01 กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

1

รวบรวมและจดั ทำโดย

นายศิวะกลู วะชะโก
ตำแหน่งครู วิทยฐานะ –
กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์

โรงเรยี นเมืองพลพทิ ยาคม อำเภอพล จังหวดั ขอนแกน่
องค์การบรหิ ารสว่ นจังหวดั ขอนแก่น

ชุดกจิ กรรมการเรยี นร้วู ิชาคณิตศาสตร์ 40

ชดุ ท่ี 1 เร่ือง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกยี่ วกับการนบั

ชุดกิจกรรม การเรียนรู้วิชาคณิ ตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็ น
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ชุดน้ี จัดทำขึ้นเพื่อส่งเสริมและสนับสนุนให้ผู้เรียนทุกคน
มีความสามารถในการเรียนรู้และพัฒนาทักษะวิชาคณิตศาสตร์เก่ียวกับความน่า
จะเป็น เกิดความคิดรวบยอดจากเนื้อหาโดยสรุป ฝึกการปฏิบัติจริงเพื่อให้เกิดทักษะ
การคิดคำนวณ สร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง
ฝึกปฏิบัติจริงและประเมินตนเอง ตามสาระมาตรฐานการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของ
หลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 เนื้อหาในชุดกิจกรรม
การเรียนรู้ชุดที่ 1 เน้นให้นักเรียนรู้จักแผนภาพต้นไม้ และกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกับ
การนับได้ ซึ่งประกอบด้วย คำแนะนำสำหรับนักเรียน คำแนะนำสำหรับครู
จดุ ประสงค์การเรียนรู้ ใบความรู้ และแบบทดสอบระหวา่ งเรยี นชุดท่ี 1

ชดุ กิจกรรมการเรียนรูว้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 1

ชุดท่ี 1 เรื่อง กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเกยี่ วกับการนบั

คำนำ

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ เรือ่ ง ความน่าจะเป็น โดยใช้รูปแบบการจัดการเรียนรู้
แบบวัฏจักรการเรียนรู้ (4MAT) ช้นั มัธยมศึกษาปีที่ 5 ชุดนี้ จดั ทำขึ้นเพ่ือส่งเสริมและสนบั สนนุ ให้ผู้เรยี น
ทกุ คน มคี วามสามารถในการเรยี นรู้และพัฒนาทักษะวชิ าคณติ ศาสตร์เรื่องความนา่ จะเป็น เกดิ ความคิด
รวบยอดจากเน้ือหาโดยสรุป ฝึกการปฏิบัติจริงเพ่ือให้เกิดทักษะการคิดคำนวณ สร้างองค์ความรู้ด้วย
ตนเอง แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง ฝึกปฏิบัติจริงและประเมินตนเอง ตามสาระมาตรฐาน
การเรียนรู้คณิตศาสตร์ของหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 มีทั้งหมด 6 ชุด
ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ชุดที่ 1 เรื่อง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเก่ียวกับการนับ ประกอบด้วย
เน้ือหา ดังน้ี

1.1) แผนภาพตน้ ไม้
1.2) หลกั การคณู ของกฎเกณฑเ์ บ้ืองตน้ เกยี่ วกบั การนบั
1.3) หลกั การบวกของกฎเกณฑ์เบื้องต้นเกี่ยวกบั การนับ

โดยเน้อื หาประกอบดว้ ย คำแนะนำในการใช้ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ จุดประสงค์
การเรียนรู้ ใบความรู้ บัตรกิจกรรม และแบบทดสอบระหว่างเรียน โดยเนื้อหาแต่ละเร่ืองมีตัวอย่าง
ประกอบชัดเจน นกั เรยี นสามารถศกึ ษาชดุ กิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ตามลำดบั ข้นั ตอน พร้อม
ทั้งตรวจคำตอบที่ถูกตอ้ งของชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ไดด้ ้วยตนเอง

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างยิ่งว่าชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความน่าจะเป็น
ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 5 จะช่วยเสริมทักษะเก่ียวกับความน่าจะเป็น และเหมาะสมกับผู้เรียนทุกคน
เหมาะสมสำหรับครูทีจ่ ะนำไปจัดการเรียนการสอน และสอนซอ่ มเสรมิ ได้อยา่ งดี

นายศิวะกลู วะชะโก
ตำแหน่งครู วทิ ยฐานะ -

ชดุ กจิ กรรมการเรียนร้วู ิชาคณิตศาสตร์ 2

ชุดท่ี 1 เรื่อง กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเกยี่ วกบั การนับ

คำแนะนำการใช้

คำแนะนำสำหรบั นักเรยี น

1. นกั เรยี นอา่ นจดุ ประสงค์การเรยี นรกู้ ่อนศึกษาชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์
2. นกั เรยี นศกึ ษาเนื้อหาสาระ ใบความรู้ ตวั อยา่ งให้ครบตามทกี่ ำหนดไว้
3. หลงั จากศกึ ษาใบความรูแ้ ล้วนกั เรียนทำบตั รกิจกรรมโดยใชเ้ วลาตามทก่ี ำหนด
4. นกั เรยี นตรวจคำตอบจากเฉลยบตั รกิจกรรมแลว้ บันทึกผลคะแนน
5. นกั เรยี นต้องมีความซ่ือสัตย์ตอ่ ตนเองไมด่ ูเฉลยก่อนทำบัตรกิจกรรม

คำแนะนำสำหรบั ครู

ควรดำเนนิ กิจกรรมการเรียนการสอนโดยใช้ชดุ กิจกรรม ควบคู่กับแผนการจัดการเรยี นรู้

1. ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความนา่ จะเปน็ ใช้เวลาจัดกิจกรรม 17 ชั่วโมง
2. แจ้งใหน้ กั เรียนอา่ นจุดประสงค์การเรยี นรู้ ก่อนศกึ ษาจากชุดกิจกรรมการเรยี นรู้

วชิ าคณติ ศาสตร์
3. แจ้งใหน้ กั เรยี นทำกจิ กรรมด้วยความรอบคอบและรบั ผิดชอบตอ่ งานทไ่ี ดร้ บั มอบหมาย
4. ใหน้ ักเรียนศกึ ษาเนื้อหาสาระ ใบความรู้ ตัวอยา่ งในชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์

ให้ครบตามทกี่ ำหนดไว้ ครูคอยให้คำแนะนำและสรุปเน้ือหาสาระท่ีสำคญั
5. ใหน้ กั เรียนทำบัตรกจิ กรรมหลังเรียน โดยใชเ้ วลาตามท่ีกำหนด
6. ใหน้ กั เรียนตรวจคำตอบจากการทำบัตรกจิ กรรมหลงั เรียนในเฉลยท้ายชุดกิจกรรม

การเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์แลว้ บันทึกผลคะแนนบัตรกิจกรรมท่ีได้ไว้
7. ในกรณที น่ี กั เรียนทำคะแนนจากบัตรกจิ กรรมหลังเรียนได้ไมถ่ ึงร้อยละ 80 ครผู ู้สอนให้

นกั เรยี นยอ้ นกลับไปศึกษาเอกสารอกี คร้ัง แลว้ ทำขอ้ สอบใหไ้ ดค้ ะแนนตามเกณฑ์ทก่ี ำหนด
8. นำคะแนนที่ได้จากการทำบัตรกจิ กรรมฯ และจากการทดสอบมาวิเคราะหแ์ ละประเมนิ ผล

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ 3

ชุดที่ 1 เร่ือง กฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเกย่ี วกบั การนบั

สารบัญ

เร่ือง หน้า

คำนำ 1
คำแนะนำการใช้ 2
สารบญั 3
มาตรฐานการเรียนร้/ู ตัวช้วี ัด/จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 4
1.1 แผนภาพต้นไม้ 5
5
ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพตน้ ไม้ 13
บัตรกิจกรรมท่ี 1.1 แผนภาพตน้ ไม้ 15
1.2 หลกั การคูณของกฎเกณฑ์เบ้ืองตน้ เกย่ี วกับการนบั 15
ใบความรู้ที่ 1.2 หลกั การคณู ของกฎเกณฑเ์ บ้อื งตน้ เกี่ยวกับการนับ 20
บตั รกจิ กรรมที่ 1.2 หลกั การคณู ของกฎเกณฑ์เบอื้ งตน้ เก่ียวกับการนบั 22
1.3 หลกั การบวกของกฎเกณฑ์เบอื้ งตน้ เกีย่ วกบั การนบั 22
ใบความรู้ท่ี 1.3 หลกั การบวกของกฎเกณฑเ์ บือ้ งต้นเก่ยี วกับการนบั 25
บัตรกจิ กรรมท่ี 1.3 หลกั การบวกของกฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเกี่ยวกับการนับ 27
แบบทดสอบระหว่างเรียนชดุ ที่ 1 กฎเกณฑเ์ บื้องตน้ เกยี่ วกับการนับ 31
เฉลยบัตรกจิ กรรมที่ 1.1 แผนภาพตน้ ไม้ 35
เฉลยบัตรกจิ กรรมที่ 1.2 หลกั การคูณของกฎเกณฑเ์ บื้องตน้ เก่ยี วกับการนบั 37
เฉลยบัตรกจิ กรรมท่ี 1.3 หลกั การบวกของกฎเกณฑเ์ บือ้ งต้นเกีย่ วกับการนบั 39
เฉลยแบบทดสอบระหว่างเรยี นชุดที่ 1 กฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเกี่ยวกบั การนบั 40
บรรณานุกรม

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ 4

ชุดที่ 1 เรื่อง กฎเกณฑเ์ บื้องต้นเก่ยี วกับการนับ

มาตรฐานการเรียนรู้/ตัวชี้วัด/จุดประสงค์การเรียนรู้

มาตรฐานการเรียนรู้

สาระท่ี 5 การวเิ คราะห์ข้อมูลและความน่าจะเป็น
มาตรฐาน ค 5.2 ใชว้ ธิ ีการทางสถติ ิและความรู้เกยี่ วกับความน่าจะเป็นในการคาดการณ์

ได้อยา่ งสมเหตุสมผล
มาตรฐาน ค 5.3 ใช้ความรเู้ ก่ียวกบั สถติ ิและความนา่ จะเป็นช่วยในการตดั สินใจ

และแกป้ ญั หา
มาตรฐาน ค 6.1 มีความสามารถในการแกป้ ัญหา การให้เหตุผล การสอ่ื สาร

การสื่อความหมายทางคณติ ศาสตร์และการนำเสนอ การเชือ่ มโยง
ความรตู้ า่ งๆ ทางคณติ ศาสตร์และเชือ่ มโยงคณิตศาสตรก์ ับศาสตร์อ่นื ๆ
และมีความคิดริเริ่มสร้างสรรค์

ตัวชี้วัด

ค 5.2 ม.4-6/2 อธบิ ายการทดลองสุ่ม เหตุการณ์ ความน่าจะเปน็ ของเหตุการณ์ และนำผลที่
ไดไ้ ปใชค้ าดการณใ์ นสถานการณ์ทกี่ ำหนดให้

ค 5.3 ม.4-6/2 ใชค้ วามร้เู ก่ยี วกับความน่าจะเปน็ ช่วยในการตัดสนิ ใจและแกป้ ัญหา
ค 6.1 มีความสามารถในการแกป้ ัญหา การให้เหตผุ ล การสอื่ สาร การสอื่ ความหมาย

ทางคณติ ศาสตร์และการนำเสนอ การเชื่อมโยงความรู้ตา่ งๆ ทางคณิตศาสตร์และ
เช่อื มโยงคณิตศาสตรก์ ับศาสตรอ์ ื่นๆ และมีความคิดริเร่มิ สรา้ งสรรค์

จดุ ประสงค์การเรียนรู้

1. นักเรยี นสามารถใชแ้ ผนภาพตน้ ไม้และกฎเกณฑ์เบ้ืองตน้ เกีย่ วกบั การนับ
ในการหาจำนวนผลลัพธท์ ี่เกดิ ข้ึนของเหตุการณ์แบบต่างๆ ได้

2. นกั เรียนสามารถใชห้ ลักการคูณของกฎเกณฑเ์ บื้องตน้ เก่ียวกบั การนับ
ในการหาจำนวนผลลัพธท์ ่เี กิดขึ้นของเหตุการณแ์ บบต่างๆ ได้

3. นักเรียนสามารถใช้หลกั การบวกของกฎเกณฑ์เบื้องตน้ เกี่ยวกบั การนบั
ในการหาจำนวนผลลพั ธ์ทเ่ี กิดขนึ้ ของเหตุการณ์แบบต่างๆ ได้

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 5

ชุดท่ี 1 เรื่อง กฎเกณฑเ์ บื้องต้นเก่ยี วกบั การนับ

1.1 แผนภาพต้นไม้ (Tree Diagram)
ใบความรู้ที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ (Tree Diagram)

ปัญหาเกย่ี วกบั การนับเปน็ ปัญหาหนึ่งท่ีมักพบอยู่ในชวี ิตประจำวนั วิธกี ารนับท่ีช่วยในการ
หาคำตอบ คือการเขียนแผนภาพต้นไม้ ซ่ึงเป็นวธิ กี ารทีช่ ่วยให้หาคำตอบไดโ้ ดยง่ายถ้าจำนวนวิธีท่ี
นำมาเขียนแผนภาพมีไม่มากนกั เชน่ การขนึ้ หัวหรอื ก้อยของการโยนเหรยี ญ การเลือกเส้ือผ้าที่
จะสวมใส่ การเลือกรับประทานอาหาร เปน็ ตน้

แผนภาพต้นไม้ (Tree Diagram)

2.

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ 6

ชุดที่ 1 เร่ือง กฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเกย่ี วกบั การนับ

พิจารณาตัวอยา่ งการเขียนแผนภาพตน้ ไมต้ อ่ ไปนี้

ตัวอยา่ งท่ี 1 ฟฟี ่ามเี ส้ือ 2 ตัว และกางเกง 3 ตวั จงหาว่าฟฟี า่ จะมีวิธใี นการใส่เส้ือและกางเกง
แนวคิด ไดม้ ากที่สุดกว่ี ิธี

สามารถเขียนแผนภาพไดด้ ังนี้ ผลลพั ธ์
เส้ือ กางเกง
( ส1, ก1 )
ก1 ( ส1, ก2 )
ส1 ก2 ( ส1, ก3 )

ก3

ก1 ( ส2, ก1 )

ส2 ก2 ( ส2, ก2 )

ก3 ( ส2, ก3 )

ดงั นน้ั ฟฟี า่ มีวิธีในการใสเ่ สื้อและกางเกงได้ทั้งหมด 6 วธิ ี

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ 7

ชุดที่ 1 เร่ือง กฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเก่ียวกับการนับ

ตัวอย่างที่ 2 โยนลกู เตา๋ 2 ลกู พร้อมกัน 1 ครง้ั จงหาจำนวนวิธีท่จี ะเกดิ หน้าของลกู เต๋า
ทเ่ี ป็นไปไดท้ งั้ หมด

แนวคดิ สามารถเขียนแผนภาพได้ดงั น้ี ลูกเต๋าลกู ที่ 2
ลูกเตา๋ ลกู ที่ 1

ผลลัพธ์

จำนวนวิธีท่ีจะเกดิ หน้าของลูกเตา๋ ที่เปน็ ไปได้ทงั้ หมด 36 วธิ ี

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นร้วู ิชาคณิตศาสตร์ 8

ชุดที่ 1 เรื่อง กฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเก่ียวกบั การนบั

ตวั อย่างท่ี 3

รา้ นค้าแห่งหนึง่ ตอ้ งการจัดโชวเ์ ส้ือกีฬาทุกขนาดและทกุ สี ถา้ มีเส้ือ 3 ขนาด
และแต่ละขนาดมี 2 สี คือ สีขาวกับสีแดง จะต้องจัดโชวเ์ สื้อกีฬาอยา่ งไร

แนวคิด ใช้แผนภาพต้นไมช้ ่วยในการคิด ดังนี้
สมมติให้ S แทนเสอื้ ขนาดเลก็ หรอื เบอร์ S

M แทนเสื้อขนาดกลาง หรอื เบอร์ M
L แทนเสอ้ื ขนาดใหญ่ หรือเบอร์ L
ข แทนเสอื้ สขี าว
ด แทนเสื้อสแี ดง

การจัดเส้ือใหค้ รบทกุ ขนาดและทุกสี แสดงดว้ ยแผนภาพตน้ ไม้ ดงั น้ี

ข : เสื้อเบอร์ S สีขาว
S

ด : เสื้อเบอร์ S สแี ดง

ข : เส้ือเบอร์ M สขี าว
M

ด : เส้อื เบอร์ M สแี ดง

ข : เส้อื เบอร์ L สีขาว
L

ด : เส้อื เบอร์ L สีแดง

จากแผนภาพ พบว่า จะสามารถจดั โชว์เสื้อกฬี าแตล่ ะขนาดให้ครบท้ัง 2 สี ได้ 6 วิธี

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ 9

ชดุ ท่ี 1 เรื่อง กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเกยี่ วกับการนับ

ตัวอย่างที่ 4 ในการแข่งขนั งดั ขอ้ คหู่ น่ึงมีกติกาว่าใครชนะ 2 ครงั้ ก่อนจะเป็นผู้ชนะ
จงเขยี นแผนภาพต้นไมห้ าจำนวนวิธีทง้ั หมดในการแข่งขนั ครั้งน้ี

แนวคิด

สมมตใิ ห้ ก แข่งขนั กับ ข

ถ้า ก ชนะ จะเขยี นแทนดว้ ย ก และถ้า ข ชนะ จะเขยี นแทนด้วย ข ใชแ้ ผนภาพตน้ ไม้ชว่ ยใน

การคิด ดงั นี้

การแข่งขนั ครง้ั ที่ 123

ก
กก

ข
เรมิ่ ตน้ ข

กก
ข

ขข

จากแผนภาพตน้ ไม้ จำนวนวธิ ีทง้ั หมดในการหาผู้ชนะในการแขง่ ขันครงั้ น้ี คือ 6 วิธี

ผ้ชู นะ สรุป วธิ ที ่ี 1
วิธีท่ี 2
1 2 3 ผ้ชู นะ วธิ ที ี่ 3
กก - ก วิธที ี่ 4
กขกก วิธีท่ี 5
กขขข วธิ ที ่ี 6
ขกกก
ขกขข
ขข - ข

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ 10

ชุดท่ี 1 เร่ือง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกีย่ วกับการนบั

ตวั อย่างที่ 5

โยนเหรยี ญ 1 เหรียญ และลูกเต๋า 1 ลกู พรอ้ มกัน จงเขยี นแผนภาพต้นไม้
แสดงผลลัพธ์ท่ีจะเกดิ ได้ทงั้ หมดกว่ี ิธี

แนวคดิ เขยี นแผนภาพต้นไม้ไดด้ ังน้ี ผลลพั ธ์
เหรยี ญ แต้มบนลกู เตา๋

ผลลัพธ์ท้ังหมด 12 วิธี คือ (H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6),
(T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ 11

ชดุ ที่ 1 เร่ือง กฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเก่ยี วกับการนับ
ตัวอย่างที่ 6

จงหาจำนวนเสน้ ทางจาก S ไปยัง E ในทศิ ทางตามลูกศรของแผนภาพ

แนวคิด เขยี นแผนภาพต้นไม้ไดด้ งั นี้

ดงั นั้น จำนวนเส้นทางจาก S ไปยงั E เท่ากับ 8 เส้นทาง

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 12

ชดุ ท่ี 1 เร่ือง กฎเกณฑเ์ บื้องต้นเกี่ยวกับการนบั

ตวั อย่างท่ี 7

ในการแข่งขันเทนนิสคหู่ นงึ่ มีกตกิ าว่าใครชนะ 2 เซตกอ่ นจะเปน็ ผู้ชนะ
จงหาจำนวนวธิ ที ง้ั หมดในการหาผู้ชนะของการแข่งขันคร้งั น้ี

แนวคดิ
สมมตใิ ห้ A แขง่ ขันกบั B
ถา้ A ชนะ จะเขยี นแทนดว้ ย A และถ้า B ชนะ จะเขยี นแทนด้วย B

ใชแ้ ผนภาพตน้ ไมช้ ว่ ยในการคิด ดังนี้
เซตท่ี 1 2 3

A
AA

B
เรม่ิ ตน้ B

AA
B

BB

จากแผนภาพตน้ ไม้ จำนวนวิธีทง้ั หมดในการหาผู้ชนะในการแขง่ ขันครั้งนี้ คอื 6 วิธี

เห็นไหมละ่ เราสามารถใช้แผนภาพต้นไม้
เพือ่ ชว่ ยในการหาคำตอบปัญหาเกี่ยวกับการนับได้
เมื่อมคี วามรแู้ ล้วไปทำบัตรกิจกรรมที่ 1.1 กันเลย

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ 13

ชุดที่ 1 เร่ือง กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเก่ียวกบั การนับ

บัตรกิจกรรมท่ี 1.1 แผนภาพต้นไม้ (Tree Diagram)

1) นักเรียนคนหน่งึ มเี ส้อื และกางเกงสำหรับสวมไปเทย่ี วอยู่ 3 ตวั และ 2 ตวั ตามลำดบั
เขาจะสวมเสอ้ื และกางเกงไปเท่ยี วเปน็ ชดุ ตา่ งกันได้ทง้ั หมดกว่ี ธิ ี (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

2) ในการโยนเหรียญ 2 บาท 1 เหรียญ เหรยี ญ 5 บาท 1 เหรยี ญ และเหรยี ญ 10 บาท
1 เหรียญ พร้อมกนั หนงึ่ ครัง้ ผลทง้ั หมดท่อี าจจะเกิดขน้ึ ไดม้ ีกว่ี ธิ ี (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 14

ชุดที่ 1 เร่ือง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเก่ยี วกบั การนบั

3) มีถนนจากกรุงเทพฯ ถงึ ลพบรุ ี 2 สาย และมีถนนจากลพบรุ ี ถึง นครราชสมี าอยู่ 3 สาย
ถา้ จะขับรถยนตจ์ ากกรุงเทพฯ ถึงนครราชสีมา โดยขับผา่ นลพบุรี จะใช้เส้นทางได้ท้ังหมด
ก่เี สน้ ทางและเขยี นแผนภาพแสดงการเดินทางเพ่ือหาคำตอบ (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

4) ถา้ โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 3 ครั้ง จะได้ผลตา่ งๆ กันทั้งหมดกว่ี ิธี อะไรบา้ ง (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

5) ในการแขง่ ขันปงิ ปองคู่หน่งึ มีกติกาวา่ ใครชนะ 2 เกมกอ่ นจะเปน็ ผู้ชนะ
จงหาจำนวนวธิ ีทงั้ หมดในการหาผู้ชนะของการแข่งขันครงั้ นี้ (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ 15

ชดุ ที่ 1 เร่ือง กฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเก่ยี วกบั การนับ

1.2 หลกั การคณู ของกฎเกณฑ์เบอื้ งต้นเกี่ยวกับการนบั
ใบความรู้ที่ 1.2 หลกั การคูณของกฎเกณฑ์เบื้องตน้ เก่ยี วกับการนบั

หลกั การคูณของกฎเกณฑ์เบ้อื งต้นเก่ียวกับการนับ

กฎข้อที่ 1 ถ้าต้องการทำงาน 2 อยา่ ง โดยท่ีงานอย่างแรกทำได้ n1 วิธี และ
ในแต่ละวิธีที่เลอื กทำงานอย่างแรกนี้ มวี ธิ ีท่ีจะทำงานอย่างทสี่ องได้ n2 วธิ ี
จำนวนวธิ ีทจ่ี ะเลือกทำงานท้ังสองอยา่ งเท่ากบั n1n2 วธิ ี

ตวั อยา่ งที่ 1 นายดำมเี สอื้ 2 ตวั สตี า่ งกัน และกางเกง 3 ตวั สตี า่ งกนั จงหาจำนวนวธิ ี

ทัง้ หมดทีน่ ายดำสวมเสอ้ื และกางเกงเป็นชดุ ตา่ งๆ กนั

แนวคดิ ใช้แผนภาพตน้ ไม้ในการหาคำตอบได้ดงั นี้

เสือ้ กางเกง ผลลัพธ์

ส1 ก1 (ส1 , ก1)
ก2 (ส1 , ก2)
ส2 ก3 (ส1 , ก3)
จากแผนภาพต้นไม้ จะได้วา่ ก1 (ส2 , ก1)
ก2 (ส2 , ก2)
ก3 (ส2 , ก3)

จำนวนวธิ ีท้งั หมดท่นี ายดำเลือกสวมเสอ้ื และกางเกงเปน็ ชุดตา่ งๆ กนั เท่ากับ 6 วิธี

นายดำมวี ธิ เี ลอื กสวมเส้อื ได้ 2 วธิ ี
และเลือกสวมกางเกงได้ 3 วธิ ี

 นายดำมวี ิธสี วมเสื้อและกางเกงเปน็ ชดุ ต่างๆ กนั ได้ 2  3 = 6 วิธี

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 16

ชุดท่ี 1 เรื่อง กฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเก่ียวกบั การนับ

ตัวอยา่ งที่ 2 ระหวา่ งทางจากบ้านถึงโรงเรยี นมรี ถรับจ้างอยู่ 4 คนั นักเรยี นคนหนึ่งจะโดยสาร
รถรบั จา้ งท้งั ไปและกลับจากโรงเรียนได้ก่วี ิธี ถ้า

1. เทยี่ วไปและกลับ นัง่ รถคันใดกไ็ ด้
แนวคิด รถมี 4 คัน เลอื กนั่งรถโดยสารขาไปได้ 4 วธิ ี นัง่ รถกลบั ได้ 4 วธิ ี

 จำนวนวธิ ีในการเดนิ ทางได้ 4 × 4 = 16 วธิ ี

2. เทย่ี วไปและกลับ ต้องไมใ่ ชร่ ถคันเดียวกนั
แนวคิด รถมี 4 คัน ขาไปเลือกนั่งได้ 4 วธิ ี

ขากลับกลับรถคันเดมิ ไม่ได้ จึงเลือกน่งั รถทเี่ หลือ 3 คนั ได้ 3 วิธี

 จำนวนวิธใี นการเดนิ ทางได้ 4 × 3 = 12 วธิ ี

ตัวอย่างท่ี 3 จากเมอื ง ก ไปเมือง ข มถี นน 5 สาย จากเมอื ง ข ไปเมอื ง ค มีถนน 3 สาย
แนวคดิ จะมีการเดินทางท่แี ตกต่างกนั กว่ี ิธีทจ่ี ะเดินทางจากเมอื ง ก ไปเมือง ค และ
เดินทางกลบั โดยการเดินทางต้องผ่านเมอื ง ข

เมอื ง เมือง เมือง
กขค

ขาไป จากเมือง ก ไปเมือง ข ได้ 5 วธิ ี ขาไป จากเมอื ง ข ไปเมือง ค ได้ 3 วิธี
จำนวนวิธีในการเดินทาง จากเมือง ก ไปเมือง ค คอื 5 × 3 = 15 วิธี

เมือง เมือง เมอื ง
กขค

ขากลับ จากเมอื ง ค ไปเมือง ข ได้ 3 วธิ ี ขากลับ จากเมือง ข ไปเมือง ก ได้ 5 วธิ ี
จำนวนวิธีในการเดินทาง จากเมือง ค ไปเมือง ก คอื 3 × 5 = 15 วธิ ี

 จำนวนวธิ ีในการเดนิ ทางไป – กลบั จากเมือง ก ไปเมอื ง ค โดยผ่านเมอื ง ข
คือ 15 × 15 = 225 วธิ ี

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ 17

ชุดที่ 1 เรื่อง กฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเกี่ยวกบั การนบั

กฎข้อท่ี 2 ถา้ งานอยา่ งแรกมวี ธิ ที ำได้ n1 วิธี ในแตล่ ะวิธที เ่ี ลอื กทำงานอย่างแรกมวี ธิ ี
ทจี่ ะทำงานอย่างท่สี องได้ n2 วธิ ี และในแต่ละวิธที เี่ ลอื กทำงานอย่างแรกและงานอย่าง
ทส่ี อง มีวธิ ที จ่ี ะทำงานอย่างที่สามได้ n3 วธิ ี ฯลฯ จำนวนวิธที ัง้ หมดที่จะเลือกทำงาน
k อย่างเทา่ กับ n1n2n3…nK วิธี

ตัวอย่างที่ 4 ในการเลือกกรรมการชุดหนึ่ง ซง่ึ ประกอบด้วยประธาน รองประธาน

เหรญั ญิก และเลขานุการ โดยใหก้ รรมการแต่ละคนดำรงตำแหน่ง

ไดเ้ พยี งตำแหนง่ เดียว ถา้ มีผสู้ มัครรบั เลอื กตั้ง 6 คน ผลการเลอื กตงั้

กรรมการชุดน้มี วี ธิ ีทีแ่ ตกต่างกนั ก่ีวิธี

แนวคิด

ตำแหนง่ ประธาน เลือกจากผู้สมัคร 6 คน เลอื กได้ 6 วธิ ี

ตำแหนง่ รองประธาน เลอื กจากผูส้ มัครทเ่ี หลือ 5 คน เลือกได้ 5 วิธี

ตำแหน่งเหรญั ญิก เลือกจากผสู้ มัครท่ีเหลือ 4 คน เลอื กได้ 4 วธิ ี

ตำแหน่งเลขานุการ เลือกจากผสู้ มัครทีเ่ หลือ 3 คน เลอื กได้ 3 วิธี

 จำนวนวิธีในการเลอื กคณะกรรมการ คือ 6 × 5 × 4 × 3 = 360 วิธี

ตัวอยา่ งท่ี 5 จากคำวา่ PHYSIC ถ้านำมาจดั เปน็ คำใหมโ่ ดยไม่คำนึงถงึ ความหมาย
จะจดั ไดท้ ั้งหมดกี่วธิ ี โดยที่
1) ให้แตล่ ะคำมีอักษร 3 ตวั

2) ใหแ้ ต่ละคำมอี ักษร 4 ตวั

แนวคดิ คำว่า PHYSIC ประกอบด้วยตวั อักษร 6 ตัวทีแ่ ตกต่างกนั
1) ให้แต่ละคำมีอักษร 3 ตวั จดั ไดด้ งั น้ี

ตำแหน่งท่ี 1 จัดได้ 6 วิธี
ตำแหน่งที่ 2 จดั ได้ 5 วธิ ี
ตำแหน่งท่ี 3 จัดได้ 4 วิธี
ดังนั้น จำนวนวิธที งั้ หมดทจ่ี ะจัดคำใหมใ่ ห้มีตวั อักษร 3 ตวั
เทา่ กบั 6 × 5 × 4 = 120 วธิ ี

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 18

ชดุ ที่ 1 เรื่อง กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเก่ียวกบั การนับ

2) ให้แต่ละคำมีอักษร 4 ตวั จดั ไดด้ ังน้ี

ตำแหนง่ ที่ 1 จัดได้ 6 วธิ ี
ตำแหนง่ ที่ 2 จดั ได้ 5 วธิ ี
ตำแหนง่ ท่ี 3 จดั ได้ 4 วิธี
ตำแหนง่ ท่ี 4 จัดได้ 3 วิธี
ดังนน้ั จำนวนวิธีทงั้ หมดทจ่ี ะจัดคำใหมใ่ ห้มตี วั อักษร 4 ตวั
เท่ากับ 6 × 5 × 4 × 3 = 360 วธิ ี

ตัวอย่างที่ 6 ถา้ ต้องการสร้างคำที่ประกอบดว้ ยอักษรตา่ งกนั 4 ตัว โดยท่ีตัวอักษรเหลา่ นั้น
มาจากคำวา่ ASSOSIATE จะสรา้ งคำได้ท้งั หมดกวี่ ธิ ี โดยไมค่ ำนึงถึง
ความหมายของคำเหลา่ น้นั

1) อกั ษร 4 ตัว เป็นตวั ใดก็ได้
จากคำว่า ASSOSIATE
มีตวั อักษรจำนวน 9 ตัว คือ A 2 ตวั , S 3 ตวั , O 1 ตวั , I 1 ตวั , T 1 ตวั และ E 1 ตัว
ต้องการสรา้ งคำท่ีประกอบด้วยอักษรตา่ งกนั 4 ตัว จากตัวอกั ษร 6 ตัว ได้แก่ A, S, I, O, T และ E

ตำแหน่งอักษร ตวั ที่ 1 ตัวที่ 2 ตวั ที่ 3 ตวั ที่ 4
จำนวนวธิ ี 6 5 4 3

 จำนวนวธิ ีในการสร้างคำ คอื 6 × 5 × 4 × 3 = 360 วธิ ี

2) คำนนั้ ต้องขนึ้ ตน้ และลงท้ายด้วยพยญั ชนะ
จากคำวา่ ASSOSIATE
มีตัวอกั ษรจำนวน 9 ตัว คือ A 2 ตัว, S 3 ตวั , O 1 ตวั , I 1 ตัว, T 1 ตวั และ E 1 ตัว
ประกอบดว้ ยพยัญชนะ 2 ตัว คอื S และ T สระ 4 ตวั คือ A, E, I และ O

ตำแหน่งอักษร ตัวที่ 1 ตัวท่ี 2 ตวั ที่ 3 ตัวท่ี 4

พยัญชนะ พยัญชนะ

จำนวนวิธี 2 43 1

 จำนวนวธิ ีในการสร้างคำ คอื 2 × 4 × 3 × 1 = 24 วธิ ี

ชุดกิจกรรมการเรยี นรูว้ ชิ าคณิตศาสตร์ 19

ชดุ ท่ี 1 เร่ือง กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเกีย่ วกบั การนบั

โจทยเ์ ก่ยี วกับการสร้างจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่างที่ 7 จำนวนเตม็ บวกสามหลัก มที งั้ หมดกจ่ี ำนวน

หลกั ร้อย ใชเ้ ลขโดด 1 - 9 มี 9 วธิ ี ยกเว้น 0
หลกั สบิ ใช้เลขโดด 0 - 9 มี 10 วธิ ี
หลกั หน่วย ใช้เลขโดด 0 - 9 มี 10 วธิ ี

หลกั ร้อย หลกั สบิ หลกั หนว่ ย
จำนวนวิธี 9 10 10

 จำนวนเตม็ บวกสามหลักมที ั้งหมด 9 × 10 × 10 = 900 จำนวน

ตัวอยา่ งที่ 8 ตอ้ งการสร้างจำนวนเต็มบวกที่มสี ีห่ ลกั โดยทแี่ ต่ละหลกั เลอื กมาจากตัวเลข

0, 1, 2, 3, 4, 5 และ 9 เมอื่ ตอ้ งการใหจ้ ำนวนที่สร้างข้ึนเป็นจำนวนคี่

และแต่ละหลักใช้ตัวเลขไม่ซ้ำกนั

หลักหนว่ ย ใชเ้ ลขโดด 1, 3, 5 หรือ 9 มี 4 วธิ ี สมมตใิ ชเ้ ลข 1

หลกั พนั ใชเ้ ลขโดด 2, 3, 4, 5 หรอื 9 มี 5 วธิ ี ยกเวน้ 0 สมมตใิ ชเ้ ลข 2

หลักร้อย ใช้เลขโดด 0, 3, 4, 5 หรือ 9 มี 5 วิธี สมมตใิ ชเ้ ลข 0

หลกั สิบ ใช้เลขโดด 3, 4, 5 หรือ 9 มี 4 วธิ ี

หลกั พัน หลักรอ้ ย หลักสิบ หลักหน่วย

จำนวนวิธี 5 5 4 4

 สามารถสร้างจำนวนค่ีที่มีสี่หลกั และตัวเลขไมซ่ ำ้ กนั จากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5
และ 9 ไดท้ ั้งหมด 5 × 5 × 4 × 4 = 400 จำนวน

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรูว้ ิชาคณิตศาสตร์ 20

ชุดท่ี 1 เรื่อง กฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเกี่ยวกับการนับ

บัตรกิจกรรมที่ 1.2 หลกั การคณู ของกฎเกณฑ์เบื้องต้นเก่ยี วกบั การนับ

กฎข้อท่ี 1 ถ้าต้องการทำงาน 2 อย่าง โดยทงี่ านอย่างแรกทำได้ n1 วิธี
และในแต่ละวิธที เ่ี ลือกทำงานอย่างแรกน้ี มวี ธิ ที ่ีจะทำงานอยา่ งท่สี อง
ได้ n2 วิธี จำนวนวธิ ีที่จะเลือกทำงานท้งั สองอยา่ งเทา่ กับ n1n2 วิธี

1) นายวฒั นาทำข้อสอบ 5 ขอ้ แต่ละข้อมีตัวเลือก 4 ตวั เลอื ก จงหาว่า
นายวัฒนาจะมวี ธิ ที ำข้อสอบดงั กล่าวได้ท้ังหมดกี่วธิ ี (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

2) นายดำมเี ส้ือ 2 ตัว สีตา่ งกัน และกางเกง 3 ตัว สตี า่ งกนั จงหาจำนวนวธิ ีทั้งหมด
ทน่ี ายดำสวมเสื้อและกางเกงเปน็ ชุดต่างๆ กนั (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

3) ในการเลอื กตัง้ กรรมการชุดหนงึ่ จะประกอบไปด้วย ประธาน รองประธาน เหรญั ญิก และ
เลขานุการ โดยกรรมการแต่ละคนจะดำรงตำแหน่งไดเ้ พียงตำแหนง่ เดียวเทา่ น้ัน ถ้ามผี ู้สมคั ร
ท้งั หมด 6 คน เป็นชาย 2 คน เป็นหญงิ 4 คน ผลการเลือกต้ังกรรมการชุดน้จี ะมีได้
ท้ังหมดก่ีแบบต่างกนั โดยให้ประธานเปน็ ชาย และเลขานุการต้องเป็นหญิง (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

ชุดกิจกรรมการเรียนร้วู ชิ าคณิตศาสตร์ 21

ชุดท่ี 1 เร่ือง กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเก่ยี วกบั การนบั

กฎขอ้ ที่ 2 ถา้ งานอย่างแรกมีวิธที ำได้ n1 วธิ ี ในแต่ละวธิ ีท่ีเลือกทำงานอย่างแรกมวี ธิ ี
ที่จะทำงานอย่างทสี่ องได้ n2 วิธี และในแตล่ ะวธิ ที เ่ี ลือกทำงานอยา่ งแรกและงานอย่าง
ทสี่ อง มีวิธที ี่จะทำงานอย่างท่ีสามได้ n3 วธิ ี ฯลฯ จำนวนวธิ ที ้งั หมดที่จะเลือกทำงาน
k อย่างเทา่ กับ n1n2n3…nK วธิ ี

4) จงนำอักษรจากคำว่า SPECIAL มาจัดเป็นคำใหม่ โดยไมค่ ำนึงถึงความหมาย
จะจัดเป็นคำทแี่ ตกต่างกนั ได้ก่ีคำ (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

5) ต้องการสร้างจำนวนเต็มบวกทมี่ ีส่หี ลัก โดยทีแ่ ตล่ ะหลกั เลือกมาจากตวั เลข 0, 1, 2, 3, 4, 5
และ 9 เม่ือต้องการใหจ้ ำนวนที่สรา้ งขึน้ เปน็ จำนวนคแ่ี ละแตล่ ะหลกั ใช้ตวั เลขไมซ่ ำ้ กัน จะ
สร้างไดท้ ง้ั หมดก่ีจำนวน (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 22

ชดุ ท่ี 1 เรื่อง กฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเกย่ี วกับการนับ

1.3 หลักการบวกของกฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเก่ียวกบั การนับ

ใบความรู้ที่ 1.3 หลักการบวกของกฎเกณฑ์เบอ้ื งต้นเก่ียวกบั การนับ

กฏการบวก
ถ้าการทำงานหน่ึงมีวิธีการทำ k วธิ ี คือ วิธที ่ี 1 ถึงวิธที ่ี k โดยที่ การทำงานวิธที ่ี 1
มีวธิ ที ำ n1 วธิ ี การทำงานวิธที ่ี 2 มีวิธที ำ n2 วิธี การทำงานวิธที ่ี 3 มีวิธีทำ n3 วิธี …
การทำงานวิธที ่ี k มีวิธที ำ nk วิธี และวธิ ีการทำงานแตล่ ะวิธีแตกต่างกัน
แล้วจำนวนวิธกี ารทำงานน้เี ทา่ กับ n1 + n2 + n3 + … + nk วธิ ี

ตวั อย่างท่ี 1 จากเลข 0 – 9 สามารถสร้างจำนวนคู่บวกสหี่ ลัก โดยหา้ มใชเ้ ลขซ้ำกนั
ไดท้ ้งั หมดกี่จำนวน

โจทย์ข้อนม้ี เี งื่อนไขอะไรเพ่ิมเติม (หา้ มใช้เลขซ้ำ และเป็นจำนวนคู่)
ต้องการเลขเปน็ จำนวนคู่ ดงั นน้ั ต้องพจิ ารณาที่หลักหน่วยก่อน ซ่ึงเลขที่ใช้ได้ คือ 0, 2, 4, 6, 8

* * พิจารณาท่เี ลข 0 ถ้าเลข 0 อยู่ในหลักหน่วย หลกั พันจะใช้เลขได้ 9 ตวั
แตถ่ ้าเลข 0 ไมอ่ ยู่ในหลักหน่วย หลกั พันจะใชเ้ ลขไดเ้ พียง 8 ตวั คือ ยกเวน้ 0
และเลขท่ีใช้ในหลกั หน่วย ดังนน้ั ในการคดิ ข้อนต้ี ้องแบง่ เปน็ กรณี ดังนี้
กรณที ่ี 1 เลข 0 อยใู่ นหลักหนว่ ย จะได้

ใชเ้ ลขได้ 9 ตวั คือ 1 – 9 ยกเว้น 0 เลข 0

ใช้เลขได้ 8 ตัว เพราะใช้เลขใน ใช้เลขได้ 7 ตวั เพราะใชเ้ ลขใน หลกั หนว่ ย
หลักพันและหลักหน่วยไปแล้ว หลักพนั และหลกั ร้อยไปแล้ว 3 ตวั
2 ตวั

ดังนัน้ สามารถสร้างจำนวนได้ 9 × 8 × 7 × 1 = 504 จำนวน

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 23

ชุดท่ี 1 เรื่อง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเก่ยี วกบั การนบั

กรณีท่ี 2 เลข 0 ไม่อยู่ในหลักหนว่ ย จะได้

ใช้เลขได้ 8 ตวั เพราะ ยกเว้น 0 เลข 2, 4, 6, 8

และเลขที่ใช้ในหลักหน่วยแลว้ ใช้เลขได้ 7 ตัว เพราะใชเ้ ลขในหลกั หน่วย

ใชเ้ ลขได้ 8 ตัว เพราะใชเ้ ลขในหลกั พัน หลักพัน และหลักร้อยไปแลว้ 3 ตวั

และหลกั หน่วยไปแลว้ 2 ตัว

ดงั น้นั สามารถสรา้ งจำนวนได้ 8 × 8 × 7 × 4 = 1,792 จำนวน

สรุปได้ว่า สามารถสรา้ งจำนวนคู่บวกส่ีหลัก โดยห้ามใชเ้ ลขซ้ำกัน
ไดท้ ัง้ หมด 504 + 1,792 = 2,296 จำนวน

ตัวอยา่ งท่ี 2 มเี ลขโดดอยู่ 5 ตัว คือ 0, 3, 4, 6 และ 7 ถ้าต้องการสรา้ งจำนวนคู่บวกสามหลัก
ซึง่ ประกอบด้วยตัวเลขโดดเหลา่ นี้ โดยแตล่ ะหลักใช้เลขไมซ่ ำ้ กนั จะสรา้ งได้กี่จำนวน

หลกั หน่วยใชเ้ ลขโดด 0, 4, 6 แยกเปน็ 2 กรณี

กรณีท่ี 1 หลักหน่วยเปน็ เลข 0 มี 1 วิธี

หลักร้อย เหลือเลขโดด 3, 4, 6 และ 7 มี 4 วิธี สมมตใิ ช้ 3

หลักสบิ เหลอื เลขโดด 4, 6 และ 7 มี 3 วิธี

หลักรอ้ ย หลกั สบิ หลกั หน่วย
จำนวนวธิ ี 4 3 1

จำนวนวธิ ีทส่ี ร้างจำนวนคู่บวกสามหลัก หลักหน่วยเป็น 0 คอื 4 × 3 × 1 = 12 จำนวน

กรณีท่ี 2 หลักหน่วยเป็นเลข 4 หรือ 6 มี 2 วธิ ี สมมตใิ ช้ 4

หลกั รอ้ ย เหลอื เลขโดด 0, 3, 6 และ 7 มี 3 วิธี สมมตใิ ช้ 3 (ใช้ 0 ไมไ่ ด)้

หลักสิบ เหลอื เลขโดด 0, 6 และ 7 มี 3 วธิ ี

หลกั รอ้ ย หลักสิบ หลักหนว่ ย
จำนวนวธิ ี 3 3 2

จำนวนวธิ ีทส่ี ร้างจำนวนคู่บวกสามหลกั หลักหนว่ ยเป็น 4 หรือ 6 คอื 3 × 3 × 2 = 18 จำนวน

ชุดกิจกรรมการเรียนร้วู ิชาคณิตศาสตร์ 24

ชดุ ท่ี 1 เร่ือง กฎเกณฑเ์ บื้องต้นเกีย่ วกบั การนับ

กรณีท่ี 1 + กรณีท่ี 2 = 12 + 18 = 30 จำนวน

ตัวอย่างท่ี 3 ต้องการสร้างจำนวนคู่บวกสี่หลกั จากตวั เลข 0, 3, 4, 6 และ 8 โดยแต่ละ
หลักใชต้ ัวเลขไม่ซำ้ กัน จะสร้างได้กจี่ ำนวน

หลกั หน่วยใชเ้ ลขโดด 0, 4, 6, 8 แยกเปน็ 2 กรณี

กรณีท่ี 1 หลกั หนว่ ยเป็นเลข 0 มี 1 วธิ ี

หลกั พนั เหลือเลขโดด 4 ตัว คือ 3, 4, 6 และ 8 มี 4 วธิ ี สมมตใิ ช้ 3

หลกั ร้อย เหลอื เลขโดด 3 ตัว คอื 4, 6 และ 8 มี 3 วธิ ี สมมติใช้ 4

หลักสิบ เหลือเลขโดด 2 ตัว คือ 6 และ 8 มี 2 วิธี

หลกั พัน หลักร้อย หลกั สบิ หลกั หน่วย

จำนวนวิธี 4 3 2 1

จำนวนวิธีที่สร้างจำนวนคู่บวกสี่หลัก หลกั หนว่ ยเป็น 0
คือ 4 × 3 × 2 × 1 = 24 จำนวน

กรณที ี่ 2 หลักหนว่ ยเป็นเลข 4, 6 หรอื 8 มี 3 วธิ ี สมมติใช้ 4

หลักพนั เหลือเลขโดด 4 ตัว คือ 0, 3, 6 และ 8 (ใช้ 0 ไม่ได)้

มี 3 วิธี สมมตใิ ช้ 3

หลักรอ้ ย เหลอื เลขโดด 3 ตวั คือ 0, 6 และ 8 มี 3 วธิ ี สมมตใิ ช้ 0

หลักสบิ เหลอื เลขโดด 2 ตัว คือ 6 และ 8 มี 2 วิธี

หลกั พนั หลักร้อย หลักสิบ หลกั หน่วย
จำนวนวธิ ี 3 3 23

จำนวนวธิ ที ส่ี รา้ งจำนวนคู่บวกสี่หลัก หลกั หนว่ ยเป็น 4 หรือ 6 คอื
3 × 3 × 2 × 3 = 54 จำนวน

กรณีที่ 1 + กรณที ่ี 2 = 24 + 54 = 78 จำนวน

บัตรกิจกรรมท่ี 1.3 ชุดกิจกรรมการเรยี นรูว้ ิชาคณติ ศาสตร์ 25

ชดุ ท่ี 1 เร่ือง กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเก่ียวกบั การนบั

หลักการบวกของกฎเกณฑเ์ บื้องตน้ เกี่ยวกับการนับ

กฎการบวก ถา้ การทำงานหนงึ่ มีวธิ กี ารทำ k วธิ ี คอื วธิ ีที่ 1 ถึงวิธที ่ี k

โดยท่ี การทำงานวธิ ที ่ี 1 มวี ิธที ำ n1 วธิ ี การทำงานวิธที ่ี 2 มีวธิ ีทำ n2 วธิ ี
การทำงานวธิ ที ่ี 3 มีวิธีทำ n3 วิธี … การทำงานวธิ ีท่ี k มีวธิ ที ำ nk วธิ ี และวิธกี ารทำงาน
แตล่ ะวิธแี ตกตา่ งกันแลว้ จำนวนวธิ กี ารทำงานนีเ้ ทา่ กบั n1 + n2 + n3 + … + nk วิธี

1) ตอ้ งการสร้างจำนวนคู่บวกสี่หลักจากตวั เลข 0, 3, 4, 6 และ 8 โดยแต่ละหลัก

ใช้ตัวเลขไมซ่ ำ้ กัน จะสรา้ งได้กจี่ ำนวน (5 คะแนน)

หลกั หนว่ ยใชเ้ ลขโดด 0, 4, 6, 8 แยกเป็น 2 กรณี

กรณีที่ 1 หลกั หนว่ ยเป็นเลข 0 มี………วธิ ี

หลกั พนั เหลือเลขโดด 4 ตัว คือ 3, 4, 6 และ 8 ม…ี ……วิธี สมมตใิ ช้ 3

หลกั ร้อย เหลือเลขโดด 3 ตวั คือ 4, 6 และ 8 มี………วิธี สมมติใช้ 4

หลกั สบิ เหลือเลขโดด 2 ตวั คือ 6 และ 8 มี………วธิ ี

หลกั พัน หลักรอ้ ย หลกั สิบ หลักหน่วย

จำนวนวิธี …………… …………… …………… ……………

จำนวนวิธีทสี่ รา้ งจำนวนคู่บวกสี่หลัก หลักหนว่ ยเป็น 0

คือ........................................... = ………………… จำนวน

กรณที ่ี 2 หลักหน่วยเป็นเลข 4, 6 หรอื 8 ม…ี ……วิธี สมมติใช้ 4

หลกั พัน เหลือเลขโดด 4 ตัว คอื 0, 3, 6 และ 8 (ใช้ 0 ไมไ่ ด้)

ม…ี ……วิธี สมมติใช้ 3

หลกั ร้อย เหลือเลขโดด 3 ตวั คือ 0, 6 และ 8 มี………วิธี สมมติใช้ 0

หลกั สบิ เหลอื เลขโดด 2 ตัว คอื 6 และ 8 มี………วธิ ี

หลกั พัน หลักร้อย หลกั สบิ หลักหนว่ ย
จำนวนวิธี …………… …………… …………… ……………

จำนวนวิธที ส่ี รา้ งจำนวนคู่บวกสี่หลัก หลักหน่วยเปน็ 4 หรอื 6
คอื ........................................... = ………………… จำนวน
กรณีที่ 1 + กรณที ี่ 2 = .......................... = ....................... จำนวน

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ 26

ชดุ ที่ 1 เรื่อง กฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเกย่ี วกับการนบั

2) มเี ลขโดดอยู่ 5 ตัว คือ 0, 3, 4, 6 และ 7 ถา้ ต้องการสร้างจำนวนคู่บวกสามหลัก
ซึ่งประกอบดว้ ยตัวเลขโดดเหล่าน้ี โดยแตล่ ะหลักใช้เลขไม่ซ้ำกนั จะสร้างได้ก่ีจำนวน
(5 คะแนน)

หลกั หนว่ ยใชเ้ ลขโดด 0, 4, 6 แยกเป็น 2 กรณี

กรณที ี่ 1 หลักหนว่ ยเปน็ เลข 0 ม.ี ...........วธิ ี

หลกั ร้อย เหลือเลขโดด 3, 4, 6 และ 7 มี............วิธี สมมตใิ ช้ 3

หลกั สบิ เหลือเลขโดด 4, 6 และ 7 มี.............วธิ ี

หลกั รอ้ ย หลักสิบ หลักหนว่ ย
จำนวนวิธี

จำนวนวธิ ที ่ีสรา้ งจำนวนคู่บวกสามหลกั หลักหนว่ ยเป็น 0
คอื ................................................. = ........................... จำนวน

กรณที ่ี 2 หลักหน่วยเป็นเลข 4 หรอื 6 มี...........วธิ ี สมมติใช้ 4
หลักรอ้ ย เหลือเลขโดด 0, 3, 6 และ 7 ม.ี ..........วธิ ี สมมติใช้ 3 (ใช้ 0 ไมไ่ ด้)
หลักสิบ เหลอื เลขโดด 0, 6 และ 7 มี...........วธิ ี

หลักร้อย หลักสบิ หลักหน่วย
จำนวนวธิ ี

จำนวนวิธที ่ีสรา้ งจำนวนคู่บวกสามหลัก หลกั หนว่ ยเป็น 4 หรือ 6
คอื ................................................. = ........................... จำนวน

กรณีที่ 1 + กรณีที่ 2 = ...................... = ........................ จำนวน

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ 27

ชุดท่ี 1 เร่ือง กฎเกณฑเ์ บื้องต้นเก่ยี วกบั การนับ

แบบทดสอบระหวา่ งเรียนชุดที่ 1
เรื่อง กฎเกณฑ์เบื้องตน้ เก่ยี วกบั การนบั

คำชีแ้ จง ให้นักเรียนเลือกคำตอบที่ถูกต้องเพียงข้อเดยี ว แล้วทำเคร่อื งหมาย ()
ลงในกระดาษคำตอบ

1. ห้องเรียนหอ้ งหนงึ่ มีนักเรยี น 30 คน ต้องการเลือกหวั หนา้ ห้องและรองหัวหนา้ ห้องตำแหน่งละคน

จะมวี ธิ ีเลอื กท้ังหมดกวี่ ิธี

ก. 30 วิธี ข. 59 วธิ ี

ค. 870 วธิ ี ง. 900 วธิ ี

2. ต้องการสง่ จดหมาย 6 ฉบับลงในตู้ไปรษณยี ์ 4 ตู้ จะมีวิธสี ่งได้ทง้ั หมดก่วี ิธี

ก. 3,600 วธิ ี ข. 4,096 วธิ ี

ค. 5,200 วธิ ี ง. 6,900 วธิ ี

3. ตอ้ งการสรา้ งจำนวนเตม็ บวกคี่ทมี่ สี ี่หลักจากเลขโดด 0 - 9 จะสร้างไดท้ ง้ั หมดกจ่ี ำนวน

ก. 3,000 จำนวน ข. 3,500 จำนวน
ค. 4,000 จำนวน ง. 4,500 จำนวน

4. ครอบครัวหน่งึ มีบุตร 3 คน ตอ้ งการเลือกโรงเรียนให้บุตรท้ัง 3 คน เขา้ เรียนซึง่ มโี รงเรยี นให้เลือก 7

โรงเรยี น ครอบครวั น้ี จะมีวธิ ีจดั บุตรเข้าเรียนในโรงเรียนได้ทัง้ หมดกีว่ ธิ ี

ก. 7 วธิ ี ข. 21 วิธี

ค. 243 วิธี ง. 343 วิธี

5. ตอ้ งการจดั เรียงตัวอักษรในคำว่า "factor" โดยขึ้นต้นด้วย f และลงท้ายด้วย r จะมวี ิธีจัดทั้งหมดกีว่ ิธี

ก. 12 วธิ ี ข. 24 วิธี

ค. 72 วิธี ง. 120 วิธี

6. ต้องการสร้างคำท่ีประกอบด้วยตัวอักษร 4 ตวั จากคำว่า "NUMBER" โดยคำทีส่ รา้ งข้ึนอาจไมม่ ี

ความหมาย จะมีวิธสี รา้ งทัง้ หมดกค่ี ำ

ก. 360 คำ ข. 720 คำ

ค. 1,296 คำ ง. 1,442 คำ

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 28

ชุดที่ 1 เร่ือง กฎเกณฑเ์ บื้องต้นเกี่ยวกับการนับ

7. บรษิ ทั แหง่ หน่งึ มีตำแหน่งงานวา่ ง 3 ตำแหนง่ มผี สู้ มัคร 7 คน บรษิ ทั แหง่ นีจ้ ะมีวธิ ีเลือกคนเข้าทำงาน

ในตำแหนง่ ทว่ี ่างไดท้ ั้งหมดก่วี ิธี

ก. 21 วธิ ี ข. 35 วิธี

ค. 70 วธิ ี ง. 210 วธิ ี

8. เลอื กนกั เรียน 3 คน จาก 5 คน มายืนเรยี งแถวหนา้ กระดาน จะมวี ิธีทำไดท้ ้ังหมดกวี่ ิธี

ก. 15 วธิ ี ข. 20 วิธี

ค. 60 วิธี ง. 120 วธิ ี

9. มีรางวัล 2 รางวลั คอื รางวัลเรียนดแี ละรางวัลผ้มู ีคุณธรรมและจริยธรรม โดยผู้ท่ไี ด้รับรางวัลจะไดร้ บั

เพียงรางวัลเดียวเท่านนั้ จะมีวิธีเลือกมอบรางวัลให้แก่นักเรียน 6 คน ได้ท้ังหมดกวี่ ิธี

ก. 12 วิธี ข. 15 วิธี

ค. 30 วิธี ง. 36 วธิ ี

10. ในงานเลี้ยงแหง่ หน่ึง มอี าหารคาว 5 ชนดิ อาหารหวาน 4 ชนิด และผลไม้ 3 ชนิด ผ้ไู ปในงานเล้ียง

นี้ จะมวี ธิ ีเลือกรับประทานอาหารและผลไม้ได้ทง้ั หมดก่วี ิธี

ก. 12 วิธี ข. 24 วธิ ี

ค. 36 วิธี ง. 60 วธิ ี

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 29

ชดุ ท่ี 1 เรื่อง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกย่ี วกบั การนบั

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบระหวา่ งเรยี น

ช่ือ – นามสกุล ..................................................................... ชัน้ ................. เลขที่ ...........

ข้อที่ ก ข ค ง ข้อที่ ก ข ค ง
16
27
38
49
5 10

สรุปผลการเรยี น

ภาระงาน คะแนน คะแนนท่ไี ด้ ร้อยละของ ผา่ น ไม่ผ่าน
เตม็ คะแนนท่ีได้
บตั รกิจกรรมท่ี 1.1
บตั รกิจกรรมที่ 1.2 10
บตั รกจิ กรรมที่ 1.3
10
แบบทดสอบ
ระหวา่ งเรียนชดุ ท่ี 1 10

10

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ 30

ชดุ ท่ี 1 เรื่อง กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเกี่ยวกบั การนบั

เฉลยบตั รกจิ กรรมวิชาคณิตศาสตร์ เรอ่ื งความน่าจะเปน็
ชนั้ มัธยมศึกษาปีที่ 5

ชดุ ท่ี 1
กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเก่ยี วกับการนับ

เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 1.1 แผนภาพต้นไม้ (Tree Diagram)

1) นักเรยี นคนหนึง่ มีเส้ือและกางเกงสำหรับสวมไปเทีย่ วอยู่ 3 ตวั และ 2 ตวั ตามลำดบั
เขาจะสวมเสื้อและกางเกงไปเท่ยี วเปน็ ชุดต่างกันได้ทงั้ หมดก่ีวธิ ี (2 คะแนน)
นักเรยี นคนนี้มีเส้ืออยู่ 3 ตวั และเสื้อแตล่ ะตัวเลือกใส่กบั กางเกงได้ 2 ตวั
ใชแ้ ผนภาพต้นไม้ (Tree Diagram) ดงั น้ี
ให้ ส แทน เสอื้ และ ก แทน กางเกง
ก1 (ส1 , ก1)
ส1
ก2 (ส1 , ก2)
ก1 (ส2 , ก1)
ส2
ก2 (ส2 , ก2)
ก1 (ส3 , ก1)
ส3
ก2 (ส3 , ก2)
จะเห็นว่า นักเรียนคนนี้สามารถแต่งกายได้ท้ังหมด 6 วิธี

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ 31

ชดุ ท่ี 1 เร่ือง กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเก่ียวกับการนับ

2) ในการโยนเหรียญ 2 บาท 1 เหรียญ เหรยี ญ 5 บาท 1 เหรียญ และเหรียญ 10 บาท
1 เหรียญ พรอ้ มกนั หนึ่งครั้ง ผลท้งั หมดท่ีอาจจะเกดิ ข้ึนได้มีกวี่ ธิ ี (2 คะแนน)

ผลทอ่ี าจจะเกิดขนึ้ ผลทอ่ี าจจะเกิดขน้ึ ผลท่ีอาจจะเกดิ ข้ึน ผลทั้งหมดทอ่ี าจจะ
จากการโยนเหรยี ญ เกิดขึ้นจากการโยน
จากการโยนเหรยี ญ จากการโยนเหรยี ญ
เหรียญท่ีสาม เหรยี ญท้ังสามเหรียญ
เหรียญที่หน่งึ เหรยี ญท่สี อง
และ T แทน ผลท่เี กิดขน้ึ เป็นก้อย
ให้ H แทน ผลที่เกดิ ขนึ้ เปน็ หัว
H HHH

H

T HHT
H

T H HTH

T HTT

H THH

H
T THT

T

H TTH
T

T TTT

ผลท้งั หมดทอี่ าจจะเกดิ ข้นึ มี 8 วธิ ี คือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 32

ชดุ ที่ 1 เร่ือง กฎเกณฑเ์ บื้องต้นเกยี่ วกับการนับ

3) มีถนนจากกรงุ เทพฯ ถงึ ลพบรุ ี 2 สาย และมถี นนจากลพบุรี ถงึ นครราชสีมาอยู่ 3 สาย
ถ้าจะขับรถยนต์จากกรงุ เทพฯ ถึงนครราชสีมา โดยขับผา่ นลพบรุ ี จะใชเ้ ส้นทางไดท้ ัง้ หมด
กเี่ ส้นทางและเขยี นแผนภาพแสดงการเดินทางเพ่ือหาคำตอบ (2 คะแนน)

จำนวนวิธที จี่ ะขับรถจากกรงุ เทพฯ ถึง ลพบุรี มี 2 วธิ ี จากลพบุรีไปนครราชสมี า มี 3 วิธี

เขียนแผนภาพต้นไม้ (Tree Diagram) ดงั น้ี

ให้ ล แทน ลพบุรี และ น แทน นครราชสมี า

น1

ล1 น2

กรุงเทพ ฯ น3

น1

ล2 น2

น3

จะเห็นวา่ สามารถเลือกเสน้ ทางจากกรงุ เทพฯ ไปนครราชสมี า โดยผา่ นลพบุรี

ไดท้ ้ังหมด 6 เส้นทาง

4) ถา้ โยนเหรียญบาท 1 เหรียญ 3 ครั้ง จะได้ผลต่างๆ กนั ทั้งหมดกี่วิธี อะไรบา้ ง (2 คะแนน)

สามารถเขยี นแผนภาพได้ดังนี้

เหรียญท่ี 1 เหรยี ญที่ 2 เหรยี ญที่ 3

H

H

T

HH

T

T

H

H

T

TH

T

T

ดงั นัน้ จะไดจ้ ำนวนวธิ ที ้ังหมด 8 วิธี คือ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT

ชุดกิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ 33

ชดุ ที่ 1 เร่ือง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเกย่ี วกบั การนับ

5) ในการแข่งขันปิงปองคูห่ นึ่งมีกติกาวา่ ใครชนะ 2 เกมก่อนจะเปน็ ผู้ชนะ
จงหาจำนวนวธิ ที ัง้ หมดในการหาผู้ชนะของการแข่งขนั ครั้งนี้ (2 คะแนน)

สมมติให้ A แข่งขันกบั B
ถ้า A ชนะ จะเขยี นแทนด้วย A และ ถ้า B ชนะ จะเขยี นแทนด้วย B

ใชแ้ ผนภาพตน้ ไม้ชว่ ยในการคิด ดงั นี้ เกมท่ี 2 เกมท่ี 3
เกมที่ 1

A
AA

B
เร่ิมตน้ B

AA
B

BB

จากแผนภาพตน้ ไม้ จำนวนวิธีทง้ั หมดในการหาผูช้ นะในการแขง่ ขนั ครัง้ น้ี คือ 6 วิธี

ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ 34

ชุดท่ี 1 เรื่อง กฎเกณฑ์เบื้องต้นเก่ียวกบั การนับ

เฉลยบัตรกิจกรรมท่ี 1.2 หลกั การคูณของกฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเก่ียวกบั การนบั

กฎข้อท่ี 1 ถ้าต้องการทำงาน 2 อย่าง โดยทงี่ านอย่างแรกทำได้ n1 วิธี
และในแตล่ ะวิธีท่ีเลอื กทำงานอยา่ งแรกน้ี มวี ิธที จ่ี ะทำงานอยา่ งทีส่ อง
ได้ n2 วธิ ี จำนวนวธิ ีท่จี ะเลือกทำงานทั้งสองอย่างเทา่ กบั n1n2 วธิ ี

1) นายวัฒนาทำข้อสอบ 5 ขอ้ แต่ละข้อมตี ัวเลือก 4 ตัวเลือก จงหาว่า

นายวัฒนาจะมีวธิ ีทำข้อสอบดังกล่าวได้ทั้งหมดก่วี ธิ ี (2 คะแนน)

นายวัฒนาทำข้อสอบทัง้ หมด 5 ข้อ

นายวฒั นาเลอื กตัวเลอื กในข้อสอบแตล่ ะข้อได้ 4 วิธี

 นายวัฒนามวี ธิ ที ำข้อสอบได้ท้ังหมด 4  4  4  4  4 = 1,024 วธิ ี

2) นายดำมเี สื้อ 2 ตวั สีตา่ งกัน และกางเกง 3 ตัว สตี ่างกัน จงหาจำนวนวิธีท้ังหมด
ท่ีนายดำสวมเส้อื และกางเกงเปน็ ชุดตา่ งๆ กนั (2 คะแนน)

นายดำมวี ธิ เี ลือกสวมเสอื้ ได้ 2 วธิ ี

และเลอื กสวมกางเกงได้ 3 วธิ ี

 นายดำมีวิธีสวมเสื้อและกางเกงเปน็ ชุดตา่ งๆ กนั ได้ 2  3 = 6 วิธี

3) ในการเลือกต้งั กรรมการชุดหนง่ึ จะประกอบไปดว้ ย ประธาน รองประธาน เหรญั ญิก และ

เลขานุการ โดยกรรมการแต่ละคนจะดำรงตำแหน่งไดเ้ พยี งตำแหน่งเดียวเทา่ นัน้ ถา้ มีผู้สมัคร

ทง้ั หมด 6 คน เปน็ ชาย 2 คน เป็นหญิง 4 คน ผลการเลอื กตัง้ กรรมการชุดน้ีจะมีได้

ทง้ั หมดกี่แบบตา่ งกนั โดยให้ประธานเป็นชาย และเลขานุการต้องเปน็ หญิง (2 คะแนน)

กำหนดประธานเป็นชาย และเลขานุการต้องเปน็ หญิง

ตำแหน่งประธาน เลือกได้ 2 วธิ ี (เฉพาะชาย)

ตำแหนง่ เลขานุการ เลือกได้ 4 วิธี (เฉพาะหญิง)

ตำแหน่งรองประธาน เลือกได้ 4 วิธี (คนทเี่ หลือ)

ตำแหน่งเหรญั ญิก เลอื กได้ 3 วธิ ี (คนทเี่ หลือสดุ ทา้ ย)

ดังนนั้ จำนวนวธิ ใี นการเลอื กกรรมการชุดน้ี คอื 2 × 4 × 4 × 3 = 96 วิธี

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรวู้ ิชาคณติ ศาสตร์ 35

ชุดท่ี 1 เร่ือง กฎเกณฑ์เบ้ืองต้นเกยี่ วกบั การนบั

กฎขอ้ ท่ี 2 ถา้ งานอยา่ งแรกมวี ิธีทำได้ n1 วธิ ี ในแต่ละวธิ ีที่เลือกทำงานอย่างแรกมีวิธี
ท่ีจะทำงานอยา่ งที่สองได้ n2 วิธี และในแตล่ ะวธิ ที เ่ี ลือกทำงานอยา่ งแรกและงานอย่าง
ท่ีสอง มีวธิ ที ี่จะทำงานอย่างที่สามได้ n3 วิธี ฯลฯ จำนวนวธิ ที ัง้ หมดท่ีจะเลือกทำงาน
k อย่างเท่ากับ n1n2n3…nK วธิ ี

4) จงนำอักษรจากคำวา่ SPECIAL มาจดั เป็นคำใหม่ โดยไม่คำนึงถึงความหมาย

จะจดั เปน็ คำที่แตกต่างกนั ได้ก่คี ำ (2 คะแนน)

ตำแหนง่ ที่ 1 2 3 4 5 6 7

ตวั อักษร S P E C I A L

เลอื กตวั อักษร 1 ตัว จาก 7 ตัว วางในตำแหนง่ ท่ี 1 ได้ 7 วิธี

เลอื กตัวอักษร 1 ตัว จาก 6 ตัว วางในตำแหน่งท่ี 2 ได้ 6 วิธี

เลอื กตัวอักษร 1 ตัว จาก 5 ตวั วางในตำแหน่งท่ี 3 ได้ 5 วิธี

เลือกตัวอักษร 1 ตวั จาก 4 ตวั วางในตำแหน่งที่ 4 ได้ 4 วิธี

เลอื กตัวอักษร 1 ตัว จาก 3 ตัว วางในตำแหน่งที่ 5 ได้ 3 วธิ ี

เลือกตวั อักษร 1 ตวั จาก 2 ตัว วางในตำแหนง่ ที่ 6 ได้ 2 วิธี

เหลอื ตัวอักษร 1 ตวั วางในตำแหนง่ ที่ 7 ได้ 1 วิธี

 จำนวนวิธีในการนำตัวอกั ษรจากคำว่า SPECIAL มาเรยี งเป็นคำใหม่ได้ทั้งหมด

7  6  5  4  3  2  1 = 5040 คำ
5) ต้องการสร้างจำนวนเต็มบวกท่ีมีสหี่ ลัก โดยท่แี ตล่ ะหลกั เลอื กมาจากตัวเลข 0, 1, 2, 3, 4, 5

และ 9 เมือ่ ต้องการใหจ้ ำนวนที่สร้างขึน้ เป็นจำนวนค่แี ละแตล่ ะหลกั ใชต้ ัวเลขไม่ซำ้ กัน จะ

สรา้ งไดท้ ัง้ หมดกีจ่ ำนวน (2 คะแนน)

หลกั หน่วย ใช้เลขโดด 1, 3, 5 หรอื 9 มี 4 วธิ ี สมมติใชเ้ ลข 1

หลกั พนั ใช้เลขโดด 2, 3, 4, 5 หรือ 9 มี 5 วธิ ี ยกเว้น 0 สมมติใช้เลข 2

หลักร้อย ใช้เลขโดด 0, 3, 4, 5 หรือ 9 มี 5 วธิ ี สมมตใิ ชเ้ ลข 0

หลกั สิบ ใช้เลขโดด 3, 4, 5 หรอื 9 มี 4 วิธี

หลักพัน หลกั ร้อย หลกั สิบ หลักหน่วย

จำนวนวิธี 5 5 4 4

 สามารถสร้างจำนวนค่ีท่ีมีสห่ี ลกั และตวั เลขไม่ซำ้ กันจากเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 และ 9
ไดท้ ้งั หมด 5 × 5 × 4 × 4 = 400 จำนวน

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ 36

ชดุ ท่ี 1 เร่ือง กฎเกณฑเ์ บื้องต้นเกีย่ วกับการนบั

เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 1.3 หลกั การบวกของกฎเกณฑเ์ บือ้ งตน้ เกี่ยวกบั การนับ

1) ต้องการสรา้ งจำนวนคู่บวกสีห่ ลักจากตัวเลข 0, 3, 4, 6 และ 8 โดยแตล่ ะหลกั

ใช้ตัวเลขไม่ซ้ำกัน จะสร้างไดก้ จ่ี ำนวน (5 คะแนน)

หลกั หน่วยใชเ้ ลขโดด 0, 4, 6, 8 แยกเปน็ 2 กรณี

กรณีท่ี 1 หลกั หน่วยเป็นเลข 0 มี 1 วิธี

หลักพนั เหลือเลขโดด 4 ตวั คือ 3, 4, 6 และ 8 มี 4 วธิ ี สมมตใิ ช้ 3

หลักรอ้ ย เหลือเลขโดด 3 ตัว คอื 4, 6 และ 8 มี 3 วิธี สมมติใช้ 4

หลกั สบิ เหลือเลขโดด 2 ตวั คือ 6 และ 8 มี 2 วิธี

หลกั พนั หลกั รอ้ ย หลกั สิบ หลกั หน่วย

จำนวนวิธี 4 3 2 1

 จำนวนวธิ ีท่ีสร้างจำนวนคู่บวกส่ีหลัก หลกั หนว่ ยเป็น 0 คอื
4 × 3 × 2 × 1 = 24 จำนวน

กรณีท่ี 2 หลกั หน่วยเป็นเลข 4, 6 หรอื 8 มี 3 วธิ ี สมมติใช้ 4

หลักพัน เหลือเลขโดด 4 ตัว คือ 0, 3, 6 และ 8 (ใช้ 0 ไม่ได้)

มี 3 วธิ ี สมมติใช้ 3

หลักร้อย เหลอื เลขโดด 3 ตัว คือ 0 ,6 และ 8 มี 3 วธิ ี สมมตใิ ช้ 0

หลักสบิ เหลือเลขโดด 2 ตัว คอื 6 และ 8 มี 2 วธิ ี

หลักพัน หลักรอ้ ย หลักสบิ หลักหนว่ ย

จำนวนวธิ ี 3 3 2 3

 จำนวนวิธีท่ีสร้างจำนวนคู่บวกสี่หลกั หลักหนว่ ยเป็น 4 หรือ 6 คอื
3 × 3 × 2 × 3 = 54 จำนวน
กรณีที่ 1 + กรณีท่ี 2 = 24 + 54 = 78 จำนวน

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ 37

ชุดท่ี 1 เรื่อง กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเก่ียวกบั การนับ

2) มเี ลขโดดอยู่ 5 ตัว คือ 0, 3, 4, 6 และ 7 ถ้าต้องการสร้างจำนวนคู่บวกสามหลกั

ซึง่ ประกอบดว้ ยตวั เลขโดดเหล่าน้ี โดยแต่ละหลกั ใชเ้ ลขไม่ซำ้ กัน จะสร้างไดก้ จ่ี ำนวน

(5 คะแนน)

หลกั หนว่ ยใชเ้ ลขโดด 0, 4, 6 แยกเปน็ 2 กรณี

กรณีท่ี 1 หลักหน่วยเปน็ เลข 0 มี 1 วธิ ี

หลกั ร้อย เหลอื เลขโดด 3, 4, 6 และ 7 มี 4 วธิ ี สมมติใช้ 3

หลกั สบิ เหลอื เลขโดด 4, 6 และ 7 มี 3 วธิ ี

หลักร้อย หลกั สิบ หลกั หนว่ ย
จำนวนวิธี 4 31

จำนวนวิธีท่สี ร้างจำนวนคู่บวกสามหลัก หลกั หน่วยเป็น 0 คือ 4 × 3 × 1 = 12 จำนวน

กรณีท่ี 2 หลักหน่วยเป็นเลข 4 หรือ 6 มี 2 วิธี สมมติใช้ 4

หลกั รอ้ ย เหลอื เลขโดด 0, 3, 6 และ 7 มี 3 วธิ ี สมมติใช้ 3 (ใช้ 0 ไมไ่ ด้)

หลกั สบิ เหลอื เลขโดด 0, 6 และ 7 มี 3 วิธี

หลักรอ้ ย หลักสบิ หลกั หน่วย
จำนวนวธิ ี 3 32

จำนวนวธิ ที ส่ี ร้างจำนวนคู่บวกสามหลัก หลกั หน่วยเปน็ 4 หรอื 6 คือ 3 × 3 × 2 = 18 จำนวน
กรณที ่ี 1 + กรณที ่ี 2 = 12 + 18 = 30 จำนวน

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณิตศาสตร์ 38

ชดุ ที่ 1 เรื่อง กฎเกณฑเ์ บ้ืองต้นเก่ียวกับการนับ

เฉลยแบบทดสอบระหวา่ งเรียนชุดท่ี 1
กฎเกณฑเ์ บ้อื งต้นเกีย่ วกับการนบั

ข้อที่ เฉลย

1ค
2ข
3ง
4ง
5ข
6ก
7ง
8ค
9ค
10 ง

แล้วพบกัน
เลม่ ท่ี 2 นะครับ
ท ครบั ครับ

ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 39

ชดุ ที่ 1 เร่ือง กฎเกณฑเ์ บื้องต้นเก่ียวกับการนับ

บรรณานุกรม
บรรณานกุ รม

จกั รนิ ทร์ วรรณโพธ์กิ ลาง. (2544). สดุ ยอดคำนวณและเทคนิคคดิ ลัด คณติ ศาสตร์ ม.6 เลม่ 2.
กรุงเทพฯ : พัฒนาการศกึ ษา.

ณรงค์ ป้นั นมิ่ และคณะ. (2537). คณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 6. กรงุ เทพฯ : ภูมบิ ณั ฑติ .
ทรงวทิ ย์ สวุ รรณธาดา. (2542). คณติ ศาสตร์ ม.6. กรงุ เทพฯ : จนู พับลิชช่งิ .
นพพร แหยมแสง. (2552). หนงั สือเรยี นสาระการเรยี นรู้พื้นฐาน คณติ ศาสตรช์ ั้นมธั ยมศกึ ษาปีท่ี 6.

กรงุ เทพฯ : พัฒนาคณุ ภาพวิชาการ.
สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย.ี (2536). หนงั สือเรียนคณิตศาสตร์ ค 016.

กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ์ครุ ุสภาลาดพร้าว.
. (2547). หนังสือเรยี นสาระการเรยี นรู้พื้นฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5.
กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ์คุรสุ ภาลาดพร้าว.
. (2547). หนังสอื เรียนสาระการเรียนรเู้ พิม่ เติม คณิตศาสตร์ เลม่ 1 ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5.
กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์คุรุสภาลาดพรา้ ว.
สนุ ันทา สนุ ทรประเสริฐ. (2547). การสรา้ งสือ่ การสอนและนวัตกรรมการเรียนรู.้ ..ส่.ู ..การพัฒนา
ผูเ้ รยี น. ราชบรุ ี : ธรรมรกั ษ์การพมิ พ์.
สำราญ มีแจ้งและคณะ. (2549). คณิตศาสตร์พ้ืนฐาน ม.5 เล่ม 1. กรงุ เทพฯ : วฒั นาพานิช.
อเนก หริ ญั . (2539). คณิตศาสตร์ ค 016. กรงุ เทพฯ : ฟสิ ิกสเ์ ซนเตอร.์
อำพล ธรรมเจริญ. (2551). คณติ ศาสตรเ์ ชิงการจัด. กรงุ เทพฯ : พิทักษ์การพิมพ์.