Résumé de cours (Bac Maths)

MATHÉMATIQUES Résumé de cours mathématiques Prof : Habib Haj Salem Section : MATHS ∫ ∑ e iπ + 1 = 0 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 0 (Cexp) (Cln) e ≃ 2.71 z x y Lycée pilote Médenine Année Scolaire 2023­2024

Limites et continuité Limite d’une fonction Définition Soit f une fonction numérique à variable réelle. a et ℓ sont deux réels. • limx→a f (x) = ℓ ⇔ ∀ε > 0, ∃α > 0 tel que si x ∈ Df et |x − a| < α alors |f (x)−ℓ| < ε • limx→a f (x) = +∞ ⇔ ∀A > 0, ∃α > 0 tel que si x ∈ Df et |x − a| < α alors f (x) > A • limx→a f (x) = −∞ ⇔ ∀A > 0, ∃α > 0 tel que si x ∈ Df et |x − a| < α alors f (x) < −A • lim x→+∞ f (x) = ℓ ⇔ ∀ε > 0, ∃B > 0 tel que si x ∈ Df et x > B alors |f (x)−ℓ| < ε • lim x→−∞ f (x) = ℓ ⇔ ∀ε > 0, ∃B > 0 tel que si x ∈ Df et x < −B alors |f (x)−ℓ| < ε • lim x→+∞ f (x) = +∞ ⇔ ∀A > 0,∃B > 0 tel que si x ∈ Df et x > B alors f (x) > A • lim x→+∞ f (x) = −∞ ⇔ ∀A > 0,∃B > 0 tel que si x ∈ Df et x > B alors f (x) < −A Théorème • Si une fonction f admet une limite alors cette limite est unique. • Soit f une fonction définie et positive sur un intervalle I: * Si limx0 f = ℓ alors limx→x0 p f (x) = p ℓ (x0 fini ou infini) * Si limx0 f = +∞ alors limn→x0 p f (x) = +∞ (x0 fini ou infini) Limites de fonctions trigonométriques limx→0 sinx x = 1 limx→0 tanx x = 1 limx→0 1−cosx x = 0 limx→0 1−cosx x 2 = 1 2 Soit a ∈ R limx→0 sinax x = a, limx→0 tan(ax) x = a limx→0 1−cosax x = 0 limx→0 1−cosax x 2 = a 2 2 Opérations sur les limites x0 désigne un nombre réel ou +∞ ou −∞ ; ℓ et ℓ 0 désignent des réels. limx→x0 f (x) ℓ ℓ 6= 0 0 ∞ 0 +∞ −∞ +∞ ℓ 6= 0 ℓ 6= 0 limx→x0 g (x) ℓ 0 0 0 0 ∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ limx→x0 (f (x)+ g (x)) ℓ+ℓ 0 ℓ 0 ∞ ∞ +∞ −∞ F.I +∞ −∞ limx→x0 f (x).g (x) ℓ.ℓ 0 0 0 F.I F.I +∞ +∞ −∞ ±∞ (signe ℓ) ±∞ (signe ℓ) limx→x0 f (x) g (x) ℓ ℓ 0 (ℓ 0 6= 0) ∞ F.I ∞ 0 F.I F.I F.I 0 0 limx→x0 f (x) limx→x0 |f (x)| limx→x0 p f (x) ℓ |ℓ| p |ℓ| +∞ +∞ +∞ −∞ +∞ n’existe pas Limite et ordre f est une fonction, x0 désigne un nombre réel ou +∞ ou −∞ ; ℓ et ℓ 0 désignent des réels et I désigne un intervalle ouvert de centre x0 si x0 ∈ R si non intervalle de type ]a,+∞[ ou ]−∞,b[. Théorème 1 Si® f est positive sur I limx→x0 f (x) = ℓ alors ℓ ≥ 0 Théorème 2 Si ß g (x) ≤ f (x) sur un voisinage de x0 limx→∞ f (x) = ℓ,ℓ ∈ R et limx→∞ g (x) = ℓ 0 ∈ R alors ℓ 0 ≤ ℓ 1

Théorème 3 Si ® g (x) ≤ f (x) ≤ h(x), sur un voisinage de x0 limx→x0 g (x) = limx→x0 h(x) = ℓ alors limx→x0 f (x) = ℓ Théorème 4 Si ® |f (x)−ℓ| ≤ g (x) sur un voisinage de x0 limx→x0 g (x) = 0 alors limx→xo f (x) = ℓ. Théorème 5 S’il existe une fonction g vérifiant : ® f (x) ≤ g (x) sur I limx→x0 g (x) = −∞ alors limx→x0 f (x) = −∞ S’il existe une fonction g vérifiant : ® g (x) ≤ f (x) sur I limx→x0 g (x) = +∞ alors limx→x0 f (x) = +∞ Limite d’une fonction monotone Branches infinies Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle de type [a,b[ (fini ou infini). • Si f est croissante et majorée alors elle admet une limite finie en b . • Si f est croissante et non majorée alors f tend vers +∞ en b. • Si f est décroissante et minorée alors elle admet une limite finie en b . • Si f est décroissante et non minorée alors f tend vers −∞ en b . Asymptotes Limite Interprétation lima f = ±∞ ou lim a ± f = ±∞ La droite D : x = a est asymptote à C lim+∞ f = b ou lim−∞ f = b,b ∈ R La droite D : y = b est asymptote à C lim±∞ (f (x)−(ax +b)) = 0 La droite D : y = ax +b est asymptote à C Etude d’une branche infinie Dans le cas où lim x→+∞ f (x) = ±∞. Soit f une fonction telle que lim x→+∞ f (x) = ±∞ et Cf sa courbe représentative dans un repère Ä O, −→i , −→j ä . Dans ce qui suit le procédé qu’il faut suivre pour déterminer la branche infinie au voisinage de +∞. ∗ Si lim x→+∞ f (x) x = ±∞ , alors la courbe Cf admet une branche infinie de direction asymptotique celle de Ä O, −→j ä au voisinage de +∞. ∗ Si lim x→+∞ f (x) x = 0 , alors la courbe Cf admet une branche infinie de direction asymptotique celle de Ä O, −→i ä au voisinage de +∞. ∗ Si lim x→+∞ f (x) x = a avec (a 6= 0), alors deux cas peuvent se présenter : X Si lim x→+∞ f (x) − ax = b avec (b ∈ R) alors la droite déquation y = ax + b est une asymptote à la courbe Cf au voisinage de +∞. X Si lim x→+∞ f (x)−ax = ±∞ alors la courbe Cf admet une direction asymptotique celle de la droite déquation y = ax au voisinage de +∞. Limite d’une fonction composée Théorème 1 x0 , b et λ désigne des réels ou +∞ ou −∞. Si ( limx→x0 f (x) = b lim x→b g (x) = λ alors limx→x0 g ◦ f(x) = λ Corollaire Si ® limx→x0 f (x) = b, (b ∈ IR) g est continue en b alors limx→x0 g ◦ f(x) = g (b) Théorème 2 • Soit f une fonction définie sur un intervalle de type ]a,+∞[. lim x→+∞ f (x) existe, signifie que lim x→0 + f  1 x  existe et dans ce cas, on a : lim x→+∞ f (x) = lim x→0 + f  1 x  • Soit f une fonction définie sur un intervalle de type ]−∞,a[. lim x→−∞ f (x) existe, signifie que limx→0 − f  1 x  existe et dans ce cas, on a: lim x→−∞ f (x) = limx→0 − f  1 x  2

Continuité Continuité d’une fonction composée Si f est continue en xo et g est continue en f (x0) alors g ◦ f est continue en x0. Si    f est continue sur un intervalle I g est continue sur un intervalle J pour tout x de I on a : f (x) ∈ J alors g ◦ f est continue sur I. Théorème 1 L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Théorème 2 : (Théorème des valeurs intermédiaires) Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I. Pour tout réel λ compris entre f (a) et f (b) il existe au moins un réel x0 ∈ [a,b] tel que f (x0) = λ. Si de plus f est strictement monotone alors x0 est unique. corollaire Soit f une fonction continue sur un intervalle fermé borné [a,b] telle que f (a).f (b) < 0. Il existe au moins un réel x0 ∈]a,b[ tel que f (x0) = 0. Théorème 3 Toute fonction continue et ne s’annule pas sur un intervalle I alors elle garde un signe contant sur I. Théorème 4 L’image d’un intervalle fermé borné [a,b] par une fonction continue est un intervalle fermé borné [m,M] Image d’un intervalle par une fonction monotone Théorème L’image d’un intervalle I par une fonction continue et monotone sur I est un intervalle de même nature. Intervalle I Si f est croissante sur I Si f est décroissante sur I I = [a,b] f (I) = [f (a), f (b)] f (I) = [f (b), f (a)] I = [a,b[ f (I) = [f (a), lim x→b − f (x)[ f (I) =] lim x→b − f (x), f (a)] I = [a,+∞[ f (I) = [f (a), lim x→+∞ f (x)[ f (I) =] lim x→+∞ f (x), f (a)] I =]a,b[ f (I) =] lim x→a + f (x), lim x→b − f (x)[ f (I) =] lim x→b − f (x), lim x→a + f (x)[ 3

Suites réelles Suites arithmétiques, suites géométriques Suites arithmétiques Soit (un) est une suite arithmétique de raison r • Pour tout n ∈ N, un+1 −un = r . • Pour tous entiers naturels n et m on a : un = um +(n −m)r . • En particulier : un = u0 +nr = u1 +(n −1)r . • Xn k=p uk = (n − p +1) up +un 2 . Suites géométriques Soit (un) est une suite géométrique de raison q. • Pour tout n ∈ N on a : un+1 = q.un. • Pour tous entiers naturels n et m on a : un = q n−mum. • En particulier : un = q n .u0 = q n−1 .u1. • Si q 6= 1, Xn k=p uk = up 1− q (n−p+1) 1− q . • lim n→+∞ q n =    +∞ si q > 1 0 si −1 < q < 1 n 0 existe pas si q ≤ −1 Suite majorée - suite minorée - suite bornée • Une suite u est dite majorée s’il existante M telle que : ∀n ∈ N,un ≤ M. • Une suite u est dite minorée s’il existante m telle que : ∀n ∈ N,un ≥ M. • Une suite u est dite bornée s’il existe deux constantes m et M telles que : ∀n ∈ I N,m ≤ un ≤ M. Suite monotone Définition Soit u une suite réelle : • u est croissante si et seulement si pour tout n, un+1 ≥ un. • u est décroissante si et seulement si pour tout n, un+1 ≤ un. • u est constante si et seulement si pour tout n, un+1 = un. Suites Soit un = f (n) où f est une fonction définie sur I = [0,+∞[. Si f est monotone sur I alors la suite u a le même sens de variation que f . Suites récurrentes Soit u une suite réelle définie par un+1 = f (un) où f est une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans I. • Si ∀x ∈ I, f (x) ≥ x alors la suite u est croissante. • Si ∀x ∈ I, f (x) ≤ x alors la suite u est décroissante. Suite convergente Définition Une suite réelle est dite convergente si elle admet une limite finie. Théorème Toute suite convergente est bornée. Théorème Soit u une suite réelle et ℓ un réel ( ℓ peut être infinie ). lim n→+∞ un = ℓ ⇔ lim n→+∞ u2n = lim n→+∞ u2n+1 = ℓ Théorème • Toute suite (un) croissante et majorée converge vers un réel a et ∀n,un ≤ a. • Toute suite (un) décroissante et minorée converge vers un réel b et ∀n,un ≥ b. Théorème Soit un = f (n) où f est une fonction. Si lim x→+∞ f (x) = a (a fini ou infini) Alors lim n→+∞ un = a. 4

Suite du type : vn = f (un) Théorème Si    f est continue sur un intervalle ouvert I un une suite d’élément de I (un ∈ I) un converge vers a (a ∈ I) Alors lim n→+∞ f (un) = f (a) Théorème Si    f est définie sur un intervalle I un une suite d’élément de I (un ∈ I) lim n→+∞ un = ℓ , ℓ fini ou infini lim x→ℓ f (x) = b Alors lim n→+∞ f (un) = b Limites et ordre Théorème 1 Soit (un) une suite réelle qui converge vers a. • Si un ≥ 0 ou un > 0, a partir d’un certain rang alors a ≥ 0. • Si un ≤ 0 ou un < 0, a partir d’un certain rang alors a ≤ 0. • Si m ≤ un ≤ M ou m < un < M, à partir d’un certain rang alors m ≤ a ≤ M. Théorème 2 On considère les suites (un), (vn) et (wn). Si ß wn ≤ un ≤ vn à partir d’un certain rang lim n→+∞ wn = lim n→+∞ vn = ℓ, ℓ ∈ R Alors lim n→+∞ un = ℓ. Théorème 3 Soit deux suites (un) et (vn) Si ß un ≤ vn à partir d’un certain rang lim n→+∞ vn = −∞ Alors lim n→+∞ un = −∞. Si ß un ≤ vn à partir d’un certain rang lim n→+∞ un = +∞ Alors lim n→+∞ vn = +∞. Théorème 4 Soit deux suites (un) et (vn) Si ß |un| ≤ vn à partir d’un certain rang lim n→+∞ vn = 0 Alors lim n→+∞ un = 0. Suites récurrentes Théorème Soit (un) une suite réelle vérifiant un+1 = f (un) où f est une fonction. Si (un) est convergente vers un réel a et si f est continue en a alors f (a) = a . Suites adjacentes Définition Deux suites réelles (un) et (vn) sont dites adjacentes si l’une est croissante, l’autre décroissante et si leur différence converge vers 0. Théorème Si (un) et (vn) sont deux suites adjacentes telles que (un) est croissante et (vn) est décroissante alors ces deux suites sont convergentes et convergent vers la même limite a et pour tout n, un ≤ a ≤ vn. 5

Dérivabilité Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert I de R et a ∈ I. On dit que f est dérivable en a s’il existe un réel, noté f 0 (a) tel que limx→a f (x)− f (a) x − a = f 0 (a). Ou lim h→0 f (a +h)− f (a) h = f 0 (a). Le réel f 0 (a) s’appelle le nombre dérivé de f en a. Approximation affine et tangente * Si f est dérivable en a alors: • Le réel f (a)+ f 0 (a)h est une approximation affine de f (a +h). f (a +h) ∼= f (a)+h f 0 (a). • La courbe représentative de f admet au point A(a, f (a)) une tangente T d’équation y = f 0 (a)(x − a)+ f (a). * Si la courbe représentative de f admet au point A(a, f (a)) une tangente T = (AB) non parallèle a˙ l’axe des ordonnées. Alors f est dérivable en a et f 0 (a) = yB − yA xB − xA . Remarque Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I de R ;a et b deux réels de I. On désigne par Ta et Tb les tangentes à la courbe (C ) de f respectivement aux A(a, f (a)) et B(b, f (b)). • Ta et Tb sont parallèles si et seulement si f 0 (a) = f 0 (b). • Ta et Tb sont perpendiculaires si et seulement si f 0 (a)× f 0 (b) = −1. • Ta = Tb si et seulement si f 0 (a) = f 0 (b) et A ∈ Tb. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a ∈ I. • On dit que f est dérivable à droite en a s’il existe un reel, noté f 0 d (a) tel que lim x→a + f (x)− f (a) x − a = f 0 d (a). • On dit que f est dérivable a gauche en a s’il existe un réel, noté f 0 g (a) tel que limx→a − f (x)− f (a) x − a = f 0 g (a). Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R et a ∈ I. f est dérivable en a si et seulement si f est dérivable à gauche et à droite en a et f 0 g (a) = f 0 d (a). Dérivées de fonctions usuelles Fonction f Dérivée f 0 f (x) = ax +b f 0 (x) = a f (x) = x n f 0 (x) = nxn−1 f (x) = (ax +b) n f 0 (x) = na(ax +b) n−1 f (x) = 1 x f 0 (x) = − 1 x 2 f (x) = 1 x n f 0 (x) = − n x n−1 f (x) = 1 ax +b f 0 (x) = − a (ax +b) 2 f (x) = ax +b cx +d f 0 (x) = ad −bc (cx +d) 2 f (x) = p ax +b f 0 (x) = a 2 p ax +b Dérivées de fonctions usuelles Fonction f Dérivée f 0 f (x) = 1 p ax +b f 0 (x) = −a 2(p ax +b) 3 f (x) = pn x f 0 (x) = 1 n pn x x = 1 n 1 pn x n−1 f (x) = sin(ax +b) f 0 (x) = a cos(ax +b) f (x) = cos(ax +b) f 0 (x) = −a sin(ax +b) f (x) = tan(ax +b) f 0 (x) = a cos2 (ax +b) f (x) = 1 cosx f 0 (x) = −cosx (sinx) 2 f (x) = 1 sinx f 0 (x) = sinx (cosx) 2 f (x) = 1 tanx f 0 (x) = − 1+tan2 x
tan2 x 6

Opérations sur les fonctions dérivables Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Retenons Soient f et g deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Fonction Fonction dérivée f + g f 0 + g 0 f × g f 0 g + f g 0 f n n f 0 f n−1 1 g −g 0 g 2 f g f 0 g − f g 0 g 2 p f f 0 2 p f pn f 1 n f 0 · pn f f = 1 n f 0 pn f n−1 g (x) = f (ax +b) g 0 (x) = a.f 0 (ax +b) Retenons Fonction Fonction dérivée λf λf 0 g ◦ f f 0 × g 0 ◦ f f (sinx) (cosx).f 0 (sinx) f (cosx) (−sinx).f 0 (cosx) f  1 x  − 1 x 2 .f 0  1 x  lnx 1 x ln|u(x)| u 0 (x) u(x) f (x) = e x f 0 (x) = e x f (x) = e u(x) f 0 (x) = u 0 (x)e u(x) g (x) = Z u(x) a f (t)d t g 0 (x) = u 0 (x)f (u(x)) Dérivée de la fonction composée Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant a et g une fonction définie sur un intervalle J contenant f (a). • Si f est dérivable en a et g est dérivable en f (a) alors g ◦ f est dérivable en a et (g ◦ f ) 0 (a) = f 0 (a)× g 0 (f (a)) • Si    f est dérivable sur I g est dérivable sur J ∀x ∈ I f (x) ∈ J Alors g ◦ f est dérivable sur I et ∀x ∈ I (g ◦ f ) 0 (x) = f 0 (x)× g 0 (f (x)) Théorème Soit f : I −→ R une fonction dérivable en a ∈ I. Alors f est continue en a. Dérivées successives Soit f une fonction dérivable sur intervalle I . La fonction f 0 est la dérivée première de f . Si f 0 est dérivable sur I, sa fonction dérivée notée f 00 ou f (2) est la dérivée seconde de f . Si f (n−1) , (n ≥ 2) est dérivable sur I, sa fonction dérivée est la fonction dérivée n-ième de f , ou dérivée d’ordre n de f on la note f (n) . Dérivée et extremum local Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I : • On dit que f admet un maximum local en a, s’il existe un intervalle ouvert J contenant a et inclus dans I tel que : pour tout x ∈ J on a : f (x) ≤ f (a). • On dit que f admet un minimum local en a, s’il existe un intervalle ouvert J contenant a et inclus dans I tel que : pour tout x ∈ J on a : f (x) ≥ f (a). • On dit que f admet un extremum local en a. Si f admet un maximum ou un minimum local en a. Théorème Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I contenant a : 1. Si f admet un extremum local en a alors f 0 (a) = 0 2. Si f 0 s’annule en changeant de signe en a alors f admet un extremum local en a. 7

Accroissements finis Théorème de Rôlle Soit f une fonction définie sur [a,b], a < b. Si • f est continue sur [a,b] • f est dérivable sur ]a,b[ • f (a) = f (b) Alors il existe au moins un réel c ∈]a,b[ tel que f 0 (c) = 0. Interprétation graphique Si les conditions du théorème de Rôlle sont justifiées pour une fonction f sur un intervalle [a,b] alors la courbe de f admet au moins une tangente horizontale. Théorème (Égalité des accroissements finis) Soit f une fonction définie sur [a,b], a < b. Si • f est continue sur [a,b] • f est dérivable sur ]a,b[ Alors il existe au moins un réel c ∈]a,b[ tel que f 0 (c) = f (b)− f (a) b − a . Interprétation graphique Si les conditions du (T.A.F) sont justifiées pour une fonction f sur un intervalle [a,b] alors la courbe de f admet au moins une tangente parallèle à la droite (AB) tel que A(a, f (a)) et B(b, f (b)). Théorème (Inégalité des accroissements finis) Soit f une fonction définie sur [a,b], a < b. Si • f est continue sur [a,b] • f est dérivable sur ]a,b[ • il existe deux réels m et M tels que ∀x ∈]a,b[, m ≤ f 0 (x) ≤ M Alors : m(b − a) ≤ f (b)− f (a) ≤ M(b − a). corollaire Soit f une fonction définie sur un intervalle I . Si • f est dérivable sur I • il existe un réel k > 0 tel que ∀x ∈ I,   f 0 (x)   ≤ k • a et b sont deux réels de I Alors : |f (b)− f (a)| ≤ k|b − a|. Accroissements finis et suites récurrentes On considère une suite (un) vérifiant la relation de récurrence un+1 = f (un) où f est une fonction dérivable sur un intervalle I. Si • il existe un réel k > 0 tel que ∀x ∈ I,   f 0 (x)   ≤ k • il existe un réel α de I tel que f (α) = α • ∀n, un ∈ I Alors : ∀n, |un+1 −α| ≤ k |un −α| Théorème (Signe de la dérivée et sens de variation) Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I. • Si la fonction dérivée f 0 est nulle, alors la fonction est constante sur I. • Si la fonction dérivée est strictement positive (sauf en quelques points isolés de I où elle s’annule), alors la fonction f est strictement croissante sur I. • Si la fonction dérivée est strictement négative (sauf en quelques points isolés de I où elle s’annule), alors la fonction f est strictement décroissante sur I. Alors : m(b − a) ≤ f (b)− f (a) ≤ M(b − a). Théorème Soit f une fonction continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. • Si ∀x ∈]a,b[, f 0 (x) = 0 alors la fonction f est constante sur [a,b]. • Si ∀x ∈]a,b[, f 0 (x) ≥ 0 alors la fonction f est croissante sur [a,b]. • Si ∀x ∈]a,b[, f 0 (x) > 0 alors la fonction f est strictement croissante sur [a,b]. • Si ∀x ∈]a,b[, f 0 (x) ≤ 0 alors la fonction f est décroissante sur [a,b]. • Si ∀x ∈]a,b[, f 0 (x) < 0 alors la fonction f est strictement décroissante sur [a,b]. 8

Fonctions réciproques Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle I, si pour tout y de f (I), il existe une unique réel x de I tel que f (x) = y alors f est une bijection de I sur f (I). Théorème Si f est strictement monotone sur I alors f réalise une bijection de I sur f (I) . • On note f −1 la fonction réciproque de f • f −1 est définie sur f (I) • ∀y ∈ I et tout x de f (I) : f −1 (x) = y ⇔ f (y) = x Courbe d’une bijection réciproque Les courbes, dans un repère orthonormé, d’une bijection f et de sa réciproque f −1 sont symétriques par rapport à la droite y = x. Théorème Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I alors f réalise une bijection de I sur l’intervalle J = f (I). La bijection réciproque f −1 est continue et a le même sens de variation que f sur J = f (I). Théorème Soit f est une fonction strictement monotone sur un intervalle I. * Si f est dérivable en a ∈ I et f 0 (a) 6= 0 Alors f −1 est dérivable en b = f (a) et f −1
0 (b) = 1 f 0 (a) . * Si f est dérivable sur I et pour tout x de I; f 0 (x) 6= 0, alors f −1 est dérivable sur f (I) et pour tout x de f (I) on a : f −1
0 (x) = 1 f 0 f −1 (x)
Points méthode Soit f une bijection d’un intervalle I sur J = f (I). * Si on te demande d’étudier la dérivabilité de f −1 en b La première chose à faire c’est : chercher a = f −1 (b) puis étudier la dérivabilité de f en a. * Si on te demande d’étudier la dérivabilité de f −1 sur un intervalle K La première chose à faire c’est : déterminer L = f −1 (K) puis étudier la dérivabilité de f sur L. Propriétés Soit n un entier supérieur ou égal à 2. x et y sont des réels positifs. • x n = y ⇔ x = pn y. • ( pn x) n = x, pn x n = |x| = x. • La fonction x → pn x est continue et strictement croissante sur [0,+∞[. • lim x→+∞ pn x = +∞. Propriétés Soit n un entier supérieur ou égal à 2. x et y sont des réels positifs. • pn x y = ( pn x)(pn y). • y > 0, n …x y = pn x pn y . • n » mp x = mnp x. • pn xm = pn x
m , mnp xm = pn x , pn x = x 1 n x > 0 Théorème • La fonction x → pn x est dérivable sur ]0,+∞[ et ∀x > 0, (pn x) 0 = 1 n pn x x = 1 n pn x n−1 . • Si f est dérivable et strictement positive sur I alorspn f est dérivable sur I et ( pn f ) 0 = 1 n f 0 pn f f . 9

Primitives Définition Soit f et F deux fonctions définies sur un intervalle I. On dit que F est une primitive sur I de f si F est dérivable sur I et pour tout x de I. F 0 (x) = f (x) Théorème Toute fonction continue sur un intervalle I admet au moins une primitive sur cet intervalle. Deux primitives d’une même fonction sur un intervalle I diffèrent d’une constante. (F = G +c te). Si f est continue sur un intervalle I et a ∈ I alors ∀b ∈ R il existe une unique primitive F de f telle que F(a) = b. Retenons Fonction f Primitive F f (x) = (x +b) n , n ≥ 1 F(x) = 1 n +1 (x +b) n+1 f (x) = (ax +b) n ,n ≥ 1 et a 6= 0 F(x) = 1 a(n +1) (ax +b) n+1 f (x) = 1 x n ,n ≥ 2 F(x) = −1 n −1 1 x n−1 f (x) = 1 (ax +b) n ,n ≥ 2 F(x) = 1 a · −1 n −1 · 1 (ax +b) n−1 f (x) = 1 p x F(x) = 2 p x f (x) = 1 p ax +b F(x) = 2 a p ax +b f (x) = p x F(x) = 2 3 x p x f (x) = p ax +b F(x) = 2 3a (ax +b) p ax +b f (x) = p3 x F(x) = 3 4 x p3 x f (x) = p3 ax +b F(x) = 3 4a (ax +b) p3 ax +b f (x) = pn x F(x) = n n +1 x pn x f (x) = pn ax +b F(x) = n (n +1)a (ax +b) pn ax +b f (x) = sin(ax +b),a 6= 0 F(x) = −1 a cos(ax +b) f (x) = cos(ax +b),a 6= 0 F(x) = 1 a sin(ax +b) Retenons Fonction f Primitive F f (x) = 1 cos2 (ax +b) F(x) = 1 a tan(ax +b) u 0 ·u n , n ≥ 1 1 n +1 u n+1 u 0 u n ,n ≥ 2 −1 n −1 1 u n−1 u 0 p u 2 p u u 0p u 2 3 u p u u 0 pn u n n +1 u pn u u 0 pn u n n −1 u pn u u 0 v +uv0 uv u 0 v − v 0u v 2 u v u 0 · v 0 ◦u
v ◦u 10

Intégrales Définition et conséquences Définition Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I. a et b deux réels de I. On appelle : intégrale de f entre a et b le réel noté : Z b a f (x)d x = F(b)−F(a). Conséquences Soit f une fonction continue sur un intervalle I . a et b deux réels de I. • Z a a f (x)d x = 0 et Z b a c te d x = (b − a)×c te • Z a b f (x)d x = −Z b a f (x)d x. Propriétés Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. a , b et c trois réels de I. Propriétés algébriques 1. Relation de Chasles Z c a f (x)d x = Z b a f (x)d x + Z c b f (x)d x 2. Pour tous réels α et β Z b a αf (x)+βg (x)d x = α Z b a f (x)d x +β Z b a g (x)d x 3. Intégrations par parties Z b a u 0 (x)v(x)d x = [u(x)v(x)]b a − Z b a u(x)v 0 (x)d x u et v sont des fonctions dérivables et leurs fonctions dérivées sont continues. Intégrales et inégalités 1. Si a ≤ b ∀x ∈ I, f (x) ≥ 0 ™ Alors : Z b a f (x)d x ≥ 0 2. Si f est positive sur [a,b], (a < b) et ne s’annule qu’en un nombre fini de réel , alors Z b a f (x)d x > 0. 3. Si a ≤ b ∀x ∈ I, f (x) ≤ g (x) ™ Alors : Z b a f (x)d x ≤ Z b a g (x)d x. 4. Si f est continue sur [a,b] alors :     Z b a f (x)d x     ≤ Z b a |f (x)|d x. Valeur moyenne et inégalité de la moyenne Définition Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b], (a < b). On appelle valeur moyenne de f sur [a,b] le réel f = 1 b − a Z b a f (x)d x. Théorème (inégalité de la moyenne) Soit f une fonction continue sur [a,b], (a < b). Soit m et M deux réels. Si pour tout x de [a,b] m ≤ f (x) ≤ M alors m ≤ f ≤ M Corollaire Soit f une fonction continue sur [a,b]. Il existe c ∈ [a,b] tel que f = f (c). Fonction définie à l’aide d’une intégrale Théorème Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Alors la fonction F définie sur I par : F(x) = Z x a f (t)d t est la primitive de f qui s’annule en a. Conséquences Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I. Alors la fonction F définie sur I par : F(x) = Z x a f (t)d t est dérivable sur I et ∀x ∈ I, F 0 (x) = f (x). Théorème Soit u une fonction définie sur un intervalle I et f une fonction définie sur un intervalle J. Si u est dérivable sur I f est continue surJ ∀x ∈ I, u(x) ∈ J a ∈ J    Alors la fonction F : x 7→ Z u(x) a f (t)d t est dérivable sur I et F 0 (x) = u 0 (x)· f (u(x)) 11

Théorème Soit f une fonction continue sur un intervalle I centré en 0 et a ∈ I. • Si f est impaire alors Z a −a f (x)d x = 0. • Si f est paire alors Z a −a f (x)d x = 2 Z a 0 f (x)d x. Théorème Soit f une fonction continue sur R ,périodique de période T . Pour tout réel a, Z a+T a f (x)d x = Z T 0 f (x)d x Calcul d’aire Définition Le plan est muni d’un repère orthogonal. Soit f une fonction continue et positive sur [a,b], (a < b). L’aire (en ua) de la partie du plan limitée par la courbe de f , l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b est le réel Z b a f (x)d x Z b a f (x)d x a b Cf Définition Le plan est muni d’un repère orthogonal.Soit f une fonction continue sur [a,b], (a < b). L’aire (en ua) de la partie du plan limitée par la courbe de f , l’axe des abscisses et les droites x = a et x = b est le réel Z b a |f (x)|d x Z b a |f (x)|d x a b Cf Interprétation de la valeur moyenne Le plan est muni d’un repère orthogonal. Soit f une fonction continue et positive sur [a,b], (a < b). L’aire de la surface du plan limitée par la courbe de f , les droites x = a, x = b et y = 0 est égale à celle du rectangle de côtés (b − a) et f . Définition Le plan est muni d’un repère orthogonal.Soit f et g deux fonctions continues sur [a,b], (a < b). L’aire (en ua) de la partie du plan limitée par la courbe de f , celle de g et les droites x = a et x = b est le réel Z b a |f (x)− g (x)|d x Calcul de volume Définition L’espace est muni d’un repère orthonormé Ä O, −→ı , −→ȷ , −→k ä . Soit f une fonction continue et positive sur [a,b]. Le volume V du solide de révolution engendré par la rotation de la courbe de f dans le plan Ä O, −→i , −→j ä autour de l’axe Ä O, −→i ä est le réel V = π Z b a f 2 (x)d x 12

Fonction logarithme népérien Définition On appelle fonction logarithme népérien notée ln , la fonction primitive sur ]0,+∞[ qui s’annule en 1 de la fonction : t → 1 t Conséquences ♣ La fonction ln est définie, continue et dérivable sur ]0,+∞[, ln 1 = 0 et ln0 x = 1 x . ♣ Pour tout réel x > 0, lnx = Z x 1 1 t d t. ♣ La fonction ln est strictement croissante sur ]0,+∞[. ♣ Soit a et b deux réels strictement positifs. • lna = lnb ⇔ a = b • lna > lnb ⇔ a > b • lna < lnb ⇔ a < b • lna > 0 ⇔ a > 1 • lna < 0 ⇔ 0 < a < 1 ♣ La fonction ln est une application bijective de ]0,+∞[ sur R. ♣ Il existe un unique réel strictement positif noté e tel que ln(e) = 1. ♣ • ∀n ∈ N,ln e n
= n. • ∀p ∈ N ∗ ,∀n ∈ N\{0, 1}, ln pn e p
= p n . • lnx = a ⇔ x = e a . Limites remarquables ♠ lim x→+∞ ln(x) = +∞, lim x→0 + ln(x) = −∞. ♠ lim x→+∞ ln(x) x = 0, lim x→0 + x ln(x) = 0. ♠ limx→1 ln(x) x −1 = [ln0 (1)] = 1. ♠ limx→0 ln(1+ x) x = 1. ♠ Pour tous entiers naturels non nuls n et m, on a : lim x→+∞ lnn (x) xm = 0, lim x→0 + x m lnn (x) = 0 Propriétés algébriques 1. Pour tous réels a et b strictement positifs on a : • ln(ab) = ln(a)+ln(b) • ln 1 a  = −lna • lnÅ b a ã = lnb −lna 2. Soit a un réel strictement positif. • Pour tout entier n, ln a n
= n lna • Pour tout entier n ≥ 2 , ln(pn a) = 1 n lna 3. Pour tous réels strictement positifs a1,a2,...,an on a : lnÅYn k=1 ak ã = Xn k=1 ln(ak ). Théorème Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et telle que u(x) > 0, pour tout x dans I. Alors la fonction F : x 7−→ ln(u(x)) est dérivable sur I et f 0 (x) = u 0 (x) u(x) Théorème Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et telle que u(x) 6= 0, pour tout x dans I. Alors la fonction F : x 7−→ ln|u(x)| est dérivable sur I et f 0 (x) = u 0 (x) u(x) 13

Courbe representative −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 0 −1 −2 −3 1 2 3 4 0 y = ln(x) b b e Corollaire Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et telle que u(x) 6= 0, pour tout x dans I. Alors la fonction f : x 7→ u 0 (x) u(x) admet pour primitive sur I la fonction F : x 7→ ln|u(x)| +k où k = c te. Théorème La fonction F : x 7→ x lnx −x est une primitive de la fonction ln : x 7→ lnx sur ]0,+∞[. 14

Exponentielle Fonction exponentielle base : e Définition On appelle fonction exponentielle la fonction réciproque de la fonction logarithme Népérien notée : e : x 7−→ exp(x) = e x Conséquences ♦ Pour tout réel x et pour tout réel y > 0, e x = y ⇔ x = ln y. ♦ Pour tout réel x, e x > 0. ♦ Pour tout réel x, ln e x
= x. ♦ Pour tout réel strictement positif x, e lnx = x. ♦ La fonction exp est continue et strictement croissante sur R. ♦ Soit a et b deux réels • e a = e b ⇔ a = b. • e a > e b ⇔ a > b. • e a < e b ⇔ a < b. • e a > 1 ⇔ a > 0. • e a < 1 ⇔ a < 0. Propriétés algébriques 1. Pour tous réels a et b on a : e a+b = e a e b , e −a = 1 e a , e a e b = e a−b 2. Soit a un réel . ♥ Pour tout entier n, e a
n = e na . ♥ Pour tout entier n ≥ 2, pn e a = e a n . ♥ p e a = e a 2 , p3 e a = e a 3 3. Pour tous réels a1,a2,...,an on a : Yn k=1 e ak = e Pn k=1 ak . Limites remarquables ♠ lim x→+∞ e x = +∞, lim x→−∞ e −x = 0. ♠ lim x→+∞ e x x = +∞, lim x→−∞ xex = 0. ♠ limx→0 e x −1 x = 1. ♠ Pour tous entiers naturels non nuls n et m, lim x→+∞ e nx xm = +∞, lim x→−∞ x me nx = 0 Théorème La fonction exponentielle f : x 7→ e x est dérivable sur R et ∀x ∈ R, f 0 (x) = e x
0 = e x Théorème Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La fonction F : x 7→ e u(x) est dérivable sur I et F 0 (x) = u 0 (x)e u(x) . Corollaire Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I . Les primitives sur I de la fonction x 7→ u 0 (x)e u(x) sont les fonctions x 7→ e u(x) +c te. Courbe representative −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 0 −1 −2 −3 1 2 3 4 0 y = ln(x) b b e y = exp(x) b b e 15

Fonction exponentielle base : a Définition Soit un réel a > 0, Pour tout réel x , on pose a x = e x lna Définition Soit un réel a > 0, On appelle fonction exponentielle base a la fonction x 7→ a x Théorème Soit un réel a > 0. La fonction x 7→ a x est dérivable sur R et pour tout x , a x
= (lna)a x Propriétés Pour tous réels strictement positifs a et b et pour tous réels c et d on a: ♥ a c+d = a c × a d . ♥ a c
d = a c d . ♥ a c−d = a c a d . ♥ a c ×b c = (ab) c . ♥ a c b c =  a b c . Limites Soit un réel a > 0 Si a > 1 alors lim x→+∞ a x = +∞ et lim x→−∞ a x = 0 Si 0 < a < 1 alors lim x→+∞ a x = 0 et lim x→−∞ a x = −∞ Fonctions puissances Définition Soit r un nombre rationnel n 0 appartenant pas à Z. On appelle fonction puissance r la fonction définie sur ]0,+∞[ par x 7→ x r = e r lnx . Dérivée Soit r un nombre rationnel. La fonction définie sur ]0,+∞[ par x 7→ x r est dérivable sur ]0,+∞[ et x r
0 = r xr−1 . Limites Soit r un nombre rationnel. ♣ Si r > 0 alors lim x→+∞ x r = +∞ et lim x→0 + x r = 0. ♣ Si r < 0 alors lim x→+∞ x r = 0 et lim x→0 + x r = +∞. Primitive Soit r un nombre rationnel different de 1. Les primitives sur ]0,+∞ de la fonction x 7→ x r sont : F(x) = 1 r +1 x r+1 Croissances comparées Théorème Soit r un nombre rationnel strictement positif. lim x→+∞ lnx x r = 0, lim x→0 + x r lnx = 0, lim x→+∞ e x x r = +∞ 16

Equations différentielles Equations différentielles de type : y 0 = ay +b Théorème Soit a un réel non nul. L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y 0 = ay est l’ensemble des fonctions définies sur R par x 7−→ keax où k est une constante. Conséquences Soit a et b deux réels tels que a non nul. Pour tous réels x0 et y0 , léquation différentielle y 0 = ay admet une unique solution qui prend la valeur y0 en x0 c’est la fonction f définie sur R par : f (x) = y0e a(x−x0) Théorème Soit a et b deux réels tels que a non nul. L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y 0 = ay + b est l’ensemble des fonctions définies sur R par x 7→ keax − b a où k est une constante réelle. Conséquences Soit a et b deux réels tels que a non nul. Pour tous réels x0 et y0 , léquation différentielle y 0 = ay + b admet une unique solution qui prend la valeur y0 en x0 c’est la fonction f définie sur R par : f (x) = Å y0 + b a ã e a(x−x0) − b a Equations différentielles de type : y 00 +w 2 y = 0 Théorème Soit w un réel non nul. L’ensemble des solutions de l’équation différentielle y 00 +w 2 y = 0 est l’ensemble des fonctions définies sur R par: f (x) = a cos(w x)+b sin(w x) où a et b sont des réels quelconques. Conséquences Soit w un réel non nul et x0, y0 deux réels. L’équation différentielle y 00 + w 2 y = 0 admet une unique solution dans R vérifiant f (0) = x0 et f 0 (0) = y0. C’est la fonction définie sur R par : f (x) = y0 w sin(w x)+ x0 cos(w x) 17

Nombres complexes Rappel Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct Ä O, −→u , −→v ä . Produits remarquables a et b deux nombres complexes (a +i b)(c +i d) = ac −bd +i(ad +bc) (a +i b) 2 = a 2 −b 2 +2i ab (a −i b) 2 = a 2 −b 2 −2i ab (a +i b)(a −i b) = a 2 +b 2 (1+i) 2 = 2i, (1−i) 2 = −2i et (1+i)(1−i) = 2 Retenons 1. Soit z un nombre complexe M(z) ⇔ M(Re(z), Im(z)) . 2. z−→AB = zB − zA 3. I = A ∗B ⇔ zI = zA + zB 2 Retenons Soit z un nombre complexe non nul et M(z) un point • arg(z) ≡ ( −→uà, −−→OM)[2π] • arg(z) ≡ −arg(z)[2π] • arg(−z) ≡ π+arg(z)[2π] Si θ est un argument de z alors : cosθ = Re(z) |z| et sinθ = Im(z) |z| Retenons 1. a et b deux réels , a +i b = a −i b et |a +i b| = p a 2 +b 2 . 2. Soit z un nombre complexe. • z + z = 2Re(z) • z − z = 2i Im(z) • z ∈ R ⇔ z = z • z ∈ iR ⇔ z = −z 3. z = a +i b, (a,b) ∈ R 2 , z · z = a 2 +b 2 Retenons 1. a et b des réels, |a +i b| = p a 2 +b 2 2. z at z 0 des nombres complexes. ♣  zz0   = |z|  z 0   z 6= 0,     1 z     = 1 |z| ♣ z 6= 0,     z 0 z     =  z 0   |z|  z n   = |z| n ♣ |z| = |z|, |z| 2 = zz ♣ |z| = 1 ⇔ zz = 1 ⇔ z = 1 z 3. ∀θ ∈ R et ∀n ∈ Z , (cosθ +i sinθ) n = cosnθ +i sinnθ 4. Le plan est rapporté à un repère orthonormé Ä O, −→u , −→v ä . ♠ OM = |z| , M d’ affixe z ♠ AB = |zB − zA| Arguments (1) X arg zz0
≡ arcB(z)+arg z 0
[2π] X argÅ z 0 z ã ≡ arB z 0
−arg(z)[2π] X arg z n
≡ n · arg(z)[2π],n ∈ Z X z ∈ R ∗ + ⇔ arg(z) ≡ 0[2π] X z ∈ R ∗ − ⇔ arg(z) ≡ π[2π] X z ∈ R ⇔ z = 0 ou arg(z) = kπ,k ∈ Z X z ∈ iR+ ⇔ arg(z) ≡ π 2 [2π] X z ∈ iR ⇔ z = 0 ou arg (z) = π 2 +kπ Arguments (2)  (⃗ƒ, −→ABu) ≡ arg(zB − zA)[2π]  (OA −−→á, −−→OB) ≡ argÅ zB zA ã [2π]  ( −→áAB, −→AC) ≡ argÅ zC − zA zB − zA ã [2π]  Soit w et w 0 deux vecteurs non nuls. • Å −→wƒ, −→ w 0 ã ≡ argÅz−→ w 0 z−→w ã [2π] • −→w et −→ w 0 sont orthogonaux ⇐⇒ z−→w z−→ w 0 ∈ iR • −→w et −→ w 0 sont colinéaires ⇐⇒ z−→w z−→ w 0 ∈ R 18

Relations entre forme algébrique et forme trigonométrique r = p a 2 +b 2 ; cosθ = a r et sinθ = b r Forme algébrique z = a +i b, (a,b) ∈ R 2 Forme trigonométrique z = r (cosθ +i sinθ), r > 0 ⇐⇒ a = r cosθ et b = r sinθ Forme exponentielle Définition Pour tout réel α , on pose e iα = cosα + i sinα et on lit exponentielle iα Propriétés X ∀θ ∈ R,  e iθ   = 1 et arg e iθ
≡ θ[2π] X e iθ = e −iθ , −e iθ = e i(θ+π) , i eiθ = e i θ+ π 2
X ∀θ ∈ R, ∀k ∈ Z : e i(θ+2kπ) = e iθ X ∀θ,θ 0 ∈ R, ∀n ∈ Z, on a : e iθ · e iθ 0 = e i(θ+θ 0 ) X 1 e iθ = e −iθ ; e iθ e iθ 0 = e i(θ−θ 0 ) ; e iθ
n = e inθ Exemples e i0 = 1;e i π 2 = i;e −i π 2 = −i e iπ = −1; e i π 3 = 1 2 +i p 3 2 , e −i π 3 = p 3 2 − 1 2 i Définition Soit z un nombre complexe de moduler (r > 0) et d’argument θ . On écrit z = r.e iθ , Cette écriture s’appelle forme exponentielle de z. Formules d’EULER ∀α ∈ R : cosα = e iα +e −iα 2 et sinα = e iα −e −iα 2i Formules utiles ∀θ ∈ R, 1+e iθ = 2cosÅ θ 2 ã e i θ 2 et 1−e iθ = 2sinÅ θ 2 ã e i θ−π 2
∀α,β ∈ R, e iα +e iβ = 2cosÅ α−β 2 ã e i α+β 2 et e iα −e iβ = 2i sinÅ α−β 2 ã e i α+β 2 Equation : z n = a, n ≥ 1, a ∈ C ∗ Théorème et Définition ♣ Pour tout entier naturel non nul n, l’équation: z n = 1 admet dans C n solutions distinctes définies par : zk = e i 2kπ n , k ∈ {0, 1, 2,...,n −1} ♣ Les solutions de l’équation: z n = 1 sont appelées racines nièmes de l’unité. Théorème et Définition Soit a un nombre complexe non nul d’argument θ et n un entier naturel non nul, l’équation: z n = a admet dans C, n solutions distinctes définies par : zk = pn |a|e θ+2kπ n
, k ∈ {0, 1, 2,....n −1}. Les solutions de l’équation: z n = a sont appelées les racines nièmes de a. Conséquences Le plan est muni d’un repère orthonormé direct Ä O, −→u , −→v ä . Lorsque n ≥ 3, les points images des racines nièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle trigonométrique. Conséquences Le plan est muni d’un repère orthonormé direct Ä O, −→u , −→v ä . Lorsque n ≥ 3, les points images des racines nièmes de a sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle de centre O et de rayon pn |a| 19

Equation : az2 +bz +c = 0, a ∈ C ∗ Racine carrée • Tout nombre complexe non nul admet deux racines carrées opposées • Soit ∆ un nombre complexe non nul. 1. z = x +i y où x et des réels est une racine carré de ∆ si et seulement si    x 2 − y 2 = Re(∆) x 2 + y 2 = |∆| 2x y = Im(∆) 2. Les racines carrées de ∆ sont ± q |∆|e i Ä arg(∆) 2 ä . Théorème et Définition Soit a,b et c des nombres complexes tels que a 6= 0. L’équation az2 + bz + c = 0, admet dans C, deux solutions définies par: z1 = −b −δ 2a et zi = −b +δ 2a où δ est une racine carrée de ∆ = b 2 −4ac ATTENTION Si ∆ ∉ R+ éviter d’écrire δ = p ∆ Conséquences X Soit ∆ un nombre complexe non nul et δ une racine carrée de ∆. X Si ∆ = −2 Alors δ = ±i p 2. X Si ∆ = b,b ∈ IR− Alors δ = ±i p |b| X Si ∆ = 2i Alors δ = ±(1+i). X Si ∆ = −2i Alors δ = ±(1−i) X Si ∆ = 5i = 5 2 (2i) Alors δ = ±… 5 2 (1+i) X Si∆ = −5i = 5 2 (−2i) Alors δ = ±… 5 2 (1−i) Conséquences Si z1 et z2 sont les solutions de l’équation az2 +bz +c = 0,a 6= 0 Alors az2 +bz +c = a (z − zi) (z − zz ) z1 + z2 = − b a , z1z2 = c a Exemples d’équations de degré supérieur ou égal à 3 Théorème Soit a1,a2,...,an des nombres complexes tels que an = 0 et n ≥ 2. Soit P(z) = an z n + an·1z n−1 +...+ a1z1 + a0 Si z0 est un zéro de P(z) alors P(z) = (z − z0) g (z) où g (z) est un polynôme de degré n −1. Nombres complexes et transformations Symétrie orthogonale d’axe Ä O, −→u ä L’application du plan dans lui qui aˆ tout point M d’affixe z associe le point M0 d’affixe z est la symétrie orthogonale d’axe Ä O, −→u ä . Translation de vecteur −→w −→w est un vecteur d’affixe b. L’écriture complexe de la translation t−→w qui transforme M(z) en M0 z 0
est z 0 = z +b. Symétrie centrale de centre O L’application du plan dans lui même qui à tout point M d’affixe z associe le point M0 d’affixe −z est la symétrie centrale de centre O. Rotation Soit Ω un point d’affixe z0 et θ un réel. L’écriture complexe de la rotation de centre Ω et d’angle de mesure θ ,qui transforme M(z) en M0 z 0
est : z 0 = e iθ (z − z0)+ z0. Homothétie Soit Ω un point d’affixe z0 et k un réel. L’écriture complexe de l’homothétie de centre Ω et de rapport k, qui transforme M(z) en rapport k, qui transforme M(z) en M0 z 0
est : z 0 = k (z − z0)+ z0 Théorème Soit f l’application: M(z) 7→ M0 z 0 = az +b
oi a et b sont des nombres complexes: 1. Si a = 1 alors f est la translation de vecteur w⃗ in d’affixe b . 2. Si |a| = 1 et a 6= 1 alors f est la rotation de centre Ω Å b 1− a ã et d’angle arg(a). 20

Isometries- Déplacement - Antidéplacement Isometries Définition Une isomérie du plan est une application du plan dans lui-même qui conserve les distances. Isomérie et produit scalaire f est une isomérie du plan ssi −→AB · −→AC = A 0B0 · −−−→ A 0C 0 . Pour tous points A,B et C d’images respectives A 0 ,B 0 et C 0 par f . Propriétés ♠ Les images de deux points distincts par une isomérie sont detux points distincts. ♠ Les images de 3 points non alignés par une isomérie sont 3 points non alignes. ♠ Une isomérie conserve les mesures des angles géométriques. ♠ Soit f une isométrie (A, −→AB, −→AC) est un repere orthonormé Si −−→AM = x −→AB + y −→AC f (A) = A 0 , f (B) = B 0 0 , f (C) = C 0 , f (M) = M0    Alors (  A 0 , −−−→ A 0B 0 , −−−→ A 0C 0  est un repère orthonormé −−−→ A 0M0 = x −−−→ A 0B 0 + y −−−→ A 0C 0 ♠ Soit f une isomérie. −→EF = α −→AB +β −−→CD f (A) = A 0 , f (B) = B 0 , f (C) = C 0 , f (E) = E 0 et f (F) = F 0 ™ Alors −−→ E 0 F 0 = a −−−→ A 0B 0 +β −−−→ C 0D 0 ♠ Une isomérie conserve : Les barycentres en particulier les milieux, le parallélisme ,l’orthogonalité et le contact. Théorème Toute isomérie est une application bijective et sa réciproque est une isomérie. Théorème Soit ⃗u un vecteur non nul et D une droite. Si ⃗u est vecteur directeur de D alors : t−→u ◦SD = SD ◦ t⃗u Définition La composée d’une translation de vecteur non nul −→u et d’une symétrie orthogonale d’axe ∆ tel que −→u est directeur de ∆ est appelée symétrie glissante. Composition d’isometries Théorème ♥ La composée de deux isometries est une isomérie. ♥ Soit f et g deux isometries (f og ) −1 = g −1 o f −1 ♥ Soit f et g deux isometries S∆o f ot−→u = g signifie f = S∆ ◦ g ◦ t− −→u 1. Composée de deux translations : t−→u ◦ t−→v = t−→v ◦ t−→u = t−→u + −→v 2. Composée de deux symétries orthogonales : Soit ∆ et ∆ 0 deux droites de vecteurs directeurs respectifs −→u et −→u 0  Si ∆//∆ 0 alors S∆0 ◦S∆ = t 2 −→I J où I est un point de ∆ et J son projeté orthogonal sur ∆ 0 .  Si ∆ et ∆ 0 sont sécantes en I alors S∆0oS∆ = R Å I,2Å −→u, −→ u 0 ãã.  Si ∆ = ∆ 0 alors S∆0 ◦S∆ = I dp  Si ∆ et ∆ 0 sont perpendiculaires en I alors S 0 ∆ ◦S∆ = S∆ ◦S∆0 = SI 21

3. Composée de deux rotations La composée de deux rotations est soit une translation si la somme des angles est nulle soit une rotation si la somme des angles n’est pas nulle. 4. Composée de deux symétries centrales La composée de deux symétries centrales est une translation : SB ◦SA = t 2 −→AB 5. Composée de deux symétries glissantes • Soit f une symétrie glissante de vecteur −→u alors f ◦ f = t 2 −→u . • Soient f et g deux symétries glissantes d’axes respectifs ∆ et ∆ 0 . X Si ∆//∆ 0 alors f ◦ g est une translation X Si ∆ et ∆ 0 sont sécants alors f ◦ g est une rotation. 6. Composée d’une translation et d’une rotation  La composée d’une translation et d’une rotation d’angle θ 6= 2kπ est une rotation d’angle θ.  La composée d’une translation et d’une symétrie centrale est une symétrie centrale. 7. Composée d’une translation et d’une symétrie orthogonale Soit D une droite et −→u un vecteur non nul.  Si −→u est normal a D alors : SD ◦ t−→u = SD0 avec D 0 = t− 1 2 −→u (D)  Si ⃗u est directeur de D alors : SD ◦ t−→u = t−→u ◦SD symétrie glissante.  Si −→u n’est ni directeur ni normal à D alors : ⃗u = ⃗v + w⃗ où ⃗v directeur et w⃗ normal à D et SD ◦ t−→u = S 0 D ◦ t−→v ,D 0 = t− 1 2 −→w (D) : symétrie glissante d’axe D’ et de vecteur −→v . 8. Composée d’une rotation et d’une symétrie orthogonale ( à démontrer ) Soit I un point et D une droite. On désigne par R la rotation de centre I et d’angle θ 6= 0 et par SD la symétrie orthogonale d’axe D.  Si I ∈ D alors R ◦SD et SD ◦R sont des symétries orthogonales.(R ◦SD 6= SD ◦R)  Si I ∉ D alors R ◦SD et SD ◦R sont des symétries glissantes.(R ◦SD 6= SD ◦R) Théorème X Toute translation est la composée de deux symétries axiales d’axes parallèles. X Toute rotation est la composée de deux symétries axiales d axes sécants. X Toute isomérie est la composée d’au plus trois symétries axiales. 22

Isometries et points fixes Théorème • Soit f une isomérie distincte de l’identité. Soit A un point d’image A’ par f tel que A 6= A 0 . SiM est invariant par f alors M est un point de la médiatrice de [AA0 ]. • Une isomérie qui fixe 3 points non alignés est égale a l’identité.. • Deux isometries qui coincident en trois points non alignés sont égales. • Une isomérie distincte de l’identité qui fixe deux points distincts A et B est S(AB) . • Une isomérie qui fixe un seul point I est une rotation de centre I. • Une isomérie qui fixe un point est soit l’ldp, soit une rotation soit une symétrie orthogonale. Théorème Soit O un point du plan.Toute isomérie du plan se décompose d’une manière unique en la composée d’une translation et d’une isomérie g qui fixe O. Conséquences Une isomérie est soit l’identité soit une rotation soit une symétrie orthogonale soit une symétrie glissante. Théorème Une isomérie sans point fixe est soit une translation de vecteur non nul, soit une symétrie glissante. Déplacements - Antidéplacements Théorème Toute symétrie orthogonale transforme les mesures des angles orientés en leurs opposées. On dit qu’une symétrie orthogonale change l’orientation. Conséquences  La composée d’un nombre pair de symétries orthogonales conserve les mesures des angles orientés.  La composée d’un nombre impair de symétries orthogonales transforme les mesures des angles orientés en leurs opposés. Théorème Soit f une isomérie du plan  La composée de 2 déplacements est un déplacement.  La composée de 2 antidéplacements est un déplacement.  La composée d’un déplacement et d’un antidéplacement est un antidéplacement.  Les déplacements sont : l 0 i d p les rotations et les translations.  La réciproque d’un déplacement est un déplacement et la réciproque d’un antidéplacement est un antidéplacement. Définition On appelle déplacement toute isomérie qui conserve les mesures des angles orientés. On appelle antidéplacements toute isomérie qui transforme les mesures des angles orientés en leurs opposées. Conséquences Soit f une isomérie du plan  f est un déplacement si et seulement si f est la composée d’un nombre pair de symétries orthogonales.  f est un antidéplacement si et seulement si f est la composée d’un nombre impair de symétries orthogonales.  Toute isomérie du plan est soit un déplacement, soit un antidéplacement.  Les déplacements sont : l’i d p les rotations et les translations.  Les antidéplacements sont : les symétries axiales et les symétries glissantes. Les déplacements Théorème  Un déplacement qui fixe deux points distincts est égal à l’identité.  Deux déplacements qui coincident sur deux points distincts sont égaux. 23

Théorème Soit A,B, Cet D4 points tels que AB = CD et AB 6= 0 et AB 6= 0 alors il existe un unique déplacement tel que f (A) = Ce t f (B) = D. Attention Soit A, B , C et D , 4 points tels que AB = CD et AB 6= 0 alors il existe deux déplacements qui envoient le segment [AB] au segment [CD]. Angle d’un déplacement Théorème  Un déplacement d’angle nul est une translation.  Un déplacement d’angle non nul est une rotation.  Si f est un déplacement d’angle θ et g un déplacement d’angle θ 0 alors : X f −1 est un déplacement d’angle −θ X f ◦ g est un déplacement d’angle θ +θ 0 Définition Soit A,B, Cet D, 4 points tels que AB = CD et AB 6= 0 et AB 6= 0 Si A 0 ,B 0 ,C 0 e tD0 sont les images respectives de A,B,C et D par f alors Å −→ABá, −−−→ A 0B 0 ã ≡  CD−−→á,C0D0  [2π] En désignant par θ une mesure de −→AB, −−−→ A 0B 0  , On dit que f est un déplacement d’angle θ 24

Déplacements et nombre complexes Théorème L’écriture complexe d’un déplacement f est : z 0 = az + b où a et b sont deux nombres complexes tels que |a| = 1  Si a= 1 alors f est une translation de vecteur ⃗u d’affixe b .  Si a 6= 1 alors f est une rotation de centre I d’affixe b 1− a et d’angle arg(a) Théorème Soit f une rotation de centre I d’affixe z0 et d’angle θ . L’écriture complexe de f est : z 0 = e iθ (z − z0)+ z0 Les antidéplacements Théorème Soit f une isomérie.  f est un antidéplacement ssi f est la composée d’un nombre impair de symétries orthogonales..  f est un antidéplacement ssi f est une symétrie orthogonale ou la composée de trois symétries. Théorème  Deux antidéplacements qui coincident sur deux points distincts sont égaux.  Soit A,B, Cet D, 4 points tels que AB = CD et AB 6= 0 alors il existe un unique antidéplacement f tel que f (A) = C et f (B) = D. Conséquences  Une isomérie est un antidéplacement ssi c’est la composée d’une symétrie orthogonale et d’une translation.  Un antidéplacement est soit une symétrie orthogonale soit une symétrie glissante. Attention Soit A,B, Cet D, 4 points tels que AB = CD et AB 6= 0 alors il existe deux antidéplacements qui envoient le segment [AB] au segment [CD]. Théorème Un antidéplacement qui fixe un point est une symétrie orthogonale Symétrie glissante Théorème et Définition Soit f une symétrie glissante. Il existe un unique vecteur non nul ⃗u et une droite D unique tels que f = t−→u ◦SD = SD ◦ t−→u où −→u est un vecteur directeur de D. Cette décomposition est appelée forme réduite de f . ⃗u et D sont les éléments caractéristiques de f . Propriétés Soit f une symétrie glissante de vecteur ⃗u et d’axe D. Soit M un point d’image M0 par f X M ∗ M0 ∈ D. X Si M ∈ D alors M0 ∈ D et MM0 = ⃗u. X f ◦ f = t 2 −→u . DETERMINATION DES ELEMENTS CARACTÉRISTIQUES D’UNE SYMÉTRIE GLISSANTE Soit f une symétrie glissante de vecteur −→u et d’axe ∆ 1. Soient A,B et C trois points. Si f (A) = B et f (B) = C alors ⃗u = 1 2 −→AC et ∆ = (I J) avec I = A ∗B et J = B ∗C 2. Soient A,B et C trois points. I = A ∗B Si f (A) = B et f (I) = C alors ⃗u = −→IC et ∆ = (IC) 3. Soit ABCD un parallélogramme de centre I. Si f (A) = C et f (B) = D alors ∆ est la perpendiculaire à (AB) issue de I et ⃗u = −−→AH où H est le projeté orthogonal de A sur (CD) (à démontrer ). 25

Similitudes Homothéties et translations Définition Soit I un point et k un réel non nul. On appelle homothétie de centre I et de rapport k l’application du plan dans lui-même qui à tout point M associe l’unique point M0 tel que −−→ IM0 = k −−→IM. Théorème La composée d’une translation et d’une homothétie de rapport k 6= 1 est une homothétie de rapport k . Théorème Soit k un réel non nul et différent de I. Une application f est une homothétie de rapport k, si et seulement si, pour tous points M et Nd0 imagesM0 e t N0 par f ,M0N0 = k −−→MN. Théorème Toute homothétie conserve les mesures des angles. Théorème La composée de deux homothéties de rapports respectifs k1 et k2 est une homothétie de rapport k1k2 si k1k2 6= 1, une translation si k1k2 = 1 Théorème Soit f une application du plan dans lui-même qui à tout M d’affixe z associe le point M0 d’affixe z 0 . L’application f est une homothétie de rapport k 6= 1, si et seulement si, il existe un nombre complexe b tel que z 0 = kz +b. De plus, l’affixe zA du centre A de l’homothétie f vérifie : zA = b 1−k . Similitudes Définition Soit k un réel strictement positif. On appelle similitude de rapport k, toute application du plan dans lui-même telle que pour tous points A et B d’images respectives A 0 et B 0 par f où A 0B 0 = k.AB Théorème La composée de deux similitudes de rapports respectifs k et k 0 est une similitude de rapport kk0 . Théorème Une application du plan dans lui-même est une similitude, si et seulement si, elle est la composée d’une homothétie et d’une isomérie. Théorème Pour tous points A,B,C et D, d’images respectives A 0 0 , B 0 0 , C 0 et D 0 par une similitude de rapport k , on a : −−−→ A 0B 0 · −−−→ C 0D 0 = k 2 . −→AB · −−→CD Propriétés  Une similitude de rapport k est une bijection et sa réciproque est une similitude de rapport 1 k  Une similitude conserve les angles géométriques  Une similitude conserve l’orthogonalité  Une similitude conserve l’alignement et le barycentre.  Une similitude transforme un segment en un segment  Une similitude transforme une droite en une droite  Une similitude transforme un cercle en un cercle et conserve le contact  Une similitude conserve le parallélisme  Soit A,B,C,D,E,F des points du plan A 0 ,B 0 ,C,D 0 ,E 0 ,F 0 leurs images respectives par une similitude Si −→AB = a. −−→CD +b. −→EF alors −−−→ A 0B 0 = a. −−−→ C 0D 0 +b. −−→ E 0 F 0 Théorème Deux similitudes qui coincident sur trois points non alignés sont égales. Propriétés Soit f , g et h trois similitudes • (f ◦ g ) −1 = g −1 ◦ f −1 • f = g ⇐⇒ h ◦ f = h ◦ g 26

Similitudes directes - Similitudes indirectes Définition On dit qu’une similitude est directe si elle est la composée d’une homothétie et d’un déplacement . On dit qu’une similitude est indirecte si elle est la composée d’une homothétie et d’un antidéplacement. Théorème X La composée de deux similitudes directes est une similitude directe. X La composée de deux similitudes indirectes est une similitude directe. X La composée d’une similitude directe et d’une similitude indirecte est une similitude indirecte. X La réciproque d’une similitude directe est une similitude directe. X La réciproque d’une similitude indirecte est une similitude indirecte. Conséquences Toute similitude directe conserve les mesures des angles orientés. Toute similitude indirecte change les mesures des angles orientés en leurs opposées. Théorème Soit A,B,C et D des points du plan tels que A 6= B et C 6= D. ♣ Il existe une unique similitude directe qui envoie A sur C et B sur D. ♣ Il existe une unique similitude indirecte qui envoie A sur C et B sur D . Théorème et Définition Soit f une similitude directe et A,B,C et D des points tels que AB 6= 0 et CD 6= 0. Soit A 0 , B 0 , C 0 et D 0 les images respectives de A, B, C et D. Alors Å −→ABá, −−−→ A 0B 0 ã ≡  CD−−→á,C0D0  [2π]. En désignant par θ une mesure de l’angle −→AB, −−−→ A 0B 0  , on dit que f est une similitude directe d’angle θ. Théorème Soit f et g deux similitudes directes d’angles respectifs θ et θ 0 La similitude directe f ◦ g est d’angle θ +θ 0 . La similitude directe f −1 est d’angle −θ. Théorème Toute similitude directe de rapport différent de 1 admet un unique point fixe, appelé centre de la similitude. Conséquences Une similitude directe de rapport différent de 1 est parfaitement déterminée par la donnée de son centre, son rapport et son angle. Le centre, le rapport et l’angle d’une similitude directe sont appelés éléments caractéristiques de cette similitude. Une similitude directe de rapport k différent de 1 , fixe un unique point I appelé centre de la similitude directe f . Une application f est une similitude directe de rapport k 6= 1, de centre I et d’angle θ, si et seulement si, pour tout point M distinct de I, d’image M0 , on a : IM0 = k.IM et −−→IM, −−→ IM0  ≡ θ[2π] Théorème Toute similitude directe de centre I, de rapport k 6= 1 et d angle θ se décompose sous la forme f = h◦r = r ◦h ou h est l’homothétie de centre I et de rapport k et r est la rotation de centre I et d’angle θ . Cette décomposition s’appelle forme réduite de f . Théorème Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct Ä O, −→i , −→j ä . Soit f une application du plan dans lui-même qui a tout point M d’affixe z associe le point M0 d’affixe z 0 . L’application f est une similitude directe de centre I de rapport k 6= I et d’angle θ, si et seulement si, il existe deux nombres complexes a et b tels que z 0 = az+b avec a = keiθ et z1 = b 1− a . Théorème Une similitude indirecte de rapport différent de 1 admet un unique point fixe, appelé centre de la similitude. 27

Théorème Soit f une similitude indirecte de centre I et de rapport k 6= 1 et h l’homothétie de centre 1 et de rapport k. Il existe une droite D telle que f se décompose de manière unique sous la forme f = h ◦ SD = SD ◦ h où SD est la symétrie orthogonale d’axe D. Dans ce cas, la droite D est l’ensemble des points M tels que −−→ IM0 = k −−→IM , où M0 = f (M). Cette décomposition est appelée forme réduite de f . La droite D est appelée axe de la similitude indirecte f . Conséquences Une similitude indirecte de rapport différent de 1, est parfaitement déterminée par son rapport,son centre et son axe, qui sont appelés éléments caractéristiques de cette similitude. L’axe D d’une similitude indirecte de centre I et la perpendiculaire à D passant par I sont globalement invariants par f . Si f est une similitude indirecte de centre I et de rapport k alors f ◦ f est une homothétie de rapport k 2 . Propriétés Soit f une similitude indirecte de centre I, de rapport different de 1 et d’axe D. Si ⃗u est un vecteur directeur de D, alors  ⃗à, −−→IM 0 u  ≡ −(⃗ƒ, −−→IMu)[2π] pour tout M distinct de I , d’image M0 . La droite à D porte la bissectrice intérieure de l’angle M IM0 . Théorème Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct Ä O, −→i , −→j ä . Soit f une application du plan dans lui-même qui a tout point M d’affixe associe le point M0 d’affixe z 0 . L’application f est une similitude indirecte de centre I , de rapport k 6= 1 si et seulement si, il existe deux nombres complexes a et b tels que z 0 = az +b . Dans ce cas : k = |a| et zI = ab +b 1−|a| 2 est l’affixe du point I. 28

Géométrie dans l’espace Produit scalaire dans l’espace Définition Soit A,B et C des points. Le produit scalaire des vecteurs −→AB, −→AC est le réel défini par: −→AB −→AC = 0 si −→AB = −→0 ou −→AC = −→0 −→AB · −→AC = AB × AC · cosB AC  si −→AB 6= −→0 et −→AC 6= −→0 Propriétés Pour tous vecteurs ⃗u,⃗v et ⃗v et tous réels α et β, on a : X ⃗u.⃗v = ⃗v.⃗u. X ⃗u(⃗v +w⃗ ) = ⃗u⃗v +⃗uw⃗ X (α⃗u)⃗v = ⃗u(α⃗v) = α(⃗u⃗v) X (α⃗u)(β⃗v) = αβ(⃗u⃗v) Théorème Soit Ä O, −→ı , −→ȷ , −→k ä un repère orthonormé de l’espace . Pour tous vecteurs ⃗u Ñ x y z é et ⃗v Ñ x 0 y 0 z 0 é X ⃗u.⃗v = xx0 + y y0 + zz0 et on a : k⃗uk = » x 2 + y 2 + z 2 X Pour tous points M(x, y, z) et M0 x 0 , y 0 , z 0
MM0 = q (x − x 0 ) 2 + y − y 0
2 +(z − z 0 ) 2 Produit vectoriel Définition Soit A,B et C des points de l’espace. le produit vectoriel de −→AB et −→AC est le vecteur noté −→AB ∧ −→AC et défini par: X Si −→AB et −→AC colinéaires alors −→AB ∧ −→AC = −→0 X Si −→AB et −→AC ne sont pas colinéaires alors: ♣ −→AB ∧ −→AC est orthogonal à −→AB et à −→AC ♣ ( −→AB, −→AC, −→AB ∧ −→AC) est une base directe. ♣ k −→AB ∧ −→ACk = AB × AC ×sin(B AC). Composantes du produit vectoriel L’espace est muni d’une base orthonormée directe Ä O, −→ı , −→ȷ , −→k ä . Pour tout vecteurs ⃗u Ñ a b c é et −→v Ñ a 0 b 0 c 0 é on a : ⃗u ∧⃗v =       b b0 c c0     −     a a0 c c0         a a0 b b0       Propriétés Pour tous vecteurs ⃗u,⃗v et w⃗ et tous réels α et β.  ⃗u ∧⃗u =⃗o  ⃗u ∧⃗v =⃗o si et seulement si ⃗u et ⃗v colinéaires..  ⃗u ∧⃗v = −(⃗v ∧⃗u).  ⃗u ∧(⃗v +w⃗ ) = (⃗u ∧⃗v)+(⃗u ∧w⃗ )  α⃗u ∧β⃗⃗v = αβ(⃗u ∧⃗v) Propriétés L’espace est muni d’une base orthonormée Ä O, −→ı , −→ȷ , −→k ä . Pour tout vecteurs ⃗u,⃗v et w⃗ : (⃗u ∧⃗v)·w⃗ = (⃗v ∧w⃗ )·⃗u = (w⃗ ∧⃗u)·⃗v = det(⃗u,⃗v,w⃗ ) Aire du parallélogramme L’aire d’un parallélogramme ABCD est égale à A = k−→AB ∧ −−→ADk Volume d’un tétraèdre - volume d’un parallélépipède L’aire d’un triangle ABC est égale à : 1 2 k −→AB ∧ ACk Le volume d 0 un tétraèdre ABCD est égal à : 1 6 |( −→AB ∧ −→AC)· −−→AD| = 1 6 |det(−→AB, −→AC, −−→AD)| Equations d’une droite - d’un plan et d’une sphère Droite Soit A un point, ⃗u un vecteur non nul. L’ensemble D des points M tels que −−→AM = k⃗u où k est un réel est la droite passant par A et de vecteur directeur ⃗u. Plan Soit A un point, ⃗u et ⃗v deux vecteurs non colinéaires. L’ensemble P des points M tels que −−→AM = α⃗u + β⃗v oi α et β sont des réels est le plan passant par A et de vecteurs directeurs ⃗u et ⃗v . P = {M ; det(−−→AM,⃗u,⃗v) = 0} 29

Sphère Soit A un point et R un réel strictement positif. La sphère S de centre A et de rayon R est l’ensemble des points M de l’espace tels que AM = R Théorème L’espace est rapporté à un repère orthonormé Ä O, −→ı , −→ȷ , −→k ä . Soit S la sphere de centre A et de rayon R.Soit un plan P et H le projeté orthogonal de A sur P. X S ∩P = ∅ si d(A,P) > R X S ∩P = {H} si d(A,P) = R X S ∩ p P est un cercle de centre H et de rayon R2 −d(A,P) 2 si d(A,P) < R Distance d’un point à un plan L’espace est rapporté à un repère orthonormé Ä O, −→ı , −→ȷ , −→k ä . Soit un plan P d’équation ax + by + cz + d = 0 et A x0, y0z0
un point de l’espace. La distance de A au plan P est égale à: d(A,P) =  ax0 +by0 +cz0 +d   p a 2 +b 2 +c 2 Distance d’un point à une droite Soit D une droite de vecteur directeur ⃗u et A un point de D. La distance d’un point M de l’espace à la droite D est: d(M,D) = k −−→AM ∧⃗uk k⃗uk Translation Définition Soit ⃗u un vecteur de l’espace.L’application qui a tout point M de l’espace associe l’unique point M0 tel que −−−→MM = ⃗u est appelée translation de vecteur ⃗µ et notée t−→u . tu(M) = M0 ⇔ −−−→ MM0 = ⃗u Propriétés Toute translation conserve: les distances, le produit scalaire, les milieux, le barycentre, le parallélisme et l’orthogonalité. Théorème L’image par une translation t :  D 0 une droite est une droite qui lui est parallèle.  D 0un plan est un plan qui lui est parallèle. Pyramide régulière Une pyramide I ABCD de sommet I est dite régulière si, sa base ABCD est un carré et le projeté orthogonal de I sur le plan (ABCD) est le centre du carré ABCD. Expression analytique d’une translation L’espace est rapporté à un repère orthonormé Ä O, −→ı , −→ȷ , −→k ä . Soit ⃗u Ñ a b c é un vecteur de l’espace SiM(x, y, z) est un point de l’espace et M0 x 0 , y 0 , z 0
est son image par la translation de vecteur ⃗u alors    x 0 = x + a y 0 = y +b z 0 = z +c L’application qui à tout point M(x, y, z) associe le point M0 x 0 , y 0 , z 0
est tel que    x 0 = x + a y 0 = y +b z 0 = z +c est la translation de vecteur −→u . homothétie de l’espace Définition Soit I un point de l’espace et k un réel non nul. L’application qui à tout point M de l’espace associe le point M0 tel que −−→ IM0 = k −−→IM est appelée homothétie de centre I et de rapport k, elle est notée h(I,k) . Pour tous points M et M0 de l’espace h(I,k) (M) = M0 ⇐⇒ −−→ IM0 = k −−→IM Propriétés Toute homothétie conserve:  Les milieux, le barycentre, le parallélisme et l’orthogonalité..  Le contact. 30

Théorème L’image par une homothétie h de rapport k:  D’une droite est une droite qui lui est parallèle.  D’un plan est un plan qui lui est parallèle.. Théorème  Toute homothétie de centre I et de rapport non nul k est une bijection de l’espace et sa réciproque est une homothétie de centre I et de rapport 1 k .  Soit h une homothétie. Pour tous points M et N d’images respectives M0 et N 0 par h on a :M0N 0 = |k|MN. Expression analytique d’une homothétie L’espace est rapporté à un repère orthonormé Ä O, −→ı , −→ȷ , −→k ä .  Soit h l’homothétie de centre I(a,b,c) et de rapport non nul k SiM(x, y, z) est unt de l 0 espace et M0 x 0 , y 0 , z 0
est son image par h alors    x 0 = kx +(1−k)a y 0 = k y +(1−k)b z 0 = kz +(1−k)c  L’application qui à tout point M(x, y, z) associe le point M0 x 0 , y 0 , z 0
 tel que   x 0 = kx +α y 0 = k y +β z 0 = kz +γ où k 6= 1.est l’homothétie de centre I Å α 1−k , β 1−k , γ 1−k ã et de rapport k 31

Probabilités Probabilité discrête Rappel sur les probabilités et variables aléatoires p(;) = 0 , 0 ≤ p(A) ≤ 1 , p(Ω) = 1 p(A) = 1− p(A) p(A ∪B) = p(A)+ p(B)− p(A ∩B) Espérance : E(X) = Xn i=1 xiP (X = xi) Variance : V (X) = Xn i=1 (xi −E(X)) 2 P (X = xi) Écart-type : σ(X) = p V (X) Probabilité conditionnelle Probabilité conditionnelle de l’évènement B sachant que l’évènement A est réalisé : PA(B) = P(B/A) = P(A ∩B) P(A) avec P(A) 6= 0. Cas d’équiprobabilité sur Ω : PA(B) = p(A/B) = card(A ∩B) card(A) Probabilités composées : P(A ∩B) = P(A)×PA(B) = P(B)×PB (A). Probabilités totales avec {A1, A2,..., An} formant une partition de Ω : P(B) = P (A1 ∩B)+P (A2 ∩B)+··· +P (An ∩B) P(B) = P (A1)PA1 (B)+P (A2)PA2 (B)+··· +P (An)PAn (B) Indépendance de deux événements A et B indépendants ⇐⇒ P(A ∩B) = P(A)×P(B) ⇐⇒ PA(B) = P(B) ⇐⇒ PB (A) = P(A) A et B indépendants ⇐⇒ A et B indépendants ⇐⇒ A et B indépendants ⇐⇒ A et B indépendants Arbre de probabilité probabiliés simples A B C P(A) P(B) P(C) Probabilité conditionnelle S S¯ S S¯ S S¯ P(S/A) P(S/A) P(S/B) P(S/B) P(S/C) P(S/C) probabiliés composées P(A ∩S) = P(A)×P(S/A) P(A ∩S¯) = P(A)×P(S/A) P(B ∩S) = P(B)×P(S/B) P(B ∩S¯) = P(B)×P(S/B) P(C ∩S) = P(C)×P(S/C) P(C ∩S¯) = P(C)×P(S/C) probabilités totales P(S) = P(A ∩S)+P(B ∩S)+P(C ∩S) P(S) = P(A ∩S)+P(B ∩S)+P(C ∩S) Formule de Bayes : Soit (E,P(E),p) un espace probabilisé fini. Soient B1,B2,...,Bn des événements formant une partition de l’univers E tels que p(Bi) 6= 0, i ∈ 1, 2,...,n et A un événement tel que p(A) 6= 0. pA(Bk ) = p(Bk ∩ A) p(A) Cas particulier : Soit (E,P(E),p) un espace probabilisé fini. Soient A et B deux événements tels que p(B) 6= 0, p(B) 6= 1 et p(A) 6= 0. pA(B) = p(B).pB (A) p(B).pB (A)+ p(B).pB (A) . Définition Soit (E,P(E),p) un espace probabilisé fini. On appelle aléa numérique ou variable aléatoire tout application X : E −→ R. Notation : L’événement {a ∈ E,X(a) = xi} est noté {X = xi} . L’ensemble X(E) désigne l’ensemble des valeurs prises par X. 32

Définition Soit (E,P(E),p) un espace probabilisé fini et X une variable aléatoire. On appelle loi de probabilité de X ou distribution de X, l’application PX : X(E) −→ [0, 1] xi 7−→ p(X = xi) Conséquences : Soit (E,PP(E),p) un espace probabilité fini. Si X est une v.a sur E telle que X(E) = {x1,x2,..., x} alors Xn i=1 p(X = xi) = 1. Fonction de répartition Soit (E,P(E),p) un espace probabilisé fini et X une v.a sur E. On appelle fonction de répartition de X, l’application définie de R dans [0, 1] par F : x 7−→ p(X ≤ x). Définition Soit E un ensemble fini, les parties B1,B2,...,Bn forment une partition de E lorsqu’ils sont deux à deux disjoints et leur réunion est E. Schéma de Bernoulli Expérience qui n’a que deux issues possibles : ń succès ż de probabilité, p et ń échec ż de probabilité 1p. Notation : B(p) P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1− p E(X) = p V (X) = p(1− p) σ(X) = p p(1− p) Loi binomiale Répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes. X est égale au nombre de succès. Notation: B(n;p) ; q = 1− p P(X = k) = C k n × p k × q n−k ; k ∈ {0, 1,...,n} E(X) = np V (X) = npq σ(X) = p npq Probabilité continue Variable aléatoire à densité sur I Fonction de densité sur I : fonction f continue et positive sur I telle que : Z I f (t)dt = 1 ♣ P(a É X É b) = Z b a f (t)dt ♣ P(X = a) = 0 ♣ P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b) ♣ P(X ≤ t) = 1−P(X ≥ t) ♣ E(X) = Z I t f (t)dt Loi uniforme Soit un intervalle [a,b], a < b . La fonction f définie sur [a,b] par f (x) = 1 b − a est appelée densité de la loi de probabilité uniforme sur [a,b] . On appelle probabilité uniforme sur [a,b] l’application qui à tout intervalle [c,d] inclus dans [a,b] associe le réel p([c,d]) = Z d c f (x)d x = d −c b − a Conséquences : Pour tout réel c de [a,b], p(c) = Z c c f (x)d x = 0 . Si on désigne par [c,d] le complémentaire de [c,d] dans [a,b] , alors [c,d] = 1− p([c,d]) . 33

Définition : On dit qu’une variable aléatoire X à valeurs dans un intervalle [a,b] suit la loi uniforme si p(c ≤ X ≤ d) = d −c b − a Définition Soit X une v.a qui suit la loi de probabilité uniforme p sur l’intervalle [a,b] . On appelle fonction de répartition de X, l’application F : R −→ [0, 1] définie par :    0, six < a p(a ≤ X ≤ x) = x − a b − a , si x ∈ [a,b] 1, si x > b −3 −2 −1 0 1 2 3 4 a b Loi exponentielle Soit λ un réel strictement positif. La fonction f définie sur [0,+∞[ par f (t) = λe −λt est appelée densité de loi exponentielle. On appelle loi de probabilité exponentielle de paramètre λ, l’application p qui :  à tout intervalle [c,d] inclus dans [0,+∞[ associe le réel p([c,d]) = Z d c λe −λt d t .  à tout intervalle [c,+∞[ inclus dans [0,+∞[ associe le réel p([c,+∞[) = e −λc Conséquences : 1. Pour tout réel c > 0,p({c}) = Z c c f (x)d x = 0. 2. c > 0,p([0,c]) = Z c 0 f (x)d x = 1−e −λc 3. p([c,+∞[) = 1− p([0,c]) = e −λc . Définition On dit qu’une v.a X suit loi exponentielle de paramètre λ, Si : p(c ≤ X ≤ d) = Z d c λe −λx d x = e −λc −e −λd et p(X ≥ c) = e −λc Définition Soit X une v.a qui suit la loi exponentielle p de la paramètre λ. On appelle fonction répartition de X, l’application F : R −→ [0, 1] définie par : ß 0, si x < 0 p(0 ≤ X ≤ x) = 1−e −λx , si x ≥ 0 −2 −1 0 1 2 3 4 1 34

Arithmétique Divisibilité dans Z Diviseurs et multiples d’un entier Définition : Soient a et b deux entiers relatifs tels que b 6= 0 . X On dit que b divise a sill existe un entier relatif q tel que : a = bq . On note b|a. X On dit également que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a. Remarque : si a n’est pas un multiple de b alors b ne divise pas a. Conséquences : X Tout entier a est divisible par 1 et −1 . X Soit a un entier non nul. Si a divise 1 alors a = 1 ou a = −1 X Soit a et b deux entiers tels que b 6= 0. Si b divise a alors ∀k ∈ Z et ∀n ∈ N ∗ ,b divise ak et b divise a n . Propriétés : Soient a , b et c trois entiers. X Si a|b et b|a alors a = ±b. X Si a|b et b|c alors a|c X si c|a et c|b alors c|(au +bv) quels que soient u et v entiers relatifs. On dit que c divise toute combinaison linéaire de a et de b a coefficients entiers. Division euclidienne dans Z Théorème : Soient a ∈ Z et b ∈ Z ∗ , il existe un unique couple (q, r ) d’entiers relatifs tels que : a = b × q +r avec 0 ≤ r < |b|. q est le quotient et r est le reste. Détermination du quotient : Si b > 0 alors q = E  a b  Si b < 0 alors q = −E  − a b  Congruence modulo n Définition : Soient a et b deux entiers relatifs et n un entier naturel non nul. On dit que a est congru à b modulo n ou que a et b sont congrus modulo n si a −b est un multiple de n . On note a ≡ b (mod n) Conséquences : Soient a et b deux entiers relatifs et n un entier naturel non nul. X a ≡ b (mod n) ⇐⇒ n divise a −b X a ≡ 0 (mod n) ⇐⇒ n divise a X Soit d un entier naturel non nul. Si a ≡ b (mod n) et d divise n ⇒ a ≡ b (mod d) Théorème : Soit n un entier naturel non nul. Pour tout entier a, il existe un unique entier r appartient a {0, 1,...,n−1} tel que a ≡ r ( mod n). On dit que r est le reste modulo n de a. 35

Congruence modulo n (suite) Propriété réciproque : Soient a entier relatif et n entier naturel non nul. Si a ≡ r (modn) et 0 ≤ r < n alors r est le reste dans la division euclidienne de a par n. Propriété : Soient a,b et c trois entiers et n un entier naturel non nul. X a ≡ a(modn). X a ≡ b(modn) ⇔ b ≡ a(modn) X a ≡ b(modn) ⇔ b ≡ a(modn) X Si a ≡ b(modn) et b ≡ c(modn) alors a ≡ c(modn) Propriété : Soient a,b,a 0 et b 0 quatre entiers relatifs et n entier naturel non nul. La congruence est compatible avec l’addition. 1. si a ≡ b (mod n) et a 0 ≡ b 0 (mod n) alors : a + a 0 = b +b 0 (mod n) 2. Quel que soit c ∈ Z : si a = b(modn) alors : a +c = b +c(modn) 3. Si a = b(modn) et a 0 = b 0 (modn) alors : a × a 0 = b ×b 0 (modn) 4. Quel que soit k entier naturel non nul: si a ≡ b(modn) alors : a k ≡ b k (modn) 5. Quel que soit c ∈ Z : si a = b(modn) alors : a ×c = b ×c(modn) En particulier: si a ≡ b(modn) alors : (−a) ≡ (−b)(modn) 6. si a = b(modn) et a 0 = b 0 (modn) alors : a − a 0 = b −b 0 (modn) Petit théorème de Fermat Pour tout entier naturel a et pour tout nombre premier p ne divisant pas a. On a : a p−1 ≡ 1(mod p). Remarque : si p est premier alors a est premier avec p si et seulement si p ne divise pas a Corollaire Soit p un nombre premier, quel que soit a entier naturel: a p ≡ a(mod p) Identité de Bezout PGCD de deux entiers Soient a et b deux entiers naturels non nuls. Notons D(a) l’ensemble des diviseurs de a et D(b) celui des diviseurs de b. L’ensemble de leurs diviseurs communs est noté: D(a,b) avec D(a,b) = D(a)∩D(b). 1 divise a et b donc D(a,b) n’est pas vide. De plus, a et b admettant un nombre fini de diviseurs, leurs diviseurs communs sont en nombre fini. D(a,b) étant un sous ensemble fini et non vide de N, il admet donc un plus grand élément d. Définition du pgcd de deux entiers naturels non nuls : Soient a et b deux entiers naturels non nuls. On appelle plus grand commun diviseurs de a et b l’entier naturel noté d = pgcd(a,b) ou d = a ∧b tel que : X d divise a et b X Tout diviseur commun à a et b est un diviseur de d. Remarque : Soient a et b deux entiers naturels non nuls, X si a = bq +r avec q et r entiers naturels non nuls alors pg cd(a,b) = pg cd(b, r ) X si b divise a alors pg cd(a,b) = b. X a ∧b est le dernier reste non nul dans la succession des divisions euclidiennes de l’algorithme d’Euclide de a par b. 36

PGCD de deux entiers (suite) Définition : Si a et b sont deux entiers non nuls alors il existe un unique entier naturel d qui vérifie les deux conditions suivantes: ♠ d divise a et b. ♠ L’entier d est appelé plus grand commun diviseurs de a et b et noté d = a ∧b ou d = pgcd(a,b) Conséquences : X Pour tous entiers non nuls a et b , a ∧b est un entier naturel non nul. X Pour tous entiers non nuls a et b , pgcd(a,b) = pgcd(b,a). X Si a et b sont des entiers relatifs non nuls: p gcd(a,b) = p gcd(|a|,|b|) Propriétés : soient a et b deux entiers non nuls X si b| a alors pgcd (a,b) = |b|. X Si a = bq +r avec q et r entiers naturels non nuls alors pgcd(a,b) = pgcd(b, r ). X a ∧b = b ∧ a. X Pour tout entier non nul k, (ka)∧(kb) = |k|(a ∧b). X Pour tout entier non nul csa ∧(b ∧c) = (a ∧b)∧c. Nombres premiers Définition : Soit p un entier naturel. On dit que p est un nombre premier s’il admet exactement 2 diviseurs entiers naturels distincts. Diviseurs qui sont 1 et lui-même. (puisque 1 divise tout nombre et tout nombre est diviseur de lui-même.) Remarque : A ce jour, il n’existe toujours pas de critère ou de formule qui permette instantanément de dire si un nombre quelconque est premier. Théorème 1 : Soit n ∈ N si n ≥ 2 alors n admet au moins un diviseur premier. Théorème 2 : Soit n ∈ N avec n ≥ 2 . Si n n’est pas premier admet au moins un diviseur premier p tel que : p ≤ p n Théorème 3 : ( contraposée du théorème 2 ) : Si n n’est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à p n alors n est premier. Théorème 4 : L’ensemble P des nombres premiers est infini. Théorème 5 : (DECOMPOSITION D’UN ENTIER EN PRODUIT DE FACTEURS PREMIERS) Tout entier n ≥ 2 se décompose de façon unique sous la forme : n = p α1 1 xp α2 2 x...xp αm m Ou˙ : p1,p2,...pm sont des nombres premiers tels que : p1 < p2 < ... < pm et α1,α2,...,αm sont des entiers naturels non nuls. L’écriture de n sous cette forme est appelée décomposition de n en produit de facteurs premiers. Nombres premiers entre eux Définition : Soient a et b deux entiers relatifs non tous nuls. a et b sont dits premiers entre eux si pgcd (a,b) = 1 Remarques : 1. Deux nombres premiers entre eux ont donc 1 pour seul diviseur positif commun. 2. Si a est un nombre premier et que a ne divise pas b alors a et b sont premiers entre eux. Théorème : Soient a et b deux entiers non nuls. pgcd (a,b) = d ⇔ il existe a 0 et b ’ entiers tels que:a = d a0 et b = db0 avec pgcd a 0 ,b 0
= 1 37

Nombres premiers entre eux (suite) Lemme de Gauss : Soient a,b et c trois entiers relatifs non nuls. Si a divise bc et a et b premiers entre eux alors a divise c. Théorème : Soient a et b deux entiers naturels non nuls et n un entier. Si a ∧b = 1 n = 0(mod a) n = 0(modb)    alors n = 0(mod ab) Conséquence : Soient n et m deux entiers naturels non nuls et premiers entre eux . x et x0 deux entiers. x = x0(modn) x = x0(modm) ™ ⇐⇒ x = x0(modm.n) PPCM de deux entiers Théorème et définition : Pour tous entiers non nuls a et b , il existe un unique entier naturel non nul M qui vérifie les deux conditions suivantes:  M est un multiple de a et de b.  Tout multiple de commun de a et b est un multiple de M . L’entier M ainsi défini est le plus petit commun multiple de a et b et est noté a ∨b Conséquence :  a ∨b = |a| ∨|b|.  a ∨b = d ·  a 0 ·b 0   tels que d = a ∧b,a = a 0 ·d et b = b 0 ·d.  (a ∨b)(a ∧b) = |a ·b| Propriétés : Soient a et b deux entiers non nuls.  si b divise a alors a ∧b = |a|.  Pour tout entier non nul k, (ka)∨(kb) = |k|(a ∨b) .  Pour tout entier non nul c, a ∨(b ∨c) = (a ∨b)∨c Théorème : Soient a et b deux entiers non nuls tels que b ≥ 2 et a ∧b = 1. Il existe un unique entier non nul u appartenant &{1,...,b −1} tel que au ≡ 1(modb). On dit que u est un inverse de a modulo b. EXEMPLE : 3 est un inverse de 5 modulo 7. Identité de Bezout Théorème de Bezout : Deux entiers non nuls a et b sont premiers entre eux, si et seulement si, il existe deux entiers u et v tels que au +bv = 1 Application : Soient a, b et c trois entiers non nuls. Montrer que X Si a ∧b = 1 et a ∧c = 1 alors a ∧(bc) = 1. X si a ∧b = 1 alors a ∧b 2 = 1 X Pour tout entier naturel n, si a ∧b = 1 alors a ∧b n = 1 Corollaire : Si a et b deux entiers non nuls et d = a ∧b alors il existe deux entiers u et v tels que d = au +bv. Attention : La réciproque n’est pas vraie. 38

Equations Diophantiennes Définition : Toute équation (E) du type : ax +by = c où a,b et c sont des entiers relatifs et où les inconnues x et y sont des entiers relatifs est appelée équation diophantienne. Théorème : Soient a,b et c trois entiers et d = a ∧b. L’équation ax +by = c admet des solutions dans Z 2 si et seulement si, d divise c. EQUATIONS DIOPHANTIENNES : EXISTENCE DE SOLUTIONS Étape 1 : A quelle condition (E) admet-elle au moins une solution? L’équation (E) : ax +by = c admet au moins une solution si et seulement si a ∧b divise c. Remarque : 1. La premiere chose a faire est évidemment de calculer le PGCD de a et de b 2. Si a et b sont premiers entre eux, (E) admet des solutions quel que soit c. Étape 2 : Recherche d’une solution particulière. Trois cas de figure sont possibles: • Soit la solution particulière est donnée par le texte et il ne reste qu’a vérifier qu’elle est bien solution de (E). • Soit il y a une solution particulière évidente. • Soit il faut trouver cette solution par le calcul. Prenons un exemple concret: (E) : 616x +585y = 12 Première méthode 616 = 585×1+31 585 = 31×18+27 31 = 27×1+4 27 = 4×6+3 4 = 3×1+1 3 = 1×3+0 Le dernier reste non nul est 1 donc pg cd(616, 585) = 1. 1 divise 12 donc ce qui est certain c’est que l’équation a des solutions. Voici maintenant la technique a adopter pour remonter la suite de divisions. Exprimer le PGCD : 1 = 4−3×1 Remplacer le reste précédent : 1 = 4−(27−4×6)×1 Factoriser : 1 = 4×7−27×1 Remplacer le reste précédent : 1 = (31−27×1)×7−27×1 Factoriser : 1 = 31×7−27×8 Remplacer le reste précédent : 1 = 31×7−(585−31×18)×8 Factoriser : 1 = 31 × 151 − 585 × 8 Remplacer le reste précédent : 1 = (616 − 585 × 1) × 151 − 585 × 8 Factoriser : 1 = 616×151+585×(−159) Multiplier par 12 : 12 = 616×1812+585×(−1908) Et vue la probabilité de se tromper dans ce genre de manipulation, il est conseillé de vérifier le résultat trouvé: En effet, la calculatrice confirme que : 616×1812+585×(−1908) = 12 Une solution particulière de (E) est donc le couple ( 1812;−1908 ). Deuxième méthode 1 18 1 6 1 3 0 1 1 19 20 139 159 616 1 0 1 18 19 132 151 585 39

Statistiques Définition : Distributions marginales Soit (X,Y ) une série statistique double sur un échantillon de taille n et soit xi , yi
1≤i≤n les valeurs numériques prises respectivement par les variables X et Y . X La distribution marginale de la variable X est la distribution des valeurs (xi)1≤i≤n prises par la variable X . X La distribution marginale de la variable Y est la distribution des valeurs yi
1≤i≤n prises par la variable Y . Définition Soit X une série statistique sur un échantillon de taille n . Si X,V (X) et σX désignent respectivement la moyenne, la variance et l’écart type de la série,alors : X = 1 n Xn i=1 ni xi , V (X) = 1 n Xn i=1 ni xi − X
2 , σX = p V (X) où les valeurs x1,x2,..., xn désignent les valeurs distinctes prises par la variable X si elle est discrète ou les centres des classes si la variable X est continue. L’entier ni désigne l’effectif de la valeur xi . Définition Soit (X,Y ) une série statistique double sur un échantillon de taille n . On appelle covariance de (X,Y ) le réel, noté cov(X,Y ) défini par : cov(X,Y ) = 1 n Xn i=1 xi yi − XY Où xi , yi
est la valeur observée pour l’individu i si X et Y sont discrets, ou le centre de la classe s il’une des variables est continue. Définition Soit (X,Y ) une série statistique double de taille n . Soit nij le nombre de fois qu’apparaît le couple xi , yi
alors : cov(X,Y ) = 1 n X q j=1 X p i=1 ni j xi yi − X Y Définition : Nuage de points Soit (X,Y ) une série statistique double de valeurs xi , yi
1≤i≤n . L’ensemble des points Mi de coordonnées xi , yi
dans un repère orthogonal est appelé nuage de points représentant la série statistique. Le point moyen du nuage est le point dont les coordonnées sont les moyennes x et Y . Principe de la méthode de Mayer Soit un nuage de points représentant une série statistique double (X,Y ) et G son point moyen. On scinde le nuage de points (X,Y ) en deux parties contentent à peu prés le même nombre de points. On considère alors les points moyens G1 et G2 des deux nuages obtenus. La droite (G1G2) définit un ajustement affine du nuage de points représentant la série statistique double (X,Y ). La droite (G1G2) est appelée droite de Mayer et passe par le point moyen G du nuage global. 40

Théorème Soit (X,Y ) une série statistique double sur un échantillon de taille n et telle que σX 6= 0. Soit xi , yi
1≤i≤n les valeurs observées de la série. Alors la somme Xn i=1 axi +b − yi
2 est minimale pour le couple (a0,b0) tel que : a0 = cov(X,Y ) σ 2 X et b0 = Y − cov(X,Y ) σ 2 X X. Définition Soit (X,Y ) une série statistique double. On appelle coefficient de corrélation linéaire le réel noté : rX Y défini par rX Y = cov(X,Y ) σX σY . Propriétés Soit (X,Y ) une série statistique double. Alors −1 ≤ rX Y ≤ 1. Le coefficient de corrélation linéaire est invariant par le changement d’unité ou d’origine. Interprétation du coefficient de corrélation linéaire Les statisticiens conviennent que lorsque |rX Y | > p 3 2 , l’ajustement affine est justifié et les prédictions faites au moyen de cet ajustement sont raisonnables. Théorème et Définition Lors d’un ajustement affine de Y en X par la méthode des moindres carrés, La droite D obtenue passe par le point moyen du nuage et a pour équation : D : y = ax +b où a = cov(X,Y ) V (X) et b = Y − aX Cette droite s’appelle la droite de régression de Y en X. La droite D 0 de régression de X en Y obtenue par la méthode des moindres carrées, lors d’un ajustement affine, passe par le point moyen du nuage et a pour équation : D 0 : y = a 0 y +b 0 où a 0 = cov(X,Y ) V (Y ) et b 0 = X − aY Cette droite s’appelle la droite de régression de X en Y . Remarque On suppose ici que les points du nuage ne sont pas tous alignés sur une même droite verticale, ni sur une droite horizontale. On a donc σ(X) 6= 0 et σ(Y ) 6= 0. X Les deux droites de régression D et D 0 passent par le point moyen G(X,Y ) . X Les deux coefficients a et a 0 sont de même signe. X Le coefficient de corrélation linéaire r vérifie r 2 = aa0 corollaire Les droites des moindres carrés de Y en X et de X en Y passent par le point moyen G du nuage associe a la série (X,Y ). 41

Lieux géométriques A, B et C désignent trois points du plan P deux à deux distincts. L’ensemble Γ = {M ∈ P/M A = BC} est le cercle de centre A et de rayon BC. Γ b A bB bC L’ensemble Γ = {M ∈ P/M A = MB} est la médiatrice de [AB]. Γ bA bB L’ensemble Γ = {M ∈ P/ −−→M A · −−→MB = 0} est le cercle de diamètre [AB] . Γ bB b A L’ensemble Γ = {M ∈ P/ −−→M A · −→BC = 0} est la perpendiculaire à (BC) passant par A . Γ bB bC bA L’ensemble Γ = {M ∈ P/(−→uà, −−→AM) ≡ θ[π]} la droite (Ax)\{A} tel que ( −→uƒ, −→Ax) ≡ θ[2π] Cas particulier: Γ = {M ∈ P/(−→uà, −−→AM) ≡ 0[π]} est la droite ∆(A, −→u )\{A} . Γ −→u x bc A θ 42

L’ensemble Γ = {M ∈ P/(−→uà, −−→AM) ≡ θ[2π]} la demi droite [Ax)\{A} tel que ( −→uƒ, −→Ax) ≡ θ[2π] Cas particulier: Γ = {M ∈ P/(−→uà, −−→AM) ≡ 0[2π]} est la demi droite [A, −→u )\{A} . Γ x −→u b A θ L’ensemble Γ = n M ∈ P/ −−→M Aá, −−→MB ≡ θ[π] o  Si θ ≡ 0[π] alors Γ = (AB)\{A,B}.  Si θ 6= kπ,k ∈ Z alors Γ = le cercle C \{A,B} où C est le cercle passant par A et B et tangent à [AT ) tel que −→áAT , −→AB ≡ θ[π]. T bc A bc B θ Cas particuliers: Γ = n M ∈ P/(−−→M Aá, −−→MB) ≡ π 2 [π] o est le cercle C[AB]\{A,B} . L’ensemble Γ = n M ∈ P/ −−→M Aá, −−→MB ≡ θ[2π] o est :  Si θ ≡ 0[2π] alors Γ = (AB)\[AB] .  Si θ ≡ π[2π] alors Γ = [AB]\{A,B}  Si θ 6= kπ, k ∈ Z alors Γ = l’arc ˆAB ou B Aˆ privé de A et B du cercle C où C est le cercle passant par A et B et tangent à [AT ) tel que ( −→áAT , −→AB) ≡ θ[2π]. T bc A bc B θ 43

Relations métriques dans un triangle quelconque I) Notations utilisées: Nous utiliserons les notations suivantes pour un triangle ABC donné. On désignera par : ♦ a,b,c: les longueurs des côtés opposés aux sommets A,B et C. ♦ Ab,Bb,Cb:: les angles géométriques B AC , ABC  et ACB . ♦ S l’aire du triangle. ♦ R le rayon du cercle circonscrit du triangle ABC. Rappel : Ab+Bb+Cb = 180◦ b A b B bC c a b II) Relation d’El Kashi a 2 = b 2 +c 2 −2bc cos Ab . Remarques : Cette relation peut être appliquée :  Soit pour calculer l’angle si le triangle est donné par les longueurs a,b et c de ses trois côtés .  Soit pour calculer le côté manquant, lorsque le triangle est donné par deux longueurs et un angle.  On pourrait donner deux autres relations , une commençant par b 2 = et l’autre par c 2 =. En fait, on retiendra la configuration. III) Théorème de la médiane : Soit I le milieu du segment [BC] et mA la longueur de la médiane [AI].  AB2 + AC2 = 2AI 2 + 1 2 BC2  m2 A = 1 2 b 2 +c 2
− 1 4 a 2 . I b A b B bC b IV) Compléments : formules de l’aire et des sinus :  Formule de l’aire : S = 1 2 bc sin Ab = 1 2 ac sinBb = 1 2 ab sinCb  Formule des sinus a sin Ab = b sinBb = c sinCb = 2R Remarque : Cette relation peut être utilisée :  Soit pour calculer la longueur d’un côté, lorsque le triangle est donné par deux angles et un côté .  Soit pour calculer un angle si le triangle est donné par 2 longueurs et un angle opposé à l’un des côtés précédents. ATTENTION : Dans ce cas, on déterminera si l’angle cherché est obtus ou aigu. 44

Relations métriques dans un triangle rectangle H A B C b b b b Théorème de Pythagore : Si ABC est un triangle rectangle en A, alors BC2 = AB2 + AC2 . Réciproque du théorème de Pythagore : Si BC2 = AB2 + AC2 ,alors ABC est rectangle en A. Théorème de la hauteur : Si ABC est un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A alors AH2 = B H × HC. Théorème d’Euclide : Si ABC est un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A alors AB2 = B H ×BC et C A2 = C H ×CB. Théorème : Si ABC est un triangle rectangle en A et H le pied de la hauteur issue de A alors AB × AC = BC × AH.. 45

Branches infinies limx→∞ f(x) = ∞ a ∈ R la droite y = a est une asymptote horizontale `a la courbe de f au voisinage de ∞ limx→∞ f(x) x = a ∈ R ∗ 0 ∞ limx→∞ f(x) − ax = La courbe de f admet au voisinage de ∞ une branche parabolique de direction celle de  O, −→ i  La courbe de f admet au voisinage de ∞ une branche parabolique de direction celle de  O, −→ j  b ∈ R ∞ La droite y = ax + b est une asymptote oblique `a la courbe de f au voisinage de ∞ La courbe de f admet au voisinage de ∞ une branche parabolique de direction celle de y = ax Retenons 1 lim x→a + f(x) = +∞ ou lim x→a + f(x) = −∞ lim x→a − f(x) = +∞ ou lim x→a − f(x) = −∞    La droite D : x = a est une asymptote verticale `a Cf Retenons 2 lim x→+∞ (f(x) − (ax + b)) = 0 lim x→−∞ (f(x) − (ax + b)) = 0 ) La droite ∆ : x = ax + b est une asymptote oblique `a Cf 1