METODE PERAMBATAN RALAT PENGUKURAN PERHITUNGAN

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

METODE PERAMBATAN RALAT

PENGUKURAN BERDASARKAN PERHITUNGAN

Pada pembahasan bab yang lalu ,kita telah meyakini bahwa setiap
pengukuran selalu menghasilkan nilai yang mengandung ralat; kita telah mengenal
jenis dan sumber-sumber yang menyebabkan timbulnya ralat; juga telah
mengetahui bagaimana cara menentukan nilai ralat dengan berbagai model
pengukuran yang dilakukan. Yang telah kita bicarakan di depan, semuanya
menyangkut persoalan besaran obyek yang dapat diamati (diukur) secara langsung.

Bagaimana jika besaran-besaran obyek tidak dapat diamati (diukur) secara
langsung ? Misalnya pengamatan gravitasi bumi dengan eksperimen ayunan
matematis dengan rumus pendekatan teorinya adalah :

g= L

Besaran panjang tali bandul (L) dapat diukur langsung dengan alat ukur panjang,
(T) besaran waktu periode ayunan yang dapat diukur langsung dengan alat ukur
waktu, tetapi kita tidak dapat langsung mengukur besaran (g) karena tidak ada alat
ukurnya. Dengan demikian untuk menentukan besaran (g) melalui pengukuran
besaran (L) dan (T); dengan kata lain penentuan (g) melalui perambatan dari
besaran yang terukur langsung. Proses analisa semacam ini dinamakan proses
perambatan.

Nilai ralatnya juga melalui proses perambatan ralat, yaitu dihitung dengan
merambatkan nilai ralat dari masing-masing besaran yang terukur secara langsung
dengan alat ukur. Dalam contoh kasus kita diatas, nilai ralat (g) dirambatkan
terhadap nilai ralat (L) dan nilai ralat (T).

1|FATHIAH ALATAS

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

Dalam konteks persamaan matematik dapat dikatakan bahwa :

g = f ( L, T ) ; f = fungsi

Bagaimana cara perambatan dilakukan, dan seperti apa pengaruh dari keterkaitan
(korelasi) antar variabel dalam kontribusi ralat perambatannya, hal ini akan
diuraikan pada bab berikut.

III.1. Teori Perambatan

Misalkan besaran fisis ( V ) merupakan besaran yang nilainya bergantung dari
besaran-besaran variable ( x ); ( y ); ( z ); ( t ) ; dan seterusnya. Dalam bahasa
matematik dapat ditulis bahwa :

V = f ( x,y,z,t,… ) dengan f = fungsi

Karena variable (x); (y); (z); dan (t) merupakan variabel yang dapat diamati secara
langsung dengan alat ukur, berarti nilai dari masing-masing besaran tersebut
adalah:

x = ̅ ± ∆x ; y = ̅ ± ∆y

z = ̅ ± ∆z ; dan t = ̅ ± ∆t

Nilai besaran ( V ) dinyatakan sebagai :

V = ̅ ± ∆V ; dan ̅ = f( ̅, ̅ ̅ ̅ )

Deviasi dari besaran-V yaitu ( ∆V ) juga dapat dinyatakan dalam persamaan :

∆V = f(x,y,z,t,…) – f( ̅ ± ∆x; ̅ ± ∆y; ̅ ± ∆z; ̅ ± ∆t )

Persamaan terakhir ini merupakan persamaan perambatan yang cukup rumit
dalam penyelesaian matematiknya, namun kalau kita ambil logika tentang ralat
pengukuran kita dapat menyatakan bahwa ∆V adalah sebuah ralat pengukuran
tidak langsung dari besaran V. Selanjutnya dengan ketekunan kita dalam olah
rumusan matematik akan diperoleh rumusan penyelesaian untuk ralat perambatan.

2|FATHIAH ALATAS

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

III.2. Rumus-rumus Ralat Perambatan
Bila ralat besaran ( V ) yaitu (∆V) didekati dengan nilai deviasi standar ( SV );

didapat penyelesaian sebagai berikut :
a. Bila besaran ( V ) hanya bergantung variable tunggal ( x )

SV = | | ; dengan ( ) merupakan deferensial parsial dari V = f (x,y,z,t)

b. Bila besaran ( V ) bergantung dari dua variable misal ( x, y )

SV = √( )( ) ( )( )

Dengan : ρxy = faktor korelasi antara besaran (x) dan (y), yang dirumuskan
sebagai;

ρxy = ) ∑

(

nilai faktor korelasi (yang sering disebut sebagai faktor kegayutan dalam
perambatan ralatnya) akan berkisar antara : nol (0) dan (±1) yang mengandung
pengertian sebagai berikut:

Faktor korelasi : ( = 0 ), Berarti antara variable x dan y tidak saling ber-korelasi
dengan kata lain pengaruhnya terhadap ralat besaran V tidak ada ke-gayutan ( tak
gayut / saling bebas ). Hal ini akan memberikan penyelesaian rumus
perambatannya :

SV = √( )( )

Faktor korelasi : ( = ±1 ), Berarti antara variable x dan y ber-korelasi penuh
dengan kata lain pengaruhnya terhadap ralat besaran V tidak ber-gayutan (gayut
atau saling terikat ). Hal ini akan memberikan penyelesaian rumus perambatannya :

SV = | | ||

3|FATHIAH ALATAS

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

c. Bila besaran V bergantung dari banyak variable pengukuran ( x, y, z, t, … );
maka secara umum rumus ralat perambatan SV adalah :

RUMUS TAK-GAYUT ( SALING BEBAS )

SV = √( ) ( )( )( )

RUMUS BER-GAYUT ( SALING TERIKAT )

SV = | | | | | | | |

III.3. Ralat Gayut dan tak-Gayut

Dalam praktek dapat dikondisikan apakah analisa yang digunakan gayut atau
tak-gayut , hal ini dapat diatasi dengan metode pengukuran yang dilakukan oleh
pengamat. Namun secara umum rumus perambatan ralat untuk variable-variabel
bebas yang memeliki ralat secara rambang, mayoritas pengamat menggunakan
rumusan “ tak-gayut”. Pengertian rumus “gayut” juga diperlukan untuk analisa yang
bersifat teoritik.

a. RALAT GAYUT :
Apabila dalam eksperimen yang kita lakukan tidak dapat menghindari adanya

korelasi antara variable satu dengan lainnya, seperti misalnya : pengukuran
Volume benda berbentuk balok dengan dimensi V( x; y; z ). Pengukuran besaran-
besaran tersebut menggunakan alat yang sama, dengan cara mengamatinya
juga sama, dalam tempo yang sama; dilakukan oleh pengamat yang sama; dsb.
Hal ini sangat mungkin kontribusi ralat dari masing-masing variable ( x; y; z ) akan
memberikan korelasi penuh terhadap ralat besaran volume (V) tsb. Kasus yang
sangat khusus ini; diperbolehkan pengamat menggunakan rumus perambatan ralat
ber-gayut.

4|FATHIAH ALATAS

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

RUMUS UMUM RALAT BER-GAYUT

V = f ( X, Y, Z )
X ; Y; DAN Z MERUPAKAN BESARAN VARIABEL SEJENIS YANG

TERKORELASI (GAYUT); DENGAN NILAI MASING-MASING :

X = ̅ ± ∆X ; Y = ̅ ± ∆Y DAN Z = ̅ ± ∆Z

V = ̅ ± ∆V | | ∆Z
∆V = | | ∆X | | ∆Y



| | = ( ) ; | | = ( ) ; DAN | | = ( )

̅ = f ( ̅ ̅ ̅ )

b. RALAT TAK-GAYUT ( tidak terkorelasi )

Sedangkan bila fungsi besaran V yang bergantung dengan besaran variabel
(x,y,z), namun besaran variable yang terukur langsung saling bebas antara satu
dengan lainnya maka ralat dari besaran (V) merupakan ralat perambatan yang “tak-
gayut” atau tidak ada korelasi sama sekali antara ralat X; ralat Y maupun ralat Z.

Sebagai contoh riil ; misalnya eksperimen yang menentukan nilai percepatan
gravitasi bumi dengan rumusan eksperimen :

g= L

Pengukuran panjang tali ( L ) digunakan alat ukur panjang, dan pengukuran
periode ayunan ( T ) dengan alat ukur waktu. Kita mengetahui bahwa hasil ukur
kedua besaran tidak saling mempengaruhi, dapat dikatakan saling bebas. Alasan
yang dapat diajukan misalnya kedua besaran tersebut diukur dengan alat yang
berbeda, disamping memang keduanya tidak sejenis, hal ini akan memberikan nilai

5|FATHIAH ALATAS

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

ralat masing-masing besaran yang saling bebas. Akibatnya ralat dari besaran
gravitasi (g) merupakan kasus ralat perambatan yang saling bebas atau “tak-gayut”.

RUMUS UMUM RALAT TAK-GAYUT

V = f ( X, Y, Z )

X ; Y; DAN Z ,MERUPAKAN BESARAN VARIABEL YANG SALING
BEBAS ; DENGAN NILAI MASING-MASING :

X = ̅X ± ∆X ; Y = ̅ ± ∆Y DAN Z = ̅ ± ∆Z
V = ̅ ± ∆V

∆V = √( ∆X) ( ∆Y) ( ∆Z)

Z

= ( ) ; = ( ) ; DAN = ( )

̅ = f ( ̅ ̅ ̅ )

III.4. Rumus-rumus Khusus
Bila kita cermati rumus-rumus model perambatan selalu mengandung

operator deferensial parsial, sehingga diperlukan ketelitian tinggi dalam analisa
disamping ketrampilan matematik tentang deferensial. Untuk antisipasi bagi
pengamat yang kurang trampil dalam olah matematik, maka diturunkan rumus-
rumus khusus dalam menghitung ralat perambatan sebagai berikut :

Rumus khusus yang dimaksud misalnya menyangkut persamaan–persamaan
tentang fungsi penjumlahan; pengurangan; perkalian; pembagian; pangkat;
eksponesial; dan lainnya.
a. RUMUS PENJUMLAHAN-PENGURANGAN

Misal : V = aX ± bY dengan : a ; b = konstanta
Rumus perambatan ralat dari besaran V menjadi :

6|FATHIAH ALATAS

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

= √( ) ( ) ; untuk : X dan Y saling bebas ( tak-gayut )

SV = a Sx + b Sy ; untuk : X dan Y gayut ( terkorelasi )

b. RUMUS PERKALIAN-PEMBAGIAN
Misal : V = a X Y atau V = a ( ) ;dengan ( a ) = konstanta
Rumus perambatan ralat dari besaran V menjadi :

= √( ) ( ) ; untuk : X dan Y saling bebas ( tak-gayut )

=+ ; untuk : X dan Y gayut ( terkorelasi )

c. RUMUS FUNGSI PANGKAT
Misal : V = a X±b ; a dan b merupakan konstanta.
Rumus perambatan ralat dari besaran V adalah :

= ()

d. RUMUS FUNGSI EKSPONENSIAL
Misal : V = a e±bX ; a dan b merupakan konstanta.
Rumus perambatan ralat dari besaran V adalah :

= ()

e. RUMUS FUNGSI LOGARITMA
Misal : V = a ln ( ±b X ) ; a dan b merupakan konstanta.

7|FATHIAH ALATAS

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

Rumus perambatan ralat dari besaran V adalah:
= ()

SOAL-SOAL LATIHAN :

1. Dalam sebuah eksperimen untuk mengetahui penyimpangan sudut momentum,
mahasiswa memperoleh hasil :

L (awal ) L’ (akhir) (L – L’)
3,0 ± 0,3 2,7 ± 0,6
7,4 ± 0,5 8,0 ± 1
14,3 ± 1 16,5 ± 1

8|FATHIAH ALATAS

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

25 ± 2 24 ± 2

32 ± 2 31 ± 2

37 ± 2 41 ± 2

Tabel menunjukkan momentum awal dan momentum akhir, tentukan selisih

(L–L’) dan ketidakpastiannya. Apakah hasil tersebut sesuai dengan

penyimpangan dari sudut momentum ?

2. Jika sebuah batu dilemparkan keatas dengan kecepatan( v), maka batu tersebut
akan naik setinggi (h), yang memenuhi persamaan : v2 = 2gh. Dengan kata lain,
(v2) seharusnya sebanding dengan (h). untuk menguji hal ini, mahasiswa
mengukur (v2) dan (h) untuk 7 kali lemparan dengan hasil sebagai berikut :

(h) dalam meter (V2) dalam (m2/s2)
( semuanya ralatnya ± 0,05 )

0,4 7 ± 3

0,8 17 ± 3

1,4 25 ± 3

2,0 38 ± 4

2,6 45 ± 5

3,4 62 ± 5

3,8 72 ± 6

a. Buat grafiknya. Apakah grafik yang Anda buat konsisten dengan

pernyataan bahwa (v2) lurus terhadap (h )?

b. Apakah hasil Anda konsisten terhadap nilai : 2g = 19,6 m/s2 ? g=gravitasi
bumi.

3. Untuk mengukur akselerasi dari sebuah kendaraan, mahasiswa mangukur
kecapatan awal dan akhir dari kendaraan tersebut (vi dan vf), dan menghitung
perbedaannya (vf –vi). Percobaan dilakukan 2 kali. Semua hasil mempunyai
ketidakpastian pengukuran sebesar 1 %. Hasil dapat dilihat di tabel berikut :

vi ( cm/s ) vf ( cm/s )

Percobaan pertama 14,0 18,0

9|FATHIAH ALATAS

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

Percobaan kedua 19,0 19,6

a. Hitung ketidakpastian absolut dari semua pengukuran !

b. Hitung prosentase ketidakpastian untuk setiap ( vi – vf ) ?

4. 2 orang mahasiswa diperintahkan untuk mengukur tingkat emisi dari
partikel-α dari sampel radioaktif tertentu. mahasiswa A menghitung selama 2
menit dan mendapatkan 32 partikel-α. Mahasiswa B menghitung selama 1
jam dan mendapatkan 786 partikel-α (tingkat emisi diasumsikan konstan
selama pengukuran ).

a. Hitung ketidakpastian dari hasil yang didapatkan mahasiswa A ?

b. Hitung ketidakpastian dari hasil yang didaparkan mahasiswa B ?

c. Hitung emisi partikel per menitnya. Berapa hasil dan
ketidakpastiannya?

5. Dengan aturan yang ada, hitunglah hasilnya :

a. ( 5 ± 1 ) + ( 8 ± 2 ) – ( 10 ± 4 )

b. ( 5 ± 1 ) x ( 8 ± 2 )

c. ( 10 ± 1 ) / ( 20 ± 2 )

d. 2π( 10 ± 1 )

6. Seorang mahasiswa melakukan pengukuran dengan hasil sebagai berikut :
a = (5 ± 1) cm
b = (18 ± 2) cm
c = (12 ± 1) cm
t = (3,0 ± 0,5) detik

10 | F A T H I A H A L A T A S

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

m =( 18 ± 1) gram

dengan menggunakan aturan yang ada, hitung nilai dari persamaan berikut ,
sajikan masing-masing dengan model ralat mutlak dan ralat relatifnya .

a. (a + b + c) c. (4a) e. (ct)

b. (a + b – c) d. (b/2) f. (mb/t)

7. Seorang pengunjung dari sebuah istana abad pertengahan memutuskan
untuk mengukur kedalaman sebuah sumur dengan menjatuhkan sebuah batu
dan mengukur waktu jatuhnya. Hasil yang didapatkan adalah : t = (3,0 ± 0,5)
detik. Apa yang bisa dia simpulkan tentang kedalaman sumur tersebut ?

8. Derivatif parsial (∂q/∂x) dari : q(x,y) didapatkan dari hasil diferensiasi dari
(q) fungsi ( x) dengan (y) konstan. Tuliskan derivative parsial (∂q/∂x) dan
(∂q/∂y) dari ketiga fungsi berikut :

a. q(x,y) = x + y

b. q(x,y) = xy dan c. q(x,y) = x2 y3

catatan: pada nomor soal 2.d., angka 2 dan π merupakan tetapan yang tepat
(dianggap tidak mempunyai ralat).

11 | F A T H I A H A L A T A S