คณิตศาสตร์

ค ตศาสต

ณ๋ืยิ

ก ดแบบ 1.1

1) × +2g 4= → × 2 2) y + × = -2 \ ✗2
>

2×+3y = 7 2g + 2 × = -4

2 × +4g = 8 2g +2 × = -4

ส ป ระบบ สม การ ตอบ ส ป ระบบ สม การ หลาย ตอบ

-3g3) × = 6 → ×2 4) y2 × =-3 → × -2

2 X -6g = 8 -4× tzy = 6

2× เy = แ -4 × -12g = 6
ไระบบ สมการ
สป " สรป ระบบ สมการ หลาย

ตอบ 1. ตอบ

5) y×- + 2 = 6 6) 2 × -3g -14 = อ .
3×+22 = 8
2g 4- = ×

2y -4 t 4 = × t 4

2y = × +4 .

try×- 4=

ส ป ไระบบ สมการ ตอบ

-

ำคีม่มุรำคีมำคีม่มุรำคีมุรำคีมุรัหึฝ

1 12,1 ) /

@1 CอfnEอไF3s -3)

eหaลcneeshtcnteatoe น โาlาCtlClEบ

1 gtfffnltifieiclil หลาย ตอบ

ำคีมํคีมึฮีมํคีม๊ืฏีม

Ex 1 จง แ สม การ อไป

× +2g = 1
5=
zy✗ -

Sd " ใ × +2g = 1 ①-
-

g× - = ②s -

①⑦ จะไ lxtryltcx - ะy ) = 1+5

ytx #✗ +
6.- =

2/\ = 6

¥× = 3

=3

แทน า × =3 ใน ①

2g3 + =1

2g = 1- 3

y = -/2

y = -1

งน เ ง อตอบ ของ ระบบ ของสมการ (3 g- 1)
เ น ว แปร

ตรวจ ตอบ

① xtzy 1=

3-121-1) = 1

ะy② × - 5=

3- 2L-1) ะ 5

ำค่ตัต้สิชำค้ันัด่ค้ดำน้ห้ีน่ต้ก

[ ×- 2

y× + = 12

y× - = -2

So H ① + ② จะไ Cxty ) tlxy ) = 12 tl - 2)

xytxy = 10

2× ← 10

× = #

tl

แทน ✗= 5

× = 5 ใน ①

xty = 12
sty = 12
y = | 2- 5

g= >

งน ตอบ ระบบ สมาการ อ ๒ 7)

ตรวจ ตอบ

1)× ty = 12

5 t 7 = 12

2) yx _ = 2

5- 7 = -2

ำค่ตำค้ันัดำค้ดำน

y2× + =4

2 × + 1- 2) = 4

2✗ = 4-12

¥✗ =

Xi3

น เ ง เ นง ตอบของ ระบบ สมการ ( 2)อ 3g -

ตรวจ ตอบ

2 × ty ะ 4

213) 1-C- 2) = 4

y2 × - =8

2 (3) - C-2) = 8

ำค่ต้สิชำค้ันัด

EX 4 จง แ ระบบ สมการ y× + 2 7= ①-

sxty - 8 ②-
-

So / " 5× ① จะไ loy ③sx +
= 35 -

Csxty③④ - จะไ ) - lsxtioy ) = 8- 35

/5 × ty ✓-5× -10g = -27

- qy = -27

y = -27
q-

y = 31#

y =3 ①แทน า ใน

× -2g = 7

× t 21 3) = 7
× +6 = 7

× = 7- 6

✗= 1

งน เ นตอบ ของ ระบบ สมการ เ ง สอง ว แปร อ ( 1,5)

ตรวจ ตอบ

① × +2g = 7

1 t 2 (3) = ๆ

② 5 Xty = 8

5 (1) +3 ะ 8

ำค่ตัต้สิชำคัยัด่คำน้ดำน้ดำน้ก

£ × 5 จง แ ระบบ สมการ 5× t y = 15

×- 2g 8--
-

5 01 ท ①2 × จะไ เอ × +2 y = 30 - 3.

②+ ③ จะไ (+ เอ × +2 ) = -8+30
y7)lx -2
× - ytloxtzyf = 2 2

11 × = 22

#× =

/ /X = 2
=

× = 2 แทน า ใน ①

sx + y = 15

5 (2) ty - 15
10 ty
= เ5
y = 15-10

y #= 5

ง น ตอบ ของ ระบบ สมการ เ ง เ น สอง ว แปร C 2g 5)

ตรวจ ตอบ

1.5 Xty = 15

5L 2) -15 = 15

X y2.
2- = -8

2- 2 (5) = -8

ำคัต้สิชำค้ันัด่คำน้กำน้ดำน้ก

EXG จ 5 แ ระบบ สมการ ty2 × = 23 ①-

x +3y = 19 ②-

Sol " ② ×2 จะไ ③+6g2/
= 38 -
① ③- จะไ
¢ × g)+ - kxtby) = 23-38
/ y สส เy2× +
- - - -1g .

.

y - เy = -1g

← sy = -15 .
=3
y

y =3

y- 3 แทน า ใน 2

× +3g = 19

✗ t3 (3) = 19

×+ q = 19

✗ = 19 _ q

× = 10 #1

ง น เ นตอบ ของ ระบบ สมการ เ ง ว แปร อ (10,3)

ตรวจ ตอบ

1 2 × ty = 23

2 40 ) 1-3 = 23

2) × +3 y = 1 9

10 t 3 (3) = 19

ำค่ตัต้สิชำค้ันัด่คำน้ืฏ้ดำน้ดำน้ก

-

[× 7 เ µ2 0/ kt = 6

จะ แ สมการ × 2 y3 × -4 = 9- 20 ¥+33 ะ 111
.. -7

ๆX 3 2 × -3 ×

50 / " 2 × ① จะไ sy×เ - %= -30

3- 4 ②3 × จะ ไ y6 × -9 e -2า

g)จะไ l- 6 × -9g = -1 8- ( -2 1)
16 ✗-8 .

/☒→y -6 \/ + ay = -18+21

- 8 ytay =3

ly = 3

y ร3

1

แทน ในy =3 2

y2×-3 >=
-

2 ✗ - 3 (3) = -7

2✗ - 9 ๆ=- .

2X = -7 f 9

2✗ = 2

×t 1

ำค้ดำน้ดำน้ดำน้ก

£× 8 จง แ สมการ sy2 × - =1 ①-

y7 × +3 ②= 2 4.
_

Sd " า 3 ส ① ไจะ isy6 × - =3 ③-

แทน s× ② จะไ y3s × +1s = | 20 ④-

า ⑤ +④ ⑧ (จะไ Isy) =3 +120
sy× เ- )+ 3s × +

ox #- +35 × t.ly/
= 123
41 ✗

¥× 1-
-

X =3 #

× 3ใน ①

Sy2 × - =1

Sy2 (2) - =1

6- sy = 1
¥y =

y 1=

ำค้ดํน้ดำน้ด่น้ก

13,2mn -6

จ9 แ ระบบ สมการ y5 × +3 ①= 10 - r

Sol " 4 × -2 y /②= 8- 20+24

2 x ① จะไ เyเอ × + = ③20 - /
.
3× จะไ 6g12 × - = /
24 -40

④③ + จะไ (เอ × +6y ) tlnx - Gy ) =

xtft /12×-67 = 4 4
= 44
10 × +12 ×

22 ✗ = 44

¥= 2

X =2

แทน า × ใน ②

4 × -2g 8= ตรวจ ตอบ = 10
=8
41 2) -2 y ๆ① 5×+3 = 10
8=
8 -2g = 8- 8 51 2) t 310)

-zy

gy =
y =0
② 4 × -2g 8= '

4 (2) -210) = 8

นง เ นเ งตอบ ของ ระบบ สมการ สอง ว แปร อ (2/0)

่ตัต้สิชำค้ันัดำค่ค้ดำน้ด⃝?ำน้ดำน้ก

แบบ ก ด 1.2

- / 3×+4
1) 3 × -4g o= 1 ไา ① ②- g) g)( 43 × - = 0 - C- 2 4)
จะ

4g3 × t = -24 2 / /y3× -4 y-3 × -4 = 24

4-y y4- = 24 11 ทน y =-3 แทน ใน ①

3)3 × - 4L - = 0

y8- - 24

ตรวจ ตอบ 3✗ t |2 =O

1.> × -4 y = 0 y =2 3X = 0 - 12
3L- 4) -4L - 3) = 0
¢_
3 ✗ = -12
2.3 Xt 4 Y ะ -24
3 C- 4) +4 1- 3) = -24 Y =-3 # 4× = -

3/1

ตอบ L -4 , - 3) x = -4

ๆ3) × +7 8= 3 ×① yจะไ 3 × +21 = 24 ③
3 × +2g = 5
② ③- +2g⑤จะไ× +21g③) ×- ) = 5- 24

✗✗ tzytxx -21g = 5-24
= -19
- 19g ใน ②yแทน
①× + 7y = 8 y = 1= แทน

2 1 t 7 แ) ะ 8

จ ② 3×+24=5 3 Xt 2 (1) = 5
ตอบ
y =ๆ
3 11) t 2C D= 5 3× + 2 =5

3 ✗ = 5- 2

ตอบ ly 1) × =3

5

✗ =1

ำคูดำคำค้ดำน้ดำนำคำคำค้ดํน่ีทัหึฝ

axtby = 7

y3 × - 3× - ①
=ๆ y 7- = -
②
-3g4 × -แ = o - 4 × -3g = แ -

Sol " ①3 × จะไ ③-3g9 ×
= 21 5-

⑤② - จะไ ¢ × -3g 1-(9×-33) = 11-21

ฐ +3J4 × = -10
- ax

4 ✗ -9 ✗ = -10

- 5✗ = -10

× ¥=

X ←2

แทน ใน× = 2 ①

y3 (2) - = 7

y6- =ฯ

y = 7- 6

y 1=

1. 3 × - yi ๆ

3 (2) - 7=

6-1 7เ =

2. 4×-3y = 1 1
41 2) -3k D= 11

6+3 = 11

ำค้ดำน้ดำน

× # zy _ -1 = 0 × +2 y = -1

2×+4y - 5 = 0 y-142 × - -5
_

Sd " ไ2×① จะ ①2 × จะไ 2×+4y = -2

③② - ละไ - s -2

(2× +4g ) y/- 2×+4 ) ← า-

ๆ##
~#- -4 =

ไ ตอบของ สมการ

3Gt5) 4× = 12

y✗ = -13 ๆ4×-3 = 12

¢× y )× -3
#qy แ /•× ②① - 1JC 4 × → - -
-
แแ -

_ =3 # # #- = o

=แ -

0 = 0

ระบบ สมการ หาย ตอบ

ำคีมุ้รำคีม่ม้ดำน้ด้ดำน

ช#ือ.....................ช....ญ...............น...ท...อ..ง.....น....................................................................ชนั' ...ม...3...1...7...........เลขที#......4...5............

แบบฝึกหดั ได_้ ______คะแนน
คะแนนเตม็ 5 คะแนน
เรอื่ ง การแกร+ ะบบสมการเชงิ เสน+ สองตวั แปร

1. จงแกร% ะบบสมการเชิงเส%นสองตวั แปรต5อไปนี้ และตรวจสอบคำตอบ
5x + y = 15
x – 2y = – 8

………………………………5…×……+…y……--……1…5………………………①…………………………………………………………………………..
…………………………………×……-2…g……=……-…8………………………②…………………………………………………………………………..

……………1……2…✗…①………จ…ะ…ไ……………เอ…×…+…2…y……= …3…0 ………⑤…………………………………………………………………………..

…………………②…t…③………จ…ะไ…………1.…x …-…zy……) …t…(…เ…อ ×…t…z…y…) …=…C-…8…) +…3…0…………………………………………………………..

…………………………………×…-#………t……10…×…t…f…y……=………2 2………………………………………………………………………………..

……………………………………………………11 ×……………= ………22………………………………………………………………………………..
……………………………………………………X……………= ……2/…2…2 ……………………………………………………………………………..

………………………………………………………×…………=………2………………………………………………………………………………..

……………………………………แ…ท…น………า……×…………= ……2……ใ……น………①………………………………………………………………..

………………………………………………5…×……+……y………=…1 …5………………………………………………………………………………..

……………………………………………5…1…2…) …+……y………=……1…5……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………y………ะ……1…5…-…10………………………………………………………………………..

…………………………………………………………y…………ะ……5………………………………………………………………………………..

……ต…อ…บ……………ต…อ…บ……ขอ…ง…ร…ะ…บ…บ……สม…ก…า…ร …เ …ง…เ …น…ส…อ…ง …ว…แ…ปร…………อ……(…2……)…5…) ……………………………………..

ตรวจคำตอบ 1. 5 Xty = 1g

5L2) ts = 15

10 +5 = 15

zy2.x - = -8

2- 2 (5) = -8

2- 10 = -8

่ตัต้สิชำค่ค้ดำน้ดํนำทีธิว์รัพ่ิปัริจ

วอ าง 1 ye น2 × + uxtby = C
จาก สมการ 5 จง หา ความ

ด สมการ y = mx + b

2 Xty =5

y, = -2 × + s

เ องจาก m= -2

y

-

1 xtzy _-4

2×+3y = 7

y× +2 =4

12gh +4×= - m② 2×+3 y = 7

xyney ← - 3 y = -2×+7

ฐะy = e

-

÷y = +

µ ¥y = - +

¥y - +2
-

{m - m=

= ตอบ

จะไ า =/ " จะไ 1
m

ำค้ด่ท่ว้ด๊ิฑ่ืนัลัช่ีท่ยัต

y2. + 2× =
_

2 y +2 × = -4

mg yt × -2-- M 2 2 yt 2 × = -4
y = - × -2
y2 = -2×-4
m = -1
£ าg-- -42mn

b y ✗= - -2
า

mz -1-
-

bz

bg bzไจะ
m1 = m2 และ =

งน กราฟ บ น หลาย ตอบ

3. ✗ -3y 6=
2 × -6g 8=

ym , X -3 6= bymz 2 × - 8=

y3- = - xto - by = -2×-18
y
ฐาน±-- = แกะ

-

¥¥y = +

y- -6
-
_
y = jtx + §
3

m= นะ

,

ไ ตอบ

ำคีม่มุ่งุ่วุ๊สู๋ฐู๊ชำคีมักัท้ันัด้ด

4. y2 × - = -3
=6
y- 4 × t 2

ymg 2 X - = -3 m2- 4 xt 2 y = 6

y = -2 X -3 2 y = 4× +6

m = -2 y = 4× 6

¥ #= t 3

= 2X t 3

mg = 2

ตอบ m# mz และ b# b2

+2g5J ×- 6=

2y -4 = ×

m 1- ✗ + าyะ 6 ym 2 2 -4 = ×
2g = × +6
y #= 2g = × +4
¥¥y =
+3 y = xycn

, y = ¥¥i

y = xz +3 y ¥= +2

±m, = mz =

bz/ตอบ M 1 ÷ mz และ bi =

คู่ว๋

6. y2×-3 -14 = 0

3 XT 2y = 8

ym ๆ 2 × -3 - 14 = 0 m 3×+2y = 8
y2y = 8- 3
y3- = -2×+14
2-y ÷83×mn
= ±× + #
y ÷× -ฑื่

¥y = 4

_

-£2-m
-

e

yy✗ - = -42 a
.

3×-2 y ± 140

① ไ9 3 ✗ าy3 × - 2 -126
จะ =

)② ⑤- C 3 × -2g ) -3C × -21 y = 140 - E 12 6)

2g3 X - -3 × -121 y = 26 6

y19 = 266

y= #2

y= 14

แทน า y = 14 ใน ①

y× - > = -42

✗ -7cal = -42

8- 98 = -42

X = 98 -4L

✗ = 56

น่คำน้ดำ

Xty = 10,000

ๆ200× t 100 = 1,739,200

①wx จะ ไ 100× + 10g = µ oqooo /ๆ+ เออ

② ③ ไ- จะ g)( 2006 + เอ -1 เออ × " " °°

. .

. . . . .. .. .

.

-10gอY2 ออ ✗ +10 §= 73 200
-100 ×

100 × = 739,200 e
= 7,392
×

⑦ในแทน × = 7 3 92

ty× = 1 000
7 3 42 ty =
Y1 10,000
= 1,0000 - 7372
2 6 08
g=

ุอำค้ดำน้ดำน

นม X
.

ม . ปลาย y

xty +12 = 215 ①-

xty = 203 ②-

40 × + ooy = 10,500

①4 อ ✗ = OY40×+4 - 8 1 20

③② - จะ ไ 40×+6 oyl - g)④× + ¢ = 10,500-8,120

/ OY4 + 60g -40 × -4 = 2 3 80

6g -4g = 2380 ตรวจ ตอบ
= 23เอ
2g xty = 203
y =ะ

y = แ9 84 + แ 9. = 203

yแทน แ ฯ- ใน ① 40 ×+6g = 10,500

-

Xty = 2 03 9)40 (84) i 60L แ = / 0,60๐

✗ +119 = 203 3360 t 7 1 40 = | 500

× = 203-119
✗ = 84

ุอำคู้ผ้ดำนำน้ต





_





มค ค-
.

มดม ด- -

ด ด-
-

E y i 58 °

" ✗ ะ qoo

|32

2. X = 54 °

°

y = 36

3. X = 90 °

y= 75

4. × = า 5°

y= 100 °

5. × = 90 5น )360 ใน 2
-
y = 70 % 3 160
250
110 _

180 290

+ 70
110

290

หุ๋

2. 1 = 21

2. 2 " + bl
tis
C=

2

c=

[ 2 = 64 + 225

[ = 289

C= 17

C= 17 t 17 t 16

L= 34 + 16
C-
50

2. 3

ห้จ้

บฤษทฏ ยก วง กลม

" ม ด น กลาง เ าเ นจะ ขนาด สอง วนโ งของ มใน ของ วง กลม รอง บ วย วนโ งเ ยว น

1. • y2 = ×

×

2. า วนโ ง ยาวเ า น แ ว ม ด น กลาง รอง บ

s วย วนโ ง น เจะยาว า น

ม ค งใน3. วง กลม จะ ขนาด 40 °

4.

5. า คอ ด ยาว เ า น

วนโ ง เจะยาว า น

น กลาง6. เ นา ดตรงลาก จาก

ค ง น งแ ง
เ นดคอ ตรง จะ ฉาก บ คอ ด

งคอ ก7.
า คอ ก ยาว เ า น สอง จะ คอระยะ จาก กเ า น

เ น8.
งศ จะ ฉาก บ มส ด ส

ง ศ ห งเ น บ9.
ตรง นาก ของ วง กลม ลด ลง

เ นบน วง กลม จะ ม สวง กลม ดนำ 9

้ันุจ่ีทัผัส็ป่ึน่ีทีมัรัก้ัต่ีท้สัผิสุจ่ีทัผัส้สัก์ตีมัรัก่ท์รีม้ัท์รัก่ท์ร้ถ์รัก้ัต้ัน้สัร่ึร่บ์ยูศุจ้ส้ถัก่ท้ค่สัก่ทัร้ถีม่ึรุมัก่ทัน้ค่ส้ดัร่ีท์ยูศุจ่ีทุม้ลัก่ท้ค่ส้ถักีด้ค่ส้ดัร่ีท้ค่สุม่ท็ปีม์ยูศุจ่ีทุม

น 27 0
22.5

③

r วะ .5

ํ

X = 22.5

✗= °

135

หื

35

ก 900

✓ 90

59

(39+39)-180 = 102

y --51

✗=

90+39 = II.0

_

12 9

05 1

อ\0 90
_ +

54 36

36 อ

_

× = 1 08 126
y = 36
54

11อ -(90-155) = 35

nt / 35

970

อ๋