พีทาโกรัส

รูปสามเหลยี่ มมุมฉาก (Right Triangle) คอื รูปสามเหล่ยี มทีม่ มี มุ หน่ึงกาง 90°
จากรปู ABC เปน็ รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซ่งึ มี C เปน็ มุมฉาก

- AB เป็นด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก อยตู่ รงข้ามกบั มุม C แทนดว้ ยความยาว c

- AC เป็นด้านประกอบมมุ ฉาก อยตู่ รงขา้ มกับมุม B แทนดว้ ยความยาว
b

- BC เปน็ ด้านประกอบมมุ ฉาก อย่ตู รงขา้ มกบั มมุ A แทนด้วยความยาว a

ทฤษฎบี ทของปีทาโกรัส กล่าวไว้ว่า
แบบที่ 1 ในรปู สามเหลี่ยมมมุ ฉากใด ๆ ความยาวกำลงั สองของดา้ นตรงข้ามมมุ ฉากมีคา่

เทา่ กับผลบวกของความยาวกำลังสองของด้านประกอบมมุ ฉากทง้ั สองด้าน หรือพิจารณาจากพืน้ ที่
รูปส่เี หล่ียมจตั รุ สั ตามแบบท่ี 2 คือ

แบบท่ี 2 ในรปู สี่เหลย่ี มมุมฉากใด ๆ พืน้ ทีข่ องรูปสเี่ หลยี่ มจตั รุ สั บนด้านตรงขา้ มมมุ ฉากมคี า่
เทา่ กับผลบวกของพ้ืนทร่ี ูปสี่เหล่ียมจตั รุ สั บนด้านประกอบมมุ ฉากสองดา้ น ดงั รูปประกอบ

จากรูป จะสงั เกตวา่ พ้ืนท่ีของสเ่ี หลยี่ มจตั ุรสั สีแดง(ดา้ นตรงข้ามมุมฉาก) จะเทา่ กบั ผลรวมของ
พนื้ ที่ของส่ีเหลี่ยมจัตุรสั สนี ้ำเงิน(ด้านประกอบมมุ ฉาก)

ภาพแสดงความสมั พันธ์ของพ้นื ทรี่ ปู ส่เี หลีย่ ม
จตั รุ ัส ทั้งสามรูป คือ
พื้นท่ขี องรปู สเ่ี หลี่ยมจัตรุ สั บนด้าน c เทา่ กบั 25
ตารางหน่วย
พ้นื ทีข่ องรปู สเี่ หล่ียมจตั ุรสั บนด้าน a และ b
เท่ากบั 16 และ 9 ตารางหนว่ ยตามลำดบั
ซ่งึ จะเหน็ ว่า 9 + 16 = 25
32 + 42 = 52
น่นั คือ a2 + b2 = c2

จากทฤษฎีบท ทง้ั 2 แบบ จะไดค้ วามสัมพันธร์ ะหว่างความยาวของด้านทัง้ สามของรูปสามเหล่ยี ม

สามเหล่ียมมุมฉาก ABC ดงั นี้ c2 = a2+b2

โดยท่ี c เป็นความยาวด้านตรงขา้ มมมุ ฉาก และ a และ b เป็นความยาวของด้านประกอบมุมฉาก

หรอื a2 = c2 - b2 และ b2 = c2 - a2

ถ้าทราบความยาวของทงั้ a และ b คา่ c จะสามารถคำนวณได้ดังนี้

ถ้าทราบความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก c และดา้ นประกอบมมุ ฉากด้านใดด้านหน่งึ (a หรอื b)
แล้ว ความยาวด้านท่เี หลือสามารถคำนวณได้ดงั นี้

แบบฝกึ หัด
คำชีแ้ จง: จงหาความยาวท่ีเหลือของรปู สามเหลี่ยมต่อไปนี้
1.

2.

3.

4.
5.
6.

1. จากรูป a=4 , b=3 หาคา่ ของ c
จะได้วา่ c2 = 42 + 32
c2 = (4 x 4) + (3 x 3)
c2 = 16 + 9
c2 = 25
c2 = 52
ดงั น้นั c = 5
2. จะไดว้ ่า d2 = 72+242
d2 = (7 x 7) + (24 x 24)
d2 = 49+576
d2 = 625
d2 = 252
ดงั นั้น d = 25
3. จะไดว้ า่ m2 = 132- 52
m2 = (13 X 13) – (5 X 5)
m2 = 169 – 25
m2 = 144
m2 = 122
ดังน้นั m = 12

4. จะไดว้ า่ AB2 = AC2+BC2
AB2 = 82+152
AB2 = 64+225
AB2 = 289
AB2 = 172
ดงั นนั้ AB = 17
5. จะได้วา่ PR2 = PQ2 + QR2
PQ2 = PR2 - QR2
PQ2 = 152 - 122
PQ2 = (15 x 15) – (12 x 12)
PQ2 = 225 – 144
PQ2 = 81
PQ2 = 92
ดังน้ัน PQ = 9
6. 6.52 = a2 + 2.52
a2 = 6.52 - 2.52
a2 = (6.5 x 6.5) - (2.5 x 2.5)
a2 = 42.25 – 6.25
a2 = 36
a2 = 62
ดงั นนั้ a = 6