ค่าหลักของรากที่ n

คา่ หลกั ของรากท่ี n

ค่าหลกั ของรากที่ n

ให้ a และ b เปน็ จานวนจรงิ
และ n เป็นจานวนเต็มบวกทมี่ ากกวา่ 1
b จะมรี ากที่ n เม่ือ n เป็นจานวนคไู่ ด้ 2 ค่า คือ
รากทเี่ ปน็ จานวนจรงิ บวก และรากที่เป็นจานวนจรงิ ลบ
จงึ มกี ารให้นิยามค่าหลักของรากท่ี n ดงั น้ี

ให้ a และ b เป็นจานวนจรงิ
และ n เป็นจานวนเตม็ บวกทมี่ ากกวา่ 1
b เป็นคา่ หลักของรากที่ n ของ a ก็ตอ่ เมอื่

1. b เปน็ รากที่ n ของ a และ
2. ab≥0
แทนค่าหลกั ของรากที่ n ของ a ดว้ ย
อา่ นว่า กรณฑ์ท่ี n ของ a หรอื คา่ หลักของ
รากที่ n ของ a

ขอ้ ตกลง เม่อื n=2 นยิ มเขยี น
(square root) แทน 2

เคร่ืองหมาย เดิมกค็ อื r ซ่งึ มาจาก
คาวา่ radix

นักเรยี นรว่ มกันพจิ ารณาแผนภาพแสดงการหาค่าหลกั
ของรากท่ี n ของ a จากนนั้ ร่วมกันแสดงความคดิ เหน็

จาก 3 และ -3 เปน็ รากท่ี 4 ของ 81

และเน่อื งจาก 3 × 81 ≥ 0

เรยี ก 3 ว่า คา่ หลักของรากท่ี 4 ของ 81
เขยี นแทนดว้ ย 4 81 = 3

จาก 2 และ -2 เป็นรากที่ 6 ของ 64

และเนอื่ งจาก 2 × 64 ≥ 0

เรียก 2 ว่า คา่ หลกั ของรากท่ี 6 ของ 64
เขยี นแทนดว้ ย 6 64 = 2

จาก − 1 เปน็ รากท่ี 3 ของ − 1

3 27

และเนือ่ งจาก (− 1) × (− 1 ) ≥ 0

3 27

เรียก − 1 วา่ ค่าหลักของรากที่ 3 ของ − 1

3 27

เขยี นแทนดว้ ย 3 − 1 = − 1

27 3

จากแผนภาพถ้าให้ b แทนค่าหลักของรากท่ี n ของ a
แล้ว b×a ตอ้ งเปน็ อยา่ งไร

b×a≥0

จากแผนภาพท่ี 1 เพราะเหตุใด -3 จึงไมเ่ ป็นค่าหลัก
ของรากที่ 4 ของ 81

เนอ่ื งจาก (-3)×81<0 ดังนน้ั -3 จึงไมเ่ ปน็ ค่าหลัก
ของรากที่ 4 ของ 81

จากแผนภาพที่ 2 เพราะเหตใุ ด -2 จึงไมเ่ ป็นค่าหลกั
ของรากที่ 6 ของ 64

เนือ่ งจาก (-2)×64<0 ดังนัน้ -2 จึงไมเ่ ปน็ ค่าหลกั
ของรากท่ี 6 ของ 64

เขียนคา่ หลักของรากท่ี n ของ a ในรูปกรณฑไ์ ดอ้ ยา่ งไร

คา่ หลักของรากท่ี n ของ a เขียนแทนดว้ ย

นักเรียนแบ่งกลมุ่ กลุ่มละ 3-4 คน รบั โจทยก์ ลุม่ ละ
1 ขอ้ รว่ มกนั หาค่าหลักของรากท่ี n ของ a ท่กี าหนดให้
และเขยี นค่าหลักในรูป จากนัน้ ผ้แู ทนกลมุ่ ออกมา
นาเสนอหนา้ ชัน้ เรยี น

1. จงหาค่าหลกั ของรากที่ 4 ของ 625
2. จงหาค่าหลักของรากที่ 6 ของ 1

729

3. จงหาค่าหลักของรากท่ี 7 ของ 0
4. จงหาคา่ หลกั ของรากท่ี 5 ของ -243

5. จงหาคา่ หลกั ของรากท่ี 3 ของ -1
6. จงหาค่าหลักของรากท่ี 2 ของ -25
7. จงหาคา่ หลกั ของรากท่ี 4 ของ -256

จากขอ้ 1. และ 2. ค่าหลกั ของรากท่ี n ของ a เมื่อ
a>0 มลี ักษณะอย่างไร

ถา้ a>0 แลว้ คา่ หลักของรากท่ี n ของ a เป็นจานวน
จรงิ บวก

จากขอ้ 3. คา่ หลกั ของรากท่ี n ของ a เมอ่ื a=0
เปน็ อย่างไร
ถ้า a=0 แล้ว คา่ หลักของรากท่ี n ของ a เทา่ กับ 0
หรือ = 0

จากข้อ 4. และ 5. ค่าหลกั ของรากท่ี n ของ a เม่อื
a<0 และ n เปน็ จานวนคี่ มลี ักษณะอย่างไร

ถ้า a<0 และ n เป็นจานวนค่แี ลว้ ค่าหลักของรากท่ี
n ของ a เปน็ จานวนจรงิ ลบ

จากข้อ 6. และ 7. คา่ หลกั ของรากที่ n ของ a เมอื่
a<0 และ n เปน็ จานวนคู่ มีลักษณะเป็นอยา่ งไร

ถ้า a<0 และ n เป็นจานวนคแู่ ลว้ ไมม่ ีคา่ หลักของ
รากท่ี n ของ a เนอื่ งจากรากท่ี n ของ a ไมม่ คี าตอบ
เปน็ จานวนจรงิ

แบบฝึกหดั

ใหน้ ักเรยี นหาค่าหลักของรากท่ี n ทีเ่ ปน็ ไปได้
ทง้ั หมดของจานวนต่อไปนี้ โดยท่ี n เปน็ จานวน
เต็มบวกท่มี ากกว่า 1

1. 16 2. 343 3. -243
4. -127 5. -1128 6. 1
7. -1 8. 0 9. -9
10. -81