เอกสารประกอบการสอนทฤษฎีกราฟเบื้องต้น

ทฤษฏีกราฟเบือ� งต้น

!

"# #

$ฒ๋& ื±่ะ*3๋+๋อ4ะะ13.¥์๋่0ยาฒ6ืh๋' e

เ ก รปร ก บก รเรียน เร่ื ง ทฤ ฎกี ร ฟเบ้ื งต้น ิช คณติ ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 1

ทฤ ฎกี ราฟเบือ้ งต้น

1. กาเนดิ ทฤ ฎกี ราฟ ( The origin of graph theory )

คริ ต์ ต รร ที่ 18 มเี มื ง ๆ นึง่ ชื่ เค นกิ ์แบรก์ (Koningsberg) ต้ง ยบู่ น งฝ่ังข งแม่น้ ปรี
เกล (Pregel) ต่ ม เปล่ียนช่ื เป็นค ลินินกร ด (Kalininggrad) ยู่ใน ภ พโซเ ียตร เซียท งด้ น
ต น ก ปัจจุบนเมื่ ภ พโซเ ียตถูกแบ่งแยกแล้ เมื งน้ี งกด ยู่กบ พนธรฐร เซีย เมื งเค นิก ์แบร์ก
ปร ก บด้ ยเก 2 เก คื เก A แล เก B ซงึ่ เชื่ มร ่ งเก กบต เมื งด้ ย พ น 7 แ ่ง ดง
รูป ก C

AB

รูป ก D

เนื่ งจ กช เมื งมีนิ ยช บเดินเล่น จึงต้งปัญ เกี่ย กบก รเดินข้ึน ่ “เป็นไปได้ รื ไม่ท่ีคน
คน นึ่งจ เดินข้ ม พ นท้ง 7 เพียง พ นล นึ่งคร้ง โดยจ ต้งต้นที่ไ นแล จ ้ิน ุดท่ีใดก็ได้” ปัญ น้ีไม่
มีใครใ ้ค้ ต บได้ จนกร ท่งในปี ค. . 1736 เล น ร์ด ยเล ร์ (Leonhard Euler) นกคณิต ตร์ช

ิ ได้ใ ้ค้ ต บพร้ มค้ ธิบ ย ่ ก รเดินลก ณ ดงกล่ เป็นไปไม่ได้ เพร ก รที่คนคน น่ึงจ ท้
เช่นนน้ ได้ เข จ ต้ งเดินม ที่เก A ( รื เก B) แล้ กลบ กไปโดยใช้ พ นทต่ี ่ งกนในจ้ น นคร้ง ท่ี
เท่ กนซ่งึ ไม่ จท้ ได้

ถ้ ค้ ต บข ง ยเล รม์ ีเพยี งเท่ นี้ ปัญ พ นเค นิก แ์ บรก์ คงไมก่ ล ยเป็นปญั มต ใน
ชิ คณิต ตร์ แตธ่ รรมช ติข งนกคณิต ตรม์ กไม่พ ใจเพยี งค้ ต บเฉพ กรณี เข มกแ ง ค้ ต บ
ท่ ไปเพื่ จ ต บปัญ ่ืน ๆ ที่มีลก ณ เดยี กนด้ ย ยเล ร์ได้เปลี่ยนรูปแบบข งปัญ แล้ เ น เป็น
ต แบบน มธรรม คื แทนฝ่ังแม่น้ แล เก ด้ ย จุดยอด (vertex รื node) แทน พ นด้ ยเ ้นเชื่ ม
ร ่ งจดุ ย ด 2 จุด เรยี ก ่ ด้าน (edge รื arc) แผนภ พนี้เรียก ่ กราฟ (ซึ่งแตกต่างจากกราฟที่
แทนฟงั กช์ ันของจาน นจรงิ ในเรขาคณิต) ดงรูป ขC

AB

D

รูป ข

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎีกร ฟเบ้ื งต้น ชิ คณติ ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 2

ตั อยา่ งที่ 1 น ธ รณ แ ่ง นงึ่ มีเก ยู่ 2 เก คื เก B แล เก C แล มี พ นเชื่ มร ่ ง
เก กบฝ่ัง A แล ฝ่งั D ดงรูป จง ร้ งแบบจ้ ล งด้ ยกร ฟ โดยใ จ้ ดุ ย ดแทนเก แล ฝั่ง แล เ ้นเชื่ ม
แทน พ น

A

BC

D

ิธที า จ้ ล งปัญ นด้ี ้ ยกร ฟ G โดยที่
จุดย ด V(G) = { A , B , C , D }
เ ้นเชื่ ม E(G) = { AB , AB , AC , BC , BD , DC }
แ ดงแผนภ พข งกร ฟ G ได้ดงรปู

A

G:

C
B

D

ตั อย่างที่ 2 น ธ รณ แ ่ง นึ่งมีเก ยู่ 2 เก คื เก B แล เก C แล มี พ นเช่ื มร ่ งเก
กบฝั่ง A แล ฝ่ัง D ดงรูป จง ร้ งแบบจ้ ล งด้ ยกร ฟ โดยใ ้จุดย ดแทนเก แล ฝ่ัง แล เ ้นเช่ื มแทน

พน

A

BC

D G: A C
B
ิธีทา จ้ ล งปญั นด้ี ้ ยกร ฟ G โดยท่ี
จดุ ย ด V(G) = { A , B , C , D }
เ ้นเช่ื ม E(G) = { AB , AC , BC , BD , DC }
แ ดงแผนภ พข งกร ฟ G ได้ดงรปู

D

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎกี ร ฟเบื้ งตน้ ชิ คณิต ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 3

ตั อย่างท่ี 3 บริ ทแ ง่ นึง่ มตี ้ แ นง่ ง น ่ ง 4 ต้ แ นง่ คื A , B , C แล D มผี ู้ม มครง น 4 คน
คื ก , ข , ค แล ง โดยท่ีแต่ล คนมีค ม ม รถท้ ง นในต้ แ นง่ ต่ ง ๆ ดงนี้
ก มีค ม ม รถท้ ง นในต้ แ นง่ A
ข มีค ม ม รถท้ ง นในต้ แ น่ง A , B แล D
ค มีค ม ม รถท้ ง นในต้ แ น่ง C แล D
ง มีค ม ม รถท้ ง นในต้ แ นง่ A แล B

บริ ทจ จดต้ แ นง่ ง นใ ้ผู้ มครท้ง ่ีคน ย่ งไรโดยที่ผู้ มครทุกคน ม รถเข้ ท้ ง นได้

ิธที า จ้ ล งปัญ ด้ ยกร ฟ G โดยที่
V(G) = { A , B , C , D , ก , ข , ค , ง }
E(G) = { กA , ขA , ขB , ขD , คC , คD , งA , งB }
แ ดงแผนภ พข งกร ฟ G ไดด้ งรปู

กA
ขB
คC
งD

จ กแผนภ พข งกร ฟ G จ จดง นใ ้ผู้ มครท้ง ค่ี นเข้ ท้ ง นในทกุ ต้ แ นง่ ไดด้ งน้ี

ก ท้ ง นในต้ แ นง่ A ก A
ข ท้ ง นในต้ แ นง่ D ข B
ค ท้ ง นในต้ แ น่ง C ค C
ง ท้ ง นในต้ แ น่ง B ง D

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎกี ร ฟเบื้ งตน้ ชิ คณติ ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 5

2. จุดยอดและเ ้นเชื่อม

บทนิยาม กร ฟ G คื คู่ นดบ ( V(G) , E(G) ) ปร ก บด้ ย เซตจ้ กด 2 เซต คื
1. V(G) เปน็ เซตข งจุดย ดข งกร ฟ G ที่ไม่เป็นเซต ่ ง
2. E(G) เปน็ เซตข งเ ้นเชื่ มข งกร ฟ G ท่เี ช่ื มร ่ งจุดย ด

ค าม มายของกราฟ
จ กบทนยิ ม กร ฟจ ปร ก บไปด้ ยจุดย ดแล เ น้ เชื่ มเ ม ซงึ่ จุดย ดข งกร ฟ

ไมเ่ ปน็ เซต ่ ง แต่เ น้ เช่ื มข งกร ฟ จจ เปน็ เซต ่ งได้

ตั อยา่ งท่ี 1 จ กกร ฟ G จง V(G) , E(G)

G : B e5 D

e1 e2 e3 e4

A e6 C e7 E

ธิ ที า จ กกร ฟ G จ ได้ ่

V(G) = { A , B , C , D , E }

E(G) = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7} รื E(G) = { AB, BC, CD, DE, BD, AC, CE }

ตั อยา่ งที่ 2 จ กกร ฟ H จง V(H) , E(H)
W e2 X

H : e1 O e3
e6 e4
Y e5 Z

ธิ ที า จ กกร ฟ H จ ได้ ่
V(H) = { W , X , O , Y , Z }
E(H) = { e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 } รื E(H) = { WO, WX, XO, OZ, YZ, YO }

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎีกร ฟเบ้ื งตน้ ชิ คณิต ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 6

มายเ ตุ

1. ในก รเขียนแผนภ พข งกร ฟน้น จ ก้ นดต้ แ นง่ ข งจดุ ย ด ณ ต้ แ น่งใดกไ็ ด้

แล ล กเ น้ เช่ื มข งกร ฟเปน็ เ ้นตรง รื เ ้นโคง้ มคี มย เป็นเท่ ใดกไ็ ด้ เช่น

e1 B

A e3 B e1 D e2
e4 e5 e2
D C A e4 e5 C
e3

รปู ท่ี 1 รปู ท่ี 2

กร ฟรปู ที่ 1 แล กร ฟรปู ท่ี 2 ถื ่ เป็น กราฟเดยี กนั

2. เ น้ เชื่ ม งเ ้นข งกร ฟ จล กตดกนได้ โดยที่จดุ ตดข งเ น้ ทง้ งไมถ่ ื ่
เปน็ จดุ ย ดข งกร ฟ เช่น กร ฟ

AB A B
D
ซ่งึ ม รถเขยี นใ มเ่ ปน็

DC C

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎกี ร ฟเบื้ งตน้ ชิ คณิต ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 9

3. เ น้ เชอ่ื มขนาน และ ง น

บทนิยาม เ ้นเช่ื มตง้ แต่ 2 เ ้นที่เช่ื มร ่ งจดุ ย ดคู่เดีย กนเรยี ก ่ เ ้นเช่ือมขนาน (Parallel edges)
เ น้ เช่ื มทีเ่ ช่ื มจดุ ย ดเพยี งจุดเดีย เรยี ก ่ ง น ( Loop )

ตั อยา่ งท่ี 1 ก้ นดกร ฟดงรปู

A e9 e3 D
e1 e2 e5 e6 e7
e8 B e4 C

จ กรูป จ ได้ ่
1. เ ้นเช่ื ม e1 , e2 เป็นเ ้นเช่ื มขน น รื ด้ นซ้ น
2. เ ้นเช่ื ม e5 , e6 , e7 เปน็ เ น้ เชื่ มขน น รื ด้ นซ้ น
3. เ ้นเช่ื ม e8 , e9 เปน็ ง น รื บ่ ง
4. เ น้ เชื่ ม e3 , e4 เปน็ ด้ นเดยี่

ตั อยา่ งที่ 2 ก้ นดกร ฟดงรูป

A e9 e2 B
e1 e7 e8 e3 e4
D e5 C

e6

จ กรูป จ ได้ ่
1. เ น้ เชื่ ม e3 , e4 เป็นเ ้นเชื่ มขน น รื ด้ นซ้ น
2. เ ้นเชื่ ม e5 , e6 เป็นเ ้นเชื่ มขน น รื ด้ นซ้ น
3. เ น้ เชื่ ม e9 เปน็ ง น รื บ่ ง
4. เ น้ เช่ื ม e1 , e2 , e7 , e8 เปน็ ด้ นเด่ีย

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎกี ร ฟเบ้ื งตน้ ชิ คณติ ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 11

4. จุดยอดประชดิ

บทนิยาม จดุ ย ด u แล จุดย ด v ข งกร ฟ เปน็ จุดย ดปร ชิด กต็ ่ เมื่ มีเ ้นเช่ื มร ่ งจุดท้ง ง
เ ้นเช่ื ม e ข งกร ฟเกิดกบ ( incident ) จดุ ย ด v ถ้ จดุ ย ด v เป็นจดุ ปล ยจุด นงึ่ ข ง
เ ้นเช่ื ม e

ตั อยา่ งท่ี 1 ก้ นดกร ฟดงรูป จง จดุ ย ดปร ชดิ แล เ ้นเช่ื มที่เกดิ กบจดุ ย ด A , B , C , D , E

B e5 C

e1 e2 e3 e4

A e6 D e7 E
ิธีทา จดุ ย ด A ปร ชิดจุดย ด B เกิดเ ้นเช่ื ม e1

จดุ ย ด A ปร ชิดจดุ ย ด D เกดิ เ ้นเช่ื ม e6

จุดย ด B ปร ชิดจดุ ย ด C เกดิ เ น้ เชื่ ม e5

จดุ ย ด B ปร ชิดจดุ ย ด D เกดิ เ ้นเช่ื ม e2

จดุ ย ด C ปร ชดิ จดุ ย ด D เกิดเ น้ เช่ื ม e3

จดุ ย ด C ปร ชดิ จุดย ด E เกดิ เ ้นเชื่ ม e4

จดุ ย ด D ปร ชดิ จุดย ด E เกดิ เ น้ เชื่ ม e7

ตั อย่างที่ 2 ก้ นดกร ฟดงรปู จง จุดย ดปร ชิด แล เ น้ เชื่ มทีเ่ กิดกบจุดย ด A , B , C , D

A e7 e3 B e8

e1 e2 e4 e5

D e6 C

จดุ ย ด A ปร ชดิ จดุ ย ด D เกดิ เ ้นเชื่ ม e1 , e2

จดุ ย ด A ปร ชดิ จดุ ย ด B เกดิ เ น้ เชื่ ม e3

จุดย ด B ปร ชดิ จุดย ด C เกิดเ น้ เช่ื ม e4 , e5
จุดย ด C ปร ชิดจุดย ด D เกิดเ น้ เช่ื ม e6

เ น้ เช่ื มท่ีเกิดจ กจดุ ย ด A คื e7
เ น้ เช่ื มที่เกดิ จ กจดุ ย ด B คื e8

เ ก รปร ก บก รเรียน เร่ื ง ทฤ ฎีกร ฟเบื้ งต้น ิช คณติ ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 13

5. ดีกรีของจุดยอด

บทนยิ าม ดกี รีข งจดุ ย ด V ในกร ฟ คื จ้ น นคร้งทง้ มดทเ่ี น้ เชื่ มเกดิ กบจุดย ด V
ใช้ ญลก ณ์ deg(V) แทนดีกรีข งจุดย ด V

จ กบทนิย ม จ ได้ ่ ดีกรขี งจุดย ดในกร ฟก็คื จาน นเ ้นท้ัง มดท่ีตกกระทบกบั จุดยอดน้ัน ๆ
กรณเี น้ เช่ื มเปน็ ง นใ น้ บเ น้ เช่ื มเปน็ 2 เ น้

ตั อย่างท่ี 1 ก้ นดกร ฟดงรูป จง ดีกรีข งจดุ ย ดทกุ จุดในกร ฟ B
A

E C
D

ิธที า จ กบทนิย ม ดกี รีข งจุดย ดคื จ้ น นครง้ ท้ง มดที่เ ้นเช่ื มเกดิ กบจุดย ดน้น ๆ ดงนน้

เ ้นเชื่ มท่ีเกิดกบจุดย ด A คื AB , AC , AC , AE deg(A) = 4

เ น้ เชื่ มที่เกิดกบจุดย ด B คื BA , BB deg(B) = 3

เ น้ เชื่ มท่ีเกดิ กบจุดย ด C คื CA , CA , CD deg(C) = 3

เ ้นเช่ื มท่ีเกิดกบจดุ ย ด D คื DC , DE , DD deg(D) = 4

เ น้ เช่ื มที่เกิดกบจดุ ย ด E คื EA , ED deg(E) = 2

ตั อยา่ งที่ 2 ก้ นดกร ฟดงรปู จง ดีกรขี งจุดย ดทกุ จดุ ในกร ฟ

AD

BC

ิธีทา จ กบทนยิ ม ดกี รขี งจดุ ย ดคื จ้ น นครง้ ท้ง มดทเ่ี ้นเช่ื มเกิดกบจุดย ดนน้ ๆ ดงน้น

เ น้ เชื่ มท่ีเกดิ กบจุดย ด A คื AB , AB , AC , AD deg(A) = 4

เ น้ เชื่ มที่เกดิ กบจุดย ด B คื BA , BA , BC deg(B) = 3

เ ้นเชื่ มที่เกิดกบจุดย ด C คื CA , CB deg(C) = 2

เ น้ เชื่ มท่ีเกดิ กบจุดย ด D คื DA, DD deg(D) = 3

เ ก รปร ก บก รเรียน เร่ื ง ทฤ ฎีกร ฟเบื้ งต้น ิช คณิต ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 14
ตั อยา่ งท่ี 3 ก้ นดกร ฟดงรูป จง ดีกรีข งจุดย ดทุกจดุ ในกร ฟพร้ มทง้ บ กเ ตุผล

C
D

AB

ิธีทา จ กบทนยิ ม ดกี รขี งจดุ ย ดคื จ้ น นครง้ ท้ง มดที่เ ้นเชื่ มเกิดกบจุดย ดนน้ ๆ จ ได้ ่
deg (A) = 4 เพร มีเ ้นเช่ื มที่เกิดกบจุดย ด A จ้ น น 4 เ น้
deg (B) = 4 เพร มีเ น้ เชื่ มที่เกิดกบจุดย ด B จ้ น น 4 เ ้น
deg (C) = 4 เพร มีเ น้ เชื่ มท่ีเกิดกบจุดย ด C จ้ น น 4 เ ้น
deg (D) = 0 เพร ไม่มีเ ้นเชื่ มทเ่ี กดิ กบจุดย ด D

ข้อตกลง
1. ดกี รีของจุดยอดที่เป็น ง น จะมีดีกรีเท่ากับ 2
เชน่ ดีกรีของจุดยอด A เท่ากับ 2 ( deg A = 2 )
2. จดุ ยอดทไ่ี ม่มีเ ้นเช่ือมใ ้ถอื ่าดีกรีของจดุ ยอดเป็น นู ย์

เ ก รปร ก บก รเรยี น เร่ื ง ทฤ ฎกี ร ฟเบื้ งต้น ชิ คณติ ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 17

6. การ าผลร มของดกี รีของจดุ ยอด

ก ร ผลร มข งดกี รีข งจดุ ย ดทุกจุดในกร ฟ จ ยทฤ ฎีบท ดงต่ ไปนี้

ทฤ ฎบี ทที่ 1 ผลร มข งดกี รีข งจุดย ดทกุ จดุ ในกร ฟเท่ กบ งเท่ ข งจ้ น นเ น้ เชื่ มในกร ฟ

พิ จู น์ เนื่ งจ กเ ้นเช่ื มแต่ล เ ้นในกร ฟเกิดกบจุดย ดเปน็ จ้ น น งครง้
ดงน้น เ น้ เชื่ มแต่ล เ ้นจ ถูกนบ 2 ครง้ ในผลร มข งดีกรขี งจุดย ดทุกจดุ น่นคื ผลร มข ง
ดีกรขี งจุดย ดทุกจุดในกร ฟเท่ กบ งเท่ ข งจ้ น นเ น้ เชื่ มในกร ฟ

ตั อย่างท่ี 1 จ กกร ฟ G ดงรูป จงแ ดง ่ ผลร มข งดีกรีข งจดุ ย ดทุกจดุ ในกร ฟเป็น งเท่ ข ง

จ้ น นเ น้ เชื่ มในกร ฟ A

B

G:

E C
D

ธิ ที า จ กกร ฟจ ได้เ ้นเชื่ มท้ง มด 8 เ ้น แล
deg(A) = 4 , deg(B) = 3 , deg(C) = 3 , deg (D) = 4 , deg(E) = 2
ดงนน้ deg(A) + deg(B) + deg(C) + deg(D) + deg(E) = 4 + 3 + 3 + 4 + 2 = 16
แ ดง ่ ผลร มข งดีกรขี งจดุ ย ดทุกจดุ ในกร ฟเท่ กบ 16 ซง่ึ เท่ กบ งเท่ ข งเ ้นเช่ื ม
คื 2(8) = 16

ตั อย่างที่ 2 จ กกร ฟ G ดงรปู จง ผลร มข งดีกรีข งจุดย ดทุกจุดในกร ฟ
G: AD

E

BC
ธิ ีทา จ กกร ฟจ ไดเ้ น้ เช่ื มท้ง มด 7 เ ้น แล

deg(A) = 4 , deg(B) = 3 , deg(C) = 3 , deg(D) = 4 , deg(E) = 0
ดงน้น deg(A) + deg(B) + deg(C) + deg(D) + deg(E) = 4 + 3 + 3 + 4 + 0 = 14
ผลร มข งดีกรขี งจดุ ย ดทุกจุดในกร ฟเท่ กบ 14 แล ผลร มข งดีกรีข งจดุ ย ดทกุ จุด
ในกร ฟเป็น งเท่ ข งเ ้นเช่ื ม นน่ คื 2(7) = 14

เ ก รปร ก บก รเรยี น เรื่ ง ทฤ ฎกี ร ฟเบื้ งตน้ ชิ คณิต ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 18

ตั อยา่ งที่ 3 จง จ้ น นจดุ ย ดข งกร ฟทม่ี เี ้นเชื่ ม 15 เ น้ แล มจี ุดย ด 3 จุดที่มีดกี รเี ท่ กบ 4
่ นจดุ ย ดทเี่ ลื มดี ีกรีเท่ กบ 3

ิธีทา ใ ้ n เป็นจ้ น นจุดย ดทมี่ ดี กี รเี ท่ กบ 3
ดงนน้ ผลร มข งดีกรีข งจดุ ย ดทกุ จุดในกร ฟ คื ( 3 )( 4 ) + ( 3 )( n )
จ กทฤ ฎบี ท ผลร มข งดีกรขี งจุดย ดทกุ จุดในกร ฟเท่ กบ งเท่ ข งเ น้ เชื่ มในกร ฟ
ดงนน้ ( 3 )( 4 ) + ( 3 )( n ) = ( 2 )( 15 )
12 + 3n = 30
n= 6

จ้ น นจุดย ดที่มดี กี รเี ท่ กบ 3 มจี ดุ ย ดทง้ มด 6 จุด
จ้ น นจดุ ย ดทมี่ ีดกี รีเท่ กบ 4 มีจุดย ดท้ง มด 3 จุด

จ้ น นจดุ ย ดท้ง มดข งกร ฟ คื 3 + 6 = 9

ตั อย่างที่ 4 จงพิจ รณ ่ เปน็ ไปได้ รื ไมท่ ี่จ มกี ร ฟซงึ่ มีจดุ ย ด 4 จดุ แล ดกี รขี งจุดย ดคื 1, 1, 2
แล 3 ต มล้ ดบ

ธิ ที า มมติ ่ มกี ร ฟทม่ี ีจุดย ด 4 จดุ แล ดกี รขี งจดุ ย ดคื 1, 1, 2 แล 3
ดงนน้ ผลร มข งดกี รีข งจดุ ย ดทกุ จดุ คื 1 + 1 + 2 + 3 = 7
ซึ่งเปน็ จ้ น นคแ่ี ล ขดแย้งกบทฤ ฎีบท 1

จึงเป็นไปไมไ่ ดท้ ่ีจ มีกร ฟดงกล่

รุป 1. ผลร มของดีกรขี องจดุ ยอดทุกจดุ ในกราฟเปน็ จาน นคู่เ มอ
2. จาน นเ น้ เชอื่ มในกราฟเทา่ กับคร่งึ นึง่ ของผลร มของดีกรีของจดุ ยอดทุกจุดในกราฟ
รือผลร มของดีกรีของจุดยอดทุกจุดในกราฟเป็น องเทา่ ของจาน นเ น้ เชอื่ ม

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎีกร ฟเบื้ งต้น ิช คณติ ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 21

7. จุดยอดคู่ จุดยอดค่ี

บทนิยาม จุดย ดทีม่ ีดีกรีเป็นจ้ น นคู่ เรียก ่ จดุ ย ดคู่ ( even vertex )
จดุ ย ดท่มี ีดีกรีเปน็ จ้ น นค่ี เรยี ก ่ จดุ ย ดค่ี ( odd vertex )

ตั อย่างที่ 1 ก้ นดกร ฟดงรปู จง จุดย ดคู่ แล จดุ ย ดคี่

AD

E
BC
ธิ ีทา deg(A) = 4 , deg(B) = 3 , deg (C) = 3 , deg(D) = 4 , deg(E) = 0
ดงนน้ จุดย ดคู่ คื จดุ ย ด A , D แล E
จุดย ดคี่ คื จุดย ด B แล C
ตั อย่างที่ 2 ก้ นดกร ฟดงรปู จง จดุ ย ดคู่ แล จุดย ดค่ี

B
AC

FD
E

ิธที า deg ( A ) = 5 , deg ( B ) = 3 , deg ( C ) = 4 ,
deg ( D ) = 4 , deg ( E ) = 4 , deg ( F ) = 4
ดงนน้ จุดย ดคู่ คื จุดย ด C , D , E แล F
จุดย ดค่ี คื จุดย ด A แล B

ทฤษฎีบทท่ี 2 ทกุ กราฟจะมจี ุดยอดคเี่ ป็ นจานวนคู่
จ กต ย่ งที่ 1 แล 2 ข้ งตน้ พบ ่ กร ฟมีจดุ ย ดคี่เปน็ จ้ น นคู่ ซ่ึงเป็นไปต มทฤ ฎบี ท

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎกี ร ฟเบ้ื งต้น ชิ คณิต ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 22

ตั อย่างที่ 3 ในก รปร ชุมคณ กรรมก รนกเรียนซ่ึงปร ก บด้ ย ปร ธ น, ร งปร ธ น, เ รญญิก, ปฏิคม
แล เลข นกุ ร โดยก้ นด ่ ใ ้คณ กรรมก รจบมื กนดงน้ี ปร ธ นจบมื กบเพ่ื น 4 คร้ง , ร งปร ธ นจบ
มื กบเพื่ น 3 คร้ง , เ รญญิกจบมื กบเพื่ น 3 คร้ง , ปฏิคมจบมื กบเพื่ น 4 ครง้ , เลข นกุ รจบมื กบ
เพื่ น 2 คร้ง จงพิจ รณ ่ เปน็ ไปได้ รื ไมท่ ่คี ณ กรรมก รนกเรยี นจ จบมื ทกท ยกนต มทก่ี ้ นด

ิธีทา แปลงปัญ ใ เ้ ป็นกร ฟ โดยใ ้จุดย ดแทน ปร ธ น , ร งปร ธ น , เ รญญิก , ปฏคิ ม แล
เลข นกุ ร เ น้ เชื่ มแทนก รจบมื ทกท ยข งคณ กรรมก รนกเรียน จ ได้ ่

กร ฟนี้มีจุดย ด 5 จดุ โดยใ ้ A แทน ปร ธ น , B แทน ร งปร ธ น , C แทน เ รญญกิ ,
D แทน ปฏิคม แล E แทน เลข นกุ ร

A

EB

D C

ดงน้น จุดย ด A มีดกี รเี ท่ กบ 4

จุดย ด B มีดีกรเี ท่ กบ 3

จุดย ด C มีดีกรเี ท่ กบ 3

จุดย ด D มีดกี รเี ท่ กบ 4

จุดย ด E มดี กี รเี ท่ กบ 2

จ เ ็น ่ กร ฟมีจดุ ย ดค่ีเปน็ จ้ น นคู่ ดคล้ งกบทฤ ฎบี ท ดงนน้ คณ กรรมก รนกเรียน

จ จบมื ทกท ยกนได้ต มทกี่ ้ นด

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎีกร ฟเบื้ งต้น ชิ คณติ ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 25

8. กราฟเชิงเดยี กราฟ ลายเชงิ

บทนิยาม
กร ฟที่ไม่มี ง น แล ไมม่ เี น้ เชื่ มขน น เรียก ่ กร ฟเชิงเดยี (simple graph)
กร ฟท่มี ี ง น รื เ ้นเช่ื มขน น เรยี ก ่ กร ฟ ล ยเชิง (multi graph)

ตั อยา่ งท่ี 1 จงตร จ บดู ่ กร ฟต่ ไปนเ้ี ป็นกร ฟเชงิ เดีย รื กร ฟ ล ยเชิง

DD

ธิ ที า ข้ (1) เปน็ กร ฟ ล ยเชิง เพร มีเ ้นเชื่ มขน นร ่ งจุด A แล จุด B
ข้ (2) เปน็ กร ฟเชิงเดยี เพร ไม่มี ง น แล เ น้ เชื่ มขน น
ข้ (3) เป็นกร ฟเชงิ เดยี เพร ไม่มี ง น แล เ น้ เชื่ มขน น
ข้ (4) เปน็ กร ฟ ล ยเชงิ เพร มี ง นที่จุด D

ต ย่ งที่ 2 จงเขียนกร ฟเชิงเดยี ต่ ไปน้เี ม่ื ก้ นดดีกรแี ตล่ จดุ ย ดใ ้ดงนี้
1. 3, 3, 2, 2, 4 ก รพจิ รณ
จ ก ผลร มข งดกี รีข งจุดย ดในกร ฟเท่ กบ งเท่ ข งจ้ น นเ น้ เชื่ มท้ง มด
จ ได้ 3 + 3 + 2 + 2 + 4 = 2 จ้ น นเ ้นเชื่ มท้ง มด
2 จ้ น นเ ้นเชื่ มทง้ มด = 14 ฉ นน้ จ้ น นเ ้นเช่ื มท้ง มด = 7
เขียนกร ฟ

รื

2. 1, 1, 3, 4, 4
จ กก รพิจ รณ พบ ่ มีจุดย ดคี่จ้ น น 3 จุด ซงึ่ ไมใ่ ชจ่ ้ น นคู่ ซ่งึ ขดกบทฤ ฎีท่ี 2
จงึ ไม่มกี ร ฟที่ ดคล้ งกบเงื่ นไขดงกล่

เ ก รปร ก บก รเรยี น เร่ื ง ทฤ ฎีกร ฟเบ้ื งต้น ิช คณติ ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 29

9. กราฟปรกติ

กร ฟปรกติ คื กร ฟท่ีจดุ ย ดทุกจุดย ดมีดกี รีเท่ กน ถ้ ดกี รีข งทุก ๆ จดุ ย ดมีค่ เท่ กบ k จ เรยี ก
กร ฟปรกติน้น ่ กราฟปรกติดีกรี k (regular of degree k) รื กร ฟปรกติ – k (k – regular graph)
เชน่ กร ฟปรกตดิ กี รี 0 คื กร ฟที่มจี ุดย ดเพียงจดุ เดีย โดยไม่มีเ ้นเชื่ มใดๆ รื มดี ีกรีเท่ กบเท่ กบ ูนย์
นน่ เ ง กร ฟลก ณ นี้ถื ่ เปน็ กร ฟชด (trivial graph)

กราฟปรกติดกี รี 0

กราฟปรกติดีกรี 1 ม ยถึง กร ฟที่มีจุดย ด 2 จุด แล มีเ ้นเชื่ มร ่ งจุดย ดท้ง ง 1 เ ้น
รื จุดย ดแตล่ จุดมีดกี รีเท่ กบ 1

กราฟปรกติดีกรี 1

กราฟปรกติดกี รี 2 ม ยถึง กร ฟท่ีมีจุดย ด n จดุ แล แตล่ จุดย ดมีดีกรีเท่ กบ 2 รื กร ฟท่ี
ปร ก บด้ ย ฏจกร-n (n-cycle) เพียง ฏจกรเดยี

กราฟปรกติดีกรี 2

เ ก รปร ก บก รเรยี น เรื่ ง ทฤ ฎกี ร ฟเบื้ งตน้ ิช คณติ ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 30

10. แน เดนิ

บทนิยาม ใ ้ u แล v เปน็ จดุ ย ดข งกร ฟ
แน เดิน u – v ( u – v walk ) คื ล้ ดบจ้ กดข งจดุ ย ดแล เ น้ เช่ื ม ลบกน
u = u0 , e1 , u1 , e2 , u 2 , e3 ,… , u n - 1 , en , un = v
โดยเร่ิมต้นท่จี ุดย ด u แล น้ิ ุดท่ีจุดย ด v แล แตล่ เ น้ เช่ื ม e1 จ เกดิ กบ

จุดย ด ui – 1 แล ui เม่ื i { 1 , 2 , 3 , … , n }

ตั อย่างท่ี 1 ก้ นดกร ฟ G ดงรปู จง แน เดิน A – C , D – B

B

e1 e2 e3

C

A e4
e5 D

เพ่ื ค ม ด กจ เขียนเ ้นท ง จ ก A – C ด้ ยล้ ดบข งจดุ ย ดแล เ น้ เชื่ ม

จ กบทนยิ ม จ ได้แน เดนิ A – C ดงน้ี

เ ้นทางที่ 1 A , e1 , B , e2 , A , e5 , D , e4 , C รื A , B , A , D , C
เ ้นทางท่ี 2 A , e1 , B , e3 , C รื A , B , C

เ ้นทางท่ี 3 A , e5 , D , e4 , C รื A , D , C

แน เดิน D – B มดี งน้ี รื D , A , B
เ ้นทางท่ี 1 D , e5 , A , e1 , B รื D , A , B
เ น้ ทางที่ 2 D , e5 , A , e2 , B รื D , C , B
เ ้นทางท่ี 3 D , e4 , C , e3 , B

แน เดิน เปน็ เ น้ ท งท่ีเขียนโดยจุดย ดแล เ น้ เช่ื ม ลบกน
รอยเดิน เป็นแน เดนิ ในกร ฟท่ีเ น้ เชื่ มท้ง มดแตกต่ งกน
ถิ ี เป็นแน เดนิ ในกร ฟทจี่ ุดย ดทง้ มดแตกต่ งกน
งจร เป็นแน เดินที่เ น้ เชื่ มทง้ มดแตกต่ งกน โดยมีจุดเรมิ แล จดุ จบเป็นจดุ เดยี กน
ัฎจักร เป็น งจรทไ่ี มม่ จี ุดย ดซ้ กน ยกเ ้นจดุ เรมิ่ ต้นแล จดุ ุดท้ ย

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎีกร ฟเบื้ งต้น ิช คณิต ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 31

ตั อย่างที่ 2 ก้ นดกร ฟ G ดงรูป จง แน เดนิ B – D , C – E
B

AC

ED

เพื่ ค ม ด กจ เขยี นเ น้ ท ง จ ก B – D ด้ ยล้ ดบข งจดุ ย ดแล เ ้นเช่ื ม
จ กบทนิย ม จ ไดแ้ น เดิน B – D ดงน้ี

เ น้ ทางท่ี 1 B , A , E , D
เ ้นทางที่ 2 B , A , C , D
เ น้ ทางที่ 3 B , C , A , E , D
เ น้ ทางที่ 4 B , C , A , D
เ ้นทางที่ 5 B , C , D
เ น้ ทางท่ี 6 B , A , D
จ กบทนยิ ม จ ไดแ้ น เดนิ C – E ดงน้ี
เ น้ ทางท่ี 1 C , B , A , D , E
เ น้ ทางที่ 2 C , B , A , C , D , A , E
เ น้ ทางท่ี 3 C , B , A , C , D , E
เ ้นทางที่ 4 C , D , A , E
เ น้ ทางท่ี 5 C , B , A , E
เ น้ ทางที่ 6 C , A , D , E
เ ้นทางท่ี 7 C , D , E

มายเ ตุ ้ รบกร ฟใด ๆ ท่ีไม่มเี น้ เชื่ มขน นแล ไมม่ ี ง น จเขยี นแน เดินด้ ยล้ ดบข งจดุ ย ด
เชน่ ในต ย่ งที่ 1 แน เดนิ A – C ม รถเขยี นแทนได้ด้ ย A , B , C

เ ก รปร ก บก รเรยี น เรื่ ง ทฤ ฎีกร ฟเบ้ื งต้น ชิ คณติ ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 32

ตั อย่างที่ 3 ก้ นดกร ฟ G จงพิจ รณ ่ ในข้ 1 – 4 ่ ข้ ใดเป็น ฎจกร

A

e1 e2 e3 e4
B e7 C e6 D e5 E

1. A , e1 , B , e 7 , C , e 2 , A
2. A , e 2 , C , e 6 , D , e 3 , A , e 4 , E , e 5 , D , e 3 , A
3. B , e 7 , C , e 6 , D , e 3 , A , e 2 , C , e 7 , B
4. D , e 3 , A , e1 , B , e 7 , C , e 6 , D
ธิ ีทา จ กบทนยิ มข ง ฎจกรจ ได้ ่
งจรที่ 1 เป็น ฎจกร เพร งจรไมม่ จี ดุ ย ดใดซ้ กน
งจรท่ี 2 ไมเ่ ป็น ฎจกร เพร งจรมีจุดย ด A ซ้ กน
งจรท่ี 3 ไม่เปน็ ฎจกร เพร งจรมีจุดย ด C ซ้ กน
งจรที่ 4 เปน็ ฎจกร เพร งจรไมม่ ีจุดย ดใดซ้ กน
จ กต ย่ งท่ี 3 ม รถ รปุ ลก ณ ข ง ฎจกรได้ดงนี้
1. เปน็ งจร
2. ไมม่ จี ุดย ดใน งจรซ้ กน

ตั อยา่ งที่ 4 ก้ นดกร ฟ G ดงรูป จงยกต ย่ งแน เดินทมี่ ีค มย 6 แล เป็น
1. ถิ ี
2. งจร
3. ฎจกร

ธิ ที า
1. ถิ ที ี่มคี มย 6
คอื a, b, c, d, e, f, g

เ ก รปร ก บก รเรยี น เรื่ ง ทฤ ฎีกร ฟเบ้ื งต้น ชิ คณติ ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 33

2. งจรทม่ี คี มย 6
a, h, d, iv, h, g, a

3. ฏจกรท่มี ีค มย 6
a, h, i, d, c, b, a

ตั อย่างท่ี 5
ก้ นดกร ฟ G ดงรูป

BH

A DG
C
I

จงยกต ย่ ง แน เดนิ ท่เี ปน็ ร ยเดิน, ิถี แล งจร ในกร ฟ G ย่ งล 2 แน เดิน แล พิจ รณ ่ งจร

ท่ยี กต ย่ งม เปน็ ฏจกร รื ไม่

ร ยเดิน 1) A, B, C, D (ร ยเดิน A – D )
ถิ ี 2) B, C, D, G, H (ร ยเดิน B – H )
1) D, E, F, G, H ( ิถี D – H )
2) C, D, G, I ( ิถี C – I )

งจร 1) G, D, E, F, G, I, H, G
2) A, B, C, A

เมื่ พจิ รณ จ เ น็ ่ งจรท่ี 1 มีจดุ ย ดซ้ กนคื จุดย ด G แล งจรที่ 2 เปน็ งจรทีไ่ มม่ ีจดุ ย ดซ้ กน

ยกเ ้นจุดเริ่มตน้ แล จดุ ุดท้ ย ดงนน้ งจรท่ี 1 ไม่เปน็ ฏจกร แต่ งจรที่ 2 เปน็ ฏจกร

เ ก รปร ก บก รเรยี น เร่ื ง ทฤ ฎกี ร ฟเบื้ งตน้ ิช คณติ ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 37

11. คา่ น้า นักของเ ้นเชอ่ื ม

บทนิยาม ค่ น้ นก ( weight ) ข งเ ้นเชื่ ม e คื จ้ น นทีไ่ ม่เป็นลบทกี่ ้ นดใ บ้ นเ ้นเช่ื ม e

จ กบทนิย ม จ ได้ ่ ค่ น้ นกข งเ ้นเช่ื มใด ๆ ในกร ฟกค็ ื จ้ น นบ กทเ่ี ขียนก้ กบไ ้บนเ ้น
เชื่ มน่นเ ง
ตั อยา่ งที่ 1 จง ค่ น้ นกข งเ ้นเช่ื มแต่ล เ น้ จ กกร ฟต่ ไปน้ี

A6

3 3 4 B
E5 C

22

D

ิธที า จ กบทนยิ ม ค่ น้ นกข งเ น้ เชื่ มจ ได้ ่
เ ้นเช่ื ม AB มีค่ น้ นกเท่ กบ 6
เ น้ เชื่ ม AC มคี ่ น้ นกเท่ กบ 3
เ น้ เช่ื ม BC มีค่ น้ นกเท่ กบ 4
เ น้ เชื่ ม AE มีค่ น้ นกเท่ กบ 3
เ น้ เช่ื ม DE มคี ่ น้ นกเท่ กบ 2
เ น้ เช่ื ม AD มีค่ น้ นกเท่ กบ 5
เ ้นเชื่ ม DC มีค่ น้ นกเท่ กบ 2

ตั อยา่ งท่ี 2 จงเขียนกร ฟ G เม่ื ก้ นดใ ้มีจุดย ดคื V(G) = { V1 , V 2 , V 3 , V 4 } แล เ น้ เชื่ ม
E(G) = { V1 V 2 , V1 V 3 , V1 V 4 , V 2 V 2 , V 2 V 3 , V 2 V 4 , V 3 V 4 } โดยทีค่ ่ น้ นกข ง V1 V 2 ,
V1V 3 , V1 V 4 , V 2 V 2 , V 2 V 3 , V 2 V 4 , V 3 V 4 เปน็ 4 , 3 , 2 , 3 , 4 , 5 , 2 ต มล้ ดบ

ธิ ีทา จ กโจทย์จ ได้ ่ ซึ่งเขียนกร ฟไดด้ งน้ี

ค่ น้ นกข งเ ้นเชื่ ม V1V 2 = 4 V2 3
ค่ น้ นกข งเ ้นเชื่ ม V1V 3 = 3 4
ค่ น้ นกข งเ น้ เช่ื ม V1V 4 = 2 V1 3 5 4
ค่ น้ นกข งเ น้ เช่ื ม V 2 V 2 = 3
ค่ น้ นกข งเ ้นเช่ื ม V 2 V 3 = 4 2 2 V3
ค่ น้ นกข งเ ้นเชื่ ม V 2 V 4 = 5 V4
ค่ น้ นกข งเ ้นเชื่ ม V 3 V 4 = 2

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎกี ร ฟเบ้ื งตน้ ชิ คณิต ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 38

กราฟถ่ งนา้ นกั
จ กค มรเู้ รื่ งค่ น้ นกข งเ ้นเช่ื มในกร ฟ ม รถ รปุ บทนิย มข งกร ฟถ่ งน้ นกไดด้ งน้ี

บทนยิ าม กร ฟถ่ งน้ นก ( weighted graph ) คื กร ฟทีเ่ น้ เชื่ มทกุ เ น้ มคี ่

น้ นก

ตั อย่างที่ 3 จงพิจ รณ ่ กร ฟทกี่ ้ นดใ เ้ ป็นกร ฟถ่ งน้ นก รื ไม่ เพร เ ตุใด

G1: A 4 B G2: A 4B G3: 22
2 A
22 2 2 D 23 G3 H 2
4 2E 1 32 B
3C
F

D4 C 33
2
C 2 D

ธิ ีทา G1 เปน็ กร ฟถ่ งน้ นก เพร เ น้ เชื่ มทกุ เ ้นมีค่ น้ นก
G2 ไมเ่ ป็นกร ฟถ่ งน้ นก เพร เ ้นเช่ื ม AB กี 1 เ น้ ไมม่ ีค่ น้ นก
G3 ไมเ่ ปน็ กร ฟถ่ งน้ นก เพร เ ้นเชื่ ม GG ไมม่ คี ่ น้ นก

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎกี ร ฟเบ้ื งต้น ิช คณิต ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 40

12. ถิ ที ่ี ้ันท่ี ุด

บทนิยาม ิถี (path) คื แน เดนิ ในกร ฟที่จดุ ย ดทง้ มดแตกต่ งกน
ถิ ีท่ี ั้นที่ ดุ จ กจุดย ด A ถงึ จดุ ย ด Z ในกร ฟถ่ งน้ นกคื ิถี A – Z
ท่ผี ลร มข งค่ น้ นกข งเ ้นเช่ื มทกุ เ ้นใน ถิ ี A – Z น้ ยท่ี ุด

จ กบทนยิ ม รปุ ได้ ่ ิถที ่ี ้นที่ ุด คื แน เดินท่มี ผี ลร มข งค่ น้ นกข งเ ้นเชื่ ม
ในแน เดนิ ( ิถี ) น้นมคี ่ น้ ยท่ี ุด

ตั อย่างท่ี 1 จ กกร ฟ G ดงรูป จง ถิ ี A – F ท่ี น้ ท่ี ดุ

B 5
3
2 F
A C1
2 5
2

D4 E

ธิ ีทา ิถีท่ี 1 คื A , B , F มีผลร มค่ น้ นกเท่ กบ 2+5 = 7
2+3+1 = 6
ถิ ที ่ี 2 คื A , B , C , F มีผลร มค่ น้ นกเท่ กบ 2 + 3 + 2 + 4 + 5 = 16
2+2+1 = 5
ิถีท่ี 3 คื A , B , C , D , E , F มผี ลร มค่ น้ นกเท่ กบ 2 + 4 + 5 = 11
2 + 2 + 3 + 5 = 12ดังน้นั
ถิ ที ี่ 4 คื A , D , C , F มีผลร มค่ น้ นกเท่ กบ

ิถที ี่ 5 คื A , D , E , F มผี ลร มค่ น้ นกเท่ กบ

ิถีท่ี 6 คื A , D , C , B , F มีผลร มค่ น้ นกเท่ กบ

ิถี A , D , C , F เป็น ิถีที่ น้ ท่ี ดุ มีค่ น้ นกเท่ กบ 5

เ ก รปร ก บก รเรยี น เรื่ ง ทฤ ฎีกร ฟเบ้ื งต้น ชิ คณติ ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 41

ตั อยา่ งที่ 2 ในต้ บล ๆ น่ึงมี มบู่ ้ น ยู่ 6 มู่บ้ น คื มู่บ้ น A, B, C, D, E, F แล มีถนนเชื่ ม มู่บ้ น
A กบ ม่บู ้ น C ย 3 กโิ ลเมตร, มู่บ้ น C กบ มู่บ้ น E ย 4 กิโลเมตร, มู่บ้ น E กบ มู่บ้ น B ย
3 กิโลเมตร, มู่บ้ น A กบ มู่บ้ น D ย 1 กิโลเมตร, มู่บ้ น D กบ มู่บ้ น F ย 6 กิโลเมตร, มู่บ้ น
D กบ มู่บ้ น E ย 7 กิโลเมตร, มู่บ้ น F กบ มู่บ้ น E ย 1 กิโลเมตรแล มู่บ้ น B กบ มู่บ้ น F
ย 2 กิโลเมตร จง ร ย ท งท่ี น้ ท่ี ดุ จ ก มูบ่ ้ น A ไปยง ม่บู ้ น B

ิธที า แปลงปัญ ใ เ้ ป็นกร ฟ โดยใ จ้ ุดย ดแทนเมื ง เ ้นเชื่ มแทนถนน แล ค่ น้ นกข งเ น้ เชื่ ม

แทนร ย ท งร ่ ง มบู่ ้ น ( น่ ยเป็นกโิ ลเมตร ) จ ได้กร ฟดงรูป

3C 4
AE
1 7 13
D 6 F2 B

ถิ ที ี่ 1 คื A, C, E, B มีร ย ท งจ กเมื ง A ไปยงเมื ง B ย เท่ กบ 3 + 4 + 3 = 10 กม.
ิถีที่ 2 คื A, C, E, F, B มรี ย ท งจ กเมื ง A ไปยงเมื ง B ย เท่ กบ 3 + 4 + 1 + 2 = 10 กม.
ถิ ีท่ี 3 คื A, D, E, B มรี ย ท งจ กเมื ง A ไปยงเมื ง B ย เท่ กบ 1 + 7 + 3 = 11 กม.
ิถีท่ี 4 คื A, D, E, F, B มรี ย ท งจ กเมื ง A ไปยงเมื ง B ย เท่ กบ 1 + 7 + 1 + 2 = 11 กม.
ิถที ่ี 5 คื A, D, F, B มีร ย ท งจ กเมื ง A ไปยงเมื ง B ย เท่ กบ 1 + 6 + 2 = 9 กม.
ถิ ที ่ี 6 คื A, D, F, E, B มรี ย ท งจ กเมื ง A ไปยงเมื ง B ย เท่ กบ 1 + 6 + 1 + 3 = 11 กม.

ดังน้นั ถิ ีที่ 5 คอื A , D , F , B เป็น ิถที ่ี ้นั ที่ ดุ จากเมอื ง A ไปยังเมอื ง B ซงึ่ มรี ะยะทางเท่ากบั 9 กม.

เ ก รปร ก บก รเรียน เร่ื ง ทฤ ฎกี ร ฟเบื้ งตน้ ชิ คณติ ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 43

13. ถิ ที ่ี นั้ ที่ ดุ โดยใชข้ ั้นตอน ธิ ีของไดค์ ตรา

ล ย ๆ ปัญ ม รถน้ ม จ้ ล งโดยใช้กร ฟ แล ค่ น้ นกท่ีถูกก้ นดใ ่ในแต่ล ด้ น (เ ้น
เชื่ ม) ในต ย่ งน้ีจ พิจ รณ ร บบ ยก รบินท่ีถูกจ้ ล งขึ้นม เร ได้ก้ นดแบบจ้ ล งกร ฟพ้ืนฐ น
โดยก รแทนเมื งด้ ยจุดย ด แล ยก รบินด้ ยด้ น (เ น้ เชื่ ม) ปัญ เกี่ย กบร ย ท ง ม รถจ้ ล ง
โดยก รก้ นดร ย ท งร ่ งเมื งแทนด้ ยด้ น (เ ้นเช่ื ม) ปัญ ท่ีเก่ีย ข้ งกบเ ล ข งเท่ีย บิน

ม รถจ้ ล งโดยก รก้ นดเ ล ข งเท่ีย บินแทนด้ ยด้ น (เ ้นเช่ื ม) ปัญ ที่เกี่ย ข้ งกบค่ โดย ร
ม รถจ้ ล งโดยก รก้ นดค่ โดย รแทนด้ ยด้ น (เ ้นเชื่ ม) แ ดงใ ้เ ็นก รก้ นดท่ีแตกต่ งกน 3
แบบข งค่ น้ นกบนด้ นข งกร ฟทีแ่ ทนด้ ยร ย ท ง เ ล ข งเทย่ี บนิ แล ค่ โดย ร ต มล้ ดบ

รูปท่ี 1 แ ดงร ย ท งร ่ งเมื งต่ ง ๆ

รปู ที่ 2 แ ดงเ ล ในก รเดินท งร ่ งเมื งต่ ง ๆ

รปู ท่ี 3 แ ดงค่ โดย รในก รเดินท งร ่ งเมื งต่ ง ๆ

เ ก รปร ก บก รเรียน เร่ื ง ทฤ ฎีกร ฟเบื้ งตน้ ชิ คณติ ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 44

กร ฟซึ่งมีต เลขท่ีถูกก้ นดในแต่ล ด้ น จ เรียก ่ กร ฟถ่ งน้ นก กร ฟน้ีจ ถูกใช้เพ่ื จ้ ล ง
เครื ข่ ยค มพิ เต ร์ ค่ ใช้จ่ ยก ร ่ื ร (เช่น ค่ เช่ ยโทร พท์ร ยเดื น) เ ล ต บ น งข ง
ค มพิ เต ร์บนเ ้นพ กน้ี รื ร ย ท งร ่ งค มพิ เต ร์ เป็นต้น ถ นก รณ์ทง้ มด ม รถ ึก โดย
ใช้กร ฟถ่ งน้ นก ทิเช่น ปญั น่ึงซ่งึ ก้ นดเ ้นท งท่ี ้นท่ี ุดร ่ ง 2 จุดย ดบนเครื ข่ ยโดยเร
ใ ค้ มย ข งเ ้นท งในกร ฟมีน้ นกเป็นผลร มทง้ มดข งน้ นกบนด้ นข งเ ้นท งน้น มีค้ ถ ม ่

ไรเป็นเ น้ ท งท่ี น้ ที่ ดุ ร ่ ง 2 จดุ ย ดทกี่ ้ นดใ ้
ต ย่ งเช่น ในร บบ ยก รบินทถ่ี ูกแทนด้ ยกร ฟถ่ งน้ นก เ ้นท งที่ ้นที่ ุดร ่ งบ ตน

กบล แ งเจ ลิ คื เ ้นท งใด (รูปท่ี 1) ก รร มกนข งเที่ย บินใดบ้ งท่ีมีเ ล บินร มน้ ยที่ ุดร ่ ง
บ ตนแล ล แ งเจ ลิ (รูปท่ี 2) ค่ โดย รทถี่ ูกที่ ดุ ร ่ ง 2 เมื ง (รูปท่ี 3) นเ้ี ป็นเท่ ใด

ในเครื ข่ ยค มพิ เต ร์แ ดงใน รูปที่ 4 กลุ่มข ง ยเช่ โทร พท์ที่แพง ุดท่ีต้ งก รเช่ื มต่
ค มพิ เต รใ์ นซ นฟ นซิ โกกบนิ ย รค์ เป็น ไร ชดุ ข ง ยโทร พท์ไ นท่ีใ เ้ ล ต บ น งที่เร็ ดุ ใน
ก รติดต่ ื่ รร ่ งซ นฟร นซิ โกกบนิ ย ร์ค แล ชุดข งโทร พท์ นไ นท่ีมีร ย ท งโดยร ม ้น
ท่ี ดุ

รปู ท่ี 4 แ ดงเครื ข่ ยค มพิ เต ร์

เ ก รปร ก บก รเรยี น เรื่ ง ทฤ ฎีกร ฟเบื้ งตน้ ชิ คณติ ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 45

ในก ร เ ้นท งที่ ้นท่ี ุดมี ลก รทิ ึม ล ยแบบที่แตกต่ งกนที่ใช้ เ ้นท งที่ ้นท่ี ุดร ่ ง 2
จุดย ดในกร ฟถ่ งน้ นก เร จ แ ดงข้นต นท่ีค้นพบโดย E. Dijkstra ในปี 1959 ในรูปกร ฟถ่ งน้ นก
ไมม่ ีทิ ท ง ซึ่งน้ นกทง้ มดเป็นค่ บ ก ง่ ยทจ่ี ปรบเข้ กบปัญ ร ย ท งที่ ้นท่ี ดุ ในกร ฟ
ตั อย่าง ค มย ข งเ ้นท่ี ้นที่ ดุ ร ่ ง a แล z ในกร ฟถ่ งน้ นก คื ไร

ิธีแกป้ ัญ
แม้ ่ เ ้นท งที่ ้นท่ี ุดจ ได้ง่ ยโดยก ร ้ ร จ เร ก็ได้พฒน ค มคิดที่มีปร โยชน์ข ง

ลก ริทึมข ง Dijskstra เร จ แก้ปัญ นี้โดยก ร ค มย ข งเ ้นท งที่ ้นท่ี ุดจ ก a ต่ ไปเรื่ ย ๆ
จนถึง z เ ้นท งเดยี เท่ น้นท่ีเรมิ่ ที่ a ทง้ a ไป b แล a ไป d ดงน้นค มย ข ง a ไป b แล a ไป d คื
4 แล 2 ต มล้ ดบ จ เ ็นได้ ่ จุด d เปน็ จุดทใี่ กล้กบ a ที่ ุด เร ม รถ จุดถดไปท่ีใกล้ที่ ดุ ไดโ้ ดยม ง
เ ้นท งท้ง มด แล้ ผ่ นไปท ง a แล d เท่ น้น แล้ เ ้นท งท่ี ้นท่ี ุดจ ก a ไปยง b มีค มย 4 แล
เ ้นท งที่ ้นที่ ุดไป e คื a ไป d ไป e มีค มย 5 เพร ฉ น้น จุดที่ ้นท่ี ุดถดไปคื e ก ร จุดที่
ใกล้กบ a ม กที่ ดุ เป็นจุดท่ี 3 เร ต้ งทด บเ น้ ท งท่ีผ่ น a , d รื b เท่ น้น มเี น้ ท ง นึ่งค มย 7
ไปยง c (จ ก a ไป b ไป c) แล เ ้นท ง ีกค มย 6 ไปยง z (จ ก a ไป d ไป e ไป z ) z จึงเป็นจุด
ถดไปทีใ่ กล้ที่ ุดไปยง a แล มีเ น้ ท งที่ ้นที่ ุดไปยง z เท่ กบ 6

จ ก ต ย่ ง เปน็ ก รยกต ย่ ง ิธีก รใช้ใน ลก ริทึมข ง Dijkstra งเกต ่ ร ย ้นที่ ุดจ ก a
ไปยง z ไดจ้ กก รไล่จนพบ แต่ ย่ งไรกต็ มก รไล่ จ ไม่ ม รถท้ ไดถ้ ้ กร ฟมีจ้ น นจุดม ก

ต นนี้เร จ พิจ รณ ปัญ ท่ ๆ ไป ข งก ร ค มย ร ย ท ง ้นท่ี ุดร ่ ง a แล z ใน
แบบกร ฟถ่ งน้ นกท่ ๆ ไป ที่เชื่ มกน ย่ งไม่เป็นทิ ท ง ลก รทิ ึมข ง Dijkstra จ ด้ เนินก รโดย
ค มย เ ้นท งท่ี ้น ุดจ ก a ไปยงจุดแรกก่ น แล ต่ ม คื ค มย จ ก a ไปยงจุดที่ ง แล ไป
เร่ื ย ๆ จนก ่ จ เจ เ ้นท งท่ี ้น ุดจ ก a ไปยง z ลก ริทึมจ ยชุดข งก ร นซ้ ชุดข งจุดที่
แตกต่ งกนจ ถกู ร้ งโดยก รเพ่ิมทลี จุดเข้ ไปในก ร นซ้ แต่ล ร บ

เร ม รถน้ Algorithm ข ง Dijkstra นไี้ ปเขียนเป็นต ร งในขณ ทค่ี ้ น ณ เ ้นท งที่ ้นที่ ุด
เพ่ื ใ ้เข้ ง่ ยข้ึนไดด้ งนี้

เ ก รปร ก บก รเรยี น เรื่ ง ทฤ ฎกี ร ฟเบื้ งต้น ิช คณิต ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 46

ก รท้ ง น

- เร่มิ ตน้ ทจ่ี ุด a ใ เ้ ปน็ ูนย์ จดุ ่นื ๆ ใ เ้ ป็น
- Loop ที่ 1 พบ ่ มีน้ นกจ ก a ไปยงจุด b แล d ใ ้น้ ค่ น้ นกไปเขียนลงในต ร ง จุด ่ืน ๆ ท่ีไม่มี

น้ นกใ ้คงไ ้เป็น แล้ เลื กจดุ ทม่ี นี ้ นกน้ ยที่ ุดซึง่ คื จุด d เพื่ กไปท้ ง นยง Loop ต่ ไป
- Loop ที่ 2 จุดใดที่มคี ่ น้ นกแต่ไมม่ กี รเลื กใน Loop ก่ น น้ นใ้ี ้น้ ม เขยี นไ ้ดงเดมิ น่นคื น้ นก 4
ทจี่ ดุ b จ กนน้ ม ง จดุ ทม่ี ีน้ นกจ กจุดที่เลื กม นน่ คื d ไปยงจดุ ่ืน ๆ แล้ น้ ค่ น้ นกไปร มกบค่
น้ นกข ง Loop ก่ น น้ นี้ที่ได้เลื กม กล่ คื พบ ่ มีน้ นกจ กจุด d ไปยงจุด e ค่ น้ นกเท่ กบ
3 ใ ้น้ 3 ไปบ กกบค่ น้ นกที่เลื กม ก่ น น้ น้ี คื 2 ได้เป็น 5 จึงน้ ไปใ ่ในต ร ง จุด ่ืน ๆที่ไม่มีค่

น้ นกใ ้คงไ ้เปน็ แต่ กจุดใดมีก รเลื กไปแล้ จ ไม่ต้ งใ เ่ ปน็ ีกเลย นน่ คื จุด d ท่ไี ด้เลื กไป

แล้ จ ไมต่ ้ งใ ่ ีก จ กน้นเลื กจดุ ท่ีมนี ้ นกน้ ยที่ ุดซ่งึ คื จดุ b เพื่ กไปท้ ง นยง Loop ต่ ไป
- Loop ท่ี 3 จ ม งในลก ณ เดีย กบ Loop ก่ น น้ นี้ มนี ้ นกจ ก b ไปยง c กบ e มีน้ นกเท่ กบ 3
ทจี่ ุด c จ ต้ งลงน้ นกเป็น 3+4 = 7 น้ นก 4 ท่ีน้ ม บ ก ม จ กก รน้ น้ นกที่ถูกเลื กม จ ก Loop
ก่ น น้ นี้ที่จุด e ก็ท้ เช่นเดีย กน กแต่ ่ เม่ื ร มน้ นกแล้ ได้เท่ กบ 7 แต่ใน Loop ก่ น น้ นี้มี
น้ นกเพียง 5 ในกรณีน้ีจ ใชน้ ้ นกท่นี ้ ยเป็น ลก ท่ี Loop นี้เร จ เลื ก e ซ่งึ มีน้ นกน้ ยท่ี ุด
- Loop ท่ี 4 ท้ ง นลก ณ เดยี กนกบ Loop ท่ีผ่ นม ท่ี Loop น้ีจ เลื ก z เพร มนี ้ นกน้ ยที่ ดุ ท้
ใ ้เร ม รถ ร ย ท งที่ ้นท่ี ุดจ ก a ถงึ z เท่ กบ 6

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎกี ร ฟเบื้ งต้น ิช คณิต ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 49

14. กราฟเช่อื มโยง

บทนิยาม กร ฟ G เรียก ่ กร ฟเชื่ มโยง ( connected graph ) กต็ ่ เม่ื ้ รบ
จุดย ด u แล v ท่ีเป็นจุดย ดต่ งกนในกร ฟ G มแี น เดิน u – v

จ กบทนยิ มจ ได้ ่ กราฟทีจ่ ะเป็นกราฟเชือ่ มโยง จะตอ้ งมแี น เดนิ ระ า่ งจุดยอดทุกจุดในกราฟ
ตั อย่างท่ี 1 จ กกร ฟที่ก้ นดใ ้เปน็ กร ฟเชื่ มโยง รื ไม่ เพร เ ตุใด

B
AE

C
D

เปน็ กร ฟเชื่ มโยง เพร ่ มแี น เดิน A – C , มีแน เดิน B – D
มีแน เดนิ A – E , มีแน เดนิ D – E เปน็ ต้น

ตั อย่างท่ี 2 จ กกร ฟที่ก้ นดใ ้เป็นกร ฟเชื่ มโยง รื ไม่ เพร เ ตใุ ด
AB
D

EC
เป็นกร ฟเช่ื มโยง เพร ่ มีแน เดิน A – D , มีแน เดนิ A – E

มีแน เดนิ A – C , มแี น เดิน B – D
มแี น เดิน B – E , มีแน เดนิ E – D เปน็ ต้น

ตั อย่างท่ี 3 จ กกร ฟทีก่ ้ นดใ ้เปน็ กร ฟเช่ื มโยง รื ไม่ เพร เ ตุใด

AB

E C
D

ไมเ่ ปน็ กร ฟเชื่ มโยง เพร ่ ไมม่ แี น เดิน A – E , ไม่มีแน เดิน B – E
ไม่มแี น เดิน C – E , ไม่มีแน เดิน D – E

เ ก รปร ก บก รเรียน เร่ื ง ทฤ ฎกี ร ฟเบ้ื งตน้ ิช คณติ ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 50

ตั อยา่ งท่ี 4 ก้ นดข่ ยง นก รเชื่ มโยงร ่ งเ ไฟฟ้ แล ยไฟฟ้ ใน ้ เภ ภูก มย ดงรูป

ถ้ เกดิ เ ตุก รณ์เ ไฟฟ้ ตน้ นึง่ ลม้ แล้ จง ่ เ ไฟฟ้ ต้นใดเม่ื ลม้ แล้ จ ท้ ใ ก้ ร ฟเช่ื มโยงข ง

ข่ ยง นเ ีย ยม กที่ ุด

2 บ้านร้อง

1 บ้านร่องปอ

3 บ้านเจน 4 บ้านสนั ป่ ากอก

6 บ้านกว๊าน 5 บ้านดอกบวั

ิธีทา แปลงปัญ ข้ งตน้ เป็นกร ฟ โดยใ ้จดุ ย ดแทนเ ไฟฟ้ เ ้นเชื่ มแทน ยไฟฟ้ ดงรูป

2

1
34

5
6

จ กกร ฟจ พบ ่ ถ้ ลบจุดย ด 3 ( บ้ นเจน ) กเ ้นทีเ่ กดิ กบจุดย ด 3 ( บ้ นเจน ) จ ถกู ลบ
กด้ ย ดงน้น กร ฟทีเ่ กดิ จ กก รลบจุดย ด 3 ( บ้ นเจน ) ก จ ไมเ่ ป็นกร ฟเชื่ มโยง ดงรูป

2

4
1

65

ถ้ ลบจุดย ด นื่ เชน่ จุดย ด 1 รื จดุ ย ด 2 รื จดุ ย ด 4 รื จุดย ด 5 รื จดุ ย ด 6
กจ กกร ฟ กร ฟทเ่ี กิดจ กก รลบจุดย ดดงกล่ ยงคงเป็นกร ฟเชื่ มโยง

ดงนน้ เ ไฟฟ้ ท่ี 3 (บ้ นเจน) จึงเปน็ เ ไฟฟ้ ท่ี ้ คญที่ ุด เพร ถ้ เ ไฟฟ้ ท่ี 3 (บ้ นเจน) ลม้
จ ท้ ค มเ ยี ยม กก ่ เ ไฟฟ้ ต้น ่นื ลม้

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎีกร ฟเบื้ งตน้ ิช คณิต ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 53

15. ตน้ ไม้

บทนิยาม ต้นไม้ คื กร ฟเช่ื มโยงท่ีไมม่ ี ฎจกร
จ กบทนิย ม รุปได้ ่ กร ฟใด ๆ จ เปน็ ต้นไม้จ ต้ งเปน็ กร ฟเชื่ มโยง แล ไมม่ ี ฎจกร

ตั อย่างที่ 1 จง ่ กร ฟในข้ ใดเป็นต้นไม้

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

ธิ ที า จ กบทนิย มข งต้นไม้ จ ได้ ่
(1) ไม่เป็นต้นไม้เพร มี ฎจกร
(2) ไมเ่ ปน็ ตน้ ไม้ เพร ่ ไม่เป็นกร ฟเชื่ มโยง แล มี ฎจกร
(3) เป็นต้นไม้ เพร ่ เป็นกร ฟเช่ื มโยง แล ไมม่ ี ฎจกร
(4) เปน็ ตน้ ไม้ เพร ่ เปน็ กร ฟเช่ื มโยง แล ไมม่ ี ฎจกร
(5) เปน็ ตน้ ไม้ เพร ่ เปน็ กร ฟเชื่ มโยง แล ไมม่ ี ฎจกร
(6) ไมเ่ ป็นตน้ ไม้ เพร ่ มี ฎจกร

ข้อ ังเกต
1. ต้นไมไ้ ม่มีเ ้นเช่ือมขนานและไมม่ ี ง น
2. ตน้ ไมท้ ม่ี ีจุดยอด n จดุ จะมเี ้นเชือ่ ม n – 1 เ น้ เ มอ

เ ก รปร ก บก รเรียน เร่ื ง ทฤ ฎีกร ฟเบื้ งต้น ชิ คณิต ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 55

16. กราฟยอ่ ย การแทนกราฟด้ ยเมทริกซ์ กราฟ ม ณั ฐาน และต้นไมแ้ ผ่ท่ั

บทนิยาม กร ฟย่ ย ( Subgraph ) ข งกร ฟ G คื กร ฟท่ีปร ก บด้ ยจดุ ย ดแล
เ น้ เช่ื มใน G กล่ คื กร ฟ H เป็นกร ฟย่ ยข งกร ฟ G ถ้ V(H) V(G)
แล E(H) E(G)

ตั อย่างที่ 1 ก้ นดกร ฟ G แล กร ฟ H ดงรูป

B C BC
A D A H:
G: F
E FD

จงแ ดง ่ กร ฟ H เป็นกร ฟย่ ยข ง G

ิธที า กร ฟ H เป็นกร ฟย่ ยข งกร ฟ G ถ้ V(H) V(G) แล E(H) E(G)
จ กกร ฟ G จ ได้ V(G) = { A , B , C , D , E , F }
E(G) = { AB , AF , BC , BF , CD , CF , DE , EF }
จ กกร ฟ H จ ได้ V(H) = { A , B , C , D , F }
E(H) = { AF , BC , BF , CD }

จ เ น็ ่ V(H) V(G) แล E(H) E(G)
ดงนน้ กร ฟ H เป็นกร ฟย่ ยข ง G

เ ก รปร ก บก รเรยี น เร่ื ง ทฤ ฎกี ร ฟเบื้ งต้น ชิ คณิต ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 56

ตั อยา่ งที่ 2 กร ฟ H1 , H2 , H3 แล H4 กร ฟใดAเป็นกร ฟย่ ยข ง G
EB

DC

A G
EB A

EB E B EB

DC DC DC DC
H1 H2 H3 H4

ิธที า จ กกร ฟ G มี V(G) = { A , B , C , D , E } แล E(G) = { AB , AC , BC , BD , BE , CD , DE }
จ กกร ฟ H1 มี V(H1) = { A , B , C , D , E } แล E(H1) = { AE , BE , BD , CD }

จ ได้ ่ V(H1) V(G) แล E(H1) E(G) , นน่ คื H1 เปน็ กร ฟย่ ยข ง G
จ กกร ฟ H2 มี V(H1) = { A , B , C , D , E } แล E(H2) = { AB , BC , BE , DE }

จ ได้ ่ V(H2) V(G) แล E(H2) E(G) , น่นคื H2 เปน็ กร ฟย่ ยข ง G
จ กกร ฟ H3 มี V(H3) = { B , C , D , E } แล E(H3) =

จ ได้ ่ V(H3) V(G) แล E(H3) E(G) , น่นคื H3 เปน็ กร ฟย่ ยข ง G
จ กกร ฟ H1 มี V(H1) = { B , C , D , E } แล E(H4) = { BC , BE , CD , CE }

จ ได้ ่ V(H4) V(G) แล E(H4) E(G) , นน่ คื H4 ไมเ่ ปน็ กร ฟย่ ยข ง G

เ ก รปร ก บก รเรยี น เร่ื ง ทฤ ฎีกร ฟเบื้ งต้น ิช คณิต ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 57

การแทนกราฟด้ ยเมทรกิ ซ์

ก รแทนกร ฟด้ ยเมทริกซเ์ ป็นก รแทนกร ฟ โดยน้ เ จุดย ดทง้ มดในกร ฟม ก้ นดเป็นช่ื
แถ แล ช่ื ลกในเมทรกิ ซ์ แล้ ก้ นดค่ ลงในเมทรกิ ซโ์ ดยพจิ รณ จ กเ ้นเชื่ มข งแต่ล จุดย ด

1. การแทนกราฟด้ ยเมทริกซ์ประชิด ถ้ G เป็นกร ฟทม่ี จี ุดย ด n จุด เมทริกซท์ ีไ่ ด้ก็จ มีขน ด n n
1.1 การแทนกราฟเชิงเดยี ด้ ยเมทริกซ์ประชิด ก รก้ นดค่ ถ้ จดุ ย ดในแถ มีเ ้นเชื่ มไปยง
ลกตรงต้ แ นง่ น้นใ ้ก้ นดค่ เปน็ 1 แต่ถ้ จดุ ย ดในแถ ไมม่ เี ้นเช่ื มไปยงจดุ ย ดใน ลก
ตรงต้ แ นง่ นน้ ใ ก้ ้ นดค่ เปน็ 0

ตั อยา่ ง การแทนกราฟเชิงเดยี ด้ ยเมทรกิ ซป์ ระชดิ

1.2 การแทนกราฟ ลายเชิงด้ ยเมทริกซป์ ระชิด ก รก้ นดค่ ถ้ จุดย ดในแถ ใดมีจ้ น น
เ ้นเช่ื มไปยง ลกใดจ้ น นก่ีเ น้ ตรงต้ แ นง่ น้นใ ้ร บคุ ่ ต มจ้ น นเ น้ เชื่ มนน้ แต่ถ้
จุดย ดในแถ ไม่มีเ ้นเช่ื มไปยงจุดย ดใน ลก ตรงต้ แ นง่ นน้ ใ ก้ ้ นดค่ เปน็ 0

ตั อยา่ ง การแทนกราฟเชงิ เดยี ด้ ยเมทริกซ์ประชิด B
E
A

A B C DE C

A 01200 D
B 10013
C 20010
D 01111
E 03011

E

เ ก รปร ก บก รเรยี น เร่ื ง ทฤ ฎกี ร ฟเบ้ื งตน้ ิช คณติ ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 58

2. การแทนกราฟด้ ยเมทริกซต์ กกระทบ เปน็ ก ร ค ม มพนธ์ร ่ งจดุ ย ดในกร ฟกบเ น้ เชื่ ม
ทเ่ี ช่ื ม ยกู่ บจุดย ดนน้ ก รก้ นดค่ ถ้ จุดย ดในแถ ใดมีค ม มพนธก์ บเ น้ เชื่ มใน ลกใด
ตรงต้ แ น่งนน้ กจ็ มีค่ เปน็ 1 แต่ถ้ จดุ ย ดในแถ ใดไมม่ ีค ม มพนธก์ บเ น้ เช่ื มใน ลกใด ตรง
ต้ แ นง่ น้นใ ก้ ้ นดค่ เป็น 0

ตั อย่าง การแทนกราฟเชิงเดีย ด้ ยเมทรกิ ซต์ กกระทบ

กราฟ ม ณั ฐาน

บทนิยาม G1 = (V1 , E1) แล G2 = (V2 , E2) เป็นกร ฟไม่ร บุทิ ท ง ฟังก์ชน f: V1 V2
จ ถูกเรยี ก ่ ม ณั ฐานกราฟ (graph isomorphism) ถ้
1. f เปน็ ฟงั กช์ น นงึ่ ต่ นึง่ แล ท่ ถึง
2. ้ รบทกุ a, b ∈ V1 , {a, b} ∈ E1 เมื่ แล ต่ เมื่ { f( a), f(b )} ∈ E2
เมื่ ฟังก์ชนดงกล่ มีจริง เร จ เรียก G1 แล G2 ่ กร ฟ ม ณฐ น
(Isomorphic graphs)

จุดที่ ดคล้ งกบ ม ณฐ นกร ฟจ ต้ งรก ค มปร ชดิ รื ีกนย นงึ่ ก็คื โครง ร้ งข ง
กร ฟถกู รก ไ ้
จ กรปู บน เร จ ร้ งฟงั ก์ชน f เพื่ ง่ จุดบนกร ฟ G ไปยง H โดย

f(a) = w f(b) = x f(c) = y f(d) = z
จ พบ ่ f เป็นฟังกช์ น นึง่ ต่ นงึ่ แล ท่ ถงึ น กจ กน้ี ด้ นใด ๆ ในกร ฟ G ({u,v} ∈ E(G))
แล้ เร พบ ่ มดี ้ น {f(u), f(v)} ∈ E(H) ดงน้นกร ฟ G แล H เป็นกร ฟ ม ณฐ นกน

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎีกร ฟเบ้ื งตน้ ิช คณิต ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 59

ตั อยา่ ง ในรปู ต่ ไปน้ี เร มีกร ฟ G แล H ซ่ึงแต่ล กร ฟมจี ดุ 10 จดุ จง ่ กร ฟทง้ งนี้
มี ม ณฐ นกน รื ไม่

เมื่ เร พิจ รณ ค ม ดคล้ งกนข งจดุ จ กก ร งเกต เร ได้ ่ i→z การรกั าค ามประชดิ ไ ้
a → q c→u e→r g → x j→s เพยี งพอท่ีจะรัก า
b→v d → y f → w h→t โครง รา้ งทั้ง มด รอื ไม่

จ รก ค มปร ชดิ ไ ้ ต ย่ งเช่น {f ,h} ∈ E(G) เร พบ {w,t} ∈ E(H)

ม ัณฐานจะตอ้ งรกั าค ามประชดิ และรกั าโครง รา้ งยอ่ ยของกราฟ เช่น ิถแี ละ ัฏจกั รไ ้

ใ ก้ ร ฟ G มีด้ น {a, f }, {f ,i}, {i,d}, {d,e} แล {e,a} ก่ ใ เ้ กดิ ฏจกรค มย 5

ดงน้น เร ต้ งรก ิง่ นไ้ี ้ โดยพิจ รณ ด้ นที่ ดคล้ งกนในกร ฟ H นน่ คื {q,w}, {w, z}, {z, y},

{y,r} แล {r,q} ซงึ่ กก็ ่ ใ ้เกดิ ฏจกรค มย 5 เช่นกน (ค มเปน็ ไปได้ ่ืนในก รรก

คุณ มบตทิ งโครง ร้ งนี้ คื ด้ นใน ฏจกร y →r →s →t →u → y )

น กจ กนี้ ก รเริ่มจ กจดุ a ข งกร ฟ G เร พบ ถิ ที ่ผี ่ นจุดต่ งๆเพยี งครง้ เดยี ซ่งึ กค็ ื

a → f → h → c →b → g → j → e → d →i ้ รบกร ฟที่มี ม ณฐ นก็จ ต้ งมี ถิ ที ่ี

ดคล้ งเชน่ เดีย กน เร พบ ่ ในกร ฟ H มี ิถี q →w→t →u →v→ x →s →r →y → z

ที่ค่กู น

ขอ้ ังเกต
กร ฟ G1 แล G2 เปน็ กร ฟ ม ณฐ นกนก็ต่ เม่ื ก รเรยี งล้ ดบข งจดุ แล ด้ น ท้ ใ เ้ มตรกิ ซ์

ปร ชดิ แล เมตริกซต์ กกร ทบข งกร ฟ งชุดนี้เ มื นกน
โดยตร จ บ ่
1. มดี ้ น (เ น้ เชื่ ม) เท่ กน รื ไม่
2. มีจดุ เท่ กน รื ไม่
3. มดี กี รแี ตล่ จุดย ดเม่ื เปรยี บเทยี บร ่ งกร ฟ งรูปเท่ กน รื ไม่
4. เมตริกซป์ ร ชิดร ่ งกร ฟ งรูปเท่ กน รื ไม่ (โดยก รเปรียบเทยี บร ่ งจุดท่ี มนยกน)

เ ก รปร ก บก รเรียน เร่ื ง ทฤ ฎีกร ฟเบื้ งตน้ ิช คณติ ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 60

ต้นไม้แผท่ ั่

บทนยิ าม ต้นไม้แผท่ ่ ( spannimg tree ) คื ต้นไม้ซึ่งเปน็ กร ฟย่ ยข งกร ฟเชื่ มโยง G
ท่ีบรรจุจดุ ย ดทกุ จุดข ง G

ตั อย่างท่ี 3 ก้ นดกร ฟ G ดงรูป จง ตน้ ไม้แผ่ท่ ข ง G

G: A B

DC
ธิ ที า จ กบทนนิ มข งตน้ ไม้แผ่ท่ ม รถเขียนกร ฟท่เี ป็นต้นไม้แผ่ท่ ข ง G ได้ดงนี้

A BA B A BA B

D CD C D C D C

A BA B A BA B

D CD C DC D C

ตั อยา่ งท่ี 4 ก้ นดกร ฟดงรปู H จงเขียนต้นไม้แผ่ท่ ม 3 แบบ
C

BD

AG F E C
ธิ ีทา จ กบทนยิ มข งต้นไม้แผท่ ่ จ ไดต้ ้นไม้แผ่ท่ ข ง H ดงนี้

C

BD BD

AG F E AG FE

ข้อ งั เกต ต้นไม้แผท่ ่ั ของกราฟเชอื่ มโยงอาจมีมากก ่า นึ่งแบบ

เ ก รปร ก บก รเรยี น เร่ื ง ทฤ ฎีกร ฟเบื้ งต้น ิช คณติ ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 64

17. ต้นไมแ้ ผท่ ั่ ทนี่ ้อยท่ี ดุ

บทนยิ าม ตน้ ไม้แผท่ ่ ที่น้ ยที่ ุด ( minimal spanning tree ) คื ต้นไม้แผ่ท่ ทม่ี ีผลร ม
ข งค่ น้ นกข งแต่ล เ น้ เชื่ มน้ ยท่ี ุด

จ กบทนยิ ม ต้นไมแ้ ผท่ ่ ทีน่ ้ ยท่ี ุด ได้โดยก ร ผลร มข งค่ น้ นกข งแต่ล เ น้ เชื่ มในต้นไม้แผ่
ท่ ทีม่ ีค่ น้ ยท่ี ุด

ตั อย่างท่ี 1 ก้ นดกร ฟถ่ งน้ นกดงรปู จง ต้นไม้แผ่ท่ ที่น้ ยที่ ดุ

A

1 2D
B 1

1C

ิธีทา ตน้ ไมแ้ ผท่ ่ ข งกร ฟที่ก้ นดใ ้ท้ง มด ดงนี้

H1: A D ผลร มค่ น้ นกข งเ น้ เชื่ มทง้ มดข ง H1 เท่ กบ 1 + 1 + 1 = 3
ผลร มค่ น้ นกข งเ ้นเชื่ มทง้ มดข ง H2 เท่ กบ 1 + 2 + 1 = 4
11 ผลร มค่ น้ นกข งเ น้ เช่ื มท้ง มดข ง H3 เท่ กบ 1 + 2 + 1 = 4
B 1C

H2: A D

1 21
B C

H3 A D

21
B1 C

ดงั นนั้ กราฟ H1 เป็นต้นไมแ้ ผ่ทั่ ที่นอ้ ยท่ี ุด

เ ก รปร ก บก รเรยี น เรื่ ง ทฤ ฎกี ร ฟเบ้ื งตน้ ิช คณติ ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 65

ตั อยา่ งท่ี 2 ก้ นดกร ฟถ่ งน้ นกดงรปู จง ต้นไม้แผ่ท่ ทนี่ ้ ยที่ ดุ

5 B 6C

A 8 4 3 7
F

4 5 D
E 8
ิธีทา

ขน้ั ที่ 1 เลื กเ ้นเช่ื มทม่ี ีน้ นกน้ ยที่ ดุ ในที่นี้ คื DF มีน้ นกเท่ กบ 3

5 B 6C

A 8 4 3 7
F

4 5 D
E 8

ข้ันท่ี 2 เลื กเ ้นเชื่ มที่มนี ้ นกน้ ยที่ ุดจ กเ น้ เชื่ มทเ่ี ลื แล ไม่ท้ ใ ้เกิด ฎจกรในที่น้ี คื

เ ้นเช่ื ม AE แล BF ซึ่งมคี ่ น้ นกเท่ กบ 4 จ เ น็ ่ เ ้นเช่ื ม DF , AE แล BF ไมเ่ ป็น ฎจกร
B 6C
5
4 7
A 8 F 3

4 5 D
E 8

ขน้ ต นต่ ๆ ไป ท้ เช่นเดีย กบขน้ ต นที่ 2 จนกร ทง่ ได้ตน้ ไมแ้ ผ่ท่

ข้นั ที่ 3 เลื กเ ้นเชื่ มทม่ี นี ้ นกน้ ยที่ ดุ ในที่นคี้ ื มนี ้ นกเท่ กบ 5 โดยเลื กเ ้นเช่ื ม AB รื FE

เ ้นใดเ ้น น่ึง เพร ถ้ เลื กทง้ งเ น้ จ ท้ ใ ้เกดิ ฎจกร ในที่นเ้ี ลื ก AB

B 6C

5 8 4 7
F
A 3

4 5 D
E 8

ขั้นท่ี 4 เลื กเ ้นเชื่ มที่มีน้ นกเท่ กบ 6 ในท่ีน้คี ื เ ้นเชื่ ม BC
B 6C

A 5 4F 3 7
8

4 5 D
E 8

จ กข้นท่ี 1 ถึง ข้นท่ี 4 จ ได้ต้นไมแ้ ผ่ท่ ที่น้ ยที่ ุด แล ผลร มค่ น้ นกข งตน้ ไม้แผ่ท่ ทีน่ ้ ย

ท่ี ุด คื 3 + 4 + 4 + 5 + 6 = 22 จ ได้รูป B 6 C

5 4
A F3
D
4

E

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎีกร ฟเบื้ งต้น ชิ คณติ ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 66

ตั อย่างท่ี 3 บริ ทรบเ ม ติดตง้ โทร พท์แ ่ง นงึ่ ต้ งก ร ง ยโทร พท์เชื่ มร ่ ง มู่บ้ น A , B ,
C , D , E แล F โดยจ ง ยไปต มถนน ค่ ใชจ้ ่ ยในก ร ง ยโทร พทข์ น้ึ ย่กู บค มย ข ง

ยโทร พท์ บริ ทนี้จ ง ยโทร พท์ ย่ งไรใ เ้ ยี ค่ ใช้จ่ ยน้ ยที่ ุด เมื่ ก้ นดต ร งแ ดงร ย ท ง
( กิโลเมตร ) ข งถนนเช่ื มร ่ ง มบู่ ้ นดงน้ี

มบู่ ้ น A B C D E F
A - 30 - - - 40
B 30 - 10 - 50 20
C - 10 - 20 30 -
D - - 20 - 10 20
E - 50 30 10 - 60
F 40 20 - 20 60 -

ธิ ีทา แปลงปัญ ข้ งตน้ เป็นกร ฟถ่ งน้ นกโดยใช้ จุดย ดแทน ม่บู ้ น เ น้ เชื่ มแทนถนน แล ค่
น้ นกข งเ ้นเชื่ มคื ร ย ท งร ่ ง มบู่ ้ น ดงรปู

B 10 C

30 20 30 20
A 50 D

40 20 10

F 60 E

เนื่ งจ กตน้ ไมแ้ ผ่ท่ ข งกร ฟจ ปร ก บด้ ยจุดย ดทกุ จดุ ข งกร ฟ แล มี ิถีร ่ งทุก ๆ คู่ข ง

จดุ ย ดในต้นไม้ ดงนน้ ค้ ต บข งปัญ น้ี คื ก ร ต้นไม้แผ่ท่ ที่น้ ยที่ ุดข งกร ฟ

เ ก รปร ก บก รเรยี น เรื่ ง ทฤ ฎกี ร ฟเบ้ื งตน้ ิช คณิต ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 67

พิจ รณ ขน้ ต นในแตล่ ขน้ ข งเ ้นท่ีเลื ก

ข้นั ท่ี 1 เลื กเ น้ เชื่ มทม่ี ีน้ นกน้ ยท่ี ุด ในทนี่ ี้ คื เ ้นเชื่ ม BC แล DE มีน้ นกเท่ กบ 10

B 10 C

30 20 30 20
A 50 D

40 20 10

F 60 E

ข้นั ที่ 2 เลื กเ ้นเช่ื มท่ีมนี ้ นกน้ ยท่ี ดุ จ กเ ้นเชื่ มท่ีเ ลื แล ไมท่ ้ ใ ้เกิด ฎจกร ในทีน่ ี้ คื เ ้น

เช่ื ม CD , DF แล BF ซึ่งมคี ่ น้ นกเท่ กบ 20 โดยเลื กเ น้ เช่ื ม CD , DF แล BF พร้ มกนทง้ มเ น้

ไม่ได้ เพร จ ท้ ใ เ้ กดิ ฎจกร ในที่นเี้ ลื กเ ้นเชื่ ม CD แล DF

B 10 C

30 20 30 20
A 50 D

40 20 10

F 60 E

ข้นต นต่ ๆไปท้ เชน่ เดยี กบข้นต นท่ี 2 จนกร ทง่ ได้ตน้ ไม้แผท่ ่

ขน้ั ท่ี 3 เลื กเ น้ เชื่ มทม่ี ีน้ นกน้ ยที่ ุด ในทนี่ ้คี ื น้ นกเท่ กบ 30 โดยเลื กจ กเ ้นเชื่ ม CE แล AB

จ เ ็น ่ ถ้ เลื กเ น้ เชื่ ม CE จ ท้ ใ ้เกิด ฎจกรจงึ ไมเ่ ลื ก จ เลื กเ ้นเช่ื ม AB

B 10 C

30 20 30 20
A 50
D
40 20 10

F 60 E

จ กขน้ ท่ี 1 ถงึ ข้นท่ี 3 จ ได้ต้นไมแ้ ผ่ท่ ท่นี ้ ยท่ี ุด แล ผลร มค่ น้ นกข งเ ้นเชื่ มเท่ กบ

10 + 10 + 20 + 20 + 30 = 90 ดงนน้ บริ ทรบเ ม แ ่งน้ีต้ ง ง ยโทร พท์ต มถนนดงรูปข้ งล่ ง

จงึ จ เ ยี ค่ ใช้จ่ ยน้ ยท่ี ุด B 10 C

30 20
A
20 D
F 10

E

เ ก รปร ก บก รเรยี น เรื่ ง ทฤ ฎกี ร ฟเบื้ งต้น ชิ คณติ ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 68

การประยุกต์ของทฤษฎกี ราฟทเี่ กย่ี วข้องกบั ต้นไม้

มมติ ่ เร ต้ งก ร ร้ งถนนเช่ื มต่ ร ่ งเมื งต่ ง ๆ โดยท่ีทร บค่ ใช้จ่ ยในก รก่ ร้ งถนนท่ี
เช่ื มเมื ง 2 เมื งใด ๆ ปญั ทีเ่ กิดขึ้นคื เร ค ร ร้ งถนนเชื่ มร ่ งเมื งใดบ้ ง เพื่ ใ ้เมื ง 2 เมื งใด ๆ

ม รถติดต่ กนได้ท งรถยนต์ แล เ ียค่ ใช้จ่ ยในก รก่ ร้ งน้ ยท่ี ุด จ กปัญ ดงกล่ เร จ ร้ ง
กร ฟทม่ี ีน้ นกท่ี มนยกบปัญ นี้ได้ โดยใ เ้ มื งแต่ล เมื งแทนด้ ยจุดย ด ถนนแทนด้ ย เ น้ เชื่ ม
แล ค่ ใช้จ่ ยในก รก่ ร้ งถนนแทนค่ น้ นกข งเ ้นเชื่ ม ค้ ต บข งปัญ นี้คื ก ร บกร ฟแผ่
ท่ ที่เปน็ กร ฟเชื่ มโยงแล มีค่ น้ นกน้ ยท่ี ดุ ขน้ ต น ิธใี นก ร กร ฟแผ่ท่ ท่ีเปน็ กร ฟเช่ื มโยงแล มี
ค่ น้ นกน้ ยท่ี ุดมี ยู่ด้ ยกน ล ย ิธี แต่ในที่น้ีเร จ กล่ 2 ิธีเท่ น้น คื ิธีข ง ครู ก ล์
(Kruskal) แล ข้นต น ิธีข งพริม (Prim) ในบรรด ข้นต น ธิ ีเ ล่ นี้ ข้นต น ิธีข งครู ก ล์ จด ่ เป็น
ขน้ ต น ิธที ่มี ชี ่ื เ ียงม กที่ ุด

ขน้ั ตอน ิธขี องครู กา ล์ (Kruskal’s algorithm)

แน คิดข งข้นต น ิธีข งครู ก ล์ คื ก รเลื กเ ้นท่ีมีน้ นกน้ ยท่ี ุดจ กกร ฟเช่ื มโยงถ่ ง
น้ นก ตดิ ต่ กนไปเพื่ ร้ งกร ฟเช่ื มถ่ งน้ นก แล ก รเลื กเ ้นดงกล่ ต้ งไม่ก่ ใ ้เกิด ฎจกร ก ร
เลื กนจ้ี ้ิน ดุ ลงเม่ื ไดต้ น้ ไม้แผท่ ่

ตั อยา่ ง จง กร ฟแผท่ ่ ท่ีเปน็ กร ฟเชื่ มโยงแล มีค่ น้ นกน้ ยที่ ดุ ข งกร ฟที่ก้ นดใ ้โดย
ใชข้ ้นต น ิธีข งครู ก ล์

ธิ ที า เร จ ใชเ้ ้น น บ่งถึงเ ้นข งกร ฟแผ่ท่ ท่เี ป็นกร ฟเช่ื มโยงแล มคี ่ น้ นกน้ ยท่ี ดุ

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎีกร ฟเบื้ งตน้ ิช คณิต ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 69

เราจะเ ็น า่ ค่าน้า นักของแผท่ ่ั ท่ีเปน็ กราฟเชอ่ื มโยงมคี ่าเท่ากบั 8

มายเ ตุ กร ฟแผ่ท่ ทเ่ี ป็นกร ฟเชื่ มโยงแล มีค่ น้ นกน้ ยที่ ุดข งแต่ล กร ฟ จมไี ด้
ม กก ่ 1 แบบ

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎกี ร ฟเบ้ื งตน้ ชิ คณติ ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 70

ขั้นตอน ิธขี องพริม(Prim’s algorithm)

แน คิดข้นต นข งพริม คื ก รแทนต้นไม้ T ท่ีมี ยู่ในก รเช่ื มโยงท่ีมีน้ นกด้ ยต้นไม้ นใ ม่ที่
เกิดจ กก รเพิ่มเ ้นท่ีมีน้ นกน้ ยที่ ุดลงไปใน T โดยที่เ ้นๆ น้ีเป็นเ ้นเช่ื มจุดที่ ยู่ใน T กบจุดที่ไม่ ยู่
ใน T

ตั อย่าง จง กร ฟแผท่ ่ ทเี่ ปน็ กร ฟเชื่ มโยงแล มีค่ น้ นกน้ ยท่ี ุดข งกร ฟท่กี ้ นดใ ้ โดย
ใช้ขน้ ต น ิธีข งพริม

ธิ ีทา เร จ ใชเ้ ้น น บง่ ถงึ เ น้ ข งกร ฟแผ่ท่ ท่เี ปน็ กร ฟเชื่ มโยงแล มคี ่ น้ นกน้ ยท่ี ุด

เ ก รปร ก บก รเรยี น เร่ื ง ทฤ ฎกี ร ฟเบ้ื งตน้ ชิ คณติ ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 71

เราจะเ ็น า่ คา่ น้า นักของแผ่ท่ั ที่เปน็ กราฟเชอ่ื มโยงมีค่าเทา่ กับ 8

เ ก รปร ก บก รเรยี น เรื่ ง ทฤ ฎกี ร ฟเบื้ งตน้ ชิ คณิต ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 74

18. ถิ ีออยเลอร์

ตั อย่างท่ี 1 จ กกร ฟทก่ี ้ นดใ ้ จง ถิ ี ยเล ร์ย เท่ กบ 3 แล ิถี ยเล รย์ เท่ กบ 4
CD

F

BE
A

ถิ ี ยเล รย์ เท่ กบ 3 คื A , E , D , C รื A , F , C , D รื E , F , C , D
รื B, C, D, E รื B, C, F, A รื D, C, F, E เปน็ ต้น

ิถี ยเล ร์ย เท่ กบ 4 คื A, B , C , D , E รื A , F , E , D , C รื A , E , D , C , B
รื E , F , C , B , A รื F , C , B , A , E เป็นตน้

ตั อยา่ งที่ 2 จ กกร ฟทก่ี ้ นดใ ้ จง ถิ ี ยเล ร์ย เท่ กบ 3 จ ก A – D แล
ถิ ี ยเล รย์ เท่ กบ 4 จ ก B – E

B

AC

ED

ิถี ยเล ร์ย เท่ กบ 3 จ ก A – D คื A , B , C , D รื A , C , E , D รื A , E , C , D
ถิ ี ยเล รย์ เท่ กบ 4 จ ก B – E คื B , A , C , D , E รื B , C , A , D , C

รื B , C , D , A , E

ตั อย่างท่ี 3 จ กกร ฟทีก่ ้ นดใ ้ จง ถิ ี ยเล ร์ย เท่ กบ 3 จ ก B – E แล
ถิ ี ยเล ร์ย เท่ กบ 4 จ ก C – A
AB

C

ED
ิถี ยเล ร์ย เท่ กบ 3 จ ก B – E คื B , A , D , E รื B , C , D , E รื B , D , A , E
ถิ ี ยเล รย์ เท่ กบ 4 จ ก C – A คื C , B , D , E , A รื C , D , B , E , A

รื C , B , E , D , A รื C , D , E , B , A

เ ก รปร ก บก รเรียน เร่ื ง ทฤ ฎีกร ฟเบื้ งต้น ิช คณิต ตร์1 ร ิช ค30101 ม. 4 76

19. งจรออยเลอร์

บทนิยาม งจร ( circuit ) คื แน เดนิ ท่เี น้ เช่ื มท้ง มดแตกต่ งกน โดยมจี ดุ ย ดเรม่ิ ต้น
แล จดุ ุดท้ ยเปน็ จดุ เดยี กน

ตั อย่างท่ี 1 จงเขียน งจรจ้ น น 4 งจร จ กกร ฟทก่ี ้ นดใ ต้ ่ ไปนี้
B

AC

ED

ธิ ที า จ กบทนิย ม ม รถเขยี น งจรจ กกร ฟได้ดงน้ี

งจรท่ี 1 A , B , C , D , A
งจรที่ 2 E , C , B , A , E

งจรท่ี 3 D,E,A,B,C,D
งจรท่ี 4 C,B,A,D,C
งจรออยเลอร์

บทนยิ าม งจร ยเล ร์ ( Euler circuit ) คื งจรที่ผ่ นจุดย ดทุกจุด แล เ น้ เชื่ มทกุ เ ้นข ง
ตั กอรย่าฟงที่ 2 จง งจร ยเล ร์จ กกร ฟทกี่ ้ นดใ ้

bd

a ce

ิธที า g f
ขนั้ ตอนการ า งจรออยเลอร์

1. เร่มิ ต้นด้ ย งจรเลก็ ๆ เช่น e , c , d , e
2. ใน งจร C1 เลื กจดุ ย ดท่ีเชื่ มต่ กบจุดย ด ่ืน โดยใช้ด้ นท่นี กเ นื จ ก งจร C1 แล ร้ ง
งจรใ ม่ จ กน้นน้ ไปแทรกใน งจรเดมิ เช่น ในที่นมี้ จี ดุ c ที่เช่ื มต่ กบจุดย ด ื่นด้ ยด้ นน ก งจร แล้
ร้ ง งจร C 2 : c , f , g , a , b , c จ กน้นน้ งจร C 2 ม แทรกใน C1 ในต้ แ น่งข งจดุ c ซึ่งจ ได้
งจรท่ขี ย ยใ ญข่ ึน้ น้นคื e , c , f , g , a , b , c , d , e

เ ก รปร ก บก รเรยี น เร่ื ง ทฤ ฎกี ร ฟเบื้ งตน้ ชิ คณติ ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 77

3. ท้ เชน่ เดยี กบข้ ท่ี 2 จนด้ นถูกใช้ทกุ ด้ นเพียงคร้งเดยี กจ็ ได้ งจร ยเล ร์ข งกร ฟท่ี
ต้ งก ร ซ่งึ เขยี นเป็นแผนภ พแ ดงก ร งจร ยเล ร์ไดด้ งน้ี

C1 : e , c , d , e

C 2 : c , f , g , a , b , c เม่ื ร มกนจ ได้ e , c , f , g , a , b , c , d , e
ดังน้นั จ ได้ ่ งจร ยเล ร์ คื e , c , f , g , a , b , c , d , e
ตั อย่างที่ 3 ก้ นดกร ฟดงรูป จง งจร bยเล ร์ d

a ce

ิธีทา g f
C1 : e , c , d , e

C 2 : c , f , a , g , c เม่ื ร มกนจ ได้ e , c , f , a , g , c , d , e

C 3 : c , b , a , c เม่ื ร มกนจ ได้ e , c , b , a , c , f , a , g , c , d , e

C 4 : b , g , f , b เมื่ ร มกนจ ได้ e , c , b , g , f b , a , c , f , a , g , c , d , e
ดังนั้น งจร ยเล ร์ คื e , c , b , g , f b , a , c , f , a , g , c , d , e

ตั อยา่ งที่ 4 จ กกร ฟทกี่ ้ นดใ ้ จง งจร ยเล ร์ม 3 งจร
AB

FC

ED
ธิ ที า จ กบทนิย มข ง งจร ยเล ร์ ม รถเขียน งจร ยเล รจ์ กกร ฟได้ดงนี้

C1 : A , B , C , A

C2: B, D, A,E ,B เมื่ ร มกนจ ได้ A , B , D , A , E , B , C , A

C 3 : A , E , F , A เม่ื ร มกนจ ได้ A , B , D , A , E , F , A , E , B , C , A
ดังนั้น งจร ยเล ร์ คื A , B , D , A , E , F , A , E , B , C , A

เ ก รปร ก บก รเรียน เรื่ ง ทฤ ฎกี ร ฟเบ้ื งตน้ ชิ คณติ ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 78

รอื C1 : A , E , F , A

C 2 : E , B , D , A , E เม่ื ร มกนจ ได้ A , E , B , D , A , E , F , A

C 3 : B , C , A , B เมื่ ร มกนจ ได้ A , E , B , C , A , B , D , A , E , F , A
ดังนั้น งจร ยเล ร์ คื A , E , B , C , A , B , D , A , E , F , A
รื C1 : B , C , A , B

C 2 : A , E , F , A เมื่ ร มกนจ ได้ B , C , A , E , F , A , B

C 3 : E , B , D , A , E เมื่ ร มกนจ ได้ B , C , A , E , B , D , A , E , F , A , B
ดังน้ัน งจร ยเล ร์ คื B , C , A , E , B , D , A , E , F , A , B

จากบทนิยามของ งจรออยเลอร์และตั อยา่ งท่ี 4 พอจะ รุป มบัตขิ อง งจรออยเลอรไ์ ด้ดังน้ี

มบตั ิของ งจรออยเลอร์ มีดังนี้
1. แน เดินผ่านเ ้นเชอื่ มทุกเ น้ ของกราฟ
2. แน เดนิ จะตอ้ งไมผ่ า่ นเ ้นเช่ือมใดเกิน นงึ่ คร้ัง
3. มีจดุ เรมิ่ ตน้ และจุด ิ้น ดุ เปน็ จุดเดยี กนั

เ ก รปร ก บก รเรยี น เร่ื ง ทฤ ฎีกร ฟเบ้ื งตน้ ชิ คณติ ตร์1 ร ชิ ค30101 ม. 4 80

20. กราฟออยเลอร์

บทนยิ าม กร ฟทม่ี ี งจร ยเล ร์ เรยี ก ่ กร ฟ ยเล ร์ ( Eulerian graph )

จ กบทนยิ ม กร ฟ ยเล รจ์ เปน็ กร ฟเช่ื มโยงเ ม เพร ่ ถ้ u แล v เป็นจดุ ย ด งจุด
ทแ่ี ตกต่ งกนบนกร ฟ ยเล ร์แล้ ่ นข ง งจร ยเล ร์ทเี่ ชื่ ม u แล v จ เป็นแน เดนิ u – v

ตั อย่างท่ี 1 จงพิจ รณ ่ กร ฟ G เปน็ กร ฟ ยเล ร์ รื ไม่
BC

A D
G: E

F

ธิ ที า เน่ื งจ กกร ฟ G มีแน เดิน A , B , C , D , E , C , E , F , B , F , A เป็น งจร ยเล ร์

ดงั นัน้ กร ฟ G จงึ เปน็ กร ฟ ยเล ร์

ตั อยา่ งท่ี 2 จงพิจ รณ ่ กร ฟ H เปน็ กร ฟ ยเล ร์ รื ไม่
BC

H: A GH D

FE
ิธีทา จ กบทนยิ มข งกร ฟ ยเล ร์ ไม่มแี น เดนิ ใดในกร ฟ H เปน็ งจร ยเล ร์

ดังนนั้ กร ฟ H จึงไมเ่ ป็นกร ฟ ยเล ร์

ในก รตร จ บ ่ กร ฟใด ๆ จ เปน็ กร ฟ ยเล ร์ รื ไม่นน้ น กจ กตร จ บด้ ย
งจร ยเล ร์แล้ ยงมี ิธีก รตร จ บ กี โดยใชท้ ฤ ฎบี ท 3 ด้ ย

ทฤ ฎีบท 3 ก้ นดใ ้ G เปน็ กร ฟเช่ื มโยง
G จ เป็นกร ฟ ยเล ร์ ก็ต่ เม่ื จดุ ย ดทุกจุดข ง G เป็นจุดย ดคู่