ค ตศาสต
ณ๋ืยิ
ก ดแบบ 1.1
1) × +2g 4= → × 2 2) y + × = -2 \ ✗2
>
2×+3y = 7 2g + 2 × = -4
2 × +4g = 8 2g +2 × = -4
ส ป ระบบ สม การ ตอบ ส ป ระบบ สม การ หลาย ตอบ
-3g3) × = 6 → ×2 4) y2 × =-3 → × -2
2 X -6g = 8 -4× tzy = 6
2× เy = แ -4 × -12g = 6
ไระบบ สมการ
สป " สรป ระบบ สมการ หลาย
ตอบ 1. ตอบ
5) y×- + 2 = 6 6) 2 × -3g -14 = อ .
3×+22 = 8
2g 4- = ×
2y -4 t 4 = × t 4
2y = × +4 .
try×- 4=
ส ป ไระบบ สมการ ตอบ
-
ำคีม่มุรำคีมำคีม่มุรำคีมุรำคีมุรัหึฝ
1 12,1 ) /
@1 CอfnEอไF3s -3)
eหaลcneeshtcnteatoe น โาlาCtlClEบ
1 gtfffnltifieiclil หลาย ตอบ
ำคีมํคีมึฮีมํคีม๊ืฏีม
Ex 1 จง แ สม การ อไป
× +2g = 1
5=
zy✗ -
Sd " ใ × +2g = 1 ①-
-
g× - = ②s -
①⑦ จะไ lxtryltcx - ะy ) = 1+5
ytx #✗ +
6.- =
2/\ = 6
¥× = 3
=3
แทน า × =3 ใน ①
2g3 + =1
2g = 1- 3
y = -/2
y = -1
งน เ ง อตอบ ของ ระบบ ของสมการ (3 g- 1)
เ น ว แปร
ตรวจ ตอบ
① xtzy 1=
3-121-1) = 1
ะy② × - 5=
3- 2L-1) ะ 5
ำค่ตัต้สิชำค้ันัด่ค้ดำน้ห้ีน่ต้ก
[ ×- 2
y× + = 12
y× - = -2
So H ① + ② จะไ Cxty ) tlxy ) = 12 tl - 2)
xytxy = 10
2× ← 10
× = #
tl
แทน ✗= 5
× = 5 ใน ①
xty = 12
sty = 12
y = | 2- 5
g= >
งน ตอบ ระบบ สมาการ อ ๒ 7)
ตรวจ ตอบ
1)× ty = 12
5 t 7 = 12
2) yx _ = 2
5- 7 = -2
ำค่ตำค้ันัดำค้ดำน
y2× + =4
2 × + 1- 2) = 4
2✗ = 4-12
¥✗ =
Xi3
น เ ง เ นง ตอบของ ระบบ สมการ ( 2)อ 3g -
ตรวจ ตอบ
2 × ty ะ 4
213) 1-C- 2) = 4
y2 × - =8
2 (3) - C-2) = 8
ำค่ต้สิชำค้ันัด
EX 4 จง แ ระบบ สมการ y× + 2 7= ①-
sxty - 8 ②-
-
So / " 5× ① จะไ loy ③sx +
= 35 -
Csxty③④ - จะไ ) - lsxtioy ) = 8- 35
/5 × ty ✓-5× -10g = -27
- qy = -27
y = -27
q-
y = 31#
y =3 ①แทน า ใน
× -2g = 7
× t 21 3) = 7
× +6 = 7
× = 7- 6
✗= 1
งน เ นตอบ ของ ระบบ สมการ เ ง สอง ว แปร อ ( 1,5)
ตรวจ ตอบ
① × +2g = 7
1 t 2 (3) = ๆ
② 5 Xty = 8
5 (1) +3 ะ 8
ำค่ตัต้สิชำคัยัด่คำน้ดำน้ดำน้ก
£ × 5 จง แ ระบบ สมการ 5× t y = 15
×- 2g 8--
-
5 01 ท ①2 × จะไ เอ × +2 y = 30 - 3.
②+ ③ จะไ (+ เอ × +2 ) = -8+30
y7)lx -2
× - ytloxtzyf = 2 2
11 × = 22
#× =
/ /X = 2
=
× = 2 แทน า ใน ①
sx + y = 15
5 (2) ty - 15
10 ty
= เ5
y = 15-10
y #= 5
ง น ตอบ ของ ระบบ สมการ เ ง เ น สอง ว แปร C 2g 5)
ตรวจ ตอบ
1.5 Xty = 15
5L 2) -15 = 15
X y2.
2- = -8
2- 2 (5) = -8
ำคัต้สิชำค้ันัด่คำน้กำน้ดำน้ก
EXG จ 5 แ ระบบ สมการ ty2 × = 23 ①-
x +3y = 19 ②-
Sol " ② ×2 จะไ ③+6g2/
= 38 -
① ③- จะไ
¢ × g)+ - kxtby) = 23-38
/ y สส เy2× +
- - - -1g .
.
y - เy = -1g
← sy = -15 .
=3
y
y =3
y- 3 แทน า ใน 2
× +3g = 19
✗ t3 (3) = 19
×+ q = 19
✗ = 19 _ q
× = 10 #1
ง น เ นตอบ ของ ระบบ สมการ เ ง ว แปร อ (10,3)
ตรวจ ตอบ
1 2 × ty = 23
2 40 ) 1-3 = 23
2) × +3 y = 1 9
10 t 3 (3) = 19
ำค่ตัต้สิชำค้ันัด่คำน้ืฏ้ดำน้ดำน้ก
-
[× 7 เ µ2 0/ kt = 6
จะ แ สมการ × 2 y3 × -4 = 9- 20 ¥+33 ะ 111
.. -7
ๆX 3 2 × -3 ×
50 / " 2 × ① จะไ sy×เ - %= -30
3- 4 ②3 × จะ ไ y6 × -9 e -2า
g)จะไ l- 6 × -9g = -1 8- ( -2 1)
16 ✗-8 .
/☒→y -6 \/ + ay = -18+21
- 8 ytay =3
ly = 3
y ร3
1
แทน ในy =3 2
y2×-3 >=
-
2 ✗ - 3 (3) = -7
2✗ - 9 ๆ=- .
2X = -7 f 9
2✗ = 2
×t 1
ำค้ดำน้ดำน้ดำน้ก
£× 8 จง แ สมการ sy2 × - =1 ①-
y7 × +3 ②= 2 4.
_
Sd " า 3 ส ① ไจะ isy6 × - =3 ③-
แทน s× ② จะไ y3s × +1s = | 20 ④-
า ⑤ +④ ⑧ (จะไ Isy) =3 +120
sy× เ- )+ 3s × +
ox #- +35 × t.ly/
= 123
41 ✗
¥× 1-
-
X =3 #
× 3ใน ①
Sy2 × - =1
Sy2 (2) - =1
6- sy = 1
¥y =
y 1=
ำค้ดํน้ดำน้ด่น้ก
13,2mn -6
จ9 แ ระบบ สมการ y5 × +3 ①= 10 - r
Sol " 4 × -2 y /②= 8- 20+24
2 x ① จะไ เyเอ × + = ③20 - /
.
3× จะไ 6g12 × - = /
24 -40
④③ + จะไ (เอ × +6y ) tlnx - Gy ) =
xtft /12×-67 = 4 4
= 44
10 × +12 ×
22 ✗ = 44
¥= 2
X =2
แทน า × ใน ②
4 × -2g 8= ตรวจ ตอบ = 10
=8
41 2) -2 y ๆ① 5×+3 = 10
8=
8 -2g = 8- 8 51 2) t 310)
-zy
gy =
y =0
② 4 × -2g 8= '
4 (2) -210) = 8
นง เ นเ งตอบ ของ ระบบ สมการ สอง ว แปร อ (2/0)
่ตัต้สิชำค้ันัดำค่ค้ดำน้ด⃝?ำน้ดำน้ก
แบบ ก ด 1.2
- / 3×+4
1) 3 × -4g o= 1 ไา ① ②- g) g)( 43 × - = 0 - C- 2 4)
จะ
4g3 × t = -24 2 / /y3× -4 y-3 × -4 = 24
4-y y4- = 24 11 ทน y =-3 แทน ใน ①
3)3 × - 4L - = 0
y8- - 24
ตรวจ ตอบ 3✗ t |2 =O
1.> × -4 y = 0 y =2 3X = 0 - 12
3L- 4) -4L - 3) = 0
¢_
3 ✗ = -12
2.3 Xt 4 Y ะ -24
3 C- 4) +4 1- 3) = -24 Y =-3 # 4× = -
3/1
ตอบ L -4 , - 3) x = -4
ๆ3) × +7 8= 3 ×① yจะไ 3 × +21 = 24 ③
3 × +2g = 5
② ③- +2g⑤จะไ× +21g③) ×- ) = 5- 24
✗✗ tzytxx -21g = 5-24
= -19
- 19g ใน ②yแทน
①× + 7y = 8 y = 1= แทน
2 1 t 7 แ) ะ 8
จ ② 3×+24=5 3 Xt 2 (1) = 5
ตอบ
y =ๆ
3 11) t 2C D= 5 3× + 2 =5
3 ✗ = 5- 2
ตอบ ly 1) × =3
5
✗ =1
ำคูดำคำค้ดำน้ดำนำคำคำค้ดํน่ีทัหึฝ
axtby = 7
y3 × - 3× - ①
=ๆ y 7- = -
②
-3g4 × -แ = o - 4 × -3g = แ -
Sol " ①3 × จะไ ③-3g9 ×
= 21 5-
⑤② - จะไ ¢ × -3g 1-(9×-33) = 11-21
ฐ +3J4 × = -10
- ax
4 ✗ -9 ✗ = -10
- 5✗ = -10
× ¥=
X ←2
แทน ใน× = 2 ①
y3 (2) - = 7
y6- =ฯ
y = 7- 6
y 1=
1. 3 × - yi ๆ
3 (2) - 7=
6-1 7เ =
2. 4×-3y = 1 1
41 2) -3k D= 11
6+3 = 11
ำค้ดำน้ดำน
× # zy _ -1 = 0 × +2 y = -1
2×+4y - 5 = 0 y-142 × - -5
_
Sd " ไ2×① จะ ①2 × จะไ 2×+4y = -2
③② - ละไ - s -2
(2× +4g ) y/- 2×+4 ) ← า-
ๆ##
~#- -4 =
ไ ตอบของ สมการ
3Gt5) 4× = 12
y✗ = -13 ๆ4×-3 = 12
¢× y )× -3
#qy แ /•× ②① - 1JC 4 × → - -
-
แแ -
_ =3 # # #- = o
=แ -
0 = 0
ระบบ สมการ หาย ตอบ
ำคีมุ้รำคีม่ม้ดำน้ด้ดำน
ช#ือ.....................ช....ญ...............น...ท...อ..ง.....น....................................................................ชนั' ...ม...3...1...7...........เลขที#......4...5............
แบบฝึกหดั ได_้ ______คะแนน
คะแนนเตม็ 5 คะแนน
เรอื่ ง การแกร+ ะบบสมการเชงิ เสน+ สองตวั แปร
1. จงแกร% ะบบสมการเชิงเส%นสองตวั แปรต5อไปนี้ และตรวจสอบคำตอบ
5x + y = 15
x – 2y = – 8
………………………………5…×……+…y……--……1…5………………………①…………………………………………………………………………..
…………………………………×……-2…g……=……-…8………………………②…………………………………………………………………………..
……………1……2…✗…①………จ…ะ…ไ……………เอ…×…+…2…y……= …3…0 ………⑤…………………………………………………………………………..
…………………②…t…③………จ…ะไ…………1.…x …-…zy……) …t…(…เ…อ ×…t…z…y…) …=…C-…8…) +…3…0…………………………………………………………..
…………………………………×…-#………t……10…×…t…f…y……=………2 2………………………………………………………………………………..
……………………………………………………11 ×……………= ………22………………………………………………………………………………..
……………………………………………………X……………= ……2/…2…2 ……………………………………………………………………………..
………………………………………………………×…………=………2………………………………………………………………………………..
……………………………………แ…ท…น………า……×…………= ……2……ใ……น………①………………………………………………………………..
………………………………………………5…×……+……y………=…1 …5………………………………………………………………………………..
……………………………………………5…1…2…) …+……y………=……1…5……………………………………………………………………………..
……………………………………………………………y………ะ……1…5…-…10………………………………………………………………………..
…………………………………………………………y…………ะ……5………………………………………………………………………………..
……ต…อ…บ……………ต…อ…บ……ขอ…ง…ร…ะ…บ…บ……สม…ก…า…ร …เ …ง…เ …น…ส…อ…ง …ว…แ…ปร…………อ……(…2……)…5…) ……………………………………..
ตรวจคำตอบ 1. 5 Xty = 1g
5L2) ts = 15
10 +5 = 15
zy2.x - = -8
2- 2 (5) = -8
2- 10 = -8
่ตัต้สิชำค่ค้ดำน้ดํนำทีธิว์รัพ่ิปัริจ
วอ าง 1 ye น2 × + uxtby = C
จาก สมการ 5 จง หา ความ
ด สมการ y = mx + b
2 Xty =5
y, = -2 × + s
เ องจาก m= -2
y
-
1 xtzy _-4
2×+3y = 7
y× +2 =4
12gh +4×= - m② 2×+3 y = 7
xyney ← - 3 y = -2×+7
ฐะy = e
-
÷y = +
µ ¥y = - +
¥y - +2
-
{m - m=
= ตอบ
จะไ า =/ " จะไ 1
m
ำค้ด่ท่ว้ด๊ิฑ่ืนัลัช่ีท่ยัต
y2. + 2× =
_
2 y +2 × = -4
mg yt × -2-- M 2 2 yt 2 × = -4
y = - × -2
y2 = -2×-4
m = -1
£ าg-- -42mn
b y ✗= - -2
า
mz -1-
-
bz
bg bzไจะ
m1 = m2 และ =
งน กราฟ บ น หลาย ตอบ
3. ✗ -3y 6=
2 × -6g 8=
ym , X -3 6= bymz 2 × - 8=
y3- = - xto - by = -2×-18
y
ฐาน±-- = แกะ
-
¥¥y = +
y- -6
-
_
y = jtx + §
3
m= นะ
,
ไ ตอบ
ำคีม่มุ่งุ่วุ๊สู๋ฐู๊ชำคีมักัท้ันัด้ด
4. y2 × - = -3
=6
y- 4 × t 2
ymg 2 X - = -3 m2- 4 xt 2 y = 6
y = -2 X -3 2 y = 4× +6
m = -2 y = 4× 6
¥ #= t 3
= 2X t 3
mg = 2
ตอบ m# mz และ b# b2
+2g5J ×- 6=
2y -4 = ×
m 1- ✗ + าyะ 6 ym 2 2 -4 = ×
2g = × +6
y #= 2g = × +4
¥¥y =
+3 y = xycn
, y = ¥¥i
y = xz +3 y ¥= +2
±m, = mz =
bz/ตอบ M 1 ÷ mz และ bi =
คู่ว๋
6. y2×-3 -14 = 0
3 XT 2y = 8
ym ๆ 2 × -3 - 14 = 0 m 3×+2y = 8
y2y = 8- 3
y3- = -2×+14
2-y ÷83×mn
= ±× + #
y ÷× -ฑื่
¥y = 4
_
-£2-m
-
e
yy✗ - = -42 a
.
3×-2 y ± 140
① ไ9 3 ✗ าy3 × - 2 -126
จะ =
)② ⑤- C 3 × -2g ) -3C × -21 y = 140 - E 12 6)
2g3 X - -3 × -121 y = 26 6
y19 = 266
y= #2
y= 14
แทน า y = 14 ใน ①
y× - > = -42
✗ -7cal = -42
8- 98 = -42
X = 98 -4L
✗ = 56
น่คำน้ดำ
Xty = 10,000
ๆ200× t 100 = 1,739,200
①wx จะ ไ 100× + 10g = µ oqooo /ๆ+ เออ
② ③ ไ- จะ g)( 2006 + เอ -1 เออ × " " °°
. .
. . . . .. .. .
.
-10gอY2 ออ ✗ +10 §= 73 200
-100 ×
100 × = 739,200 e
= 7,392
×
⑦ในแทน × = 7 3 92
ty× = 1 000
7 3 42 ty =
Y1 10,000
= 1,0000 - 7372
2 6 08
g=
ุอำค้ดำน้ดำน
นม X
.
ม . ปลาย y
xty +12 = 215 ①-
xty = 203 ②-
40 × + ooy = 10,500
①4 อ ✗ = OY40×+4 - 8 1 20
③② - จะ ไ 40×+6 oyl - g)④× + ¢ = 10,500-8,120
/ OY4 + 60g -40 × -4 = 2 3 80
6g -4g = 2380 ตรวจ ตอบ
= 23เอ
2g xty = 203
y =ะ
y = แ9 84 + แ 9. = 203
yแทน แ ฯ- ใน ① 40 ×+6g = 10,500
-
Xty = 2 03 9)40 (84) i 60L แ = / 0,60๐
✗ +119 = 203 3360 t 7 1 40 = | 500
× = 203-119
✗ = 84
ุอำคู้ผ้ดำนำน้ต
_
มค ค-
.
มดม ด- -
ด ด-
-
E y i 58 °
" ✗ ะ qoo
|32
2. X = 54 °
°
y = 36
3. X = 90 °
y= 75
4. × = า 5°
y= 100 °
5. × = 90 5น )360 ใน 2
-
y = 70 % 3 160
250
110 _
180 290
+ 70
110
290
หุ๋
2. 1 = 21
2. 2 " + bl
tis
C=
2
c=
[ 2 = 64 + 225
[ = 289
C= 17
C= 17 t 17 t 16
L= 34 + 16
C-
50
2. 3
ห้จ้
บฤษทฏ ยก วง กลม
" ม ด น กลาง เ าเ นจะ ขนาด สอง วนโ งของ มใน ของ วง กลม รอง บ วย วนโ งเ ยว น
1. • y2 = ×
×
2. า วนโ ง ยาวเ า น แ ว ม ด น กลาง รอง บ
s วย วนโ ง น เจะยาว า น
ม ค งใน3. วง กลม จะ ขนาด 40 °
4.
5. า คอ ด ยาว เ า น
วนโ ง เจะยาว า น
น กลาง6. เ นา ดตรงลาก จาก
ค ง น งแ ง
เ นดคอ ตรง จะ ฉาก บ คอ ด
งคอ ก7.
า คอ ก ยาว เ า น สอง จะ คอระยะ จาก กเ า น
เ น8.
งศ จะ ฉาก บ มส ด ส
ง ศ ห งเ น บ9.
ตรง นาก ของ วง กลม ลด ลง
เ นบน วง กลม จะ ม สวง กลม ดนำ 9
้ันุจ่ีทัผัส็ป่ึน่ีทีมัรัก้ัต่ีท้สัผิสุจ่ีทัผัส้สัก์ตีมัรัก่ท์รีม้ัท์รัก่ท์ร้ถ์รัก้ัต้ัน้สัร่ึร่บ์ยูศุจ้ส้ถัก่ท้ค่สัก่ทัร้ถีม่ึรุมัก่ทัน้ค่ส้ดัร่ีท์ยูศุจ่ีทุม้ลัก่ท้ค่ส้ถักีด้ค่ส้ดัร่ีท้ค่สุม่ท็ปีม์ยูศุจ่ีทุม
น 27 0
22.5
③
r วะ .5
ํ
X = 22.5
✗= °
135
หื
35
ก 900
✓ 90
59
(39+39)-180 = 102
y --51
✗=
90+39 = II.0
_
12 9
05 1
อ\0 90
_ +
54 36
36 อ
_
× = 1 08 126
y = 36
54
11อ -(90-155) = 35
nt / 35
970
อ๋