METODE
NUMERIK
UNIVERSITAS MARITIM RAJA ALI HAJI
Pendidikan Matematika
FKIP
INTEGRASI NUMERIK
Kelompok 5
Arasi Fisky 2003020052
Faris Mawanto 2003020019
Herryansah 2003020060
Zamaludin 2003020044
Dosen Pengampu : Mirta Fera S.Pd.,M.Sc
INTEGRASI NUMERIK
Integrasi numerik mengambil peranan penting dalam masalah sains dan teknik. Hal
ini menginat di dalam bidang sains sering ditemukan ungkapan-ungkapam integral
matematis yang tidak mudah atau bahkan tidak dapat diselesaikan secara analitis.
Disamping itu, kadang-kadang fungsi yang integralkan tidak berbentuk analitis melainkan
berupa titik-titik data. Hal ini sering muncul dalam banyak aplikasi teknik. Oleh sebab itu,
kehadiran analisis numerik menjadi penting manakala pendekatan analitis mengalami
kebuntuan.
Perlu ditekankan lagi integral numerik bisa dilakukan apabila :
a. Integral tidak dapat diselesaikan secaaara analitis
b. fungsi yang diintegralkan tidak diberikan dalam bentuk analitis, tetapi secara numerik
dalam bentuk angka (tabel).
Metode integral numerik merupakan integral tertentu yang didasarkan pada hitungan
perkiraan. Nah dalam bab ini kita akan membahas beberapa teknik integrasi numerik yang
sangat umum digunakan untuk memperoleh pendekatan integral fungsi ( ) pada batas
interval [ , ]. Secara umum, integral fungsi ( ) pada interval tersebut dapat dinyatakan
= ∫ = ( ) …(3-1)
Ungkapan (1) dapat diartikan sebagai integral dari fungsi y(x) terhadap peubah
bebas x yang dievaluasi mulai dari = hingga = . Pendekatan numerik terhadap
ungkapan integral (1) dapat dinyatakan sebagai
( ) = ∑ =1 ( ) …(3-2)
dengan N menyatakan jumlah segmen, y ( ) = ( ) ( ) = ( )
Perhatikan bahwa pendekatan numerik terhadap bentuk integral (1) merupakan
jumlahan dari deret suku-suku dengan titik-titik terbentang dari = hingga =
dan di setiap titik dievaluasi fungsi ( ) . Faktor ini sering disebut sebagai titik simpul
(node). Sedangkan, faktor pengali disebut faktor bobot.
A. Metode Trapesium
Sebagaimana namanya, metode trapezium merupakan metode integrasi numerik
yang didasarkan pada penjumlahan segmen-segmen berbentuk trapesium. Apabila sebuah
integral didekati dengan metode trapesium dengan satu segmen saja, maka dapat dituliskan
sebagai
∫ ( ) = − [ ( ) + ( )] + …(3-5)
2
Suku pertama pada ruas kanan adalah aturan trapezium yang kita maksudkan,
sedangkan suku kedua yang dinyatakan dengan E adalah kesalahan yang dimiliki oleh
metode ini. Untuk memperoleh ungkapan metode trapesium (3-5) dan untuk mengetahui
seberapa besar kesalahan yang dimiliki oleh metode ini, maka kita perlu melakukan
ekspansi deret Taylor luasan ( ) yang didefinisikan sebagai
( ) = ∫ ( ) … . . (3 − 6)
0
Ekspansi deret taylor untuk luasan ( ) selanjutnya adalah
( ) = ( 0) + ( − 0) ′( 0) + ( − 0)2 ′′( 0) + ( − 0)3 ′′′( 0) + ⋯(3-7)
2 6
Dengan definsi (3-6) maka diperoleh
′( ) = ( ), ′′( ) = ′( ), ′′′( ) = ′′( )…..(3-8)
Selanjutnya ungkapan (3-6) untuk batas bawah integrasi 0 dan batas atas 0 + ℎ menjadi
∫ 00+ℎ ( ) = 0 + ℎ ′( 0) + ℎ2 ′′( 0) + ℎ3 ′′′( 0) + ⋯ = ℎ ( 0) + ℎ2 ′( 0) +
2 6 2
ℎ3 ′′( 0) + ⋯ …(3-9)
6
Dengan mendekati ungkapan turunan pertama dengan beda hingga maju(forward
difference)
′( 0) ≈ ( 0+ℎ)− ( 0)…(3-10)
ℎ
Maka persamaan (3-6) akan mengambil bentuk
= ℎ ( 0) + ℎ2 ( 0+ℎ)− ( 0) + (ℎ3) … (3-11)
2 ℎ
Dengan demikian kita memperoleh pendekatan integral dengan teknik integrasi trapesium
adalah
0+ℎ ℎ
∫ ( ) ≈ 2 [ ( 0) + ( 0 + ℎ)] … (3 − 12)
0
Dari ungkapan (3-12) dapat diketahui bahwa pendekatan integrasi dengan aturan
trapesium memiliki kesalahan yang sebanding dengan (h)3. Oleh sebab itu, jika kita
membagi dua terhadap h maka kesalahan hasil integrasi akan tereduksi hingga 1/8 nya.
Akan tetapi, ukuran domainnya juga terbagi menjadi dua, sehingga dibutuhkan aturan
trapesium lagi untuk mengevaluasinya, selanjutnya sumbangan hasil integrasi tiap domain
dijumlahkan. Hasil akhirnya memiliki kesalahan 1/4 nya bukan lagi 1/8 nya.
Untuk memperoleh ungkapan yang lebih teliti mengenai kesalahan pada metode
ini, maka marilah kita lakukan perhitungan lebih teliti lagi. Jika kesalahan pendekatan
dinyatakan sebagai E, maka
0+ℎ ℎ
= ∫ ( ) − 2 [ ( 0) + ( 0 + ℎ)]
0
= [ℎ ( 0) + ℎ2 ′( 0) + ℎ3 ′′( 0) + ⋯ ] − ℎ2[f( 0) + ( 0) + ℎ ′( 0) + ℎ2 ′′( 0) +
2 6 2
ℎ3 ′′′( 0) + ⋯ ]
6
≈ − 1 ℎ3 ′′( 0)……………………………(3-13)
12
Ungkapan (3-12) adalah aturan trapezium untuk satu segmen.untuk daerah yang dibagi atas
n segmen , maka ungkapan (3-12) dapat dinyatakan sebagai
0+ ℎ ℎ
∫ ( ) = 2 [( 0 + 1) + ( 1 + 2) + ⋯ + ( −2 + −1) + ( −1 + )]
0
…. (3-14a)
Atau jika ungkapan (3-14a) disederhanakan ,makka akan menjadi
∫ 00+ ℎ ( ) = ℎ [ 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 −3 + 2 −2 + 2 −1 + 2 ]….(3-14b)
2
Atau secara umum dinyatakan sebagai
∫ 00+ ℎ ( ) = ℎ [ 0 + 2 ∑ =−11 + ] ….(3-14c)
2
Algoritma program untuk atutan trapezium ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
1. Mendefinisikan fungsi yang akan diintegrasikan
2. Menentukan batas bawah b dan batas atas a integrasi
3. Menghitung lebar segmen yaitu
ℎ = − ,
imana
h = langkah/panjang
b = batas atas integral
a = batas bawah integral
N = banyaknya interval
4. Inisialisasi (memberikan harga awal) fungsi yang diintegrasikan
5. Menghitung Nilai I dengan menerapkan persamaan-persamaan diatas.
6. Mencetak hasil perhitungan berupa kesalahan pendekatan integrasinya.
CONTOH SOAL :
1. Gunakan Aturan Trapesium satu segmen, dua segmen dan empat segmen untuk
ungkapan integral ∫01(4 − 2) . Kemudian hitunglah kesalahan perhitungan dari
masing-masing pendekatan tersebut!
Penyelesaian :
Perhitungan secara analitis
1
= ∫ ( 4 − 2)
0
= [2 2 − 1 3] 1
3 0
5
= 3 = 1,6667
Hasil perhitungan eksak untuk bentuk integral ini adalah 1,6667. Hasil perhitungan eksak
ini berfungsi untuk memperoleh perbandingan kesalahan antara perhitungan secara analitik
dengan hasil pendekatan numerik. Langkah selanjutnya kita mencari perhitungan untuk
pendekatan dari tiap-tiap segmen. Sebagai berikut
• Perhitungan untuk pendekatan integrasi satu segmen
Jika batas bawah = 0 dan batas atas = 1 maka lebar segmen dapat ditentukan
dengan
ℎ = − , karena = 1, maka lebar segmen ℎ = 1, shg diperoleh
0 = 0 ↔ 0 = [4(0) − (0)2] = 0
1 = 1, ↔ 1 = [4(1) − (1)2] = 3
Gunakan persamaan (3-12) karena perhitungan ini termasuk perhitungan
pendekatan untuk satu segmen ∫ 00+ℎ ( ) ≈ ℎ [ ( 0) + ( 0 + ℎ)], karena ℎ =
2
1 maka persamaan menjadi
= ℎ [ 0 + 1] sehingga
2
ℎ
= 2 [ 0 + 1]
1
= 2 [0 + 3] = 1,5
Kesalahan hasil pendekatan integrasinya adalah
1,6667 − 1,5000
| 1,6667 | 100% = 10,0018 = 0,100018%
• Perhitungan untuk pendekatan integrasi dua segmen
Lebar segmen untuk pendekatan ini adalah ℎ = − = 1−0 = 0,5, shingga diproleh
2
0 = 0
1 = 0 + 0,5 = 0,5
2 = 0 + 2(0,5) = 1
0 = [4(0) − (0)2] = 0
1 = [4(0,5) − (0,5)2] = 1,75
2 = [4(1) − (1)2] = 3
Gunakan persamaan (3-14c) lagi untuk mencari
= ℎ [ 0 + 2 1 + 2]
2
0,5
= 2 [0 + 2(1,75) + 3] = 1,625
Kesalahan pendekatan integrasinya adalah
1,6667 − 1,625
| 1,6667 | 100% = 2,5019 = 0,025019%
• Perhitungan untuk pendekatan integrasi empat segmen
Lebar segmen integrasinya ℎ = − = 1−0 = 0.25, sehingga diperoleh
4
0 = 0
1 = 0 + 0,25 = 0,25
2 = 0 + 2(0,25) = 0,5
3 = 0 + 3(0,25) = 0,75
4 = 0 + 4(0,25) = 1
0 = [4(0) − (0)2] = 0
1 = [4(0,25) − (0,25)2] = 0,9375
2 = [4(0,5) − (0,5)2] = 1,75
3 = [4(0,75) − (0,75)2] = 2,4375
4 = [4(1) − (1)2] = 3
Selanjutnya , gunakan persamaan (3-14c) untuk mencari
ℎ
= 2 [ 0 + 2 1 + 2 2 + 2 3 + 4]
0,25
= 2 [0 + 2(0,9375) + 2(1,75) + 2(2,4375) + 3] = 1,6563
Kesalahan pendekatan integrasinya adalah
1,6667 − 1,6563
| 1,6667 | 100% = 0,6239 = 0,006239%
2. ( ) = + 2 , dengan = |0,3|.
Tentukan luas dibawah kurva ∫03( + 2 ) dengan perhitungan menggunakan metode
trapesium dengan satu segmen saja!
Penyelesaian :
Perhitungan secara analitis:
3
= ∫ ( + 2 ) = [ + 2]30 = (20,085 + 9) − 1 = 28,085
0
Perhitungan numerik trapesium satu pias :
= − ( ( ) + ( ))
2
3−0
= 2 (1 + 29,085)
= 20,056
Kesalahan relatif :
= |∫ ( ) − ℎ ( ( ) − ( )) × 100%
2 |
28,085
28,085 − 20,056
= | 28,085 | × 100% = 0,2858%
B. Metode Kuadratur
Dalam aturan trapesium dan Simpson, fungsi yang diintegralkan secara numerik terdiri dari
dua bentuk yaitu tabel dan fungsi. dalam metode kuadrat berturut terutama yang akan
dibahas yaitu metode Gauss kuadratur, data yang diberikan berupa fungsi.
pada aturan trapesium dan Simpson, integral didasarkan pada nilai-nilai di ujung-ujung
pias. seperti nampak pada gambar (a) aturan Simpson didasarkan pada luasan di bawah
garis lurus yang menghubungkan nilai-nilai dari fungsi pada ujung-ujung interval integrasi.
rumus yang digunakan untuk menghitung luasan adalah:
= ( − ) ( )+ ( )…(1)
2
Dengan a dan b adalah batasan integrasi dan (b-a) adalah lebar dari interval integrasi.
karena aturan trapesium harus melalui titik titik ujung,maka seperti terlihat pada gambar
(a) rumus trapesium memberikan kesalahan cukup besar. di dalam metode gauss kuadratur
dihitung luasan dibawah garis lurus yang menghubungkan dua titik sembarang pada
kurva.dengan menetapkan posisi dari kedua titik tersebut secara bebas, maka akan bisa
ditentukan garis lurus yang menyeimbangkan antara kesalahan positif dan negatif, seperti
terlihat dalam gambar (b). Metode Gauss Kuadratur yang akan dipelajari dalam sub bab ini
adalah rumus Gauss-Legendre.
Dalam aturan Trapesium, persamaan integral seperti diberikan oleh persamaan (1) dapat
dituliskan dalam bentuk :
= 1 ( ) + 2 ( ) … (2)
Dengan c adalah konstanta. Dari persamaan tersebut akan dicari koefisien c1 dan c2.
Seperti halnya dengan aturan trapesium, dalam metode Gauss Kuadratur juga akan dicari
koefisien-koefisien dari persamaan yang berbentuk:
= 1 ( 1) + 2 ( 2) … . (3)
Dalam hal ini variabel x1 dan x2 adalah tidak tetap, dan akan dicari, seperti terlihat dalam
gambar (C) persamaan (3 ) mengandung empat bilangan tidak diketahui yaitu 1, 2, 1, 2.
(c)
Sehingga diperlukan empat persamaan untuk menyelesaikannya.untuk itu dianggap
persamaan (3) harus memenuhi integral dari empat fungsi yaitu
( ) = 1; ( ) = ; ( ) = 2′ ( ) = 3. Sehingga untuk
( ) = 3: 1 ( 1) + 2 ( 2) = ∫−11 3 = 0 = 1 13 + 2 23
( ) = 2: 1 ( 1) + 2 ( 2) = ∫−11 2 = 2 = 1 12 + 2 22
3
( ) = : 1 ( 1) + 2 ( 2) = ∫−11 = 0 = 1 1 + 2 2
( ) = 1: 1 ( 1) + 2 ( 2) = ∫−11 1 = 2 = 1 + 2
Sehingga didapat sistem persamaan:
1 13 + 2 23 = 0
1 12 + 2 22 = 2
3
1 1 + 2 2 = 0
1 + 2 = 2
Penyelesaian dari persamaan diatas adalah:
1 = 2 = 1
1 = − 1 = −0,577350269
√3
2 = 1 = 0,577350269
√3
Substitusi dari hasil tersebut ke dalam persamaan (3) menghasilkan rumus Gauss-Legendre
dua titik:
= (− 1 ) + ( 1 ) …..(4)
√3 √3
Batas-batas integrasi yang digunakan adalah dari –1 sampai 1, sehingga lebih memudahkan
hitungan dan membuat rumus yang didapat bisa digunakan secara umum. Dengan
melakukan transformasi, batas-batas integrasi yang lain dapat diubah ke dalam bentuk
tersebut. Untuk itu dianggap terdapat hubungan antara variabel baru xd dan variabel asli x
secara linier dalam bentuk:
= 0 + 1 …..(5)
Apabila batas bawah adalah x = a, untuk variabel baru batas tersebut adalah xd = -1. Kedua
nilai tersebut disubstitusikan ke dalam persamaan (5)
= 0 + (1) … . (6)
Dan
= 0 + 1(1)
persamaan (5) dan (6) dapat diselesaikan secara simultan dan hasilnya adalah:
0 = + …..(7)
2
Dan
1 = − ….(8)
2
Substitusi persamaan (7) dan (8) ke dalam persamaan (5) menghasilkan:
= ( + )+( − ) ….(9)
2
Diferensial dari persamaan tersebut menghasilkan:
= −
2
Persamaan (8)dan (9) dapat disubstitusikan ke dalam persamaan yang diintegralkan.
Bentuk rumus Gauss Kuadratur untuk dua titik dapat dikembangkan untuk lebih banyak
titik, yang secara umum mempunyai bentuk:
= 1 ( 1) + 2 ( 2) + ⋯ . + ( )….(10)
Nilai c dan x sampai untuk rumus dengan enam titik diberikan dalam tabel
Jumlah titik Koefisien c Variable x
2
3 1 = 1,00000000 1 = -0,577350269
4 2 = 1,00000000 2 = 0,577350269
5 1 = 0,55555556 1 = -0,774596669
2 = 1,88888889 2 = 0,000000000
6 3 = 0,55555556 3 = 0,774596669
1 = 0,347854845 1 = -0,861136312
2 = 0,652145155 2 = -0,339981044
3 = 0,652145155 3 = 0,339981044
4 = 0,347854845 4 = 0,861136312
1 = 0,236926885 1 = -0,906179846
2 = 0,478628670 2 = -0,538469310
3 = 0,568888889 3 = 0,000000000
4 = 0, 478628670 4 = 0,538469310
5 = 0,236926885 5 = 0,906179846
1 = 0,171324492 1 = -0,932469514
2 = 0,360761573 2 = -0,661209386
3 = 0,467913935 3 = -0,238619186
4 = 0,467913935 4 = 0,238619186
5 = 0,360761573 5 = 0,661209386
6 = 0,171324492 6 = 0,932469514
CONTOH SOAL:
Hitung ∫04 dengan menggunakan metode kuadratur 3 titik ?
Penyelesaian :
Dengan menggunakan persamaan (10).
= 1 ( 1) + 2 ( 2) + 3 ( 3)
Dan harga 1, 2 3, 1, 2 3 dari tabel diatas akan di dapat
Untuk 1 = −0,774596669
→ 2 (2+2 1) = 3,13915546
Untuk 2 = 0,0
→ 2 (2+2 2) = 14,7781122
Untuk 3 = 0,774596669
→ 2 (2+2 3) = 69,5704925
Dengan memasukkan harga-harga tersebut kedalam pers (10) akan didapat
= (0,5555555556 × 3,13915546) + (0,888888889 × 14,7781122)
+ ( 0,5555555556 × 69,5704925) = 53, ,5303486
Dengan % kesalahan sebesar
53,598150 − 53,5303486
= 53,598150 × 100% = 0,13 = 0,0013%
DAFTAR PUSTAKA
Munir, Rinaldi. 2019. Metode Numerik (Ed. Revisi). Bandung: penerbit INFORMATIKA
Bandung
Supardi. M.Si. 2011. Metode Numerik. D.I Yogyakarta : penerbit INFORMATIKA Yogyakarta.