แบบฝึกฟิสิกส์ ม.5

เอกสารประกอบการเรียนวชิ าฟิ สิกส์
หน่วยการเรียนรู้ท่ี 4 เรื่อง การเคลอื่ นท่ีแบบต่างๆ : การเคลอื่ นท่แี บบ SHM
3. การเคลอ่ื นทีแ่ บบซิมเปิ ลฮาร์โมนิก

3.1 ลกั ษณะการเคลอื่ นทแี่ บบซิมเปิ ลฮาร์โมนิค คือ การเคล่ือนที่ของอนุภาคแบบกลบั ไป
กลบั มาผา่ นแนวสมดุลของระบบ ดงั ปรากฏในรูปที่ 14.17 ไดแ้ ก่ การแกวง่ ของลูกตุม้ นาฬิกา การ
แกวง่ ของมวลผกู ปลายสปริงและการสน่ั ของสายไวโอลิน เป็นตน้

รูปที่ 14.17 ลกั ษณะการสน่ั ของระบบตา่ ง ๆ

การเคล่ือนที่ของระบบต่างๆ ในรูปท่ี 14.17 ทาให้เราสรุปไดว้ า่ วตั ถุจะเคลื่อนที่แบบซิม
เปิ ลฮาร์โมนิคไดเ้ ม่ือวตั ถุน้นั เคลื่อนที่จากแนวสมดุลทาใหเ้ ดแรงยอ้ นกลบั สะสมอยู่ เม่ือปล่อยใหเ้ คล่ือนที่
ไปกลบั มนั จะเกิดการเคล่ือนท่ีไปกลลบั รอบแนวสมดุลน้นั ดงั รูปท่ี 14.17

พจิ ารณาการเคลอื่ นทขี่ องเงาของอนุภาคทเี่ คลอ่ื นทเ่ี ป็ นวงกลมด้วยอตั ราเร็วคงที่

กาหนดไหอ้ นุภาค Q เคลื่อนท่ีเป็นวงกลมดว้ ยรัศมี A และอตั ราเร็วเชิงมุม  และเมื่อเวลา t = 0

อนุภาคเคลื่อนท่ีผา่ นแกน +X พอดี ขณะที่อนุภาค Q เคลื่อนท่ีเป็นวงกลม สมมติให้ QX และ QY เป็นเงา

ของ Q บนแกน X และแกน Y ตามลาดบั เมื่อเวลาผา่ นไป t เส้นตรง OQ จะทามุม  t กบั กน +X

และเงา QX กบั QY จะมีการขจดั เทียบกบั จุด O เป็น X และ Y ตามลาดบั

รูปที่ 14.18 เงาของอนุภาค Q บนแกน Y รูปท่ี 14.19 เงาของอนุภาค Q บนแกน X

( เคลื่อนที่แบบ SHM โดยมีแกน (เคลื่อนท่ีแบบ SHM โดยมีแกน

X เป็นแนวสมดุล Y เป็นแนวสมดุล)

3.2 สมการการเคลอ่ื นท่แี บบซิมเปิ ลฮาร์โมนิค

กาหนดใหอ้ นุภาค Q เคล่ือนท่ีเป็นวงกลลมดว้ ยรัศมี A ดว้ ยอตั ราเร็วคงที่ 
เริ่มแรกอนุภาค Q อยบู่ นแกน X เม่ือเคล่ือนที่ได้ t วนิ าที มุมท่ีจุดศูนยก์ ลางเป็น  t ดงั รูป

รูปที่ 14.20 การเคลื่อนที่ของอนุภาค Q เป็นวงกลม

3.2.1 การขจัดของอนุภาค Q ทเี่ คลอ่ื นทแี่ บบซิมเปิ ลฮาร์โมนิค
พจิ ารณาเงาของอนุภาค Q บนแกน X จะไดก้ ารขจดั มีค่าเทา่ กบั A (X = A เมื่อ t = 0)

จาก  QOQX ในรูป b จะไดก้ ารขจดั บนแกน X ณ เวลาใดๆ ดงั น้ี X  cos t

A

X = A cos  t

พิจารณาเงาของอนุภาค Q บนแกน Y จะไดก้ ารขจดั เริ่มแรกมีค่าเท่ากบั ศูนย(์ Y = 0

t = 0 )จาก  QOQX ในรูป b จะไดก้ ารขจดั บนแกน Y ณ เวลาใดๆ ดงั น้ี Y sin t

A

Y = A sin  t

โดย X และ Y = การขจดั ของอนุภาค Q บนแกน X และ Y ตามลาดบั โดยวดั
จากจุด origin

A = ช่วงกวา้ ง คือ การขจดั มากท่ีสุดของการเคล่ือนท่ี
 t = มุมเฟส

3.2.2 ความเร็วของการเคลอ่ื นทแี่ บบซิมเปิ ลฮาร์โมนิค

ถา้ เริ่มแรกอนุภาค Q มีการขจดั และมุมเฟสเป็นศนู ย์ จะไดก้ ารขจดั ของอนุภาคอยู่

ในแกน Y - - - - - (1)

 จากสมการการขจดั Y = Asin t

แต่ V = lim Y  dy
t dt
t 0

หา v จาก 1 จะได้ V = dy  A dsin t

dt dt

V = (Acos t) dt

dt

V =  Acos t - - - - - - - -(2)

สมการ 3 ยกกาลงั 2 จะได้ V = Acooos t - - - - - - - -(3)
สมการ 1 ยกกาลงั 2 จะได้
 - - - - - - - (4)
- - - - - - - (5)
V2 = A2cos2 t



Y2 = A2sin2 t

สมการ 4 +สมการ 5 จะได้ v2  Y2  A2 (cos2 t  sin 2 t)

2
V2  Y2  A2
2

V2 =  2 ( A2  Y 2 )

V = + A2  Y 2 - - - - - - - - (6)

เครื่องหมาย + เป็นตวั แสดงทิศทางของความเร็ว โดย V เป็นบวก (+) แสดงวา่ มีทิศตาม Y และ V
เป็นลบ (-) แสดงวา่ มีทิศตรงขา้ มกบั Y

นน่ั คือ ณ การขจดั Y หน่ึงคา่ จะมีความเร็วได้ 2 คา่ คือมีทิเดียวกบั Y และตรงขามกบั Y

หมายเหตุ กรณีที่วตั ถุเคลื่อนท่ี SHM โดยการขจดั ไมไ่ ดอ้ ยใู่ นแกน X หรือแกน Y จะได้ Y เป็น
การขจดั ในแกนใดๆก็ได้

3.2.3 ความเร่งของการเคลอ่ื นทแ่ี บบซิมเปิ ลฮาร์โมนิค

จากสมการอตั ราเร็ว V =  Acos t - - - - - - - (2)

แต่ a = lim v  dv
t0 t dt

หา a จากสมการ 2 จะได้ a = dv  A d cos t
dt dt

a = - 2Asin t - - - - - - - - (8)

แต่ y = Asin t

 จาก 8 เขียนใหมไ่ ด้ a = - 2y - - - - - - - - (9)

โดย Y เป็นการขจดั ในแนวใดๆก็ได้

เครื่องหมายลบ (-) แสดงวา่ ความเร่งมีทิศทางตรงขา้ มกบั การขจดั Y

นนั่ คือ ความเร่งของการเคล่ือนที่แบบซิมเปิ ลฮาร์โมนิคจจะตอ้ งมีทิศสู่แนวสมดุลเสมอ

3.2.4 สรุปสมการการเคลอื่ นทแี่ บบซิมเปิ ลฮาร์โมนิค

1.สมการการขจดั จะได้ Y = Asin t เมื่อการขจดั เริ่มแรกเป็นศนู ย์

หรือ X = Acos t เม่ือการขจดั เร่ิมแรกเท่ากบั A

2. สมการอตั ราเร็ว V =  Acos  t เมื่อการขจดั เร่ิมแรกเป็ นศูนย์

หรือ V =   A2 S2 S เป็ นการขจดั ในแนวใดๆ

3.สมการอตั ราเร่ง a = เมื่อการขจดั เร่ิมแรกเป็นศูนย์

หรือ a = -  S S เป็นการขจดั ในแนวใดๆ

กราฟความสัมพนั ธ์ของการเคลือ่ นทแี่ บบซิมเปิ ลฮาร์โมนิค

ถา้ สมการการขจดั เป็ น S = Asin t ถา้ สมการการขจดั เป็น S = Acos  t

สมการอตั ราเร็ว V = Acos t สมการอตั ราเร็ว V = -Asin t

สมการอตั ราเร่ง a = - 2 Asin t สมการอตั ราเร่ง a = - 2 Acos t

ข้อสังเกตจากกราฟ
กราฟความสัมพนั ธ์ s-t , v-t และ a-t ของการเคล่ือนท่ีของอนุภาคต่างๆ สรุปไดด้ งั น้ี
1. ถา้ อนุภาคเคล่ือนที่ในแนวเส้นตรงจะไดก้ ราฟความสมั พนั ธ์เป็นเส้นตรงหรือเส้นโคง้

การ การพจิ ารณาลกั ษณะกราฟต่างๆ ใหด้ ูท่ี slope หรือค่าของความเร็ว , ความเร่ง
2.ถา้ อนุภาคเคล่ือนที่แบบ SHMจะไดก้ ราฟความสมั พนั ธ์เป็น sine หรือcosine curve ดงั

รูปที่ 14.21 การพิจารณาลกั ษณะกราฟใหใ้ ชว้ ธิ ีการหาค่าอนุพนั ธ์

4.2.5 การเคลอื่ นทข่ี องเงาของอนุภาคทเ่ี คลอ่ื นทเ่ี ป็ นวงกลมด้วยอตั ราเร็วคงทโ่ี ดยมีมุม

เร่ิมต้นไม่เป็ นศูนย์

รูปที่ 14.22 (a) ตาแหน่งของ Q และ QY รูปที่ 14.22 (b) ตาแหน่งของ Q

ขณะเวลา t = 0 และ QY ขณะเวลา t

ตอ่ ไปน้ีเราจะพิจารณาการเคลื่อนที่ของเงา Qy ในกรณีทวั่ ๆไx นน่ั คือขณะเวลา t = 0

กาหนดใหอ้ นุภาค Q กาลงั อยใู่ นตาแหน่งที่แขน OQ ทามุม  O ใดๆกบั แกน +X ดงั รูป14.22(a) ต่อมา

เมื่อเวลา t แขน OQ จะกวาดมุมเพิ่มข้ึนอีก  t ดงั น้นั การขจดั ของ Qy จากจุด O จะหาไดจ้ าก

Y = Asin(0   t) - - - - - - - - -(10)

ดว้ ยการหาอนุพนั ธ์เทียบกบั เวลา เราสามารถหาความเร็วและความเร่งไดดงั น้ี

V= dy  d A sin(  t)  A cos(  t) d (  t )
dt dt dt

V = Acos( 0   t) - - - - - - --- (11)

a = dv  d [ = Acos( 0  t)] = - Asin(0  t) d (0   t)
dt
dt dt

V = - 2 Asin(0   t) - - - - - - - - (12)
นอกจากน้ี เราสามารถพิสูจนไ์ ดเ้ ช่นเดียวกนั วา่

V =   A2  Y 2 - - - - - - - -(13)
a = -2 y - - - - -- - - (14)

รูปท่ี 14.23 การเคล่ือนที่แบบ SHM ของเงา QY รูปที่ 14.24 การเคล่ือนท่ีแบบ SHM ของ

เมื่อมุมเร่ิมตน้  เรเดียน เงาQ เมื่อมุมเร่ิมตน้  เรเดียน
2
2
ถา้ เรากาหนดให้    (เรเดียนหรือ 90o เราจะได้
2 - - - - - - - - - (15)

y = Asin(  + t)
2

 y = Acos t)

V =  A(  + t) - - - - - - - - - (16)

2

 V =-  Asin t

a = - 2 Asin(  + t) - - - - - - - - -(17)

2

 a = - 2 Acos t)

ซ่ึงรูปสมการจะเหมือนกบั สมการท่ีเงาของแขน OQ อยบู่ นแกน X(QX) ทุกประการ หรือ

กล่าวอีกนยั หน่ึง การเคลื่อนท่ีของ QY เมื่อ    เรเดียน(รูป14.23) กบั การเคลื่อนท่ีของ QX เมือ  =
2
0 เรเดียน(รูป14.24) จะรูปสมการการขจดั ความเร็วและความเร่งเหมือนกนั ทุกประการนนั่ คือ เราอาจสรุป

ไดว้ า่ QX และ QY มีลกั ษณะการเคล่ือนที่เหมือนกนั ทุกอยา่ ง จะต่างกนั ก็เพียงแต่วา่ เป็ นการเคล่ือนที่คนละ
แกนเท่าน้ัน ดงั น้นั เราจะใช้สมการหัวขอ้ 4.2.4 ซ่ึงเป็ นสมการของ เป็ นสมการของ QY เป็ นสมการ

มาตรฐานในการหาการขจดั ความเร็ว และความเร่งของการเคล่ือนท่ีแบบซิมเปิ ลฮาร์โมนิค

สรุป ถา้ เรากาหนดให้เวลา t = 0 อนุภาค Q ทามุม กบั แกน +X เราจะหาการขจดั ความเร็ว และ
คามเร่งของอนุภาค P ไดจ้ าก

รูปที่ 14.25 ตาแหน่งของ Q, QY และ P เม่ือเวลา t = 0
1)การขจดั S = Asin(0   t)
2)ความเร็ว V = Acos( 0   t)

V =   A2  Y 2

3)ความเร่ง a = - 2 Asin(0  
a = 2S

โดย S คือ การขจดั ที่วดั จากแนวสมดุลไปยงั ตาแหน่งท่ีอนุภาคอยู่
การเรียนในระดบั น้ี ราจะสนใจสภาวะเร่ิมตน้ (t=0) ของอนุภาค P เพยี ง 2 กรณีใหญๆ่ คือ

1) t=0 , s=0 และ
2) t=0 ,s=A เท่าน้นั
(ดงั ที่สรุปในหวั ขอ้ 3.2.4)

3.3 แรงทที่ าให้วตั ถุเคลอ่ื นทแี่ บบซิมเปิ ลฮาร์โมนิค

เนื่องจากการเคล่ือนท่ีแบบซิมเปิ ลฮาร์โมนิคเป็นการเคลื่อนท่ีชนิดมีความเร่ง แสดงวา่

จะตอ้ งมีแรงกระทาต่อวตั ถุและการเคล่ือนที่จะตอ้ งเป็ นไปตามกฎขอ้ ที่ 2 ของนิวตนั

3.3.1 การหาเงอื่ นไขของแรงทที่ าให้วตั ถุเคลอื่ นทแ่ี บบ SHM

จาก F  ma

แต่ความเร่งของ SHM จะได้ a = - 2 S

 แทนค่า จะได้ F = -m 2 S - - - - - - - - - (18)

จากสมการ m 2 = ค่าคงที่ = k

สมการ 18 ขียนใหมไ่ ด้ F = -ks โดย k = m 2 - - - - - - - - -(19)

* นนั่ คือ วตั ถุจะเคล่ือนที่แบบ SHM ไดต้ ่อเม่ือ
1. แรงลพั ธ์เกิดกบั วตั ถุตอ้ งมีทิศเขา้ สู่แนวดุล
2. ขนาดของแรงลพั ธ์แปรผนั ตามการขจดั F S

3.3.2 คาบและความถ่ีของการเคลอื่ นทแ่ี บบซิมเปิ ลฮาร์โมนิค

จาก k = m 2
เราทราบวา่ อตั ราเร็วเชิงมุมของการเคลื่อนท่ีเป็ นวงกลมสมั พนั ธ์กบั คาบ ดว้ ยสมการ

  2


เน่ืองจากเราสังเกตเห็นวา่ การเคล่ือนที่ของเงาแบบ SHM มีคาบของการเคลื่อนท่ีครบรอบเทา่ กนั

คาบของการเคลื่อนท่ีเป็นวงกลมที่เกิดเงาน้นั ดงั น้นั T จึงเป็นคาบของ SHM ดว้ ย

ดงั น้นั K = m( 2 )2



คาบของ SHM T = 2 m - - - - - - - - (20)

k

ความถ่ีของ SHM f = 1 = 1 k - - -- - - - - -(21)

 2 m

3.4 การเคลอ่ื นท่แี บบ SHM ของระบบต่าง ๆ

ในการท่ีเราจะพิจารณาการเคลื่อนที่ของระบบเพียง 2 ระบบเทา่ น้นั คือ การแกวง่ ของลูกตุม้
นาฬิกาและการสัน่ ของมวลปลายสปริง

3.4.1 การเคลอ่ื นทแี่ บบ SHM ของลูกตุ้มนาฬิกา
กาหนดใหล้ ูกตุม้ มวล mผกู เชือกยาว  เมื่อลูกตุม้ อยใู่ นตาแหน่งท่ีเชือกทามุม  กบั

แนวดิ่งมีอตั ราเร็วเท่ากบั v และส่วนโคง้ รองรับมุม เท่ากบั s

รูปที่ 14.26 การแกวง่ ของลูกตุม้

พจิ ารณาแรงทมี่ วล m ดังรูปจะได้

 F รัศมี = mv 2
r

แทนค่า T - mgcos = mv2

r

T = mgcos = mv2 - - - - - - - - - -*



ความตึงเชือก ณ ตาแหน่งใดๆ จะได้ T= mgcos = mv2



พจิ ารณาในแนวเส้นสัมผสั

จากรูปจะได้ F= -mgsin [Fตรงขา้ มกบั Sเป็นลบ] - - - - - - - -- -(22)
จากสมการแสดงวา่ F sin จึงไมไ่ ดแ้ กวง่ แบบSHM

ถ้ากาหนดให้มุม  เลก็ มากๆจะได้ sin  S



สมการ 22 เขียนใหมไ่ ด้ F= -mgsin =  mgs - -- - - - - - -(23)



แต่ mg = คา่ คงท่ี (k)



สมการ 23 เขียนใหม่ได้ F = -ks

แสดงวา่ แรงที่เกิดข้ึนกบั วตั ถุมีทิศสู่แนวสมดุลและแปรผนั ตามแนวขจดั จึงเป็นการเคลื่อนที่แบบ

ซิมเปิ ลฮาร์โมนิค

หาคาบเวลาของการเคลอ่ื นที่

จาก   2 m - - - - - - - -(24)
k

แต่ k = mg



m

แทนคา่ k ใน 24จะได้   2 g


  2  - - - - - - -(25)
g

เม่ือ g = ความเร่งที่เกิดข้ึนกบั วตั ถุ

ในกรณีท่ีลูกตุม้ แขวนอยู่ในระบบที่กาลงั เคลื่อนท่ีแบบมีความเร่ง a และแกว่งเป็ นมุม

น้อยๆรอบจุดสมดุล เราสามารถพิสูจน์ไดว้ า่ การเคล่ือนท่ีของลูกตุม้ น้นั ยงั คงประมาณไดว้ ่าเป็ นแบบ

SHM และเราสามารถหาคาบ T ไดจ้ ากสมการ

  2    - - - - -- - - - - 26
g a


โดยท่ี  = เป็นความเร่งท่ีเกิดจากความโนม้ ถ่วง
g

 = เป็นความเร่งของระบบท่ีลูกตุม้ แขวนอยู่
a

   = คือขนาดของเวคเตอร์ g–a ซ่ึงเป็นความเร่งลพั ธ์ของลูกตุม้ เม่ือเทียบกบั ผู้
g a

สงั เกตที่อยใู่ นระบบน้นั

3.4.2 การแกว่งของมวลผกู ปลายสปริง

กาหนดใหม้ วล m แขวนสปริงในแนวดิ่งดงั รูป (a) แลว้ ค่อยๆ ปล่อยใหส้ ปริงยดื ออก

จนกระทงั่ มวล m อยนู่ ิ่ง ดงั รูป (b) จากน้นั ดึงมวล m ใหย้ ดื ออกจากรูป(b) เทา่ กบั X2 เเลว้ ปล่อยให้
มนั ส่ันข้ึนลงเเบบ SHM

รูปที่ 14.27 การแกวง่ มวลผกู สปริง

พจิ ารณารูป (b) มวล m อย่ใู นภาวะ

จะได้ kx1 = mg
พจิ ารณารูป (c) จะได้ F  -k(x1+x2)+mg( แรงมีทิศตรงขา้ มกบั x เป็ น-1 )
F  -k x1-k x2+mg
แทนค่า mg จะได้ F  - k x1-k x2+ k x1
F - k x

นน่ั คือ F มีทิศสู่แนวสมดุลและมีคา่ แปรผนั ตามการขจดั X5ดงั น้นั การแกวง่ ของการผกู
ปลายสปริงจึงเป็นการแก่วงแบบ SHM คาบเวลาการแก่วงของมวลผกู ปลายสปริงมีคา่ ดงั สมการ

  2 m โดย k = ค่านิจของสปริง - - - - - - - -- (28)

k

เนื่องจากการหาคาบเวลาการสั่นของมวลจากผกู สปริงจากสูตรขา้ งบน จะตอ้ งเป็นสปริง
เส้นเด่ียวเท่าน้นั ดงั น้นั ถา้ มีสปริงหลายเส้นจะตอ้ งทาการยุบใหเ้ ป็นสปริงเส้นเดียวเสียก่อน จึงมีสูตร
การยบุ ค่านิจของสปริงท่ีมีการต่อในแบบตา่ งๆไดด้ งั น้ี

1. การต่อสปริงแบบอนุกรม เม่ือนาสปริงมาต่อตามกนั แลว้ ต่อกบั มวล เราสามารถยบุ
สปริงใหเ้ ป็นเส้นเดียวแลว้ หาคา่ นิจใหม่จะไดต้ ามสมการ

1 11
ke k1 k2

2.การต่อสปริงแบบขนาน เมื่อนาสปริงมาต่อขนานกนั และตอ่ กบั มวล เราสามารถยบุ
สปริงใหเ้ ป็นเส้นเดียวเละหาคา่ นิจไดจ้ ากสมการ

Ke = k1+k2

3.5 สรุปสูตรการคานวณ SHM

1. สมการการขจดั S = Asin(0   t)

2. สมการความเร็ว V = Acos( 0   t) หรือ V =   A2  S2

3. สมการความเร่ง a = - 2 Asin(0   t) หรือ a = -w2s
4. เง่ือนไขการเคลื่อนที่แบบ SHMจะได้ 
 = -k S

F

5. ความถ่ีมาตรฐานของการเคลื่อนที่แบบ SHM

T = 2 m หรือ f = 1 k

k 2 m

6. ความถี่ของการแกวง่ ลูกตุม้ นาฬิกา คาบของ SHM

T = 2   หรือ f = 1 g

g 2 

กรณีระบบมีความเร่ง   2    หรือ f = 1   
g a g a
2
 

7.ความถี่ของการส่นั ผกู ปลายสปริง T = 2 m หรือ f = 1 k

k 2 m

3.6 ตัวอย่างการคานวณการเคลอ่ื นทแี่ บบซิมเปิ ลฮาร์โมนิค

ตัวอย่างที่ 81 อนุภาคหน่ึงเคล่ือนท่ีซิมเปิ ลฮาร์โมนิคบนพ้ืนระดบั ที่มีแอมพลิจดู 10 ซม ที่จุดซ่ึงห่างจาก
จุดสมดุล 6 ซม4มีความเร็ว24 ซม/วนิ าที จงหาคาบเวลา

วธิ ีทา หา  จาก v =   A2  S2
จากโจทย์ A = 10x10-2 m , S = 6x10-2m , V =24x10-2m/s

แทนคา่ 24x10-2 =  (10x102)2  (6x102)2
 =3

แต่  = 2   2  44 ตอบ

 3 21

คาบเวลาการเคล่ือนที่ = 2.1 วนิ าที/รอบ

ตัวอย่างท่ี 82 ขอ้ มลู ต่อไปน้ีใชต้ อบคาถามขอ้ 1 ถึงขอ้ 3
อนุภาคหน่ึงเคล่ือนท่ีไดก้ ราฟการขจดั กบั เวลา ดงั กราฟ

1. กราฟระหวา่ งความเร็วกบั เวลาของอนุภาคน้ีคือ

ก. ข. ค. ง.

2. กราฟระหวา่ งความเร่งกบั เวลาของอนุภาคน้ีคือ

ก. ข. ค. ง.

3. กราฟระหวา่ งพลงั งานจลนก์ บั เวลาของอนุภาคคือ

ก. ข. ค. ง.

วธิ ีทา โจทยก์ าหนดกราฟการขจดั กบั เวลามาใหเ้ ป็นกราฟรูป cosin curve

1.หาลกั ษณะกราฟระหวา่ ง v กบั t จาก V= ds  d ( cosin curve)

dt dt

= -sine curve

กราฟ v กบั t เป็น -sine curve ตอบขอ้ ค.

2. หาลกั ษณะกราฟระหวา่ ง a กบั t จาก V= ds  d (-sine curve)

dt dt

=- cosin curve

กราฟ a กบั t เป็น cosin curve ตอบขอ้ ข.

3. หาพลงั งานจลนข์ องอนุภาคจาก EK= 1 mv2
2

แต่ v มีคา่ แปรเปล่ียนไปตามกราฟ sine curve เม่ือยกกาลงั สองจะทาใหค้ ่าของ v2 เป็นบวก
เพียงอยา่ งเดียวแตร่ ูปยงั คงเป็ นกราฟรูป sine curve อยู่ ตอบขอ้ ก.

กราฟความสมั พนั ธ์ที่ไดจ้ ากการวเิ คราะห์

ตวั อยา่ งท่ี 83 อนุภาคหน่ึงไดร้ ับแรงเปล่ียนแปลงตามเวลาดงั กราฟรูป กราฟรูปใดแทนกราฟความเร็ว
กบั เวลาของอนุภาคน้ี

วธิ ีทา จากสมการ    มวลมีค่าคงท่ี ดงั น้นั ค่าของแรงจะแปรผนั ตามความเร่ง เมื่อขนาด
F ma

ของแรงเปลี่ยนแปลงดงั กราฟรูป -sine curve จะไดค้ วามเร่งแปรตามเวลาเป็น

-sine curveดว้ ย

จาก a = dv ตอบขอ้ ข

dt

a = d ( cosin curve)

dt

 a =- sine curve
 กราฟ v กบั t จะเป็นรูป cosin curve

ตวั อย่างท่ี 84 มวลใดๆ กาลงั เคล่ือนที่แบบ ดว้ ยแอมพลิจุดและมีความถี่เชิงมุม จงหาวา่
ก. ความเร็วมากที่สุดและนอ้ ยที่สุดมีใด และเกิดข้ึนที่ตาแหน่งใดขนาดเท่า
ข. ความเร่งมากท่ีสุดและนอ้ ยที่สุดมีใด และเกิดข้ึนที่ตาแหน่งใดขนาดเท่า

วธิ ีทา ก. พจิ ารณาสมการ v =   A2  S2
ความเร็ว v จะมากที่สุด เม่ือ A2-S2 มีคา่ มากที่สุด แสดงวา่ S=0

Vmax =   A2  0  A
นนั่ คือ ความเร็วมีขนาดมากท่ีสุด A ณ ตาแหน่งสมดุล(การขจดั S=0) และ

อาจมีทิศ + หรือทิศ – กไ็ ด้ ตอบ

ความเร็ว V จะนอ้ ยท่ีสุด เมื่อA2-S2 มีค่านอ้ ยที่สุด แสดงวา่ S=A

หรือS=-A

Vmin=   A2  A2 =0

นนั่ คือ ความเร็วมีขนาดนอ้ ยท่ีสุดเทา่ กบั 0 ณ ตาแหน่งปลายสุดของการสั่น

(S=  A ) ตอบ

ข.พจิ ารณาสมการ a = -w2s

. ความเร่ง a จะมากท่ีสุด เม่ือ S มีค่ามากท่ีสุด นน่ั คือ S=  A

amax =   2A

นน่ั คือ ความเร่งมีขนาดมากท่ีสุด 2A ณ ตาแหน่งปลายสุดของการสน่ั (s =  A)

และอาจมีทิศ + หรือทิศ – กไ็ ด้

ความเร่ง a จะนอ้ ยท่ีสุด เม่ือSมีค่านอ้ ยที่สุด นน่ั คือ S=0 ตอบ

amin = -w2(0) = 0
นนั่ คือ ความเร็วมีขนาดนอ้ ยท่ีสุดเทา่ กบั 0 ณ ตาแหน่งสมดุล(S=0) ตอบ

ตัวอย่างท่ี 85 วตั ถุมวล 0.1 กิโลกรัม เคลื่อนท่ีแบบ SHM โดยมีแอมพลิจดู 1 เมตร และคาบ 0.2

วนิ าที
ก. จงหาคา่ สูงสุดของแรงที่กระทาตอ่ มวลกอ้ นน้ี
ข. จงหาคา่ คงท่ีของแรง(k)
ค. ถา้ เริ่มจบั เวลาเมื่อวตั ถุกาลงั อยทู่ ี่จุดปลายสุดของการสน่ั พอดี จงหาการขจดั

ความเร็ว และความเร่ง เมื่อเวลาผา่ นไป t วนิ าที
ง. จากขอ้ (ค) จงหาเฟสเร่ิมตน้  0 ของวตั ถุ เม่ือเริ่มจบั เวลา
จ. จากขอ้ (ค) จงหาความตา่ งเฟสเเละเปรียบเทียบสภาวะการเคล่ือนที่ของวตั ถุเม่ือ

เวลา t1=0.725 วนิ าที t2=1.525 วนิ าที และ t3=1.825 วนิ าที

วธิ ทา จากโจทย์ m =0.1 kg A = 1 m T=0.2 วนิ าที

ก. แรงมคี ่าสูงสุดเม่อื ความเร่งมคี ่าสูงสุด

จาก amax = - 2A  ( 2)2 A



amax = ( 2 )2 (1) = 986.96 m/s2

0.2

จาก F =ma จะได้ Fmax= mamax = 0.1x986.96N

Fmax= 98.7 N ตอบ

ข. จาก F = -ks และ a = -w2s

คา่ คงท่ีของแรง k หาไดจ้ าก k = mw2

แต่ w = 2  2  10 เรเดียน/วนิ าที

 0.2

แทนค่าจะได้ k = 0.1x (10 )2 = 98.7 N/m ตอบ

ค.เม่ือ t = 0วตั ถุมกี ารขจัดสูงสุดคือ S=  A ดงั น้นั เราทราบไดท้ นั ทีวา่ รูปแบบของ
สมการการขจดั ความเร็วและความเร่งจะเป็ นดงั น้ี

S = Acoswt

V = -wAsinwt

A = -w2Acoswt

แทนคา่ A =1m และ  10 เรเดียน / วนิ าที จะได้

S = cos10  t - - - -- - - -(1)

V = -10 sin10 t - - - - - - - -(2)

A = -100 2cos10 t - - - - - - - -(3) ตอบ

ง. เน่ืองจากการกาหนดเฟสของ SHM ในท่ีน้ีเราใชก้ ารเคลื่อนท่ีของเงาบนแกน Y ของ

อนุภาคท่ีเคล่ือนท่ีเป็นวงกลมเป็นหลกั ในการกาหนด ทาใหเ้ ราไดส้ มการมาตรฐานของการขจดั เป็น

S=Asin โดยท่ี  = 0+ t
ดงั น้นั เพ่ือหาเฟสเริ่มตน้ เราควรเปลี่ยนสมการ เป้ นรูปของฟังกช์ นั่ sin

จาก  S = cos10 t และ cos = sin (  + )

2

 S = sin (  +10 t)- - -- - - -- - --(4)
2

เทียบกบั สมการ S = sin( 0+  t)

จะไดเ้ ฟสเริ่มตน้ 0 =  เรเดียน ตอบ

2

จ. เมื่อเวลา t1= 0.725 วนิ าที
เฟส  1 =  0+ t)

 =  +10 (10.725)
2

1 = 31 เรดียน

4

จาก(1) การขจดั S = cos10 t

= cos10 (0.725) = -0.71m

จาก(2) ความเร็ว V = -10 sin10 t

= -10 sin10 (0.725) = 22.2m/s

จาก(3)ความเร่ง a = -100 2cos10 t

= -100 2cos10 (0.725) = 698m/s2

*เครื่องหมาย  หนา้ ตวั เลข จะบอกทิศของเวคเตอร์การขจดั ความเร็ว และความเร่ง

เมอื่ เวลา t2=1.525 วนิ าที
เฟส  2 =  0+  t

2 =  +10 (1.525)

2

2 = 63 เรเดียน

4

เม่อื เวลา t3 =1.825 วนิ าที

เฟส  3 =  0+ t3

3 =  +10 (1.825)

2

3 = 75 เรเดียน

4

 2- 1 = 63 - 31 = 8 เรเดียน ตอบ
ตอบ
44

ความตา่ งเฟส  3- 1 = 75 - 31 = 11 เรเดียน

44

 3- 2 = 75 - 63 = 3 เรเดียน ตอบ

44

ท่ีเวลา t1 กบั t2 เฟสต่างกนั เป็ นจานวนคู่ของ  (คือยใู่ นรูป2n ) ดงั น้นั เวลา t1 กบั t2 วตั ถุจะ

มีเฟสตรงกนั และจะมีสภาวะการเคล่ือนที่เหมือนกนั ทุกประการคือ

การขจดั S = -0. 71m ตอบ

ที่เวลา t1และ t2 ความเร็ว V = 22.2m/s ตอบ
ความเร่ง a = 698m/s2 ตอบ

เฟสที่เวลา t3 จะตา่ งเฟสที่เวลา t1 และ t2 เป็นจานวนค่ีของ  คืออยใู่ นรูป (2n+1) 
ดงั น้นั ท่ีเวลา t3 วตั ถุจะมีเฟสตรงขา้ มกบั เวลา t1 และ t2 นนั่ คือมีขนาดของ s,v และ a เท่ากนั แตท่ ิศ
ตรงขา้ มกนั ท้งั หมด ดงั น้นั เราสรุปไดท้ นั ทีวา่

การขจดั S = 0. 71m ตอบ

ท่ีเวลา t3 ความเร็ว V = -22.2m/s ตอบ
ความเร่ง a = -698m/s2 ตอบ

เราสามารถตรวจคาตอบโดยการแทนค่า t2 และ t3ในสมการ (1),(2),และ(3)

ตัวอย่างท่ี 86 ยงิ ลูกปื นมวล 10 กรัม พงุ่ เขา้ ชนแท่งไมม้ วล 90 กรัม ซ่ึงวางอยบู่ นพ้ืนเกล้ียง ถา้ เดิมเเท่ง
วธิ ีทา ไมห้ ยดุ น่ิงและติดกบั สปริงซ่ึงมีคา่ นิจสปริง 100 นิวตนั /ม. และหลงั จากกระทบ
ลูกปื นฝังในแท่งไม้
ก. จงหาคาบและแอมพลิจูดของการแกวง่

ข. ในระหวา่ งการส่ัน จงหาความเร็วและความเร่งขณะที่มีการกระจดั –0.02 เมตร จาก
จุดสมดุล

ค. ถา้ ขณะที่แทง่ ไมก้ าลงั ผา่ นจุดสมดุลไปในทิศ + เป็นเวลา t = 0 จงหาการกระจดั ,
ความเร็วความเร่งและแรงท่ีกระทา ณ เวลา t ใด ๆ และเมื่อ t = 0.32 วนิ าที

ก.หาความเร็วของแท่งไม้
 
=กอ่ นชน
P  P หลงั ชน

แทนคา่ mv+0 = (m+M)V

10x10-3x10 = (10x10-3+90x10-3)v

ความเร็วหลงั ชน V = 1m/s

หาแอมพลิจูดจากพลงั งาน E1 = E2
แทนค่า 1 (m+M)V2 = 1 kA2

22

(10+90)x10-3x1 = 100 A2:A2=10-3
แอมพลิจูดการสั่น A = 0.032m

หาคาบจาก   2 m
k

แทนค่า   2 (90 10)x103 ตอบ
คาบของการส่ัน 100

 = 0.199 วนิ าที

ข.เราสามารถกาหนดเอาเองได้ว่าทศิ ใดเป็ นทิศบวกหรือทิศลบ ในที่น้ีเราจะใหบ้ วกไปทางขวา

มือและลบไปทางซา้ ยมือ

เม่ือมวลมีการขจดั X = -0.02m หมายถึงอยหู่ ่างจากจุดสมดุลไปทางซา้ ยมือ0.02m

หาความเร็วไดจ้ าก V =  A2  X 2 ---------

ความถี่เชิงมุม  = 2  2

t 0.199

= 31.6 เรเดียน/วนิ าที

แทนคา่ ในสมการที่  จะได้ V =  31.6 (0.032)2  (0.02)2

V =  0.77 m/s

ความเร็ว V ขณะท่ีมีการขจดั -0.02m มีขนาด0.77m/s และอาจมีทิศบวกหรือลบ ตอบ

หาความเร่งไดจ้ าก a = - 2x

a = (31.6)2-(-0.02) = 20m/s2

ความเร่ง a ขณะที่มีการขจดั -0.02m มีขนาด20m/s2 และมีทิศบวก ตอบ

ค.ขณะเวลาn t=0 มีมวลการขจดั เริ่มตน้ เป็น 0 และมีความเร็วในทิศบวก ดงั น้นั ในรูปแบบ

สมการการขจดั ความเร็วและความเร่ง คือ

การขจดั X = Asin t

ความเร็ว V =  Acos t

ความเร่ง a = - 2A sin t

แทนค่า A = 0.032m  = 31.6 เรเดียน/วนิ าที จะได้

X = 0.032sin31.6t - - - - - - - - - ตอบ

V = 31.6(0.032)cos31.6t

V = 1.01cos31.6t - - - - - - - - - ตอบ

a = -(31.6)2(0.032)sin31.6t

a = -32sin31.6t - - - - - - - - ตอบ

แรงลพั ธ์ท่ีกระทาตอ่ วตั ถุ F = (m+M)a ตอบ

= 100x10-3(-32sin31.6t) ตอบ
ตอบ
F = -3.2sin31.6t - - - - - - - - - - ตอบ
ตอบ
เม่ือเวลา t = 0.32 วนิ าที

X = 0.032sin( 31.6x 0.32) = -0.02 m

V = 1.01cos(31.6x0.32) = -0.77 m/s

a = -32sin(31.6x 0.32) = 20 m/s2

F = -3.2sin (31.6x0.32) = 2 N

ตัวอย่างท่ี 87 นามวล m มาผกู ติดกบั สปริงซ่ึงมีค่านิจสปริง K และแขวนในแนวด่ิงจุดสมดุลปกติของ
สปริงแลว้ ปล่อยมือ มวล m จะเร่ิมเคลื่อนที่โดยมีความเร็วตน้ เป็ น 0 และส่นั แบบ SHM ถา้
กาหนดให้ m = 4kg , K = 16 2 N/m และ g = 9.87 m/s2   2 m/s2 จงหา

ก . ตาแหน่งของแนวสมดุลของการสัน่
ข . คาบ, คามถี่เชิงมุมของกการส่ัน
ค . แอมปลิจูดของการสน่ั
ง . การขจดั ความเร็ว ความเร่งและแรงลพั ธ์ ณ เวลา t ใดๆ ถา้ เร่ิมจบั เวลาเม่ือปล่อยมือ

วธิ ีทา ก . ใหแ้ นว P เป็นแนวสมดุลปกติของสปริงและแนว Q เป็นแนวสมดุลของกกการสน่ั แนวท้งั
สองห่างกนั 
ขณะมวล m อยทู่ ่ีแนว Q จะมีแรลพั ธ์เป็น 0

 k = mg

 = mg  4x2 = 0.25 m

k 162

 แนวสมดุลของการส่นั อยตู่ ่ากวา่ แนวสมดุลปกติของสปริงเป็ นระยะ = 0.25 m ตอบ

ข . คาบ   2 m
k

แทนคา่   2 4 = 1 ตอบ

162

ความถ่ี f = 1  1  1 รอบ/วนิ าที

1

ความถ่ีเชิงมุม   2  2  2 เรเดียน/วนิ าที ตอบ
1

ค. เน่ืองจากมวล m เคล่ือนท่ีภายใตแ้ รงโนม้ ถ่วงและแรงสปริง ดงั น้นั พลงั งานรวม ณ ตาแหน่ง

ใดๆมีคา่ คงที่ถา้ ใหต้ าแหน่ง R เป็นตาแหน่งต่าสุดของการเคลื่อนท่ีระยะระหวา่ งแนว Q กบั แนวR

คือแอมพลิจุด A นน่ั เอง ดงั น้นั ระยะระหวา่ งแนว P กบั แนว R คือ   A=0.25+Aเมตร
จาก Eรวมที่จุด P = Eรวมที่จุด R

EKP+EPP(โนม้ ถ่วง)+EPP(สปริง) = EKR+EPR(โนม้ ถ่วง)+EPR(สปริง) 1 k(0.25+A)2
2

แทนค่า 0+mg(0.25+A)+0 = 0+0+ 1 k(0.25+A)2

2

1 k(0.25+A)2-mg(0.25A) = 0

2

(0.25A)[ 1 k(0.25+A)-mg] = 0 ; 0.25  0

2

1 k(0.25+A)-mg = 0

2

0.25+A = 2mg

k

A = 2mg - 0.25 = 2(4)2 - 0.25
k 162

A = 0.25m ตอบ

ง. เมื่อเวลา t มวล m มีการขจดั เร่ิมตน้ +A และมีความเร็วเป็น 0 ดงั น้นั รูปของสมการการขจดั

ความเร็วและความเร่งท่ีเวลา t คือ

การขจดั y = Acos t

ความเร็ว v = - Asin t

ความเร่ง a = - 2Acos t

แทนคา่ A และ  จะได้ y = 0.25cos 2 t ตอบ

v = -2 (0.25)sin2 t

v = -0.5 sin2 t ตอบ
a = -(2 )2(0.25)cos2 t ตอบ
a = - 2cos2 t

ตวั อย่างท่ี 88 ลูกตุม้ แขวนดว้ ยเชือกยาว 1 เมตร แกวง่ ไปมาดว้ ยคาบ 2.009 วนิ าที ถา้ ลูกตุม้ แขวน
ดว้ ยเชือกยาว 16.00 เมตร จะแกวง่ ดว้ ยคาบเทา่ ไร

วธิ ีทา คาบการแกวง่   2  - - - - - - - - -
g

ถา้  1=1 m T1= 2.009 s จะได้ T1 = 2 1 g - - - - - - - - -

ถา้  2=16 m T2= ? จะได้ T2  2  2 g - - - - - - - -
ตอบ
/ ; 2   2
1 1

แทนค่าจะได้ 2  16
2.009 1

2 = 8.036 วนิ าที

ตัวอย่างที่89 ลูกตุม้ นาฬิกาอยา่ งง่ายมีความยาว  มวล m แขวนอยใู่ นรถที่กาลงั เคลื่อนที่ดว้ ยอตั รา
เร็วคงที่ รอบวงกลมท่ีรัศมี ถา้ ลูกตุม้ แกวง่ รอบตาแหน่งสมดุลเลก็ นอ้ ยในแนวรัศมี ความถ่ี
ของการแกวง่ จะเป็นเทา่ ไร

วธิ ีทา ลูกตุม้ แกวง่ ในระบบที่มีความเร่ง  ซ่ึงเป็นความเร่งสู่ศนู ยก์ ลาง ดงั น้นั เราหาความถ่ี ได้
ac

จาก

f= 1  1    - - - - - -- - 
g ac

 2 

    ac2  g2 =  V 2 2  g2
g a  R 

= (v4/R2+g2)1/2

แทนค่าใน  จะได้ f = 1 (v4 / R2  g2)1/ 2 ตอบ

2 

ตวั อย่างที่ 90 ลูกตุม้ นาฬิกาแขวนดว้ ยเชือกยาว 2 เมตร จงหาความถ่ีของลูกตุม้ ในกรณีตอ่ ไปน้ี
ก. แกวง่ บนพ้นื โลก
ข. แกวง่ ในลิฟทข์ ้ึนดว้ ยความเร่ง 2 m/s2
ค. แกวง่ ในลิฟทล์ งดว้ ยความเร่ง 2 m/s2

วธิ ีทา ก. แกวง่ บนพ้ืนโลกจะได้ f = 1 g

2 

แทนคา่ จะได้ f = 1 10  5

2 2 2 ตอบ

= 0.356 รอบ/วนิ าที

ข.เม่ือแกวง่ ในลิฟทท์ ี่เคลื่อนท่ีข้ึนดว้ ยความเร่ง 2 m/s2

ขนาดของความเร่งลพั ธ์ของลูกตุม้ เม่ือเทียบกบั คนในลิฟท์

g  a = 10 + 2 = 12 m/s2

ความถ่ีของการแกวง่ f = 1   
g a

2 

แทนคา่ f = 1 12
2 2

= 0.39 รอบ/วนิ าที ตอบ

ค. เมื่อแกวง่ ในลิฟทท์ ่ีเคล่ือนที่ลงดว้ ยความเร่ง 2

ขนาดของความเร่งลพั ทข์ องลูกตุม้ เทียบกบั คนในลิฟท์

   = 10-2 = 8 m/s2
g a

ความถี่ของการแกวง่ f = 1   
g a

2 

แทนค่า f = 1 8 = 0.318 รอบ/วนิ าที ตอบ

2 2

ตวั อย่างท่ี 91 จากรูปต่อไปน้ี จงหาคาบเวลาการแกวง่ ของมวล m

วธิ ีทา ในแต่ละรูปที่โจทยก์ าหนดใหม้ า ทาการยบุ เป็นสปริงเส้นเดียวเสียก่อน จึงหาคาบเวลา
จาก   2 k

m

จากรูปสปริง 3ตวั ต่ออยา่ งอนุกรมกนั ยบุ ใหเ้ หลือสปริง 1 ตวั ดงั รูป

1 111
ke k1 k2 k3
1  k2k3  k3k1  k1k2
ke k1k2k3

จากสูตร   2 m
ke

แทนค่าจะได้   2 m(k 2k3  k3k1  k1k 2 ) ตอบ

k1k 2 k 3

จากรูป สปริง k1 และ k2 ตอ่ ขนานกนั ยบุ เป็น 1 ตวั แลละตอ่ อนุกรมกบั k3 ดงั รูป

1 1 1
ke k1  k2 k3

1  k3k1k2
ke (k1  k 2 )  k3

จาก   2 m จะได้   2 m(k1  k 2  k3 ) ตอบ
(k1  k 2 )k3
ke

จากรูป ถา้ ทาใหว้ ตั ถุเสียสมดุลไปเป็นการขจดั = x

สปริง k1 เกิดระยะหด x  เกิดแรง F1 = k1x
สปริง k2 เกิดระยะหด x  เกิดแรง F2 = k2x

= -k1x-k2x = -(k1+k2)x
จากสมการ FX แสดงวา่ มวล m ส่ันแบบ SHM โดยมีค่าคงที่เท่ากบั (k1+k2)

จาก   2 m

k

  2 m ตอบ
k1  k2

หมายเหตุ แสดงวา่ การต่อสปริงดงั รูปขา้ งตน้ มีผลเหมือนกบั การต่อสปริงแบบขนาน

ตัวอย่างท่ี 92 รถยนตค์ นั หน่ึงมีมวล 1000 กิโลกรัม ชาย 4 คน มีมวลรวมกนั 200 กิโลกรัม เขา้
ไปนง่ั ในรถ รถจะยบุ ลงไป 5 เซนติเมตร จงแสดงวา่ ความถ่ีของการส่นั ของรถมีคา่

1g
2 0.3

วธิ ีทา ก. ใหห้ าคา่ นิจของสปริงเสียก่อนจากระยะยบุ

ข. หาความถ่ีจาก f  1  1 k

t 2 m

หาคาบเวลาของมวลผกู ปลายสปริง

เดิมมวลของรถ 1000 กิโลกรัม ทาใหย้ บุ ตวั ลงดงั รูปที่ (1) เมื่อมีมวลคนเพม่ิ อีก 200 กิโลกรัม
ทาใหส้ ปริงยบุ ตวั จากเดิม 5 เซนติเมตร ดงั รูปท่ี (2)

จาก F = k x
200g = k(0.05)

จาก   2 k

m
  (M  m)

400g

  2 1200 = 2 0.3
4000g
g

แต่ f = 1  1 g ตอบ

 2 0.3

ตวั อย่างท่ี 93 มวล m ผกู ไวด้ ว้ ยเชือกท่ียาวเท่ากนั 2 เส้น ซ่ึงขึงไวก้ บั กาแพงดงั รูป สมมติให้

เชือกมีค่ามาก จนกระทง่ั การเปล่ียนแปลงของแรงดึง เนื่องจากการขจดั เลก็ ๆ
ละทิ้งไดเ้ ช่นเดียวกบั แรงเน่ืองจากความโนม้ ถ่วง จงพสิ ูจน์วา่ สาหรับการขจดั
x เล็กๆ การเคลื่อนที่จะเป็ นแบบ SHM และจงหาคาบของการส่นั

วธิ ีทา ก. ใหห้ าแรงเขา้ สู่แนวสมดุลในรูปของ F = -k x เพอื่ หาค่านิ

ข. หาคาบเวลาจาก   2 m

k

 แรงดึง T ในเชือกมีค่ามากกวา่ mg มากๆ ดงั น้นั จึงไมค่ ิดแรง mg

จากรูป แรงสู่แนวสมดุลคือ 2Tcos 

 F  2cos - - - - - - -

วตั ถุเคลื่อนที่แบบ SHM ไดเ้ ม่ือ F x

จากรูป cos = 

( )2  2
2

แต่ X มีค่านอ้ ยมากเม่ือเทียบกบั ดงั น้นั x2 กย็ ง่ิ มคี ่านอ้ ยมาก

ดงั น้นั ค่า (  )2  x2 = (  )2 = 
2 2 2



แทนค่า cos ; cos =   2

2

แทนค่า cos ใน  ;  F  2( 2 )  ( 4 )
 

แต่ 4 มีค่าคงที่  F


นน่ั คือมวล m สนั่ แบบ SHM โดยมี k = 4



จาก   2 m  คาบการสนั่ = 2 m ตอบ

k 4

ตวั อย่างท่ี 94 กรอกปรอท 9 กิโลกรัมในหลอดแกว้ รูปตวั ยู ซ่ึงมีเส้นผา่ ศนู ยก์ ลาง 1.2 ซม. จะ

กระเพื่อมข้ึนลงรอบตาแหน่งสมดุล คาบเวลาของการกระเพือ่ มข้ึนลงเป็นเทา่ ใด

กาหนดความหนาแน่นสัมพทั ธ์ปรอท = 13.6

สมมติวา่ ปรอทในขาขา้ งซา้ ยกระเพ่ือม

ข้ึนสูงจากแนวสมดุลเป็นระยะ h

พิจารณาในช่วงความสูง h ซ่ึง

เคลื่อนท่ีแบบชิมเปิ ลฮาร์โมนิค

F  mg  qvg  qAhg

= - q (d 2 ) hg

4

= - (qd2g) X

2

= -q (d2 )(2X) g

4

  F โดยที่ k = qd2g = 30.76
ตอบ
แทนคา่ 2
จาก
k = 13.6x10-3 x 22 (1.2x102)2 x10

72
  2 m

k

  2x 22 9 = 3.4 S

7 30.76

ตัวอย่างท่ี 95 จากรูปปล่อยมวล m เลก็ มากลงมาบนสปริง มีผลทาใหส้ ปริงยบุ ลงไป x และ
มวล m ติดปลาย เคลื่อนที่ส่ันข้ึนลงแบบ SHM จงหาคาบของการสั่น

วธิ ีทา หาค่านิจของสปริงจาก E1 = E2

แทนคา่ mg(X+Y) = 1 k x2

2

k = 2mg(X  Y )

X2

หาคาบการแกวง่ ของมวล m จาก   2 m

k

แทนคา่   2 mX 2

2mg(X  Y

  2 X2 ตอบ

2g(X  Y)

*********************************************************************************