Facebook Page : ฟิสิกส์โกเอก บทที่ 1 ธรรมชาติและพัฒนาการทางฟิสิกส์ (บทน า) 37 a B A C b c A 3 6 5 5 B 2.4 3.2 C 9. เวกเตอร์ 1. อัตราส่วนตรีโกณมิติ 1.1 อัตราส่วนตรีโกณมิติ เป็นอัตราส่วนของด้าน 2 ด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่ต้องรู้ 0 O 90O 30O 45O 60O 37O 53O sin cos tan 1.2 การบอกค่าของมุมเป็น arctan(A) รูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีค่า tan = b a จะได้ว่า มุม = arctan b a (มุม = tan-1 b a ) มีความหมายว่า มุม ที่ท าให้ tan = A Ex จงหาขนาดของมุม A, มุม B และ มุม C
ฟิสิกส์ ม.4 เล่ม 1 38 x y 0 A -A A + ( ) -A = 0 2. ปริมาณสเกลาร์และเวกเตอร์ 2.1 ปริมาณสเกลาร์( Scalar Quantity ) เป็นปริมาณที่มีเฉพาะขนาดอย่างเดียว ก็ให้ความหมายสมบูรณ์ เช่น ระยะทาง, อัตราเร็ว, มวล, ปริมาตร, เวลา, ..................................................................................... 2.2 ปริมาณเวกเตอร์( Vector Quantity ) เป็นปริมาณที่ต้องมีทั้งขนาด และทิศทาง จึงจะให้ความหมายสมบูรณ์ เช่น การกระจัด, ความเร็ว, ความเร่ง, น้ าหนัก, แรง, โมเมนตัม, ................................................................................ แสดงปริมาณเวกเตอร์โดยใช้ลูกศรอยู่ด้านบนปริมาณนั้น A ขนาดของเวกเตอร์ A แทนด้วย A หรือ A 2.3 สมบัติบางประการของเวกเตอร์ 1. การเท่ากันของเวกเตอร์ เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์จะเท่ากันเมื่อเวกเตอร์ทั้งสองมีขนาดเท่ากันและมีทิศทางเดียวกัน เวกเตอร์ทั้งสี่เป็นเวกเตอร์ที่เท่ากัน เนื่องจากมีขนาดเท่ากันและมีทิศเดียวกัน 2. เวกเตอร์ตรงข้าม เวกเตอร์ที่ตรงข้ามกับ A คือเวกเตอร์ - A เป็นเวกเตอร์ที่รวมกับเวกเตอร์ A แล้วได้ศูนย์ A + (- A ) = 0 จะได้ว่า A และ - A มีขนาดเท่ากันแต่มีทิศตรงข้าม
Facebook Page : ฟิสิกส์โกเอก บทที่ 1 ธรรมชาติและพัฒนาการทางฟิสิกส์ (บทน า) 39 A B R = + A B A B C D R = + + + A B C D A B R = +A B B A A B B A R = + A B 3. การบวกเวกเตอร์ การบวกเวกเตอร์สามารถอธิบายได้โดยใช้เลขาคณิต (การวาดภาพ) การบวกเวกเตอร์ B กับ เวกเตอร์ A ท าโดยการต่อหางของเวกเตอร์ B เข้ากับหัวของเวกเตอร์ A แสดงเวกเตอร์ลัพธ์ R = A + B แสดงเวกเตอร์ลัพธ์ R = A + B + C + D แสดงเวกเตอร์ลัพธ์ R = B + A แสดงการบวกเวกเตอร์แบบหางต่อหาง การบวกเวกเตอร์มีสมบัติการสลับที่ A + B = B + A การบวกเวกเตอร์มีสมบัติการจัดกลุ่ม A + ( B + C ) = ( A + B ) + C การบวกเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ จึงท าได้ 2 วิธี 1. หางต่อหัว น าหางเวกเตอร์ตัวที่2 ต่อหัวเวกเตอร์แรก เวกเตอร์ลัพธ์จากหางตัวแรกไปยังหัวตัวที่สอง 2. หางต่อหาง น าหางเวกเตอร์ตัวที่ 1 และหางเวกเตอร์ตัวที่ 2 ต่อกัน สร้างสี่เหลี่ยมด้านขนานจาก เวกเตอร์ทั้งสอง เวกเตอร์ลัพธ์จากจุดรวมของหาง ไปยังอีกมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน 4. การคูณเวกเตอร์ด้วยปริมาณสเกลาร์ เวกเตอร์ m A จะมีขนาดเป็น m เท่าของเวกเตอร์ A และมีทิศเดียวกับ A เวกเตอร์ -m A จะมีขนาดเป็น m เท่าของเวกเตอร์ A และมีทิศตรงข้ามกับ A
ฟิสิกส์ ม.4 เล่ม 1 40 A B R = - A B - B A B R = - A B 1 cm A B C D E F 5. การลบเวกเตอร์ การลบเวกเตอร์ A - B จะท าการบวกเวกเตอร์ A กับเวกเตอร์ -B ซึ่ง A - B = A + (-B ) แสดงการลบเวกเตอร์ R = A - B = A + (-B ) Ex1จากเวกเตอร์ที่ก าหนดให้ต่อไปนี้ จงหาเวกเตอร์ลัพธ์โดยวิธีวาดภาพ 1.1 A + B = …………………………… 1.2 A - B = …………………………… 1.3 2 B = …………………………… 1.4 A + D = …………………………… 1.5 C + E + D = …………………………… 1.6 E - D - F = ……………………………
Facebook Page : ฟิสิกส์โกเอก บทที่ 1 ธรรมชาติและพัฒนาการทางฟิสิกส์ (บทน า) 41
ฟิสิกส์ ม.4 เล่ม 1 42 A B C D การบ้าน 1 การบวกเวกเตอร์โดยวิธีวาดภาพ 1. จากรูปที่แสดงจะสรุปได้ว่าข้อใดเป็นจริง 1. A B C 2. B C A 3. C A B 4. B A C 2. จากรูป A , B , C , D , E และ F ต่างก็เป็นเวกเตอร์บอกต าแหน่ง อยากทราบว่าข้อใดให้ ความสัมพันธ์ที่ถูกต้อง (Ent 31) 1. A D E 2. A B F 3. F A B 4. F C E 3. จากเวกเตอร์ที่ก าหนดให้ ข้อความใดถูกต้อง 1. ABCD 0 2. A B C D 3. A B D C 4. A B C D A B C A B C D F E
Facebook Page : ฟิสิกส์โกเอก บทที่ 1 ธรรมชาติและพัฒนาการทางฟิสิกส์ (บทน า) 43 4. จากรูป เวกเตอร์ลัพธ์ข้อใดกล่าวผิด 1. 2. 3. 4. 5. จากรูปจงหาเวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์ย่อยทั้งหมดที่ก าหนดให้ 1. 0 2. 2 ED 3. 2 EF 4. 2 ABA B D C AB AD AC A B D C AD CDBD A B D C DA BA CA A B BA BC DB D C A B C E D F
ฟิสิกส์ ม.4 เล่ม 1 44 3. การค านวณหาเวกเตอร์ลัพธ์ 1. การหาเวกเตอร์ลัพธ์ใน 1 มิติ เช่น การกระจัดลัพธ์ใน 1 มิติ, แรงลัพธ์ในแนวราบ บอกเวกเตอร์โดยใช้ตัวเลขแทนขนาด และเครื่องหมายบวกหรือลบแทนทิศทาง การใช้เครื่องหมาย บวก / ลบ แทนทิศ บวก / ลบ แทนการบวกลบของเวกเตอร์ Ex2 จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ของการบวก / ลบ เวกเตอร์ต่อไปนี้ (ใช้เวกเตอร์ตามข้อ Ex1 หน้า 4) 2.1 A + B = ……………………………………………… 2.2 A + C = …………………………………………….. 2.3 A - C = ……………………………………………… 2.4 2 A - B = ……………………………………………. 2.5 C - A - B = …………………………………………..
Facebook Page : ฟิสิกส์โกเอก บทที่ 1 ธรรมชาติและพัฒนาการทางฟิสิกส์ (บทน า) 45 A B R = A + B A B R = A + B 8 6 15 8 4 4 3 2. การหาเวกเตอร์ลัพธ์ใน 2 มิติ 2.1 เมื่อสองเวกเตอร์ตั้งฉากกัน Ex3 จงหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์ที่เกิดจากการรวม 2 เวกเตอร์ ต่อไปนี้ พร้อมวาดรูป ประกอบ 3.1 3.2 3.3
ฟิสิกส์ ม.4 เล่ม 1 46 Ay A Ax 1 cm A B A B R 2.2 เมื่อสองเวกเตอร์ท ามุม กัน การหาเวกเตอร์องค์ประกอบในพิกัดฉาก (การแตกเวกเตอร์) เราสามารถแยกเวกเตอร์หนึ่ง เป็น 2 เวกเตอร์ที่ตั้งฉากกันได้ เมื่อ x A คือ เวกเตอร์องค์ประกอบของ A บนแกน x y A คือ เวกเตอร์องค์ประกอบของ A บนแกน y
Facebook Page : ฟิสิกส์โกเอก บทที่ 1 ธรรมชาติและพัฒนาการทางฟิสิกส์ (บทน า) 47 45O 8 4 2 143 5 O 10 Ex4 จงหาขนาดและทิศของเวกเตอร์ลัพธ์ด้วยวิธีแตกเวกเตอร์ 4.1 4.2
ฟิสิกส์ ม.4 เล่ม 1 48 A R = A + B B A B R = A + B 1 cm A B A B สรุปการบวก / ลบ เวกเตอร์ใน 2 มิติ 1. โดยการวาดรูป ให้หางของเวกเตอร์ต่อหัวของเวกเตอร์ไปเรื่อย ๆ เวกเตอร์ลัพธ์ จากจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ตัวแรก ไปยังจุดปลายของเวกเตอร์สุดท้าย (การลบเวกเตอร์ ให้บวกด้วยเวกเตอร์ที่มีทิศตรงข้าม) 2. โดยใช้เวกเตอร์ย่อย น าเวกเตอร์ย่อยบนแกน x รวมกัน เป็น Rx น าเวกเตอร์ย่อยบนแกน y รวมกัน เป็น Ry เวกเตอร์ลัพธ์หาจากผลรวมของเวกเตอร์ Rx และ Ry 3. โดยใช้สูตร (เฉพาะ 2 เวกเตอร์ ท ามุม กัน)
Facebook Page : ฟิสิกส์โกเอก บทที่ 1 ธรรมชาติและพัฒนาการทางฟิสิกส์ (บทน า) 49 Ex5 จงหาขนาดและทิศของเวกเตอร์ลัพธ์ 5.1 5.2 o 30 40 3 o 30 40 o 45 o 45 100 2 60 2 120
ฟิสิกส์ ม.4 เล่ม 1 50 A B A B A B A B เพิ่มเติม สิ่งที่ควรรู้เกี่ยวกับเวกเตอร์ 1. ผลบวกของ 2 เวกเตอร์ ได้เวกเตอร์ลัพธ์ที่มีขนาดมากที่สุดเมื่อเวกเตอร์ทั้งสองมีทิศเดียวกัน 2. ผลบวกของ 2 เวกเตอร์ ได้เวกเตอร์ลัพธ์ที่มีขนาดน้อยที่สุดเมื่อเวกเตอร์ทั้งสองมีทิศตรงข้ามกัน 3. ผลบวกของ 3 เวกเตอร์ ได้เวกเตอร์ลัพธ์เป็นศูนย์เมื่อผลบวกของสองเวกเตอร์แรกมีขนาดเท่ากับ เวกเตอร์ที่สาม แต่มีทิศตรงข้าม แสดงการบวกเวกเตอร์ 2 เวกเตอร์เมื่อท ามุมต่าง ๆ กัน
Facebook Page : ฟิสิกส์โกเอก บทที่ 1 ธรรมชาติและพัฒนาการทางฟิสิกส์ (บทน า) 51 Ex6 A มีขนาดเท่ากับ 8 หน่วย, B มีขนาดเท่ากับ 6 หน่วย อยากทราบว่าเวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์ทั้ง สองมีขนาดมากที่สุดและน้อยที่สุดเท่าใด Ex7 เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ที่มากที่สุด และน้อยที่สุดเท่ากับ 35 และ 5 หน่วย จงหา ขนาดของเวกเตอร์ทั้งสอง Ex8 แรง 60 นิวตัน สามารถแยกเป็นองค์ประกอบ 2 แรงได้หลายรูปแบบ ยกเว้นข้อใด 1. 20, 50 2. 35, 45 3. 30, 80 4. 20, 35 Ex9 แรงชุดใดต่อไปนี้ ที่ไม่สามารถให้ผลบวกของเวกเตอร์เท่ากับศูนย์ 1. 10, 10, 10 2. 10, 10, 20 3. 10, 20, 20 4. 10, 20, 40
ฟิสิกส์ ม.4 เล่ม 1 52 การบ้าน 2 เวกเตอร์ 1. เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์ มีขนาดเวกเตอร์ลัพธ์มากสุดเป็น 31 หน่วย มีขนาดเวกเตอร์ลัพธ์น้อยสุดเป็น 17 หน่วย จงหาขนาดของเวกเตอร์ทั้งสอง 2. เวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์ทั้งสองในข้อที่ 1. เมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน 3. เวกเตอร์ 2 เวกเตอร์มีขนาด 12 และ 15 หน่วย ขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ของ 2 เวกเตอร์นี้ ในข้อใดที่เป็นไป ไม่ได้ ก. 0 หน่วย ข. 15 หน่วย ค. 22 หน่วย ง. 32 หน่วย 1. ก. 2. ง. 3. ข. และ ค. 4. ก. และ ง. 4. เวกเตอร์ชุดใดต่อไปนี้ ที่ให้ผลบวกของเวกเตอร์เท่ากับศูนย์ได้ 1. 12, 13, 14 2. 10, 20, 40 3. 5, 15, 25 4. 3, 8, 12
Facebook Page : ฟิสิกส์โกเอก บทที่ 1 ธรรมชาติและพัฒนาการทางฟิสิกส์ (บทน า) 53 5. A มีขนาด 5 หน่วย, B มีขนาด 4 หน่วย จงหาขนาดเวกเตอร์ลัพธ์ของ A และ B ที่เป็นไปไม่ได้ 1. 0 หน่วย 2. 2 หน่วย 3. 5 หน่วย 4. 10 หน่วย 6. จงหาขนาดของเวกเตอร์ลัพธ์ของเวกเตอร์ขนาด 10 หน่วยเท่ากัน 2 เวกเตอร์ ซึ่งท ามุมกัน 1200 1. 5 2. 10 3. 15 4. 20 7. ตามรูปเวกเตอร์ A และ B มีขนาด 8 และ 6 หน่วยตามล าดับ ถ้า R A B ขนาดของเวกเตอร์ R จะเป็นเท่าใด 1. 9.54 2. 10.21 3. 12.83 4. 13.53 o 30 A B
ฟิสิกส์ ม.4 เล่ม 1 54 37O 45O 45O 16 หน่วย 24 หน่วย 16 2 หน่วย 8. เครื่องบินบินจากเมือง A ไปเมือง B โดยท าการบิน 200 กิโลเมตร ไปทางทิศตะวันตก และบินไปอีก 300 กิโลเมตร โดยท ามุม 37O กับแนวการบินเดิมก็ถึงเมือง B ระยะตามแนวตรงจากเมือง A ถึง เมือง B เป็นกี่ กิโลเมตร 9. แรง 7 N และ 2 N กระท าร่วมกันที่จุดจุดหนึ่ง มีขนาดของแรงลัพธ์ 6 N ถ้ากลับทิศทางของแรงที่กระท า อันใดอันหนึ่งแล้ว จงหาแรงลัพธ์ 10. จงหาเวกเตอร์ลัพธ์ของ 3 เวกเตอร์ต่อไปนี้