METODE PERAMBATAN RALAT PENGUKURAN

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

Kesalahan Eksperimen dan
Ketidakpastian

Tidak ada besaaran fisika yang dapat diukur
dengan kepastian yang sempurna, selalu ada kesalahan
dalam pengukuran apapun. Ini berarti bahwa jika kita
mengukur suatu besaran dan, kemudian mengulangi
pengukuran, terkadang akan mendapatkan nilai ukur
yang berbeda untuk kedua kalinya. Bagaimana,
dapatkah kita mengetahui nilai "benar" dari besaran
fisika yang kita ukur? Jawaban singkatnya adalah kita
tidak bisa. Namun, karena kami lebih berhati-hati
dalam pengukuran dan menerapkan eksperimental
dengan metode yang baik,, ini dapat mengurangi
kesalahan, dengan demikian, kita dapat meyakini yang
bahwa pengukuran mendekati nilai sebenarnya.

Analisis kesalahan (error analysis) adalah studi
tentang ketidakpastian dalam pengukuran fisika, dan
secara lengkap menjelaskan analisis kesalahan akan
membutuhkan lebih banyak waktu. Namun, dengan

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 1

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

meluangkan waktu untuk mempelajari beberapa
prinsip dasar analisis kesalahan, kita dapat:
1) Memahami bagaimana mengukur kesalahan

eksperimental,
2) Memahami jenis dan sumber kesalahan

eksperimental,
3) pengolahan hasil pengukuran dengan jelas dan

benar serta ketidakpastian di dalamnya
pengukuran
4) Rancang metode dan teknik eksperimental dan
tingkatkan keterampilan pengukuran dan
meminimalkan kesalahan eksperimental.

Akurasi dan Presisi

Dalam melakukan suatu pengukuran, untuk
memastikan hasil ukuran yang didapatkan baik atau
tidak digunakan istilah akurasi dan presisi. Kesalahan
eksperimen (experimental error) adalah perbedaan
antara nilai pengukuran dan nilai sebenarnya atau
antara dua nilai yang diukur. Kesalahan eksperimen itu

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 2

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

sendiri diukur dengan keakuratan (accuracy) dan
ketepatannya (precision).

Akurasi adalah seberapa dekat nilai yang diukur
dengan nilai sebenarnya. Karena nilai sebenarnya
untuk besaran fisika mungkin tidak diketahui,
terkadang tidak mungkin untuk menentukan
keakuratan pengukuran. Nilai sebenarnya dari suatu
pengukuran tidak pernah dapat ditentukan, sehingga
akurasi selalu tidak diketahui.

Presisi adalah seberapa dekat pengukuran dua
atau lebih dengan yang lain. Presisi kadang-kadang
disebut sebagai "pengulangan" atau "keterulangan".
Suatu pengukuran yang sangat berulang cenderung
memberikan nilai yang sangat dekat satu sama lain.
Presisi adalah tingkat konsistensi dari pengamatan
yang ditentukan dari besarnya perbedaan dalam nilai
data yang dihasilkan. Presisi sangat ditentukan oleh
kestabilan kondisi pengamatan, kualitas alat,
kemampuan dari pengamat, dan prosedur

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 3

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

pengamatan. Perbedaan akurasi dan presisi dapat
dilihat pada ilustrasi pada Gambar 1.

Gambar 1 akurasi dan presisi

Jenis dan Sumber Kesalahan Eksperimen

Kita akan membahas tipe-tipe ralat dan sumber
yang menyebabkan adanya ralat tersebut. Ralat atau
ketidakpastian selalu muncul dalam sebuah
pengukuran. Ralat ini muncul baik karena
keterbatasan alat ukur, yang berpengaruh pada presisi
dan akurasi alat, atau juga karena kondisi lingkungan
pengukuran yang kurang mendukung: misalnya
pengamat yang melakukan pengukuran dalam keadaan

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 4

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

kelelahan sehingga berakibat kurang tepatnya
pembacaan, kadang pengamat lupa membagi
diameternya sebelum menghitung luas lingkaran
dengan rumus L = π r2. Kesalahan seperti itu pasti
signifikan, tetapi kesalahan itu dapat dihilangkan
dengan melakukan percobaan lagi dengan benar di lain
waktu. Sebaliknya, kesalahan eksperimental melekat
dalam proses pengukuran dan tidak dapat dihilangkan
hanya dengan mengulangi eksperimen tidak peduli
seberapa hati-hati. Secara umum faktor-faktor yang
memberi kontribusi pada ralat/ketidakpastian Ada
dua jenis kesalahan eksperimental: kesalahan
sistematis dan kesalahan acak.
Kesalahan sistematis (systematic error)

Kesalahan sistematis adalah kesalahan yang
mempengaruhi keakuratan (accuracy) suatu
pengukuran. Kesalahan sistematis adalah kesalahan
dengan kecenderungan menggeser semua pengukuran
secara sistematis, sehingga nilai rata-rata secara
konstan bergeser atau bervariasi dan dapat diprediksi

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 5

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

perubahannya serta dapat dikoreksi. Apabila hasil
pengukuran memiliki nilai akurasi yang rendah, maka
kemungkinan besar terdapat kesalahan sistematis
pada alat pengukuran. Sehingga diperlukan kalibrasi
pada alat tersebut. Kesalahan sistematis merupakan
kesalahan-kesalahan yang sebabnya dapat
diidentifikasi dan secara prinsip dapat dieliminasi.
Kesalahan sistematis tidak dapat dengan mudah
dianalisis dengan analisis statistik. Kesalahan
sistematis mungkin sulit untuk dideteksi, tetapi setelah
terdeteksi dapat dikurangi hanya dengan
menyempurnakan metode pengukuran atau teknik.

Sumber umum kesalahan sistematis adalah
kesalahan kalibrasi alat ukur (kesalahan alat ukur),
alat yang tidak dirawat dengan baik. Untuk mendeteksi
kesalahan sistematis lebih sulit. Metode dan peralatan
harus dianalisis dengan cermat. Asumsi harus
diperiksa. Jika memungkinkan, pengukuran terhadap
besaran fisika yang sama, tetapi dengan metode yang
berbeda, dapat mengungkapkan adanya kesalahan

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 6

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

sistematis. Kesalahan sistematis mungkin khusus
untuk pelaku eksperimen. Melakukan pengukuran
yang diulang oleh berbagai peneliti akan menguji hal
ini. Kesalahan sistematis dapat dikurangi dengan
melakukan percobaan dengan hati-hati dan
mengulangi percobaan dengan menggunakan
instrumen yang berbeda. Beberapa sumber ralat
sistematis antara lain adalah:

1. Ralat Kalibrasi
Ralat ini berkaitan erat dengan kalibrasi alat ukur

yang tidak benar saat dilakukan pengukuran. Misalnya
jarum penunjuk alat ukur tidak pada titik nol saat alat
tidak digunakan. Ralat jenis ini dapat dihilangkan
dengan melakukan kalibrasi yang baik. Sebuah
kalibrasi dapat menggunakan langkah-langkah yakni
hasil ukur alat dibandingkan dengan referensi
(standar), yang ada standar internasional. Bila ini tidak
ada, hasil ukur dibandingkan dengan hasil ukur alat
ukur lain yang dianggap lebih teliti. Bila ini tidak dapat

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 7

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

dilakukan juga maka, hasil ukur dapat dibandingkan
dengan hasil lain yang dapat digunakan sebagai acuan
misalnya hasil perhitungan secara teoretik.
2. Sifat non-linier alat ukur.

Jika alat ukur bekerja berdasarkan prinsip
linearitas, maka efek nonlinearitas akan sangat
berpengaruh.
3. Respons waktu alat ukur.

Bila alat ukur tidak memiliki respon yang baik
maka hasil ukur dipengaruhi ralat sistematis ini.
Artinya waktu yang diperlukan untuk merespon tidak
selaras dengan hasil baca alat ukur.
4. Malfungsi alat.

Bila alat tidak bekerja dengan baik maka dapat
memberi kontribusi adanya ralat sistematis. Malfungsi
ini dapat disebabkan oleh alat yang sudah lelah
(fatique), misalnya pada pegas yang digunakan pada
jarum penunjuk yang telah lama digunakan sehingga
menjadi lembek, serta adanya efek gesekan antar

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 8

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

komponen-konponen alat sehingga alat tidak lagi
bekerja dengan baik.

Contoh kesalahan sistematik dimana alat yang
diguanakan tidak sempurna dalam bentuk struktur
mekanik artinya alat tidak dirawat dengan baik dapat
dilihat pada Gambar 3 berikut.

Gambar 3 menggambarkan bahwa panjang benda
yang diukur tidak benar-benar 20cm, karena nilai nol
pada alat ukur tidak terdeteksi atau hilang ketika
digunakan dalam pengukuran.

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 9

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

Kesalahan Acak (Random Error)
Kesalahan acak adalah kesalahan yang

mempengaruhi presisi suatu pengukuran. Gangguan
yang tidak pasti terjadi dalam percobaan dikenal
dengan kesalahan acak. Jenis kesalahan seperti ini
tetap ada dalam percobaan bahkan setelah
penghapusan kesalahan sistematis. Nilai besaran fisis
yang diukur bervariasi di sekitar nilai benar, menjadi
lebih kecil atau lebih besar dari nilai benar tersebut.
Artinya jika Anda melakukan pengukuran pada waktu
dan tempat yang berbeda, pembacaan hasil ukur pada
alat memperlihatkan lebih besar atau lebih kecil di
sekitar nilai benar tersebut. Oleh karena itu besarnya
ralat ini biasanya cukup kecil. Ralat tipe ini dapat
dikurangi pengaruhnya (bukan dihilangkan) dengan
melakukan pengukuran secara berulang-ulang
beberapa kali, sehingga kita dapat memperoleh rata-
rata hasil pengukuran. Kesalahan acak muncul dari
variasi kondisi yang tidak diketahui dan tidak dapat
diprediksi. Ralat acak umumnya bernilai kecil dan

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 10

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

tidak dapat diperkirakan secara tepat berapa nilainya
saat pengukuran dilakukan.

Kesalahan acak mudah dianalisis dengan analisis
statistik. Kesalahan acak dapat dengan mudah
dideteksi, tetapi dapat dikurangi dengan mengulangi
pengukuran atau dengan menyempurnakan metode
atau teknik pengukuran. Untuk mengidentifikasi
kesalahan acak, pengukuran harus diulangi beberapa
kali. Jika nilai yang diamati berubah secara acak
dengan setiap pengukuran berulang, maka
kemungkinan ada kesalahan acak. Sumber umum
kesalahan acak adalah masalah memperkirakan
kuantitas yang terletak di antara garis-garis (garis)
pada instrumen dan ketidakmampuan membaca
instrumen karena bacaan berfluktuasi selama
pengukuran. Adanya kesalahan acak ditentukan hanya
jika pembacaan yang berbeda diperoleh untuk
pengukuran kuantitas yang sama dalam kondisi yang
sama. Contoh dari ralat acak adalah karena sebab
beberapa hal berikut.

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 11

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

1. Adanya noise dalam rangkaian listrik, sehingga
hasil ukur menjadi variatif. Noise ini muncul
misalnya efek suhu pada komponen alat.

2. Cara pengamatan yang salah. Misalkan Anda
bersama beberapa mahasiswa yang lain berdiri di
depan alat ukur lalu masing-masing diminta
pendapatnya akan nilai besaran fisis yang sedang
diukur. Karena faktor paralaks (posisi melihat
tidak berada tepat di depan alat ukur), maka setiap
mahasiswa akan mempunyai sudut pandang
tertentu pada saat pembacaan, yang secara
keseluruhan dalam kelompok menghasilkan ralat
acak ini, karena nilai yang dilaporkan tidak sama
satu sama lain. Parallax error adalah kesalahan
dalam membaca suatu instrumen karena mata
pengamat dan penunjuk tidak berada dalam garis
tegak lurus bidang skala. Contoh kesalahan acak
pada Gambar2 berikut ini.

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 12

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

Gambar 2 kesalahan dalam membaca posisi
melihat tidak berada tepat di depan alat ukur
(https://www.youtube.com/watch?v=z2QfeoiN7fg

&feature=youtu.be)
3. Kondisi lingkungan pengukuran yang tidak

mendukung. Misalnya alat ukur sangat sensitif
terhadap perubahan panas lingkungan, maka dapat
memunculkan ralat ini, karena menyebabkan nilai
baca bervariasi.
4. Efek latar pada pengukuran peluruhan radioaktif,
maka efek latar berupa radiasi kosmik dapat
menyebabkan pencacahan yang dilakukan alat
pencacah bukan harga yang sebenarnya.

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 13

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

Kesalahan acak terjadi karena adanya gangguan di
sekitarnya seperti variasi suhu, tekanan atau karena
pengamat yang salah membaca. Kesalahan sistematis
muncul karena struktur mekanis peralatan.
Penghapusan total dari kedua kesalahan tidak
mungkin dilakukan.

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 14

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

PENGOLAHAN HASIL PENGUKURAN

Dalam sebuah eksperimen di mana tujuan
pokoknya adalah melakukan pengukuran-pengukuran
untuk memperoleh data, tentu saja langkah berikutnya
setelah data tersebut diperoleh adalah mengerjakan
pengolahan data. Pada tahap pengolahan data hasil
pengukuran ini, dilakukan perhitungan-perhitungan
yang melibatkan proses reduksi data (data reduction).
Reduksi data di sini artinya dari banyak data yang
diperoleh lewat pengukuran Anda barangkali hanya
memerlukan beberapa data akhir saja yang diperoleh
melalui suatu perhitungan/rumus misalnya. Kemudian
untuk dapat melaksanakan reduksi data dengan baik
maka saudara harus memperhatikan ketidakpastian
dari masing-masing variabel fisis yang terlibat (data),
memperhatikan apakah perhitungan-perhitungan yang
dilakukan sudah memenuhi kaidah-kaidah angka
penting (significant figure), serta bagaimana

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 15

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

ketidakpastian masing-masing variabel fisis
diperhitungkan (perambatan ralat).

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 16

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

METODE PENENTUAN RALAT
PENGUKURAN

1. Pengukuran Tunggal dan Taksiran Ralatnya

Dalam ilmu pengukuran, hasil yang baik dapat
dicapai apabila pegukuran dilakukan berulang-ulang
namun tetap memberikan nilai ukur yang konsisten.
Hal ini kadang-kadang sulit dicapai dalam praktek
pengukuran yang riil, karena ketidak sempurnaan
obyek maupun kendala alat, dan lainnya sehingga
kadang pada kasus tertentu kita tidak dapat
melakukan pengukuran berulang. Khusus pada
pengukuran yang hanya dapat dilakukan sekali (tidak
bisa diulang) atau data tunggal, nilai ralat pengukuran
boleh ditaksir (diperkirakan) oleh pengamat, dengan
mempertimbangkan keadaan skala alat yang
digunakan. Kita sadar bahwa nilai taksiran sangat
subyektif terhadap siapa yang menaksir, namun harus
di-ingat bahwa pengamat yang boleh memberikan
taksiran mempunyai beberapa persyaratan yang

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 17

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

terkait dengan kepakaran pada ilmu tentang
pengukuran, paling tidak harus mempunyai “common
sense”yang tinggi dalam pengukuran.

Dalam hal ini, keadaan alat yang dimaksud adalah
keadaan skala pada alat tersebut, kasar dan halusnya
skala pada alat akan menentukan besar dan kecilnya
ralat penaksiran. Jarak terdekat dari dua goresan skala
pada alat yang menentukan halus dan kasarnya alat
ukur. Batas pengelihatan normal mata kita dapat
melihat dengan jelas sekitar (1mm); sehingga rata-rata
alat ukur ditampilkan dengan skala terkecilnya 1mm.
Mayoritas para ahli menyepakati bahwa dengan skala
terkecil 1mm, diperbolehkan mengambil nilai taksiran
dengan setengahnya, namun bila skala terkecil lebih
besar atau lebih kecil dari 1mm, maka nilai taksiran
tidak harus setengahnya (bisa 1 skala, atau bahkan ¼
skala) bergantung kasus yang dihadapi. Hasil analisa
pengukuran tunggal besaran (x) yaitu nilai terbaik ( ̅)
yang merupakan nilai rata-rata, karena pengukuran

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 18

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

tunggal maka hanya X1, sedangkan ralat pengukuran
(∆X) berupa nilai taksiran atau ralat pengukuran
langsung.

X = ̅ ± ∆X
Upaya pembacaan skala yang ada pada alat ukur
agar memperoleh nilai yang lebih teliti, digunakan
tambahan skala nonius. Adapun fungsi skala nonius
sebagai pembagi skala terkecil alat menjadi bagian
yang lebih kecil yang masih dapat diamati dengan baik.
Pada alat yang ada skala nonius, berarti jarak skala
terkecil alat yang dapat diamati berupa skala-
noniusnya. Jadi pengertian ralat penaksiran juga
berdasar dari kondisi skala noniusnya.

Dalam hal pengukuran tunggal maka nilai benar

(terbaik) adalah hasil ukur tunggal, dan ralatnya

adalah merupakan hasil taksiran pengamat yang

tentunya ada unsur subyektifitas pengamat, namun hal

ini tidak perlu dikawatirkan karena pengamat yang

sudah memiliki pengalaman panjang dengan

peralatannya akan tepat dalam penaksirannya, jadi

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 19

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

tidak sembarang pengamat boleh menaksir kondisi
alat yang digunakan. Sering karena keterbatasan
waktu atau alat ukur, atau kita sudah yakin alat
mempunyai akurasi yang sangat baik, maka kita hanya
melakukan pengukuran sekali saja (pengukuran
tunggal). Jika demikian kita dapat menaksir ralat
berdasarkan ½ skala terkecil alat.

2. Pengukuran Berulang dan Taksiran Ralatnya
Dikatakan pengukuran berulang apabila

pengamatan besaran suatu obyek terjadi pengulangan
pengukuran lebih dari satu kali (minimal 2 kali
pengamatan), yaitu : 2 kali; 3 kali; 4 kali; dan
seterusnya smpai N kali (N = jumlah pengulangan
pengukuran).

a. Khusus untuk N = 2 :
Misalnya dilakukan pengukuran besaran ( X ) diulang 2

kali, dengan hasil pengukuran sebagai berikut:

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 20

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

Pengukuran Hasil
ke-i pengukuran ( Xi

1 )
2
X1

X2

Hasil analisa pengukuran 2 kali yaitu : x1 dan x2 nilai
terbaik ( ̅) yang merupakan nilai rata-rata adalah:
̅ = ½ [ X1 + X2 ] dan ralat pengukuranya (∆X)
adalah:∆X = ½ [ X1 – X2 ], hasil pengukuran dituliskan X
= ̅ ± ∆X.

b. Untuk jumlah pengulangan N ≥ 3 :
Dalam hal ini, secara teori sudah dapat

menggunakan kaidah statistic dengan rumusan deviasi
(Sx); secara lengkap rumus-rumus deviasi akan
dibahas pada sub-bab berikutnya. Namun secara
praktek jumlah pengulangan yang terlalu sedikit akan

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 21

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

menyebabkan nilai ralat yang cukup besar, sehingga
terkadang berapa jumlah yang harus dilakukan
pengulangan tergantung keputusan pengamat (ada
yang cukup dengan 5 kali, 7 kali, 9 kali , dan
seterusnya), namun tetap memperhatikan keadaan
obyek pengamatan. Mayoritas pengamat hampir
merasa cukup dengan pengulangan sekitar 10 kali
pengukuran untuk menggunakan analisa dengan
kaidah statistik (N = 10).

Misalnya ada N buah pengukuran untuk besaran
fisis X1, X2, X3, …,XN, maka rata-rata pengukuran yang
kita anggap hasil ukur terbaik adalah

̅∑

Dimana N adalah jumlah data dan Xi adalah besaran

fisis ke-i.

Nilai ralat pengukuran (∆X) dengan jumlah data

(N) yang sudah memenuhi kaidah statistik, dapat

didekati dengan nilai standard deviasi pada ilmu

statistik. Yang biasa digunakan oleh para pengamat

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 22

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

adalah deviasi yang berupa deviasi standar universal
(ς), artinya jumlah data harus tak berhingga; dan hal
ini tidak mungkin dicapai dalam eksperimen riil., dan
nilai benar (X0) juga mustahil diperoleh. Dengan kajian
teori statistic lanjut, dapat dihasilkan persamaan yang
memenuhi untuk data dengan jumlah tertentu (N kali),
dengan nilai benar (X0) didekati dengan nilai rata-rata
dari jumlah data pengamatan yaitu ( ̅ ); menghasilkan
nilai “deviasi standar-( Sn )” dan “deviasi standar-( Sn-1
)”. Rumus deviasi standar dengan jumlah data (N)
besar :

√∑ – ̅

Rumus deviasi standar dengan jumlah data ( N )
tertentu; tidak terlalu besar(sekitar 10 data)
menggunakan rumus

√∑ – ̅ ; dengan : ̅= nilai rata-rata
jumlah pengukuran

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 23

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 24

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

METODE PERAMBATAN RALAT
(PROPAGATION IN UNCERTAINTIES)

PENGUKURAN BERDASARKAN
PERHITUNGAN

Pada pembahasan bab yang lalu ,kita telah
meyakini bahwa setiap pengukuran selalu
menghasilkan nilai yang mengandung ralat; kita telah
mengenal jenis dan sumber-sumber yang
menyebabkan timbulnya ralat; juga telah mengetahui
bagaimana cara menentukan nilai ralat dengan
berbagai model pengukuran yang dilakukan.
Semuanya menyangkut persoalan besaran obyek yang
dapat diamati (diukur) secara langsung.

Bagaimana jika besaran-besaran obyek tidak
dapat diamati (diukur) secara langsung ? Misalnya
pengamatan gravitasi bumi dengan eksperimen
ayunan matematis dengan rumus pendekatan teorinya
adalah :

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 25

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

g= L

Besaran panjang tali bandul (L) dapat diukur langsung
dengan alat ukur panjang, (T) besaran waktu periode
ayunan yang dapat diukur langsung dengan alat ukur
waktu, tetapi kita tidak dapat langsung mengukur
besaran (g) karena tidak ada alat ukurnya. Dengan
demikian untuk menentukan besaran (g) melalui
pengukuran besaran (L) dan (T); dengan kata lain
penentuan (g) melalui perambatan dari besaran yang
terukur langsung. Proses analisa semacam ini
dinamakan proses perambatan.

Nilai ralatnya juga melalui proses perambatan
ralat, yaitu dihitung dengan merambatkan nilai ralat
dari masing-masing besaran yang terukur secara
langsung dengan alat ukur. Dalam contoh kasus kita
diatas, nilai ralat (g) dirambatkan terhadap nilai ralat
(L) dan nilai ralat (T). Dalam konteks persamaan
matematik dapat dikatakan bahwa :

g = f ( L, T ) ; f = fungsi Page 26

FATHIAH ALATAS, M.Si

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

Bagaimana cara perambatan dilakukan, dan seperti
apa pengaruh dari keterkaitan (korelasi) antar
variabel dalam kontribusi ralat perambatannya, hal ini
akan diuraikan pada bab berikut.

1. Teori Perambatan

Misalkan besaran fisis (V) merupakan besaran
yang nilainya bergantung dari besaran-besaran
variable (x); (y); (z); (t) ; dan seterusnya. Dalam
bahasa matematik dapat ditulis bahwa :

V = f ( x,y,z,t,… ) dengan f = fungsi

Karena variabel (x); (y); (z); dan (t) merupakan
variabel yang dapat diamati secara langsung dengan
alat ukur, berarti nilai dari masing-masing besaran
tersebut adalah:

x = ̅ ± ∆x ; y = ̅ ± ∆y

z = ̅ ± ∆z ; dan t = ̅ ± ∆t

Nilai besaran (V) dinyatakan sebagai :

V = ̅ ± ∆V ; dan ̅ = f( ̅, ̅ ̅ ̅ ) Page 27

FATHIAH ALATAS, M.Si

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

Deviasi standar dari besaran V yaitu (∆V) juga dapat
dinyatakan dalam persamaan :

∆V = f(x,y,z,t,…) – f( ̅ ± ∆x; ̅ ± ∆y; ̅ ± ∆z; ̅ ± ∆t )

Persamaan terakhir ini merupakan persamaan
perambatan yang cukup rumit dalam penyelesaian
matematiknya, namun kalau kita ambil logika tentang
ralat pengukuran kita dapat menyatakan bahwa ∆V
adalah sebuah ralat pengukuran tidak langsung dari
besaran V.

III.2. Rumus-rumus Ralat Perambatan

Bila ralat besaran (V) yaitu (∆V) didekati dengan
nilai deviasi standar (SV); didapat penyelesaian sebagai
berikut :

a. Bila besaran ( V ) hanya bergantung variable
tunggal (x)

SV = | | | | ; dengan ( ) merupakan
deferensial parsial dari V = f (x)

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 28

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

b. Bila besaran (V) bergantung dari dua variable
misal (x, y)
SV =

√( ) ( ) ( ) ( )

Dengan : ρxy = faktor korelasi antara besaran
(x) dan (y), yang dirumuskan sebagai;

() ∑

nilai faktor korelasi (yang sering disebut sebagai
faktor kegayutan dalam perambatan ralatnya) akan
berkisar antara : nol (0) dan (±1) yang mengandung
pengertian sebagai berikut:

Faktor korelasi : ( = 0 ), Berarti antara variabel x
dan y tidak saling berkorelasi dengan kata lain
pengaruhnya terhadap ralat besaran V tidak ada ke-
gayutan (tak gayut atau saling bebas). Hal ini akan
memberikan penyelesaian rumus perambatannya :

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 29

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

SV = √( )( )

Faktor korelasi : ( = ±1 ), Berarti antara variable x
dan y ber-korelasi penuh dengan kata lain
pengaruhnya terhadap ralat besaran V tidak ber-
gayutan (gayut atau saling terikat ). Hal ini akan
memberikan penyelesaian rumus perambatannya :

SV = | | ||

c. Bila besaran V bergantung dari banyak variable
pengukuran ( x, y, z, t, … ); maka secara umum
rumus ralat perambatan SV adalah :
RUMUS TAK-GAYUT ( SALING BEBAS )
SV =

√( ) ( ) ( ) ( )

RUMUS BER-GAYUT ( SALING TERIKAT )

SV = | | | | | | | |

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 30

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

III.3. Ralat Gayut dan tak-Gayut

Dalam praktek dapat dikondisikan apakah
analisa yang digunakan gayut atau tak-gayut , hal ini
dapat diatasi dengan metode pengukuran yang
dilakukan oleh pengamat. Namun secara umum rumus
perambatan ralat untuk variable-variabel bebas yang
memeliki ralat secara rambang, mayoritas pengamat
menggunakan rumusan “ tak-gayut”. Pengertian rumus
“gayut” juga diperlukan untuk analisa yang bersifat
teoritik.

a. RALAT GAYUT :
Apabila dalam eksperimen yang kita lakukan

tidak dapat menghindari adanya korelasi antara
variable satu dengan lainnya, seperti misalnya :
pengukuran Volume benda berbentuk balok dengan
dimensi V( x; y; z ). Pengukuran besaran-besaran
tersebut menggunakan alat yang sama, dengan
cara mengamatinya juga sama, dalam tempo yang
sama; dilakukan oleh pengamat yang sama; dsb.

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 31

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

Hal ini sangat mungkin kontribusi ralat dari masing-
masing variable ( x; y; z ) akan memberikan korelasi
penuh terhadap ralat besaran volume (V) tsb. Kasus
yang sangat khusus ini; diperbolehkan pengamat
menggunakan rumus perambatan ralat ber-gayut.

RUMUS UMUM RALAT BER-GAYUT

V = f ( X, Y, Z )
X ; Y; DAN Z MERUPAKAN BESARAN
VARIABEL SEJENIS YANG TERKORELASI
(GAYUT); DENGAN NILAI MASING-MASING :

X = ̅ ± ∆X ; Y = ̅ ± ∆Y DAN Z = ̅ ± ∆Z

V = ̅ ± ∆V | | ∆Z
∆V = | | ∆X | | ∆Y



| | ( ) ; | | ( ) ; DAN



| | ( )



̅ = f ( ̅ ̅ ̅ )

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 32

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

b. RALAT TAK-GAYUT ( tidak terkorelasi )

Sedangkan bila fungsi besaran V yang
bergantung dengan besaran variabel (x,y,z), namun
besaran variable yang terukur langsung saling bebas
antara satu dengan lainnya maka ralat dari besaran (V)
merupakan ralat perambatan yang “tak-gayut” atau
tidak ada korelasi sama sekali antara ralat X; ralat Y
maupun ralat Z.

Sebagai contoh riil ; misalnya eksperimen yang
menentukan nilai percepatan gravitasi bumi dengan
rumusan eksperimen :

g= L

Pengukuran panjang tali ( L ) digunakan alat
ukur panjang, dan pengukuran periode ayunan ( T )
dengan alat ukur waktu. Kita mengetahui bahwa hasil
ukur kedua besaran tidak saling mempengaruhi, dapat
dikatakan saling bebas. Alasan yang dapat diajukan
misalnya kedua besaran tersebut diukur dengan alat

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 33

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

yang berbeda, disamping memang keduanya tidak
sejenis, hal ini akan memberikan nilai ralat masing-
masing besaran yang saling bebas. Akibatnya ralat dari
besaran gravitasi (g) merupakan kasus ralat
perambatan yang saling bebas atau “tak-gayut”.

RUMUS UMUM RALAT TAK-GAYUT
V = f ( X, Y, Z )

X ; Y; Dan Z ,Merupakan Besaran Variabel
Yang Saling Bebas ; Dengan Nilai Masing-

Masing :
X = ̅X ± ∆X ; Y = ̅ ± ∆Y DAN Z = ̅ ± ∆Z

V = ̅ ± ∆V

∆V √( ∆X) ( ∆Y) ( ∆Z)

Z

( ) ; ( ) ; DAN


Page 34
III. 4 . Rum u (s - r u m ) us Khusus



̅ = f ( ̅ ̅ ̅ )

FATHIAH ALATAS, M.Si

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

Bila kita cermati rumus-rumus model
perambatan selalu mengandung operator deferensial
parsial, sehingga diperlukan ketelitian tinggi dalam
analisa disamping ketrampilan matematik tentang
deferensial. Untuk antisipasi bagi pengamat yang
kurang trampil dalam olah matematik, maka
diturunkan rumus-rumus khusus dalam menghitung
ralat perambatan.

Misalkan Anda mengukur beberapa besaran a, b,
c,. . .dan selanjutnya, dengan ketidakpastian δa, δb,
δc,…. δN. Sekarang kita ingin menghitung besaran Q
yang bergantung pada a dan b dan seterusnya. berapa
ketidakpastian besaran Q? Jawabannya bisa menjadi
sedikit rumit, tetapi tidak mengherankan jika
ketidakpastian δa, δb, dan lain-lain.

Propagasi atau perambatan merupakan
ketidakpastian Q. Berikut adalah beberapa aturan yang
terkadang Anda perlukan; semua diasumsikan bahwa
besaran a, b, dll. memiliki kesalahan yang tidak

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 35

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

berkorelasi dan acak. (Semua aturan ini bisa
diturunkan dari persamaan Gaussian untuk kesalahan
terdistribusi normal).

1. Aturan Penjumlahan atau pengurangan
Jika Q adalah kombinasi dari jumlah dan

perbedaan, misalnya

()

Kemudian

√( ) ( ) () () () ()

Dengan kata lain, ini berarti bahwa ketidakpastian

bertambah dalam kuadrat Secara khusus, jika

maka

√( ) ( ) (a dan b saling bebas (tak-
gayut)
Contoh 1: Anda mengukur tinggi pintu (H) dan didapat
2,00±0,03 m. Artinya tinggi pintu (H) = 2,00 m dan
ketidakpastiannya δH = 0,03 m. Pintunya memiliki
knop yang tingginya h = 0,88 ± 0,04 m dari bawah
pintu. Maka jarak dari knop pintu ke puncak pintu

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 36

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

adalah Q = H- h = 1,12 m. Berapa ketidakpastian Q?
Menggunakan persamaan diatas

√( ) ( )
√( ) ( )
√√

Hasil pengukuran .

Contoh 2: Jika W= (4,25 ±0,02)cm, X =(2,0 ± 0,2) cm,

Y=(3,0±0,6)cm. tentukan dan tentukan

ketidakpastiannya!

()

∆ |∆ | |∆ | |∆ | | | | | | |

Maka hasil pengukurannya dapat dituliskan sebagai
( ) (X,Y, dan W saling gayut)

Tetapi jika menggunakan

√( ) ( ) ( )

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 37

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

2. Aturan Perkalian dan pembagian

Maka

| | √( ) ( ) () () () ()

Contoh 1: ukuran sebuah persegi panjang adalah
2±0,1 cm dan lebarnya 10±0,5 cm. luas persegi
panjang dapat dituliskan hasil pengukurannya ?

()

| | √( ) ( )

| | √( ) ( )
| | √( ) ( )

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 38

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

Maka hasil pengukurannya dapat dituliskan sebagai

Contoh 2 : burung terbang sejauh

selama . Hitunglah kecepatan

rata-rata burung dan berapa ketidakpastiannya ?

| | √( ) ( )

| | √( )( )

| | √( )( ) √
√

( )( )( )

Maka hasil pengukuran kecepatan dapat dituliskan

sebagai .

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 39

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

Contoh 3, jika W= (4,25 ±0,02)cm, X =(2,0 ± 0,2) cm.

tentukan dan tentukan ketidakpastiannya!

( ) ()

∆∆ ∆

∆

∆ ()

Maka hasil pengukurannya dapat dituliskan sebagai
( ).

3. Fungsi pangkat

Aturan pangkat sebenarnya sama dengan aturan

perkalian, namun karena yang dikalikan adalah

bilangan yang sama maka dengan sederhana dapat

dituliskan

Jika dengan ∆ maka ∆ ∆

Misal

|| | | ∆ | | | ∆ |
| |

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 40

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

Contoh 1 : pengukuran diameter dan tinggi sebuah

silinder masing-masing ( ) dan

( ) . Nilai ketidakpastiannya volume

silinder tersebut adalah ..

Volume silinder adalah , sehingga

prosentase ketidakpastiannya adalah

| | ∆ | | | ∆ |
| |

|| ||

Contoh 2: Jika W= (4,25 ±0,02)cm, A =(2,0 ± 0,2) cm2,

Y=(3,0±0,6)cm. Tentukan nilai dan tentukan
ketidakpastiannya!
√

( )
√

∆ | || | | || | | || |

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 41

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

Kesalahan relatif kedua (∆ )dikalikan dengan 2 karena

pangkat dari y adalah 2.
Kesalahan relatif ketiga (∆ )dikalikan dengan 0,5

karena akar adalah pangkat 1/2.

∆( )

Maka hasil pengukurannya dapat dituliskan sebagai

4. Aturan perkalian dengan konstanta

Jika nilai hasil pengukuran yang mengandung
ketidakpastian relatif dikalikan dengan konstanta
maka ketidakpastian relatif tidak ikut dikalikan.
Tetapi jika hasil pengukuran mengandung
ketidakpastian mutlak maka ketidakpastian harus ikut
dikalikan dengan konstanta.

Jika ∆ maka ∆

Jika ∆ maka k ∆

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 42

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

5. Menggunakan rumus rumit
Terkadang Anda mungkin mengalami rumus yang

lebih rumit dan perlu ketidakpastian rambatan melalui
rumus tersebut. Umumnya aturan di atas, bila
digunakan dalam kombinasi, akan cukup untuk
mengatasi sebagian besar masalah kesalahan
rambatan.

Metode umum untuk mendapatkan rumus untuk
kesalahan rambatan yang melibatkan diferensial total
suatu fungsi. Misalkan z = f (w, x, y, ...) dimana variabel
w, x, y, haruslah variabel independen,

Diferensial total diperoleh

| | || ||

kesalahan rata-rata sederhana

() () ()

standard deviasi

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 43

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

SOAL-SOAL LATIHAN :

1. Dalam sebuah eksperimen untuk mengetahui

penyimpangan sudut momentum, mahasiswa

memperoleh hasil :

L (awal ) L’ (akhir) (L – L’)
awal dan
3,0 ± 0,3 2,7 ± 0,6

7,4 ± 0,5 8,0 ± 1

14,3 ± 1 16,5 ± 1

25 ± 2 24 ± 2

32 ± 2 31 ± 2

37 ± 2 41 ± 2

Tabel menunjukkan momentum

momentum akhir, tentukan selisih (L–L’) dan

ketidakpastiannya. Apakah hasil tersebut sesuai

dengan penyimpangan dari sudut momentum ?

2. Jika sebuah batu dilemparkan keatas dengan
kecepatan( v), maka batu tersebut akan naik
setinggi (h), yang memenuhi persamaan : v2 =
2gh. Dengan kata lain, (v2) seharusnya sebanding
dengan (h). untuk menguji hal ini, mahasiswa

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 44

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

mengukur (v2) dan (h) untuk 7 kali lemparan
dengan hasil sebagai berikut :

(h) dalam meter (V2) dalam (m2/s2)
( semuanya ralatnya ±
0,05 )

0,4 7 ± 3

0,8 17 ± 3

1,4 25 ± 3

2,0 38 ± 4

2,6 45 ± 5

3,4 62 ± 5

3,8 72 ± 6

a. Buat grafiknya. Apakah grafik yang Anda

buat konsisten dengan pernyataan bahwa

(v2) lurus terhadap (h )?

b. Apakah hasil Anda konsisten terhadap nilai :
2g = 19,6 m/s2 ? g=gravitasi bumi ?

3. Untuk mengukur akselerasi dari sebuah
kendaraan, mahasiswa mangukur kecapatan
awal dan akhir dari kendaraan tersebut (vi dan
vf), dan menghitung perbedaannya (vf –vi).
Percobaan dilakukan 2 kali. Semua hasil

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 45

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

mempunyai ketidakpastian pengukuran sebesar
1 %. Hasil dapat dilihat di tabel berikut :

vi ( cm/s ) vf ( cm/s )

Percobaan 14,0 18,0

pertama

Percobaan 19,0 19,6

kedua

a. Hitung ketidakpastian absolut dari semua

pengukuran !

b. Hitung prosentase ketidakpastian untuk
setiap ( vi – vf ) ?

4. 2 orang mahasiswa diperintahkan untuk
mengukur tingkat emisi dari partikel-α dari
sampel radioaktif tertentu. mahasiswa A
menghitung selama 2 menit dan mendapatkan
32 partikel-α. Mahasiswa B menghitung selama
1 jam dan mendapatkan 786 partikel-α (tingkat
emisi diasumsikan konstan selama
pengukuran).

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 46

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

a. Hitung ketidakpastian dari hasil yang
didapatkan mahasiswa A ?

b. Hitung ketidakpastian dari hasil yang
didaparkan mahasiswa B ?

c. Hitung emisi partikel per menitnya.
Berapa hasil dan ketidakpastiannya?

5. Dengan aturan yang ada, hitunglah hasilnya :

a. ( 5 ± 1 ) + ( 8 ± 2 ) – ( 10 ± 4 )

b. ( 5 ± 1 ) x ( 8 ± 2 )

c. ( 10 ± 1 ) / ( 20 ± 2 )

d. 2π( 10 ± 1 )

6. Seorang mahasiswa melakukan pengukuran
dengan hasil sebagai berikut :

a = (5 ± 1) cm

b = (18 ± 2) cm

c = (12 ± 1) cm

t = (3,0 ± 0,5) detik Page 47

FATHIAH ALATAS, M.Si

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

m =( 18 ± 1) gram

dengan menggunakan aturan yang ada, hitung nilai
dari persamaan berikut , sajikan masing-masing
dengan model ralat mutlak dan ralat relatifnya .

a. (a + b + c) c. (4a) e.
(ct)

b. (a + b – c) d. (b/2) f.
(mb/t)

7. Seorang pengunjung dari sebuah istana abad
pertengahan memutuskan untuk mengukur
kedalaman sebuah sumur dengan menjatuhkan
sebuah batu dan mengukur waktu jatuhnya.
Hasil yang didapatkan adalah : t = (3,0 ± 0,5)
detik. Apa yang bisa dia simpulkan tentang
kedalaman sumur tersebut ?

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 48

ALAT UKUR DAN TEKNIK PENGUKURAN 2020

8. Derivatif parsial (∂q/∂x) dari : q(x,y) didapatkan
dari hasil diferensiasi dari (q) fungsi ( x) dengan
(y) konstan. Tuliskan derivative parsial (∂q/∂x)
dan (∂q/∂y) dari ketiga fungsi berikut :
a. q(x,y) = x + y
b. q(x,y) = xy
c. c. q(x,y) = x2 y3

catatan: pada nomor soal 2.d., angka 2 dan π
merupakan tetapan yang tepat (dianggap tidak
mempunyai ralat).

FATHIAH ALATAS, M.Si Page 49