KPK dan FPB

Menentukan FPB dan KPK

1. Menentukan FPB

Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari dua bilangan telah
kalian pelajari di Kelas V. Kalian juga telah mempelajari cara
menentukan faktorisasi prima dari suatu bilangan. Di kelas
VI ini Kelipatan Persekutuan Terkecil KPK juga akan kalian
pelajari kembali dalam mengurutkan pecahan dan pengerjaan
hitung pecahan.

Marilah kita terapkan untuk menyelesaikan masalah berikut.
Pak Tugino memiliki 12 salak dan 18 jeruk. Salak dan jeruk
tersebut akan dimasukkan ke dalam kantong plastik. Berapa
kantong plastik yang dibutuhkan, jika setiap kantong berisi
salak dan jeruk dengan jumlah yang sama?

Untuk menjawab soal tersebut, kamu harus mencari FPB dari
12 dan 18.

Langkah-langkah pengerjaan FPB.

1. Menentukan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan itu.

2. Mengambil faktor yang sama dari bilangan-bilangan itu.

3. Jika faktor yang sama pangkatnya berbeda, ambillah
faktor yang pangkatnya terkecil.

Faktorisasi prima dari 12 adalah 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3.

Faktorisasi prima dari 18 adalah 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3².

FPB dari 12 dan 18 adalah 2 × 3 = 6.

Jadi, kantong plastik yang diperlukan adalah 6 buah. Setiap
kantong plastik memuat 2 salak dan 3 jeruk.

Sekarang, kalian akan mempelajari cara menentukan FPB dari
tiga bilangan. Perhatikan contoh berikut.

Contoh :

Tentukan FPB dari 15, 25, dan 60.

Faktorisasi prima dari 15 adalah 15 = 3 × 5.

Faktorisasi prima dari 25 adalah 25 = 5 × 5.

Faktorisasi prima dari 60 adalah 60 = 2 × 2 ×3 × 5 = 2² × 3 ×
5.

Jadi, FPB dari 15, 25, dan 60 adalah 5.

2. Menentukan KPK

Cara menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari
dua bilangan dengan menggunakan faktorisasi prima telah
kamu pelajari di Kelas V. Ingatlah kembali materi tentang
KPK tersebut karena kamu akan mempelajarinya lebih dalam
di bab ini.

Perhatikan langkah-langkah menentukan KPK di bawah ini :

1. Tentukan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan
tersebut.

2. Ambil semua faktor yang sama atau tidak sama dari
bilangan-bilangan tersebut.

3. Jika faktor yang sama memiliki pangkat berbeda, ambillah
faktor yang pangkatnya terbesar.

Tentukan k

Faktorisasi prima dari 12 adalah 12 = 2 × 2 × 3 = 2² ×3.

Faktorisasi prima dari 18 adalah 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3².

KPK dari 12 dan 18 adalah 2² × 3² = 4 × 9 = 36.

Mencari Faktor Prima dengan Pohon Faktor

Pohon faktor untuk mencari FPB dan KPK

Memang ada banyak cara untuk mencari FPB dan KPK. Ada
yang menggunakan cara manual dengan membagi-bagi
bilangan dan mencari kelipatannya. Ada juga yang
menggunakan tabel-tabel .

Untuk mencari FPB dan KPK diperlukan Bilangan prima dan
juga faktorisasi prima. Seperti yang sudah pernah kita
pelajari sebelumnya, bilangan prima merupakan bilangan yang
hanya mempunyai dua faktor yaitu bilangan itu sendiri dan 1.
Yang termasuk bilangan prima adalah {2,3,5,7,11,.......}.

Sedangkan faktorisasi prima merupakan penguraian bilangan
menjadi perkalian faktor-faktor prima. Untuk melakukan
faktorisasi prima ini diperlukan pohon faktor.

Contoh:
Berapakah faktor prima dari 48 ?
Untuk mencari faktor prima dari 48, maka kita harus
membuat pohon faktor seperti di bawah ini.

Pohon faktor dari suatu bilangan
Mencari faktor prima dari 48 bisa langsung dibagi dengan
bilangan prima terkecil yaitu 2 seperti gambar a. Namun kita
juga bisa membagi dengan bilangan yang bukan bilangan
prima seperti gambar b. Jadi kita bisa membagi dengan
bilangan mana saja yang sekiranya mudah dan bisa membagi
48. Yang penting jika hasilnya bukan bilangan prima maka
harus dicabangkan lagi sampai ketemu dengan bilangan-
bilangan prima.

Nah, setelah kita mendapatkan semua bilangan prima yaitu 2,
2, 2, 2, 3 saatnya menguraikan bilangan -bilangan prima
tersebut menjadi faktorisasi prima. Apabila ada bilangan
yang sama, jadikan dalam bentuk pangkat. Ada empat buah
angka 2 (2, 2, 2, 2 ) dan satu angka 3.

Maka faktorisasi prima dari 48 adalah = 24 x 3

Mencari FPB dan KPK

Setelah kita tahu cara mencari faktor prima dari suatu
bilangan, kini saatnya kita mencari FPB dan KPK dari
beberapa bilangan. Untuk mencari FPB ini kita menggunakan
faktor persekutuan sedangkan untuk mencari KPK kita
menggunakan kelipatan persekutuan.

Faktor persekutuan merupakan faktor yang sama dari dua
bilangan atau lebih dan FPB adalah nilai yang paling besar
dari faktor persekutuan dua bilangan atau lebih tersebut.

Kelipatan persekutuan merupakan kelipatan yang sama dari
dua bilangan atau lebih dan KPK adalah nilai terkecil dari
kelipatan persekutuan dua bilangan atau lebih tersebut.

Contoh soal 1

Tentukan FPB dan KPK dari 21, 36, dan 48 !

Untuk mencari FPB dan KPK dari 21, 36, dan 48 ada banyak
cara, tapi kita menggunakan cara yang paling mudah saja
yaitu membuat pohon faktor seperti di bawah ini.
Contoh Pohon faktor untuk mencari FPB dan KPK part 1

Nah, itu dia sudah ketemu faktor-faktor prima dari 21, 36,
dan 48. Setelah itu kita uraikan dulu menjadi faktorisasi
prima yaitu mengalikan semua bilangan prima. Tapi ingat,
tidak boleh ada angka yang sama (kembar). Kalau angkanya
sama harus dipangkatkan dan jadinya seperti ini :
21 = 3 x 7
36 = 22x 32
48 = 24 x 3

Cara mencari FPB

Untuk mencari FPB, yaitu dengan cara mencari faktor prima
yang sama dari ketiga bilangan, cari pangkat yang paling
kecil.

Seperti pada gambar, yang saya lingkari adalah faktor prima
yang sama yaitu angka 3 saja yang terdiri dari 3, 3, 32. Yang
diambil adalah faktor prima dengan pangkat terkecil yaitu 3.
Untuk faktor prima yang tidak sama disingkirkan alias tidak
usah dikalikan meskipun angka 2 juga ada yang sama, tapi
ada bilangan yang tidak memiliki faktor prima 2 yaitu 21.

Dengan demikian maka FPB dari 21, 36, dan 48 adalah 3

Cara Mencari KPK

Untuk mencari KPK, yaitu dengan cara mencari faktor prima
yang sama dari ketiga bilangan, cari pangkat yang paling
besar dan kalikan dengan semua bilangan.

Seperti pada gambar, yang saya lingkari adalah faktor prima
yang sama yaitu angka 3 yang terdiri dari 3, 3, 32. Yang
diambil adalah faktor prima dengan pangkat terbesar yaitu
32. Selain itu ada juga faktor prima yang sama yaitu 22 dan
24 maka yang diambil adalah faktor prima dengan pangkat
terbesar yaitu 24 dan kalikan dengan bilangan prima yang
lain.

Dengan demikian maka KPK dari 21, 36, dan 48 = 32 x 24 x
7 = 1008

Contoh soal 2
Tentukan FPB dan KPK dari 24, 54, dan 90 !

Untuk mencari FPB dan KPK dari 24, 54, dan 90 ada banyak
cara, tapi kita menggunakan cara yang paling mudah saja
yaitu membuat pohon faktor seperti di bawah ini.
Contoh Pohon faktor untuk mencari FPB dan KPK part 2
FPB dari 24, 54, dan 90 = 2 x 3 = 6
KPK dari 24, 54, dan 90 = 23 x 33x 5 = 1080