04 ทฤษฎีบททวินาม

4

รวบรวมและจดั ทำโดย

นายศิวะกลู วะชะโก
ตำแหน่งครู วิทยฐานะ –
กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์

โรงเรยี นเมืองพลพทิ ยาคม อำเภอพล จังหวดั ขอนแกน่
องคก์ ารบรหิ ารสว่ นจังหวดั ขอนแก่น

ชุดกจิ กรรมคณติ ศาสตร์ เรื่อง ความนา่ จะเป็น ช้นั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6 1

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เร่ือง ความน่าจะเป็น
ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 5 ชุดนี้ จัดทำขึ้นเพื่อส่งเสริมและสนับสนุนให้ผู้เรียนทุกคน
มีความสามารถในการเรียนรู้และพัฒ นาทักษะวิชาคณิ ตศาสตร์เก่ียวกับ ความน่า
จะเป็น เกิดความคิดรวบยอดจากเนื้อหาโดยสรุป ฝึกการปฏิบัติจริงเพื่อให้เกิดทักษะ
การคิดคำนวณ สร้างองค์ความรู้ด้วยตนเอง แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง
ฝึกปฏิบัติจริงและประเมินตนเอง ตามสาระมาตรฐานการเรียนรู้คณิตศาสตร์ของ
หลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 เน้ือหาในชุดกิจกรรม
การเรียนรู้ชุดที่ 4 เน้นให้นักเรียนรู้จักทฤษฎีบททวินาม ซึ่งประกอบด้วย คำแนะนำ
สำหรับนักเรียน คำแนะนำสำหรับครู จุดประสงค์การเรียนรู้ ใบความรู้ และ
แบบทดสอบระหวา่ งเรยี นชุดที่ 4

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 1

ชดุ ที่ 4 เร่อื ง ทฤษฎีบททวินาม

คำนำ

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรอื่ ง ความนา่ จะเป็น โดยใช้รูปแบบการจัดการเรียนรู้
แบบวฏั จักรการเรยี นรู้ (4MAT) ชัน้ มัธยมศึกษาปีท่ี 5 ชดุ น้ี จัดทำขึ้นเพ่ือส่งเสริมและสนบั สนนุ ให้ผู้เรียน
ทกุ คน มีความสามารถในการเรียนร้แู ละพฒั นาทักษะวชิ าคณิตศาสตร์เรื่องความนา่ จะเป็น เกดิ ความคิด
รวบยอดจากเนื้อหาโดยสรุป ฝึกการปฏิบัติจริงเพ่ือให้เกิดทักษะการคิดคำนวณ สร้างองค์ความรู้ด้วย
ตนเอง แก้ปัญหาโดยเน้นประสบการณ์ตรง ฝึกปฏิบัติจริงและประเมินตนเอง ตามสาระมาตรฐาน
การเรียนรู้คณิตศาสตร์ของหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 มีทั้งหมด 6 ชุด
ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ชดุ ท่ี 4 เรื่อง ทฤษฎีบททวนิ าม ประกอบดว้ ยเน้ือหา ดังนี้

4.1) ทฤษฎีบททวินามและการกระจาย (a + b)n
4.2) สมั ประสทิ ธิข์ องพจน์ต่างๆ ในการกระจาย (a + b)n

โดยเนอ้ื หาประกอบดว้ ย คำแนะนำในการใช้ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ จดุ ประสงค์
การเรียนรู้ ใบความรู้ บัตรกิจกรรม และแบบทดสอบระหว่างเรียน โดยเนื้อหาแต่ละเร่ืองมีตัวอย่าง
ประกอบชัดเจน นักเรียนสามารถศึกษาชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ตามลำดับขั้นตอน พรอ้ ม
ทง้ั ตรวจคำตอบทถี่ ูกตอ้ งของชดุ กจิ กรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ได้ดว้ ยตนเอง

ผู้จัดทำหวังเป็นอย่างย่ิงว่าชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ เรื่อง ความน่าจะเป็น
ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 5 จะช่วยเสริมทักษะเกี่ยวกับความน่าจะเป็น และเหมาะสมกับผู้เรียนทุกคน
เหมาะสมสำหรับครูที่จะนำไปจัดการเรยี นการสอน และสอนซ่อมเสรมิ ได้อย่างดี

นายศิวะกลู วะชะโก
ตำแหน่งครู วิทยฐานะ -

ชุดกจิ กรรมการเรียนร้วู ชิ าคณิตศาสตร์ 2

ชุดที่ 4 เร่อื ง ทฤษฎบี ททวินาม

คำแนะนำการใช้

คำแนะนำสำหรบั นกั เรียน

1. นักเรียนอา่ นจดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้กอ่ นศึกษาชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์
2. นักเรยี นศึกษาเน้ือหาสาระ ใบความรู้ ตัวอย่างให้ครบตามทก่ี ำหนดไว้
3. หลงั จากศึกษาใบความร้แู ล้วนักเรยี นทำบตั รกิจกรรมโดยใชเ้ วลาตามท่ีกำหนด
4. นกั เรียนตรวจคำตอบจากเฉลยบตั รกิจกรรมแลว้ บนั ทกึ ผลคะแนน
5. นักเรียนต้องมีความซ่ือสัตย์ต่อตนเองไม่ดูเฉลยก่อนทำบัตรกิจกรรม

คำแนะนำสำหรบั ครู

ควรดำเนินกิจกรรมการเรียนการสอนโดยใช้ชุดกจิ กรรม ควบคู่กบั แผนการจัดการเรียนรู้

1. ชดุ กิจกรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ เร่ือง ความนา่ จะเป็น ใช้เวลาจัดกจิ กรรม 17 ชั่วโมง
2. แจ้งใหน้ ักเรียนอ่านจดุ ประสงค์การเรียนรู้ กอ่ นศกึ ษาจากชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้

วชิ าคณิตศาสตร์
3. แจ้งให้นักเรียนทำกจิ กรรมด้วยความรอบคอบและรบั ผิดชอบต่องานที่ไดร้ บั มอบหมาย
4. ใหน้ ักเรยี นศึกษาเนื้อหาสาระ ใบความรู้ ตัวอย่างในชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์

ใหค้ รบตามทกี่ ำหนดไว้ ครูคอยให้คำแนะนำและสรุปเน้ือหาสาระท่ีสำคญั
5. ใหน้ ักเรียนทำบัตรกิจกรรมหลงั เรยี น โดยใช้เวลาตามที่กำหนด
6. ใหน้ กั เรียนตรวจคำตอบจากการทำบตั รกจิ กรรมหลังเรียนในเฉลยท้ายชุดกิจกรรม

การเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์แลว้ บนั ทึกผลคะแนนบัตรกิจกรรมที่ได้ไว้
7. ในกรณที ่ีนักเรียนทำคะแนนจากบตั รกจิ กรรมหลังเรยี นไดไ้ มถ่ งึ ร้อยละ 80 ครูผูส้ อนให้

นักเรียนย้อนกลับไปศึกษาเอกสารอกี ครั้ง แล้วทำขอ้ สอบให้ได้คะแนนตามเกณฑ์ที่กำหนด
8. นำคะแนนท่ีไดจ้ ากการทำบตั รกิจกรรมฯ และจากการทดสอบมาวเิ คราะห์และประเมินผล

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ 3

ชดุ ที่ 4 เรอื่ ง ทฤษฎีบททวินาม

สารบัญ

เร่ือง หนา้

คำนำ 1
คำแนะนำการใช้ 2
สารบญั 3
มาตรฐานการเรียนรู/้ ตวั ชี้วัด/จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 4
4.1 ทฤษฎีบททวินามและการกระจาย (a + b)n 5
5
ใบความรู้ท่ี 4.1 ทฤษฎบี ททวินามและการกระจาย (a + b)n 11
บัตรกจิ กรรมที่ 4.1 ทฤษฎีบททวินามและการกระจาย (a + b)n 13
4.2 สัมประสทิ ธ์ขิ องพจนต์ า่ งๆ ในการกระจาย (a + b)n 13
ใบความรู้ท่ี 4.2 สมั ประสิทธิ์ของพจนต์ ่างๆ ในการกระจาย (a + b)n 20
บตั รกิจกรรมที่ 4.2 สมั ประสิทธ์ิของพจน์ตา่ งๆ ในการกระจาย (a + b)n 22
แบบทดสอบระหวา่ งเรยี นชุดที่ 4 ทฤษฎีบททวนิ าม 26
เฉลยบตั รกจิ กรรมที่ 4.1 ทฤษฎบี ททวนิ ามและการกระจาย (a + b)n 28
เฉลยบตั รกจิ กรรมท่ี 4.2 สัมประสิทธขิ์ องพจน์ตา่ งๆ ในการกระจาย (a + b)n 31
เฉลยแบบทดสอบระหวา่ งเรียนชุดท่ี 4 ทฤษฎีบททวนิ าม 32
บรรณานกุ รม

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ 4

ชดุ ที่ 4 เร่อื ง ทฤษฎีบททวนิ าม

มาตรฐานการเรียนรู้/ตัวช้ีวัด/จุดประสงค์การเรียนรู้

มาตรฐานการเรียนรู้

สาระที่ 5 การวเิ คราะหข์ ้อมูลและความน่าจะเป็น
มาตรฐาน ค 5.2 ใช้วธิ ีการทางสถติ ิและความรเู้ กี่ยวกับความนา่ จะเป็นในการคาดการณ์

ได้อย่างสมเหตสุ มผล
มาตรฐาน ค 5.3 ใชค้ วามรู้เก่ียวกับสถิตแิ ละความนา่ จะเป็นชว่ ยในการตดั สินใจ

และแก้ปญั หา
มาตรฐาน ค 6.1 มคี วามสามารถในการแก้ปัญหา การใหเ้ หตผุ ล การสอื่ สาร

การสอ่ื ความหมายทางคณิตศาสตร์และการนำเสนอ การเชือ่ มโยง
ความรตู้ ่างๆ ทางคณติ ศาสตรแ์ ละเชอ่ื มโยงคณิตศาสตร์กับศาสตร์อืน่ ๆ
และมีความคดิ ริเริ่มสร้างสรรค์

ตัวชี้วัด

ค 5.2 ม.4-6/2 อธบิ ายการทดลองสมุ่ เหตุการณ์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ และนำผลท่ี
ไดไ้ ปใชค้ าดการณใ์ นสถานการณท์ ่ีกำหนดให้

ค 5.3 ม.4-6/2 ใชค้ วามร้เู กีย่ วกับความนา่ จะเปน็ ช่วยในการตดั สนิ ใจและแก้ปัญหา
ค 6.1 มีความสามารถในการแก้ปัญหา การใหเ้ หตุผล การส่ือสาร การสือ่ ความหมาย

ทางคณติ ศาสตรแ์ ละการนำเสนอ การเชือ่ มโยงความรตู้ ่างๆ ทางคณิตศาสตร์และ
เช่อื มโยงคณิตศาสตร์กับศาสตรอ์ ืน่ ๆ และมีความคดิ รเิ รม่ิ สรา้ งสรรค์

จดุ ประสงค์การเรยี นรู้

1. นักเรยี นสามารถใช้ทฤษฎีบททวนิ ามในการกระจาย (a + b)n ได้
2. นักเรยี นสามารถหาพจนต์ ่างๆ ในการกระจาย (a + b)n ได้
3. นกั เรยี นสามารถหาสมั ประสทิ ธข์ิ องพจนต์ ่างๆ ในการกระจาย (a + b)n ได้
4. นักเรยี นสามารถหาคา่ ประมาณของเลขยกกำลงั ท่ีมฐี านเป็นทศนิยม

และเลขชี้กำลังเปน็ จำนวนเตม็ บวกโดยใชท้ ฤษฎบี ททวินามได้

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ 5

ชดุ ท่ี 4 เร่ือง ทฤษฎบี ททวนิ าม

4.1 ทฤษฎีบททวนิ ามและการกระจาย (a + b)n

ใบความรู้ที่ 4.1 ทฤษฎีบททวินามและการกระจาย (a + b)n

Pascal’s Triangle

การกระจาย (a + b)n เมื่อ a, b  R และ n  I+ โดยใช้ Pascal’s Triangle

(a + b)0
(a + b)1
(a + b)2
(a + b)3
(a + b)4
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ 6

ชดุ ท่ี 4 เรอ่ื ง ทฤษฎบี ททวนิ าม

ทฤษฎีบททวนิ าม (Binomail Theorem)
การกระจาย (a + b)n โดยใช้ Pascal’s Triangle สามารถใช้ทฤษฎีบททวินาม ได้ดงั น้ี

(a + b)0
(a + b)1

(a + b)2

(a + b)3

(a + b)4

(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)2 = 2 a2 + 2 ab + 2 b2
0 1  2 

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)3 = 3 a3 + 3 a2b + 3 ab2 + 3 b3

0 1 2 3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)4 = 4 a4 + 4 a3b + 4 a2b2 + 4 ab3 + 4 b4
 0   1   2   3  4 

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

(a + b)5 = 5 a5+5 a4b+5 a3b2+5 a2b3+5 ab4+ 5 b5
0 1  2   3  4   5 

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณิตศาสตร์ 7

ชุดท่ี 4 เรอื่ ง ทฤษฎีบททวนิ าม

พจิ ารณาการกระจาย (a + b)5 โดยใช้ทฤษฎบี ททวนิ าม ได้ดงั นี้

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

(a + b)5 = 5 a5+5 a4b+5 a3b2+5 a2b3+5 ab4+ 5 b5
0 1  2   3  4   5 

จะได้

(a + b)5 = 05b0a5 + 15ba5-1 +  25b2a5-2 + 35b3a5-3 +  45b4a5-4 +  55b5a5-5
  

ดังนั้น

(a + b)n = n b0an + n ban-1 + n2b2an-2 + ... +  n 1bn-1a + n bnan-n
 0   1  − n
n

จากการกระจาย (a + b)n สรุปเปน็ ทฤษฎีบท ดังนี้

ทฤษฎบี ททวนิ าม

ถ้า a, b เปน็ จำนวนจรงิ และ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก แล้ว

(a + b)n = n0b0an +  n1ban-1 + n2b2an-2 + ... +  −n 1bn-1a + n bnan-n
 n
n

จากทฤษฎีบท จำนวน  n ,  n ,  n , ...,  n , ...,  n  ทีเ่ ปน็ สมั ประสิทธข์ิ องแตล่ ะพจน์ในการ
 0  1  2  r  n 
   

กระจาย (a + b)n เรียกว่า สมั ประสทิ ธิ์ทวนิ าม

หรอื

 a b(a + b)n=n  nrnr n -ar n-rr br , n 1
r=0 


หมายเหตุ เรียกสัมประสทิ ธ์ิ n ว่า สมั ประสิทธิ์ทวนิ าม (Binomial coefficient)
 
 r 

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ 8

ชดุ ที่ 4 เร่อื ง ทฤษฎบี ททวินาม

เรยี ก  n  ว่า “สัมประสทิ ธทิ์ วินาม” และ a bn n-r r เรียกวา่ “พจนท์ ว่ั ไปของทวนิ าม” หรือ Tr+1
r r

ดังน้ัน Tr+1 = a bn n-r r
r

ข้อสงั เกต การกระจาย (a + b)n เม่อื n  I+

1) เมือ่ กระจาย (a + b)n จะได้ n + 1 พจน์

2) พจน์แรกและพจน์สุดท้ายมสี ัมประสทิ ธิ์  n  และ  n  ตามลำดบั แต่
0 n

เน่ืองจากมคี า่ เท่ากบั 1 จงึ ไมจ่ ำเปน็ ต้องเขียน

3) กำลังของ a เริม่ จาก n แล้วลดลงทลี ะ 1 จนถึง 0 และ

กำลงั ของ b เริ่มจาก 0 แลว้ เพ่มิ ขนึ้ ทลี ะ 1 จนถึง n

4) ในแตล่ ะพจน์ของการกระจายกำลังของ a และ b รวมกันได้เทา่ กบั

n เสมอ

ตวั อยา่ งที่ 1 จงกระจาย ( x + 2y )5 โดยใชท้ ฤษฎีบททวินาม

วิธีทำ จากทฤษฎบี ททวนิ ามจะได้

(x + 2y)5 =  5 x5 (2y)0 + 15x4 (2y) +  25x 3 (2y)2 +  35 x 2 (2y)3
 0 

45 x(2y) 4 55x0
+  +  (2y)5
 
5! 5! 5! 5!
= x5 + 4!1! x 4 (2y) + 3!2! x3 (4y 2 ) + 2!3! x 2 (8y 3 ) + 1!4! x(16y 4 ) + 32y5

= x5 + 5x4 (2y) +10x3(4y2 ) +10x2 (8y3) + 5x(16y4 ) + 32y5

= x5 +10x4y + 40x3y2 + 80x2y3 + 80xy4 + 32y5

ชุดกจิ กรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ 9

ชุดท่ี 4 เรอื่ ง ทฤษฎีบททวินาม

ตัวอยา่ งท่ี 2 จงกระจาย  x2 − 1 5 โดยใชท้ ฤษฎีบททวนิ าม
 x 

วธิ ที ำ  x2 + − 1  5 = 05(x2 )5 − 1 0 + 15(x2 )4  − 1  +  5 (x 2 )3  − 1 2
x  x x  2 x
 

+  53(x 2 )2  − 1 3 +  5 (x 2 ) − 1 4 +  55(x 2 )0  − 1 5
 x  4 x  x


= x10 + 5(x8 )− 1  + 10(x 6 ) 1  + 10(x4 ) − 1 
x x2  x3 
 

+ 5(x2 ) 1  +  − 1 
x4   x5 
 5 1
x2 x5
= x10 − 5x7 + 10x4 − 10x + −

ตัวอยา่ งที่ 3 จงใชท้ ฤษฎีบททวนิ ามในการกระจาย

1) ( 2a + b )5
2) ( x2 – 2 )7

วิธที ำ

1) ( 2a + b )5 = (2a)5+15 (2a)4b +  5  (2a)3b2 + 53 (2a)2b3 +  5  (2a)b4 + b5
2 4

= 32a5 + 80a4b + 80a3b2 + 40a2b3 + 10ab4 + b5

2) ( x2 – 2 )7 = [(x2) + (-2)]7

= (x2)7+  7  (x2)6(-2) +  7  (x2)5(-2)2 +  7  (x2)4(-2)3
1 2 3

+  7  (x2)3(-2)4+  7  (x2)2(-2)5+  7  (x2)(-2)6 + (-2)7
4 5 6

= x14 – 14x12 + 84x10 – 280x8 + 560x6 – 672x4+ 448x2– 128

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ 10

ชุดที่ 4 เรอ่ื ง ทฤษฎีบททวินาม
ตัวอย่างที่ 4 จงกระจาย ( x + y )5 โดยใชท้ ฤษฎบี ททวนิ าม
วธิ ที ำ

ตัวอยา่ งที่ 5 จงกระจาย ( 2x + 3y2 )4 โดยใชท้ ฤษฎีบททวินาม
วธิ ที ำ

ตวั อยา่ งที่ 6 จงกระจาย ( 2x - y )5 โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม
วธิ ที ำ

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 11

ชุดท่ี 4 เรอื่ ง ทฤษฎีบททวินาม

บัตรกิจกรรมท่ี 4.1 ทฤษฎีบททวินามและการกระจาย (a + b)n

ทฤษฎบี ททวนิ าม

ถา้ a, b เปน็ จำนวนจริง และ n เปน็ จำนวนเตม็ บวก แลว้

(a + b)n = n an + n1an-1b + ... + n an-rbr + ... +  nnbn
 0   r  

1) จงใช้ทฤษฎีบทวนิ ามในการกระจาย (a + b)5 (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

2) จงใชท้ ฤษฎีบทวนิ ามในการกระจาย (x2 - 2)7 (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ 12

ชดุ ที่ 4 เรอ่ื ง ทฤษฎีบททวินาม

3) จงใช้ทฤษฎีบทวนิ ามในการกระจาย (2a + b)5 (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

4) จงใชท้ ฤษฎีบทวินามในการกระจาย  x2 − 1 5 (2 คะแนน)
x
 

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

5) จงใช้ทฤษฎีบทวินามในการกระจาย (x + 2y)5 (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 13

ชดุ ที่ 4 เร่ือง ทฤษฎบี ททวินาม

4.2 สัมประสิทธ์ขิ องพจนต์ ่างๆ ในการกระจาย (a + b)n

ใบความรู้ที่ 4.2 สมั ประสทิ ธข์ิ องพจนต์ ่างๆ ในการกระจาย (a + b)n

พจนท์ ี่ r + 1 ของการกระจาย (a + b) n
จากการกระจาย (a + b) n จะได้

T1 =  n  a n -0b0
0

T2 =  n  a n -1b1
1

T3 =  n  a n - 2b2
2

.

.

.

Tr +1 =  n  an -rbr
r

น่นั คือ Tr+1 =  n  an -rbr
r

หมายเหตุ Tr+1 คอื พจน์ท่ี r + 1

ตวั อยา่ งท่ี 1 จงหาพจนก์ ลางของการกระจาย ( x3+ 2y )14

วิธีทำ ( x3+ 2y )14 เมอ่ื กระจายแล้วจะได้ 15 พจน์ พจนก์ ลางคือพจน์ท่ี 15 +1 = 8
2
n
จาก Tr+1 =  r  an-rbr


T8 = T7+1 = 174 (x3)7(2y)7

= 14! (x21)(2y)7
7! 7!

= 3,432(x21)(128y7)

= 439,296 x21y7

ชุดกิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ 14

ชุดที่ 4 เร่อื ง ทฤษฎีบททวินาม

ตวั อย่างท่ี 2 จงหาพจน์ท่ี 7 ของการกระจาย  x3 − 1 10
 x 

วิธที ำ พจนท์ ี่ r+1 ของการกระจาย (a + b)n คือ

Tr+1 =  n  a n−rbr
 r


ดงั น้ัน T7 = T6+1 = 160 (x3 )10−6 − 1 6
x

= 10! (x3 )4  1 
4! 6! x6

= 210 x6

ตัวอยา่ งท่ี 3 จงหาพจน์ที่ไม่มี x ของการกระจาย  x3 + 1 15
x2

วิธีทำ พจนท์ ไี่ มม่ ี x คือ พจน์ที่มเี ลขชี้กำลังของ x เป็นศูนย์

พจน์ท่ี r+1 ของการกระจาย  x3 + 1 15 คอื
x2

Tr+1 = 1r5 (x 3 )15−r  1 r
 x2 
Tr+1 = 1r5x45−3rx−2r
= 1r5x45−5r

หาพจน์ทไี่ มม่ ี x ให้ 45 – 5r = 0

r=9

Tr+1 = T9+1 = 15 x 45−45
 9 
15
ดงั นนั้ พจน์ท่ีไมม่ ี x คือ T10 =  9 

ชดุ กิจกรรมการเรยี นร้วู ชิ าคณติ ศาสตร์ 15

ชุดท่ี 4 เรอื่ ง ทฤษฎีบททวนิ าม

ตัวอยา่ งท่ี 4 จงหาสมั ประสิทธิข์ องพจนท์ ่ีมี x3 ในการกระจาย  x + 1 7
 2x 
วธิ ที ำ จากการกระจาย (a + b)n จะได้ Tr+1 คอื
n
Tr+1 =  r  a n−rbr



จากการกระจาย  x + 1 7 จะได้ Tr+1 คือ
 2x 

Tr +1  7 x 7 − r  1  r
 r 2x
= 

=  7 x7− r x− r  1 r
 r 2


=  7r x7−2r  1 r
 2

หาสัมประสทิ ธขิ์ อง x3 ให้ 7 – 2r = 3

r=2

ดงั น้นั พจน์ที่มี x3 คอื T2+1 = T3

T3 =  7 x7−2  1 2
 2 2x


= 7! x5 1 
5!2! 4x 2 
21 
4
= x3

ดังน้นั สมั ประสทิ ธข์ิ องพจน์ทม่ี ี x3 คือ 21
4

.......ความสำเรจ็ จะไมเ่ กิดข้นึ ถ้าไมพ่ ยายาม…

ชุดกิจกรรมการเรยี นร้วู ิชาคณติ ศาสตร์ 16

ชดุ ท่ี 4 เร่อื ง ทฤษฎีบททวนิ าม

ตวั อยา่ งท่ี 5 จงหาสัมประสิทธิข์ องพจนท์ ี่มี x4y6 ในการกระจาย ( 3x + 4y )10

วธิ ีทำ

T7
T7 =

ตวั อยา่ งที่ 6 จงหาคา่ ประมาณของ (1.02)10

วธิ ที ำ (1.02)10 = ( 1 + 0.02 )10

= 10 110 (0.02)0 + 10 19 (0.02) + 10 18 (0.02) 2 + 10 17 (0.02)3
 0  1  2  3
10    
 4 10
+ 16 (0.02)4 + ... + 10 10 (0.02)10

 

= 1 + 10(0.02) + 45(0.0004) + 120(0.000008)

+ 210(0.00000016) + …

= 1.2189936…

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 17

ชดุ ที่ 4 เรอื่ ง ทฤษฎบี ททวนิ าม

ขอ้ สังเกต
จาก (a + b)10 เมอื่ กระจายจะมี 11 พจน์ ดังนั้นพจน์กลาง คือ พจน์ที่ 6 = 10 +1

2
ดังนัน้ เมื่อกระจาย (a + b) n เมือ่ n เป็นเลขคู่บวก จะได้พจน์กลาง คือ พจน์ท่ี n +1

2
และเม่ือกระจาย (a + b) n เมอ่ื n เปน็ เลขคี่บวก พจนก์ ลางจะมี 2 พจน์ คอื พจนท์ ่ี n +1 และพจนท์ ่ี

2
n + 3 และพจนก์ ลางจะเปน็ พจนท์ ี่สัมประสิทธทิ์ วนิ ามมีค่ามากที่สดุ
2

ตัวอย่างท่ี 7 จงหาสัมประสิทธิข์ อง x4y5 ในการกระจาย ( 2x + 3y )9

วธิ ีทำ สมั ประสทิ ธ์ิของ x4y5 ในการกระจาย (2x + 3y)9 =  9  (2)4(3)5
5

= 489,888

ตัวอย่างท่ี 8 จงหาพจนท์ ไ่ี ม่มี x ของการกระจาย ( x2 – 1 )12
x

วธิ ีทำ ให้พจนท์ ี่ไมม่ ี x ( คือพจน์ x0 ) จากการกระจาย ( x2 – 1 )12 เป็นพจนท์ ี่ r+1
x
Tr+1 = (x2)12 – r 1 r
= 1r2   − x 
=  
=
1r2 x24 – 2r ( – x – 1 )r

1r2 (–1)r x24 – 2r x – r

1r2 (–1)r x24 – 3r

 24 – 3r = 0

r= 8

พจนท์ ไี่ มม่ ี x คือพจนท์ ่ี 9 = 182 (–1)8
=
= 182 

495

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ 18

ชุดที่ 4 เรอ่ื ง ทฤษฎบี ททวินาม

ตัวอยา่ งที่ 9 จงหาคา่ ของ

ก. พจน์ท่ี 5 ของการกระจาย  x + 1 8 คอื  8 (x)8−4  1 4
x   4 x
 

= 70(x)4  1 
x4
= 70

ข. พจนท์ ่ี 5 ของการกระจาย  x − 1 8 คือ  8 (x)4  − 1 4
x2  4  x2 


= 70(x)4  1 
x8
70
= x4

ค. พจน์ท่ี 5 ของการกระจาย  x + 1 9 คือ  9 (x)5 1 4
x2  4 x2 
 

= 126(x)5  1 
x8
126
= x3

ง. พจนท์ ี่ 5 ของการกระจาย  x − 1 9 คือ  9 (x)5 − 1 4
x   4 x


= 126(x)5  1 
x4

= 126x

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 19

ชุดที่ 4 เร่อื ง ทฤษฎบี ททวินาม

ตัวอยา่ งท่ี 10 จงใช้ทฤษฎีบททวินามชว่ ยในการเขยี นจำนวนทก่ี ำหนดใหต้ ่อไปน้ี
ในรูปทศนยิ ม 4 ตำแหน่ง

1) (1.02)4 2) (0.98)12

วธิ ที ำ

1) (1.02)4 = (1 + 0.02)4

= 1 +4  4  13(0.02) +  4  12(0.02)2 +  4  1(0.02)3 + (0.02)4
1 2 3

= 1 + 4(0.02) + 6(0.0004) + 4(0.000008) + (0.00000016)

= 1 + 0.08 + 0.0024 + 0.000032 + 0.00000016

= 1.08243216

 1.0824

2) (0.98)12 = (1 - 0.02)12
= 1 + 112 (1)11(-0.02) + 122 (1)10(-0.02)2 +…+ (-0.02)12
1 – 12(0.02) + 66(0.0004) – 220(0.000008) + …
= 1 – 0.24 + 0.0264 – 0.00176 + …
=
0.7846


ตวั อย่างท่ี 11 จงใชท้ ฤษฎีบททวินามเพ่อื แสดงวา่ 2 = + + + … + +n  n   n   n   n 1  n 
0 1 2 n- n

วิธที ำ (1 + 1)n
2n =

=  n  (1)n +  n  (1)n-1(1)+  n  (1)n-2(1)2+…+  n n 1 (1)(1)n-1 +  n  (1)n
0 1 2 − n

= + + + … + +nn  n   nn-1  n 
0 1 2 n

ชดุ กจิ กรรมการเรียนรูว้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 20

ชดุ ท่ี 4 เร่อื ง ทฤษฎบี ททวนิ าม

บัตรกิจกรรมที่ 4.2 สัมประสิทธข์ิ องพจนต์ ่างๆ ในการกระจาย (a + b)n

Tr+1 = nr  an - rbr

1) จงหาพจน์กลางของการกระจาย ( x3+ 2y )14 (2 คะแนน)

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

2) จงหาพจนท์ ี่ 7 ของการกระจาย  x3 − 1 10 (2 คะแนน)
x
 

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วิชาคณิตศาสตร์ 21

ชุดท่ี 4 เรื่อง ทฤษฎบี ททวินาม

3) จงหาพจน์ที่ไมม่ ี x ของการกระจาย  x3 + 1 15 (3 คะแนน)
x2

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

4) จงหาสัมประสิทธข์ิ องพจน์ท่มี ี x3 ในการกระจาย  x + 1 7 (3 คะแนน)
 2x


...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................
...............................................................................................................................................

ชุดกจิ กรรมการเรียนรู้วชิ าคณติ ศาสตร์ 22

ชุดที่ 4 เรอ่ื ง ทฤษฎีบททวินาม

แบบทดสอบระหว่างเรยี นชดุ ที่ 4 เร่ือง ทฤษฎบี ททวนิ าม

คำชแ้ี จง ใหน้ ักเรียนเลือกคำตอบท่ีถูกต้องเพยี งข้อเดยี วแล้วทำเคร่อื งหมาย ()
ลงในกระดาษคำตอบ

1. พจน์ที่ 4 ของการกระจาย ( 1 – 2x )5 คือข้อใด

ก. 10x3 ข. – 10x3 ค. 80x3 ง. – 80x3

2. สมั ประสิทธิข์ อง x10y3 จากการกระจาย ( x + y )13 คอื ข้อใด

ก. 13 ข. 30 ค. 143 ง. 286

3. ถา้ สมั ประสิทธิ์ของพจน์ท่ี 6 และพจน์ที่ 16 ของการกระจาย (a + b)n มคี ่าเทา่ กัน จงหาค่า

n ท่เี ปน็ จำนวนเต็ม

ก. 19 ข. 20 ค. 21 ง. 22

4. จงหาพจน์ที่ 7 ของการกระจาย a2 − b 9
 2

ก. 84 a6b6 ข. – 84 a6b6 ค. 21 a6b6 ง. – 21 a6b6
16 16

5. จงหาพจนก์ ลางของการกระจาย  x + y6 ง. 20 x3y3
2  ง. 240x2

ก. 5 x3y3 ข. 5 x3y3 ค. 5 x3y3
24 10

6. จงหาพจน์ท่ี 3 ของการกระจาย  2x + 1  6
 x2 

ก. 15x3 ข. 30x3 ค. 240

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 23

ชดุ ที่ 4 เรอื่ ง ทฤษฎบี ททวนิ าม

7. พจนก์ ลางของการกระจาย ( x3+ 2y )14 เทา่ กับข้อใด

ก. 210x6y12 ข. 5,005x15y9

ค. 439,296 x21y7 ง. 69,672,960x21y7

8. พจนท์ ี่ 7 ของการกระจาย  x3 − 1 10 เทา่ กับข้อใด
 x 

ก. 210 x6 ข. 84 x6 ค. – 210 x6 ง. – 84 x6

9. สมั ประสทิ ธข์ิ องพจน์ที่มี x3 ในการกระจาย  x + 1 7 เทา่ กบั ขอ้ ใด
2x
 

ก. 11 ข. 17 ค. 5 ง. 21
16 9 10 4

10. ค่าประมาณของ (1.02)10 เท่ากับขอ้ ใด

ก. 1.729603 ข. 1.218994 ค. 1.898881 ง. 1.042359

ชุดกิจกรรมการเรียนรวู้ ิชาคณิตศาสตร์ 24

ชดุ ท่ี 4 เรื่อง ทฤษฎบี ททวนิ าม

กระดาษคำตอบ

แบบทดสอบระหวา่ งเรยี น

ชื่อ – นามสกุล ..................................................................... ชั้น ................. เลขท่ี ...........

ขอ้ ที่ ก ข ค ง ข้อที่ ก ข ค ง
16
27
38
49
5 10

สรปุ ผลการเรยี น

ภาระงาน คะแนน คะแนนที่ได้ ร้อยละของ ผา่ น ไม่ผา่ น
เตม็ คะแนนที่ได้
บัตรกจิ กรรมท่ี 4.1
บตั รกิจกรรมที่ 4.2 10

แบบทดสอบ 10
ระหวา่ งเรียนชดุ ที่ 4
10

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 25

ชุดท่ี 4 เร่อื ง ทฤษฎบี ททวินาม

เฉลยบัตรกจิ กรรมวชิ าคณติ ศาสตร์ เรอื่ งความน่าจะเปน็
ช้นั มธั ยมศึกษาปีท่ี 5

ชุดที่ 4

ทฤษฎบี ททวนิ าม

ชุดกิจกรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณติ ศาสตร์ 26

ชุดที่ 4 เร่อื ง ทฤษฎบี ททวินาม

เฉลยบัตรกิจกรรมที่ 4.1 ทฤษฎีบททวินามและการกระจาย (a + b)n

ทฤษฎบี ททวนิ าม

ถ้า a, b เปน็ จำนวนจริง และ n เป็นจำนวนเต็มบวก แล้ว

(a + b)n =  n a n +  n a n -1b + ... +  n  an-r br + ... +  n  b n
 0  1  r   n 
 

1) จงใชท้ ฤษฎีบททวินามในการกระจาย ( a + b )5 (2 คะแนน)

(a + b)5 =  05b0a5 +  15ba5-1 +  5 b2a5-2 +  35b3a5-3 +  45  b4 a5-4 +  5  b5a5-5
2 5

= a5 + 15 a4b +  5  a3b2 + 53 a2b3 +  5  ab4 + b5
2 4

= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

2) จงใช้ทฤษฎีบททวินามในการกระจาย ( x2 – 2 )7 (2 คะแนน)

( x2 – 2 )7 = [(x2) + (-2)]7

= (x2)7+  7  (x2)6(-2) +  7  (x2)5(-2)2 +  7  (x2)4(-2)3
1 2 3

+  7  (x2)3(-2)4+  7  (x2)2(-2)5+  7  (x2)(-2)6 + (-2)7
4 5 6

= x14 – 14x12 + 84x10 – 280x8 + 560x6 – 672x4+ 448x2– 128

3) จงใช้ทฤษฎีบทวนิ ามในการกระจาย ( 2a + b )5 (2 คะแนน)

( 2a + b )5 = (2a)5+15 (2a)4b +  5  (2a)3b2 + 53 (2a)2b3 +  5  (2a)b4 + b5
2 4

= 32a5 + 80a4b + 80a3b2 + 40a2b3 + 10ab4 + b5

ชุดกจิ กรรมการเรียนรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ 27

ชุดท่ี 4 เรื่อง ทฤษฎบี ททวินาม

4) จงใชท้ ฤษฎีบททวนิ ามในการกระจาย  x 2 − 1 5 (2 คะแนน)
x 


 x 2 + − 1  5 =  5 (x2 )5  − 1 0 + 15 (x2 )4  − 1  +  5 (x2 )3  − 1 2
x 0 x x 2 x


+  35(x 2 )2  − 1 3 +  5 (x2 ) − 1 4 +  55(x2 )0  − 1 5
x 4 x x

= x10 + 5(x8 ) − 1  + 10(x6 ) 1  + 10(x4 ) − 1 
x x2  x3 
 

+ 5(x 2 ) 1  +  − 1 
x4   x5 
 5 1
x2 x5
= x10 − 5x7 + 10x 4 −10x + −

5) จงใชท้ ฤษฎีบททวนิ ามในการกระจาย ( x + 2y )5 (2 คะแนน)

(x + 2y)5 =  5 x5 (2y)0 + 15x4 (2y) +  25x 3 (2y)2 +  53 x 2 (2y)3
 0 

45 x(2y) 4 55x0
+  +  (2y)5
 
5! 5! 5! 5!
= x5 + 4!1! x 4 (2y) + 3!2! x3 (4y 2 ) + 2!3! x 2 (8y 3 ) + 1!4! x(16y 4 ) + 32y5

= x5 + 5x4 (2y) +10x3(4y2 ) +10x2 (8y3) + 5x(16y4 ) + 32y5

= x5 +10x4y + 40x3y2 + 80x2y3 + 80xy4 + 32y5

ชดุ กิจกรรมการเรยี นรูว้ ชิ าคณิตศาสตร์ 28

ชุดท่ี 4 เรอื่ ง ทฤษฎบี ททวนิ าม

เฉลยบัตรกิจกรรมท่ี 4.2 สัมประสทิ ธข์ิ องพจน์ต่างๆ ในการกระจาย (a + b)n

Tr+1 =  n  an - rbr
r

1) จงหาพจนก์ ลางของการกระจาย ( x3+ 2y )14 (2 คะแนน)

( x3+ 2y )14 เม่ือกระจายแลว้ จะได้ 15 พจน์ พจน์กลางคือพจน์ที่ 15 +1 = 8
2
n
จาก Tr+1 =  r  an-rbr

T8 = T7+1 = 174 (x3)7(2y)7

= 14! (x21)(2y)7
7! 7!

= 3,432(x21)(128y7)

= 439,296 x21y7

2) จงหาพจน์ท่ี 7 ของการกระจาย  x3 − 1 10 (2 คะแนน)
x 


พจนท์ ่ี r+1 ของการกระจาย (a + b)n คือ

Tr+1 =  n  a n − r b r
 r


ดังนน้ั T7 = T6+1 = 160 (x3 )10−6 − 1 6
x

= 10! (x3 )4  1 
4! 6! x6

= 210 x6

ชุดกิจกรรมการเรียนรู้วิชาคณติ ศาสตร์ 29

ชดุ ท่ี 4 เรื่อง ทฤษฎบี ททวินาม

3) จงหาพจนท์ ่ีไมม่ ี x ของการกระจาย  x3 + 1 15 (3 คะแนน)
x2

พจนท์ ่ไี มม่ ี x คือ พจนท์ ี่มเี ลขชี้กำลงั ของ x เปน็ ศนู ย์

พจน์ท่ี r+1 ของการกระจาย  x3 + 1 15 คอื
x2

Tr+1 = 1r5 (x 3 )15−r  1 r
 x2 
Tr+1 = 1r5x45−3rx−2r
= 1r5x45−5r

หาพจน์ท่ไี มม่ ี x ให้ 45 – 5r = 0

r=9

Tr+1 = T9+1 = 15 x 45−45
 9 
15
ดงั นั้น พจนท์ ่ีไม่มี x คือ T10 =  9 

ชดุ กจิ กรรมการเรยี นรู้วชิ าคณิตศาสตร์ 30

ชดุ ที่ 4 เรือ่ ง ทฤษฎบี ททวินาม

4) จงหาสมั ประสิทธข์ิ องพจนท์ มี่ ี x3 ในการกระจาย  x + 1 7 (3 คะแนน)
 2x 

จากการกระจาย (a + b)n จะได้ Tr+1 คอื
n
Tr+1 =  r  an−r br
 

จากการกระจาย  x + 1 7 จะได้ Tr+1 คือ
 2x 

Tr +1  7 x 7 − r  1  r
 r 2x
= 

 7r x 7 −rx −r  1  r
 2
=

=  7r x7−2r  1 r
 2

หาสัมประสทิ ธิ์ของ x3 ให้ 7 – 2r = 3

r=2

ดงั นั้น พจน์ทมี่ ี x3 คอื T2+1 = T3

T3 =  7 x7−2  1 2
 2 2x


= 7! x5 1 
5!2! 4x 2 
21 
4
= x3

ดังนน้ั สัมประสทิ ธข์ิ องพจน์ทมี่ ี x3 คือ 21
4

ชุดกจิ กรรมการเรยี นร้วู ชิ าคณิตศาสตร์ 31

ชดุ ที่ 4 เรื่อง ทฤษฎบี ททวนิ าม

เฉลยแบบทดสอบระหวา่ งเรียนชดุ ที่ 4
ทฤษฎีบททวินาม

ข้อที่ เฉลย

1ง
2ง
3ข
4ค
5ก
6ค
7ค
8ก
9ง
10 ข

แลว้ พบกัน
เล่มที่ 5 นะครับ

ท

ชุดกิจกรรมการเรยี นรวู้ ชิ าคณิตศาสตร์ 32

ชดุ ที่ 4 เรอื่ ง ทฤษฎบี ททวินาม

บรรณานุกรม

บรรณานกุ รม

จกั รินทร์ วรรณโพธ์ิกลาง. (2544). สุดยอดคำนวณและเทคนิคคดิ ลดั คณติ ศาสตร์ ม.6 เล่ม 2.
กรงุ เทพฯ : พัฒนาการศกึ ษา.

ณรงค์ ปนั้ นิ่มและคณะ. (2537). คณิตศาสตร์ ม.6 เล่ม 6. กรุงเทพฯ : ภูมิบณั ฑิต.
ทรงวทิ ย์ สวุ รรณธาดา. (2542). คณติ ศาสตร์ ม.6. กรุงเทพฯ : จนู พบั ลชิ ชิง่ .
นพพร แหยมแสง. (2552). หนังสือเรยี นสาระการเรียนรู้พืน้ ฐาน คณติ ศาสตรช์ น้ั มธั ยมศกึ ษาปีที่ 6.

กรงุ เทพฯ : พฒั นาคุณภาพวชิ าการ.
สถาบนั สง่ เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลย.ี (2536). หนังสอื เรียนคณติ ศาสตร์ ค 016.

กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพรา้ ว.
. (2547). หนังสือเรียนสาระการเรยี นรู้พน้ื ฐาน คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปีที่ 5.
กรงุ เทพฯ : โรงพมิ พ์คุรุสภาลาดพร้าว.
. (2547). หนงั สือเรียนสาระการเรยี นรู้เพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร์ เลม่ 1 ช้ันมธั ยมศึกษาปีที่ 5.
กรุงเทพฯ : โรงพมิ พ์ครุ ุสภาลาดพร้าว.
สุนนั ทา สุนทรประเสรฐิ . (2547). การสรา้ งส่อื การสอนและนวัตกรรมการเรียนรู้...ส.ู่ ..การพฒั นา
ผู้เรียน. ราชบุรี : ธรรมรักษก์ ารพมิ พ์.
สำราญ มแี จ้งและคณะ. (2549). คณิตศาสตรพ์ ื้นฐาน ม.5 เล่ม 1. กรงุ เทพฯ : วฒั นาพานชิ .
อเนก หิรัญ. (2539). คณติ ศาสตร์ ค 016. กรงุ เทพฯ : ฟิสิกส์เซนเตอร.์
อำพล ธรรมเจรญิ . (2551). คณิตศาสตร์เชิงการจดั . กรงุ เทพฯ : พิทักษ์การพิมพ.์