The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Published by joxijo6730, 2022-04-19 09:41:15

Kvant_02_2022

Kvant_02_2022

сеточная сеточная несеточная

№2 2022

ФЕВРАЛЬ

НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1970 ГОДА

В номере:

УЧРЕДИТЕЛИ 2 Аэродинамическая задача Ньютона и человек-

Российская академия наук невидимка (окончание). А.Плахов, В.Протасов

Математический институт 12 Тепловые эффекты – квантовая природа.
им. В.А.Стеклова РАН
С.Варламов
Физический институт
им. П.Н.Лебедева РАН ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР 22 Нобелиада-21. Л.Белопухов

А.А.Гайфуллин ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 28 Задачи М2686–М2689, Ф2693–Ф2696
30 Решения задач М2674–М2677, Ф2680–Ф2684
Н.Н.Андреев, Л.К.Белопухов,
М.Н.Бондаров, А.А.Варламов, КАЛЕЙДОСКОП «КВАНТА»

С.Д.Варламов, А.П.Веселов, 32 Физические принципы
А.Н.Виленкин, Н.П.Долбилин,
С.А.Дориченко, В.Н.Дубровский, «КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
А.А.Заславский, А.Я.Канель-Белов,
П.А.Кожевников (заместитель главного 39 Задачи
редактора), С.П.Коновалов, К.П.Кохась, 40 Три истории про воду. С.Дворянинов
А.А.Леонович, Ю.П.Лысов, А.Б.Минеев,
В.Ю.Протасов, А.М.Райгородский, К О Н К У Р С И М Е Н И А.П.САВИНА
А.Б.Сосинский, А.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин,
В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова, 42 Задачи 21–24
А.В.Устинов, А.И.Черноуцан
(заместитель главного редактора) ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 43 Коронавирус на звездолете. А.Стасенко

А.В.Анджанс, М.И.Башмаков, В.И.Берник, МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК
А.А.Боровой, В.В.Козлов,
С.П.Новиков, А.Л.Семенов, 46 До финала. А.Блинков
С.К.Смирнов, А.Р.Хохлов
ОЛИМПИАДЫ
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
1970 ГОДА 48 Региональный этап LVI Всероссийской

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР олимпиады школьников по физике

И.К.Кикоин ИНФОРМАЦИЯ

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬ 53 Заочная физико-техническая школа при МФТИ
ГЛАВНОГО РЕДАКТОРА
54 Ответы, указания, решения
А.Н.Колмогоров
Вниманию наших читателей (11,64)
Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский,
И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург, НА ОБЛОЖКЕ
В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин, I Иллюстрация к статье С.Дворянинова
Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский, II Коллекция головоломок
А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков, III Шахматная страничка
Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин, IV Прогулки с физикой
И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский,

Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Аэродинамическая задача Ньютона
и человек-невидимка

А.ПЛАХОВ, В.ПРОТАСОВ

7. Оптические свойства параболы.

Поверхности малого сопротивления

Прием с рифлением очень хорош, но его Рис. 13
возможности ограничены. Можно дока- идет параллельно оси. Докажем это. Для
зать, что он уменьшит сопротивление мак- любой точки M параболы проведем пря-
симум вдвое. А вот следующий прием мую l, которая образует равные углы с
уменьшит его почти до нуля. Для этого мы отрезком FM и вертикальным лучом
не будем наносить бороздки на поверх- (рис. 14). По равенству вертикальных уг-
ность Ньютона, а придумаем новую поверх- лов, прямая l является биссектрисой угла
ность, основанную на оптических свой- FMH. При этом, как мы знаем, FM MH,
ствах параболы. поэтому l – серединный перпендикуляр к
отрезку FH. Значит, для любой точки K
Что такое парабола? Это график квадра- прямой l имеем KF KH. Но если точка K
отлична от M, то расстояние от нее до
тичной функции. Подходящим преобразо- директрисы меньше, чем наклонная KH.
Таким образом, расстояние от K до дирек-
ванием подобия он всегда приводится к трисы меньше, чем до фокуса. Это означа-
виду y x2. Поэтому все параболы подоб- ет, что вся прямая l, за исключением точки
ны между собой. Есть у параболы и гео- M, лежит вне параболы. Следовательно, l
– это касательная к параболе. Поэтому луч
метрическое определение: FM, отразившись от l (а значит, и от
параболы), пойдет вертикально вверх.
Парабола – геометрическое место то-
чек, находящихся на одинаковом рассто- Итак, пучок света, выходящий из фоку-
янии от данной точки (фокуса) и данной са параболы, отразившись от ее поверхно-
прямой (директрисы).
Рис. 14
У параболы y x2 фокус расположен в

точке F 1©§¨ 0.;В41 ¹¸·, а директриса – это пря-
мая y самом деле, расстояние от
4

любой точки M x; y до фокуса F равно

MF x2 § y 1 ·2 , а расстояние до ди-
©¨ 4 ¹¸
1.
ректрисы равно MH y 4 Возводя в

квадрат и проводя упрощения, получим,

что равенство MF MH выполнено, когда
y x2, т.е. когда точка лежит на параболе

(рис. 13).

У параболы есть замечательное оптичес-

кое свойство: произвольный луч, выходя-

щий из фокуса, отразившись от параболы,

Окончание. Начало – в предыдущем номере
журнала.

АЭРОДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА НЬЮТОНА И ЧЕЛОВЕК-НЕВИДИМКА 3

Рис. 15 Из параболы можно изготовить поверх-
ность вращения со сколь угодно малым
сти, становится пучком параллельных лу- сопротивлением. Для этого возьмем дугу
чей (рис.15). Оптическое свойство парабо- «перевернутой» параболы y x2 от ее
лы было открыто еще в Древней Греции вершины до точки, находящейся на уровне
одним из величайших математиков антич- фокуса (рис.16). Теперь сожмем эту дугу
ности Аполлонием Пергским (262 до н.э. — относительно точки F во
190 до н.э). Ныне оно используется повсе- много раз (т.е. сделаем го-
местно. Параболическое зеркало в кар- мотетию относительно F)
манном фонарике создает узкий направ- и отразим ее относительно
ленный световой луч. Для этого лампочку точки F. Получили фигу-
помещают в фокус. Принцип работы пара- ру из двух дуг парабол –
болической антенны или параболического большой и маленькой. Они
рефлектора в телескопе также основан на гомотетичны относительно Рис. 16
свойстве параболы превращать пучок па- их общего фокуса F. Частица, летящая
раллельных лучей (а значит, и лучей, вверх, ударяется о большую дугу, далее,
идущих от далекого источника) в пучок, согласно оптическому свойству параболы,
сходящийся в одной точке. отражается и летит через фокус и, по тому
же оптическому свойству, отразившись от
маленькой дуги, летит вертикально вверх.
Итак, после двух отражений от дуг парабол
частица будет лететь в том же направлении
и с той же скоростью, как раньше. Поэтому
она не окажет никакого воздействия на
фигуру из двух дуг парабол. Теперь закру-

Иллюстрация М.Кашина

4 КВАНT $ 2022/№2

ника, образованного этими касательными, прохо-
дит через фокус, а точка пересечения высот
этого треугольника лежит на директрисе.

Рис. 17 8. Нулевое сопротивление возможно!

тим эту фигуру относительно вертикальной Итак, существуют поверхности сколь
прямой. Полученная поверхность (рис.17) угодно малого сопротивления. Попробуем
состоит из двух частей. Верхняя часть, сделать следующий шаг и найти поверх-
поверхность вращения дуги большой пара- ность с сопротивлением, равным нулю.
болы, похожа на шляпку гриба. Нижняя – Задача кажется совершено невыполнимой
тонкое кольцо, полученное из маленькой (если не сказать – сумасшедшей). Но и она
дуги. Соединим шляпку с кольцом тонкими разрешима!
палочками. Все частицы, летящие верти-
кально вверх, отразятся от внутренней сто- Нам нужно придумать абсолютно обте-
роны шляпки, потом – от кольца, и продол- каемое тело, т.е. такое, которое при движе-
жат движение вверх с той же скоростью. нии в среде испытывает нулевое сопротив-
Поэтому их импульс не изменится, и сум- ление. Будучи один раз запущенным, та-
марное воздействие со стороны этих частиц кое тело будет двигаться бесконечно дол-
на поверхность будет равно нулю. Лишь гое время, не уменьшая скорости. Это,
частицы, столкнувшиеся напрямую с внеш- конечно, не будет вечным двигателем, по-
ней стороной кольца или с соединительны- скольку поверхность не совершает полез-
ми палочками, окажут воздействие на по- ной работы, но будет вечным движением –
верхность. Но оно будет мало, поскольку и perpetuum mobile.
кольцо и палочки очень тонкие. Таким
образом, построенная нами поверхность Построение абсолютно обтекаемой фор-
имеет очень малое сопротивление. Умень- мы начнем с плоскости. Начертим два
шая размер маленькой дуги параболы, мы одинаковых равносторонних треугольника
уменьшаем толщину кольца, а значит, мо- ABC и AcBcCc таким образом, чтобы верши-
жем сделать сопротивление сколь угодно на B находилась в
малым! середине отрезка
AcCc, а вершина Bc –
Все сопротивление, оказываемое шляп- в середине отрезка
кой, гасится тонким кольцом, и в резуль- AC (рис. 18). Обо-
тате сопротивление получается малень- значим через M точ-
ким. Конечно же, кольцо надо сделать из ку пересечения AB
сверхпрочного материала, поскольку на и AcBc, а через N –
него приходится очень большое давление. точку пересечения
Поверхность напоминает по форме летаю- BC и BcCc. Рассмот- Рис. 18
щую тарелку. Видимо, это просто совпаде- рим конструкцию, состоящую из треуголь-
ние. Хотя как знать... ников AAcM и CCcN. Пусть частица дви-
жется в направлении, параллельном AAc,
Упражнения и сталкивается с нашей конструкцией в
точке Р, а затем претерпевает отражения
4. Докажите, что из любой точки директрисы (по закону бильярда).

парабола видна под прямым углом. Предоставляем читателю самостоятель-
но проверить, что частица отразится во
5. На плоскости дана прямая и точка A, не второй раз от отрезка NC и в дальнейшем
лежащая на ней. На прямой берется произ- будет двигаться с той же скоростью, что и
первоначально, причем длины отрезков
вольная точка N и через нее проводится пер- AcP и NQ равны, где P и Q обозначают
пендикуляр к отрезку AN. Докажите, что все точки отражений. Это означает, что сумма
такие перпендикуляры для всевозможных то- импульсов, переданных частицей паре тре-
угольников в результате двух отражений,
чек N касаются одной параболы. Где располо-
жены ее фокус и директриса?

6. К параболе проведены три касательные.

Докажите, что описанная окружность треуголь-

АЭРОДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА НЬЮТОНА И ЧЕЛОВЕК-НЕВИДИМКА 5

Рис. 19 этого многогранника требует определен-
равна нулю. Теперь рассмотрим фигуру ного пространственного воображения.
вращения треугольников AAcM и CCcN
вокруг оси BBc. Мы получим трехмерную Читатель может попробовать найти дру-
поверхность в виде шайбы (рис. 19). Она гие многогранники нулевого сопротивле-
обладает нулевым сопротивлением при дви- ния с числом граней (ребер, вершин) мень-
жении в направлении AcA. шим, чем у приведенного в нашем постро-
ении.
Можно изготовить поверхность нулево-
го сопротивления и другим способом. Рас- Упражнение 7. Треугольники AAcM и CCcN
смотрим призмы, в основании которых в описанном выше построении равнобедрен-
лежат треугольники AAcM и CCcN. Такая ные с углом 30q при основании. А можно ли
пара призм будет иметь нулевое сопротив- найти пару равнобедренных треугольников,
ление (рис. 20,а). Некоторое затрудне- обладающую нулевым сопротивлением, с про-
ние заключается в том, что эта конструк- извольным углом D при основании (0 D 45q)?
ция не жесткая: поток частиц будет стре- Почему угол должен быть меньше 45q?
миться отодвинуть призмы друг от друга.
Чтобы исключить такую возможность, со- Процесс изготовления поверхности ну-
единим их двумя отрезками. (Отрезки левого сопротивления можно представить
имеют нулевую толщину, а значит, и нуле- себе следующим образом. В случае фигу-
вое сопротивление.) Но лучше сделаем по- ры вращения (см. рис. 19) берем цилиндр,
а затем вырезаем из его средней части и
Рис. 20 выкидываем два усеченных конуса. В слу-
другому. Склеим вместе 4 пары призм. чае двух призм (см. рис. 20,а) берем пря-
Для того чтобы понять, как именно это моугольный параллелепипед и из его сере-
сделать, рассмотрим проекцию на плос- дины вырезаем и выкидываем некоторую
кость, перпендикулярную направлению его часть (невыпуклый многогранник).
потока. Проекция каждой призмы – пря- Естественно стремиться к тому, чтобы от-
моугольник. Проекция всех призм – 8 носительный объем выкинутой части (т.е.
прямоугольников (рис. 20,б), все вместе отношение этого объема к объему исходно-
они образуют жесткую конструкцию. Мы го тела, цилиндра или параллелепипеда)
получили новый невидимый объект – мно- был как можно меньше. Тогда в космичес-
гогранник, имеющий нулевое сопротивле- ком корабле такой формы поместится боль-
ние. Подсчет числа граней, ребер и вершин ше груза. Какой из двух способов лучше?
Сформулируем этот вопрос в виде упраж-
нения.

Упражнение 8. Найдите значение относи-
тельного объема выкинутой части в случаях,
приведенных выше (ответы, конечно, зависят
от D).

Можно ли сделать так, чтобы относи-
тельный объем выкинутой части был сколь
угодно мал? Оказывается, можно! Снова
начнем с построений в плоскости. Рассмот-
рим объединение двух равнобедренных
трапеций ABCD и AcBcCcDc, симметрич-
ных друг другу относительно вертикаль-
ной прямой (рис. 21). Обозначим
r CCc BBc и D ‘ABC (следователь-
но, D ‘BAD ‘AcBcCc ‘BcAcDc). Те-
перь выберем угол D, равный S m, где m –
целое число, большее четырех. Проведем
вспомогательное построение: отразим тра-

6 КВАНT $ 2022/№2

пецию BBcCcC относи- на одной прямой. Далее сделаем второе
отражение вместе с третьим отрезком би-
тельно стороны BC – в льярдной траектории – и снова мы полу-
чим три отрезка на одной прямой. По-
результате получим тра- скольку в конечном итоге прямая пересе-
кает наш многоугольник, мы заключаем,
пецию B1BCC1. Эту тра- что исходная траектория пересекла отре-
пецию теперь отразим от- зок CcC. После первого отражения частица
движется под углом к вертикали 2D, после
носительно стороны второго – 4D, после k отражений и пересе-
чения линии CcC она движется под углом
B1C1 и будем продол- 2kD. В конце концов частица пересечет
жать этот процесс отра- отрезок DcD (рис. 22,б), и затем угол к
вертикали будет изменяться в обратном по-
жений до тех пор, пока рядке: после первого отражения он станет

мы не вернемся к исход- равен 2 k 1 D, после второго 2 k 2 D и

ной трапеции BBcCcC. так далее. Нам нужно показать, что после
всех отражений угол будет равняться нулю.
Образы отрезка CcC при Применим снова метод развертывания тра-
ектории, на этот раз в обратном направле-
этих отражениях скла- нии. Пусть последнее отражение произош-

дываются в границу пра- ло от стороны AD; отразим трапецию

вильного m-угольника ADDcAc от этой стороны, так что получится

Рис. 21 (рис. 22,а). Подберем трапеция A1D1DA. Образ предпоследнего
значение r таким обра- звена траектории вместе с (не отраженным)

зом, чтобы прямые AB и AcBc касались последним звеном лежат на одной линии.

этого многоугольника, т.е. имели с ним Продолжим этот процесс, отражая A1D1DA
относительно стороны A1D1 и получая тра-
непустое пересечение, но многоугольник пецию A2D2DA 1A1 вместе с находящимся
внутри нее образом предпредпоследнего
находился бы целиком внутри полосы, отрезка траектории. Закончим этот про-
цесс, когда очередной образ отрезка пересе-
образованной этими прямыми. Ясно, что r чет наш многоугольник. Посмотрим, что у
нас получилось (см.рис. 22,б). Образы от-
зависит от m. Читатель при желании легко резков траекторий, составленные вместе,
выстроились в один луч, пересекающий как
выведет формулу этой зависимости. (Вни- отрезок AAc, так и многоугольник (попада-
ниями в концы отрезков мы пренебрега-
мание: формулы будут разными для чет- ем). Отсюда следует, что угол, образован-
ный этим лучом по отношению к вертика-
ных и нечетных m!) Из них будет следо- ли, меньше 2D (почему?). Но мы уже
знаем, что этот угол может принимать
вать, что при возрастающем m величина r только значения, кратные 2D, а значит, он
равен нулю. Таким образом, данная повер-
стремится к нулю. хность действительно имеет нулевое со-
противление.
Докажем, что любая частица, двигающа-

яся вертикально и отразившаяся, скажем,

от стороны BC, в конечном счете пересечет

линию CCc (и затем станет двигаться внут-

ри прямоугольника CCcDcD, как показано

на рисунке 21). Для доказательства мы

применим так называемый метод развер-

тывания траектории, весьма распростра-

ненный в теории бильярдов. Отразим тра-

пецию BBcCcC вместе со вторым отрезком

траектории относительно стороны BC – в

результате получим два отрезка, лежащие

Рис. 22 9. Немного критики

Итак, мы построили несколько поверх-
ностей, которые, по крайней мере теорети-

АЭРОДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА НЬЮТОНА И ЧЕЛОВЕК-НЕВИДИМКА 7

чески, имеют нулевое сопротивление. К так: невидимый объект – этот тот, который
сожалению, ключевое слово в этой фра- невидим невооруженному человеческому
зе – теоретически. Если сделать косми- глазу, причем в рамках геометрической
ческий корабль в форме одной из этих оптики. Таким образом, мы будем считать,
поверхностей, то он будет двигаться без что световые лучи распространяются по
сопротивления только в одном направле- прямым и отражаются от зеркальных по-
нии! Никакие повороты не допускаются. К верхностей по закону «угол падения равен
тому же, наша математическая модель углу отражения». Объект будем считать
слишком идеализирована и не учитывает невидимым, если начальная прямая, по
физических аспектов взаимодействия час- которой распространялся луч до встречи с
тиц среды с молекулами поверхности тела. объектом, совпадает с конечной прямой,
Конечно же, это взаимодействие не будет вдоль которой он после встречи попадает в
полностью упругим, и часть механической глаз. Сначала зададимся вопросом, суще-
энергии при столкновении будет неизбеж- ствуют ли тела с зеркальной поверхнос-
но переходить в тепло. Кроме того, наша тью, невидимые в одном направлении.
модель не учитывает теплового движения Если на такое тело падает в данном направ-
частиц среды, которое всегда так или ина- лении световой луч, то после нескольких
че присутствует. отражений от тела он будет двигаться в том
же самом направлении и вдоль той же
И все же, и все же... Хочется верить, что прямой. Это напоминает свойство нулевого
использование одной из приведенных форм сопротивления, когда любая частица после
может существенно уменьшить реальную всех отражений от поверхности сохраняет
силу сопротивления среды. А раз так, то направление движения и, тем самым, со-
их можно будет применить, например, при храняет свой импульс. Невидимость – бо-
строительстве летательных аппаратов и лее сильное свойство! Каждый луч после
космических кораблей. отражений от поверхности не только сохра-
няет направление, но и лежит на той же
Будем оптимистами! Ведь когда-то и самой прямой.
многие привычные сегодня вещи счита-
лись абстракцией. Всего лет 30 назад Итак, если поверхность невидима, то
математики пытались теоретически обо- она имеет нулевое сопротивление, но
сновать возможность компьютера распоз- обратное может не выполняться. И тем
навать рукописный текст и голосовые не менее, из поверхности нулевого сопро-
команды. Сейчас это умеет делать каж- тивления можно сделать невидимую, что
дый смартфон. мы сейчас и продемонстрируем.

Упражнение 9. Тело нулевого сопротивле- Возьмем любую из поверхностей нулево-
ния, показанное на рисунке 19, с постоянной го сопротивления, которые мы построили
скоростью пролетает через облако, имеющее в разделе 8. Отразим ее зеркально относи-
форму слоя между двумя плоскостями, пер- тельно плоскости, перпендикулярной на-
пендикулярными направлению движения. Ка- правлению движения. Получится фигура
кой станет форма облака после прохождения из двух частей. Она является невидимой!
тела? Правда, не со всех сторон, а только вдоль
направления движения. Ну и разумеется,
10. Невидимые поверхности если мы нанесем на поверхность зеркаль-
ное покрытие. На рисунке 23 изображена
Нам остается один шаг до построения невидимая поверхность, обладающая вра-
невидимых поверхностей. Только сначала щательной симметрией. Любой луч, иду-
договоримся о том, что такое «невиди- щий вдоль оси симметрии, после четырех
мость». Это понятие неоднозначно! На- отражений оказывается на той же пря-
пример, технологии cтелс позволяют само- мой. Таким образом, все лучи как бы
лету быть невидимым для радаров. Он «обходят» поверхность и возвращаются
поглощает испускаемые радаром радио- на свои прямые.
волны и не отражает их. Но мы этот
самолет видим. Поэтому мы договоримся

8 КВАНT $ 2022/№2

Рис. 23 Рис. 25
трапеций, показанных на рисунке 24,б,
К сожалению, эта поверхность невидима также имеет нулевое сопротивление.
только в одном направлении. А можно ли
сделать такую поверхность, которая была Теперь совершим параллельный перенос
бы невидима отовсюду? Увы, было дока- пары треугольников в направлении, пер-
зано, что таких поверхностей нет. Но пендикулярном плоскости, в которой они
можно, тем не менее, придумать поверхно- находятся, на расстояние, равное длине
сти, невидимые с нескольких направле- прямолинейной стороны (вертикальной на
ний. Начнем с двух. рисунке). Образуется пара криволиней-
ных призм (рис. 25,а). Пересечем эту пару
Покажем, как изготовить тело, невиди- призм с парой, полученной из нее поворо-
мое в двух направлениях. Излагаемая ниже том на 90q вокруг ее оси симметрии, парал-
конструкция принадлежит В. Рощиной. лельной плоскостям треугольников
Как всегда, мы начнем с рисунка на плос- (рис. 25,б). Таким образом, мы построили
кости. Рассмотрим произвольную парабо- новую фигуру – пару криволинейных че-
лу и отразим ее центральной симметрией тырехгранных пирамид (рис. 25,в). Она
относительно фокуса. Эти две параболы, имеет нулевое сопротивление в двух на-
исходная и отраженная, имеют общую ось правлениях, параллельных сторонам осно-
симметрии. Проведем две прямые, парал- ваний пирамид. Теперь, чтобы получить
лельные этой оси и симметричные друг невидимое в двух направлениях тело, дос-
другу относительно нее. Рассмотрим два
криволинейных треугольника, образован- Рис. 26
ных отрезками этих прямых и дугами пара- таточно учетверить конструкцию (рис. 26),
бол (рис. 24,а). Объединение этих треу-
гольников имеет нулевое сопротивление в направления невидимости – v1 и v2.
направлении общей оси (почему?). Заме-
тим, что объединение двух криволинейных 11. Тело, невидимое из точки,
или кое-что о «белой
Рис. 24 сферической лошади»

Один из авторов данной статьи, расска-
зывая на научном семинаре о невидимых
поверхностях, упомянул, что сделать ре-
альную модель такой поверхности непро-
сто. В реальности она оказывается только
«почти невидимой». Поверхность все-таки

АЭРОДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА НЬЮТОНА И ЧЕЛОВЕК-НЕВИДИМКА 9

немного искажает расположенную за ней Гиперболой называется множество точек
картину, и это человеческий глаз сразу M на плоскости, разность расстояний от
замечает. В чем дело? Один из слушателей которых до двух данных точек F1, F2 посто-
сразу же нашел ответ. Ни качество изго- янна по модулю. Точки F1 и F2 – фокусы
товления поверхности, ни качество зер- гиперболы. У гиперболы тоже есть опти-
кального покрытия тут ни при чем. Причи- ческое свойство, и оно похоже на свойство
на кроется в самой конструкции. Поверх- эллипса: каждый луч света, исходящий из
ность будет невидимой только для парал- одного фокуса, после отражения от гипер-
лельного пучка света, т.е. когда все лучи болы превращается в луч, продолжение
параллельны. Но мы смотрим не парал- которого проходит через второй фокус.
лельным пучком: все лучи сходятся в одной Таким образом, если в одном фокусе по-
точке – зрачке нашего глаза. Математики ставить источник света, то все исходящие
называют такой пучок центральным из него лучи после отражения от гипербо-
(центр – наш глаз). Только если центр пуч- лы не будут собираться в одной точке.
ка расположен очень далеко, пучок будет Более того, они будут расходиться. Но
близок к параллельному. Поэтому эффект зато их продолжения соберутся в одной
невидимости возникает, только если смот- точке – во втором фокусе.
реть на поверхность из очень далекой точки
(математик скажет – из бесконечно удален- Теперь мы готовы приступить к постро-
ной точки). ению поверхности, невидимой из одной
точки. Построим софокусные (т.е. имею-
А можно ли построить поверхность, ко- щие общую пару фокусов F1 и F2) эллипс
торая будет реально невидима, если смот- и гиперболу таким образом, чтобы отрезок
реть на нее хотя бы из одной точки? HcH, соединяющий две точки их пересече-
Можно! Для этого нам понадобится один ния, содержал фокус F2 (рис. 28). Прове-
геометрический факт. дем луч из фокуса F1 таким образом, чтобы
он проходил выше точки H и пересекал
Признак биссектри- гиперболу, и обозначим A и B точки его
пересечения с эллипсом и гиперболой.
сы треугольника. Далее рассмотрим луч, симметричный пер-
Отрезок BD есть бис- вому относительно прямой F1F2, и обозна-
сектриса угла B в чим точки его пересечения с эллипсом и
треугольнике ABC, гиперболой Ac и Bc. Таким образом, мы
если и только если получили два симметричных друг другу
выполнено равенство
Рис. 28
a1 b1 a2 b2 f 2 Рис. 27

(рис. 27).
Доказательство несложно, и мы оставля-

ем его читателю. Напомним теперь опреде-
ления эллипса и гиперболы, которые нам
понадобятся в дальнейших построениях.

Эллипсом называется множество точек
M на плоскости, сумма расстояний от
которых до двух данных точек F1, F2 посто-
янна. Точки F1 и F2 называются фокусами
эллипса. Эллипс имеет замечательное оп-
тическое свойство: каждый луч света,
исходящий из одного фокуса эллипса, пос-
ле отражения от внутренней поверхности
эллипса пройдет через другой фокус. Та-
ким образом, если в одном фокусе поста-
вить источник света, то все исходящие из
него лучи после отражения от внутренней
поверхности соберутся во втором фокусе.

10 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 2

криволинейных треугольника ABH и ний от пары треугольников движется вдоль
AcBcHc. А теперь рассмотрим частицу, луча F1D, полученного отражением исход-
вылетающую из фокуса F1 и отражающую- ного относительно прямой F1F2. Продол-
ся от этой пары треугольников. Пусть она жая движение, она совершает два отраже-
сначала отразится от некоторой точки C на ния относительно другой пары треуголь-
дуге AcHc. Далее она проходит через фокус ников, возвращается на луч F1C и в даль-
F2 и затем отражается от гиперболы в нейшем движется свободно вдоль этого
некоторой точке D. В силу определения луча. Тем самым обеспечена невидимость
эллипса, из точки F1. Разумеется, движение лучей
света происходит в обратном направле-
F1C F2C F1H F2H, нии. Луч движется по направлению к
а из определения гиперболы, точке, в которой расположен глаз, затем
совершает 4 отражения от четверки треу-
F1D F2D F1H F2H. гольников и наконец попадает в глаз вдоль
Перемножая левую и правую части этих той же прямой, по которой двигался изна-
равенств и учитывая перпендикулярность чально. Вращением полученной конструк-
отрезков F1F2 и F2H, получаем ции вокруг прямой F1F2 получаем поверх-
ность, невидимую из одной точки F1.
F1C F2C F1D – F2D F1H2 F2H2 F1F22.
Таким образом, мы получили поверх-
Мы видим, что сформулированный выше ность, которая действительно невидима.
признак биссектрисы применим к треу- Правда, только из одной точки, из других
гольнику CF1D, таким образом, F1F2 есть точек она будут видимой. Более того, из
биссектриса этого треугольника, а значит, этой точки нужно смотреть одним глазом,
‘CF1F2 ‘DF1F2. Согласно оптическому а другой прикрыть. Ведь второй глаз нахо-
свойству гиперболы, после отражения в дится в другой точке! Итог нашей работы
точке D частица движется вдоль прямой звучит не столь внушительно, как хоте-
DE, содержащей точку F1. Теперь рассмот- лось бы:
рим еще одну пару криволинейных треу-
гольников, полученных из исходной гомо- Построенная поверхность невидима,
тетией относительно точки F1. Коэффици- если смотреть на нее одним глазом из
ент гомотетии выберем таким образом, заданной точки пространства.
чтобы пересечение новой пары треуголь-
ников с парой исходных было парой точек Да уж... Как тут не вспомнить известный
(рис. 29). Частица, вылетающая из F1вдоль анекдот про математика, которому пору-
некоторого луча F1C, после двух отраже- чили определить, какая лошадь самая
быстрая. После долгих расчетов он вывел
Рис. 29 «уравнение движения белой сферической
лошади в безвоздушном пространстве». И
все-таки не будем забывать, что многие
великие открытия начинались с вещей,
которые казались совершенно абстракт-
ными и неприменимыми в жизни. Посте-
пенно, шаг за шагом, ученые и инженеры
доводили эти идеи до практического ис-
пользования (как говорят – «до железа»).
В качестве маленького шага в этом направ-
лении мы можем предъявить поверхность,
невидимую из двух точек. В частности, она
будет невидима, если смотреть на нее
двумя глазами. Правда, ее построение уже
значительно сложнее и выходит за рамки
нашего рассказа.

11А Э Р О Д И Н А М И Ч Е С К А Я З А Д А Ч А Н Ь Ю Т О Н А И Ч Е Л О В Е К - Н Е В И Д И М К А

Упражнения Невидимые поверхности используют со-
вершенно другой принцип: не физико-
10. Покажите, что частицы, отражающиеся от химический, а геометрический. Мы не
невидимого многогранника, совершают всегда меняем свойств материала, из которого
четное число отражений, не меньшее четырех. сделана поверхность. Мы придаем ей та-
кую форму, при которой все лучи света
11. Как вы думаете, почему при построении огибают поверхность, отражаясь от нее
поверхности, невидимой в двух направлениях, конечное число раз. Человеческому телу
не годится исходная конструкция из двух тре- вряд ли получится придать такую форму.
угольников? Но человек может просто окружить себя
такой поверхностью и, таким образом,
12. Докажите признак биссектрисы треу- стать невидимым. Так сказать, «надеть
гольника. невидимый плащ». Такой способ, кстати,
был бы совершенно безвреден для здоро-
13. Докажите, что график функции y 1 вья, в отличие от болезненной и опасной
x процедуры из романа Уэллса. Например,
человек, находящийся внутри поверхнос-
является гиперболой. Где расположены ее ти, построенной нами в разделе 10 (см.
рис. 23), будет невидимым. Правда, увы,
фокусы? только из одной точки.

12. Послесловие. Человек-невидимка Удастся ли развить идеи с невидимыми
поверхностями, чтобы разработать «неви-
В знаменитом романе английского писа- димый плащ»? В данной теме вообще
теля-фантаста Герберта Уэллса (1866– остается много вопросов, и не исключено,
1946) молодой ученый Гриффин после что читатель поучаствует в разрешении
четырех лет напряженного труда нашел некоторых из них. Например, можно пост-
способ делать предметы невидимыми. Для роить многогранники, невидимые в одном
этого он создал специальный аппарат, ко- направлении. А каково наименьшее число
торый с помощью мощного излучения по- граней (ребер, вершин) такого многогран-
нижал коэффициент преломления матери- ника? Можно добиться невидимости в
ала. Любой предмет, помещенный в аппа- двух направлениях, поместив рядом два
рат, через какое-то время становился неви- тела, но можно ли добиться этого эффекта
димым. А человеку, чтобы сделаться неви- посредством одного тела? В настоящее
димым, нужно было еще дополнительно время имеются примеры объектов, неви-
принять некоторые снадобья, например димых в конечном числе направлений. Но
опиум для обесцвечивания крови. На са- эти объекты бесконечносвязные: они со-
мом деле, как заметил еще Я.И.Перельман стоят из бесконечного числа отдельных
в книжке «Занимательная физика», такой кусочков. Можно ли придумать такой связ-
способ не может сделать человека полнос- ный объект? Пока все эти вопросы остают-
тью невидимым – глаза всегда останутся ся без ответа.
видимыми. Ведь глаз устроен так, что он
должен преломлять свет! В любом случае,
способ, изобретенный в романе Гриффи-
ном, делал предметы невидимыми с помо-
щью изменения структуры и свойств мате-
риала.

Вниманию наших читателей

Подписаться на журнал «Квант» можно с любого номера в любом почтовом
отделении. Наш подписной индекс в каталоге «Пресса России» – 90964.

Купить журнал «Квант» возможно в магазине «Математическая книга» издательства
МЦНМО (адрес интернет-магазина: biblio.mccme.ru), а также в московских книжных
магазинах «Библио-глобус», «Молодая гвардия», «Московский дом книги» и в
редакции журнала.

Архив вышедших номеров журнала «Квант» имеется на сайте http://kvant.ras.ru

Тепловые эффекты –
квантовая природа

С.ВАРЛАМОВ

Совсем малая примесь углерода к но, сохраняется. Какая из многочислен-
мягкому железу делает из него твердую ных составляющих энергии системы ато-
сталь. мов или молекул уменьшается, когда в
результате конденсации вещества образу-
Совсем малая примесь квантовой ме- ется жидкость или твердое тело и при этом
ханики к молекулярной физике делает выделяется энергия в виде тепла? Совер-
ее гораздо понятнее. шенно аналогичный вопрос можно задать
и про энергию системы атомов или моле-
В этой статье в совсем небольшой мере кул, в которой после проведения экзотер-
используются принципы, заложенные в мической химической реакции образуются
основу квантового описания объектов мик- новые молекулы и выделяется энергия в
ромира. Для качественного объяснения форме тепла или света, – где находится
тепловых эффектов, связанных как с об- источник этой энергии?
разованием самих атомов и молекул, так и
с перестройкой структуры вещества, при- В классической молекулярной физике
меняются соотношение Гейзенберга и пра- специально оговаривают, что при одной и
вило Паули. Этих «двух вещей» в боль- той же температуре средняя кинетическая
шинстве рассматриваемых случаев оказы- энергия, связанная с поступательным дви-
вается достаточно для проведения грубых жением, для молекул в составе пара, жид-
количественных оценок. Считается, что кости или твердого тела одинакова. Энер-
читатели знакомы с этими двумя принци- гия, о которой идет речь в данном случае,
пами. связана в основном с механическим движе-
нием ядер атомов, поскольку практически
Энергетические соотношения вся масса атомов сосредоточена именно в
в термодинамике их ядрах. Но это означает, что не механи-
ческое движение ядер ответственно за ин-
Сформулируем несколько вопросов, от- тересующие нас тепловые эффекты, а не-
веты на которые не удается найти в учеб- что другое. Что же остается? Остается
никах по физике и химии. энергия, связанная с движением электро-
нов и с взаимным расположением отрица-
i Почему существуют стабильные атомы тельно заряженных электронов и положи-
и молекулы? тельно заряженных ядер, т.е. ответы на
интересующие нас вопросы кроются в ус-
i В чем причина того, что при фазовых тройстве атомов и молекул и изменениях
этого устройства при химических реакци-
переходах веществ типа плавления зат- ях и фазовых переходах. Другими слова-
вердевания и парообразования конденса- ми, «собака зарыта» в структуре атомов и
ции поглощается выделяется энергия? молекул.

i Почему при образовании сложных ве- Адекватно объяснить, почему вообще
ществ из простых или при разложении существуют атомы и молекулы и как они
сложных веществ на простые (т.е. при устроены, физики смогли только после
химических реакциях) выделяется или создания квантовой теории. Эта теория
поглощается энергия?

При любых превращениях в физических
системах суммарная энергия, как извест-

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220201

ТЕПЛОВЫЕ ЭФФЕКТЫ – КВАНТОВАЯ ПРИРОДА 13

объясняет поведение микрообъектов, и хотя вещества порядка 10 8 см. Иными слова-
ее выводы справедливы и для крупных
объектов, но именно для электронов и ми, размеры могут отличаться в несколь-
ядер, из которых состоят атомы и молеку- ко раз, но не больше 10.
лы, они поражают воображение, так как не
укладываются в рамки привычных пред- Энергия системы «протон – электрон»
ставлений о поведении физических тел, или «остаток атома – электрон» определя-
получаемых из нашего повседневного опы- ется их взаимным расположением и дви-
та. Предсказания квантовой теории в точ- жением. В системе отсчета, связанной с
ности описывают реальное поведение мик- центром масс этой системы, можно счи-
рочастиц, и хотим мы этого или нет, но для тать протон атома водорода или остаток
объяснения интересующих нас явлений любого другого атома покоящимся. Хоро-
нужно опираться на квантовую теорию. шей моделью описания такого взаимодей-
ствия является представление о том, что
Поставим перед собой задачу получить эти частицы точечные, а для точечных
ответы на заданные вопросы на качествен- зарядов потенциальная энергия их взаи-
ном уровне (с грубыми количественными модействия зависит только от расстояния
оценками). Это предполагает, что во всех R между ними и от величин q1 и q2 самих
рассматриваемых случаях мы будем конст- зарядов:
руировать самые простые модели, кото-
рые только качественно будут соответ- U k q1q2 const.
ствовать реальным системам из микрочас- R
тиц. При этом полученные оценки и точные
значения или справочные данные могут Величина k равна 4дSо1Hг0овор9е˜н1н0о9 сВКтил˜ м2пр, иа-
отличаться в несколько раз. Для нас важно константу по общей
только совпадение оценок и реальных зна-
чений по порядку величин. нимают равной нулю, тогда при бесконеч-
но большом расстоянии между зарядами
Атомы и их ионизация их потенциальная энергия равна нулю. В
случае протона и электрона заряды имеют
Экспериментально установлено, что в противоположные знаки, поэтому потен-
состав атомов входят положительно заря- циальная энергия их взаимодействия от-
женные и массивные ядра и легкие (в рицательна. Взаимодействие заряженных
сравнении с ядрами) отрицательно заря- частиц имеет место при любом расстоянии
женные электроны. Простейший атом – между ними. Когда частицы с разными
атом водорода – состоит из одного протона знаками зарядов объединились и образо-
и одного электрона. Если мысленно выде- вали нейтральный атом, то в пространстве
лить один из электронов внешней элект- вокруг них электромагнитное поле стало
ронной оболочки любого нейтрального ато- существенно слабее, чем было вокруг каж-
ма, то он, как и в случае атома водорода, дой заряженной частицы. Заменим зави-
движется в поле, созданном остатком ато- симость типа 1 R более простой:
ма с зарядом, равным по величине заряду
электрона, только с другим знаком. Поэто- U R 0, если R ! D 2,
му энергии связи этих «пар» и размеры
области пространства, в которой они «про- U R Dkq1q2 , если x , y , z D 2,
живают», имеют для всех атомов один и тот D
же порядок. Так, радиус атомов всех хи-
мических элементов порядка 10 8 см (водо- где D – численный коэффициент, который
рода 0,53 ˜10 8 см, гелия 1,05 ˜10 8 см, урана нужно подобрать так, чтобы для большин-
1,5 ˜10 8 см), радиус ядер порядка 10 13 см ства атомов получить правильный поря-
(гелия 2 ◊ 10-13 см, урана 8,5 ˜ 10 13 см), а док величины энергии связи. Таким обра-
зом, плавную функцию мы заменяем ку-
расстояние между ядрами атомов твердого сочно-постоянной (рис. 1). При этом об-
ласть пространства вблизи ядра, где по-
тенциальная энергия отрицательна, имеет

14 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 2

Рис. 1 Кстати, эта энергия по величине равна
кинетической энергии электронов, живу-
форму куба. Это упрощенная модель су- щих на внешней электронной оболочке
щественно облегчает расчеты при сохране- атома, т.е. отрицательная потенциальная
нии качественного соответствия модели энергия по величине вдвое больше, чем
реальной ситуации. кинетическая энергия. Это правило вы-
полняется во всех случаях стационарных
Кинетическая энергия электрона в поле движений связанных систем тел, когда
«остатка атома» не может быть равной потенциальная энергия их взаимодействия
нулю – он должен обязательно двигаться. зависит от расстояния по закону 1 R.
Если электрон находится в ограниченной
области пространства с размерами поряд- Если системе добавить такую же по
ка D, то, в соответствии с неравенствами величине Eмин , но положительную энер-
Гейзенберга, гию, то вновь получатся разделенные боль-
шим расстоянием частицы: медленно дви-
'px ˜ D t h, 'py ˜ D t h, 'pz ˜ D t h, жущиеся (почти покоящиеся) протон и
электрон. Это произошла ионизация ато-
и поэтому электрон должен иметь мини- ма. Для большинства атомов химических
мальную кинетическую энергию порядка элементов энергия ионизации находится в
диапазоне 5–10 эВ. Если выбрать величи-
Eкин 3 h2 ну D2 | 70, то Eмин 7,7 эВ попадает при-
2 meD2 . мерно в середину указанного диапазона.
Размеры одиночных атомов разных ве-
Здесь 'pi – неопределенность проекции ществ отличаются от минимального для
импульса частицы на ось координат i; D – атома водорода (радиус 78 пм;1 пм 10 12 м)
до максимального для атома цезия (радиус
характерный размер атома (его диаметр), 265 пм). Упрощенная до предела модель,
примененная нами для оценки энергии
h – постоянная Планка, me – масса элект- ионизации атомов, естественно, не может
рона. Будем считать, что кинетическая объяснить различия в размерах атомов.
Более точные расчеты дают для атома
энергия электрона вблизи ядра не зависит водорода коэффициент при буквенном

от его местоположения. выражении не D2 6, а 2S2 . Энергия иони-

Суммарная энергия системы включает в зации для атома водорода равна на самом
деле 2,2 ˜ 10 18 Дж или 13,6 эВ.
себя кинетическую и потенциальную энер-
Для справки: самые большие энергии
гии: ионизации имеют атомы благородных га-
зов. Например, для ионизации атома ге-
Eсум U Eкин k De2 3 h2 , лия (He) нужно 24,6 эВ.
D 2 me D2
Энергия сродства к электрону
где е – заряд электрона. Будем теперь
Нейтральные, т.е. незаряженные, тела
изменять параметр D так, чтобы получи- (в том числе атомы и молекулы) и заря-
женные тела, как известно, притягиваются
лась минимальная суммарная энергия. Она друг к другу. Для объяснения этого приду-
мана идея о поляризации зарядов нейт-
отрицательна, достигается при определен- ральных тел во внешнем поле, созданном
заряженными телами. Когда электрон,
ном диаметре атома имевший малую (нулевую) начальную
кинетическую энергию, «садится» на атом
Dат 3h2 (рис. 2), то суммарная энергия иона (свя-
kDe2me

и равна Dke2 D2k2e4me
2Dат 6h2
Eмин |

| D2 ˜ 1,8 ˜ 10 20 Дж | D2 ˜ 0,11 эВ.

ТЕПЛОВЫЕ ЭФФЕКТЫ – КВАНТОВАЯ ПРИРОДА 15

Рис. 3

Рис. 2 U 2 Dke2 Dke2 3Dke2 .
R 2R 2R
занной системы электрон–атом) может
измениться в сторону уменьшения по срав- Расстояние R, как уже говорилось, равно
нению с энергией этих частиц, живших
порознь. В этом случае избыток энергии примерно диаметру Dат нейтрального ато-
выделяется, например, в форме излуче- ма. (Вспомним, что потенциальная энер-
ния, которое затем превращается в тепло-
вую энергию. Этот избыток энергии, отне- гия связанных стационарных состояний
сенный к определенному количеству ато-
мов (одному атому или одному молю ато- вдвое больше по модулю, чем соответству-
мов), называют энергией сродства атома к
электрону. Такая связанная система может ющая кинетическая энергия.) Формуле
существовать отдельно от других частиц.
для потенциальной энергии можно по ана-
Если атом не относится к благородным
газам, т.е. внешняя электронная оболочка логии с предыдущими расчетами, выпол-
атома не заполнена электронами полнос-
тью, то в этом случае могут образовывать- ненными с использованием простейшей

ся ионы с зарядом 1 , и их размеры модели, сопоставить минимальную энер-

примерно вдвое больше, чем размеры ней- гию (энергию связи):
трального атома (по данным справочни-
ка). Большая энергия сродства к электро- Eмин ион U Eкин U 3Dke2 .
ну у атомов галогенов (F, Cl, Br, I). 2 4Dат
Например, для хлора это 349 кДж моль
Отсюда энергия ионизации такого «обра-
3,6 эВ атом, при этом энергия иониза-
ции атома хлора равна1251 кДж моль или зования», или энергия сродства атома к
13 эВ. Иными словами, энергия сродства
по модулю примерно в 3,6 раз меньше электрону, равна примерно
энергии ионизации.
Eсрод Eат Eион Dke2 .
Это, с одной стороны, можно интерпре- 4Dат
тировать так, как будто для электрона-
гостя атом хлора представляет собой то- Полученная оценка величины энергии срод-
чечную частицу с зарядом, равным части
заряда электрона (0,7 е). А с другой сторо- ства к электрону вдвое меньше, чем энер-
ны, напрашивается и такое представление:
два электрона (один из прежнего набора гия ионизации. Вспомним, что для атома
электронов атома и второй – электрон-
гость) движутся синхронно вокруг остатка хлора отношение этих величин равно при-
атома (положительного иона), находясь
по разные стороны от центра атома. Рису- мерно 3,6.
нок 3 иллюстрирует эту идею. В этом
случае потенциальная энергия системы из Можно обратить внимание на то, что
электронов и остатка атома равна
получено качественное соответствие и по-

рядки величин совпали, но, в отличие от

энергии ионизации, когда все атомы име-

ют примерно одинаковую ее величину,

энергии сродства атомов к электрону рас-

положены в широком диапазоне: от ука-

занной величины 349 кДж моль для ато-

мов хлора до отрицательных величин для

атомов благородных газов и некоторых

других атомов. Для магния, например, это

21 кДж моль, для атома гелия энергия

сродства к электрону равна нулю, а для

атомов натрия и калия она примерно

50 кДж моль. Резонный вопрос – а поче-

16 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 2

му же существуют ионы с отрицательной Рассмотрим в качестве примера схемати-
ческий процесс образования одной моле-
энергией сродства к электрону? Ответ
кулы NaCl. Его можно разбить на несколь-
очень прост: система частиц все равно
ко этапов: 1) ионизация атома натрия
остается связанной, так как сумма потен-
( 496 кДж моль); 2) «посадка» электро-
циальной и кинетической энергий частиц, на на атом хлора ( 349 кДж моль); 3) при-
ближение иона натрия к иону хлора
входящих в состав этих ионов, остается
( 494 кДж моль) с большого расстояния
отрицательной. до расстояния, равного примерно сумме

Простая модель не может объяснить та- радиусов отрицательно заряженного иона

кого большого разброса величин, поэтому хлора (181 пм) и положительно заряжен-

придется довольствоваться только каче- ного иона натрия (98 пм). На каждом

ственными соображениями, которые мож- этапе нужно учитывать энергетический

но сформулировать так: каждый атом со- эффект соответствующего процесса, в ито-

здает для электрона-гостя определенную ге получается 347 кДж моль. Если счи-
тать, что электрон переселяется не полно-
по форме и глубине потенциальную яму. стью, а, например, только на 50%, то в
этом случае энергия связи будет в четыре
При этом его собственные электроны внеш- раза меньше.

ней оболочки, потеснившись, принимают Полученная величина – это грубая оцен-
ка для энергии связи только для объедине-
гостя в свою компанию. Размеры области ния в «пару» одного атома натрия и одного
атома хлора. А для оценки энергии, кото-
Х, где потенциальная энергия отрицатель- рая выделяется при образовании одного
моля атомов натрия с одним молем атомов
на и яма имеет глубину U, составляющую, хлора, нужно учитывать, конечно, что
каждый ион взаимодействует не с одним
скажем, 50% от ее максимальной глубины, ионом противоположного знака, а со все-
ми своими ближайшими соседями и поло-
определяют минимальную кинетическую жительно и отрицательно заряженными.
h2
энергию электрона: Eкин 3 me X 2 . Если Для характеристики способности атомов
2 объединиться в молекулу химики говорят
об энергетической «выгодности» или «не-
суммарная энергия Eкин U отрицатель- выгодности» перехода электрона от одно-
го атома к другому или вводят такую
на, то отрицательный ион может образо- характеристику атомов, как «электроот-
рицательность». При описании структуры
ваться и существовать долгое время. молекул используются символические изоб-
ражения атомов, соединенные черточка-
Образование полярной ми. Каждая черточка между ними симво-
химической связи лизирует связь между атомами. Каждой
черточке нужно мысленно поставить в
Некоторые атомы при химической реак- соответствие расстояние между ядрами и
ции образуют новые химические соедине- энергию связи. За этими образными слова-
ния, в молекулах которых на части атомов ми о выгодности и невыгодности и за
наблюдается положительный заряд (недо- рисунками стоят физические характерис-
статок электронов), а на других атомах, тики взаимодействующих атомов, которые
принадлежащих той же молекуле, наблю- в итоге сводятся к потенциальной и кине-
дается отрицательный заряд (избыток элек- тической энергии системы ядер и окружа-
тронов). Говорят, что электроны могут ющих их электронов.
частично или полностью переселяться с
одного атома на другой. При этом частич-
ное переселение можно интерпретировать
как такое движение, при котором боль-
шую часть времени электрон находится в
окрестностях одной из частей молекулы,
а меньшую часть времени он находится в
окрестностях другой части молекулы.
Соединение разных атомов в одну молеку-
лу при таком виде связи тоже приводит к
изменению (уменьшению) суммарной энер-
гии системы электронов и ядер.

ТЕПЛОВЫЕ ЭФФЕКТЫ – КВАНТОВАЯ ПРИРОДА 17

Энергия связи конденсированных лективизированного электрона внешней
веществ и кинетическая энергия
оболочки действие всех положительных
электронов
ионов и остальных коллективизирован-

Присоединение к конденсированному ных электронов мы будем упрощенно пред-
веществу – металлу или неметаллу – оче-
редной порции атомов или молекул, ранее ставлять как образование потенциальной
существовавших в виде одиночных час-
тиц, приводит к выделению теплоты, кото- ямы с размерами куба и с плоским дном.
рую нужно отводить от системы для под-
держания постоянной температуры. Изме- Выбраться из этой ямы самостоятельно
нение энергии системы атомов в этом слу-
чае объясняется тем, что при такой конден- электрон не может – не хватает запаса
сации вещества кинетическая энергия час-
ти электронов становится меньше. Приро- кинетической энергии. Проекции импуль-
да этого изменения энергии чисто кванто-
вая. Связано оно с увеличением размеров сов электронов на направления вдоль ре-
области проживания электронов внешних
и внутренних электронных оболочек ато- бер куба не могут быть произвольными –
мов. Когда электроны внешней оболочки
атома живут в уединенном атоме, то они выполняется такое условие: на расстоя-
(или он) вынуждены находиться в ограни-
ченной области пространства с характер- нии, равном длине ребра куба, должно
ным размером порядка диаметра атома D.
Электроны предпоследней (внутренней) укладываться целое число полуволн де
оболочки живут в области с меньшими
размерами, для следующей по глубине Бройля. Одновременно проекции импуль-
оболочки эта область еще меньше и так
далее. сов не могут быть вполне определенными:

В соответствии с неравенствами Гейзен- минимальная неопределенность или мак-
берга
симальная точность определения импуль-
h . Каждому разрешенному
са 'pmin ND

набору проекций импульса на соответству-

ющие направления соответствуют два раз-

решенных состояния электронов, которые

отличаются проекциями спинов на задан-

ное направление. (Спин – это внутренняя

характеристика состояния электрона. С

ним связан собственный момент количе-

ства движения электрона и магнитный

дипольный момент. Кроме того, спин оп-

ределяет внутреннюю симметрию частиц и

'px ˜ D t h, 'py ˜ D t h, 'pz ˜ D t h, их поведение в коллективе.) Это следует

из принципа Паули. Если каждый атом

каждый электрон на внешней оболочке отдает в коллективное пользование Z элек-

должен иметь минимальную кинетичес- тронов с внешней оболочки, то занятыми
окажутся ZN3 разрешенных уровней энер-
кую энергию

Eкин 3 h2 . гии. При низкой (нулевой) температуре
2 me D2
заполняются уровни с минимально воз-

После присоединения атомов друг к другу можными энергиями. При этом энергия

электроны их внешних оболочек коллек- самого верхнего из заполненных уровней

тивизируются и приобретают возможность называется энергией Ферми EF, а величи-
на импульса, соответствующего этой энер-
двигаться в гораздо большем объеме. Сум-
гии, называется импульсом Ферми pF.
марная кинетическая энергия электронов Связь между ними известна:

при этом становится меньше. pF2 .
2me
Для оценки средней кинетической энер- EF

гии коллективизированных электронов Минимум кинетической энергии (при

внешней оболочки атомов после образова- N 1) система электронов будет иметь,

ния конденсированного вещества – метал- если в трехмерном пространстве импуль-

ла – рассмотрим кубик вещества, у которо- сов будет заполнена приблизительно сфе-

го вдоль каждого ребра укладывается N ра радиусом pF от минимального возмож-

атомов (или молекул). Для каждого кол-

18 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 2

ного значения импульса (с проекциями на чек атомов находится так:

три оси координат) pmin h до макси- ³pF x2 ˜ 4Sx2dx
ND
мальной величины pF. Проекции импуль- 0 2m 3
Eкин ср 5 EF,
сов на оси координат принимают значе- 4S pF3
3
ния, близкие к разрешенным дискретным

значениям с квантом импульса, равным т.е. она составляет 3 5 от энергии Ферми,

минимальному значению импульса которая для каждого вещества имеет свое

'p h . собственное значение. Если считать, что
ND
размеры уединенных атомов примерно
Как раз таким проекциям импульса и
соответствуют подходящие длины волн де совпадают со значениями их диаметров,
Бройля. Эта же величина соответствует и
минимальной неопределенности проекций рассчитанными из параметров твердого
импульса. Такая минимальная разница
проекций импульсов позволяет отличить состояния (D Dатом Dкристалл), то раз-
друг от друга разные состояния электро- ница этих энергий равна примерно
нов. (Это различие объясняется принци-
пом Паули: двух электронов с полностью 3 3 h2 § 1 § 3Z ·2 3 ·
одинаковыми характеристиками в системе 5 2 mD2 ¨¨©1 5 ¨© 8S ¸¹ ¸¸¹
быть не может. Поэтому состояния элект- Eкин EF |
ронов в системе должны быть такими, что
их можно различить. Отметим, что систе- | 3 h2 §¨©¨1 Z2 3 ¸·¸¹.
ма электронов не потому себя так ведет, 2 mD2 20
что ей это «приказывает» принцип Паули.
Электроны вели себя так же и задолго до Если каждый атом отдает в коллектив-
того, как Паули придумал свой принцип,
и будут вести себя так всегда. Это принцип ное пользование только один электрон
Паули был выдвинут для того, чтобы как-
то описать и пояснить реальные особенно- внешней оболочки (Z 1), то его вклад в
сти поведения электронов.)
изменение энергии системы равен пример-
Внутри сферы радиусом pF должны на-
ходиться разрешенные наборы проек- но1, 42 h2 . Если в коллективное пользова-
ций импульсов в количестве mD2
ние от каждого атома отдаются по два

электрона внешней оболочки (Z 2), то

вклад одного атома в изменение энергии

системы становится почти вдвое больше:
h2
2, 76 mD2 . И так далее. Максимальное

число электронов на внешней оболочке

атома металла, которые имеют одинако-

4SpF3 ZN3 вые главные квантовые числа и могут
2.
h ·3 подвергнуться коллективизации, на прак-
ND ¹¸
3 § тике составляет 6 штук. Это имеет место
©¨
для элемента полония. Поэтому мини-

Отсюда находится величина импульса мальное изменение энергии каждого элек-
Ферми:
трона, подвергшегося коллективизации,

pF h § 3Z ·1 3 равно 1, 25 h2 . Заметим, что минималь-
D ©¨ 8S ¹¸ mD2
ный коэффициент 1,25 отличается от макси-

и энергия Ферми: мального 1,42 всего на 12%. Если атомом в
коллективное пользование отдаются элект-
EF h2 § 3Z ·2 3 роны не только последней, но и предпос-
2me D2 ©¨ 8S ¸¹ ледней оболочки или с еще более глубоких
. оболочек, то вклады каждого такого элект-
рона больше, чем для электронов внешней
Средняя кинетическая энергия коллекти- оболочки.
визированных электронов внешних оболо-

ТЕПЛОВЫЕ ЭФФЕКТЫ – КВАНТОВАЯ ПРИРОДА 19

Нас интересует число электронов, кото- Химические связи атомов
неметаллов в двухатомных
рые поступили от каждого атома или моле- молекулах (ковалентные связи)

кулы в «общий обменный фонд» при обра-

зовании конденсированного вещества. Для При образовании молекул разных хими-

грубой оценки следует сумму молярной ческих веществ тоже происходит измене-

теплоты плавления Lпл и молярной тепло- ние размеров области проживания части
ты парообразования Lпар вещества, т.е.
энергию Lпл Lпар, которая необходима, электронов, и это соответствует уменьше-
чтобы испарить 1 моль вещества, разде-
нию их кинетической энергии. При обра-

лить на число АmhвD2о2г.адКрооэ(фNфAи)цииернатзд(е1л,4и2т∏ь зовании большинства молекул выделяется

на 1,42 y 1,25 тепловая энергия (тепловой эффект хими-

ческой реакции).

Рассмотрим образование молекул про-

∏1,25) выбирается в зависимости от того, стых веществ: водорода, азота, кислорода,

сколько электронов отдает каждый атом в серы, фосфора, фтора, хлора, брома.

коллективное пользование и сколько элек- Объединение двух атомов в одну молеку-

тронов атома живет на самой внешней его лу мало изменяет размеры самих атомов,

электронной оболочке. Забегая вперед, следовательно, размер области прожива-

скажем, что для всех веществ, и металлов ния для коллективизированных электро-

и неметаллов, количество коллективизи- нов изменяется в первом приближении

рованных электронов, приходящееся на только в одном направлении – вдоль ли-

один атом, больше, чем число электронов нии, на которой расположены ядра двух

на внешней оболочке атома. В этом случае атомов. В отдельном (уединенном) атоме

нужно учитывать, что вклады в изменение каждый электрон обладает кинетической

кинетической энергии электронов внут- энергией

ренних оболочек, подвергшихся коллек- Eатом 12 h2 .
8 me D2
тивизации, более существенны, чем соот-

ветствующие вклады электронов внешней После образования двухатомной молеку-

оболочки. Для них (электронов внутрен- лы энергия каждого коллективизирован-

них оболочек) размер Dион соответствует ного электрона составит примерно
примерно диаметру иона: атома, у которо-
h2 h2 h2
го отсутствуют все электроны внешней Eмол | 2 me D2 1 9 me D2 .
2 2 2D 2 8
оболочки. Итак, me

Lпл Lпар 3h2 § § nвнеш ·2 3 · Разница этих энергий равна
NA 2mD2 ¨¨©1 ©¨ 20 ¹¸ ¸¸¹
nвнеш 3 h2
8 me D2
'E Eатом Eмол .

3h2 § § nвнут ·2 3 · При образовании одного моля двухатом-
2mDи2он ¨1 ¨ 20 ¸ ¸
nвнутр ©¨ © ¹ ¹¸ … ных молекул в двух молях атомов изменя-

ется кинетическая энергия некоторого ко-

Приведенная формула используется для личества электронов в каждом из атомов.
подсчета количества коллективизирован-
ных электронов nвнеш и nвнутр на внешних и Чтобы найти это некоторое количество
внутренних оболочках атомов, входящих
в состав конденсированного вещества, для электронов, нужно молярную энергию свя-
металлов, а также для оценки количества
электронов, которые отдают в коллектив- зи (молярную энергию диссоциации моле-
ное пользование молекулы веществ неме-
таллов при конденсации. кул) разделить на число Авогадро и на

2'E. Если получившееся число больше,

чем количество электронов, находящихся

на внешней оболочке уединенного атома,

то следует учесть частичную коллективи-

зацию электронов внутренней оболочки

атома. В соответствии с приведенной фор-

20 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 2

мулой были рассчитаны количества элек- электрону. Каждая молекула воды в соста-
тронов, отданных каждым атомом в кол-
лективное пользование при образовании ве льда участвует, как известно, в образо-
двухатомных молекул. Результаты вычис-
лений для простых веществ неметаллов вании четырех водородных связей, и по-
представлены в таблице 1.
чти такое же число электронов коллекти-
Из таблицы видно, что наибольшую
ошибку при подсчете количества коллек- визировано у каждой молекулы воды (3,9).
тивизированных электронов приведенная
формула дает для водорода: 1,3 вместо 1 Многоатомные молекулы ацетона, четы-
(снова напомним, что величины в табли-
це – это достаточно грубые оценки). Заме- Таблица 1 реххлористого или четырехбро-
тим, что только атомы фтора отдают в мистого углерода и бензола при
коллективное пользование не все, а лишь
часть (приблизительно 3 штуки из 7) элек- конденсации отдают в коллек-
тронов внешней оболочки. Атомы осталь-
ных веществ отдают все свои внешние тивное пользование несколько
электроны. Наиболее щедры атомы азота:
они вдобавок к пяти внешним электронам электронов своей внешней обо-
отдают с внутренней оболочки в общий
котел еще по одному электрону (0,88 | 1). лочки (не все, а только неболь-

Для конденсированных простых веществ шую часть). Чем крупнее атомы,
неметаллов количества коллективизирован-
ных электронов приведены в таблице 2. входящие в состав молекул не-

Как видно из таблицы, молекулы легких металлов, тем больше электро-
благородных газов (He, Ne, Ar) и двуха-
томные молекулы водорода, фтора, азота нов они (молекулы) отдают в
и кислорода в конденсированном веществе
не отпускают от себя даже по одному коллективное пользование, пе-

реходя в конденсированную фазу

вещества. Примеры, подтверж-

дающие такую тенденцию, это

ряд благородных газов – гелий,

неон, аргон, криптон, ксенон, радон; ряд

галогенов – фтор, хлор, бром, йод; ряд

метана СH4 и его аналогов, в которых
атомы водорода замещены атомами фтора,

хлора и брома: CF4, CCl4, CBr4. Для
последней группы молекул на каждый из

четырех входящих в молекулу атомов га-

логена (F, Cl, Br) при конденсации прихо-

дится примерно столько же коллективизи-

рованных электронов, сколько их из од-

ной молекулы коллективизируется при

конденсации чистых веществ (F2, Cl2, Br2).
И наконец, обсудим конденсированные

вещества металлы. В таблице 3 в первой

колонке записано вещество, во второй –

число электронов на внешних оболочках,

в третьей – сколько электронов из них

коллективизировано, в четвертой – число

электронов на первой внутренней оболоч-

ке, в пятой – сколько электронов из них

коллективизировано. Бор, германий и крем-

ний – неметаллы, но включены в таблицу

Таблица 2 вместе с металлами,
поскольку они в газо-

образном состоянии

не образуют двуха-

томных молекул или

молекул из большего

числа атомов. В твер-

ТЕПЛОВЫЕ ЭФФЕКТЫ – КВАНТОВАЯ ПРИРОДА 21

Таблица 3

дом конденсированном состоянии они пред- заметную часть электронов из внутренних
ставляют собой не молекулярный крис- оболочек.
талл, как, например, азот или кислород, а
атомный кристалл, как все металлы. Выводы

Посмотрим на получившиеся результа- С помощью простых расчетов показано,
ты, задумаемся и в меру своих знаний что для качественного объяснения причин
прокомментируем их. Прежде всего, обра- возникновения энергии связи конденсиро-
тим внимание на то, что из всех приведен- ванных веществ и образования химичес-
ных в таблице металлов у одного един- ких соединений можно использовать идею
ственного полония коллективизированы о том, что электроны внешних и внутрен-
электроны только внешней оболочки ато- них оболочек атомов подвергаются кол-
ма в количестве порядка 6. Есть атомы лективизации или передаются от одного
металлов, отдающие в коллективное пользо- атома к другому. Природа изменения ки-
вание электроны внешней оболочки и ме- нетической энергии электронов, с которым
нее одного электрона с внутренних оболо- связаны теплота плавления и теплота ис-
чек, это бериллий, ртуть, сурьма и цинк. парения веществ, а также энергия диссо-
Подавляющее большинство металлов от- циации молекул на атомы, имеет кванто-
дают в коллективное пользование не толь- вые корни.
ко электроны внешней оболочки, но и

ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ

Нобелиада-21

Л.БЕЛОПУХОВ

И ПО ФИЗИОЛОГИИ И МЕДИЦИ- ности. Вообще говоря, «сложность систе-
не, и по химии, и по экономике пре- мы» – понятие скорее математическое,
мии этого года хорошо соответствуют заве- нежели физическое. Но премия 2021 года
щанию Нобеля – «ежегодное награждение придает важность не абстрактно-матема-
тех лиц, которые в течение предшествую- тической стороне понятия «сложность», а
щего года сумели принести наибольшую совершенно конкретным физическим ис-
пользу человечеству». Правда, уже давно следованиям и математическим теоретико-
речь идет не о предшествующем годе, а о физическим работам, доведенным в ряде
предшествующем времени, иногда доволь- случаев до сравнения с многолетними эмпи-
но значительном. рическими наблюдениями и измерениями.

Впечатляет награда по физиологии и В качестве плацдарма исследований, где
медицине. Найдена разгадка реакции нер- проявляется особая сложность явлений,
вной ткани человека не только на такое Нобелевский комитет избрал одну из акту-
явление, как боль, но и на гораздо более альнейших научных проблем – проблему
интимные чувства – тепло, холод и при- глобального потепления земного климата.
косновение. Может быть, недалека и раз- Эта проблема понятна всем жителям Зем-
гадка такого прикосновения, как нежность ли, она обсуждается в научных и научно-
и ласка. Недаром статья об этой премии в популярных журналах, на политических и
журнале «Наука и жизнь» названа авто- экономических форумах и просто в людс-
ром «Разгадка теплых объятий». Так и ких беседах. Особенно актуальной эта
хочется назвать награду этого года меди- тема стала в прибрежных городах и при-
цинско-поэтической. морских странах (например, в Голлан-
дии). Ведь повышение температуры на
Необычной, «инверсной» хочется на- Земле означает частичное таяние ледников
звать работу, удостоенную премии по хи- и повышение уровня мирового океана, что
мии. Обычный путь каталитического син- грозит затоплению местностей, невысоко
теза асимметричных молекул дан приро- расположенных над берегом. Когда стали
дой на клеточном уровне А теперь для ряда подсчитывать возможные сроки затопле-
реакций найден путь каталитического син- ния и изменения в мировой флоре и фауне,
теза таких молекул без участия биологи- которые могут происходить при этом, то у
ческого клеточного механизма – как гово- разных футурологов получались сроки
рят биохимики, «in vitro», т.е. в стекле, в грядущих катаклизмов, отличающиеся в
пробирке, а не «in vivo», т.е. в живом десятки раз. Причина потепления – в
организме. Это открывает (и уже откры- поглощении солнечного тепла так называ-
ло) широкие возможности для синтеза емыми парниковыми газами и прежде все-
лекарств направленного действия, особен- го углекислым газом. Это потепление ста-
но для наследственных болезней. ли называть парниковым эффектом.

Несколько особняком стоит премия по Наметился даже раскол в отношении к
физике. Общее ее название: «За новатор- этой проблеме. Часть ученых-климатоло-
ский вклад в наше понимание сложности гов, геологов, астрофизиков утверждала,
физических проблем». Другими .словами, что потепление – следствие естественных
это премия за уточнение понимания слож- природных процессов, прежде всего свя-
занных с Солнцем и процессами, на нем
DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220202

ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ 23

происходящими. Но еще в 1896 году зна- рые необходимо выработать для противо-
менитый шведский химик Сванте Аррени- действия таким изменениям». Эти работы
ус высказал идею, что главная причина группой экспертов ООН продолжаются и
потепления – увеличение концентрации по сей день. Нобелевская премия мира
углекислого газа в земной атмосфере. Ведь была присуждена за их четвертый доклад
на Венере, например, большая концентра- ООН. А недавно, 9 августа 2021 года,
ция углекислоты в атмосфере – главная состоялся шестой доклад. Нобелевская
причина высокой средней температуры на премия по экономике была в 2018 году
этой планете (выше 400 qС). Но в XX веке присуждена Полу Ромеру и Уильяму Норд-
значительная часть ученых, а кроме того, хаусу (США) «за интеграцию проблемы
экономистов, технологов, политиков ут- изменения климата и технологических
верждали, что глобальное потепление – инноваций в долгосрочный макроэконо-
антропогенный фактор, связанный с рез- мический анализ».
ким увеличением потребления углерод-
ных топлив для автотранспорта и тепло- Но эти премии не были наградой за
вых электростанций, происшедшем на исследовательские научные работы. Они
рубеже 60-х годов прошлого столетия. лишь фиксировали работы по обобщению
имеющихся данных. Двенадцать раз (с
Эта тема была очень выгодной для об- 1924 по 1945 г.) номинировалась на Нобе-
суждения и создания определенного имид- левскую премию по физике работа нор-
жа у политических деятелей и получения вежского физика Вильгельма Бьеркнеса
грантов на исследования в научных лабо- «Прогноз погоды как физическая задача».
раториях. Но постепенно ажиотаж вокруг Но Нобелевский комитет по физике так и
этой проблемы стал затихать, все возмож- не посчитал эту работу достойной высокой
ные гранты были получены и истрачены. награды. И, наконец, в этом году Нобелев-
И начались серьезные научные исследова- ский комитет по физике принял решение
ния. Их результаты тогда не получали наградить непосредственно тех ученых,
широкого освещения в научной и околона- которые заложили основы нашего совре-
учной литературе, они не выходили за менного понимания процессов изменения
пределы узкоспециализированных науч- планетарного климата. Это решение было
ных журналов. Исследователи понимали, давно ожидаемым и восстанавливающим
что нужно время для уверенного получе- справедливость.
ния надежных результатов. И вот наконец
эти работы получили высокую оценку – Половина премии (5 миллионов шведс-
Нобелевскую премию по физике. Работы ких крон, что соответствует примерно
имели не только узко направленный ха- 500000 евро или 40 миллионам рублей)
рактер – разобраться в проблеме глобаль- присуждена климатологам Сюкуро Мана-
ного потепления. У исследователей было бэ (Syukuro Manabe, Япония) и Клаусу
ясное понимание сложности вопроса, по- Хассельману (Claus Hasselmann, Герма-
этому он и решался как частный случай ния) «за моделирование климата Земли,
исследования физически сложной системы. математическое описание изменчивых си-
стем и точное предсказание глобального
Вообще говоря, это – не первая нобелев- потепления». Как ясно из этой мотивиров-
ская награда за работы, изучающие изме- ки, премия дана за математически точное
нения климата и его последствия. В 2007 предсказание глобального потепления в
году Нобелевская премия мира была при- отличие от многочисленных спекулятив-
суждена Межправительственной группе ных работ и рассуждений на эту тему.
экспертов ООН по изменению климата Вторую половину премии получил италь-
(МГЭИК) и бывшему вице-президенту янский ученый Джорджо Паризи (Giordgio
США Альберту Гору «за их усилия по Parisi, Италия) «за открытие взаимодей-
распространению знаний об антропоген- ствий в хаосе и флуктуациях в физических
ном воздействии на изменение климата и системах от атомарных до планетарных
определению основных принципов, кото- масштабов».

24 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 2

Сюкуро Манабэ Сегодня 90-летний ученый продолжает
активно работать в должности старшего
Сюкуро Манабэ в 26-летнем возрасте метеоролога Принстонского университета
получил докторскую степень по метеоро- США, одного из самых знаменитых науч-
логии в одном из японских университетов, ных учреждений в мире (именно в этом
после чего в 1957 году уехал в США, где университете работал Альберт Эйнштейн
занялся изучением физики атмосферы и последние 20 лет своей жизни). Не правда
стал тогда одним из первых в мире искать ли, интересная должность – «старший
взаимосвязь между растущей концентра- метеоролог университета»?
цией углекислого газа в атмосфере и рос-
том глобальной температуры. Он не толь- Сюкуро Манабэ и сейчас – страстный
ко фиксировал эту взаимосвязь, но и, проповедник идеи глобального потепле-
главное, строил физические модели для ее ния, вызванного человеческой деятельнос-
объяснения. тью, так называемой антропогенной при-
родой глобального потепления. Он гово-
В моделях Манабэ учитывалась верти- рит, что наличие в ученом мире людей,
кальная конвекция воздушных масс и теп- которые в это не верят, для него является
ловой вклад глобального круговорота воды самой большой загадкой, «понять которую
в природе – отдача тепла при конденсации в миллион раз труднее, чем понимать
влаги. Вначале он не побоялся сделать причины изменения климата».
одномерное приближение – поведение вер-
тикальной колонны углекислого газа вы- Клаус Хассельман – ровесник Манабэ,
сотой 40 км. Дальнейшие его работы были ему тоже 90 лет. Он стал доктором наук по
значительно усложнены переходом к трех- гидродинамике в Геттингенском универси-
мерной модели и учетом движения других тете и после этого занимался построением
газов атмосферы. Оказалось, что концен- математических моделей волновых про-
трации азота и кислорода практически не цессов в океанах и течениях, заняв долж-
влияют на атмосферную температуру, тог-
да как удвоение концентрации углекисло- Клаус Хассельман
го газа (от 0,02% до 0,04%) повышает
температуру на 2 К. А это очень много!

ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ 25

Кривая Килинга шингтоне. И, конечно,
Чарльз Килинг был бы
ность океанолога в университете океано- сейчас заслуженным
логии в Калифорнии. номинантом на Нобе-
левскую премию 2021
В это время его друг Чарльз Дэвид года. И присуждение
Килинг, большой любитель горных путе- премии его другу и на-
шествий, в погодной высокогорной обсер- учному соратнику Хас-
ватории на гавайских островах на вершине сельману увековечива-
горы Мауна Лоа проводил многолетние ет научные достижения
измерения концентрации CO2 в местнос- обоих друзей. В танде-
ти, далекой от цивилизации, где должны ме Килинг–Хассельман
были усредняться все антропогенные вли- первый был «добытчи-
яния на атмосферу. Именно Килингом ком» фактов, а второй –
были получены надежные данные об изме- их тщательным анали-
нении концентрации углекислого газа от затором. Он применил
3,15 промилле (1 промилле 0,1%, обо- ряд математических
значается 1Y) в 1958 году до 3,8 Y в 2005 методов анализа инфор-
году, когда Килинг умер от сердечного мации, получивших об-
приступа. Но работы в этой обсерватории разные названия «слу-
продолжаются и сейчас, и для 2020 года чайные блуждания» и
они дали уже значение концентрации угле- «отпечатки пальцев».
кислого газа 4,15 Y.
Основное внимание
«Кривая Килинга» и сейчас является Хассельман уделил на-
самым надежным опытным обоснованием хождению стандартных
для всех работ по глобальному потепле- отклонений от средних
нию. Недаром она высечена на стене зда- значений, вызываемых сезонными измене-
ния Национальной академии наук в Ва- ниями содержания углекислого газа в ат-
мосфере, связи самых высоких и самых
низких отклонений с конкретными погод-
ными условиями в эти годы, т.е. попыткам
связать погоду и климат и сделать пред-
сказания погоды более надежными. При
этом он достоверно показал, что если бы не
было увеличения концентрации углекис-
лого газа в атмосфере, совпавшего по
времени с резким увеличением количества
тепловых электростанций и другими ант-
ропогенными факторами, то положение с
температурой атмосферы вовсе не было бы
таким критическим, она практически боль-
ше бы почти не возрастала.
Хассельманн еще в 1975 году вернулся в
родную Германию, основал институт Мак-
са Планка по метеорологии и до 1989 года
был одним из ее директоров, сейчас про-
должает занимать профессорскую долж-
ность в этом институте.
Джорджо Паризи – итальянский фи-
зик-теоретик. Он защитил докторскую
диссертацию в родном римском универси-

26 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 2

Джорджо Паризи что математических методов Пригожина и
его последователей недостаточно для пред-
тете «Сапиенум», там же и работает сейчас сказания поведения сложных систем. За-
в профессорской должности. В Италии он нявшись этой проблемой, Джорджо Пари-
хорошо известен своей общественно-поли- зи достиг успеха именно в математическом
тической деятельностью – неистовой пуб- обосновании закономерности появления тех
личной критикой недостаточного финан- гигантских флуктуаций на микроуровне,
сирования итальянской науки. которые приводят к качественно новым
явлениям на макроуровне.
Еще в 1977 году бельгийский химико-
физик Илья Пригожин стал Нобелевским Паризи с сотрудниками изучал такие
лауреатом по химии «за работы по термо- явления, как фронты горения (фронты
динамике необратимых процессов и их языков пламени), смачивание, кристалли-
использование в химии и биологии». При- зация, границы турбулентных зон в жид-
гожиным было постулировано существо- ких кристаллах, в самой современной
вание неравновесных термодинамических физике – глубокое неупругое рассеяние в
систем, которые при определенных усло- квантовой хромодинамике (появление нео-
виях поглощая энергию и вещество из жиданных сложных кварковых структур)
окружающего пространства, могут совер- и такую неожиданную для физика пробле-
шать качественные скачки с переходом му, как распределение транспортных по-
системы из одного состояния в другое, и токов. В этот перечень надо добавить поис-
эти скачки – непредсказуемы. В системе ки выбросов на кривой Лизинга – флукту-
происходит самоорганизация. Научное ации климатических изменений. Вызыва-
направление, которым стал заниматься ет восхищение и интерес разнообразие
Пригожин, а вслед за ним и его многочис- этих увлечений Паризи.
ленные последователи, получило название
синергетики. Сам Пригожин изучал воп- Но все дело в том, что все эти разнооб-
рос, как ведет себя при этом во времени и разные задачи были объединены одной
пространстве такая важная функция со- общей чертой. Степень их сложности очень
стояния системы, как энтропия – количе- большая. В каждой из них – огромное
ственная мера хаоса. число различных воздействий, и даже са-
мые современные суперкомпьютеры не
Типичным примером возникновения по- могут справиться с решением таких задач
рядка из хаоса являются фазовые перехо- «в лоб». Математические методы Паризи
ды. Многие исследователи стали зани- позволяют самой математике выделять те
маться анализом фазовых переходов с воздействия, которые приводят к гигантс-
позиций синергетики. Однако оказалось, ким флуктуациям поведения системы. В
конечном счете его методика сводится к
нахождению определенного числа энерге-
тически выгодных (с меньшей энергией)
состояний системы, а применяемая мате-
матика похожа в разных задачах.

Сам Паризи еще в 1980-е годы открыл
теоретически ряд закономерностей воз-
можного поведения некоторых материа-
лов, казавшихся полностью неупорядо-
ченными, и создал математический аппа-
рат. Наиболее полное решение было полу-
чено Паризи для рассмотрения возмож-
ных состояний так называемых «спино-
вых стекол». Успешное использование
решений Паризи для спиновых стекол
позволяет сейчас ставить вопрос о рожде-

ИЗ ИСТОРИИ НАУКИ 27

нии целой отрасли получения совершенно стекла – это вовсе не стекла в нашем
новых материалов. обычном понимании. Со стеклами их род-
нит только тот факт, что они не кристалли-
Математически постановка обеих задач – ческие, а аморфные тела. Но представля-
поведение спиновых стекол при измене- ют они собой не соединения из окислов
нии их состава и поведение климата Земли кремния, натрия и кальция (как обычные
при изменении состояния земной атмосфе- стекла), а сплавы двух металлов, напри-
ры – оказывается очень похожей. И этот мер меди и марганца, золота и железа,
факт дал возможность обоснования при- серебра и марганца, меди и неодима, в
суждения Паризи Нобелевской премии за соотношении примерно 10:1. И, конечно,
общность его решений для хаоса и для они совершенно не прозрачны. Один атом
флуктуаций в широком спектре физичес- спинового стекла при этом – немагнитный,
ких систем – от атомарных до планетар- а другой (железо, марганец, неодим) пред-
ных, от взаимодействий кварков до гло- ставляет собой так называемый ферромаг-
бального потепления климата. нетик. К сожалению, школьные (да и
вузовские) учебники по физике не объяс-
В самом решении Нобелевского комите- няют природу ферромагнетизма, ферри-
та нет ни слова о спиновых стеклах. Это магнетизма и антиферромагнетизма. Гово-
комментаторы после известия о присужде- рится лишь, что для ее понимания необхо-
нии Паризи Нобелевской премии броси- димо хотя бы минимальное знание кванто-
лись перерывать работы Паризи. Быстро вой механики. Нужно понять, в частности,
выяснилось, что если про спиновые стекла что такое спин и что такое обменное взаи-
еще хоть что-нибудь понятно, да и сами эти модействие. Но попытка разобраться в
слова «спин» и «стекло» хорошо извест- этом не наказуема.
ны, то о кварках или жидких кристаллах
у «нормальных» людей нет никакого пред-
ставления. Надо сказать, что спиновые

НЕИСЧЕРПАЕМЫЙ

(Начало см. на 2-й с. обложки) шесть четырехугольников, два пятиугольника и
Интересно найти все выпуклые сеточные фигу- четыре шестиугольника.
ры из танов. Напомним три определения выпукло-
го многоугольника (они эквивалентны): 1) если Попробуйте объяснить, почему треугольник
многоугольник лежит в одной полуплоскости отно- единственный, а многоугольников с 9 и более
сительно каждой прямой, содержащей его сторо- сторонами не бывает. Семиугольников и восьми-
ну; 2) если все внутренние углы многоугольника угольников тоже не бывает, но доказать это
меньше развернутого; 3) если для любых двух точек сложнее, поскольку придется оценивать мини-
внутри многоугольника отрезок с концами в этих мальную площадь таких фигур из танов на сетке.
точках лежит целиком внутри многоугольника.
Из полного набора элементов танграма можно Постарайтесь сложить все эти 13 фигур. Крас-
сложить 13 разных выпуклых сеточных много- ным цветом нарисованы те, сложить которые
угольников. Среди них ровно один треугольник, труднее.

Желаем успехов!

А.Ковальджи

ЗАДАЧНИК «КВАНТА»

Задачи
по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в
нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки
школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки
задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются
впервые.

Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электрон-
ным адресам: [email protected] и [email protected] соответственно или по почтовому адресу:
119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант».

Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим
решением этой задачи присылайте по тем же адресам.

Задачи М2686 и М2689 предлагалась на XXIV Кубке памяти А.Н.Колмогорова.

Задачи М2686–М2689, Ф2693–Ф2696

M2686. 99 команд сыграли двухкруговой
турнир по волейболу: каждая сыграла с
каждой матч дома и матч в гостях. Каждая
команда выиграла ровно половину своих
домашних матчей и ровно половину госте-
вых. Докажите, что какая-то из команд
дважды обыграла какую-то другую.

М.Антипов

M2687. Дан правильный n-угольник, n t 4.

Рассматриваются расстановки в его вер- Рис. 2

шинах n чисел, каждое из которых равно на луче XZ. Пусть P – точка пересечения
1 или 2 (всего 2n расстановок). Для каж- отрезков ZX и TbTc, и аналогично
Q XY ∩ TcTa , R YZ ∩ TaTb . Докажи-
дой такой расстановки K находим количе- те, что точки A, B, C лежат соответственно
на прямых RP, PQ, QR.
ство нечетных сумм среди
Л.Шатунов (ученик 11 класса)
всех сумм чисел в несколь-
M2689. В английском городе 1000 джен-
ких подряд идущих верши- тльменов, зарегистрированных в реестре
под номерами от 1 до 1000. Любые 720 из
нах. Это количество обозна- них образуют клуб. Мэр хочет обложить
чим a K (например, для каждый клуб налогом, который выплачи-
расстановки K, показанной вается всеми участниками клуба в равных
Рис. 1 на рисунке 1, n 5 и долях (налог – произвольное неотрица-
тельное вещественное число). При этом
a K 8). а) Найдите наибольшее воз- суммарный налог, выплачиваемый джен-
можное значение a K . б) Найдите коли- тльменом, не должен превосходить его
чество расстановок, для которых a K номера в реестре. Какой наибольший на-
принимает это наибольшее возможное зна- лог может собрать мэр?

чение. И.Богданов

П.Кожевников Ф2693. Три одинаковых по форме шарика
соединены невесомыми упругими (т.е.
M2688. Пусть Ta, Tb, Tc – точки касания
вписанной окружности Z треугольника
ABC со сторонами BC, CA, AB соответ-
ственно (рис. 2). Пусть X, Y, Z – такие
точки на окружности Z, что A лежит на
луче YX, B лежит на луче ZY, а C лежит

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 29

растяжимыми) нитями и подве- мент температуры жидкостей в сосуде были
такими: TЧ 92 qC, TС 60 qC, TК 40 qC.
шены к потолку на длинной Через минуту температура чая стала рав-
ной 91 qС. Тут объявили учебную тревогу
нити, как показано на рисун- и про жидкости забыли. Через какое время
компот прогрелся до первоначальной тем-
ке 3. Верхний – это теннисный пературы супа?

шарик со стандартными пара- А.Зильберман

метрами: диаметр D 40 мм, Ф2695. Тепловые свойства разных ве-
ществ в конденсированном состоянии име-
масса оболочки m 2,7 г. Сред- ют одинаковые характеристики. Напри-
мер, для большинства простых веществ при
ний и нижний – это сплошные средних температурах выполняется соот-
ношение, которое называют законом Дю-
шарики из алюминия плотно- Рис. 3 лонга и Пти. Согласно этому закону моляр-
стью Ua 2,7 г см3. Шарики ная теплоемкость твердых веществ весьма
все вместе погружены в бочку с водой так,
близка к величине 3R | 25 Дж моль ˜ К .
что они не касаются стенок и дна бочки.
При низких температурах наблюдается
Расстояния от верхнего шарика до поверх- отступление от этого закона. Та температу-
ра, при которой для данного вещества его
ности воды и от нижнего до дна бочки, а молярная теплоемкость становится при-
мерно на 10% меньше величины 3R, назы-
также от всех шариков до стенок бочки вается температурой Дебая TД. При темпе-
ратурах, значительно меньших температу-
значительно больше диаметров шариков. ры Дебая, молярные теплоемкости про-
стых веществ в твердом состоянии зависят
И расстояние между соседними шариками от температуры одинаковым образом:

тоже во много раз больше размеров шари- Cмол A T TД 3, где A – одинаковая для

ков. С какими ускорениями будут двигать- всех простых веществ величина.
В пенопластовую емкость с нулевой тепло-
ся шарики сразу после перерезания одной проводностью и нулевой теплоемкостью
стенок поместили 635 г меди при темпера-
из нитей? (Не забудьте про присоединен- туре 3 К и 627 г висмута при температуре
10 К. Какая температура установится со
ную массу воды, которая для шарика временем в этой емкости? Температура
Дебая для меди TД м 315 К, для висмута
равна половине массы воды, вытесненной TД в 120 К. Молярная масса меди
0м 63,5 г моль, висмута 0в 209 г моль.
шариком.) Вязкостью воды можно пре-
В.Дебаев
небречь, ускорение свободного падения
g 9,81 м с2. Ф2696. На два непроводящих и немагнит-
ных цилиндра одинаковой длины l, имею-
С.Шариков щих разные диаметры D1 и D2, много
меньшие длины l, намотаны виток к витку
Ф2694. Хорошо теплоизолированный со- в один слой по N витков тонкой сверхпро-
суд в форме куба стоит на горизонтальном водящей проволоки с очень тонким слоем
столе. Сосуд разделен тонкими вертикаль- изоляции снаружи. Меньшую из получив-
ными перегородками на три секции (рис. 4; шихся двух катушек вставили соосно
вид сверху). Все перегородки сделаны из внутрь катушки с бульшим диаметром.
одинакового материала и имеют одинако- Катушки соединены так, как показано на
вую толщину. Секции сосуда доверху за- рисунке 5. При таком соединении по вит-
полнили чаем (Ч), супом (С) и компотом
(К). После чего сосуд закрыли не прово-
дящей тепло крышкой. В начальный мо-

Рис. 4

30 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 2

легко проверить. Проверим переход

n 1 o n. Пусть на первом ходу отрезок

длины a разбили на отрезки длины b и c,

Рис. 5 где b c a. Тогда n 1 оставшихся ходов
сделаны для «подотрезков» одного из от-
кам двух катушек течет одинаковый ток и
магнитное поле внутри катушки меньшего резков b или c. Тогда, по предположению
диаметра равно нулю. К выводам системы
катушек подключили заряженный конден- индукции, сумма всех чисел на доске на
сатор. Емкость конденсатора C, а на его
обкладках находились электрические за- всех ходах, кроме первого, не превысит
ряды Q и Q. Какой максимальный по
величине ток будет протекать по виткам b2 c2 . Итого, сумма всех чисел на доске
катушек? 22
после n ходов не превышает bc b2 c2
C.Дмитриев
b c 2 a2 , что и требовалось 22
Решения задач М2674–М2677, доказать.
Ф2680–Ф2684 22

M2674. Дан отрезок >0; [email protected] За ход разре- М.Лукин, С.Дориченко,

шается разбить любой из имеющихся П.Кожевников
отрезков точкой на два новых отрезка и
записать на доску произведение длин этих M2675. В одной из клеток шахматной
двух новых отрезков. Докажите, что ни доски 10 u 10 стоит ладья. Переходя каж-
в какой момент сумма чисел на доске не дым ходом в соседнюю по стороне клет-
превысит 1 2. ку, она обошла все клетки доски, побывав
в каждой ровно по одному разу. Докажи-
Построим на нашем отрезке как на стороне те, что для каждой главной диагонали
квадрат и проведем в нем диагональ, про- доски верно следующее утверждение: в
тивоположную точке 0 (см. рисунок). маршруте ладьи есть два последователь-
ных хода, первым из которых она ушла с
Отметим первую точку этой диагонали, а следующим – верну-
A1, разбив исходный от- лась на нее.
резок на два. Произве-
дение длин полученных Зафиксируем диагональ. Крайние клетки
отрезков равно площади маршрута разного цвета, поэтому на диа-
заштрихованного прямо- гонали не более одной крайней клетки.
угольника, две противо- Ход ладьи соединяет две клетки (направ-
положные вершины которого — 0 и точка ление неважно). Из крайних клеток марш-
на диагонали, лежащая на перпендикуля- рута выходит один ход, из всех осталь-
ре к A1. Добавляя новые точки, мы будем ных – по два. С диагонали выходит не
добавлять на картинке новые прямоуголь- менее 2 ˜ 10 1 19 ходов. Все они ведут на
ники, которые не накладываются друг на соседние с диагональю клетки, а их только
друга и все лежат не ниже диагонали. 18. Значит, есть два хода, соединяющих
Поэтому их суммарная площадь (равная клетку диагонали с одной соседней клет-
сумме чисел на доске) не превосходит поло- кой. Это и есть искомая пара последова-
вины площади квадрата, т.е. 1 . тельных ходов. Задача решена.
Задачу можно решить и ин2дукцией по Несколько другой интересный вариант
количеству ходов n, доказывая более об- решения предложил участник Турнира
щее утверждение: для отрезка длины a городов (на котором предлагалась эта за-
после не более чем n ходов сумма чисел на дача) 11-классник Валерий Миронов. Его
доске не превысит a2. Действительно, базу рассуждение таково. На диагонали 10 кле-
2 ток. Между ними 9 кусков маршрута.
Значит, некоторые 5 из этих 9 кусков
маршрута должны располагаться с одной
стороны от диагонали. У этих 5 кусков

маршрута 10 начал концов, расположен-

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 31

ных на соседней с главной диагональю, а 1
на этой диагонали 9 клеток. Значит, нача- ‘PCD, а это и есть половина угла
ло и конец одного из кусков маршрута
совпадают, что и требовалось. 2
между хордами CD и PQ.
А.Грибалко
П.Кожевников
M2676. Внутри параллелограмма ABCD
взята такая точка P, что ‘PDA ‘PBA M2677. На столе в ряд лежат 20 плюшек
(рис. 1). Пусть Z1 – вневписанная окруж- с сахаром и 20 с корицей в произвольном
ность треугольника PAB, лежащая на- порядке. Малыш и Карлсон берут их по
против вершины A, а Z2 – вписанная очереди, начинает Малыш. За ход можно
окружность треугольника PCD. Дока- взять одну плюшку с любого края. Ма-
жите, что одна из общих касательных к лыш хочет, чтобы ему в итоге досталось
Z1 и Z2 параллельна AD. по десять плюшек каждого вида, а Карл-
сон пытается ему помешать. При любом
ли начальном расположении плюшек Ма-
лыш может достичь своей цели, как бы ни
действовал Карлсон?

Рис. 1 Рис. 2 Пронумеруем плюшки в ряду числами от
1 до 40. Заметим, что у Малыша всегда
Перенеся треугольник PAB на вектор AD есть возможность взять плюшку с номером
, получим треугольник QDC (рис. 2). Ок- любой четности, а после каждого его хода
ружность Z1 также сдвинется параллельно Карлсон вынужден брать плюшку с номе-
AD и перейдет во вневписанную окруж- ром другой четности. Пусть среди плюшек
ность треугольника QDC, обозначим ее Z3, с нечетными номерами не меньше десяти с
а ее центр – J. Поэтому достаточно дока- сахаром (если с корицей, то рассуждения
зать, что одна из общих касательных к Z3 и аналогичны). Тогда Малыш начинает с
Z2 (обозначим ее центр I)параллельна AD. того, что берет плюшки с нечетными номе-
Эта касательная симметрична общей каса- рами и после каждого ответного хода Карл-
тельной CD относительно линии центров сона вычисляет такую величину: количе-
IJ, поэтому достаточно доказать, что угол ство полученных плюшек с сахаром +
количество оставшихся на столе плюшек с
между CD и IJ равен половине угла между сахаром с четными номерами. В началь-
ный момент эта величина не больше деся-
CD и прямой PQ, параллельной AD. ти, а если Малыш будет брать плюшки
только с нечетными номерами, то в конце
По условию ‘QPD ‘PDA ‘PBA она будет не меньше десяти. При этом
после каждой пары ходов Малыша и Карл-
‘QCD, значит, точки С, Р, D и Q лежат сона эта величина изменяется не более чем
на одной окружности. на единицу. Следовательно, в какой-то
По известным формулам углов между бис- момент она будет равна десяти. После
сектрисами этого Малыш может брать только плюшки
с четными номерами и в итоге получит
ровно десять плюшек с сахаром, а значит, и
десять плюшек с корицей, что и требуется.

А.Грибалко

‘CID ‘CJD Ф2680. В нейтринной лаборатории в 12:00
зарегистрировали реакцию, в которой одна
§ 1 ‘CPD 90q · § 1 ‘CQD 90q·¸¹ 180q, из образовавшихся частиц – нейтрино. А
©¨ 2 ¸¹ ©¨ 2 ровно через 69 мин на соседней установке
в этой же лаборатории была зарегистри-
т.е. точки С, I, D и J лежат на одной рована еще одна реакция с той же самой

окружности. Следовательно, угол между (Продолжение см. на с. 34)

CD и IJ равен ‘CDJ ‘ICD 1
‘CDQ
2

Знание некоторых принципов избавляет от Теплота не способна переходить сама собой
необходимости знания многих фактов. от более холодного тела к более теплому.

Клод Адриан Гельвеций Принцип Клаузиуса

… я открыл принцип, могущий служить осно- По Лейбницу, наш мир является лучшим из
вой всех законов движения… всех возможных миров, и потому его законы
можно описать экстремальными принципами.
Пьер Мопертюи
Карл Зигель
… одни и те же принципы управляют движе-
ниями светил, … равновесием и колебаниями Существуют великие принципы, примени-
морей, … распределением света, … словом, мые к любым явлениям, такие, как законы
самыми сложными действиями природных сохранения энергии и момента количества
сил… движения.

Жан Батист Фурье Ричард Фейнман

А так ли хорошо знакомы вам

?физические принципы

«За деревьями не видно леса». Подоб- 3. В геометрическом центре правильного
ным же образом множество частных физи- шестиугольника ABCDEF приложены
ческих законов порой заслоняют более силы 1 H, 9 H, 5 H, 7 H, 3 H, 11 H, на-
глубокие, базовые утверждения, называе- правленные к его вершинам A, B, C, D, E,
мые принципами, хотя именно их и зачас- F соответственно. Найдите модуль и на-
тую воплощают. Наша рубрика их не скры- правление равнодействующей силы.
вала – в «Калейдоскопе» были представле-
ны принципы и относительности, и сохра- 4. С помощью системы блоков груз
нения, и суперпозиции, и виртуальных массой m 100 кг подняли на высоту
перемещений … Но, конечно, их перечень h 3 м, прикладывая силу F 250 H. На
этим не исчерпывается, и сегодня мы по- сколько пришлось вытянуть свободный
знакомимся еще с некоторыми из этой конец веревки? Массой блоков и трением
знатной когорты. Тем же из вас, кто про- в них пренебречь.
должит серьезно овладевать наукой, пред-
стоят удивительные встречи с новыми прин- 5. К двум вбитым на одном уровне
ципами, в том числе и с такими, что гвоздям подвесили цепочку. Затем вместо
выходят за рамки даже столь разросшейся нее к тем же гвоздям подвесили два стер-
дисциплины, как физика. Что ж, остается жня такой же длины, скрепленные сво-
принципиально, не жалея сил, продвигать- бодными концами. У какой из этих двух
ся к их постижению. Оно того стоит… систем центр тяжести ниже?

Вопросы и задачи 6. Конический буек плавает в воде так,
что его ось вертикальна и вершина обра-
1. Из отверстия в стенке сосуда, находя- щена вверх. Плотность материала конуса
щегося в вагоне поезда, вытекает вода. составляет 7 8 плотности воды. Во сколь-
Зависит ли скорость ее истечения от того, ко раз высота надводной части конуса
стоит поезд на месте или движется равно- меньше всей его высоты?
мерно и прямолинейно?
7. Возможен ли идеальный процесс, при
2. Стальной шарик, движущийся гори- котором вся теплота, заимствованная из
зонтально со скоростью 4v, упруго ударя- теплового резервуара, превращается в ра-
ется о массивную стальную вертикальную боту?
плиту, удаляющуюся от него со скорос-
тью 3v относительно земли. Какой станет 8. Колебания в электрическом контуре
скорость шарика после отскока? затухают. Значит, максимальная величи-
на заряда на любой из пластин его конден-
сатора становится все меньше. Не проти-
воречит ли это закону сохранения заряда?

9. Напряженность поля плоского воз- … принцип Ферма – основополагаю-
душного конденсатора равна Е, а заряд щий при изучении процессов распростра-
конденсатора равен q. Какая сила дей- нения света в сложных оптических систе-
ствует на каждую из его пластин? мах. Он также объясняет, почему на зака-
те мы продолжаем видеть солнце, хотя
10. Заряд q равномерно распределен по фактически оно уже за горизонтом, или в
поверхности полусферы радиусом R. Чему чем причина возникновения такого явле-
равен потенциал в точках, расположен- ния, как мираж.
ных посредине между центром сферы и ее
краем? … законы классической термодинамики
явились результатом обобщения многочис-
11. Допускает ли принцип Ферма суще- ленных опытов и наблюдений, образуя в
ствование нескольких путей, по которым конечном счете логически завершенную
луч света распространяется от точечного теорию. Ее фундаментальность подчерки-
источника S к приемнику? валась используемой физиками термино-
логией: законы именовались и «постулата-
12. Плоское зеркало движется со скоро- ми», и «началами», и «принципами».
стью 2 см с, направленной по нормали к
плоскости зеркала. С какой по модулю и … принцип Гюйгенса–Френеля пред-
направлению скоростью должен двигать- ставляет собой не что иное, как принцип
ся точечный источник, чтобы его отраже- суперпозиции, позволивший описать диф-
ние в зеркале оставалось неподвижным? ракцию света в форме результата интер-
ференции вторичных волн.
13. Можно ли двигаться относительно
зеркала с такой скоростью, чтобы не ви- … представления о симметрии физи-
деть своего отражения в нем? ческих законов возникли уже в XVII
веке, однако лишь после работ Анри
14. В процессе превращения в электро- Пуанкаре и Альберта Эйнштейна в нача-
магнитное излучение пары электрон-по- ле XX века принципы симметрии стали
зитрон никогда не возникает один J-квант. играть все возрастающую роль и ныне
Почему? являются главными при построении фи-
зических теорий.
Микроопыт
… важнейший инструмент при форми-
Поставьте на столе «стопочкой» (друг ровании новых физических теорий – прин-
на друга) три спичечных коробка – ниж- цип соответствия, введенный в науку но-
ний полный, средний пустой, верхний белевским лауреатом Нильсом Бором. Бла-
заполненный не целиком. На какой из годаря ему устанавливается связь между
коробков действует бульшая сила? теорией относительности Эйнштейна и
механикой Ньютона, между квантовой
Любопытно, что … физикой и классической, оказывается
возможным понять корпускулярно-вол-
… лишь через девять лет после выдви-
жения Галилеем своего принципа относи- новой дуализм.
тельности был осуществлен подтвержда-
ющий его опыт, который поставил фран- Что читать в «Кванте»
цузский ученый Пьер Гассенди, сбрасы- о физических принципах
вая камни с мачты движущейся галеры. (публикации последних лет)

… принцип суперпозиции кулоновских 1. «Отрицательная обратная связь» – 2015,
сил вместе с законом Кулона дает основу №3, с.29;
для описания электростатического взаи-
модействия любой системы неподвижных 2. «Пределы точности «точных» наук» – 2016,
точечных зарядов. Приложение №4, с. 219;

… в копилку «великих принципов со- 3. «Калейдоскоп «Кванта» – 2016, №1, №5 6,
хранения» внес свой вклад и Майкл Фа-
радей, в 1843 году убедительными экспе- 2021, №6, с. 32;
риментами доказавший точное выполне- 4. «Симметрия в несимметричной вселенной
ние закона сохранения электрического
заряда. Андрея Сахарова» – 2019, №7, с. 2;
5. «Неопределенность – основа квантовой фи-

зики» – 2021, №1, с. 2.
Материал подготовил А. Леонович

34 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 2

(Начало см. на с. 28) Рис. 2
(возникшей час с небольшим назад) части- ния от поверхности до центра Земли со-
цей. На какое примерно максимальное храняет свою величину, а после прохожде-
расстояние равное L удалялась частица ния через центр просто изменяет направ-
от места своего рождения? ление. Иными словами, при любой на-
Почитать о том, что думают физики о чальной скорости нейтрино, направлен-
нейтрино, можно здесь: ной к центру Земли (в нашей CO), даже в
случае постоянства ускорения свободного
https: elementy.ru nauchno-populyarnaya_biblioteka падения по величине получается время
435437 Zagadka_malykh_mass_neytrino движения туда и обратно больше 69 минут.
Поэтому для расчетов остается только ва-
Нейтрино очень слабо взаимодействует с риант с полетом над поверхностью Земли.
веществом, однако гравитация на нейтри- Известна задача с таким условием: у пла-
но действует. Для того чтобы лаборатория неты с такой же гравитацией и с такими же
и нейтрино снова оказались рядом через геометрическими размерами, как у Земли,
такое (сравнительно небольшое) время, отсутствует атмосфера; планета не враща-
равное 69 минутам, нужно, чтобы траекто- ется; нужно найти время падения камня с
рия движения нейтрино и траектория дви- высоты, равной радиусу этой планеты,
жения лаборатории в системе отсчета (СО), если начальная скорость камня по отноше-
в которой центр Земли считается покоя- нию к планете равна нулю. В этой задаче
щимся, а оси координат направлены на траектория падения камня – это вырож-
далекие звезды, лежали в одной плоско- денная в прямую линию часть эллипса.
сти. Это означает, что обе эти траектории Первая космическая скорость на этой плане-
находятся в плоскости экватора Земли.
Возможны различные гипотетические ва- те равна v = gR = 7,905 км с. Время од-
рианты. В одном из них нейтрино двига-
лось выше поверхности Земли, а в другом ного оборота вокруг этой планеты камня,
летало в толще Земли (рис.1). При полете брошенного с первой космической скорос-
тью горизонтально, равно T = 2SR v =
Рис. 1 = 84,335 мин. Поскольку для движения
над Землей форма траектории нейтрино – камня в поле тяжести планеты выполняют-
это часть эллипса, один из фокусов кото- ся законы Кеплера, в частности второй
рого совпадает с центром Земли. Для закон о секториальных скоростях, то время
рассмотрения полета нейтрино под поверх-
ностью Земли нужно учитывать, что масса падения камня будет равно T (S + 1) (4S) =
внутри Земли распределена неравномер-
но, поэтому ускорение свободного падения = 27,785 мин. К моменту падения на по-
вплоть до глубины порядка 2800 км оста- верхность этот камень приобретет ско-
ется почти неизменным, а на еще больших рость, как раз равную первой космичес-
глубинах убывает практически линейно до кой. Следовательно, если камень бросить
нуля в центре Земли (рис.2). с поверхности планеты вертикально вверх
Численные расчеты с учетом зависимости с такой начальной скоростью, то он подни-
g от глубины показывают, что вариант с мется на высоту, равную радиусу плане-
движением под поверхностью Земли при-
водит к времени полета нейтрино больше-
му, чем 69 минут. Это будет так, даже если
считать, что ускорение свободного паде-

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 35

ты, и время его полета будет в два раза отношению к лабораторной установке, на
которой возникло это нейтрино, горизон-
больше, т.е. будет равно 55,57 мин. тальная составляющая скорости равна
1,185 км с – 0,463 км с 0,722 км с и на-
В условии задачи про нейтрино время правлена на восток.

полета составляет 69 мин, что больше, чем Н.Полетов

55,57 мин, хотя по порядку эти величины Ф2681.1 Тонкое упру-
гое кольцо растянуто
примерно одинаковые. Это означает, что и надето на гладкую
сферу (совмещено с
сразу после рождения скорость нейтрино вертикальным эква-
была порядка первой космической и имела тором; рис. 1). Так
и вертикальную и горизонтальную состав- как состояние кольца
ляющие. За указанное в условии задачи неустойчиво, то в не-
время лаборатория изменила свое положе- который момент оно Рис. 1
ние в пространстве. Отрезок, соединяю- срывается и движется в горизонтальном
щий центр Земли и лабораторию, повер- направлении. Определите координату
нулся в выбранной системе отсчета (СО) кольца в момент покидания сферы. Счи-
тайте данными следующие величины: R –
на угол 360 ◊ 69 (24 ◊ 60) = 17,25 . На та- радиус сферы, R 2 – радиус кольца в
недеформированном состоянии, k0 – ко-
кой же угол повернулся и радиус-вектор, эффициент упругости единицы длины ма-
соединяющий центр Земли и место нахож- териала кольца. Сфера закреплена, гра-
дения нейтрино. При максимальном уда- витация отсутствует.
лении от поверхности на расстояние, рав-
ное по порядку величины радиусу Земли, Физика задачи достаточно проста. Поло-
составляющая скорости, перпендикуляр- жение кольца при движении определим
ная радиус-вектору (в этой максимально углом M (рис. 2) и
удаленной от поверхности Земли точке найдем угол отры-
траектории), уменьшилась более чем вдвое. ва Mотр. Коэффи-
Значит, угловая скорость вращения ради- циент упругости
ус-вектора, описывающего положение ней- кольца равен
трино в выбранной системе отсчета, в
верхней точке траектории уменьшилась k k0 .
более чем в 4 раза. А поскольку суммар- SR
ный угол поворота этого радиус-вектора
такой же, как и у лаборатории, то это Начальная дефор-
означает, что сразу после рождения гори- мация кольца по Рис. 2
зонтальная составляющая скорости ней- условию задачи очень большая: 'l0 SR.
трино была больше линейной скорости Поэтому следует ожидать, что кольцо по-
движения точек поверхности Земли на кинет сферу при не очень большом значе-
экваторе, а это около 463 м с. Даже если нии угла отрыва. Зависимость деформа-
увеличить эту скорость в четыре раза, то ции кольца от угла M имеет вид
все равно горизонтальная составляющая
скорости нейтрино будет в несколько раз 'l SR 2 cos M 1 .
меньше вертикальной составляющей ско-
рости, которая имеет порядок величины Записываем уравнения динамики и сохра-
около 8 км с. нения энергии в момент отрыва (сила
Численные расчеты дают значение макси- реакции сферы равна нулю):
мального удаления нейтрино от поверхно-
сти Земли, равное 6326,866 км, близкое m v2 k0 SR 2 cos M 1 cos M,
радиусу Земли 6370 км. При этом в нашей R SR
системе отсчета начальная вертикальная
составляющая скорости равна 7,825 км с, а 1 Автор решений задач Ф2681–Ф2684 –
горизонтальная составляющая равна А.Власов.
1,185 км с. Величина скорости равна
7,914 км с, т.е. весьма близка к первой
космической скорости 7,905 км с. А по

36 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 2

m v2 k0 SR 2 k0 SR 2 cos M 1 2 . элемент. В правой части образовалась про-

2 SR 2 SR 2 изводная dM, определяющая кривизну
элемента пdлаl стины. Для слабоизогнутой
После несложного решения этой системы
уравнений находим угол отрыва кольца от пластины формула существенно упроща-
сферы:
ется: dM ycc.
cos Mотр 4S 1 | 0,931, откуда Mотр 21,35q. Тогда dl
4S 2

Этот результат определен только первона- ycc mg l x .

чальной степенью растяжения кольца и не k0
Это уравнение элементарно интегрируется,
зависит от остальных параметров задачи.

Здесь уместно вспомнить задачу о скаты- и мы получаем для профиля полином тре-

вании шайбы с вершины гладкого цилин- тьей степени (без первых двух слагаемых):

дра. Угол отрыва в этой задаче равен

Mотр arccos 2 | 48,2q. y x mg § l x2 x3 · .
3 k0 ¨¨© 2 6 ¸¹¸

Ф2682. Упругая и очень легкая пластина, Отсюда находим координату грузиков и,
имеющая на концах одинаковые маленькие
грузики, уравновешена на опоре и может соответственно, координату центра масс
совершать колебания (рис. 1). Определи-
те период малых колебаний такого маят- системы в положении равновесия:
ника. Считайте известными следующие
величины: m – масса каждого грузика, 2l – y0 mg l3 .
длина пластины, k0 – коэффициент упру- k0 3

Определим смещение цент-

ра масс при отклонении си-

стемы на угол M (рис. 3):

Рис. 3 h y0 1 cos M | y0 M2 .
2
Период колебаний определяем энергети-
Рис. 1
ческим методом. Если система совершает
гости единицы длины пластины, g – уско-
рение свободного падения. гармонические колебания, то ее энергия

Определим положение центра масс систе- записывается в виде
мы грузов при изогнутой пластине в поло-
E D xc 2 E x2 ,
жении равновесия. Для этого найдем про-
22
филь изгиба y x . Записываем закон Гука
где x – параметр смещения (в нашем
для элемента пластины (он выделен крас- случае это угол поворота M), D и E –
коэффициенты инертности и упругости
ным на рисунке 2): соответственно. Период колебаний опре-
деляется формулой
mg l x | k0 dM,
dl
где k0 – коэффициент упругости изгиба
T 2S D .
элемdеlнта пластины, mg l x – момент E

силы тяжести грузика, изгибающий этот Записываем энергию колебаний нашей

системы: ml2 Mc 2 mg mg l3 M2 .
E
2 k0 3 2

Коэффициенты инертности и упругости

равны соответственно

Рис. 2 D ml2 и E mg mg l3 .
k0 3

ЗАДАЧНИК «КВАНТА» 37

Теперь можно записать формулу периода вает, центр масс пира-
колебаний нашего маятника:
миды будет совпадать

ml2 ˜ 3k0 2S 3k0 . с центром поворота
mg ˜ mg ˜ l3 g ml
T 2S (докажите это само-

стоятельно). При не-

Данная задача может быть реализована в большом повороте пи-
экспериментальном варианте, в котором
используется гибкая пластиковая пласти- рамиды вокруг ее цен- Рис. 2
на (без грузов) и исследуется зависимость
периода колебаний от длины пластины. тра масс на угол M 1 (рис. 2) возникает
Предлагаем читателям самостоятельно
получить формулы статического прогиба момент сил. И нужно найти условие, при
пластины, ее координаты центра масс и
периода колебаний: котором этот момент сил будет возвращать

( )y (x) = Ug 6L2x2 - 4Lx3 + x4 , пирамиду в прежнее положение, т.е. рав-
24k0
новесие будет устойчивым.
h = Ug L4,
20k0 Вычисляем момент сил, рассматривая два

водяных «клина», возникших при поворо-

те. Правый (на рисунке 2) клин выходит

из воды, а левый клин погружается в воду.

Это приводит к появлению пары сил,

создающих возвращающий момент, рав-

ный

T = 2S 20k0 1 . 2 § U ˜ 1 ˜ 2a ˜ a ˜ aM ˜ g · 2 a 4 Uga4M,
3U gL ¨© 2 ¸¹ 3 3

где 2a – размер грани пирамиды на уровне

поверхности воды. При небольшом пово-

Ф2683. Правильная пирамида с квадрат- роте пирамиды величина силы Архимеда

ным основанием плавает вертикально в практически не изменяется, и эта сила

воде «головой вниз» (рис. 1.). Ось сим- обязана проходить через центр масс объе-

метрии пирамиды ортогональна поверх- ма воды, вытесненного пирамидой. Мо-

ности воды. Плотность материала пира- мент силы Архимеда, если h – глубина

миды составляет 3 4 3 от плотности погружения пирамиды, равен

воды. Определите § U ˜ 1 ˜ 4a2hg ·§ h M · 1 Uga2h2M.
©¨ 3 ¸¹¨© 4 ¹¸ 3
угол между плоско-

стями противопо- Этот момент силы ведет к опрокидыванию

ложных граней пира- пирамиды, т.е. к удалению от положения

миды (угол D на ри- равновесия. Суммарный же момент сил

сунке), при котором должен возвращать пирамиду к положе-

плавание будет ус- нию, когда ее ось симметрии вертикальна.

тойчивым. Рис. 1 Следовательно, должно выполняться не-

Начнем с решения основного вопроса: от- равенство между a и h, из которого нахо-
носительно какой точки будет вращаться
пирамида при небольшом равновесном дится условие для угла (2D) между граня-
отклонении от вертикального положен-
ния? Такой точкой будет центр сечения ми пирамиды:
пирамиды на уровне свободной поверхно-
сти жидкости, так как в этом случае не h d 2a, или tg D t 1, откуда 2D t 53,13q.
будет изменяться величина погруженного 2
объема и, соответственно, сила Архимеда,
обеспечивающая вертикальное равновесие. Ф2684. Происходит удар шара и симмет-
Далее, можно показать, что при выбран-
ном соотношении плотностей материала ричной уголковой пластины (угла; рис. 1).
пирамиды и жидкости, в которой она пла-
Перед ударом угол покоится. Шар за-

летает в угол, скользя по его горизон-
тальной стенке. Определите геометрию
и кинематику (механическое состояние)
системы тел после абсолютно упругого

38 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 2

удара. Гравитации нет.

Скорость шара перед

ударом v0, масса плас-
тины в n раз больше

(меньше) массы шара.

Точка удара лежит выше

Рис. 1 центра масс пластины.
Толщину пластины счи-

тайте малой по сравнению с размерами

ее катетов и радиусом шара. Рис. 3

Первоначально следует ответить на вопрос: После упрощения и введения безразмер-
ных переменных (первое уравнение делим
возникнет ли после удара вращение пласти-
на mv0, второе на mv02, третье на mv0 x a )
ны? Ответ получим в ходе следующих
система преобразуется к виду (оставляем
рассуждений. После удара шара о верти- прежние символы для безразмерных вели-
чин)
кальную стенку пластина начнет вращать-
1 v nu,
ся. Возникшее вращение неизбежно приво-

дит к удару шара с горизонтальной частью

пластины. Если мы предполагаем время 1 v2 n2 n w2 nu2,

каждого удара бесконечно малым, то взаи-

модействие шара и пластины выглядит как n nv n2w nw nu.

бесконечная серия повторных ударов. Оче- Решая систему, получаем

видно, что ударное взаимодействие должно

выйти на «равновесие». Вращение пласти- w u v v0 1 .
1
ны погасится, и возникнет только поступа- n

тельное движение. Сделаем рисунок Финишная картинка скоростей изображе-

(рис. 2) кинематического состояния систе- на на рисунке 4. В системе отсчета, свя-

мы после удара. Здесь u, w – скорости угла занной с пластиной, шар скользит по ли-

по горизонтальной и нии продолжения вертикальной стенки

вертикальной осям, v, пластины.

nw – соответствующие

скорости шара. Соот-

ношение вертикаль-

ных скоростей соответ-

ствует нулевому им-

пульсу системы по вер-

Рис. 2 тикали (это легко учи-

тывается сразу). На рисунке 3 показаны

центры масс и их горизонтальные коорди-

наты: a – для угла, R – для шара, x – для

системы угол–шар. Очевидно, что справед-

ливо соотношение n R x. Рис. 4
x a
Интересно отметить, что при n 1 все
Записываем уравнения законов сохране- компоненты скоростей равны v0 и угол
ния импульса, энергии и момента импуль-
са (относительно центра масс системы): 2
между векторами скоростей равен 90q. Это
mv0 mv nmu, совпадает с картинкой разлета одинако-
вых шаров после косого удара.
mv02 m v2 nw 2 nm u2 w2 ,

mv0 R x mv R x mnw R x
nmw x a nmu x a .

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

Задачи

1. Гражданин Сидоров на 6 лет стар- ложительных и 1010 отрицательных
чисел. Вася записал все исходные чис-
ше своей жены гражданки Сидоро- ла в том же порядке, но по кругу, и тоже
вой. Однажды Сидоров обнаружил, перемножил все пары соседних чисел.
что ровно половину своей жизни он Сколько среди этих чисел будет поло-
провел в браке с Сидоровой. Ровно жительных и сколько отрицательных?
через 14 лет после этого Сидорова
3. А.Штерн
Можно ли разрезать прямоуголь-
ник 6х7 на кресты из пяти клеток, фи-
гурки Г-тетрамино и фигурки Т-тетра-
мино? Если можно, то сколько пяти-
клеточных крестов может быть в та-
ком разрезании?

И.Сиротовский

обнаружила, что она провела в браке 4. Дан равнобедренный прямоуголь-
с Сидоровым ровно две третьих своей
жизни. Сколько лет будет гражданину ный треугольник ABC с прямым углом
и гражданке Сидоровой, когда они
отпразднуют золотую свадьбу – пяти- B. На стороне AC выбрана точка K
десятилетие своей супружеской жиз- такая, что ‘CBK = 15q. На луче BK отме-
ни? чена точка M такая, что ‘ACM = 90q.
Докажите, что AC = BM.
2. Петя записал в ряд 2021 число,
Е.Бакаев
отличное от нуля, и перемножил все
пары соседних чисел. Среди получен-
ных произведений оказалось 1010 по-

Эти задачи предлагались на олимпиаде «Выс- Иллюстрации Д.Гришуковой
шая проба».

40 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 2

Три истории Обратите внимание на гусак смесителя.
про воду Чтобы набрать воды, краны открывают, а
потом закрывают. Но после этого в гусаке
С. ДВОРЯНИНОВ остается немалый ее объем. Причем если
из смесителя текла горячая вода, то она и
Удивительный вопрос: останется в гусаке. Если же теперь сразу
Почему я водовоз? открыть кран холодной воды, то холод-
Потому что без воды – ная вода начнет вытеснять горячую. И в
И ни туды, и ни сюды! первую очередь из смесителя выльется
именно оставшаяся там горячая вода, ко-
В.Лебедев-Кумач торая не успела остыть. Так что будьте
внимательны! Пусть после открытия кра-
– А у нас водопровод! на вода немного стечет, и только потом
Вот. осторожно попробуйте, не слишком ли
она горячая. Как говорят, не зная броду,
С.Михалков не суйся в воду.

Казалось бы, что такого интересного в Действующий смеситель характеризует-
водопроводе? Изобретение, конечно, ста- ся расходом воды, измеряемым, напри-
рое и очень полезное, но не более того. мер, литрами в минуту, и температурой
Однако оказывается, что и о нем можно вытекающей воды, измеряемой в градусах
рассказать нечто занимательное и поучи- Цельсия. Состояние каждого крана харак-
тельное. Итак... теризуется углом поворота барашка. У
современных кранов он небольшой. Будем
История первая. В конце декабря Толи- считать, что каждый барашек можно по-
ку Втулкину пришлось проснуться очень вернуть на угол от 0q до 90q. Пусть расход
рано – их семья должна была прибыть в воды прямо пропорционален углу поворо-
аэропорт на первый утренний рейс. Толик та и наибольший, равный 4,5 л мин , по-
заметил, что вода из крана с холодной лучается при повороте на 90q. Пусть тем-
водой оказалась намного теплее, чем обыч- пература горячей воды 70 qС, холодной
но. А из крана с горячей водой, наоборот, 10 qС. Мы управляем двумя параметра-
текла прохладная. Толик догадался, в ми – углами M и \. Два параметра отклика
чем дело. системы – это температура вытекающей
воды и ее расход. На рисунке 2 на плоско-
Очевидно, что ночью расход воды не-
большой, и вода в трубах внутри дома сти с координатами (M,\) показаны пять
застаивается. При этом холодная вода на-
гревается, а горячая – остывает. отрезков, вдоль каждого из которых тем-
пература воды постоянна. Если углы пово-
История вторая. Дело было на кухне. рота барашек M и \ увеличить в k раз, то
Толик отрыл кран холодной воды, но из температура воды не изменится, а расход
крана полился кипяток. Он чуть руку не
обжег! Как же Рис. 2
такое получи-
лось?

На рисунке 1
показан смеси-
тель, который
стоял на кухне у
Толика. Он сме-
шивает горячую
воду с холодной. Рис. 1

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220203

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ 41

Рис. 3 Рис. 4

возрастет в k раз. Если же изменять вели- входных параметров равно числу выход-
ных. Можно сказать, что «долгота» шаро-
чины M и \ с одновременным сохранени- вого крана характеризует отношение объе-
мов горячей и холодной воды, поступаю-
ем их суммы, то мы получим постоянный щих в камеру смешивания. Это отношение
соответствует температуре смеси (рис.4).
расход воды с разной температурой. Соот- «Широта» шарового крана определяет
расход потребляемой воды. Изменяя дол-
ветствующие линии показаны на рисун- готу при неизменной широте, мы изменяем
температуру смеси, сохраняя расход. Ме-
ке 3. Если по каждому отрезку на этом няя широту при постоянной долготе, мы
изменяем расход воды и сохраняем про-
рисунке двигаться вверх, то температура порцию между объемом холодной воды и
объемом горячей, т.е. не меняем темпера-
воды будет расти. туру. Достигается это движением задви-
История третья. В последние годы на жек 1 и 2, показанных на рисунке 5.

смену смесителям с двумя кранами при- Рис. 5
шли шаровые смесители. Такие смесите-
ли, называемые еще джойстиковыми или Предположим, что вечером мы устано-
шарнирными, как и всякие иные, исполь- вили нужную температуру воды на выходе
зуют для смешивания холодной воды с и желаем вернуться к ней утром. В таком
горячей и получения в результате требуе- случае мы уменьшаем только широту (т.е.
мого расхода воды необходимой темпера- расход воды) до нуля. При этом работает
туры. И здесь мы сталкиваемся, на первый задвижка 2. В результате шаровой кран
взгляд, с парадоксом. «запомнит» температуру, и надобности в
ее регулировании в следующий раз не
Всякий действующий кран, как уже го- будет. Это обстоятельство объявляют од-
ворилось, характеризуется двумя пара- ним из достоинств шаровых смесителей.
метрами: расходом воды и ее температу-
рой. Два этих параметра (выход) есть А еще в управлении рычагом шарового крана
отклик на два других параметра – расход есть доля романтики. Поворачиваем его влево,
горячей воды и расход холодной. В старых вправо, к себе, от себя и представляем, что это не
кранах крутим два барашка и получаем то, водопроводный кран, а… штурвал самолета.
что хотим. А у шарового крана рычаг всего Штурвал от себя – и самолет начинает пикиро-
один! Как же нам одним рычагом управ-
лять двумя параметрами? Раньше даже у
кучера были левая вожжа и правая, а
кнутом он задавал лошадям нужную ско-
рость.

На самом деле никакого парадокса нет.
Положение рычага шарового крана опре-
деляется двумя параметрами, подобно тому,
как положение точки на поверхности зем-
ного шара определяется тоже двумя пара-
метрами – долготой и широтой. В действи-
тельности и у шарового смесителя число

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

вать. Штурвал на себя – и самолет, увеличив угол для холодной вoды и 0,3–4,5 aтмocфep для
атаки, взмывает вверх. Штурвал вправо – и гopячeй. Предположим, что ночью, когда
самолет кренится вправо... потребление воды во всем городе уменьша-
ется, давление горячей воды оказалось
Сейчас мы не говорим обо всех конст- намного выше давления холодной. Тогда
руктивных особенностях шарика, находя- при закрытой задвижке 2 горячая вода из
щегося внутри крана и реализующего дей- сети начнет вытеснять воду из камеры К в
ствие задвижек 1 и 2, а обсуждаем только трубу холодного водоснабжения. Если это
принцип работы смесителя. К шарику при- будет продолжаться достаточно долго, то
креплен шток, переходящий в рычаг, име- горячая вода заполнит довольно большой
ются пазы и прорези, которые выполняют участок трубы холодной воды. И что тогда
функции задвижек и обеспечивают смеши- получится утром? А утром из смесителя,
вание воды. Изготовление шарика требует как бы мы его ни крутили, будет течь
и подходящих материалов, и соответствую- только горячая вода.
щей их обработки. Как обычно, путь от
идеи до ее реального воплощения зачастую Это и есть третья история, о которой мы
оказывается длинным. хотели рассказать. История невыдуман-
ная. Такое явление автор и его соседи
Теперь пора вспомнить, что вода посту- наблюдают довольно часто. А у вас бывает
пает к нам в дом под давлением. Существу- такое? Понаблюдайте!
ют нормативы давления: 0,3–6,5 атмосфер

КОНКУРС ИМЕНИ А.П.САВИНА

Мы продолжаем конкурс по решению математических задач. Задания рассчитаны в
основном на участников не младше 8–9 класса, а более младшим школьникам советуем
попробовать свои силы в конкурсе журнала «Квантик» (см. сайт kvantik.com).

Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу:
[email protected] Кроме имени и фамилии укажите город, школу и класс, в котором вы
учитесь, а также обратный почтовый адрес.

Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком
случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого
тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы.

Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest
Желаем успеха!

21. Некоторые клетки белой прямо- Докажите, что сумма зеленых отрезков в
угольной таблицы закрасили синим. Во два раза больше суммы красных отрезков.
всех строках количество синих клеток раз-
лично, и во всех столбцах тоже. Докажите, Л.Смирнова
что если в таблице не поровну строк и
столбцов, то в ней поровну белых и синих 23. У натурального числа N последняя
клеток. цифра нечетная. Верно ли, что у числа N10
третья справа цифра (разряда сотен) чет-
Б.Френкин ная?

22. Квадрат 6 u 6 и прямоугольник 3 u 12 М.Малкин
пересекаются, как показано на рисунке.
24. Какое наибольшее количество парал-
лелепипедов размера 1u 2 u 4 можно раз-
местить в кубе 5 u 5 u 5? Ребра параллеле-
пипедов должны быть параллельны реб-
рам куба.

В.Расторгуев

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ

Коронавирус неоднократно обсуждалась зависимость этой
на звездолете силы от скорости v движения шарика ради-
усом b, от плотности U и вязкости P воздуха
А.СТАСЕНКО (см. например, статью Р.Коркина «Капля
дождя» в «Кванте» №11-12 за 2020 г.).
«Земля – колыбель челове- Поэтому можно привести ее выражение, не
чества, но человечество не мо- противоречащее, по крайней мере, сообра-
жет вечно оставаться в колы- жениям размерности:
бели», – так говорил Кон-
стантин Циолковский. Это – f = CUSb2v2 ÊÁË v ˆ˜¯ , Ê кг ◊ м2 ◊ м2 = ˆ .
одна из моих любимых цитат v ËÁ м3 с2 H˜¯
великого человека.
Здесь v – это единичный вектор, указываю-
Илон Маск v
щий направление силы. А множитель C,
Как известно, на каждом приличном звез-
долете вращательное движение использует- называемый коэффициентом сопротивле-
ся для создания искусственного тяготения –
чтобы растения тянулись «вверх», яблоки ния, – безразмерный, и его значение измеря-
падали «вниз» – так же, как и микрокапли
из носа чихнувшего астронавта, несущие – ется во множестве аэродинамических труб
не дай Бог – разнообразные вирусы.
для тел различной формы и разных условий
Всякий здравомыслящий ЕГЭшник дол-
жен знать, что во вращающейся оранжерее обтекания. Для шара этот коэффициент мож-
приличного звездолета центробежное уско-
рение равно ar Z2r и направлено по ради- но приблизительно представить в виде сум-
усу (индекс r; см. рисунок). Поскольку его
величина пропорциональна радиусу, то на мы двух его предельных (асимптотических)
оси вращения (r 0) оно равно нулю.
выражений:
Но, как тоже хорошо известно, на тело,
движущееся во вращающейся системе коор- C | 1 b6UPv.
динат с радиальной скоростью vr, действует 4
еще и сила Кориолиса (1792–1843), перпен-
дикулярная как вектору линейной скорости, Первое слагаемое близко к значению, най-
так и вектору угловой скорости, а значит –
касательная к окружности радиусом r. Она денному еще И.Ньютоном (1643–1727), вто-
сообщает телу ускорение aM 2vrZ; здесь
индексы наглядно указывают, вдоль какой рое характеризует силу Стокса (1819–1903),
из осей направлен соответствующий вектор.
Именно сила Кориолиса делает крутыми важную для мелких шариков. Поскольку
правые берега рек в северном полушарии
Земли и левые – в южном. С – безразмерная величина, коэффициент

А какие еще силы действуют на каплю, вязкости воздуха должен иметь ту же раз-
движущуюся под воздействием центробеж-
ной и кориолисовой сил? Ну, конечно, сила мерность, что и знаменатель второго слагае-
аэродинамического сопротивления вязкого мого, а поскольку P является коэффициен-
воздуха f. В научно-популярной литературе том диффузии в гUазе, вместо скорости v

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220104 нужно подставить среднюю тепловую ско-

рость c , вместо радиуса капель – среднюю

длину l свободного пробега молекулы между

столкновениями. А молекулярная динамика

советует не забыть для приличия еще множи-
тель 1, если молекулы рассматриваются как

3
жесткие шары.

Итак,

P 1 Ul с , C | 1 2l c , где c 8 R T.
3 4 bv S0

Видно, что сюда вошли только геометричес-

кие и кинематические характеристики капли

и воздуха, универсальная газовая постоян-

ная R и молярная масса 0. Причем размер
капли измерен в длинах пробега молекулы,
а скорость ее движения – в единицах с .

44 К В А Н T $ 2 0 2 2 / № 2

Будем считать, что капли, порожденные где m 4 Sb3Uв, Uв – плотность воды. В левой
3
чихающим астронавтом, достаточно мелкие части этого уравнения можно избавиться от

и быстро достигают установившейся скорос- времени, сделав замену dv 1 dv2 (учиты-

ти падения. Собирая всю накопленную ин- dt 2 dr
этом оно определяет
формацию, для радиально падающей капли вая, что v dr ); при

в звездолете получим следующее прибли- dt

женное уравнение: изменение с расстоянием кинетической энер-

m dv mZ2r 1 Sb2Uv2 2Sl c Uvb, (1) гии капли.
dt 4

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТАТИВ 45

Казалось бы, пора пытаться решить это куле кислорода 32 и масса каждого из них
1,67 ˜ 10 27 кг, постоянная Больцмана k
уравнение. Да, но! – подумал талантливый
1,4 ˜ 10 23 Дж К. А углекислым газом, ко-
ЕГЭшник, – ведь плотность воздуха в потен- торый выделяют растения, пренебрежено
для простоты.
циальном поле сил должна зависеть от коор-
Разумеется, приведенные численные оцен-
динаты, что имеет место и в поле тяготения ки относятся к случаю, когда астронавт
находится в кольцевой оранжерее (как на
Земли! Несомненно. И эту зависимость лег- рисунке). В радиальном же коридоре (разу-
меется, разделенном на отдельные отсеки)
ко установить: будут другие значения радиуса r, определя-
ющего центробежное ускорение Z2r. Далее,
U U0 exp § 0 Z2r 2 ¸¹¸·. (2) при обеспечении условий, близких к зем-
©¨¨ 2RT ным, центробежное ускорение должно быть
равно ускорению свободного падения на
Здесь, как и в известной барометрической поверхности Земли:

формуле, показатель экспоненты есть отно-

шение потенциальной энергии молекулы к ее

средней тепловой энергии, U0 – значение
плотности воздуха на оси вращения (при

r 0; см. рисунок). И тут Он осознал, что

подстановка выражения (2) в уравнение (1) Z2r g0 9,8 м с2, откуда Z2 | 0,1 с 2.

отнюдь не облегчает решения этого уравне-

ния (хотя ничто не мешает решить его чис- При этом показатель степени в выражении
(2) будет порядка 10 2, что позволяет пре-
ленно). Следовательно, пора упрощать и

пренебрегать. небречь радиальным изменением плотности

Ранее уже предполагалось, что капли, воздуха.

порожденные чихающим астронавтом, на- Наконец, оценим установившуюся скорость

столько мелкие, что почти мгновенно дости- падения капли радиусом, например,

гают установившейся скорости «падения». b 10 мкм 10 5 м :

Это значит, что в левой части уравнения (1) v 4 ˜ 2,5 ˜ 10 7 ˜ 450 м с u
10 5
можно поставить ноль, т.е. пренебречь ради-

альным изменением кинетической энергии u­°¯®°ª«¬««1 º1 2 ½
» 1¾°
капли. Тогда уравнение (1) превращается в 10 5 3 102 ˜ 0,1 2 » |
3 ˜ 10 7 ˜ 450 »¼ °
квадратное уравнение для v r , решение ˜ 103 ˜ ¿
которого имеет вид 0,5
2,5
º1 2
v 4l c °¯­®°«¬ª«1 b3 ˜ U⠘ rZ2 » ½ (3) | 1 см с.
b 3 U ¼» 1¾°.
l c 2 Впрочем, причем здесь коронавирус … Да
¿° и растениям в космической оранжерее не
обязательно обеспечивать давление воздуха,
(При желании можно сделать такую замену: близкое к атмосферному. Как известно, от-
l c 3P). ношение длины свободного пробега молеку-
лы к размеру частиц характеризует степень
U разрежения газа и называется числом Кнуд-
Для численных оценок примем «типич- сена (1871–1949) Kn l . Так что выраже-

ный» радиус оранжереи звездолета равным 2b
ние (3) можно переписать в этих терминах.
r 100 м, температуру «воздуха» (чистого
Считается, что при Kn t 0,1 уже надо учиты-
кислорода) Т 300 К, его плотность вать влияние разрежения. Конечно, при этом
U 0,4 кг м3. Тогда длина свободного пробе- все большую роль должен играть пар воды,
га молекулы будет вдвое больше, чем при важный для растений, что будущим ботани-
кам придется учесть в выражениях для вязко-
нормальных условиях на Земле: l сти, средней тепловой скорости молекулы…
2,5 ˜ 10 7 м, а средняя тепловая скорость
А что же сила Кориолиса? Можно пока-
молекулы будет равна зать, что при данном наборе параметров она
приводит лишь к незначительному смеще-
с 8 1,4 ˜ 10 23 ˜ 300 м с 450 м с. нию капли вбок.
S 32 ˜ 1,67 ˜ 10 27

Здесь учтено, что 0 m0 , где m0 – масса
R k

молекулы, среднее число нуклонов в моле-

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК

До финала Решение задачи 1. Каждый из школьни-

А.БЛИНКОВ ков, дошедших до финала, либо вовсе не

На личной олимпиаде XXVI Турнира име- проигрывал, либо проиграл одну партию.
ни А.П.Савина школьлникам 5–6 классов
была предложена следующая задача. Поэтому на долю остальных приходится 29,

Задача 1. Школьный турнир по настоль- 28 или 27 проигранных партий. Так как
ному теннису проходил по такой системе:
на каждом этапе игроки разбивались на школьник выбывал после двух проигран-
пары и играли одну партию, на следующем
этапе опять разбивались на пары и играли ных партий, то 29 или 27 партий быть не
одну партию (пары не повторялись) и так
далее. Школьник, дважды проигравший, могло, а количество выбывших составляет
выбывал из турнира. Если на каком-то
этапе количество участников нечетно, то 28 : 2 14. Значит, в турнире могло участво-
один проходил на следующий этап без игры.
Сколько человек участвовало в турнире, вать только 16 школьников. Задача решена.
если до финала, в котором должны были
играть двое, было сыграно 29 партий? Отметим, что и в данном случае не надо

Эта же задача, но с добавленным вопро- приводить пример, описывающий как имен-
сом – «Сколько человек участвовало в тур-
нире, если до финала, в котором должны но проходил турнир, и показывать, что по-
были играть двое, было сыграно 30
партий?» – вошла под номером 15 в Кон- лученный ответ достигается, так как в усло-
курс имени А.П.Савина (см. «Квант»
№ 11-12 за 2021 г.). вии сказано, что турнир состоялся, а полу-

К удивлению жюри, считавшего задачу ченный ответ – единственный.
простой, ее решили немногие. Поэтому, преж-
де чем привести решение, обратимся к «клас- Но ситуация изменится, если в таком тур-
сической задаче» в слегка измененной фор-
мулировке. нире до финала было сыграно 30 партий.

Задача 2. В турнире по боксу, проходив- Действительно, рассуждая аналогично, по-
шему по олимпийской системе (проиграв-
ший выбывает), было проведено 29 боев, не лучим, что на долю выбывших приходится
считая финального. Сколько боксеров уча-
ствовало в турнире? 30, 29 или 28 партий. Тогда в турнире могло

Решение. В каждом из боев, прошедших участвовать 30 : 2 2 17 или 28 : 2 2 16
до финала, проигрывал один боксер, кото-
рый выбывал из турнира. В финале встреча- школьников. В этом случае требуется пока-
лись двое не проигрывавших ранее, значит,
всего участников было 29 + 2 = 31. зать, что оба полученных ответа возможны.

Упражнение 1. В турнире по тем же правилам Сделаем это для 17 участников.
участвовало 66 боксеров. Сколько боев проведе-
но до финала? Один из школьников без игры прошел на

Главный вывод – для решения задачи 2 нет второй этап, на котором «отдыхал» один из
необходимости разбирать, как именно про-
ходили бои. Это касается и задачи 1. школьников, выигравший на первом этапе, а

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20220205 Таблица 1 остальные, выигравшие на
первом и не игравший ра-

нее участники, встречались

с проигравшими, сменив

соперников, и вновь выиг-

рали. Тогда после второго

этапа 8 участников выбы-

ли, а осталось 9 участни-

ков, не имеющих пораже-

ний. Следующие два этапа проходили по

аналогичной схеме, после чего осталось 5

школьников, не имеющих поражений. Ре-

зультаты пятого, шестого, седьмого и восьмого

этапов приведены в таблице 1 (индекс соот-

ветствует номеру этапа). Таким образом, до

финала дошли участники 1 и 2, а сыграно

было 8 + 8 + 4 + 4 + 2 + 2 + 1 + 1 = 30 партий.

Упражнение 2. Приведите аналогичный при-
мер для 16 участников такого турнира, в котором
сыграно 30 партий.

С математической точки зрения в приведен-
ном примере ошибок нет, но в реальности
турниры по указанной системе проходят по
правилам, более жестко регламентирующим

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК 47

порядок разбиения на пары. Приведем первую ком из нижней. В случае побед обоих «вер-
часть правил турнира, система проведения хних» участников они разыгрывают финал.
которого носит название Double Elimination. В случае поражений обоих на следующем
этапе они меняются соперниками и победите-
Турнир разделен на две сетки – верхнюю ли этих пар выходят в финал. Если же
и нижнюю (сетку победителей и сетку проиг- выигрывает один из них, то образуется пара
равших). Все участники начинают турнир в участников, имеющих по одному пораже-
верхней сетке. Участники разбиваются на нию, победитель которой выходит в финал и
пары, которые проводят в первом туре игры играет с тем, кто поражений не имеет.
между собой. Победители первого тура вы-
ходят во второй тур верхней сетки. Проиг- Отметим, что приведенные правила почти
равшие переходят в нижнюю сетку. В ниж- автоматически обеспечивают условие «никто
ней сетке турнир начинается со второго тура. не должен играть с одним и тем же соперни-
Начиная с этого тура, игры проводятся одно- ком дважды». Тогда турнир, в котором 16
временно в обеих сетках, но никто не должен участников сыграли до финала 30 партий,
играть с одним и тем же соперником дважды. мог быть проведен так, как показано в таб-
Выигравший в верхней сетке переходит в лице 3 (в первой строке – количество учас-
следующий тур в ней же. Проигравший в
верхней сетке переходит в следующий тур в Таблица 3
нижней сетке. Выигравший в нижней сетке
переходит в следующий тур в ней же. Про- тников в каждой сетке, во второй – количе-
игравший в нижней сетке выбывает из тур- ство игр в каждой сетке; на 6 этапе участники
нира. из верхней сетки сначала проиграли нижним
и поменялись соперниками, после чего побе-
При таком подходе приведенный пример дители пар вышли в финал).
не работает, так как уже во втором туре
между собой встречаются участники из раз- Упражнение 3. Приведите пример, показыва-
ных сеток. Более того, если на каждом ющий, что в турнире с 17 участниками могло быть
этапе игроки разбивались на пары, то такой сыграно 30 партий до финала, согласно прави-
турнир вообще провести невозможно! лам, приведенными выше.

Действительно, уже после второго этапа В заключение сравним турниры по олим-
количество участников в нижней сетке суще- пийской системе и системе Double Elimination
ственно превысит количество в верхней, по- для 16 участников. По олимпийской системе
этому в какой-то момент в верхней сетке до финала проходит 3 этапа и играется 14
останется один участник, у которого не будет партий, а по системе с выбыванием после
пары, а в нижней сетке – не менее двух. Это двух поражений проходит 6 или 7 этапов, в
удобно показать на примере 16 участников которых играется 28, 29 или 30 партий, т.е.
(см. таблицу 2, пары чисел – количество во втором случае и этапов, и партий как
минимум вдвое больше.
Таблица 2
Желающие могут исследовать, сохранятся
участников в верхней и нижней сетках соот- ли эти закономерности для турниров с про-
ветственно). извольным количеством участников, начав,
для простоты, с турнира, в котором 2n уча-
На помощь приходит вторая часть правил, стников.
которая имеет несколько разновидностей.
Наиболее простая из них такова. На некото-
рых этапах игры проводятся только в ниж-
ней сетке до тех пор, пока количество участ-
ников в обеих сетках не станет одинаковым.
После того, как в обеих сетках останется по
два участника, на следующем этапе образу-
ются две пары, в каждой из которых участ-
ник из верхней сетки встречается с участни-

ОЛИМПИАДЫ

РЕГИОНАЛЬНЫЙ ЭТАП Задача 3. Маша и медведи
В комнате у Маши стоит аквариум, частич-
LVI ВСЕРОССИЙСКОЙ ОЛИМПИАДЫ но заполненный водой плотностью U0 и объе-
мом V0. Также у Маши есть два одинаковых
ШКОЛЬНИКОВ ПО ФИЗИКЕ плюшевых медведя. Когда Маша погрузила
одного медведя в аквариум, он намок и
Теоретический тур опустился на дно; при этом средняя плот-
ность содержимого аквариума оказалась
7 класс равной U1. А когда она погрузила и второго
медведя, плотность стала равной U2. Опреде-
Задача 1. Конвейер лите массу m одного медведя. Вода из аква-
На ленте конвейера, движущейся с некото- риума не вытекала.
рой скоростью v, находятся цилиндрические
емкости. Над лентой через каждые L метров А.Уймин
установлены краны, из которых в те проме-
жутки времени, когда под ними проходят Задача 4. Стратифицированные жидкости
емкости, с постоянным объемным расходом В цилиндрическом сосуде находится
выливается готовый продукт. За некоторое V1 100 мл жидкости плотностью U1. В него
время t0 емкость заполняется на половину начинают наливать с постоянным массовым
своего объема V. расходом P жидкость плотностью U2. График
1) Какая часть объема V будет заполнять- зависимости средней плотности содержимо-
ся за то же время t0, если расстояние между
кранами увеличить в 2 раза, а скорость Рис. 1
движения ленты – в 3 раза?
2) Представьте, что все размеры емкости го сосуда от времени представлен на рисун-
увеличили в 2 раза, расстояние между кра- ке 1. Определите плотности U1 и U2, объем V0
нами – в 3 раза, а скорость движения ленты сосуда и массовый расход P. Жидкости не
установили 2v. Какая часть объема V1 новой смешиваются.
емкости заполнится за время 4,5t0?
При решении задачи считайте, что t0 L v. А.Уймин

А.Евсеев 8 класс

Задача 2. Неудачное испытание Задача 1. Подвижные препятствия
Во время испытаний дрона, созданного
для наблюдения за движением транспорт- Между источником сигнала S и приемником
ных средств по загородному шоссе, что-то
P перпендикулярно соединяющей их прямой
пошло не так. Дрон вы-
дал таблицу, в которой движутся навстречу друг другу с постоянными
вперемешку приведены
координаты трех нахо- скоростями две плас-
дящихся на трассе авто-
мобилей в разные мо- тины длиной L 1 м
менты времени. Считая,
что автомобили двига- (рис. 2). Если сиг-
лись с постоянными ско-
ростями вдоль оси x, не нал по пути от источ-
разворачиваясь, опреде-
лите: ника к приемнику

a) величины скорос- проходит только че-
тей автомобилей;
рез одну из пластин,
б) координаты и мо-
менты времени, когда то приемник зажи-
автомобили поравня-
лись (встречались или Рис. 2 гает желтую лампоч-
обгоняли друг друга).

А.Сеитов


Click to View FlipBook Version
Previous Book
Edmonton, AB: Best Virtual Office Service For Startups & Entrepreneurs 2022
Next Book
Buku Program Pelancaran Nilam dan Kem Galakkan Membaca 2022