ความน่าจะเป็น (หาค่าคาดหมาย)

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

หาค่าคาดหมาย

Start

ค่าคาดหมายคือ ?

ค่าคาดหมายหรือค่าคาดหวัง (Expectation) คือผลของความน่ าจะเป็นกับผลประโยชน์ ที่
เราจะได้รับเมื่อสิ่งๆนั้ นได้เกิดขึ้น หรือในทางสถิติศาสตร์ คือ ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนั ก

(weighted average) ของทุกๆค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรสุ่ม โดยในการคำนวณการถ่วงน้ำ
หนั กจะใช้ค่าฟังก์ชันความหนาแน่ นของความน่ าจะเป็น (probability density
function)สำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่ อง หรือใช้ค่าฟังก์ชันมวลของความน่ าจะเป็น
(probability mass function)

สมการค่าคาดหมาย

( ผลตอบแทนที่ได้ ✖️ ความน่ าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้ )
➕ ( ผลตอบแทนที่เสีย ✖️ความน่ าจะเป็นเหตุการณ์ที่เสีย )

ตัวอย่างที่ 1

ในงานเลี้ยงแห่งหนึ่ งอานนท์และธีรเทพนั่ งโต๊ะเดียวกัน ในระหว่างนั่ งรออาหารนั้ น
อานนท์หยิบเหรียญบาทออกมาสองเหรียญ แล้วท้าพนั นธีรเทพโดยมีกติกาว่า ให้
อานนท์โยนเหรียญ 2 เหรียญ พร้อมกัน 1 ครั้ง ถ้าเหรียญที่โยนออกก้อยทั้งคู่แล้ว
อานนท์จะจ่ายให้ธีรเทพ 5 บาท แต่ถ้าเหรียญออกเป็นอย่างอื่นธีรเทพต้องจ่ายให้
อานนท์ 3 บาท ถ้ามีการพนั นโยนเหรียญกันแบบนี้ ไปเรื่อย ๆ หลาย ๆ ครั้ง จงหาค่าคาด
หมายที่ธีรเทพจะได้เงินในครั้งนี้ และคิดว่าใครจะได้เงินมากกว่ากัน

วิธีทำ ในการโยนเหรียญบาทที่เที่ยงตรง 2 เหรียญพร้อมกัน 1 ครั้ง ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้มี 4 แบบ คือ HH, TT, HT หรือ TH

ความน่ าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เหรียญออกก้อยทั้งคู่ เท่ากับ 1:4

：ความน่ าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เหรียญไม่ออกก้อยทั้งคู่ เท่ากับ 3 4

เนื่ องจากแต่ละครั้งที่อานนท์โยนเหรียญ ถ้าเหรียญที่โยนออกเป็น TT อานนท์จะจ่ายเงินให้ธีรเทพ 5 บาท
ดังนั้ น ผลตอบแทนของเหตุการณ์เป็นการที่ธีรเทพได้เงิน 5 บาท จึงแทนด้วย +5
เนื่ องจากแต่ละครั้งที่โยนเหรียญ ถ้าเหรียญที่โยนไม่ออก TT ธีรเทพต้องจ่ายเงินให้อานนท์ 3 บาท
ดังนั้ น ผลตอบแทนของเหตุการณ์เป็นการที่ธีรเทพเสียเงิน 3 บาท จึงแทนด้วย -3




การพนันโยนเหรียญหนึ่ งครั้งค่าคาดหมายของธีรเทพ เป็นดังนี้

ค่าคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ได้ × ความน่ าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เหรียญออกก้อยทั้งคู่)
+ (ผลตอบแทนที่เสีย × ความน่ าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เหรียญไม่ออกก้อยทั้งคู่)
= (5 × ¹⁄₄) + (-3 × ³⁄₄)
= ⁵⁄₄ + (-9⁄₄)
= -⁴⁄₄
= -1
นั่ นคือ ค่าคาดหมายของธีรเทพ เท่ากับ -1 บาท

ตัวอย่างที่ 2

จากตัวอย่างที่ 1 ถ้าการพนั นโยนเหรียญสองเหรียญ เปลี่ยนกติกาเป็น
ดังนี้ ให้อานนท์โยนเหรียญ 2 เหรียญพร้อมกัน 1 ครั้ง ถ้าเหรียญที่โยน
ออกหัวทั้งคู่ แล้วธีรเทพจะจ่ายเงินให้อานนท์ 3 บาท แต่ถ้าเหรียญออก
อย่างอื่น อานนท์ต้องจ่ายให้ธีรเทพ 1 บาท ถ้าโยนเหรียญไปเรื่อย ๆ
หลาย ๆ ครั้งใครจะได้เงินมากกว่ากัน

วิธีทำ การพนันโยนเหรียญหนึ่ งครั้ง จะมีค่าคาดหมายของธีรเทพเปลี่ยนแปลงเป็นดังนี้

ค่าคาดหมาย = (ผลตอบแทนที่ได้ × ความน่ าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เหรียญออกก้อยทั้งคู่)
+ (ผลตอบแทนที่เสีย × ความน่ าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เหรียญไม่ออกก้อยทั้งคู่)
= (1 × ³⁄₄) + (-3 × ¹⁄₄)
= ³⁄₄ + (⁻³⁄₄)
=0
นั่ นคือ ค่าคาดหมายของธีรเทพเท่ากับ 0 บาท

FINNISH

！T han k you