ลิมิตของฟังก์ชัน

ลิมิตของฟังก์ชัน






จัดทำโดย

นางสาวพิชญ์สินี จันทร์รุ่ง
เลขที่41 ม.6/6




เสนอ

อาจารย์ ศุภลักษณ์ สุวรรณ์





ภาคเรียนที่ 1
โรงเรียนสุราษฎร์พิทยา

1. ลิมิตของฟังก์ชัน เขียนแทนด้วย





หมายถึง x มีค่าเข้าใกล้ a แล้ว f(x) จะมีค่าเข้าใกล้ L



สำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจ์ เป็น

สับเซตของเซตจำนวนจริง
1. ลิมิตทางซ้ายของ f ที่ a คือ ค่าของ f(x) เมื่อ x มีค่า

เข้าใกล้ a ทางซ้าย
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
1. ลิมิตทางขวาของ f ที่ a คือ ค่าของ f(x) เมื่อ x มีค่า

เข้าใกล้ a ทางขวา
เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
ถ้า แล้ว จะกล่าวได้ว่า ฟังก์ชัน f ที่ a มีลิมิต
เท่ากับ L เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
ถ้า แล้วจะกล่าวได้ว่า ฟังก์ชัน f ที่ a ไม่มีลิมิต

ลิมิตข้างเดียว (One-side limit)

ลิมิตทางซ้ายและลิมิตทางขวา





เมื่อ x เข้าใกล้ a โดยที่
x < a หมายความว่า x เข้าใกล้ a
-ทางด้านซ้าย เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ -
เมื่อ x เข้าใกล้ a โดยที่ x >a หมายความว่า x เข้า

ใกล้ a
ทางด้านซ้าย เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ +

วิธีหา ค่าลิมิตของฟังก์ชัน
(1).เอาค่า a ไปแทนใน x ใน f(x) ถ้าผลที่ได้เป็น

จำนวนจริงค่านั้นคือค่าลิมิต
(2).เอาค่า a ไปแทนใน x ใน f(x)แล้วปรากฏผลอ

อกมาใน
รูป

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟังก์ชัน

ให้พิจารณาลักษณะของฟังก์ชัน ดังนี้
(2.1) ถ้าสามารถแยก f(x) ออกเป็นผลคูณของ
ตัวประกอบได้ ก็ให้แยกแล้วขจัดตัวประกอบร่วมของ
เศษ
และส่วนออก หลังจากนั้นก็เอาค่า a ไปแทน x ถ้าผล
ที่ได้
เป็นจำนวนจริง ค่านั้นคือค่าลิมิต
(2.2) ถ้าแยกตัวประกอบไม่ได้ เนื่องจาก f(x) มัก
อยู่
ในรูป ก็ให้นำคอนจูเกตคูณทั้งเศษและส่วน แล้ว
ขจัด
ตัวประกอบที่ทำให้ส่วนเป็นศูนย์ออก หลังจากนั้นก็
เอาค่า a
ไปแทน x ถ้าผลที่ได้เป็นจำนวนจริง ค่านั้นคือค่าลิ
มิต

f(x) คือ (3x + 1) โดยที่ x เข้าใกล้ 3 ในทางลบ
แทนค่า x ด้วย

ค่าที่น้อยกว่า 3 แต่ใกล้เคียง 3 ดู เช่น 2.99… (แต่
ตอนคำนวณก็คิด

เป็น 3 ไปได้เลย เพราะ 2.99… มีค่าใกล้เคียง 3
มาก ๆ) เราจึงได้คำ

ตอบว่า ลิมิตทางลบ (ทางซ้าย) ของ (3x + 1) มีค่า
เท่ากับ 10

แทน x ด้วยค่าที่ใกล้เคียงกับ 0 ในทางลบมาก ๆ
เช่น -

0.000...1 เนื่องจากตัวส่วนมีค่าน้อยมาก ๆ ทำให้
หารออกมาแล้วได้

ตัวเลขที่เยอะสุด ๆ จนเราไม่รู้ว่ามันจะไปสิ้นสุด

∞ตรงไหน คำตอบที่ได้
จึงเป็น -

วิธีหาค่าลิมิตของฟังก์ชัน
(1).เอาค่า a ไปแทนใน x ใน f(x) ถ้าผลที่ได้

เป็นจำนวนจริงค่านั้นคือค่าลิมิต
(2).เอาค่า a ไปแทนใน x ใน f(x)แล้วปรากฏ

ผล
ออกมาในรูป
ให้พิจารณาลักษณะของฟังก์ชัน ดังนี้
(2.1) ถ้าสามารถแยก f(x) ออกเป็นผลคูณ
ของตัวประกอบได้ ก็ให้แยกแล้วขจัดตัวประกอบ
ร่วมของเศษและส่วนออก หลังจากนั้นก็เอาค่า a
ไปแทน x ถ้าผลที่ได้เป็นจำนวนจริง ค่านั้นคือ

ค่าลิมิต
(2.2) ถ้าแยกตัวประกอบไม่ได้ เนื่องจาก f(x)

มักอยู่ในรูปx

การหาค่าลิมิตจากกราฟ



จากกราฟ เมื่อเราพิจารณาลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x เข้า
ใกล้ -1 เรา ต้องพิจารณาลิมิตทั้ง 2 ทาง ได้แก่ลิมิต

ทาง
ซ้าย และลิมิตทางขวา
เมื่อลองลากเส้นจากจุดไปยังแกน x และแกน y ก็จะ

เห็น
ว่า เมื่อ x เข้าใกล้ -1 แล้ว f(x) จะมีค่าเข้าใกล้ 4

ทั้ง
ทางซ้ายและทางขวา ดังนั้น ลิมิตของฟังก์ชันเมื่อ x

เข้า
ใกล้ -1 จึงเท่ากับ 4 ทั้งในทางบวกและทางลบ



จากตัวอย่างที่ผ่านมาจุดที่ต้องการหาลิมิตเป็นกราฟที่

มีความต่อ
เนื่อง ลิมิตของฟังก์ชัน เมื่อ x เข้าใกล้ -1 จึงหาค่าได้

ตัวอย่างโจทย์พร้อมเฉลยการหาค่าลิมิตของฟังก์ชั่น

ตัวอย่างโจทย์พร้อมเฉลยการหาค่าลิมิตของฟังก์ชั่น

ตัวอย่างโจทย์พร้อมเฉลยการหาค่าลิมิตของฟังก์ชั่น