02 วิธีเรียงสับเปลี่ยน

2

โต๊ะ

รวบรวมและจัดทำโดย

นายศวิ ะกูล วะชะโก
ตำแหน่งครู วิทยฐานะ –
กล่มุ สาระการเรียนรู้คณติ ศาสตร์

โรงเรยี นเมอื งพลพทิ ยาคม อำเภอพล จงั หวดั ขอนแกน่
องค์การบรหิ ารส่วนจงั หวดั ขอนแกน่

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ 48

ชดุ ท่ี 2 เรื่อง แฟกทอเรียลและวิธเี รียงสับเปลี่ยน

ชุด กิ จ ก รรม ก ารเรีย น รู้วิช าค ณิ ต ศ าส ต ร์ เรื่อง ค วาม น่ าจ ะเป็ น
ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 5 ชุดนี้ จัดทำขึ้นเพื่อส่งเสริมและสนับสนุนให้ผู้เรียนทุกคน
มีความสามารถในการเรียนรู้และพัฒ นาทักษะวิชาคณิ ตศาสตร์เกี่ยวกับ ความน่า
จะเป็น เกิดความคิดรวบยอดจากเน้ือหาโดยสรุป ฝึกการปฏิบัติจริงเพื่อให้เกิดทักษะ
การคิดคำนวณ สร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง
ฝึกปฏิบัติจริงและประเมินตนเอง ตามสาระมาตรฐานการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของ
หลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 เนื้อหาในชุดกิจกรรม
การเรียนรู้ชุดท่ี 2 เน้นให้นักเรียนรู้จักแฟกทอเรียล n วิธีเรียงสับเปล่ียนของ n สิ่ง
ในแนวเส้นตรงและแบบวงกลม ซ่ึงประกอบด้วย คำแนะนำสำหรับนักเรียน คำแนะนำ
สำหรบั ครู จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้ ใบความรู้ และแบบทดสอบระหวา่ งเรยี นชดุ ที่ 2

ชุดกจิ กรรมการเรยี นร้วู ิชาคณติ ศาสตร์ 1

ชดุ ที่ 2 เรื่อง แฟกทอเรียลและวิธเี รยี งสับเปล่ียน

คำนำ

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความน่าจะเป็น โดยใช้รปู แบบการจัดการเรียนรู้
แบบวฏั จักรการเรียนรู้ (4MAT) ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5 ชุดนี้ จัดทำข้ึนเพื่อส่งเสริมและสนับสนุนให้ผู้เรียน
ทกุ คน มคี วามสามารถในการเรียนรู้และพัฒนาทกั ษะวชิ าคณติ ศาสตร์เร่ืองความน่าจะเปน็ เกดิ ความคิด
รวบยอดจากเนื้อหาโดยสรุป ฝึกการปฏิบัติจริงเพื่อให้เกิดทักษะการคิดคำนวณ สร้างองค์ความรู้ด้วย
ตนเอง แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง ฝึกปฏิบัติจริงและประเมินตนเอง ตามสาระมาตรฐาน
การเรียนรู้คณิตศาสตร์ของหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 มีท้ังหมด 6 ชุด
ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ชุดที่ 2 เรื่อง แฟกทอเรียลและวิธีเรียงสับเปล่ียน ประกอบด้วย
เน้ือหา ดังน้ี

2.1) แฟกทอเรยี ล
2.2) วธิ เี รยี งสบั เปลย่ี นของ n สงิ่ ในแนวเสน้ ตรง
2.3) วธิ ีเรยี งสับเปลยี่ นของ n สง่ิ แบบวงกลม

โดยเน้อื หาประกอบดว้ ย คำแนะนำในการใช้ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ จุดประสงค์
การเรียนรู้ ใบความรู้ บัตรกิจกรรม และแบบทดสอบระหว่างเรียน โดยเน้ือหาแต่ละเร่ืองมีตัวอย่าง
ประกอบชดั เจน นกั เรียนสามารถศกึ ษาชดุ กิจกรรมการเรยี นร้วู ิชาคณติ ศาสตร์ตามลำดับข้ันตอน พร้อม
ทั้งตรวจคำตอบท่ถี ูกตอ้ งของชุดกจิ กรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ไดด้ ว้ ยตนเอง

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างย่ิงว่าชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความน่าจะเป็น
ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5 จะช่วยเสริมทักษะเก่ียวกับความน่าจะเป็น และเหมาะสมกับผู้เรียนทุกคน
เหมาะสมสำหรบั ครทู ่ีจะนำไปจดั การเรยี นการสอน และสอนซ่อมเสริมไดอ้ ยา่ งดี

นายศิวะกูล วะชะโก
ตำแหน่งครู วทิ ยฐานะ -

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 2

ชุดที่ 2 เร่ือง แฟกทอเรยี ลและวิธเี รยี งสับเปลี่ยน

คำแนะนำการใช้

คำแนะนำสำหรบั นักเรียน

1. นกั เรยี นอ่านจดุ ประสงค์การเรยี นรูก้ ่อนศึกษาชุดกิจกรรมการเรียนร้วู ิชาคณติ ศาสตร์
2. นกั เรียนศกึ ษาเนื้อหาสาระ ใบความรู้ ตัวอยา่ งใหค้ รบตามทกี่ ำหนดไว้
3. หลงั จากศกึ ษาใบความรูแ้ ล้วนักเรียนทำบตั รกิจกรรมโดยใชเ้ วลาตามท่กี ำหนด
4. นกั เรียนตรวจคำตอบจากเฉลยบัตรกิจกรรมแลว้ บนั ทึกผลคะแนน
5. นักเรยี นตอ้ งมีความซื่อสัตย์ตอ่ ตนเองไมด่ ูเฉลยก่อนทำบัตรกจิ กรรม

คำแนะนำสำหรับครู

ควรดำเนนิ กิจกรรมการเรยี นการสอนโดยใช้ชดุ กจิ กรรม ควบคู่กบั แผนการจดั การเรยี นรู้

1. ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความน่าจะเปน็ ใชเ้ วลาจัดกจิ กรรม 17 ชั่วโมง
2. แจ้งให้นกั เรียนอ่านจดุ ประสงค์การเรียนรู้ ก่อนศึกษาจากชุดกจิ กรรมการเรียนรู้

วชิ าคณติ ศาสตร์
3. แจ้งให้นกั เรยี นทำกิจกรรมดว้ ยความรอบคอบและรับผิดชอบต่องานที่ไดร้ ับมอบหมาย
4. ใหน้ ักเรยี นศกึ ษาเน้ือหาสาระ ใบความรู้ ตวั อยา่ งในชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์

ใหค้ รบตามทก่ี ำหนดไว้ ครูคอยให้คำแนะนำและสรปุ เน้ือหาสาระที่สำคัญ
5. ใหน้ ักเรียนทำบตั รกจิ กรรมหลังเรียน โดยใช้เวลาตามท่ีกำหนด
6. ใหน้ ักเรียนตรวจคำตอบจากการทำบตั รกิจกรรมหลงั เรียนในเฉลยท้ายชุดกจิ กรรม

การเรยี นรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์แลว้ บนั ทึกผลคะแนนบตั รกจิ กรรมทไี่ ด้ไว้
7. ในกรณที นี่ กั เรียนทำคะแนนจากบัตรกิจกรรมหลังเรยี นได้ไม่ถึงร้อยละ 80 ครผู สู้ อนให้

นักเรียนย้อนกลบั ไปศึกษาเอกสารอกี คร้ัง แลว้ ทำข้อสอบให้ได้คะแนนตามเกณฑ์ทกี่ ำหนด
8. นำคะแนนท่ีได้จากการทำบตั รกจิ กรรมฯ และจากการทดสอบมาวิเคราะหแ์ ละประเมินผล

ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 3

ชุดท่ี 2 เรื่อง แฟกทอเรยี ลและวิธีเรียงสับเปล่ียน

สารบัญ

เรอื่ ง หนา้

คำนำ 1
คำแนะนำการใช้ 2
สารบัญ 3
มาตรฐานการเรียนรู้/ตวั ชี้วัด/จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 4
2.1 แฟกทอเรียล 5
5
ใบความรู้ที่ 2.1 แฟกทอเรยี ล 11
บัตรกิจกรรมท่ี 2.1 แฟกทอเรียล 13
2.2 วธิ เี รยี งสบั เปลีย่ นของ n สง่ิ ในแนวเสน้ ตรง 13
ใบความรู้ที่ 2.2 วิธเี รียงสับเปลย่ี นของ n ส่งิ ในแนวเส้นตรง 24
บตั รกจิ กรรมที่ 2.2 วิธีเรียงสบั เปลยี่ นของ n ส่ิง ในแนวเส้นตรง 26
2.3 วิธเี รยี งสับเปลย่ี นของ n ส่ิง แบบวงกลม 26
ใบความรู้ที่ 2.3 วิธเี รียงสับเปลย่ี นของ n ส่ิง แบบวงกลม 32
บตั รกจิ กรรมที่ 2.3 วิธเี รียงสบั เปลีย่ นของ n สิ่ง แบบวงกลม 34
แบบทดสอบระหว่างเรียนชดุ ท่ี 2 แฟกทอเรยี ลและวธิ เี รยี งสบั เปลยี่ น 37
เฉลยบัตรกจิ กรรมที่ 2.1 แฟกทอเรยี ล 39
เฉลยบตั รกิจกรรมที่ 2.2 วิธเี รยี งสับเปลีย่ นของ n ส่งิ ในแนวเสน้ ตรง 41
เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 2.3 วธิ เี รยี งสับเปล่ียนของ n สิ่ง แบบวงกลม 43
เฉลยแบบทดสอบระหวา่ งเรยี นชุดท่ี 2 แฟกทอเรยี ลและวธิ ีเรียงสับเปลย่ี น 44
บรรณานกุ รม

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ 4

ชดุ ที่ 2 เร่ือง แฟกทอเรยี ลและวิธีเรียงสับเปล่ียน

มาตรฐานการเรียนรู้/ตัวช้ีวัด/จุดประสงค์การเรียนรู้

มาตรฐานการเรียนรู้

สาระที่ 5 การวเิ คราะหข์ ้อมูลและความนา่ จะเป็น
มาตรฐาน ค 5.2 ใชว้ ธิ กี ารทางสถิตแิ ละความรเู้ ก่ียวกบั ความน่าจะเป็นในการคาดการณ์

ไดอ้ ยา่ งสมเหตสุ มผล
มาตรฐาน ค 5.3 ใช้ความรูเ้ กี่ยวกับสถติ ิและความน่าจะเป็นชว่ ยในการตัดสนิ ใจ

และแก้ปัญหา
มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแก้ปัญหา การใหเ้ หตผุ ล การส่ือสาร

การสือ่ ความหมายทางคณิตศาสตร์และการนำเสนอ การเชอ่ื มโยง
ความรตู้ า่ งๆ ทางคณิตศาสตร์และเชื่อมโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อนื่ ๆ
และมีความคดิ ริเริ่มสร้างสรรค์

ตัวชี้วัด

ค 5.2 ม.4-6/2 อธบิ ายการทดลองสุ่ม เหตกุ ารณ์ ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ และนำผลที่
ไดไ้ ปใช้คาดการณใ์ นสถานการณ์ท่กี ำหนดให้

ค 5.3 ม.4-6/2 ใชค้ วามร้เู กยี่ วกบั ความนา่ จะเปน็ ชว่ ยในการตัดสนิ ใจและแกป้ ัญหา
ค 6.1 มีความสามารถในการแก้ปัญหา การใหเ้ หตผุ ล การสอื่ สาร การส่อื ความหมาย

ทางคณติ ศาสตร์และการนำเสนอ การเช่ือมโยงความรู้ต่างๆ ทางคณิตศาสตร์และ
เชื่อมโยงคณิตศาสตร์กบั ศาสตร์อน่ื ๆ และมคี วามคดิ รเิ รม่ิ สร้างสรรค์

จุดประสงค์การเรยี นรู้

1. นกั เรียนสามารถเขียนจำนวนท่ีกำหนดให้อยู่ในรูปแฟกทอเรียลได้
2. นกั เรียนสามารถเขียนจำนวนในรปู แฟกทอเรียลให้อยใู่ นรูปการคูณได้
3. นักเรยี นสามารถแก้สมการทีม่ แี ฟกทอเรียลได้
4. นกั เรียนสามารถแก้โจทยป์ ญั หาวธิ ีเรยี งสบั เปลย่ี นสิง่ ของ n สิง่ แบบเส้นตรง

ในกรณตี า่ งๆ จากโจทยป์ ญั หาได้
5. นักเรยี นสามารถแกโ้ จทยป์ ญั หาวิธเี รยี งสบั เปลี่ยนส่ิงของ n สิง่ แบบวงกลม

ในกรณีต่างๆ จากโจทยป์ ัญหาได้

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ 5

ชดุ ที่ 2 เรื่อง แฟกทอเรยี ลและวธิ เี รียงสับเปล่ียน

2.1 แฟกทอเรยี ล

ใบความรู้ที่ 2.1 แฟกทอเรียล

1) แฟกทอเรียล (Factorial)

ในการคำนวณหาจำนวนวิธีทีเ่ กิดขึ้นจากการทดลองหรือการทำงานอย่างใดอยา่ งหนงึ่
บางคร้ังจำนวนวิธีท่ีหาได้นน้ั เกิดจากผลคูณของจำนวนหลายๆ จำนวน
ในการหาจำนวนวิธีของการนับน้ัน อาจจะอยใู่ นรปู การคณู ของจำนวนท่ีเรียงติดกัน เชน่
5×4×3×2×1 หรอื 1×2×3×4×5 ดงั นั้น เพ่อื ความสะดวกในการเขียนจำนวนเหล่านี้
นักคณติ ศาสตร์จงึ ได้กำหนดสัญลักษณ์แทนจำนวนดงั กล่าว ดงั นี้
7×6×5×4×3×2×1 หรือ 1×2×3×4×5×6×7 เขยี นแทนด้วย 7!
แฟกทอเรียล มีบทนยิ ามดังน้ี

n แฟกทอเรียล เขยี นแทนด้วยสญั ลักษณ์ n!

หมายถึง ผลคูณของจำนวนเต็มบวก ตงั้ แต่ 1 ถงึ n
ดังนั้น n! = 1 × 2 × 3 × … × (n – 2) × (n – 1) × n
หรอื n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1
เช่น 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1
4! = 4 × 3 × 2 × 1
3! = 3 × 2 × 1
2! = 2 × 1
1! = 1

ขอ้ ตกลง
1. n แฟกทอเรียล ถกู เขียนแทนด้วย “n!”
2. สญั ลกั ษณ์ n! อ่านว่า “แฟกทอเรยี ลเอ็น” หรือ “เอน็ แฟกทอเรยี ล”

ชดุ กจิ กรรมการเรียนร้วู ชิ าคณติ ศาสตร์ 6

ชดุ ที่ 2 เร่ือง แฟกทอเรยี ลและวธิ ีเรยี งสับเปล่ียน

หมายเหตุ เรานยิ าม n! เฉพาะ n ท่เี ปน็ จำนวนเตม็ บวก
แต่บางครงั้ จำเปน็ ตอ้ งใช้ 0! จงึ ไดก้ ำหนดคา่ ของ 0! = 1
 n! = n × (n – 1)!
แทน n = 1 ; 1! = 1 × (1 – 1)!
1 = 1 × 0!
1 = 0!

 0! = 1

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาคา่ ของแฟกทอเรียลต่อไปน้ี

1) 7! 7! = 7  6  5! = 7 × 6 = 42

5! 5! 5!

วิธีทำ

2) 4!6! 4!6! = 43! 65! = 4 × 6 = 24

3!5! 3!5! 3! 5!

วธิ ที ำ

3) n!
วิธที ำ
(n −1)!

n! = n  (n −1)! = n
(n −1)! (n −1)!

4) (n +1)!

(n −1)!

วธิ ที ำ (n +1)! = (n +1)  n  (n −1)! = (n + 1)  n
(n −1)! (n −1)!

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ 7

ชุดที่ 2 เรื่อง แฟกทอเรียลและวธิ เี รยี งสับเปลี่ยน
ตัวอยา่ งที่ 2 จงเขยี นผลคณู ในแตล่ ะข้อต่อไปน้ีให้อยู่ในรปู แฟกทอเรยี ล

1) 100  99  98

วธิ ีทำ 100  99  98

= (100)(99)(98)(97)(96)(95)...(3)(2)(1)
(97)(96)(95)...(3)(2)(1)

= 100!

97!

2) 11  12  13  14  15

วธิ ที ำ 15  14  13  12  11

= (15)(14)(13)(12)(11)(10)(9)(8)...(3)(2)(1)
(10)(9)(8)...(3)(2)(1)

= 15!

10!

3) n(n +1)(n + 2)(n + 3)
วธิ ีทำ (n +3)(n + 2)(n + 1)n
= (n + 3)(n + 2)(n +1)n(n −1)...(3)(2)(1)

(n −1)...(3)(2)(1)

= (n + 3)!
(n − 1)!

4) n(n2 - 1)( n2 - 4)( n2 - 9)
วิธที ำ n(n2 - 1)( n2 - 4)( n2 - 9)
= n(n – 1)(n + 1)(n – 2)(n + 2)(n – 3)(n + 3)
= (n + 3)(n + 2)(n + 1)n(n – 1)(n – 2)(n – 3)
= (n + 3)!

(n − 4)!

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ 8

ชุดที่ 2 เร่ือง แฟกทอเรยี ลและวิธีเรยี งสับเปล่ียน
ตัวอยา่ งที่ 3 จงหาค่าของแฟกทอเรียลต่อไปน้ี
1)

2)

3)

4)

ชุดกจิ กรรมการเรียนร้วู ิชาคณติ ศาสตร์ 9

ชดุ ท่ี 2 เรื่อง แฟกทอเรยี ลและวธิ เี รียงสับเปลี่ยน

2) สมการแฟกทอเรียล

เมื่อหาค่าแฟกทอเรียล เขยี นจำนวนอยู่ในรูปแฟกทอเรียลและเขยี นจำนวนที่ไม่มี
แฟกทอเรยี ลได้แลว้ เราสามารถนำความรทู้ ี่ได้ไปแกส้ มการที่อย่ใู นรปู แฟกทอเรยี ลได้

ตัวอยา่ งท่ี 1 จงหาคา่ n จากสมการ

1) n! = 6 6

(n − 2)! 6
3×2
วิธีทำ n! = 3

(n − 2)!

n(n −1)(n − 2)! =

(n − 2)!

n(n −1) =

 n=

2) (n + 1)! = 336 = 336

(n − 2)! = 336
= 8×7×6
วิธที ำ (n + 1)! = 8
= 7
(n − 2)!
(n + 1)n(n −1)(n − 2)!

(n − 2)!
(n +1)n(n −1)

n+1
n

3) n! = n! = n!
(n − 3)!3!
(n − 5)!5! (n − 3)!3! = 5!
=
วิธที ำ n! = 3!

(n − 5)!5! 5×4
(n − 3)!
(n − 5)! 8
(n − 3)(n − 4)

n

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 10

ชุดท่ี 2 เรื่อง แฟกทอเรียลและวธิ ีเรยี งสับเปลี่ยน
4)

5)

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ 11

ชุดท่ี 2 เร่ือง แฟกทอเรียลและวธิ เี รยี งสับเปลี่ยน

บัตรกิจกรรมที่ 2.1 แฟกทอเรยี ล

คำช้แี จง ให้นกั เรยี นแสดงวธิ กี ารหาคำตอบโดยใช้แฟกทอเรียล (Factorial) (10 คะแนน)

1) จงหาค่าตอ่ ไปน้ี (4 คะแนน ; ข้อละ 1 คะแนน)

1) 7! = ...................................................................................................................................

2) 2! + 4! = ...................................................................................................................... .............

3) 10! – 7! = .................................................................................................................................

4) 8! = ...................................................................................................................................
2!6!

= ...................................................................................................................... .............

2) จงเขียนให้อยใู่ นรปู แฟกทอเรยี ล (2 คะแนน ; ขอ้ ละ 1 คะแนน)
1) 5 × 4 × 3

...................................................................................................................... .........................
.................................................................................................................. .............................
...................................................................................................................... .........................
.................................................................................. .............................................................
...................................................................................................................... .........................

2) (n + 1) × n × (n – 1)
...................................................................................................................... .........................
...................................................................................................................... .........................
...................................................................................................................... .........................
........................................................................................................... ....................................
...................................................................................................................... .........................

ชุดกจิ กรรมการเรยี นร้วู ิชาคณติ ศาสตร์ 12

ชุดที่ 2 เร่ือง แฟกทอเรียลและวธิ ีเรียงสับเปลี่ยน

3) จงหาคา่ n จากสมการตอ่ ไปน้ี (4 คะแนน ; ข้อละ 2 คะแนน)

1) n! = 720
(n − 3)!

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

2) (n +1)! = 420
(n −1)!

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ 13

ชดุ ท่ี 2 เร่ือง แฟกทอเรียลและวิธเี รียงสับเปล่ียน

2.2 วธิ เี รียงสับเปลีย่ นของ n สิ่ง ในแนวเส้นตรง

ใบความรู้ท่ี 2.2 วธิ ีเรียงสบั เปลี่ยนของ n สง่ิ ในแนวเส้นตรง

วธิ เี รียงสับเปล่ียน (Permutation)
ถ้าต้องการทราบจำนวนวิธีท่ีเป็นไปได้ท้ังหมดของการเรียงลำดับของสมาชิกในเซตจำกัด เช่น
จำนวนวิธีที่จะจัดนักเรียน 3 คน ขึ้นรถโรงเรียน จำนวนวิธีที่จะจัดให้คณะกรรมการน่ังประชุมรอบ
โต๊ะกลม วิธีจัดเรียงดังกล่าวเรียกว่า วิธีเรียงสับเปลี่ยน วิธีเรียงสับเปล่ียนสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด
หมายถึง การนำสิ่งของท่ีมีลักษณะท่ีแตกต่างกันท้ังหมดมาเรียงกันโดยถือตำแหน่งหรือลำดับก่อนหลัง
เปน็ สำคญั โดยวิธีเรียงสง่ิ ของอาจเปน็ ไปได้ทง้ั ในแนวเส้นตรงและแนววงกลม
ตวั อยา่ งต่อไปนี้ เป็นการเรียงลำดับของสมาชกิ ในเซตจำกดั ถ้าจัดวางหนังสอื 3 เลม่
ซง่ึ เรียกชอ่ื วา่ หนงั สือ A, B และ C เรยี งเปน็ แถวตรง จะจัดเรยี งไดเ้ ป็นแบบต่างๆ ดังแผนภาพตน้ ไม้

นนั่ คอื จะจัดเรียงได้ 6 วิธี ดงั นี้ ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
และเมื่อพิจารณาโดยใชก้ ฎเกณฑเ์ บื้องต้นเกีย่ วกับการนับ แบง่ การทำงานเปน็ 3 ขัน้ ตอน

ขั้นตอนท่ี 1 เลือกหนังสือวางในตำแหนง่ แรก มวี ิธเี ลอื กได้ 3 วิธี
ขน้ั ตอนที่ 2 เลอื กหนังสือวางในตำแหนง่ ทส่ี อง มวี ิธีเลือกได้ 2 วิธี
ขนั้ ตอนท่ี 3 เลอื กหนงั สือวางในตำแหนง่ ที่สาม มวี ิธเี ลือกได้ 1 วิธี
ดงั นน้ั จำนวนวิธีท่จี ะจดั หนังสอื วางเรียงเปน็ แถวตรงได้ 3  2  1 = 3! วธิ ี นั่นคือ

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ 14

ชดุ ท่ี 2 เรื่อง แฟกทอเรยี ลและวธิ ีเรยี งสับเปลี่ยน
จำนวนวิธเี รียงสบั เปลยี่ นส่งิ ของ n สิ่ง ซึ่งแตกตา่ งกนั ทั้งหมดในแนวเส้นตรงเท่ากบั n! วธิ ี

ดงั น้นั วธิ ีเรยี งสบั เปลยี่ น (Permutation) เปน็ วิธกี ารท่ีเรานำสงิ่ ของจำนวนหน่ึงมาจดั เรียง
โดยที่การจัดเรยี งดังกลา่ วใหค้ ำนึงถึงตำแหน่งของสิ่งของเเต่ละสง่ิ เป็นสำคัญ วธิ ีเรียงสบั เปลย่ี น
แบ่งเปน็ 2 ลกั ษณะ คือ 1. วิธีเรียงสบั เปล่ียนในแนวเสน้ ตรง 2. วิธเี รียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม

วิธเี รียงสบั เปล่ยี นของ n สงิ่ ท่ีแตกต่างกันในแนวเส้นตรง

วิธเี รียงสบั เปลี่ยนของ n ส่งิ ทแี่ ตกต่างกนั ในแนวเสน้ ตรง หมายถึง การจดั เรียงสิ่งของ
โดยมีลักษณะเป็นแถว ซึ่งจะมีกี่แถวก็ได้ แต่ละแถวจะอยู่ในแนวเส้นตรงหรือโค้งอย่างใดก็ได้ แต่ไม่โค้ง
จนบรรจบกันเปน็ วงกลม ในลักษณะนี้ จะสามารถกำหนดตำแหน่งหวั แถวและท้ายแถวได้ แยกพิจารณา

ดังน้ี
1) การหาจำนวนวธิ เี รียงสบั เปลย่ี นของ n สิง่ ซึ่งแตกต่างกันท้งั หมด
นำมาจัดเรยี งอนั ดับคราวละ n สงิ่
โดยทวั่ ๆ ไป เม่อื มสี ่ิงของ n ส่ิง ทแี่ ตกต่างกนั ต้องการนำส่งิ ของทงั้ หมดมาจดั แบบเชงิ เสน้

จะมวี ิธเี รยี งสบั เปลย่ี นดงั น้ี

ตำแหนง่ 123 …n

จำนวนวิธจี ัด n n–1 n–2 … 1

ดังน้ัน จำนวนวธิ จี ัดท้ังหมดเท่ากับ n  (n–1)  (n–2)  (n–3)  …  1 = n!

ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาจำนวนวธิ ีทแ่ี ตกตา่ งกนั ท่ีจะจัดคน 6 คน เข้าแถวเรียงหนง่ึ
วิธีทำ จัดคน 6 คน เขา้ แถวตรงเรยี งหนงึ่

จัดเรียงอนั ดบั 1 จัดได้ 6 วิธี ( มคี นใหเ้ ลือก 6 คน )
จดั เรียงอันดบั 2 จัดได้ 5 วธิ ี ( เหลือคนให้เลือก 5 คน )
จัดเรยี งอันดับ 3 จัดได้ 4 วธิ ี (เหลอื คนใหเ้ ลือก 4 คน )
จดั เรยี งอันดับ 4 จดั ได้ 3 วธิ ี (เหลอื คนใหเ้ ลอื ก 3 คน )
จัดเรยี งอนั ดับ 5 จดั ได้ 2 วิธี (เหลือคนใหเ้ ลอื ก 2 คน )
จดั เรยี งอันดบั 6 จดั ได้ 1 วธิ ี (เหลือคนสุดทา้ ย 1 คน )
 จำนวนวิธีจะจดั คน 6 คนเข้าแถวตรงได้ เท่ากบั 6  5  4  3  2  1 = 6! = 720 วธิ ี

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 15

ชุดที่ 2 เร่ือง แฟกทอเรยี ลและวิธีเรยี งสับเปล่ียน

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงหาจำนวนวิธที ่ีแตกตา่ งกันท่ีจะจัดตัวอักษรจากคำว่า PHYSIC
ใหเ้ ปน็ คำใหม่โดยใชต้ ัวอักษรท้งั หมดและไม่คำนงึ ถงึ ความหมายของคำ

วิธีทำ คำวา่ PHYSIC ประกอบด้วยตวั อักษร 6 ตวั ต่างกัน
ดังนั้น การจัดลำดับส่ิงของ 6 สง่ิ ทีแ่ ตกตา่ งกนั จะจดั ได้ 6! วิธี

 จากอักษร คำว่า PHYSIC เมอื่ นำมาจัดเรยี งเปน็ คำใหม่จะจัดได้ 6! วธิ ี

บทแทรก 1
ถ้ามสี ิ่งของท่ีแตกต่างกัน 2 ชุดๆ ละ n ส่ิง เทา่ ๆกนั นำสง่ิ ของสองชุดมาเรยี งเป็นแถวยาวและ
ให้วางสลับกนั ระหวา่ งสง่ิ ของสองชดุ นั้นโดยจะสลบั กนั ท่ี k สงิ่ (k หาร n ลงตัว) จะได้จำนวนวิธี
เรยี งสับเปล่ยี น = 2!n!n! วธิ ี
บทแทรก 2
ถ้ามสี ง่ิ ของที่แตกต่างกัน m ชุดแต่ละชดุ มีส่ิงของ n ส่ิง ตอ้ งการจัดสงิ่ ของทง้ั หมดเปน็ แถว โดย
สลับทกี่ ันทลี ะ k ส่ิง (k หาร n ลงตัว) จะได้จำนวนวิธจี ดั เท่ากับ
m!  n!n!n!n!…n! = m!  (n!)m

m ตวั

ตวั อยา่ งที่ 3 จงหาวิธีทจี่ ะจัดชาย 4 คน กับหญงิ 4 คน ใหย้ นื เรียงแถว โดยท่ี
1) ชายหญิงยืนสลบั กนั
2) หญงิ ทง้ั 4 คน ยนื ติดกัน
3) ชายทง้ั 4 คน ยนื ตดิ กนั และหญิงทง้ั 4 คน ยนื ติดกัน

วิธที ำ 1) การจดั ชาย 4 คน กับหญิง 4 คน ยนื สลับกนั ทำไดส้ องกรณี คือ

กรณีท่หี นึ่ง ชายอย่หู วั แถว จะจดั ได้ 4!4! วิธี เทา่ กบั 576 วิธี
ช ญ ช ญ ชญ ชญ

กรณที ่สี อง หญิงอยูห่ วั แถว จะจดั ได้ 4!4! วธิ ี เทา่ กับ 576 วิธี
ญ ช ญ ชญชญ ช

ชดุ กิจกรรมการเรยี นร้วู ิชาคณติ ศาสตร์ 16

ชดุ ท่ี 2 เรื่อง แฟกทอเรยี ลและวิธเี รียงสับเปล่ียน

ดงั น้นั จำนวนวธิ ที จ่ี ะจดั ชาย 4 คน กับหญิง 4 คน ยนื สลับกนั เท่ากบั 4!4! + 4!4! วธิ ี
จะได้ 4!4! + 4!4! = 2(4!4!) วิธี
= 2(576) วธิ ี
= 1,152 วธิ ี

2) จัดให้หญิงทง้ั 4 คนยืนติดกัน ช1 ช2 ช3 ช4
ญ1 ญ2 ญ3 ญ4

จัดหญิง 4 คนเปน็ 1 กล่มุ ยนื เรียงแถวกับชายอกี 4 คน จัดได้ 5! วิธี
และหญงิ ในกลมุ่ สามารถจัดยืนสลับกนั ได้อีก 4! วิธี
ดังนัน้ จำนวนวธิ ีทั้งหมด เทา่ กบั 5!4! = 2,880 วิธี

3) จดั ชายท้ัง 4 คน ยืนติดกัน และหญิงทง้ั 4 คน ยืนติดกัน

ญ1 ญ2 ญ3 ญ4 ช1 ช2 ช3 ช4
ช4

จดั หญงิ 4 คนเป็น 1 กล่มุ และชายท้ัง 4 คนเป็นอีก 1 กล่มุ นำมาจดั เปน็ แถว
สามารถจัดได้ 2! วิธี
หญงิ ในกลมุ่ สามารถจัดยืนสลับกันได้อกี 4! วธิ ี
และชายในกลมุ่ สามารถจดั ยืนสลบั กันไดอ้ ีก 4! วิธี

ดงั นน้ั จำนวนวิธีท้ังหมด เทา่ กบั 2!4!4! = 1,152 วธิ ี

ชุดกิจกรรมการเรยี นรูว้ ิชาคณติ ศาสตร์ 17

ชุดที่ 2 เร่ือง แฟกทอเรียลและวธิ เี รยี งสับเปลี่ยน

ตวั อยา่ งท่ี 4 จงสร้างจำนวนเต็มบวกทีม่ หี กหลกั ซง่ึ หารดว้ ย 5 ไม่ลงตัว โดยใชเ้ ลขโดด
4, 5, 6, 7, 8 และ 9 โดยหา้ มใช้เลขซำ้ กันได้กจ่ี ำนวน

วิธีทำ สรา้ งจำนวนเตม็ บวกทมี่ หี กหลกั จากเลขโดด 4, 5, 6, 7, 8 และ 9
โดยไมใ่ ชเ้ ลขซำ้ กนั ได้ 6! = 720 จำนวน

สร้างจำนวนเต็มบวกที่มหี กหลักท่หี ารดว้ ย 5 ลงตวั (หลกั หน่วยต้องเปน็
เลข 5 เท่านน้ั ) จากเลขโดด 4, 5, 6, 7, 8 และ 9
โดยไมใ่ ชเ้ ลขซ้ำกนั ได้ 5! = 120 จำนวน

ดง้ั น้นั จำนวนเตม็ บวกที่มหี กหลักท่ีหารดว้ ย 5 ไมล่ งตวั เท่ากับ จำนวนเตม็ บวกท่ีมหี กหลกั
ท้งั หมด ลบดว้ ย จำนวนเตม็ บวกท่มี หี กหลักท่หี ารดว้ ย 5 ลงตัว
จะได้ 720 – 120 = 600 จำนวน

ตวั อย่างที่ 5 ชาย 3 คน และหญงิ 2 คน มาน่ังบนเกา้ อ้ี 5 ตวั เรยี งแถวยาวจะมวี ธิ กี ารน่งั
ทงั้ หมดก่วี ิธี เมื่อ 1. เพศเดยี วกนั นงั่ ตดิ กัน

2. หญงิ 2 คน นงั่ ตดิ กนั
3. ชาย 3 คน นั่งติดกนั

1. เพศเดียวกนั น่งั ตดิ กนั
วธิ ีทำ

ชชช ญ ญ ชาย 3 คน คิดเปน็ 1 กลุ่ม และหญิง 2 คน คดิ เป็น 1 กลุ่ม
ดงั นัน้ ชายและหญิง มีวิธีเรยี งสบั เปลี่ยน 2! = 2 วธิ ี

ในกล่มุ ของชาย 3 คน ที่นั่งติดกนั จะมีวธิ ีเรยี งสับเปลยี่ น 3! = 3  2  1 = 6 วธิ ี
ในกลุ่มของหญิง 2 คน ทน่ี ง่ั ติดกันจะมวี ธิ เี รียงสับเปลี่ยน 2! = 2  1 = 2 วิธี
จำนวนวธิ กี ารนั่ง คอื 2!  3!  2! = 2  6  2 = 24 วธิ ี

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ 18

ชุดท่ี 2 เรื่อง แฟกทอเรยี ลและวิธเี รยี งสับเปล่ียน

2. หญงิ 2 คน นง่ั ตดิ กัน
วิธีทำ ญ ญ ช ช ช

หญงิ 2 คน คิดเปน็ 1 กลุ่ม
ดังนัน้ ชายและหญงิ มวี ิธีเรียงสบั เปล่ียน 4! = 4  3  2  1 = 24 วธิ ี
ในกล่มุ ของหญงิ 2 คน จะมีวิธเี รยี งสบั เปล่ียน 2! = 2  1 = 2 วธิ ี
จำนวนวิธกี ารน่ัง 4!  2! = 24  2 = 48 วธิ ี

3. ชาย 3 คน นงั่ ตดิ กัน ญญ
วธิ ีทำ ช ช ช

ชาย 3 คน คิดเป็น 1 กลมุ่
ดังนน้ั ชายและหญงิ มีวธิ เี รยี งสบั เปล่ียน 3! = 3  2  1 = 6 วธิ ี
ในกลุ่มของชาย 3 คน จะมีวธิ เี รยี งสับเปลี่ยน 3! = 3  2  1 = 6 วธิ ี
จำนวนวิธีการนั่ง 3!  3! = 6  6 = 36 วิธี

2) การหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลย่ี นของ n ส่ิง ท่ีแตกต่างกัน
โดยนำมาจดั คราวละ r สง่ิ (1≤ r ≤ n)

จะมวี ธิ ีเรียงสับเปลีย่ นดงั น้ี

ตำแหนง่ ท่ี 1 2 3…r
…

n n–1 n–2 … n–(r–1)

 จำนวนวิธเี รียงสับเปล่ียนทง้ั หมด n(n–1)(n–2) … n – ( r – 1 ) = n!
(n − r)!

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 19

ชดุ ท่ี 2 เรื่อง แฟกทอเรยี ลและวิธเี รียงสับเปล่ียน

จำนวนวิธีเรยี งสับเปลีย่ นสิ่งของ n สงิ่ ซง่ึ แตกต่างกันท้ังหมดโดยจดั คราวละ r สงิ่ (1≤ r ≤ n)

ใช้สัญลักษณ์ Pn,r หรือ nPr หรอื nPr แทนจำนวนวิธเี รียงสับเปลย่ี นสง่ิ ของ n สิ่ง
ซงึ่ แตกต่างกัน โดยนำมาจัดคราวละ r สิ่ง

 Pn,r = n! = 5! = 5  4  3 = 60
P5,3 = (n − r)! 2!
Pn,n =
5! = n! = n!
(5 − 3)! 0!

n!
(n − n)!

P5,5 = 5! = 5! = 5!
(5 − 5)! 0!

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาจำนวนวธิ ที ี่จะจดั คน 4 คน เขา้ นัง่ เก้าอี้วา่ ง 8 ตวั
ซ่งึ วางเรยี งกันเปน็ เส้นตรง

วิธีทำ มีเก้าอ้วี ่าง 8 ตวั วางเป็นแถวตรง P8,4 = 8!
จะจัดคน 4 คน เข้านง่ั เก้าอ้ีวา่ ง 8 ตัว ได้เทา่ กบั (8 − 4)!

= 8!
4!

= 8765

= 1,680 วธิ ี

ตัวอย่างท่ี 2 บรษิ ัทแหง่ หนง่ึ มีตำแหนง่ งานตา่ งๆ กันว่างอยู่ 3 ตำแหน่ง มีคนสมคั รเข้า
ทำงานในตำแหนง่ ดังกล่าว 7 คน ผู้จดั การมีโอกาสเลอื กผู้สมคั รเข้าทำงาน
ใหเ้ ต็มทั้งสามตำแหนง่ ไดก้ ี่วิธี

วธิ ีทำ ผูส้ มคั รเข้าทำงาน 7 คน แตต่ ้องการเพียง 3 คน ซง่ึ ตำแหนง่ ต่างๆ กัน
จะมีโอกาสเลือกผู้สมัครเข้าทำงานได้ทั้งหมด P7,3 วธิ ี

P7,3 = 7!
(7 − 3)!

= 7!

4!

= 765
= 210 วิธี

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ 20

ชุดที่ 2 เร่ือง แฟกทอเรียลและวิธเี รยี งสับเปลี่ยน

ตวั อย่างที่ 3 มีตำแหนง่ งานว่าง 5 ตำแหนง่ เป็นตำแหน่งชาย 3 ตำแหน่ง หญิง 2
ตำแหนง่ ถา้ มีผู้สมัครเปน็ ชาย 7 คน และหญงิ 4 คน จะมวี ธิ ีจัดบรรจุ
คนเหล่าน้ีเข้าทำงานทง้ั สิน้ กี่วิธี

วธิ ีทำ มชี ายสมัคร 7 คน แตต่ อ้ งการเพียง 3 คน จะเลอื กได้ P7,3 วธิ ี
P7,3 = 7! = 7  6  5 = 210 วธิ ี

4!

มหี ญิงสมัคร 4 คน แต่ต้องการเพยี ง 2 คน จะเลือกได้ P4,2 วธิ ี
P4,2 = 4! = 4  3 = 12 วธิ ี

2!

ดงั น้ัน จำนวนวธิ ที ั้งหมดท่ีจะบรรจุคนเข้าทำงานได้ เท่ากับ 210  12 = 2,520 วธิ ี

ตัวอย่างท่ี 4 หา้ งสรรพสนิ คา้ แห่งหนึ่งจัดทำป้ายทะเบียนสินคา้ โดยให้เลขทะเบียน
ขึน้ ตน้ ด้วยตวั อกั ษร 1 ตวั จากที่กำหนดให้ 5 ตัว และต่อท้ายตัวเลขโดด
3 ตัวท่แี ตกตา่ งกนั อยากทราบว่าห้างสรรพสินคา้ แหง่ นี้จะสามารถจัด
ทำปา้ ยทะเบียนสินคา้ ดังกลา่ วได้ก่ีวธิ ี

วิธที ำ ตำแหนง่ ของการเรยี งสับเปลย่ี นของตวั อักษรและเลขโดดทก่ี ำหนดใหม้ ี 4 ตำแหน่ง

ตำแหน่งแรกสำหรบั จดั ตัวอกั ษร ซ่ึงมีใหเ้ ลือก 5 ตวั ดังน้ันจำนวนวิธีจัดตวั อกั ษรจึงมี 5 วิธี

สามตำแหน่งทเ่ี หลือสำหรบั จัดลำดับเลขโดด 3 ตวั ทีแ่ ตกต่างกันจากเลขโดดซ่ึงมีทัง้ หมด

10 ตัว ไดแ้ ก่ 0, 1, 2, ..., 9

ดงั นนั้ จำนวนวธิ ขี องการจัดลำดบั เลขโดด 3 ตำแหนง่ = P10,3 5  10!
(10−3 )!
นั่นคือ จำนวนวิธที ่ีจะเรยี งสับเปล่ียนสนิ คา้ ดงั กล่าวได้ 5  P 10,3  = = 3,600 วิธี

ชุดกจิ กรรมการเรียนร้วู ิชาคณติ ศาสตร์ 21

ชดุ ที่ 2 เรื่อง แฟกทอเรียลและวิธีเรยี งสับเปลี่ยน

ตัวอยา่ งที่ 5 มหี นังสือคณิตศาสตรต์ ่างกัน 6 เล่ม และหนังสือเคมีตา่ งกัน 4 เล่ม
จะมกี ีว่ ธิ ที ่ีจะจดั หนังสือเหลา่ นบ้ี นชั้น โดยท่ี
1) หนงั สือวิชาเดียวกันอยตู่ ดิ กัน
2) หนงั สอื วิชาเดยี วกนั อยูร่ ิมทั้งสองด้าน

วธิ ีทำ 1) หนังสือวชิ าเดียวกนั อยู่ตดิ กนั

จะมีวธิ กี ารจดั เทา่ กบั 2!  6!  4! = 34,560 วธิ ี
2) หนังสือวชิ าเดียวกันอยรู่ ิมทั้งสองด้าน

จำนวนวธิ ีจดั หนังสอื = (P6,2  8!) + (P 4,2  8!)
= 1,209,600 + 483,840 วิธี
= 1,693,440 วธิ ี

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ 22

ชดุ ท่ี 2 เร่ือง แฟกทอเรยี ลและวธิ ีเรยี งสับเปลี่ยน
3) วธิ เี รียงสบั เปลี่ยนส่งิ ของ n สง่ิ ทไี่ ม่แตกตา่ งกนั ทง้ั หมด (มีบางสงิ่ ซำ้ กนั )

วิธเี รียงสับเปลยี่ นสิ่งของ n ส่งิ ซึ่งไม่แตกตา่ งกันหมด กลา่ วคอื สง่ิ ของ n ส่งิ แบง่ เปน็ k กลมุ่
ในแต่ละกลุ่มเหมือนกนั ให้กลมุ่ ที่ 1 มี n1 สิ่ง, กลุ่มที่ 2 มี n2 สง่ิ , กลมุ่ ที่ 3 มี n3 สิ่ง, ... ,
กลุ่มที่ k มี nk ส่ิง (n1 + n2 + n3 + … + nk = n)

จะจัดได้ เท่ากบั n! วธิ ี
n1!n2!n3!...nk !

ตวั อย่างที่ 1 จะจดั หนังสอื 5 เล่ม ซง่ึ เป็นหนังสอื คณิตศาสตร์ 2 เลม่ เหมอื นกนั
และหนงั สือวิทยาศาสตร์ 3 เล่มเหมอื นกนั วางบนช้ันหนงั สือไดก้ ่ีวิธี

วิธที ำ มีหนงั สือทั้งหมด 5 เลม่ เปน็ คณติ ศาสตร์ทเ่ี หมือนกนั 2 เล่ม

และวิทยาศาสตร์เหมอื นกัน 3 เล่ม

 จัดหนังสือวางบนช้นั ได้ เทา่ กับ 5! = 10 วิธี
2!3!

ตัวอยา่ งที่ 2 ในงานประจำปขี องโรงเรียนแห่งหนึง่ ใช้ไฟประดับตามรว้ั ของโรงเรียนยาวตาม
แนวถนน โดยใช้หลอดไฟ 12 หลอด เปน็ หลอดไฟสแี ดง 5 หลอด
สีเหลอื ง 3 หลอด และสเี ขยี ว 4 หลอด จะมีวิธจี ดั หลอดไฟเหลา่ น้ีได้ก่วี ิธี

วธิ ีทำ มหี ลอดไฟทั้งหมด 12 หลอด

เปน็ หลอดไฟสีแดง 5 หลอด ทีเ่ หมอื นกนั

เปน็ หลอดไฟสีเหลือง 3 หลอด ทีเ่ หมือนกนั

เป็นหลอดไฟสีเขียว 4 หลอด ที่เหมอื นกัน

 จะจดั หลอดไฟตามแนวร้วั ได้ เทา่ กับ 12! = 27,720 วธิ ี
5!3!4!

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ 23

ชุดที่ 2 เร่ือง แฟกทอเรยี ลและวธิ เี รียงสับเปล่ียน

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาวธิ เี รยี งตัวอกั ษรจากคำว่า “MATHEMATICS” ท่ีแตกตา่ งกนั
วิธีทำ
ไดก้ ่ีวิธีโดยไมค่ ำนึงถงึ ความหมาย

จำนวนอักษรทัง้ หมดจากคำวา่ “MATHEMATICS” มี 11 ตวั

มี M 2 ตวั , มี T 2 ตวั , มี A 2 ตวั และมี H, E, I, C, S อย่างละ 1 ตวั

 จำนวนวิธีทั้งหมดท่จี ะจดั ลำดบั ตัวอักษรดังกล่าว

เท่ากับ 11! วธิ ี
2!2!2!

ตวั อย่างที่ 4 จงหาวธิ ที ัง้ หมดท่ีจะจัดคน 7 คน เขา้ พกั ในบ้านหลงั หนง่ึ ซงึ่ มี 3 หอ้ ง
วิธที ำ
หอ้ งหนง่ึ อยู่ได้ 3 คน สว่ นอีกสองห้องอยู่ได้ ห้องละ 2 คน

แบ่งคน 7 คน ออกเปน็ 3 กลุม่ โดยกลุม่ ทห่ี นึ่งมี 3 คน,

กล่มุ ทส่ี องมี 2 คน และกลมุ่ ทส่ี ามมี 2 คน

 จำนวนวิธีทงั้ หมดท่จี ะจดั คนเข้าห้องพักดังกลา่ ว

เท่ากับ 7! = 210 วธิ ี
3!2!2!

หมายเหตุ การจดั คน 3 คน เขา้ หอ้ งพักเดยี วกนั คิดเหมือนกบั การจดั ลำดบั ของ 3 สิง่
ทเี่ หมอื นกัน เพราะว่าจะสลับกันอย่างไรก็อยู่ห้องเดยี วกันนัน่ เอง

ตวั อย่างท่ี 5 มนี ้ำอัดลมขนาดเดยี วกนั 9 ขวด ประกอบด้วยนำ้ อดั ลมชนดิ A จำนวน
วิธที ำ
3 ขวด ชนิด B จำนวน 2 ขวด และชนิด C จำนวน 4 ขวด จงหาจำนวนวิธี

ที่จะจดั น้ำอัดลมทั้ง 9 ขวด นี้ถา้

1) วางเรียงกันเป็นแถว

2) วางเรียงกันเปน็ แถวโดยใหน้ ำ้ อัดลมชนิดเดยี วกันอย่ตู ดิ กนั

1) จำนวนวิธีของการจัดเรียงกนั เป็นแถว 9! = 1,260 วธิ ี
3!2!4!

2) นำ้ อัดลมแต่ละชนดิ คิดเป็น 1 กลุ่ม ดงั นัน้ มีนำ้ อัดลมอยู่ 3 กล่มุ

ในแตล่ ะตำแหนง่ ของนำ้ อัดลมชนิดเดยี วกันจะสลบั ที่กนั อย่างไร

กไ็ มแ่ ตกตา่ งกนั นัน่ คือ จำนวนวธิ วี างเรยี งกันเป็นแถวโดยใหน้ ้ำอัดลม

ชนดิ เดียวกนั อยูต่ ิดกันเท่ากับ 3! = 6 วธิ ี

ชุดกิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ 24

ชดุ ที่ 2 เรื่อง แฟกทอเรียลและวิธีเรยี งสับเปล่ียน

ตวั อยา่ งท่ี 6 ตวั อักษรในคำว่า BEGINNING มีวธิ เี รยี งสับเปลีย่ นเปน็ คำตา่ งๆ
ทงั้ หมดกี่วิธี เมอื่
1) อกั ษรทไ่ี มซ่ ำ้ กนั อยู่ติดกนั

2) อกั ษรท่ซี ้ำกันในกลมุ่ เดยี วกันอย่ตู ิดกัน

วธิ ที ำ คำวา่ BEGINNING มีตวั อกั ษร 9 ตวั มีบางตัวซ้ำกนั คือ

G ซ้ำกัน 2 ตวั , I ซำ้ กนั 2 ตวั และ N ซำ้ กนั 3 ตวั
1) อกั ษรที่ไม่ซำ้ กนั อยูต่ ิดกัน
อกั ษรทีไ่ มซ่ ำ้ กนั คือ B และ E จะได้ BE G G I I N N N

รวม BE 1 ตวั ตวั อักษรจงึ เหลอื 8 ตัว สามารถเรยี งสบั เปลี่ยนได้ 8! วิธี

2!2!3!

ในแตล่ ะวิธี ตวั อกั ษร B และ E สามารถสลับทกี่ นั ได้ 2! วธิ ี

ดงั นัน้ จำนวนวิธีท้งั หมดในการเรียงตวั อกั ษร เท่ากบั 8!2! = 3,360 วธิ ี

2!2!3!

2) อักษรที่ซ้ำกนั ในกลุ่มเดียวกนั อยู่ตดิ กัน

รวม GG เป็น 1 ตวั , รวม II เปน็ 1 ตวั และรวม NNN เปน็ 1 ตัว
จะได้ B E GG II NNN มที ้ังหมด 5 ตวั ไม่ซ้ำกนั
ดงั นน้ั จำนวนวิธีท้งั หมดในการเรียงสับเปลย่ี นอกั ษร 5 ตวั เทา่ กับ 5! = 120 วธิ ี
ตัวอย่างที่ 7 พยาบาลเรียกคนไข้เข้าตรวจทีละคน ถ้ามีคนไข้ 7 คน ในจำนวนนี้

มีนาย ก, ข, ค และ ง รวมอยู่ด้วย พยาบาลจะมีวิธีการเรียกคนไข้

จนครบ 7 คนได้ท้งั หมดกวี่ ิธี เม่อื

1) นาย ก เขา้ ตรวจก่อนนาย ข และนาย ข เขา้ ตรวจก่อนนาย ค
2) นาย ก เข้าตรวจก่อนนาย ข และนาย ค เขา้ ตรวจก่อนนาย ง

วธิ ที ำ

1) จำนวนวธิ ีเรยี กเขา้ ตรวจ เท่ากบั จำนวนวิธเี รียงสบั เปลีย่ นแบบเชงิ เส้นของ

คน 7 คน ในจำนวนน้ี นาย ก, ข และ ค จะเรียงลำดับดงั กลา่ วคอื

ห้ามสลับกนั เอง (ถือว่าซำ้ 3 คน)

 จำนวนวิธีเรียกคนไข้เข้าตรวจเท่ากับ 7! = 840 วธิ ี

3!

2) จำนวนวิธีเรียกเขา้ ตรวจ เทา่ กบั จำนวนวิธเี รียงสบั เปลยี่ นแบบเชงิ เส้นของคน

7 คน โดยถือว่า นาย ก กับ นาย ข ซ้ำกนั และนาย ค กบั นาย ง ซ้ำกัน

 จำนวนวธิ ีเรียกคนไข้เข้าตรวจเทา่ กบั 7! = 1,260 วิธี

2!2!

ชุดกจิ กรรมการเรียนร้วู ิชาคณิตศาสตร์ 25

ชดุ ที่ 2 เร่ือง แฟกทอเรียลและวธิ ีเรียงสับเปล่ียน

บัตรกิจกรรมที่ 2.2 วิธีเรยี งสบั เปลีย่ นของ n สิ่ง ในแนวเสน้ ตรง

จำนวนวิธเี รียงสบั เปล่ยี นของ n ส่ิง แตกต่างกนั ทง้ั หมดนำมาจัดเรยี งอันดบั คราวละ n สิง่ ได้ n!

1) จงหาจำนวนวิธที ีแ่ ตกต่างกนั ทจ่ี ะจัดคน 6 คน เข้าแถวเรียงหนง่ึ (1 คะแนน)

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

2) ชาย 3 คน และหญิง 2 คน มานั่งบนเก้าอ้ี 5 ตัวเรียงแถวยาวจะมวี ธิ กี ารนง่ั ทง้ั หมด

ก่ีวธิ เี มอ่ื เพศเดยี วกนั นัง่ ตดิ กัน (1 คะแนน)

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

จำนวนวธิ ีเรยี งสับเปลย่ี นของ n สิง่ ทีแ่ ตกต่างกันมาจัดคราวละ r สง่ิ (1 ≤ r ≤ n) Pn,r = n!
(n − r)!

3) จงหาค่า Pn,r ในแตล่ ะข้อตอ่ ไปน้ี (2 คะแนน ; ข้อละ 1 คะแนน)

3.1) P5,3 3.2) P8,4

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

......................................................................................................................................................

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ 26

ชดุ ที่ 2 เร่ือง แฟกทอเรยี ลและวิธเี รียงสับเปล่ียน

4) ในท่ที ำการแห่งหนึ่งมีตำแหน่งต่างๆ กันว่างอยู่ 3 ตำแหน่ง มคี นสมัครเข้าทำงาน

ในตำแหน่งดงั กลา่ ว 7 คน ผจู้ ัดการมโี อกาสเลือกผ้สู มคั รเข้าทำงานใหเ้ ตม็

ท้ังสามตำแหน่งกีว่ ธิ ี (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

5) จงหาวิธที ่ีจะจดั ชาย 4 คน กับหญงิ 4 คน ใหย้ นื เรียงแถว โดยที่
หญิงทงั้ 4 คนยืนติดกัน (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

วิธเี รียงสบั เปล่ียนสิ่งของ n สง่ิ ทไ่ี ม่แตกต่างกนั ทั้งหมด (มีบางส่ิงซำ้ กนั )

เท่ากับ n! วธิ ี
n1!n2!n3!...nk !
6) ในงานประจำปขี องโรงเรียนแห่งหน่ึงใชไ้ ฟประดับตามรวั้ ของโรงเรยี นยาวตาม

แนวถนน โดยใช้หลอดไฟ 12 หลอด เปน็ หลอดไฟสแี ดง 5 หลอด สีเหลอื ง

3 หลอด และสีเขียว 4 หลอด จะมวี ธิ จี ดั หลอดไฟเหลา่ นไี้ ด้ก่วี ธิ ี (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ 27

ชดุ ที่ 2 เร่ือง แฟกทอเรียลและวิธเี รียงสับเปลี่ยน

2.3 วธิ ีเรยี งสับเปลย่ี นของ n สิง่ แบบวงกลม

ใบความรู้ท่ี 2.3 วิธเี รยี งสบั เปลย่ี นของ n ส่ิง แบบวงกลม

วธิ ีเรยี งสบั เปลย่ี นสง่ิ ของทีแ่ ตกต่างกันเป็นวงกลม (Circular permutation)

วิธีเรียงสับเปล่ียนของส่ิงของที่แตกต่างกันเป็นวงกลม กับวิธีเรียงสับเปลี่ยนของส่ิงของท่ีแตกต่าง
กันเป็นเส้นตรงมีลักษณะอย่างเดียวกัน เพียงแต่ว่าวิธีเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลมจะไม่มีหัวแถว ท้าย
แถว จึงทำให้จำนวนวิธีในการเรียงสับเปล่ียนแตกต่างกัน เช่น วธิ ีการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่แตกต่าง
กัน 3 ส่ิง

A คือ A , B , C ถ้าจัดเป็นวงกลม จะได้ ABC, BCA, CAB ถือว่า
เป็นวิธีเดียวกัน แต่ถ้าจัดเป็นเส้นตรงจะจัดได้ 3 วธิ ี กล่าวคือ วิธี
เรยี งสับเปลย่ี นของส่ิงของทแี่ ตกต่างกนั 3 สิง่ ถา้ จัดเปน็ เสน้ ตรง

C B จะได้ 3 วธิ ี แตถ่ ้าจัดแบบวงกลมจะจัดได้ 1 วิธี

A เช่นเดยี วกัน วิธเี รียงสับเปลี่ยนของสง่ิ ของทแี่ ตกต่าง 4 สิง่
DB ถ้าจัดเป็นวงกลม จะได้ ABCD, BCDA, CDAB , DABC ถอื ว่าเป็น
วธิ เี ดียวกัน แตถ่ ้าจดั เป็นเส้นตรงจะจัดได้ 4 วธิ ี กลา่ วคือ วธิ ีเรยี ง
C สบั เปลย่ี นของสิ่งของท่แี ตกต่างกนั 4 สง่ิ ถ้าจดั เปน็ เส้นตรง
จะได้ 4 วิธี แตถ่ า้ จดั แบบวงกลมจะจัดได้ 1 วธิ ี

จึงสรุปได้ว่า ถ้ามีส่ิงของที่แตกต่างกัน n ส่ิง ถ้าจัดเรียง

สับเปล่ียนเป็นเส้นตรงได้ n วิธี แล้วจะจัดเรียงสับเปล่ียนเป็น

วงกลมได้ 1 วธิ ี

ดังนั้น จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่แตกต่างกัน n สิ่งเป็น

วงกลม เท่ากบั

n! = (n – 1)! วิธี
n

ตวั อย่างท่ี 1 ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 28

ชุดท่ี 2 เรื่อง แฟกทอเรียลและวธิ เี รยี งสับเปล่ียน
จงหาจำนวนวธิ ีทจี่ ะจดั ชาย 5 คน น่ังประชุมรอบโต๊ะกลม

วธิ ีทำ การลำดับของ n สิ่งท่ีแตกตา่ งกัน เปน็ วงกลมจะจัดได้ (n – 1)! วิธี
ดังน้ัน การจดั ชาย 5 คน นงั่ ประชมุ รอบโต๊ะกลม
ได้เทา่ กบั (5 – 1)! = 4! = 24 วธิ ี

ตวั อย่างที่ 2 จงหาจำนวนวิธีท่ีจะจดั ชาย 6 คน และหญงิ 6 คน นั่งประชุมรอบโตะ๊ กลม

โดยให้ชายและหญิงน่ังสลบั กัน

วธิ ที ำ การจัดลำดบั อาจใหช้ ายหรือหญงิ น่ังกอ่ นกไ็ ด้ ญ ชญ

ถา้ ให้ชายน่งั ก่อนจะเขา้ นัง่ ได้ (6 – 1)! = 5! วธิ ี ช ช
และจดั หญงิ เขา้ น่งั สลบั ชาย ได้ 6! วธิ ี ญ ญ
ดังนั้น จำนวนวิธีท้งั หมดท่จี ะจดั ชาย 6 คน และหญงิ 6 คน
ช
นั่งรอบโต๊ะกลมโดยสลับชาย หญิง เทา่ กับ 5!6! วธิ ี ช
ญช ญ

หมายเหตุ
จำนวนวิธีทีจ่ ะจดั ชาย n คน และหญิง n คนน่ังสลับกันเป็นวงกลมจะจดั ได้ (n – 1)!n! วธิ ี

ตวั อย่างท่ี 3 สามีภรรยา 5 คู่ น่งั รับประทานอาหารรอบโตะ๊ กลม ในจำนวนน้มี ีสามี
ภรรยาค่หู น่ึงท่เี ป็นหนมุ่ สาว จะมวี ธิ ีจัดคนเหล่านี้นงั่ รับประทานอาหารไดก้ วี่ ิธี
ถ้าไม่ตอ้ งการใหห้ นุม่ สาวสามีภรรยาคู่นีน้ งั่ ติดกัน

วธิ ีทำ สามภี รรยา 5 คู่ เทา่ กับ 10 คน น่ังรอบโต๊ะกลมได้ 9! วธิ ี
ถ้าให้หนมุ่ สาวน่งั ติดกัน ดงั น้ันจะคิดเป็น 9 คน จะจัดเปน็ วงกลมได้ 8! วิธี
และหนุ่มสาวนงั่ สลบั กันไดอ้ ีก 2! วธิ ี

 จะจดั คน 10 คน โดยให้ 2 คนใด นั่งติดกันได้ เทา่ กับ 2!8! วิธี

 จัดสามภี รรยา 5 คู่ เป็นวงกลมโดยไม่ให้หน่มุ สาวสามภี รรยาคหู่ นง่ึ นัง่ ติดกนั
จะจดั ไดเ้ ทา่ กับ
9! – 2!8! = (9 × 8!) – (2 × 8!)
= (9 – 2) × 8!
= 7 × 8! วธิ ี

ชุดกิจกรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 29

ชดุ ที่ 2 เร่ือง แฟกทอเรยี ลและวธิ เี รยี งสับเปลี่ยน

ตวั อยา่ งที่ 4 ผู้หญงิ 2 คน และผู้ชาย 4 คน ยนื เรียงเป็นวงกลมจะจัดได้กว่ี ธิ ี เม่ือ

1) ผหู้ ญิง 2 คนยืนตดิ กันเสมอ
2) ผูห้ ญงิ 2 คนยืนแยกกันเสมอ
3) ผหู้ ญิง 2 คนยนื ตรงข้ามกันเสมอ

วิธที ำ
1) ผูห้ ญงิ 2 คนยนื ติดกนั เสมอ

ใหห้ ญงิ 2 คนยนื ตดิ กันรวมกันนบั เป็น 1 คน ดงั นัน้ คน 6 คน เหลอื 5 คน
จดั คน 5 คน ยืนเรยี งสบั เปลี่ยนแบบวงกลมได้ 4! วิธี
ในแต่ละวธิ ีหญงิ 2 คนตดิ กนั สามารถสลับได้ 2! วธิ ี
ดงั น้นั จำนวนวิธีท่จี ะจดั ผหู้ ญิง 2 คนยืนติดกันเสมอ
เทา่ กับ 4!2! = 24 × 2 = 48 วธิ ี

2) ผหู้ ญงิ 2 คนยนื แยกกันเสมอ

นำผชู้ าย 4 คน ยนื เปน็ วงกลมก่อน ทำได้ 3! วิธี

และนำผู้หญิงไปแทรกระหว่างผู้ชาย ซง่ึ มี 4 ชอ่ ง เลอื ก 2 ช่อง

จะได้ P4,2 = 4! = 12

2!

ดงั นั้น จำนวนวธิ ีทจี่ ะจดั ผู้หญงิ 2 คนยนื แยกกันเสมอ

เทา่ กับ 3!  4! = 72 วิธี
2!

3) ผหู้ ญงิ 2 คนยนื ตรงข้ามกนั เสมอ

นำผู้ชาย 4 คน ยืนเปน็ วงกลมกอ่ น ทำได้ 3! วธิ ี
ผหู้ ญิง 2 คน จะแทรกลงไปได้โดยทีต่ ้องอยู่ตรงขา้ มกนั มที ้งั หมด 2 แบบ
ผหู้ ญงิ 2 คน สามารถสลบั ท่กี นั ได้ 2! วิธี
ดังนนั้ จำนวนวิธีท่ีจะจดั ผู้หญงิ 2 คนยืนตรงข้ามกันเสมอ
เท่ากับ 3! × 2 × 2! = 24 วิธี

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ 30

ชุดที่ 2 เรื่อง แฟกทอเรยี ลและวธิ ีเรยี งสับเปล่ียน

จำนวนวธิ ีเรียงสับเปลยี่ นสิ่งของทแ่ี ตกตา่ งกนั เปน็ วงกลมใน 3 มติ ิ

การจัดเรียงสับเปล่ียนสิ่งของท่ีแตกต่างกันเป็นวงกลมที่กล่าวมาแล้วนั้น เป็นการจัดเรียง
สบั เปล่ียนเป็นวงกลมในระนาบ ซ่ึงถอื ว่าเป็นการจดั เรียงสับเปล่ยี นตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา
นั้นแตกต่างกัน แต่การจัดเรียงสับเปลี่ยนเป็นวงกลมใน 3 มิติ นั้นถือว่า การจัดเรียงสับเปลี่ยนตาม
เขม็ นาฬกิ าและทวนเข็มนาฬิกาเปน็ วธิ เี ดียวกัน

ดังนั้น จำนวนวิธีท่ีจัดเรียงสับเปล่ียนของ n ส่ิงท่ีแตกต่างกันเป็นวงกลมใน 3 มิติ เท่ากับ
ครึ่งหนึ่งของจำนวนวิธีท่ีเรียงสับเปล่ียนสิ่งของท่ีแตกต่างกัน n ส่ิงเป็นวงกลมในระนาบ เช่นการ
ติดต้ังสัญญาณไฟ 3 สี แดง เหลือง เขียว ถ้าจัดเรียงสับเปล่ียนเป็นวงกลมบนระนาบจะได้ 2 วิธี
แตถ่ ้าจัดเรยี งสบั เปลี่ยนเป็นวงกลมใน 3 มิติ จะจัดได้ วิธีเดยี ว

ดังนน้ั การจัดเรยี งสับเปล่ยี นสิง่ ของ n ส่ิงท่แี ตกต่างกนั เป็นวงกลมใน 3 มติ ิ
จัดได้เท่ากับ (n -1)! วธิ ี

2

ตวั อย่างที่ 1 สรอ้ ยคอทองคำเสน้ หนึง่ มหี ว่ งสำหรบั แขวนพระอยู่ 9 หว่ ง จะนำพระ
9 องค์ต่างๆ กนั ไปแขวนที่ห่วงน้ี จะแขวนพระได้กีว่ ิธี

วิธีทำ จัดพระ 9 องค์ตา่ งๆ กนั เปน็ วงกลม 3 มิติ จดั ได้
เทา่ กับ (9 -1)! = 8! วธิ ี

22

ตวั อยา่ งที่ 2 มสี ีแตกตา่ งกัน 6 สี ต้องการทาสลี ูกบาศกเ์ กลี้ยงอนั หนึ่ง โดยแต่ละหน้าทาสี
ไมซ่ ำ้ กนั จะมีวิธีการทาสที ง้ั หมดก่วี ิธี

วธิ ีทำ หน้าทุกหน้าของลกู บาศก์เกล้ยี งจะไม่มีความแตกต่างกัน
ใหท้ าสหี นา้ ลกู บาศก์หนา้ ใดหนา้ หน่งึ กอ่ น ด้วยสใี ดสีหน่ึง ซ่ึงทาได้ 1 วธิ ี
ทาด้านท่ีตรงขา้ มกบั ดา้ นทที่ าไว้แลว้ จำนวนวิธที าสี เทา่ กับ 5 วธิ ี
ในแตล่ ะวิธกี ารทาสี 4 สี บนหนา้ ที่เหลือหนา้ ละสี
จำนวนวธิ ที าสี 4 สี เทา่ กับ 3! = 6 วิธี
ดงั น้ัน จำนวนวธิ ีทาสี 6 หน้า เทา่ กบั 1 × 5 × 6 = 30 วธิ ี

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ 31

ชุดที่ 2 เรื่อง แฟกทอเรียลและวิธเี รยี งสับเปลี่ยน

วธิ เี รียงสบั เปล่ียนแบบวงกลมของสิง่ ของที่ซำ้ กันบางส่งิ

การหาจำนวนวิธีเรียงสับเปลีย่ นของสง่ิ ของทซ่ี ้ำกนั เป็นบางสงิ่ เป็นวงกลมบางกรณไี มส่ ามารถเลียนแบบ

สตู รแบบเชิงเส้นได้ ถ้ามเี ง่ือนไขที่เหมาะสมกส็ ามารถใช้สูตรซ่ึงเลยี นแบบสูตรเชิงเสน้ ได้ ดงั ต่อไปน้ี

สมมตใิ ห้มีสงิ่ ของทั้งหมด n สิ่ง ซง่ึ แบ่งออกเปน็ k กลุ่ม

กล่มุ ท่ี 1 มสี งิ่ ของซ้ำกนั n1 สงิ่
กลมุ่ ที่ 2 มีสงิ่ ของซำ้ กัน n2 สิง่

… ...

……

กลุม่ ที่ k มีสิ่งของซ้ำกัน nk ส่ิง โดยท่ี n1 + n2 + … nk = n
ถา้ ห.ร.ม. (n1, n2 , …, nk) = 1 แล้ว d จะเปน็ คาบของวธิ ีเรียงสบั เปลยี่ นแบบเชิงเสน้ ของสิ่งของ n สง่ิ

ก็ต่อเมื่อ n หาร 1 ลงตัว น่ันคอื d = n

d

แสดงวา่ ในจำนวนวธิ เี รยี งสับเปลี่ยนแบบเชงิ เสน้ ของสงิ่ ของ n สงิ่ ดังกลา่ ว

ซ่ึงมจี ำนวน (n -1)! วิธีจะเปน็ วิธเี รียงสบั เปลย่ี นซ่ึงมคี าบเท่ากบั n ท้ังสิ้น
n1!n2!n3!...nk !

ดงั นั้น จำนวนกล่มุ ซึง่ เม่ือนำมาขดเป็นวงกลมได้วิธีแตกต่างกันทั้งหมด และสามารถสรปุ เป็นสูตรไดด้ ังน้ี

ถา้ ห.ร.ม. ( n1, n2 , …, nk) = 1 แล้วจำนวนวธิ เี รยี งสับเปลี่ยนแบบวงกลมของส่ิงของ n สง่ิ

เทา่ กับ (n -1)! วธิ ี
n1!n2!n3!...nk !

หมายเหตุ ถา้ ในจำนวน n1, n2 , …, nk มีบางตัวเท่ากับ 1 จะไดว้ ่า ห.ร.ม. (n1, n2 , …, nk) = 1

ดังนั้นจำนวนวิธีเรยี งสับเปลี่ยนแบบวงกลมของส่ิงของ n ส่ิงเทา่ กับ (n -1)! วิธี
n1!n2!n3!...nk !

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 32

ชุดที่ 2 เรื่อง แฟกทอเรียลและวิธเี รียงสับเปล่ียน

ตัวอย่างที่ 1 มลี กู บอลสีแดงเหมือนกัน 2 ลูก สนี ้ำเงนิ เหมือนกนั 3 ลกู และสีเขยี วเหมือนกัน 4 ลกู
จะมวี ิธเี รียงสบั เปลี่ยนแบบวงกลมของลกู บอลทัง้ หมดกีว่ ธิ ี

วิธที ำ ห.ร.ม. (2, 3, 4) = 1

ดังนน้ั จำนวนวิธีเรยี งสบั เปลี่ยนแบบวงกลมของลูกบอล 9 ลกู

คือ (9 -1)! = 140 วิธี
2! 3! 4 !

สมการวิธเี รียงสับเปลี่ยน

ตัวอยา่ งที่ 1 จงหาค่า n จากสมการ

1) Pn,2 = 6

วิธที ำ Pn,2 = 6

n! = 6
(n − 2)!
n(n – 1) = 3 × 2

 n =3

2) Pn,3 = 3 × P5,2

วิธีทำ Pn,3 = 3 × P5,2

n! = 3 × (5 5! 2)!
(n − 3)! −

n(n – 1)(n – 2) = 5 × 4 × 3

 n= 5

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 33

ชุดที่ 2 เรื่อง แฟกทอเรยี ลและวิธีเรียงสับเปลี่ยน

สรุปวิธเี รยี งสับเปล่ยี น

ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ 34

ชดุ ท่ี 2 เร่ือง แฟกทอเรยี ลและวธิ ีเรยี งสับเปลี่ยน

บัตรกิจกรรมที่ 2.3 วิธเี รยี งสบั เปลี่ยนของ n ส่งิ แบบวงกลม

จำนวนจัดเรียงสับเปล่ยี นสิ่งของท่ีแตกตา่ งกัน n สงิ่ เป็นวงกลม เท่ากับ (n – 1)! วธิ ี
1) จงหาจำนวนวธิ ีทีจ่ ะจัดชาย 5 คน นั่งประชมุ รอบโต๊ะกลม (1 คะแนน)

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

จำนวนวิธที ่จี ะจัดชาย n คน และหญงิ n คนนง่ั สลบั กนั เปน็ วงกลมจะจดั ได้ (n–1)!n! วิธี
2) จงหาจำนวนวิธที ่จี ะจดั ชาย 6 คน และหญงิ 6 คน นง่ั ประชุมรอบโตะ๊ กลม
โดยใหช้ ายและหญงิ น่งั สลับกนั (1 คะแนน)

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

3) ผู้หญิง 2 คน และผ้ชู าย 4 คน ยนื เรยี งเป็นวงกลมจะจดั ได้ก่วี ิธี เมือ่
(4 คะแนน ; ขอ้ ละ 2 คะแนน)

3.1) ผหู้ ญิง 2 คน ยนื ติดกันเสมอ (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

ชดุ กิจกรรมการเรยี นร้วู ิชาคณติ ศาสตร์ 35

ชุดท่ี 2 เร่ือง แฟกทอเรยี ลและวิธีเรียงสับเปลี่ยน

3.2) ผหู้ ญิง 2 คน ยนื แยกกนั เสมอ (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

จำนวนวธิ เี รียงสับเปลี่ยนสง่ิ ของท่ีแตกตา่ งกันเป็นวงกลมใน 3 มิติเทา่ กบั (n - 1)! วิธี
2

4) สร้อยคอทองคำเสน้ หน่ึงมหี ่วงสำหรับแขวนพระอยู่ 9 ห่วง จะนำพระ 9 องคต์ า่ งๆ กนั
ไปแขวนท่หี ่วงน้ี จะแขวนพระได้กี่วิธี (1 คะแนน)

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

วธิ เี รียงสับเปล่ยี นแบบวงกลมของสิ่งของทซี่ ้ำกันบางสง่ิ เท่ากับ (n -1)! วธิ ี
n1!n2!n3!...nk !

5) มีลูกบอลสีแดงเหมอื นกัน 2 ลกู สีนำ้ เงนิ เหมือนกนั 3 ลกู และสีเขยี วเหมือนกนั 4 ลูก
จะมวี ิธเี รยี งสับเปลย่ี นแบบวงกลมของลูกบอลทัง้ หมดก่วี ิธี (1 คะแนน)

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

6) จงหาค่า n จากสมการ Pn,2 = 6 (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 36

ชุดที่ 2 เรื่อง แฟกทอเรียลและวธิ เี รยี งสับเปล่ียน

แบบทดสอบระหวา่ งเรียนชุดท่ี 2 เรื่อง แฟกทอเรียลและวธิ ีเรยี งสบั เปล่ยี น

คำชแ้ี จง เลือกคำตอบท่ีถูกตอ้ งเพียงข้อเดียวแลว้ ทำเครื่องหมาย () ลงในกระดาษคำตอบ

1. กำหนด n! = (n -1)! แล้ว n มคี ่าเทา่ กับข้อใด
(n - 5)! 9  (n - 5)!

ก. 10 ข. 9 ค. 8 ง. 7

2. ถ้า n! = 7n! แล้ว n มีคา่ เท่าใด
(n - 5)! (n - 4)!

ก. 11 ข. 10 ค. 9 ง. 7

3. 15 × 16 × 17 × 18 เขียนในรปู แฟกทอเรยี ลไดด้ งั ขอ้ ใด

ก. 19! ข. 14! ค. 14! ง. 18!
14! 18! ค. (n + 1)n(n – 1) 14!

4. (n +1)! มีคา่ ตรงกบั จำนวนใด ง. (n + 1)(n – 1)
(n - 2)!

ก. (n – 3)! ข. (n + 1)!

5. ถา้ Pn,5 = 8 × Pn,4 จงหาคา่ n ค. 8 ง. 12
ก. 4 ข. 6

6. ค่าของ P7,4 ตรงกบั ข้อใด ค. 120 ง. 840

7

ก. 7 ข. 12

7. วิธเี รยี งตัวอกั ษรในคำวา่ SAZABA ที่แตกตา่ งกันมกี ว่ี ธิ ี โดยท่ี A ทง้ั 3 ตัวอยู่ตดิ กัน

ก. 3 ข. 24 ค. 120 ง. 720

8. จำนวนวิธจี ดั เรียงธงสีเหลอื ง 3 ผนื ธงสีขาว 1 ผนื และธงสีนำ้ เงิน 1 ผืน ไดแ้ ตกต่างกันกว่ี ธิ ี

ก. 10 ข. 20 ค. 60 ง. 120

9. จดั เด็กชาย 3 คน และเดก็ หญงิ 2 คน นัง่ เรียงกนั โดยเด็กชายน่ังตดิ กัน และเด็กหญิง

ก็น่งั ติดกนั มีทง้ั หมดก่ีวิธี

ก. 5 ข. 8 ค. 10 ง. 24

10. ชาย 4 คน และหญงิ 4 คน นัง่ ล้อมวงเป็นวงกลม โดยมีชาย 2 คนน่งั สลับกบั หญิง

2 คนจะจัดได้กวี่ ธิ ี

ก. 36 ข. 144 ค. 288 ง. 576

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรูว้ ชิ าคณิตศาสตร์ 37

ชุดท่ี 2 เรื่อง แฟกทอเรยี ลและวิธเี รียงสับเปล่ียน

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบระหว่างเรยี น

ชือ่ – นามสกลุ ..................................................................... ชน้ั ................. เลขที่ ...........

ขอ้ ที่ ก ข ค ง ขอ้ ท่ี ก ข ค ง
16
27
38
49
5 10

สรปุ ผลการเรยี น

ภาระงาน คะแนน คะแนนทไี่ ด้ ร้อยละของ ผา่ น ไม่ผ่าน
เต็ม คะแนนทีไ่ ด้
บัตรกิจกรรมท่ี 2.1
บัตรกิจกรรมที่ 2.2 10
บตั รกิจกรรมท่ี 2.3
10
แบบทดสอบ
ระหว่างเรียนชดุ ท่ี 2 10

10

ชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 38

ชดุ ท่ี 2 เรื่อง แฟกทอเรยี ลและวธิ เี รียงสับเปลี่ยน

เฉลยบตั รกิจกรรมวชิ าคณิตศาสตร์ เรอ่ื งความนา่ จะเป็น
ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5
ชุดที่ 2

แฟกทอเรียลและวิธเี รยี งสับเปลี่ยน

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ 39

ชดุ ท่ี 2 เรื่อง แฟกทอเรยี ลและวธิ เี รียงสับเปลี่ยน

เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 2.1 แฟกทอเรยี ล

คำชแ้ี จง ใหน้ กั เรยี นแสดงวิธกี ารหาคำตอบโดยใช้แฟกทอเรียล (Factorial) (10 คะแนน)
1) จงหาค่าต่อไปนี้ (4 คะแนน ; ข้อละ 1 คะแนน)
1) 7!

2) 2! + 4!

3) 10! – 7!

4) 8!
2!6!

ชุดกิจกรรมการเรียนรูว้ ิชาคณติ ศาสตร์ 40

ชุดที่ 2 เร่ือง แฟกทอเรียลและวิธีเรียงสับเปล่ียน
2) จงเขียนให้อยใู่ นรูปแฟกทอเรยี ล (2 คะแนน ; ข้อละ 1 คะแนน)

1) 5 × 4 × 3

2) (n + 1) × n × (n – 1)

3) จงหาคา่ n จากสมการตอ่ ไปนี้ (4 คะแนน ; ข้อละ 2 คะแนน)

1) n! = 720
(n − 3)!

n

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ 41

ชดุ ที่ 2 เรื่อง แฟกทอเรยี ลและวธิ ีเรยี งสับเปลี่ยน

2) (n +1)! = 420
(n −1)!

เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 2.2 วธิ ีเรียงสบั เปล่ียนของ n ส่งิ ในแนวเส้นตรง

1) จงหาจำนวนวิธที ี่แตกต่างกันที่จะจัดคน 6 คน เข้าแถวเรยี งหนึ่ง (1 คะแนน)
วธิ ที ำ จัดคน 6 คน เข้าแถวตรงเรยี งหนึง่

จัดเรียงอันดับ 1 จัดได้ 6 วิธี ( มคี นให้เลือก 6 คน )
จัดเรียงอันดับ 2 จัดได้ 5 วธิ ี ( เหลือคนให้เลือก 5 คน )
จัดเรยี งอันดับ 3 จดั ได้ 4 วิธี ( เหลอื คนใหเ้ ลอื ก 4 คน )
จดั เรยี งอันดบั 4 จัดได้ 3 วิธี ( เหลอื คนใหเ้ ลอื ก 3 คน )
จดั เรยี งอันดบั 5 จดั ได้ 2 วิธี ( เหลอื คนให้เลอื ก 2 คน )
จัดเรียงอันดบั 6 จัดได้ 1 วธิ ี ( เหลอื คนสดุ ทา้ ย 1 คน )
 จำนวนวธิ ีจะจัดคน 6 คนเขา้ แถวตรงได้ เท่ากับ 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 6! = 720 วธิ ี

ชุดกจิ กรรมการเรียนรูว้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 42

ชุดท่ี 2 เรื่อง แฟกทอเรียลและวิธีเรียงสับเปล่ียน

2) ชาย 3 คน และหญิง 2 คน มาน่งั บนเก้าอ้ี 5 ตัวเรยี งแถวยาวจะมีวธิ กี ารนง่ั ท้ังหมดก่วี ธิ ี
เม่ือเพศเดยี วกนั นงั่ ติดกัน (1 คะแนน)

วธิ ที ำ

ชชช ญ ญ ชาย 3 คน คิดเป็น 1 กล่มุ และหญิง 2 คน คดิ เป็น 1 กลุ่ม
ดังน้นั ชายและหญงิ มีวธิ ีเรยี งสบั เปล่ียน 2! = 2 วธิ ี

ในกลุ่มของชาย 3 คน ที่นั่งติดกันจะมีวธิ ีเรียงสบั เปล่ยี น 3! = 3 × 2 × 1 = 6 วธิ ี
ในกลุ่มของหญิง 2 คน ท่ีนั่งติดกนั จะมีวธิ เี รยี งสับเปลี่ยน 2! = 2 × 1 = 2 วธิ ี
จำนวนวธิ ีการนง่ั คือ 2! × 3! × 2! = 2 × 6 × 2 = 24 วธิ ี

3) จงหาค่า Pn,r ในแตล่ ะข้อต่อไปนี้ (2 คะแนน ; ขอ้ ละ 1 คะแนน)

วธิ ีทำ 3.1) P5,3 = 5! = 5! = 5 × 4 × 3 = 60
(5 − 3)! 2!

3.2) P8,4 = 8! = 8! = 8 × 7 × 6 × 5 = 1,680
(8 − 4)! 4!

4) ในที่ทำการแห่งหนึง่ มตี ำแหนง่ ต่างๆ กันวา่ งอยู่ 3 ตำแหน่ง มคี นสมคั รเข้าทำงาน

ในตำแหน่งดงั กลา่ ว 7 คน ผ้จู ดั การมีโอกาสเลือกผู้สมัครเขา้ ทำงานให้เต็ม

ทั้งสามตำแหนง่ ได้กี่วธิ ี (2 คะแนน)

วธิ ที ำ ผสู้ มัครเขา้ ทำงาน 7 คน แต่ต้องการเพียง 3 คน ซ่งึ ตำแหน่งตา่ งๆ กนั

จะมีโอกาสเลอื กผูส้ มัครเขา้ ทำงานได้ทั้งหมด P7,3 วิธี

P7,3 = 7!
(7 − 3)!

= 7!

4!

= 7×6×5

= 210 วิธี

ชดุ กจิ กรรมการเรียนร้วู ชิ าคณิตศาสตร์ 43

ชุดที่ 2 เรื่อง แฟกทอเรียลและวธิ ีเรยี งสับเปลี่ยน

5) จงหาวิธที ่ีจะจัดชาย 4 คน กับหญิง 4 คน ให้ยืนเรียงแถว
โดยทห่ี ญิงทง้ั 4 คนยนื ติดกนั (2 คะแนน)
วิธที ำ

ญ1 ญ2 ญ3 ญ4 ช1 ช2 ช3 ช4

จัดหญงิ 4 คนเปน็ 1 กลมุ่ ยืนเรียงแถวกบั ชายอกี 4 คน จดั ได้ 5! วธิ ี
และหญงิ ในกลมุ่ สามารถจดั ยืนสลับกนั ไดอ้ ีก 4! วิธี
ดงั นน้ั จำนวนวิธที ั้งหมด เทา่ กับ 5!4! = 2,880 วิธี

6) ในงานประจำปีของโรงเรียนแหง่ หนงึ่ ใช้ไฟประดับตามรวั้ ของโรงเรยี นยาวตามแนวถนน

โดยใชห้ ลอดไฟ 12 หลอด เป็นหลอดไฟสแี ดง 5 หลอด สีเหลือง 3 หลอด

และสีเขียว 4 หลอด จะมีวิธจี ดั หลอดไฟเหลา่ นไ้ี ด้กีว่ ิธี (2 คะแนน)

วิธีทำ มีหลอดไฟทัง้ หมด 12 หลอด

เป็นหลอดไฟสีแดง 5 หลอด ที่เหมือนกัน

เปน็ หลอดไฟสเี หลอื ง 3 หลอด ทเี่ หมือนกัน

เปน็ หลอดไฟสีเขยี ว 4 หลอด ท่เี หมอื นกัน

 จะจดั หลอดไฟตามแนวร้ัวได้ เท่ากบั 12! = 27,720 วิธี
5!3!4!

ชุดกจิ กรรมการเรียนร้วู ิชาคณิตศาสตร์ 44

ชดุ ที่ 2 เร่ือง แฟกทอเรียลและวิธเี รียงสับเปล่ียน

เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 2.3 วธิ เี รียงสบั เปลย่ี นของ n สิ่ง แบบวงกลม

1) จงหาจำนวนวิธที ่ีจะจัดชาย 5 คน นั่งประชุมรอบโตะ๊ กลม (1 คะแนน)
วิธที ำ การลำดบั ของ n ส่งิ ท่ีแตกต่างกนั เปน็ วงกลมจะจัดได้ (n – 1)! วธิ ี

ดงั นั้น การจดั ชาย 5 คน นง่ั ประชมุ รอบโต๊ะกลม

ไดเ้ ทา่ กบั (5 – 1)! = 4! = 24 วธิ ี

2) จงหาจำนวนวธิ ีท่จี ะจัดชาย 6 คน และหญงิ 6 คน นั่งประชุมรอบโต๊ะกลม

โดยให้ชายและหญงิ นั่งสลับกัน (1 คะแนน) ญชญ
วธิ ที ำ การจัดลำดับอาจใหช้ ายหรือหญิงน่งั กอ่ นก็ได้ ชช

ถา้ ใหช้ ายนงั่ กอ่ นจะเข้านงั่ ได้ (6 – 1)! = 5! วธิ ี ญญ
และจดั หญงิ เขา้ นัง่ สลับชาย ได้ 6! วธิ ี

ดงั น้นั จำนวนวธิ ีท้ังหมดทีจ่ ะจดั ชาย 6 คน และหญงิ 6 คน ช ช ช
นง่ั รอบโตะ๊ กลมโดยสลับชาย หญิง เทา่ กบั 5!6! วิธี ญ ญ

3) ผู้หญิง 2 คน และผชู้ าย 4 คน ยนื เรียงเปน็ วงกลมจะจดั ได้กี่วิธี เมอ่ื

(4 คะแนน ; ข้อละ 2 คะแนน)

3.1) ผ้หู ญิง 2 คน ยืนติดกนั เสมอ (2 คะแนน)

ให้หญิง 2 คนยนื ตดิ กนั รวมกนั นบั เป็น 1 คน ดังนนั้ คน 6 คน เหลอื 5 คน

จดั คน 5 คน ยนื เรียงสบั เปลี่ยนแบบวงกลมได้ 4! วิธี

ในแต่ละวิธหี ญงิ 2 คนตดิ กนั สามารถสลับได้ 2! วธิ ี

ดังนน้ั จำนวนวธิ ที ี่จะจดั ผหู้ ญงิ 2 คนยืนติดกันเสมอ

เทา่ กับ 4!2! = 24 × 2 = 48 วธิ ี
3.2) ผหู้ ญิง 2 คน ยนื แยกกนั เสมอ (2 คะแนน)

นำผชู้ าย 4 คนยนื เป็นวงกลมกอ่ น ทำได้ 3! วิธี

และนำผหู้ ญิงไปแทรกระหวา่ งผู้ชาย ซ่ึงมี 4 ชอ่ ง เลือก 2 ช่อง

จะได้ P4,2 = 4!

2!

ดังนัน้ จำนวนวิธที จี่ ะจัดผหู้ ญงิ 2 คนยนื แยกกันเสมอ

เท่ากบั 3!  4! = 72 วิธี
2!

ชดุ กิจกรรมการเรยี นร้วู ิชาคณติ ศาสตร์ 45

ชุดท่ี 2 เรื่อง แฟกทอเรยี ลและวิธเี รยี งสับเปล่ียน

4) สร้อยคอทองคำเสน้ หนึ่งมีห่วงสำหรับแขวนพระอยู่ 9 ห่วง จะนำพระ 9 องค์ตา่ งๆ กนั
ไปแขวนท่หี ่วงนี้ จะแขวนพระได้กี่วธิ ี (1 คะแนน)
วิธีทำ จัดพระ 9 องค์ ต่างๆ กนั เป็นวงกลม 3 มติ ิ จดั ได้

เทา่ กับ (9 -1)! = 8! วิธี

22

5) มลี ูกบอลสีแดงเหมือนกนั 2 ลกู สีน้ำเงนิ เหมือนกนั 3 ลกู และสเี ขยี วเหมือนกนั 4 ลกู
จะมีวิธเี รยี งสับเปลี่ยนแบบวงกลมของลูกบอลทัง้ หมดก่ีวิธี (1 คะแนน)

วิธที ำ ห.ร.ม. (2, 3, 4) = 1

ดังน้นั จำนวนวิธีเรียงสับเปล่ียนแบบวงกลมของลูกบอล 9 ลูก คือ (9 -1)! = 140 วิธี
2! 3! 4 !

6) จงหาคา่ n จากสมการ Pn,2 = 6 (2 คะแนน)

วธิ ที ำ Pn,2 = 6

n! = 6
(n − 2)!
n(n – 1) = 3 × 2

 n =3

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ 46

ชดุ ท่ี 2 เรื่อง แฟกทอเรียลและวธิ เี รยี งสับเปลี่ยน

เฉลยแบบทดสอบระหวา่ งเรียนชดุ ที่ 2
แฟกทอเรียลและวธิ ีเรยี งสับเปลย่ี น

ขอ้ ท่ี เฉลย

1ข
2ก
3ง
4ค
5ง
6ค
7ข
8ข
9ง
10 ค

แลว้ พบกัน
ชดุ ที่ 3 นะค
รยั บ

ท

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ 47

ชดุ ที่ 2 เร่ือง แฟกทอเรียลและวิธีเรียงสับเปลี่ยน

บรรณานกุ รม

บรรณานุกรม

จักรินทร์ วรรณโพธกิ์ ลาง. (2544). สุดยอดคำนวณและเทคนิคคิดลดั คณิตศาสตร์ ม.6 เลม่ 2.
กรุงเทพฯ : พฒั นาการศึกษา.

ณรงค์ ป้นั น่มิ และคณะ. (2537). คณิตศาสตร์ ม.6 เลม่ 6. กรุงเทพฯ : ภูมบิ ัณฑิต.
ทรงวิทย์ สวุ รรณธาดา. (2542). คณิตศาสตร์ ม.6. กรุงเทพฯ : จนู พบั ลิชชงิ่ .
นพพร แหยมแสง. (2552). หนงั สอื เรยี นสาระการเรียนรู้พ้ืนฐาน คณิตศาสตรช์ ั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 6.

กรุงเทพฯ : พัฒนาคุณภาพวิชาการ.
สถาบันสง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลย.ี (2536). หนงั สือเรยี นคณิตศาสตร์ ค 016.

กรุงเทพฯ : โรงพิมพ์ครุ สุ ภาลาดพรา้ ว.
. (2547). หนังสือเรียนสาระการเรยี นรู้พ้ืนฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชน้ั มัธยมศกึ ษาปีที่ 5.
กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ์คุรุสภาลาดพร้าว.
. (2547). หนังสอื เรียนสาระการเรียนรเู้ พิ่มเตมิ คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีท่ี 5.
กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์คุรุสภาลาดพรา้ ว.
สุนนั ทา สุนทรประเสริฐ. (2547). การสร้างสอื่ การสอนและนวัตกรรมการเรยี นร.ู้ ..ส.ู่ ..การพฒั นา
ผู้เรียน. ราชบุรี : ธรรมรกั ษ์การพมิ พ์.
สำราญ มีแจ้งและคณะ. (2549). คณติ ศาสตรพ์ น้ื ฐาน ม.5 เล่ม 1. กรุงเทพฯ : วฒั นาพานิช.
อเนก หริ ัญ. (2539). คณติ ศาสตร์ ค 016. กรงุ เทพฯ : ฟสิ ิกสเ์ ซนเตอร.์
อำพล ธรรมเจริญ. (2551). คณติ ศาสตร์เชิงการจดั . กรุงเทพฯ : พิทักษ์การพิมพ์.