[Φυσική Προσανατολισμού Γ´ Λυκείου] Γεωργάκης - Κάλυψη Κενών - Τριγωνομετρία

Κωνσταντίνος Γεωργάκης Φυσική Γ΄ Λυκείου
g-physics.com
«Κάλυψη κενών»

Απαραίτητες γνώσεις από την τριγωνομετρία

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο.

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε Α = 90ο, λέμε ότι:
o η κάθετη πλευρά ΑΓ ονομάζεται «απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας Β»,
o η κάθετη πλευρά ΑΒ ονομάζεται «προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας Β».

Επίσης λέμε ότι:
o η κάθετη πλευρά ΑΒ ονομάζεται «απέναντι κάθετη πλευρά της γωνίας Γ»,
o η κάθετη πλευρά ΑΓ ονομάζεται «προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας Γ».

Ως υποτείνουσα πλευρά ορίζουμε την μη κάθετη πλευρά του ορθογωνίου (στο τρίγωνο μας είναι η ΒΓ)

Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας Β ορίζονται ως εξής:

o ημ Bˆ = απέναντι κάθετη πλευρά  ()
υποτείνουσα ()

o συν ˆ = προσκείμενη κάθετη πλευρα  ()
υποτείνουσα ()

o εφ Βˆ = απέναντι κάθετη πλευρά  ()
προσκείμενη καθετη πλευρά ()

o σφΒˆ = προσκείμενη καθετη πλευρά  ()
απέναντι κάθετη πλευρά ()

Τριγωνομετρικός κύκλος

Για έναν κατά προσέγγιση, αλλά σύντομο, άξονας συνεφαπτομένης άξονας ημιτόνων
υπολογισμό των τριγωνομετρικών αριθμών, σφω
χρησιμοποιούμε τον λεγόμενο εφω
τριγωνομετρικό κύκλο. 1
Με κέντρο την αρχή Ο(0,0) ενός συστήματος ημω
συντεταγμένων και ακτίνα ρ=1 γράφουμε ω
έναν κύκλο. Ο κύκλος αυτός λέγεται 0 συνω
τριγωνομετρικός κύκλος.
-1
Οι τιμές του συνω και του ημω μιας γωνίας -1 1
ω δεν μπορούν να υπερβούν κατ' απόλυτη άξονας συνημιτόνων
τιμή την ακτίνα του τριγωνομετρικού
κύκλου, που είναι ίση με 1. Δηλαδή ισχύει: άξονας εφαπτομένης

-1  ημω  1 και 1 συνω 1

Ο τριγωνομετρικός κύκλος

g-physics.com 1

Κωνσταντίνος Γεωργάκης Φυσική Γ΄ Λυκείου
g-physics.com
«Κάλυψη κενών»

Τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω, ανάλογα με το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η
τελική πλευρά της γωνίας αυτής, είναι όπως δείχνει ο παρακάτω πίνακας.

Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών γωνιών

γωνία 0 30 45 60 90 180 270 360
θ 0 π π
6 4 π π π 3π 2π
1 2 3 2 2
2 2
ημθ 0 3 2 3 1 0 -1 0
2 2 2
3
συνθ 1 3 1 1 0 -1 0 1
2
3 1
εφθ 0 3 + 0 - 0

σφθ + 3 0 - 0 +
3

μο α
Σχέση μοιρών και ακτινίων: 180ο = π

Αναγωγή στον πρώτο κύκλο.

Επειδή οι γωνίες ω και ν∙360ο + ω ή -ν∙360ο + ω, δηλαδή κ∙360ο + ω, έχουν την ίδια τελική πλευρά θα έχουν και

τους ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. Οπότε:

 o ημ κ 360ο + ω = ημω  o συν κ 360ο + ω = συνω

 o εφ κ 360ο + ω = εφω  o σφ κ 360ο + ω = σφω

Για την αναγωγή στον πρώτο κύκλο πρέπει να φέρουμε την δοσμένη γωνία στη μορφή 2κπ+ω

Περιοδικότητα Γωνίες που διαφέρουν π Γωνίες με άθροισμα π
ημ(2kπ+θ)=ημθ ημ(π-θ)=ημθ ημ(π+θ)=-ημθ
συν(2kπ+θ)=συνθ συν(π-θ)=-συνθ συν(π+θ)=-συνθ
εφ(kπ+θ)=εφθ εφ(π-θ)=-εφθ εφ(π+θ)=εφθ
σφ(kπ+θ)=σφθ σφ(π-θ)=-σφθ σφ(π+θ)=σφθ

g-physics.com 2

Κωνσταντίνος Γεωργάκης Φυσική Γ΄ Λυκείου
g-physics.com
«Κάλυψη κενών»

Γωνίες που διαφέρουν π/2 Γωνίες με άθροισμα π/2 Γωνίες αντίθετες
ημ(-θ)=-ημθ
ημ( π -θ)=συνθ ημ( π +θ)=συνθ συν(-θ)=συνθ
2 2 εφ(-θ)=-εφθ
σφ(-θ)=-σφθ
συν( π -θ)=ημθ συν( π +θ)=-ημθ
2 2

εφ( π -θ)=σφθ εφ( π +θ)=-σφθ
2 2

σφ( π -θ)=εφθ σφ( π +θ)=-εφθ
2 2

Τριγωνομετρικές εξισώσεις

ημx=ημθ  x=2kπ+θ εφx=εφθ  x=kπ+θ
x=2kπ+π-θ

συνx=συνθ  x=2kπ±θ σφx=σφθ  x=kπ+θ

-1  ημx  1, -1  συνx  1, -  εφx  , -  σφx  ,

Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος Τριγωνομετρικοί αριθμοί διπλάσιου τόξου

ημ(α±β)=ημασυνβ±συναημβ 2εφα
εφ2α= 1-εφ2
συν(α±β)=συνασυνβ ημαημβ ημ2α=2ημασυνα
σφ2α -1
εφα±εφβ συν2α=συν2α-ημ2α σφ2α= 2σφα
εφ(α±β)= 1 εφαεφβ =2συν2α-1
=1-2ημ2α
σφ(α±β)= σφασφβ 1
σφβ±σφα

Τύποι αποτετραγωνισμού

ημ2α= 1  συν2α συν2α= 1  συν2α εφ2α= 1-συν2α σφ2α= 1+συν2α
2 2 1+συν2α 1-συν2α

g-physics.com 3

Κωνσταντίνος Γεωργάκης Φυσική Γ΄ Λυκείου
g-physics.com
«Κάλυψη κενών»

Εφαρμογή

Αν δεν είναι στην τελική της μορφή, με επιτρεπτές πράξεις τη φέρνουμε στην τελική μορφή και στη συνέχεια
εφαρμόζουμε τους γνωστούς τύπους επίλυσης.

Να λυθεί η εξίσωση: 4ημx+5=2(ημx+3)
Λύση:
4x  5  2(x  3)  4x  5  2x  6  4x-2x  6  5

 x  2     x  2   
  ή 6   ή 6 
1     
 2 x  1   x  2   x  6   2        
  
x    2  5
x
 6  6

Ασκήσεις

1. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) x  3 β)  x  2 γ)  x  3 δ)x  1
2 2 3

[α) x=2κπ+π/3, x=2κπ+2π/3, β) x=2κπ±π/4, γ) x=κπ+π/6, δ) x=κπ+π/4]

2. Να λυθούν οι εξισώσεις: γ) 2x 1  0 δ) 2 x  3  0

α)x  1 β)x  0

[α) x=2κπ+π/2, β) x=κπ, γ) x=2κπ-π/6, x=2κπ+7π/6, δ) x=2κπ±5π/6]

3. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 3 x  1 β) 2 x  3  0 γ) 2  x    1  0 δ) 3  x     3
3 2  6   2 3 

[α) x=3κπ-π/2, β) x=4κπ-2π/3, x=4κπ+8π/3, γ) x=2κπ-π/3, x=2κπ+π, δ) x=2κπ+4π/3]

Γραφικές παραστάσεις τριγωνομετρικών αριθμών:
Η συνάρτηση f (t) = Αημ(ωt).

Η συνάρτηση f (t) = Ασυν(ωt).

g-physics.com 4

Κωνσταντίνος Γεωργάκης Φυσική Γ΄ Λυκείου
g-physics.com
«Κάλυψη κενών»

Δυνάμεις Ορισμός αν= α  α  α ... α
Ρίζες
ν φορές

αναμ=αν+μ (αβ)ν=ανβν α-ν= 1
αν
αν  α ν αν  αν μ =ανμ
αμ =αν-μ  β  = βν  α -ν =  β ν
   β   α 
 

1

Ορισμοί: xν=α  x=  α ,  α =   ,  αμ =  

ν α  ν β=ν αβ ν α  μ α=νμ αν+μ ν μ α =νμ α 1

ν α =ν α ν α =νμ αμ-ν   α     α =α 2
ν β β μ α

η εξίσωση xν=α έχει λύση:

ν άρτιος ν περιττός

α>0 α<0 δύο ρίζες στο 

δύο ρίζες καμία ρίζα στο  α (θετική)
+  α και -  α   -α (αρνητική)

g-physics.com 5