รากที่ n ของจำนวนจริง

รากที่ n ของจานวนจริง

บทนยิ าม ใ.ห...้.n....เ.ป...น็ ...จ..า..น..ว...น..เ.ต...ม็ ..บ...ว..ก..ท...่ีม..า..ก...ก..ว..่า....1.......
a....แ..ล..ะ....b....เ.ป...น็ ..จ..า..น...ว..น...จ..ร..ิง...........................
b....เ.ป...็น..ร..า..ก...ท..่ี..n....ข..อ..ง...a......ก..ต็ ..อ่...เ.ม...่ือ...b...n...=....a...

พิจารณาการคณู ด้วยจานวนเดยี วกัน
ของจานวนต่อไปนี้

1. 961 = 31 × 31 = 312
หรือ 961 = (-31) × (-31) = (-31)2

มจี านวนจริง 31 และ -31 ทีย่ กกาลงั 2 ได้ 961
จะกล่าวว่า 31 และ -31 เป็นรากท่ี 2 ของ 961

2. 1,024 = 2×2×2×2×2×2×2×2×2×2 = 210

หรอื 1,024 = (-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2) = (-2)10
หรือ 1,024 = 32×32 = 322
หรือ 1,024 = (-32)×(-32) = (-32)2
หรือ 1,024 = 4×4×4×4×4 = 45

มจี านวนจรงิ 2 และ -2 ที่ยกกาลัง 10 ได้ 1,024

จะกล่าวว่า 2 และ -2 เป็นรากที่ 10 ของ 1,024

มีจานวนจริง 32 และ -32 ทยี่ กกาลัง 2 ได้ 1,024

จะกล่าวว่า 32 และ -32 เปน็ รากที่ 2 ของ 1,024

มเี พยี งจานวนจรงิ 4 ทีย่ กกาลัง 5 ได้ 1,024

จะกล่าวว่า 4 เปน็ รากท่ี 5 ของ 1,024

3. 161,051 =
4. -2,197 =

พิจารณาตัวอยา่ งการคูณกันด้วยจานวนเดียวกันของ
จานวนทกี่ าหนดให้

จานวนจริง เขยี นในรูป รากที่ n ของ a

(a) เลขยกกาลัง ( )

9 32 และ (−3)2 เรยี ก 3 และ -3

วา่ รากท่ี 2 ของ 9

16 42 และ (−4)2 เรยี ก 4 และ -4

วา่ รากท่ี 2 ของ 16

24 และ (−2)4 เรียก 2 และ -2

ว่า รากที่ 4 ของ 16

จานวนจรงิ เขยี นในรูป รากท่ี n ของ a

(a) เลขยกกาลัง ( )

64 82 และ (−8)2 เรียก 8 และ -8

ว่า รากที่ 2 ของ 64

26 และ (−2)6 เรยี ก 2 และ -2

วา่ รากท่ี 6 ของ 64

27 33 เรียก 3 ว่า
รากท่ี 3 ของ 27

32 25 เรียก 2 วา่
รากที่ 5 ของ 32

จานวนจริง เขยี นในรูป รากท่ี n ของ a
(a) เลขยกกาลงั ( )
-27 เรียก -3 วา่
(−3)3 รากที่ 3 ของ -27
-32 เรยี ก -2 วา่
(−2)5 รากที่ 5 ของ -32

จากตารางข้างต้นนกั เรียนสามารถสรา้ ง
ข้อความคาดการณเ์ ก่ยี วกับความหมายของรากท่ี n
ของจานวนจริงอย่างไรไดบ้ ้าง

รากท่ี n ของจานวนจริง a คอื เมือ่ เขยี น
จานวนน้นั ในรูปเลขยกกาลงั เรยี ก
จานวนจริง ทไ่ี ด้ว่า รากท่ี n ของ a เม่ือ n เป็น
จานวนเตม็ บวกทมี่ ากกวา่ 1

ข้อสงั เกตทไี่ ดเ้ กี่ยวกบั รากทีเ่ ปน็ จานวนคู่ มคี าตอบที่
เปน็ ไปได้อย่างไร

รากท่เี ป็นจานวนคจู่ ะมีคาตอบทีเ่ ป็นไปไดท้ ้งั คา่ บวก
และค่าลบ

ข้อสังเกตท่ีไดเ้ ก่ียวกบั รากทเ่ี ปน็ จานวนค่ี มคี าตอบที่
เปน็ ไปได้อยา่ งไร

รากท่ีเปน็ จานวนคีจ่ ะมีคาตอบทเี่ ป็นไปได้
ทีม่ ีเครื่องหมายตรงกับจานวนนนั้ เพียงคา่ เดยี ว

ใหน้ กั เรียนพิจารณาคาถามตอ่ ไปนี้ และรว่ มกนั ตอบ
คาถาม

1. จงหารากท่ี 2 ของ -9
2. จงหารากท่ี 4 ของ -16

3. จงหารากที่ 2 ของ 0

จากคาถามข้อ 1. นักเรยี นสามารถหารากที่ 2 ของ -9
ไดห้ รือไม่ อยา่ งไร

ไมส่ ามารถหาค่าไดเ้ น่อื งจาก ไมม่ ีจานวนจริง a ใดๆ
ที่ 2 < 0

จากคาถามขอ้ 2. นักเรียนสามารถหารากท่ี 4 ของ
-16 ไดห้ รอื ไม่ อย่างไร

ไมส่ ามารถหาค่าไดเ้ น่ืองจาก ไม่มจี านวนจรงิ a ใดๆ
ท่ี 2 < 0

ถา้ n เปน็ จานวนคู่ นกั เรยี นสามารถหารากที่ n
ของ a เมือ่ a<0 ไดห้ รอื ไม่

เมือ่ n เปน็ จานวนคู่ ไม่สามารถหารากท่ี n
ของ a เมื่อ a<0 ได้

เม่อื a=0 สามารถหารากท่ี n ของ a ไดห้ รอื ไม่
อย่างไร

เมือ่ a=0 รากที่ n ของ a มีคา่ เปน็ 0 เชน่ รากท่ี 2
ของ 0=0 เนื่องจาก 02 = 0 หรอื รากที่ 3 ของ 0=0
เนื่องจาก 03 = 0

ขอ้ สงั เกต

ในการหารากท่เี ป็นจานวนคู่ จะมีคาตอบท่ี
เป็นไปไดท้ ้ังท่ีเป็นคา่ บวกและทเี่ ปน็ ค่าลบ ในขณะท่ี
การหารากทเ่ี ปน็ จานวนคี่ จะมีฐานท่ีเป็นไปได้ท่ีมี
เครือ่ งหมายตรงกบั จานวนน้นั เพยี งค่าเดียว

จงึ สรุปได้วา่

ถ้า n เปน็ จานวนคู่
⧪ เมอ่ื a > 0 รากท่ี n ของ a มี 2 คา่ คอื

รากทเี่ ปน็ จานวนจริงบวก เขียนแทนดว้ ย และ
รากท่ีเปน็ จานวนจริงลบ เขยี นแทนดว้ ย −

⧪ เมอ่ื a < 0 จะไม่มจี านวนจริงที่เป็นรากท่ี n
ของ a

⧪ เมอ่ื a = 0 รากที่ n ของ a คือ 0

ถ้า n เป็นจานวนค่ี

⧪ เม่ือ a > 0 รากที่ n ของ a มี 1 ค่า คือ
รากทเี่ ปน็ จานวนจริงบวกเพียงจานวนเดียว
เขียนแทนดว้ ย

⧪ เมอื่ a < 0 รากท่ี n ของ a มี 1 ค่า คือ
รากท่ีเป็นจานวนจรงิ ลบเพียงจานวนเดียว เขยี นแทน
ดว้ ย

⧪ เม่อื a = 0 รากที่ n ของ a คอื 0