ให X เปน ตวั แปรสุมแทนจํานวนครัง้ ทเ่ี หรยี ญขึน้ หัว X  B(5, 1) โดยท่ี x 1, 2, 3, 4, 5
2

จาก P( X  x)   n  p x (1  p)nx , x 0,1,2,..., n
 x 
 

จะไดว า p  1 และ q  1 การโยนเหรยี ญทัง้ หมด 5 ครั้ง จะไดว า n  5
22

1) ความนาจะเปน ที่เหรียญจะขนึ้ หวั 2 คร้ัง เทากบั

P( X  2)  5 1 2  1 3  5!  1 2  1 3 5  0.3125
   2   2  3!2!  2   2 
 2  16

2) ความนาจะเปนที่เหรยี ญจะขน้ึ หัวมากกวา 3 ครงั้ เทา กับ

P(X  3)  P( X  4)  P( X  5)

  5   1 4  1 1   5   1 5  1 0
 4   2  2  5   2  2
       
   

 5!  1 4  1 1  5!  1 5  1 0  5  1 5  1 5  3  0.1875
1!4!  2   2  0!5!  2   2   2   2  16

3) ความนา จะเปน ท่ีจะข้ึนหวั มากกวา 2 ครง้ั แตไมเ กิน 4 ครัง้ เทา กับ

P(2  X  4)  P( X  3)  P(X  4)

  5  1 3  1 2   5  1 4  1 1
 3  2   2     2   2 
  4 

 5!  1 3  1 2  5!  1 4  1 1  5  5  15  0.4688
2!3!  2  2 1!4!  2  2 16 32 32
   
   

เอกสารประกอบการเรียนออนไลน เรอื่ ง การแจกแจงความนา จะเปนของตวั แปรสมุ ไมต อ เน่อื ง By ครไู มค

สามารถแสดงคา ความนาจะเปนของการแจกแจงแบบทวนิ ามดวยโปรแกรม GeoGebra ดงั นี้
1) ความนาจะเปน ท่เี หรียญจะขน้ึ หัว 2 ครงั้ มีคา ประมาณ 0.3125

2) ความนาจะเปน ที่เหรียญจะขึน้ หวั มากกวา 3 ครั้ง มีคาเทา กับ 0.1875

3) ความนา จะเปนท่จี ะขึน้ หัวมากกวา 2 ครั้ง แตไมเ กนิ 4 คร้ัง มคี า ประมาณ 0.4688

เอกสารประกอบการเรียนออนไลน เรอื่ ง การแจกแจงความนาจะเปนของตวั แปรสมุ ไมต อเนื่อง By ครไู มค

ตัวอยา งท่ี 4 ความนา จะเปน ที่พิมรี่พายจะซอ้ื ชานมไขมกุ ในแตละวันเทากับ 9 จงหาความนา จะเปนท่ีพิมร่พี ายจะซื้อชานม
10

ไขม ุกไมเกนิ 2 วนั ในหนึ่งสัปดาห

วธิ ีทํา เนื่องจากการตัดสนิ ใจซ้ือชานมไขมกุ ของพมิ รี่พายในแตละวัน คอื ความสาํ เรจ็
ให X เปน ตัวแปรสุมแทนจํานวนวันท่ีพมิ รพ่ี ายจะซอื้ ชานมไขม ุกในหนงึ่ สปั ดาห X  B(7, 9 )

10

โดยท่ี x 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

จะไดว า p  9 และ q  1 และ n  7
10 10

ดงั นนั้ ความนาจะเปน ทพ่ี ิมรี่พายจะซอื้ ชานมไขมุกไมเ กิน 2 วัน ในหนึ่งสัปดาห คอื

P(X  2)  P( X  0)  P( X  1)  P(X  2)

 7 9 0 1 7  7 9 1  1 6  7 9 2  1 5
     10     10   10     10   10 
 0  10  1   2 

 7!  9 0  1 7  7!  9 1  1 6  7!  9 2  1 5
7!0!  10  10 6!1!  10  10 5!2!  10  10
     
     

 0.0002

หมายเหตุ : 7!  9 0  1 7  7!  9 1  1 6  7!  9 2  1 5 การคาํ นวณคอ นขา งนาน จึงใชแ อพพลิเคชั่น
7!0!  10  10 6!1!  10  10 5!2!  10  10
     
     

Photomath มาชวย ซ่งึ ไดค าํ ตอบเทา กัน ดงั ภาพ