untuk Kelas X SMA/MA/Sederajat MODUL AJAR BARISAN DAN DERET BERBASIS PENALARAN MATEMATIS Rahmat Kusharyadi
Disclaimer: Modul ajar ini disiapkan oleh penulis dalam rangka penelitian tesis yang berjudul “Pengembangan Desain Didaktis Barisan dan Deret Untuk Meningkatkan Kemampuan Penalaran Matematis Siswa”. Modul ini digunakan oleh siswa dalam rangka penelitian. Modul ini telah disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak baik dari dosen, guru, akademisi, dan praktisi pendidikan. Modul ini merupakan dokumen hidup yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhiran sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai pihak dapat melalui alamat surel [email protected] diharapkan dapat meningkatkan kualitas modul ini. Hak Cipta pada Rahmat Kusharyadi. BARISAN DAN DERET Dilindungi Undang-Undang. MODUL AJAR BARISAN DAN DERET BERBASIS PENALARAN MATEMATIS Penulis Rahmat Kusharyadi, S.Pd. Penelaah Prof. Siti Fatimah, S.Pd., M.Si., P.hD. Dr. Kusnandi, M.Si. Editor Muhammad Chairudin, S.Pd., Gr. Muhammad Tareq Ghifari, S.Pd., Gr. Penata Letak (Desainer) Riska Mulyani, S.Pd. Isi modul ini menggunakan huruf Times New Roman, Open Sans, Comic Sans 12/14 pt xii, 40 hlm: 21 29,7 cm
Kata Pengantar BARISAN DAN DERET P uji syukur kehadirat Allah SWT karena atas berkat rahmat-Nya, dan karunia-Nya kami dapat menyelesaikan modul ajar pembelajaran ini tepat pada waktunya. Modul ajar ini dirancang untuik meningkatkan kemampuan penalaran matematis siswa. Soal-soal yang disusun disesuaikan dengan indikator penalaran matematis siswa sehingga siswa terbiasa mengerjakan soal-soal berbasis penalaran. Penyusunan buku ini juga sudah mempertimbangkan learning obstacle siswa yang muncul dalam mengerjakan soal penalaran matematis. Penggunaan modul ini diperuntukkan bagi siswa/i SMA/MA/Sederajat yang membutuhkan soal-soal penalaran khususnya pada materi barisan dan deret. Modul ajar yang disusun sudah menyesuaikan Kurikulum Merdeka yang saat ini sedang diterapkan oleh Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan RI. Capaian belajar pada modul ini khususnya pada materi barisan dan deret sesuai dengan Keputusan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia Nomor 958/P/2020 tentang Capaian Pembelajaran pada Pendidikan Anak Usia Dini, Pendidikan Dasar, dan Pendidikan Menengah. Pada kesempatan ini kami mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan modul ajar ini mulai dari penelaah, editor, penata letak (desainer), reviwer, dan pihak lainnya yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Akhir kata, semoga modul ajar ini dapat bermanfaat untuk meningkatkan kemampuan penalaran matematis siswa khususnya pada materi barisan dan deret. Bandung, 15 Januari 2024 Penulis Rahmat Kusharyadi, S.Pd
Prakata BARISAN DAN DERET P uji syukur kehadirat Allah SWT karena atas berkat rahmat-Nya, dan karunia-Nya dalam menyelesaikan modul ajar ini. Penulisan modul ini disiapkan oleh penulis - dalam rangka penelitian tesis yang berjudul “Pengembangan Desain Didaktis Barisan dan Deret Untuk Meningkatkan Kemampuan Penalaran Matematis Siswa”. Dalam penelitian Desain Didaktis yang dikembangkan oleh Guru Besar Universitas Pendidikan Indonesia (UPI) yaitu Prof. Didi Suryadi, M.Ed, penelitian Desain Didaktis atau DDR (Didactical Design Research) terdiri dari 3 tahap yaitu tahap prospektif, metapedadidaktik, dan retrospektif dan menggunakan 2 paradigma, yaitu interpretif dan kritis. Tahap awal dalam penelitian DDR yaitu tahap prospektif yang menganalisis situasi didaktis yang dilakukan sebelumnya pembelajaran yang wujudnya adalah learning obstacle yang dialami siswa. Temuan learning obstacle yang dialami siswa dijadikan acuan untuk membuat Hyphotetical Learning Trajectory (HLT) atau alur pembelajaran. Hal-hal yang dilakukan pada tahap prospektif merupakan bagian dari paradigma interpretif. Modul ajar ini sudah disesuaikan dengan temuan learning obstacle dan kemampuan penalaran matematis siswa sehingga wujud HLT yang akan dikembangkan oleh penulis mengacu pada sajian modul ini. Modul ini disusun agar learning obstacle siswa dapat teratasi serta dapat meningkatkan kemampuan penalaran matematis siswa. Kami mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu proses penyusunan modul ini khususnya Kepala Sekolah SMA Negeri 2 Jakarta, yaitu Setianingrum, M.Pd yang telah mengizinkan penulis untuk mengkaji learning obstacle di SMA Negeri 2 Jakarta, serta kepada para penelaah, yaitu Prof. Siti Fatimah, M.Si., Ph.D, dan Dr. Kusnandi, M.Si untuk bimbingan dan masukan berharga dari awal hingga akhir penyusunan modul ajar ini. Akhir kata, semoga dengan kehadiran modul ajar ini dapat membuat siswa/i SMA/MA/Sederajat bersemangat dalam belajar khususnya pada materi barisan dan deret, mempermudah proses kegiatan belajar mengajar (KBM) yang diterapakan di kelas. Bandung, 15 Januari 2024 Penulis
Daftar Isi BARISAN DAN DERET Disclaimer: Modul ini disiapkan oleh penulis dalam rangka penelitian tesis yang berjudul “Pengembangan Desain Didaktis Barisan dan Deret Untuk Meningkatkan Kemampuan Penalaran Matematis Siswa”. Modul ini digunakan oleh siswa dalam rangka penelitian. Modul ini telah disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak baik dari dosen, guru, akademisi, dan praktisi pendidikan. Modul ini merupakan dokumen hidup yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhiran sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai pihak dapat melalui alamat surel [email protected] diharapkan dapat meningkatkan kualitas modul ini.
Barisan aritmatika, barisan geometri, deret aritmatika, deret geometri, deret geometri tak hingga Peta Konsep Barisan dan deret Barisan Deret Barisan Aritmatika Barisan Geometri Deret Geometri Deret Aritmatika Divergen Konvergen Barisan dan deret merupakan materi yang sangat berkaitan dengan barisan bilangan yang telah dipelajari pada jenjang SMP. Materi barisan dan deret ini sangat mudah ditemui dalam kehidupan sehari-hari. BARISAN DAN DERET Konsep barisan dan deret yang sering kita jumpai terkait dengan menghitung susunan kursi dengan banyaknya kursi yang berbeda pada tiap barisnya pada sebuah bioskop. Kalian juga dapat menentukan banyaknya bakteri jika melakukan pembelahan pada waktu tertentu. Pertanyaan Pemantik 1.Apakah barisan bilangan merupakan barisan aritmatika atau geometri? 2.Apa perbedaan barisan dan deret? 3.Bagaimana hubungan antar suku barisan aritmatika atau geometri? 4.Bagaimana bentuk umum barisan aritmatika atau geometri? 5.Bagaimana bentuk umum deret aritmatika atau geometri? 6.Bagaimana menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika atau geometri? 7.Bagimana menentukan jumlah n suku pertama suatu deret? 8.Bagaimana menentukan jumlah deret geometri tak hingga? Kata Kunci
Ayo Mengingat Kembali Pola bilangan adalah susunan yang membentuk pola tertentu. Suku ke-1 dilambangkan dengan Suku ke-2 dilambangkan dengan Suku ke-3 dilambangkan dengan Suku ke-n dilambngkan dengan Tentukanlah pola bilangan berikut, dan berikan argumentasimu! Ayo Bereksplorasi BARISAN DAN DERET Anak-anak tulis jawabanmu dibawah ya! ............................................................................................ ............................................................................................ ............................................................................................ ............................................................................................ ........................................................................................
Ayo Bereksplorasi 1 kg daging ayam Gambar 2. 2 kg daging sate setara dengan 20 Tusuk Sate Jawablah pertanyaan berikut dengan berdiskusi bersama teman kelompokmu. 1.Berapa banyak tusuk sate yang dapat dibuat jika diketahui berat daging ayam. Ayo berkolaborasi dengan temanmu dalam mengisi Tabel 1 berikut untuk menjawab pertanyaan tersebut. Berat Daging (kg) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Banyak Sate (tusuk) 20 40 ... ... ... ... ... ... ... ... 20 Tusuk Sate Gambar 1. 1 kg daging sate setara dengan 20 Tusuk Sate BARISAN DAN DERET Ayo bandingkan banyaknya berat daging ayam (kg) dengan banyak tusuk sate pada Gambar di bawah ini. Pada Gambar 1 terdapat 1 kg ayam yang dapat dibuat menjadi 20 tusuk sate, sementara gambar 2 terdapat 2 kg ayam yang dapat dibuat menjadi 40 tusuk sate. 2 kg daging ayam 40 Tusuk Sate Ayo Berdiskusi Tabel 1. Hubungan Berat Daging (kg) dan Bayak Sate (Tusuk)
Anak-anak, menggunakan data pada Tabel 1 silahkan isi simbol-simbol berikut ya! Sehingga, barisan-barisan tersebut dapat dibentuk menjadi bentuk umum, yaitu: 2. Jika Deni dapat membuat 90 tusuk sate, maka berapa berat daging yang dimiliki Deni untuk membuat tusuk sate tersebut? Bagaimaana kalian mengetahuinya? Jelaskan jawabanmu. BARISAN DAN DERET A. Barisan Perhatikan Tabel 1. angka-angka yang diperoleh yaitu 20, 40, 60, .... Pola tersebut jika diamati memiliki keteraturan tertentu. Pola-pola yang seperti ini disebut dengan Barisan Bilangan. a. Barisan Aritmatika Barisan yang dibentuk dari Tabel 1 yaitu 20, 40, 60 .... Coba Anda perhatikan keteraturan barisan tersebut. Operasi perhitungan apa yang dapat digunakan? 20, 40, 60, ... ... ...
Berapakah beda/selisih barisan yang berdekatan? BARISAN DAN DERET Apakah beda/selisih antar dua suku yang berdekatan nilainya sama? Barisan aritmatika adalah barisan yang memiliki beda/selisih dua suku yang berdekatan sama/konstan. Barisan-barisan yang dibentuk pada Tabel 1 merupakan barisan aritmatika karena beda/selisih barisan dua suku yang berdekatan selalu sama/konstan yaitu 20. 40 dalam barisan tersebut disebut dengan suku pertama atau dapat disimbolkan dengan a, sementara beda/selisih yaitu 20 dapat disimbolkan dengan b. Pak! Saya mau tanya, bentuk umum barisan aritmatika seperti apa ya? Apa ada formulasinya Pak?
Jadi, rumus untuk mencari suku ke-n barisan aritmatika adalah BARISAN DAN DERET n : Nomor Suku b : beda/selisih CATATAN: Perhatikan n indeks pada rumus mencari suku ke-n barisan aritmatika, dimana: Sehingga, rumus tersebut dapat diperluas dengan memperhatikan indeks yang digunakan. Contoh: atau dapat ditulis atau Perhatikan penjelasan berikut. . . . sebanyak Keterangan: Suku ke-n a : Suku pertama
Contoh: 1.Suku ke-10 dan ke-20 barisan aritmatika berturut-turut adalah 80 dan 160. Berapakah suku ke-28 barisan aritmatika tersebut? Penyelesaian: Dari soal dapat dibuat model matematikanya, yaitu: Substitusi, ke Suku ke-28 barisan tersebut adalah Jadi, suku ke-28 barisan tersebut adalah 224. Alternatif Solusi Model matematika
2. Diketahui barisan aritmatika dengan . Buktikanlah bahwa suku ke-10 dan beda barisan aritmatika tersebut berturut-turut adalah 48 dan 4. Penyelesaian: Adb: Suku ke-10 barisan tersebut adalah 48. Untuk membuktikan suku ke-10 adalah 48 dengan cara mensubstitusikan nilai n dengan 10 ....................(i) Adb: Beda dari barisan aritmatika tersebut adalah 4. Untuk mencari beda dari barisan aritmatika dengan cara melihat selisih 2 barisan yang berdekatan, karena sudah memiliki nilai suku ke-10 maka kita perlu mencari nilai dari suku yang berdekatan yaitu suku ke-9. ....................(ii) Berdasarkan pernyataan (i) dan (ii), maka pernyataan terbukti BENAR. Ayo Mencoba Selidiki apakah barisan dibawah ini adalah barisan aritmatika? Jika ya, tentukan dua suku berikutnya. 1. a. 10, 16, 22, ..., .... b. 1, 8, 27, 64, ..., ... c. -10, -7, -3, ..., .... d. 1, 1, 2, 3, 5, ..., .... Alternatif Solusi Perhatikan bentuk umum barisan aritmatika yaitu: dalam soal tertulis, Karena 4 merupakan koefisien dari n, maka 4 merupakan beda/selisihnya.
4. Seorang petani alpukat mencatat hasil panennya setiap bulan. Jika pada bulan Maret 2023 hasil panennya seberat 19 kg, dan selalu mengalami kenaikan setiap bulan seberat 4 kg. Apakah benar bahwa hasil panen pada bulan April 2024 adalah 67 kg? Berikan alasanmu! 2. Diketahui barisan aritmatia -10, -8, -6, -4, ..... Berapakah suku ke-50 barisan aritmatika tersebut? 3. Jika diberikan barisan aritmatika dengan suku ke-5 dan ke-10 berturut-turut adalah 32 dan 67. Tentukanlah: a. Selisih b. Suku ke-15 c. Rumus suku ke-n Hint Cari tahu bulan April 2024 suku ke berapa? Jika sudah, tentukan nilai dari suku tersebut. Bualah kesimpulan dari penemuanmu! Tuliskan Jawabanmu! ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................
Siapkan kertas berbentuk persegi panjang, lalu ayo bereksplorasi melipat kertas menjadi beberapa kali seperti Gambar 2. Petunjuk: Lipatan pertama akan membuat kertas terbagi menjadi 2 bagian sama besar. 1. Lipatan kedua akan membuat kertas terbagi menjadi 4 bagian sama besar. 2. 3.Lakukan lipatan secara beberapa kali. Dari hasil eksplorasimu, isilah Tabel 2 berikut. 4. b. Barisan Geometri BARISAN DAN DERET sumber: zmescience.com Gambar 4. Cara Melipat Kertas Jumlah Lipatan kertas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Banyak bagian sama yang terbentuk 2 ... ... ... ... ... ... ... ... ... Tabel 2. Jumlah Lipatan Kertas dan banyak bagian sama yang terbentuk Berdasarkan Tabel 2 jawablah pertanyaan berikut dengan berdiskusi dengan teman sebangkumu. 1.Berapa banyak bagian sama yang terbentuk pada lipatan ke-10. 2.Banyak bagian sama yang terbentuk adalah 64 bagian, terjadi pada lipatan? Ayo Bereksplorasi Ayo Berdiskusi
2, 4, 8, ... ... ... 3. Apakah banyak bagian yang sama besar pada sebuah lipatan kertas membentuk barisan bilangan? 4. Aturan apa yang terjadi pada barisan bilangan tersebut? 5. Operasi hitung apa yang ada di antara suku-suku barisan bilangan di atas? Anak-anak ayo amati rasio antara dua suku yang berdekatan ya! Bagaimana hasil pengamatan kalian? Apakah rasio dari dua suku yang berdekatan nilainya sama? Barisan geometri adalah barisan yang memiliki nilai rasio dua suku yang berdekatan sama/konstan. Barisan yang disusun pada Tabel 2 merupakan barisan geometri dengan nilai 2 sebagai suku pertama atau dapat disimbolkan a, sementara rasio dapat disimbolkan r.
Diskusikan permasalahan berikut dengan teman sekelompokmu Amir adalah siswa kelas X SMA Juara Nusantara. Amir memiliki keingintahuan yang kuat bagaimana jika rasio-rasio yang ditemukan sampai suku ke-(n-1) masing-masing dikalikan. Apakah akan mengahasilkan sebuah formulasi? Bantu Amir memecahkan masalah ini yuk! Petunjuk: . . . sebanyak Ayo Berdiskusi
Dari keingintahuan yang kuat dari Amir diperoleh bahwa rumus suku ke-n barisan geometri itu adalah . Jadi, rumus untuk mencari suku ke-n barisan geometri adalah Keterangan: n : Nomor Suku r : rasio Suku ke-n a : Suku pertama CATATAN: Perhatikan n indeks pada rumus mencari suku ke-n barisan aritmatika, dimana: Sehingga, rumus tersebut dapat diperluas dengan memperhatikan indeks yang digunakan. Contoh: atau dapat ditulis atau Contoh: 1.Suku ke-3 dan ke-8 barisan geometri adalah 18 dan 576. Berapakah suku ke-5 barisan geometri tersebut? Penyelesaian: Dari soal dapat dibuat model matematikanya, yaitu: Model matematika Dari model matematika yang dibuat maka,
Substitusi ke , Sehingga suku ke-5 yaitu: Jadi, suku ke-5 barisan geometri tersebut adalah 72. 2. Jumlah ketiga bilangan pertama barisan geometri adalah 57, dan hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah 343. Tentukanlah: a. Model matematikanya b. Buktikan bahwa rasio barisan tersebut positif. c. Dari hasil jawabanmu, sebutkan barisan geometrinya.
Penyelesaian: a. Model Matematika Dari informasi soal pada pernyataan 1, maka model matematikanya yaitu: Ruas kiri masing-masing dapat dibagi dengan r sehingga diperoleh, Dari informasi soal pada pernyataan 2, maka model matematikanya yaitu: Jadi, model matematika dari soal tersebut yaitu: b. adb: Rasio selalu bernilai positif Dari model matematika yang diperoleh dari a maka , atau atau Diperoleh nilai r yaitu atau 7, maka nilai r selalu bernilai positif.
c. Barisan geometri yang sesuai Barisan geometri yang sesuai pada soal tersebut terdapat 2, yaitu: Pada saat nilai r = Pada saat nilai r = 7 Jadi, barisannya yaitu 49, 7, 1 atau 1, 7, 49 Selidiki apakah barisan dibawah ini adalah barisan geometri? Jika ya, tentukan dua suku berikutnya. 1. a. 5, 15, 45, ..., .... b. c. 20, 10, 10, 5, ..., .... d. 2, 9, 28, 65, ..., .... 2. Buatlah rumus suku ke-n dari barisan geometri: 48, 16, 3. Diberikan barisan geometri dengan suku ke-4 dan ke-7 berturut-turut adalah 24 dan 192. Apakah benar suku ke-12 barisan geometri tersebut adalah 48? Berikan argumentasi yang rasional! 4. Diketahui rumus suku ke-n barisan geometri yaitu: , maka tentukanlah suku pertama, dan rasio barisan geometri tersebut? 5. Diberikan suatu barisan geometri dengan jumlah ketiga suku pertamanya adalah -14, dan hasil kali ketiga sukunya adalah 216. Tentukanlah: a. Apakah nilai suku ke-3 selalu bernilai positif? Berikan argumentasimu! b. Nilai suku pertama dan kedua. Ayo Mencoba
6. Dinas Kesehatan Provinsi DKI Jakarta mencatat bahwa pada bulan Maret 2021 kasus Covid-19 yang terjadi sebanyak 20.000 jiwa. Setiap bulan kasus Covid-19 yang terjadi di Provinsi DKI Jakarta selalu mengalami peningkat dua kali lebih banyak dari bulan sebelumnya. Namun, mulai pada bulan Juni 2021 kasus Covid-19 mengalami lonjankan yang signifikan yaitu tiga kali lebih banyak dari bulan sebelumnya. Dimulai pada bulan apakah kasus Covid-19 yang terjadi di Jakarta lebih dari 1.000.000 jiwa? Berikan argumentasimu! Hint Rasio dari soal tersebut ada 2 disesuaikan dengan bulannya. Tuliskan Jawabanmu! ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................
Pada subbab ini, kalian telah mempelajari barisan aritmatika dan geometeri. Ayo Berefleksi 1.Apakah barisan bilangan merupakan barisan aritmatika atau geometri? 2.Apa perbedaan barisan dan deret? 3.Bagaimana hubungan antar suku barisan aritmatika atau geometri? 4.Bagaimana bentuk umum barisan aritmatika atau geometri? 5.Bagaimana bentuk umum deret aritmatika atau geometri? 6.Bagaimana menentukan suku ke-n suatu barisan?
Ayo Mengingat Kembali Barisan bilangan terdiri dari barisan aritmatika, dan geometri. Rumus suku ke-n barisan aritmatika dinyatakan dengan Beda/selisih barisan aritmatika dinyatakan dengan Rumus suku ke-n barisan geometri dinyatakan dengan Rasio barisan geometri dinyatakan dengan Ayo Bereksplorasi Ayo Berdiskusi BARISAN DAN DERET B. Deret Ayo bereksplorasi dengan berjabat tangan bersama beberapa teman sekelompokmu. Gambar 4. Berjabat Tangan Setelah itu, ayo berkolaborasi dengan teman sekelompokmu untuk menjawab pertanyaan berikut. Jika ada 2 orang, berapa banyak jabat tangan terjadi?.................................................... Jika ada 3 orang, berapa banyak jabatan tangan terjadi?................................................ Jika ada 4 orang, berapa banyak jabatan tangan terjadi?................................................
Banyak orang yang hadir Banyak jabat tangan Uraian dari jabat tangan 2 orang 1 1 3 orang 3 1+2 4 orang ... 1+...+... 5 orang ... ... Dari hasil diskusimu dengan teman anggota sekelompokmu, lengkapi Tabel 3 berikut. Tabel 3. Banyak jabat tangan yang terjadi di kelas Bentuk penjumlahan dari barisan bilangan akan membentuk deret bilangan. Jumlah suku-suku barisan bilangan disebut dengan deret bilangan. Deret bilangan terbagi menjadi 2, yaitu deret aritmatika, dan deret geometri. Deret aritmatika saling berkaitan dengan barisan geometri, sementara deret geometri saling berkaitan dengan barisan geometri.
BARISAN DAN DERET a. Deret Aritmatika Lina menjumlahkan nomor-nomor halaman buku yang terdiri 50 halaman yang jumlahnya 1305. Ternyata terjadi kekeliruan, ada 1 halaman yang terhitung 2 kali. Tentukanlah: Berapakah jumlah seharusnya nomor-nomor halaman buku tersebut? Halaman berapakah yang terhitung dua kali? Ayo Berdiskusi Petunjuk: Jumlahkan nomor-nomor halaman yang sesuai, yaitu: 1 + 2 + 3 + ... + 48 + 49 + 50 Jika sudah dapat penjumlahan yang sesuai, carilah selisih penjumlahan yang keliru dengan penjumlahan yang sesuai untuk mencari tahu halaman yang terhitung dua kali. Anak-anak tulis hasil diskusimu ya!
r r r Permasalahan Lina merupakan masalah yang berkaitan dengan konsep deret aritmatika. Secara umum penjumlahan deret aritmatika dapat diformulasikan sebagai berikut: Menggunakan Teori Gauss, penjumlahan deret aritmatika dibalik dari suku pertama menuju suku ke-n menjadi suku ke-n menuju suku pertama, diperoleh: sebanyak-n Formulasi 1 Turunan Formulasi 1 Turunan Formulasi 1 n : Nomor Suku b : beda/selisih Keterangan: Suku ke-n a : Suku pertama Jumlah suku ke-n Suku tengah Turunan formulasi bentuk hanya dapat digunakan apabila selisih/beda serta indeks dari sukusukunya tetap/konstan.
1.Diketahui deret aritmatika 12 + 16 + 20 + .... Berapakah jumlah 8 suku pertama deret aritmatika tersebut? Jadi, rumus untuk mencari jumlah suku ke-n, yaitu: atau atau Contoh: Penyelesian: Dari informasi soal diperoleh bahwa, 12 + 16 + 20 + ... Jumlah 8 suku pertama yaitu: Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret 12 + 16 + 20 + ... adalah 108. 2. Diberikan merupakan barisan aritmatika. Jika , maka berdasarkan nilai di atas, berapakah nilai Penyelesian: Dari informasi soal diperoleh bahwa,
Perhatikan bahwa indeks-indeksnya tetap/konstan maka ini merupakan , dengan suku tengah adalah , sehingga Jadi, nilai dari adalah 170 Nilai dari , yaitu: Ayo Mencoba Diketahui deret aritmatika 5 + 11 + 17 + 23 + .... Berapakah jumlah 10 suku pertama deret tersebut? 1. 2. Berapakah jumlah deret aritmatika 8 + 11 + 14 + ... + 155? 3. Misalkan suku ke-n barisan aritmatika dengan: Berdasarkan pernyataan di atas, berapakah nilai 4. Diketahui deret aritmatika dengan suku pertama a dan beda . Jika dan , berapakah nilai Z?
5. Dalam sebuah gedung pentas seni yang terdapat 20 baris akan disusun kursi. Baris paling depan terdiri dari 18 buah, baris ke-2 berisi 24 buah, baris ke-3 berisi 30 buah. Apakah benar jumlah kursi pada gedung pentas seni berjumlah 1050 kursi? Jika benar buktikanlah, jika salah tunjukkan kesalahannya! 6. Diberikan rumus deret aritmatika suku ke-n yaitu . Buktikanlah bahwa nilai suku ke-10, dan beda deret tersebut berturutturut adalah 42 dan 4. Hint Tentukanlah nilai dari Tentukanlah barisannya Tuliskan Jawabanmu! ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................
Persegi KePanjang Sisi Uraian Luas Persegi Luas Persegi 1 20 400 2 ... 3 ... ... 4 ... ... 5 ... ... Ayo berkolaborasi dengan teman kelompokmu untuk menjawab pertanyaan tersebut dengan mengisi Tabel 4 berikut. b. Deret Gometri Bagas ingin membuat sebuah desain motif batik berbentuk persegi yang memiliki panjang sisi 20 cm. Desain motif batik Bagas tersaji pada Gambar 5 yang terdiri dari 5 buah persegi. Tentukanlah jumlah dari persegi-persegi yang tersusun. Ayo Berdiskusi Tabel 4. Hubungan panjang dengan luas Gambar 5. Desain Motif Batik
Dari Tabel 4, diperoleh jumlah luas dari persegi yaitu: 400 + ...... + ..... + ..... + ..... = ...... Jadi, jumlah dari luas persegi-persegi yang terususun adalah ............... Permasalahan Bagas merupakan masalah yang berkaitan dengan konsep deret geometri. Secara umum deret geometri dapat diformulasikan sebagai berikut: ........(i) Untuk mendapakan formulasi deret geometri, dari pernyataan (i) kedua ruas masingmasing dikalikan dengan r, sehingga diperoleh: ........(ii) Kurangkan pernyataan (i) dan (ii) diperoleh, atau Keterangan: n : Nomor Suku r : rasio a : Suku pertama jumlah suku ke-n Jadi, rumus untuk mencari jumlah suku ke-n deret geomteri, yaitu: atau
Contoh: Diketahui suatu suku ke-2 dan ke-5 deret geometri berturut-turut adalah 48 dan 6. Tentukanlah jumlah 6 suku pertama deret tersebut? 1. Penyelesian: Dari soal diketahui: Sehingga, Substitusi ke diperoleh, Sehingga, jumlah 6 suku pertama yaitu:
Jadi, jumlah 6 suku pertama deret geometri tersebut adalah 189. Ayo Mencoba Seutas tali dipotong menjadi 6 bagian sehingga panjang masing-masing potongan membentuk barisan geomteri. Jika potongan tali terpendek 2 m dan yang terpanjang 486 m, berapakah panjang tali mula-mula? 1. Diketahui deret geometri dengan suku ke-2 dan ke-4 berturut-turut adalah 42 dan 378. Berapakah nilai 4 suku pertama deret geometri tersebut? 2.
3. Diketahui suku ke-n dari deret geometri adalah . Apakah jumlah n suku pertama deret tersebut adalah ? Jika benar, buktikanlah, jika salah tunjukkan kesalahannya! Hint Tentukanlah nilai dari Tentukanlah rasionya. Substitusikan nilai a dan rasio ke rumus jumlah n suku pertama deret geometri Tuliskan Jawabanmu! ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................
c. Deret Geometri Tak Hingga Ayo Bereksplorasi Bola tenis dilemparkan ke atas setinggi 1 m. Bola tersebut terus memantul sampai akhirnya berhenti. Setelah dicermati, setiap kali bola memantul, tingginya menjadi kali dari tinggi sebelumnya. Kira-kira berapa panjang lintasan bola dari awal memantul sampai berhenti? Ayo berkesplorasi dengan melakukan percobaan melempar bola bersama teman sekelompokmu, lalu jawablah pertanyaan berikut. Menurutmu, apakah tinggi pantulan bola pada permasalahan di atas membentuk deret geomteri? Bagaimana kalian mengetahuinya? Setelah melakukan percobaan, apakah kalian mengetahui dengan pasti berapa kali bola memantul sampai akhirnya berhenti? Bola di lempat Pantulan 1 Pantulan 2 Pantulan (n-1) Pantulan n Gambaf 6. Lintasan Bola Anak-anak tulis hasil diskusimu ya!
Permasalahan pada masalah di atas merupakan masalah yang berkaitan dengan deret geomteri tak hingga. Pada permasalahan di atas, nilai dari r yaitu . Perhatikan: Pantulan pertama: Pantulan kedua: Pantulan ketiga: . . . Pantulan ketiga: Disubstitusikan ke dalam rumus deret geometri diperoleh, Keterangan: n : Nomor Suku r : rasio a : Suku pertama jumlah suku ke-n Jadi, bentuk umum deret tak hingga adalah .
Pada deret geometri terbagi menjadi 2, yaitu deret geometri tak hingga konvergen, dan divergen.Deret geometri tak hingga konvergen dapat diartikan sebagai deret geometri yang masih memiliki limit jumlah. Syarat dari deret geometri tak hingga ini adalah rasio berada diantara - 1 dan 1. Sementara itu, deret geometri tak hingga divergen dapat diartikan sebagai deret geometri tak hingga yang tidak terbatas jumlahnya. Syarat deret geometri tak hingga divergen adalah r < - 1 atau r > 1 Deret geometri tak hingga konvergen dengan - 1 < r < 1 : Deret geometri tak hingga divergen dengan r < -1 atau r > 1 : Keterangan: r : rasio a : Suku pertama jumlah deret tak hingga Contoh: 1.Tentukan jumlah deret tak hingga dari 8 + 4 + 2 + .... Penyelesian: Deret geometri di atas adalah deret geometri tak hingga konvergen karena memiliki nilai rasio , yang masuk ke dalam rentang - 1 < r < 1 maka jumlah deret tak hingga adalah Jadi, deret geometri tak hingga dari 8 + 4 + 2 + ... adalah 16.
Ayo Mencoba 1.Berapakah jumlah deret geometri tak hingga dari deret Suku pertama dari deret geometri tak hingga adalah Z. Berapakah nilai Z agar nilai dari deret geometri tak hingga adalah 60? (Petunjuk: hubungkan rumus deret tak hingga dengan syarat rasio pada deret geometri tak hingga konvergen) 2. Agar nilai dari adalah deret geometri tak hingga konvergen. Berapakah nilai p? 3. Tuliskan Jawabanmu! ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................................
Pada subbab ini, kalian telah mempelajari barisan aritmatika dan geometeri. Ayo Berefleksi 1.Bagimana menentukan jumlah n suku pertama suatu deret? 2.Bagaimana menentukan jumlah deret geometri tak hingga?
Ayo Bereksplorasi Ayo Mengingat Kembali Ayo Berdiskusi Ayo Mencoba BARISAN DAN DERET