Lecture № 3 Karno kart

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

ЛЕКЦ №3

БҮЛЭГ 3. БУЛИЙН АЛГЕБРЫН ХЭРЭГЛЭЭ
Энэбүлэгтбиддараахчадваруудыголжавна.

1. Өгөгдсөн логик хэлхээ, тодорхойлолтонд тохирох функцыг алгебрын илэрхийлэл болон үнэний хүснэгт ашиглан
тодорхойлох

2. Өгөгдсөн үнэний хүснэгтээс минтерм (minterm) хэлбэр (үржвэрүүдийн нийлбэр) болон макстерм (maxterm)
хэлбэр (нийлбэрүүдийн үржвэр)-т илэрхийллүүд, тэдгээрийн инверсийг үсгэн болон тоон тэмдэглэлээр бичих

3. Өгөгдсөнилэрхийллийгminterm болонmaxterm хэлбэртхувиргах
4. nхувьсагчтайфункцынминтермболонмакстермхэлбэрийнерөнхийхэлбэрийгбичих
5. Заримфункцуудяагааддурынгишүүн(don't-care term) агуулдгийгтайлбарлах
6. Бүтэн нэмэгч болон хасагчийн ажиллагааг тайлбарлах, тэдгээрийн логик илэрхийллийг гаргах мөн зэрэгцээ

(parallel) нэмэгчболонхасагчийнблокдиаграммыггаргаж,гаралтындохионыдиаграммыгзурах

Комбинацынлогик хэлхээг өгөгдсөн тодорхойломжийндагуузохиохынтулд эхлээд өгөгдсөнтодорхойлолтуудыг үнэний
хүснэгт эсвэл алгебрын илэрхийлэлд хувиргах шаардлагатай. Үүний дараа Булийн функцын үнэний хүснэгтээс минтерм
(үржвэрүүдийн нийлбэр) болон макстерм (нийлбэрүүдийн үржвэр) буюу үндсэн хоёр хэлбэрт илэрхийллийг бичиж хялбарчлаад
OR болон AND логик элемент ашиглан хэлхээг зохиодог.

3.1 Үгэн тодорхойлолтуудыг Булийн илэрхийлэлд хувиргах

Нэг гаралттай комбинацын түлхүүрэн хэлхээ зохиоход үндсэн гурван алхам байдаг.

1. Өгөгдсөнтодорхойлолтондтохирохтүлхүүрэнхэлхээнийфункцыгтодорхойлох
2. Олсонфункцээхялбарчлах
3. Хялбарчлагдсан функцэд тохирох хэлхээг логик элементүүдашигланзохиох

Хялбар бодлогын хувьд өгөгдсөн тодорхойлолтуудаас гаралтын функцын алгебрын илэрхийллийг шууд гаргах боломжтой
боловч бусад тохиолдолд эхлээд үнэний хүснэгтийг байгуулаад түүнийгээ ашиглан гаралтын функцын хялбар хэлбэрийг гаргах нь
илүүоновчтойбайдаг.

Логик дизайны бодлогуудын тодорхойлолтууд нь ихэвчлэн хэд хэдэн өгүүлбэрээр өгөгддөг. Тиймээс эхлээд эдгээр
өгүүлбэрүүдийг Булийн илэрхийлэлд хувиргах хэрэгтэй. Хувиргахын тулд өгүүлбэрийг хэд хэдэн хялбар, богино дэд
өгүүлбэрүүдэд хуваагаад, дэд өгүүлбэр бүрийг Булийн хувьсагчаар төлөөлүүлэн илэрхийлэл болгон нэгтгэн бичдэг. Хэрэв дэд
өгүүлбэр нь ҮНЭН ба ХУДАЛ гэсэн төлөв байж чадах юм бол бид түүнийг

Булийн хувьсагчаар илэрхийлж чаднагэсэн үг юм. Тухайлбал: "Тэр эмэгтэйдэлгүүр явдаг" болон"өнөөдөрбол даваагараг" гэдэг
хоёрбогиноөгүүлбэр хоёулааүнэнэсвэлхудалтөлөвтэйбайжчадна.ТиймээсүүнийгбидБулийн хувьсагчаарилэрхийлжболно.
Харин "Дэлгүүр яв" гэх мэт тушаал бол Булийн хувьсагчаар илэрхийлэгдэх боломжгүй болно. Хэрэв өгүүлбэр нь хэд, хэдэн дэд
өгүүлбэртэй бол бид хаалт ашиглаж болно. Жишээ болгон дараах өгүүлбэрийг авч үзье.

ХэрэвМаридаваагарагийнорой, гэрийндаалгавраахийгээддууссан

болтэртелевизорүздэг.

“Хэрэв”болон “бол”–альчдэдөгүүлбэрторохгүйбөгөөдөгүүлбэрүүдийнхоорондынуялдаахолбоогхаруулдаг.
Дээрх дэд өгүүлбэрүүдэд тохирох хоёр утгат хувьсагчуудыг тодорхойлъё.
ХэрэвМарителевизорүзсэнньүнэнболF=1,худалболF=0
Хэрэв даваа гарагийн орой нь үнэн бол A = 1, худал бол A = 0
Хэрэв тэр даалгавраа хийгээд дууссан нь үнэн бол B = 1, худал болB = 0
Бүтэн өгүүлбэрийн хувьд А болон В хоёулаа үнэн үед Fнь үнэн байх ёстой тул энэ нөхцөлд бид илэрхийллийг
F=A·Bгэжбичнэ.

Өгөгдсөн тодорхойлолтуудаас гаралтын функцын алгебрьиилэрхийллийгшуудгаргахөөрнэгжишээавчүзье.

Дохиоллын товч дарагдсан болон хаалга хаагдаагүй эсвэл 18 цаг өнгөрсөн болон цонх хаагдаагүй үед дохиолол дуугарна.

ДэдөгүүлбэрбүрийгБулийнхувьсагчашиглантэмдэглэвэл:

Суурь мэдлэг

1

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Дохиоллын товч дарагдсан болон хаалга хаагдаагүй эсвэл 18 цаг өнгөрсөн

А В' С
болон цонх хаагдаагүй үеддохиолол дуугарна.

D' Z

ЭндZ=1ньдохиололдуугарахыг,дохиоллынтовчдарагдсанболA=1,18 цагөнгөрсөнболС=1,хаалгахаагдсаныг
ВгэвэлхаагдаагүйньВ'буюуB=1ньхаалгахаагдсаныг,харинВ'= 1(B= 0)ньхаалгахаагдаагүйгилэрхийлнэ.Үүнтэйадилаар
цонххаагдсаныгD=1,хаагдаагүйгD'=1илэрхийлнэ.ИймээсбүтэнөгүүлбэрийнБулийнилэрхийлэлньZ=АВ'+ CD'болно.

Илэрхийлэлд тохирох логик схем нь дараах болно.

3.2 Үнэний хүснэгт ашиглан комбинацын логик зохиох

Үнэнийхүснэгташигланлогиксхемхэрхэнзохиохыгавчүзье.

Зураг2.1(а)-дүзүүлсэнтүлхүүрэнхэлхээнь3-оролттой,1-гаралттайхэлхээбөгөөдN 2-т.с-ийнтооныэхнийбитийгА, хоёрдахь
битийгВ,гуравдахыбитийгСоролтилэрхийлнэ.Харинхэлхээнийгаралтf-ийнхувьдхэрэв N≥0112болf = 1буюухэрэв
N < 0112болf = 0 байна.

Зураг 3.1(b)-д хэлхээний гаралтын функцэд харгалзах үнэнийхүснэгтийгхаруулав.

A В С f f'
0 000 1
0 010 1
0 100 1
0 111 0
1 001 0
1 011 0
a) 1 1 0 1 0
1 111 0

b)

Одообидүнэнийхүснэгтээсгаралтынфункц1-тэйтэнцүү(f=1)байхA, В, С хувьсагчуудийн комбинацуудыг түүн авч
гаралтын функцын алгебрын илэрхийллийг бичихёстой.Энддараахкомбинацуудгарчбайна.

A= 0, В=1,С =1үед A'ВС =1
100үедАВ'С'= 1
101үед AB'C= 1
110үедABC' = 1
111үедABC= 1

Эдгээр комбинацуудын хооронд OR үйлдэл хийвэл:
f = A'BC + АВ'С'+ AB'C + АВС'+ ABC (3-1)

Илэрхийлэлд гишүүдийгнэгтгэн A'-ийгхасвалдарааххэлбэрторжхялбарчлагдана.

f =А'ВС + АВ'+АВ=А'ВС+А = А + ВС (3-2)
(2-2)илэрхийлэлдтохирохлогикхэлхээгзурвал:

Суурь мэдлэг
2

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

болно.

Дээр бид гаралтын функц 1-тэй тэнцүү байх үеийг ашиглан гаралтын функцын илэрхийлэл болон логик хэлхээг гаргасан
бол үүний эсрэгээргаралтын функц 0-тэй тэнцүү байх үеийг ашиглан гаралтын функцын илэрхийлэл болон
хэлхээг гаргаж болно. Үүний тулд f =0 байх A, В, С хувьсагчуудын комбинацуудыг түүн авч гаралтын
функцын алгебрын илэрхийллийг бичих ёстой. Энд дараах комбинацууд гарч байна.

А= В = С = 0 үед А+ В + С = 0

001 үед A + В + С' = 0

010 үед A + В' + С = 0

Эдгээр комбинацуудын хооронд AND үйлдэл хийвэл:

f=(A+B + С)(А +В + С')(А +В'+С) (3-3)

Дээрх илэрхийлэлд гишүүдийг нэгтгэн гишүүнчлэн үржүүлэх чанар-II-ыг ашиглавал дараах хэлбэрт
хялбарчлагдана.

f=(A + В)(А + В'+С) = А + В(В'+ С) = А+ВС (3-4)

Үүнээс гадна (2-3) илэрхийллийг гарган авах өөр нэг арга бол f-ийг үржвэрүүдийн нийлбэр хэлбэрт
бичин түүний гүйцээлтийг олох юм.

Зураг 2.1-ээс f'=1 байх оролтын комбинацуудыг түүн бичвэл:
ABC =000, 001, 010 бөгөөд

f=A'B'C'+A'B'C + A'BC' (3-5)

f'буюу (3-5)-аас инверс авбал (3-3) илэрхийлэл олдоно.
3.3 Макстерм ба минтерм хэлбэрийн илэрхийлэл

(3-1) илэрхийллийн гишүүдийг минтерм гэх бөгөөд п хувьсагчийн минтерм гэдэг нь хувьсагч
бүр нь үндсэн хувьсагч эсвэл инверс хэлбэрээрээ заавал нэг удаа (хоёулаа зэрэг биш) агуулагдах п

литералуудын үржвэр юм. (аливаа нэг хувьсагчийн шууд эсвэл урвуу утгыг литерал (literal) гэнэ)
Хүснэгт 3.1-д A, В, С гурван хувьсагчийн хувьд бүх минтермийг үзүүлэв. Минтерм бүр A, В, С гурван
хувьсагчуудын аль нэг комбинацын үед 1-тэй тэнцүү байх ба энд A = В = С = 0 үед A'B'C = 1, хэрэв A
+ В = 0 ба С =1 үед A'B'C =1 гэх мэтээр үргэлжилж байна. Минтермүүдийг ихэвчлэн хураангуй
байдлаар А'В'С'-т0, А'В'С'-т1гэх мэт m-ээр (жижиг) тэмдэглэдэг бөгөөд энд i ньүнэний хүснэгтийн
мөрийн дугаар 10-т.с-д бичигдсэн байдаг.

Хүснэгт 3.1 Гурван хувьсагчтай минтерм ба макстермүүд
Д/д A В С Минтермүүд Макстермүүд

0 0 0 0 A'B'C'= т0 А'+ В'+ С' = М0
1 0 0 1 A'B'C = т1 А'+В'+С= М1
2 0 1 0 A'BC'=т2 А'+ В + С' = М2
3 0 1 1 A'BC =т3 А'+ В + С =М3
4 1 0 0 AB'C'=т4 A + В'+ С' = МА
5 1 0 1 AB'C=т5 А + В ' + С =М5
6 1 1 0 ABC'= т6 А + В + С'=М6
7 1 1 1 ABC = т7 А + В + С =М7

(3-1) илэрхийллийн минтермүүдийн нийлбэр хэлбэрт бичигдсэн хэлбэрийг минтерм
хэлбэр (mintermexpansion)буюу үржвэрүүдийн стандар нийлбэр (standardsumofproducts)гэж
нэрлэдэг. Үнэний хүснэгтийн i дугаар мөрийн хувьд f= 1 бол минтерм хэлбэрт mi-ээр

Суурь мэдлэг

3

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

илэрхийлэгдэн бичигддэг бөгөөд энэ нь үнэний хүснэгтийн зөвхөн i дүгээр мөрөн дэх

хувьсагчуудын утгын комбинацид харгалзах f-ийн утга 1-тэй тэнцүү (mi= 1) байна гэсэн санааг
агуулна. Мөн fдэх минтермүүд нь үнэний хүснэгт дэх f-ийн зөвхөн 1гэсэн утгатай нэг нэгээрээ
харгалзах тул минтерм хэлбэр нь fфункцынхувьд цорын ганц байдаг. (3-1) илэрхийллийг
mтэмдэглэгээ ашиглан дараах байдлаар бичиж болно.

f(A,В,С ) = m3+m4+m5+m6+m7 (3-5)

Үүнээс гадна түүнийг 10-тын индекс ашиглан бичиж болдог.

f(A,В,С ) = Σm(3, 4, 5, 6, 7) (3-5а)

(3-3) илэрхийлэл дэх нийлбэр гишүүнийг макстерм (maxterm)гэжнэрлэх бөгөөд
nхувьсагчийн макстерм гэдэг нь хувьсагч бүр нь үндсэн хувьсагч эсвэл түүний урвуу

хэлбэрээрээ заавал нэг удаа (хоёулаа зэрэг биш) агуулагдах nлитералуудын нийлбэр юм.
Хүснэгт 3.1-д A,В,Сгурван хувьсагчийн хувьд бүх макстермийг харууллаа. Макстерм бүр
A,В,Сгурван хувьсагчийн аль нэг комбинацын үед 1-тэй тэнцүү байх ба энд A=В=С= 0 үед

A+В+С=0,хэрэв A = В = 0 б а С = 1 үед A+В+С=0 гэх мэтчилэн үргэлжилж байна.
Макстермүүдийг ихэвчлэн хураангуй байдлаар Мi-ээр (том) тэмдэглэдэг бөгөөд макстерм бүр
нь харгалзах минтермийнхээ инверс нь Мi= mi'байдаг.

(3-3) илэрхийллийн макстермүүдийн үржвэр хэлбэрт бичигдсэн хэлбэрийг макстерм
хэлбэр (maxtermexpansion)буюу нийлбэрүүдийнстандарт үржвэр (standardproductofsums)гэж

нэрлэдэг. Үнэний хүснэгтийн i дүгээр мөрийн хувьд f=0 бол макстерм хэлбэрт Мi-
ээрилэрхийлэгдэн бичигддэг бөгөөд энэ нь үнэний хүснэгтийн зөвхөн i дүгээр мөрөнд

харгалзах хувьсагчуудын утгын комбинац 0 -тэй тэнцүү (Мi=0) байна гэсэи санааг агуулна. Мөн
тэдгээрийн аль нэг нь 1-тэй тэнцүү бол хоорондоо үржигдэж f = 0 болох тохиолдол байхаас
гадна f дэх макстермүүд нь үнэний хүснэгт дэх f-ийн зөвхөн 0-үүдтэй нэг нэгээрээ харгалзах

тул макстерм хэлбэр нь fфункцын хувьд цорын ганц байдаг. (3-3) илэрхийллийг М тэмдэглэгээ
ашиглан дараах байдлаар бичиж болно.

f(A,В,С ) =M0M1M2 (3-6)

Үүнээс гадна түүнийг 10-тын индекс ашиглан бичиж болдог.

f(A,В,С ) - П M(0, 1, 2) (3-6а)

энд П нь үржвэрийг илэрхийлнэ.

10-тын тэмдэглэгээгээр өгөгдсөн л-хувьсагчийн минтерм хэлбэрээc макстерм хэлбэрийг
нь олохдоо минтерм жагсаалтанд байхгүй 10-тын бүхэл тоог (0 ≤ i ≤2n - 1) жагсаалтаар олдог.
Энэ аргыг ашиглан (3-5а)-аас (3-6а)-г шууд бичсэн болно.

fфункцын хувьд минтерм, макстерм хэлбэр өгөгдсөн үед, f-ын инверсийн хувьд минтерм болон
макстерм хэлбэрийг олоход маш хялбарбайдаг. Учир нь f= 0 үед f' = 1 байна. Тиймээс f'-ийн
минтерм хэлбэр нь f-ц байхгүй минтермүүдийг агуулна гэсэн үг юм. Иймд (2-5)-аас

f = m0 + m1 + m2 = Σm (0,1, 2) (3-7)

Дээрхийн нэгэн адил f '-ийн макстерм хэлбэр нь f-д байхгүй макстермүүдийг агуулна гэсэн үг
юм. Иймд (2-6)-аас

f = П М(3, 4, 5, 6, 7) = М3М4М5М6М7 (3-8)

Мөн минтермийн инверс нь харгалзах макстерм байдаг тул (3-5) илэрхийллээс инверс авбал (3-
8) илэрхийлэл олдоно.

f = (m3+ m4 + m5 + m6 + m7)'= m'3 m'4m'5m'6m'7 = М3М4М5М6М7

Суурь мэдлэг
4

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Дээрхийн нэгэн адил (3-6) илэрхийллээс инверс авбал (3-7) илэрхийллийг олж болно.

f ' = {M0M1M2)'= M'0M'1M'2= m0 + m1 + m2

Түлхүүрэн хэлхээний илэрхийллүүд нь еренхийдөө үнэний хүснэгт болон алгебрын
аргаар минтерм, макстерм хэлбэрт хувиргагддаг боловч хувьсагчуудын утгын бүх ялгаатай
комбинацын хувьд илэрхийллийг үнэлэх байдлаар үнэний хүснэгтийг байгуулсан тохиолдолд
минтерм болон макстерм хэлбэрийг үнэний хүснзгтээс дээрх аргуудаар олдог. Үүнээс гадна
минтерм хэлбэрийг олох нэг арга бол эхлээд үржвэрүүдийн нийлбэр илэрхийллийг бичээд
орхигдсон хувьсагч бүр дээр X + X' =1 теоремыг хэрэгжүүлэх замаар олох арга юм.

Жишээ:f(a,b,с,d)=a'(b'+d)+acd'илэрхийллийн минтерм хэлбэрийг бич.

f=a'b'+a'd+acd'

=a'b'(c+c')(d+d')+a'd(b+b')(c+c')+acd'(b+b')

-a'b'c'd'+a'b'c'd+a'b'cd'+a'b'cd+a'b'c'd + a'b'c'd+a'bc'd+a'bcd+abcd'+ab'cd' (2-9)
X + X = X тул давхардсан гишүүдийг устган илэрхийллийг 10-тын тэмдэглэгээнд шилжүүлбэл:

f = a'b'c'd'+a'b'c'd+a'b'cd'+a'b'cd+a'bc'd+a'bcd+abcd'+ab'cd'

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 11 0101 0111 1110 1010

f = Σm(0,1,2,3,5,7,10,14) (3-10)

Эндээс макстерм хэлбэрийг агуулаагүй f-нутга буюу минтермүүдийг 10-т.с-ээр жагсаан бичье.

f = П M(4,6,8,9, 11, 12, 13, 15)

Харин одоо нийлбэрүүдийн үржвэрийг олоод, нийлбэр гишүүн бүрийн орхигдсон хувьсагч
бүрд XX' = 0 теоремыг хэрэгжүүлж макстерм хэлбэрийг бичье. 2-9 илэрхийллийн хувьд:

f=a'(b'+d)+acd'

=(a'+cd')(a+b'+d)=(a'+c)(a'+d')(a+b'+d)
= (a'+ bb'+с+dd')(a'+bb'+cc'+d')(a+b'+cc'+d)

= (a'+ bb'+c+d)(a'+bb'+c+d')(a'+bb'+c+d')(a'+bb'+c'+d')(a+b'+cc'+d)

=(a'+b+c + d)(a'+b'+c+d)(a'+b+c+d')(a'+b'+c+d )

1000 1100 1001 1101

(a'+b+c'+d')(a'+b'+c'+ d')(a+b'+ c +d)(a + b'+c'+d)

1011 1111 0100 0110

= П М(4, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 15) (3-11)

Макстермүүдийг 10-тын тэмдэглэгээнд шилжүүлэхдээ эхлээд инверстэй тэмдэглэгдсэн
хувьсагчийг 1-ээр, тэмдэглэгдээгүйг 0-ээр орлуулах хэрэгтэй.

Жишээ:a'c+b'c'+ab=a'b'+bc+ac'илэрхийллийг батал.
Зүүн талаас нь:

a'c(b+b')+b'c'(a+а')+ аb(с + с')

Суурь мэдлэг
5

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

=a'b'c+a'b'c+ab'c'+a'b'c'+abc+abc' = m3+ m1+ m4+ m0+ m7+ m6

Баруун талаас нь

a'b'(c+c')+bc(a+a')+ac'(b+b')

=a'b'c+a'b'c'+abc+a'bc+abc'+ab'c' = m 1 + m0 + m7+ m3+ m6+ m4 тул хоёр минтерм хэлбэр ижил
бөгөөд илэрхийлэл зөв байна.

3.4 Хоёртын нэмэгч ба хасагч зохиох

Энэ хэсэгт бид хоёр 4-битийн 2-тын тоог зөөлтийн (carry) биттэй нь нэмээд үр дүнд нь 4-битийн
нийлбэр болон зөөлтийн битийг гаргадаг зэрэгцээ нэмэгч (Зураг 2.2)-ийн схемийг зохиоё. Үүнийг зохиох
нэг арга бол 9-оролт, 5-гаралттай нэмэгчийн үнэний хүснэгтийг байгуулан, түүнээс 5-гаралтын
илэрхийллийг хялбарчлан олж авах арга юм. Гэвч илэрхийллийг хялбарчлахын өмнө илэрхийллүүд нь 9
хувьсагчтай байх тул хялбарчлахад түвэгтэй, логик хэлхээ нь илүү нийлмэл гардаг хүндрэлтэй арга юм.
Тиймээс эхлээд 2 битийн зөөлтийг тооцон нэмдэг логик модулууд зохиогоод, дараа нь тэдгээрийг Зураг
2.3-д үзүүлсэнчлэн хооронд нь холбох нь илүү хялбар байдаг. Ийм модулиудыг бүрэн нэмэгч гэх ба
эхний бүрэн нэмэгч нь хоёр дахь бүрэн нэмэгчийн зөөлтийг тооцох маягаар ажилладаг шинж чанартай.

S3 S2 S1 S0

4 bit
C4 Parallel Adder C0

A3B3 A2B2 A1B1 A0B0

Зураг 3.2 4-битийн 2-тын зэрэгцээ нэмэгч

0 1 1 0
S3 S2 S1 S0

C4 Бүрэн Бүрэн Бүрэн Бүрэн C0
нэмэгч нэмэгч нэмэгч нэмэгч

A3 B3 A2 B2 A1 B1 A0 B0
11 00 11 1 1

Зураг 3.3 4-битийн бүрэн нэмэгч бүхий зэрэгцээ нэмэгч Суурь мэдлэг

Зураг 2.3-ын жишээнд нэмэх үйлдэл дараах байдлаар гүйцэтгэгдэнэ.
10110 (зөөлтүүд)

1011
+1011
10110

6

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Хамгийн баруун талын бүрэн нэмэгч өөрийн оролтонд өгөгдсөн битүүд болох А0+ В0+ С0 = 1 + 1 +
0 хооронд нь нэмнэ, үр дүн нь 102 гарна, үүнд нийлбэр S0= 0 ба зөөлт С1 = 1 байна. Харин дараагийн
бүрэн нэмэгч А1+ B1+ C1=1 + 1 + 1 = 112гэж нэмэх үйлдэлхийн S1= 1 болж, С2 =1 гэсэн зөөлт үүснэ гэх
мэтчилэн зөөлт баруун талаас зөөгдсөөр хамгийн сүүлийн С4= 1 гэсэн зөөлтөөр нэмэх үйлдэл дуусна.

X Cout X Ү Сin Cout Sum

Бүрэн 0 00 0 0
Y нэмэгч 0 01 0 1
Sum 0 10 0 1
Cin 0 11 1 0
1 00 0 1
1 01 1 0
1 10 1 0
1 11 1 1

Зураг 3.4 Бүрэн нэмэгчийн үнэний хүснэгт

Зураг 2.4-т X, У, Сin оролт бүхий бүрэн нэмэгчийн үнэний хүснэгтийг харуулсан бөгөөд энд
нийлбэр бит болон зөөлтийг тус тусд нь салган тавьсан тул гаралтын үр дүн нь (X + Ү + Сin) оролтын
битүүдийг нэмснээр олдоно. Жишээлбэл: оролтын комбинац 101 үед 1 + 0 + 1 = 102буюу Сi + 1 = 1, Si= 0
болно гэсэн үг юм. Зураг 2.5-д логик элементүүд ашигласан бүрэн нэмэгчийн схемийг харууллаа. Бүрэн

нэмэгчийн үнэний хүснэгтээс гарсан логик илэрхийллүүдийг бичвэл:

Sum = X'Y'Cin+ X'YC'in + XY'C'in+ XYCin (3-12)
= X'(Y'Cin+ YC'ln) + X(Y'C'in+ YCin)

= X'(YCin) + X(Y Cin)' = X Y C i n
Cout = X'YCin+ XY'C i n + XYC'in+ XYCin

= (X'YCin+ XYCin) + (XY'C'in+ XYCin) + (XYC'in+ XYCin) (3-13)

= YCin + XYCin+XY
Cout-ын хялбарчлалд XYCinгишүүн гурван удаа ашиглагдсан гэдгийг хэлэх нь зүйтэй.

x cout
y

x
cin
x
y Sum y
cin cin

Зураг 3.5 Логик элементүүд ашигласан бүрэн нэмэгч

Зураг 2.3-д үзүүлсэн зэрэгцээ нэмэгчээр сөрөг тоог нэмж болок боловч сөрөг тоонууд нь
гүйцээлт хэлбэрээр илэрхийлэгдсэн байх ёстой. 2-ын гүйцээлт ашиглагдаж байгаа үед эцсийн зөөлт (С4)
орхигдоно, мөнС0 = 0 учир эхний модулын хувьд зөөлт байхгүй. Иймд эхний модулын илэрхийлэл
дараах байдлаар хялбарчлагдана.

S0= А0В0буюу C1= А0В0

Суурь мэдлэг

7

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Харин 1-ийн гүйцээлтээр нэмэх үйлдлийг гүйцэтгэж байгаа тохиолдолд Зураг 3.3-д тасархай
шугамаар үзүүлснээр хамгийн ахлах бит дээр үүссэн зөөлтийн бит (carry bit) хамгийн бага оронгийн
нэмэгч дээр эргэж ирэх буюу С4 нь С0 -ын оролтонд холбогдох ёстой.

Гүйцээлтээр илэрхийлэгдсэн сөрөг тоо бүхий тэмдэгт 2-тын тоог нэмэх үед хэрэв хэтрэлт
(overflow) үүсвэл тэмдгийн бит буруу гарч ирдэг. Өөрөөр хэлбэл хоёр эерэг тоог нэмэхэд сөрөг хариу,
хоёр сөрөг тоо нэмэхэд эерэг хариу гарна гэсэн үг юм. Иймээс хэтрэлт үүслээ гэдгийг илэрхийлэх V
гэсэн дохио 1-тэй тэнцэж байхаар зохиоё. Зураг 3.3-ийн хувьд тэмдэгийн бит (sign bit)-үүд болох A, В, S-
ийг ашиглан V-r тодорхойлж болно.

V = A3'B3'S3 + A3B3S3'

Зураг 3.4-т үзүүлсэн нэмэгч нь битийн тоо их үед зөөлтийн тархалтаас хамааран удаан
ажиллагаатай байдаг. Тиймээс түүнээс илүү хурдан зөөлтийн тархалттай carry-look-ahead нэмэгчийг
өргөн ашигладаг.

2-тын хасагчийг хийх хамгийн хялбар арга бол хасагдагч дээр хасагчийн гүйцээлтийг нэмэх юм.
Өөрөөр хэлбэл A - В гэсэн үйлдлийг хийхдээ А дээр B-ийн гүйцээлтийг нэмэх A + (-В) =A - В юм.
Нэмэгчийн төрлөөс хамааран 1-ийн болон 2-ын аль ч гүйцээлтийг ашиглан гүйцэтгэх боломжтой.

Зураг 3.6-д сөрөг тоог 2-ын гүйцээлт ашиглан илэрхийлсэн тохиолдолд A - В үйлдлийг гүйцэтгэх
хасагчийн схемийг үзүүллээ. Энд В-ийн 2-ын гүйцээлтийг олохдоо эхлээд 1-ийн гүйцээлтийг нь олоод 1-
ийг нэмсэн бол 1-ийн гүйцээлтийг олохдоо В-ийн бит бүрийн инверсийг олоод эхний бүрэн нэмэгч
зөөлтийн оролтонд 1-ийг тавьснаар олсон.

S4 S3 S2 S1

Бүрэн c4 Бүрэн c3 Бүрэн c2 Бүрэн c1 = 1

нэмэгч нэмэгч нэмэгч нэмэгч

B'4 B'3 B'2 B'1
A4 B4 A3 B3 A2 B2 A1 B1

Зураг 3.6Бүрэн нэмэгчашигласан хоёртын хасагч

Жишээ:А = 0110 (+6)
B = 0011 (+3)
Нэмэгчийн гаралт нь

0110 (6)
+ 1100 (3-н нэгийн гүйцээлт)
+1 (эхний зөөлтийн оролт)
(1) 0011 = 3 = 6 - 3

Өөрөөр бүрэн хасагчийн схемийг бүрэн нэмэгч зохиохтой адил шууд аргаар хийж болно. Зураг
3.7-д У-ээс Х-ийг хасах зэрэгцээ хасагчийн блок диаграммыг харуулсан бөгөөд эхний хоёр бит нь
хамгийн баруун талын модулиар хасч, ялгавар нь d1гэж гарах ба зээлэлт(borrow) шаардлагатай бол
өмнөх оронгоос зээлэлт (Ь2= 1) хийгдэнэ.

Суурь мэдлэг

8

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй d1
dn di d2

Бүрэн bn bi+1 Бүрэн bi b3 Бүрэн b2 Бүрэн b1 = 0
хасагч хасагч хасагч хасагч

xn yn xi yi x2 y2 x1 y1

Зураг 3.7 Зэрэгцээ хасагч

Хүснэгт 3.22-тын бүрэн хасагчийн үнэний хүснэгт

xi yi bi bi+1 di

000 00

001 11

010 11

011 10

100 01

101 00

110 00

111 11

Модулиуд нь (модуль i) нь хi, уi, bi,гэсэн оролт, bi+1, d гэсэн гаралттай байх ба bi = 1 гэдэг нь энэ модуль
хi-ээс зээлэлт хийх шаардлагатай гэдгийг илэрхийлнэ. Энэ тохиолдолд bi ба уi нь xi-ээс хасагдан ялгавар
нь diболон хэрэв өмнөх оронгоос зээлэлт хийх шаардлагатай бол (bi+1=1)гэсэн дохиогоор илэрхийлэгдэн
гардаг.

Хүснэгт 3.2-д 2-тын бүрэн хасагчийн үнэний хүснэгтийг харуулсан бөгөөд дараах тохиолдлыг авч
үзье. Энд хi =0,уi = 1, bi= 1

Зээлэлт хийхээс Зээлэлт хийсний
өмнө i-р орон дараа i-р орон

xi 0 10
-bi -1 -1
-yi -1 -1
di 0 (bi+1=1)

I дүгээр оронгоос шууд бид хасалт хийж чадахгүй учраас i + 1 дүгээо оронгоос зээлэлт хийнэ. Энд i + 1
дүгээр оронгоос зээлэлт хийх гэдэг нь bi+1=1 болгоод хi-дээр 1-ийг нэмсэнтэй эквивалент юм. Ингэснээр
эцсийн xapиунь di-= 1 0 - 1 - 1 = 0 болж байна. Хүснэгт 2.2-г ашиглан хэд хэдэн жишээ өөрсдөө гарган
зөв эсэхийг шалгаарай.

Суурь мэдлэг
9

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

БОДЛОГУУД

3.1 Хоолойгоор урсах шингэний урсгалын хурдыг мэдрэх төхөөрөмжийн функц нь дараах шинжүүдтэй.
Төхөөрөмж нь 5-битийн гаралттай бөгөөд хэрэв урсгалын хурд минутанд 10 литрээс бага байвал
гаралтын 5 битүүд бүгд 0, хэрэв 10 литр ба түүнээс дээш бол эхний бит 1, хэрэв 20л ба түүнээс дээш
бол нэг ба хоёрдугаар битүүд 1, хэрэв З0 л ба түүнээс дээш бол нэг, хоёр, гуравдугаар битүүд 1 гэх

мэт үргэлжилнэ. Төхөөрөмжийн 5-битийн гаралтыг A, В, С , D, Е логик хувьсагчаар, энэхүү
гаралтаас оролт авах өөр төхөөрөмжийн гаралтҮ, Z гэсэн хоёр логик хувьсагчаар илэрхийлэгдсэн
бол

a) Урсгалын хурд минутанд З0 л-ээс бага үед Ү = 1 байхаар тооцон У гаралтын илэрхийллийг бич.
b) Урсгалын хурд минутанд 20л-ээс их 50л-ээс бага байх үед Z = 1 байхаар тооцон Z гаралтын

илэрхийллийг бич.

3.2 Дараах өгүүлбэрүүдийг Булийн илэрхийллээр илэрхийл.

(a) Компаний сейф зөвхөн Жон эсвэл Еван-ыг ажил дээр байх үед мөн компани ажлын цагаар
нээлттэй байх ба хамгаалалтын ажилтан ирсэн үед нээгддэг.

(b) Хэрэв гадаа, ширүүн бороотой болон та ширэн гутлаа өмссөн үед эсвэл ээж тань танд хэлсэн
үед та усны гутлаа өмсөх хэрэгтэй.

(c) Хэрэв онигоо инээдэмтэй, сэтгэлд чинь нийцтэй, бусдад хүндрэл учруулахгүй үед эсвэл багш
тань ангид хэлсэн (инээдтэй болон сэтгэлд чинь нийцтэйгээс үл хамааран) болон бусдад
хүндрэл учруулахгүй бол та инээх хэрэгтэй.

(d) Хэрэв цахилгаан шат зогссон мөн шат давхрын түвшинд ирсэн, шатны таймерын хугацаа
дуусаагүй үед эсвэл цахилгаан шат зогссон, тэр давхрын түвшинд ирсэн, нээх товч дарагдсан
үед цахилгаан шатны хаалга нээгддэг.

3.3 (а) Хоёр хувьсагчийн (х ба у) түлхүүрэн функц хэд байдаг вэ?
(Ь) Функц бүрийн үнэний хүснэгт болон алгебрын хэлбэрийг бич.

3.4 F1 = Σт(0, 4, 5, 6) ба F2= Σ m(0, 3, 6, 7)-г ашиглан F1+ F2-ын минтерм хэлбэрийг ол. Еренхий
минтерм хэлбэрийг ашиглан хариугаа батал.

3.5 Дараах үнэний хүснэгтийг ашиглан

a) Дурын төлөвүүдэд оновчтой утга оноон F-ийн хялбар илэрхийллийг ол.

b) G-ийн хувьд дээрх үйлдлийг давт. A BCFG

0 0010

0 0 1 X1

0 100X

0 1101

1 0000

1 0 1 X1
1 101X

1 1111

3.6 Зурагт үзүүлсэнчлэн комбинацын хэлхээ нь хоёр дэд хэлхээнээс тогтох бөгөөд N1 -ийн үнэний
хүснэгт өгөгдсөн. ABC = 110 буюу ABC =010 комбинацууд огт тохиолдохгүй гэж үзээд гаралтын

A B CDЕF
0 00110
0 01001
0 10011
0 11111
1 00100
1 01101
1 10010

Суурь мэдлэг

10

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй боломжоор

утгьг өөрчлөхгүйгээр D, Е, F дурын төлөвийн утгыг 1 1 1 0 0 0
нь өөрчил.

3.7 Зурагт үзүүлсэн түлхүүрэн хэлхээ нь 4-оролттой бөгөөд А ба В нь N1 2-тын тооны нэг ба 2 дахь бит,
С ба D нь N2 хоёртын тоон 1 ба 2 дахъ бит бөгөөд хэлхээний гаралт N1xN2 ≤ 2 үед 1-тэй тэнцүү
бол
(a) F-ийн минтерм хэлбэрийг ол.
(b) F-ийн макстерм хэлбэрийг ол.

Хариугаа 10-тын тэмдэглэгээ болон алгебрын илэрхийлэл ашиглан бич.

3.8 Гурван зоосыг A, B, C хувьсагчуудаар телөөлүүлэн зоосны сүлдтэй талыг логик 1, тоотой талыг
логик 0 гэж үзэн зоосыг нэг шидсний дараа заавал нэг нь сүлдээрээ буун F(A, В, С) функц 1 гэсэн
утга авнагэж үзээд түүний илэрхийллийг бич.
(a) минтерм хэлбэрийг ол.
(b) макстерм хэлбэрийг ол.

3.9 (а) Хамгийн цөөн тооны логик элемент ашиглан бүрэн хасагч зохио.
(b) Бүрэн нэмэгч ба хасагчийн илэрхийллүүдийг харьцуулан siбаdiболон сi+1 ба bi+1 хооронд ямар
хамаарал байгааг ол.

3.10 F(a, b, с, d) = a b c'+ b' илэрхийллийн хувьд
(a) m тэмдэглэл ашиглан минтерм хэлбэрийг ол.
(b) М тэмдэглэл ашиглан макстерм хэлбэрийг ол.
(c) т тэмдэглэл ашиглан минтерм хэлбэрийг ол.
(d) Мтэмдэглэл ашиглан макстерм хэлбэрийгол.

3.11 Дараах илэрхийллийн хувьд өмнөх бодлогын даалгаврыг давт.
F(a, b, с, d) = (a + b + d)(a'+ c)(a'+ b'+ c')(a + b + c' + d')

3.12 A, B, C, D гэсэн 4-оролттой логик схем байгуул. Үүний A, В, С ньхоёртын 0 - 7 тоог (А ахлах бит),
D нь сондгойн битийг илэрхийлэх тулA, В, С, D оролтууд ямагт сондгой тоотой 1-ийг агуулна.
(Жишээлбэл1 гэсэн тоон утгын хувьд ABC = 001 тул D - 0, харин 3 гэсэн тоо утгын хувьд ABCD =
0011 гэсэн үг юм.) Хэрэв хэлхээний оролт тоон утга (өөртөө ба 1-д хуваагддаг тоо нь анхдагч тоо
бөгөөд 1-ийг анхдагч тоо гэж үзнэ. Харин 0 бол анхдагч тоо биш) авах үед гаралт 1-тэй тэнцдэг
гэвэл
(a) F-ийн минтермүүдийг дурын утга бүхий минтермүүдийг оролцуулан алгебрын хэлбэрт
бич .
(b) F-ийн макстермүүдийг дурын утга бүхий макстермүүдийг оролцуулан алгебрын хэлбэрт
бич.

Суурь мэдлэг

11

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

3.13 A, В, С, D гэсэн 4 битээр 2-тын тоог илэрхийлэгдэх оролтын утга 5-тай тэнцүү буюу их үед
гаралт (Z) нь 1-тэй тэнцүү байх комбинацын хэлхээг 4-оролт, 1-гаралттай; мөн 11-ээс бага
тохиолдолд 3-оролттой 1 ширхэг OR, 3-оролттой 3 ширхэг AND логик элемент ашиглан зохио.

3.14 Дараалан гурван 1 эсвэл 0 орж ирэхэд гаралт нь 1-тэй тэнцэх A, В, С, D гэсэн 4-оролт, 1-
гаралттай Z комбинацын хэлхээг нэг ширхэг 4-оролттой OR болон 4 ширхэг 3-оролттой AND
логик элемент ашиглан зохио.

3.15 Дөрвөн бит дээр дараах функцыг гүйцэтгэх схем зохио.

(Хз Х2 Х1 Х0 + Y3 Ү2Ү1Y0)- Z3Z2 Z1 Z0

Схемийн S3S2S1S0гаралтууд нь зөөлт болон зээлэлттэй, сөрөг тоог хоёрын гүйцээлтээр
илэрхийлсэн гэж үзээд 8 бүрэн нэмэгч болон логик элементүүд ашиглан зохио.

3.16 Дараах өгүүлбэрүүдийн утга нь AND болон OR логик элементийн алиныг нь түрүүлж
ашигласнаас хамааран хоёр утгатай байх боломжтой. Тэдгээрийн илэрхийллийг бич.
(a) Машины дохиолол түлхүүр зоолттой болон хаалга онгорхой эсвэл аюулгүйн бүс хийгдээгүй
үед дуугардаг.
(b) Таны жин хэтэрхий их идэх эсвэл хангалттай хөдөлгөөн хийхгүй болон таны бодисын
солилцоо хэт удаан явагдвал нэмэгддэг.
(c) Хэт чангаар тохируулах болон чанга дуу тоглуулах эсвэл стерео хэт хүчтэй үед чанга яригч
эвдэрдэг.
(d) Цас орох эсвэл бороо орох мөн зам дээр тос асгарсан тохиолдолд зам халтиргаатай болдог.

3.17 х3 х2х1 х0 гэсэн 4-оролт, z, у1, у0 гэсэн 3-гаралттай кодлуур (encoder)-ийналь нэг оролт 1 үед гаралт
z = 1, харин у1 ,у0гаралтууд нь оролтуудын аль нэг бит 1 байгааг илэрхийлдэг бол (Жишээлбэл: х2 =
1 болон х3 = 1 үед z = 1 ба y1= 1, у0 = 0, бүх оролт 0 үед z = 0, у0 нь ямар ч утгатай
байж болно.)
(a) Гаралт бүрийн минтермүүдийг дурын минтермүүдийг оролцуулан 10-таар бич.
(b) Гаралт бүрийн макстермүүдийг дурын макстермүүдийг оролцуулан 10-таар бич.

3.18 10-тын цифрүүдийн 9-ийн гүйцээлт нь 9 - d гэж тодорхойлогдох ба хэлхээ нь оролтын BCD тооны
9-ийн гүйцээлтийг гаралтадаа BCD тоогоор гаргадаг бол оролтуудыг A, В, С, D; гаралтуудыг W, X,
Ү, Z гэж тэмдэглээд
(а) Гаралт бүрийн дурын макстермүүдийг бич.
(b) Гаралт бүрийнминтермүүдийг дурын минтермүүдийг бич.

3.19 Бодлого 4.18-ыг хэлхээний оролт, гаралт нь 4-2-2-1 жингийн кодоор илэрхийлэгдэх үед давт (Хэрэв
5-аас бага тоонд 2-ын зөвхөн нэг жингийн код шаардагдвал хамгийн баруун талын 2-ыг сонго. Мөн
W = A', X = В', Y = С', Z = D' байх кодуудыг сонго).

3.20 Компьютерийн оролтонд зурагт үзүүлсэн шиг цаасан туузан уншигч тавьжээ. Тууз фото нүднүүд
(photocell) доогуур өнгөрөхөд нүх нь логик 1-ийг, цулгуй цаас нь логик 0-ийг илэрхийлэн тус
бүрийн харгалзах логик хувьсагчаар тэмдэглэгдэнэ. Хэрэв нэг л нүх харгалзах эгнээнд цоологдоогүй
бол цоологч тэр хэсэгт бүх нүхийг арилгадаг бол хамгийн багадаа нэг нүх зөв газар цоологдоно
гэсэн үг юм.
(а) Зөв байрлалд нүх уншин гаралт Z = 1 байх үеийн илэрхийллийг
бич .
(c) Зөвхен С болон Е мөрөнд нүх уншигдан гаралт Ү = 1 байх үеийн илэрхийллийг бич.

Фото нүднүүдХувьсагчууд

Суурь мэдлэг

12

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

3.21 Банкны сейф нь гурван өөр түлхүүр бүхий гурван цоожтой бөгөөд түлхүүрүүд нь өөр өөр хүнд
хадгалагддаг. Сейфны хаалгыг онгойлгохын тулд хамгийн багадаа хоёр хүн харгалзах цоожнуудыг
онгойлгох ёстой. 1, 2, 3 дугаар цоожийг онгойлгох үеийг харгалзуулан А = В = С =1 гэж
тэмдэглэвэл цоож онгойх (Z = 1) нөхцөлүүдийг тооцон илэрхийллийг бич.

3.22 F1= ПМ(0, 4. 5. 6) ба F2= 11 М(0, 4, 7)-ийг ашиглан Р2-ийн хувьдмакстерм хэлбэрийг олж ерөнхий
макстерм хэлбэрийг ашиглакхариултаа батал.

3.23 = П М(0, 4, 5, 6) ба F2= П М(0, 4, 7)-ийг ашиглан F1,F2-ийн хувьдмакстерм хэлбэрийг олж ерөнхий
макстерм хэлбэрийг ашигланхариултаа батал.

3.24 Дөрвөн (A, В, С, D) сандал тойрог дотор байрлажээ. A-ийн хажууд В, B-ийн хажууд С, С-ийн
хажууд D, D-ийн хажууд А. Хэрэв сандал эзлэгдвэл (1), хоосон бол (0)-ийг илэрхийлэх бол дараах
логик функцбүрийн хувьд минтерм болон макстерм хэлбэрийг ол.
(a) Зэрэгцсэн хоосон суудал байхгүй бол F(A, В, С, D ) = 1
(b) Хамгийн багадаа 3 хоосон зэрэгцсэн суудал байсан бол G(A, В, С, D ) = 1
(c) Хамгийн багадаа 3 эзлэгдсэн суудал байсан бол Н(А, В, С, D) = 1
(d) С ба D сандал дээр суусан хүнээс олон хүн А ба В сандал дээр суусан бол J(A, В, C , D ) = 1

3.25 Компьютерийн принтерийн интерфейс нь цаасны хөдөлгөөнийг удирдах, хэвлэлтийг эхлүүлэх,
ямар тэмдэгт хэвлэхийг тодорхойлоходашиглагддаг өгөгдлийн 7 шугамтай байдаг бөгөөд
тэдгээрийг логик 1 ба 0 утга авах А(ахлах бит), В, С, D, Е, F, G гэсэн хувьсагчуудаар тэмдэглэдэг.
Өгөгдлийн шугамууд нь 0-12710 утгыг авах ба 1310нь мөрийн эхнээс хэвлэж эхлэх, 1010 нь
дараагийн мөрөнд шилжих, 3210 -12710хэвлэх тэмдэгтийг илэрхийлдэг байна.
(a) Мөрийн эхнээс хэвлэх команд өгөх үед X = 1 байх илэрхийллийг бич.
(b) Дараагийн мөрөнд шилжих команд өгөх үед Ү = 1 байх илэрхийллийгбич.
(c) Хэвлэж болохуйц тэмдэгт өгөгдлийн шугамд өгөгдөх үеийн Z = 1 байх илэрхийллийг бич.
(тоог зөвхөн 0-31 ба 32 - 127 гэж ангилна гэж үзээд хоёрхон гишүүнтэй илэрхийлэл бич)

3.26 Дөрвөн сандал нэг эгнээнд байрлажээ.

AB C D

Хэрэв сандал эзлэгдвэл (1), хоосон бол (0)-ийг илэрхийлэх бол дараах логик функц бүрийн хувьд
минтерм болон макстерм хэлбэрийг ол.
(a) Зэрэгцсэн эзлэгдсэн суудал байхгүй бол F(A. В, С, D) = 1
(b) Хоёр захын суудлууд хоосон бол G(A, В, С, D) = 1
(c) Хамгийн багадаа 3 хоосон суудал байсан бол Н(А, В, С, D)=1
(d) Баруун талын 2 сандал дээр суусан хүнээс олон хүн зүүн талын 2 сандал дээр суусан бол J(A,

В, С, D) = 1

3.27 Дараах үнэний хүснэгтийг ашиглан доор өгөгдсен гурван даалгаврыг гүйцэтгэ.

A B C F1 F2 F3 F4 Суурь мэдлэг
0 00 1 10 1
0 01 X 00 0
0 10 0 1X0
0 11 0 01 1
1 00 0 11 1
1 01 X 01 0

13

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

1 1 0 0 XX X
1 1 1 1 X1 X

(a) Дурын утгуудад оновчтой утга оноон F1 -ийн хялбар илэрхийллийг ол.
(b) F2-ийн хувьддавт.
(c) F3-ийн хувьд давт.
(d) F4-ийн хувьд давт.

3.28 Алгебрын хялбарчлалыг ашиглан дараах илэрхийллүүдийн минтерм болон макстерм хэлбэрийг ол.
(a) f[A, В, С, D) = AB+ A'CD
(b) f(A, B, C, D) = (A+ B+ D')(A'+ C)(C + D)

3.29 F(a, b, c) - a( b+ c') илэрхийллийн хувьд
(a) m тэмдэглэл ашиглан f-ийн минтерм хэлбэрийг ол.
(b) М тэмдэглэл ашиглан f-ийн макстерм хэлбэрийг ол.
(c) т тэмдэглэл ашиглан f'-ийн минтерм хэлбэрийг ол.
(d) Мтэмдэглэл ашиглан f'-ийн макстерм хэлбэрийг ол.

3.30 Дараах илэрхийллийн хувьд өмнөх бодлогын даалгаврыг давт.

f(a, b, с, d) - acd + bd'+ a'c'd + ab'cd + a'b'cd'

3.31 F(A, B, C, D) = Σ m(0, 1, 2, 6, 7, 13, 15) илэрхийллийн хувьд
(a) F-ийн минтерм хэлбэрийг 10-т.с болон алгебрын илэрхийлэл ашиглан бич.
(b) F-ийн макстерм хэлбэрийг 10-т.с болон алгебрын илэрхийлэл ашиглан бич.

3.32 F'(A, В, С, D) = Σm(1, 2, 5, 6, 10, 15) илэрхийллийн хувьд өмнөх бодлогын даалгаврыг давт.

3.33 A, В, С, D бүхий 4-оролт, X, Ү, Z бүхий 3-гаралттай комбинацын хэлхээний гаралт нь оролтын 1-
үүдийн тоотой тэнцүү байдаг бол (хэрэв ABCD = 1011 бол XYZ = 011)

(a) X, Ү, Z-ийн минтерм хэлбэрийг ол.
(b) Ү, Z-ийн макстерм хэлбэрийг ол.

3.34 Дараах хэлхээ болон үнэний хүснэгтийг ашиглан ABC = 011,ABC = 110 комбинацууд нь оролтонд
огт тохиолдохгүй гэж үзээд Бодлого 2.6-ийн даалгаврыг гүйцэтгэ.

A BC D E F
0 00 1 10
0 01 0 10
0 10 0 01
0 11 0 00
1 00 0 10
1 01 0 01
1 10 0 01
1 11 1 01

3.35Дараах логик функцын хувьд Бодлого 2.8-ын даалгаврыг гүйцэтгэ.
(a) Бүх зоос ижил талаараа (сүлд эсвэл тоо) буусан бол G1(A,B,C,D) = 1
(b) Эхний хоёр зоос ижил талаараа (сүлд эсвэл тоо) буусан боLG2(A,B, С, D) =1

3.36 Хоёр битийн нийлбэр ба зөөлттэй нэмдэг хагас нэмэгчийн үнэний хүснэгтийг байгуулж хоёр логик
элемент ашиглан схемийг зохио. Дараа нь 4 хагас нэмэгч болон логик элемент ашиглан 4-битийн
2-тын тооны 2-ын гүйцээлтийг олдог схем зохио.

Суурь мэдлэг

14

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

(Зөвлөмж: 2-тын тооны 2- ын гүйцээлтийг олохдоо 1-ийн гүйцээлтийг олоод хамгийн зүүн бит
дээр 1-ийг нэмэх аргыг ашигла.)

3.37 Сөрөгтоо нь 2-ын гүйцээлтээр илэрхийлэгдсэн гэж үзээд 4-битийн 2-тын тоон дээр 5-битийн 2-тын
тоог нэмдэг нэмэгч зохио.
(Зөвлөмж: 4-битийн 2-тын тоог хэрхэн 5-битээр илэрхийлэх вэ? -3-ийг 2-ын гүйцээлтээр 3, 4, 5-
битээр илэрхийлэхийг оролд.)

3.38 4-оролт (A, В, С, D), 4-гаралттай (W, X, Ү, Z) комбинацын хэлхээ ньоролтын утгыг гаралтадаа
excess-З кодоор гаргадаг бол (ABCD =1011-ын excess-З код WXYZ = 0110)
(a) X, Ү, Z-ийн минтерм хэлбэрийг ол.
(b) Ү, Z-ийн макстерм хэлбэрийг ол.

3.39 BCD кодоор илэрхийлэгдэх 4-оролт (A, В, С, D), дөрөв дөрвөөр хоёрхэсэг бүхий 8-гаралттай (S, Т,
U, V, W, X, Ү, Z) комбинацын хэлхээ ньоролтын утгыг гаралтадаа 5 дахин ихэсгэж гаргадаг бол
(Жишээ нь:оролтАBСD = 0111 бол гаралт нь 0011 0101)
(a) Үнэний хүснэгтийг байгуул.
(b) Хэлхээний хялбар илэрхийллийг бич.

3.40 Өмнөх бодлогын даалгаврыг комбинацын хэлхээ нь оролтын утгыг гаралтандаа дөрөв дахин
ихэсгэж гаргадаг үед гүйцэтгэ. (ABCD = 0011 бол гаралт нь 0001 0011)

3.41 (а) Хэрэв т1ба т2нь п хувьсагчийн минтерм бол т1+ т2 =т1 т2 гэж батал.
(b) Үржвэрүүдийн нийлбэр XOR-oop бичигдсэн түлхүүрэн функцын үржвэрүүдэд литералын
инверс агуулагддаггүй гэдгийг батал.

3.42 (a) f(x, у) = х + у түлхүүрэн функцыг минтермүүдийн нийлбэр ба макстермүүдийн үржвэр хэлбэрт

бич.

(b) {0, 1, а, b} дөрвөн элементийн Булийн алгебрын үйлдлүүд нь дараах хүснэгтүүдээр

тодорхойлогдсон бөгөөд f{x, у) = ax + by Булийн функцын a, b нь Булийн алгебрын элементүүд бол

f(x, у)-ийг минтермүүдийн нийлбэр хэлбэрт бич.

(c) (b) хэсгийн Булийн функцыг макстермүүдийн үржвэр хэлбэрт бич.

(d) (b) хэсгийн Булийн функцын комбинацын хүснэгтийг байгуул.

(комбинацын хүснэгт нь 16 мөртэй)

(e) Комбинацын хүснэгтийн аль дөрвөн мөр нь бүрэн тодорхойлогдсон бэ? Хариултаа тайлбарлаж

батал.

' +01ab .0 1 a b

01 0 0 1 a b 00 0 0 0
10 1 a b
10 1 1 1 1 1 a0 a a 0
aь a a 1 a 1 b0 b 0 b
Ьa b b 1 1 b

Суурь мэдлэг
15

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

БҮЛЭГ 3 . КАРНО КАРТ

1. Бүрэн ба бүрэн бус тодорхойлогдсон гурваас таван хувьсагчтай функцын Карно карт (Karnaugh
тар)-ыгзурах. Энд функц нь минтерм, макстерм болон алгебрын хэлбэрээр өгөгдсөн байж
болно.

2. Картаас функцын суурь импликантын чухал импликант (essential prime implicants)-
yyдыгтодорхойлох

3. Картаас функцын хялбар минтерм ба макстерм хэлбэрийг олох
4. Картаас функцын бүх суурь импликантуудыг тодорхойлох
5. Картыг ашиглан гүйцэтгэж буй үйлдлүүд ба тэдгээрийн алгебрын үйлдлүүд хоорондын

хамаарлыг ойлгох

Түлхүүрэн функцуудыг алгебрын аргаар хэрхэн хялбарчлахыг Е1-т авч үзсэн. Гэвч дан алгебрын аргаар
илэрхийллийг хялбарчлахад үндсэн хоёр хүндрэл учирдаг.

1. Системчилсэн арга хэрэгжүүлэхэд хүндрэлтэй
2. Хамгийн хялбар шийдлийг олсон гэдгийг мэдэхэд хэцүү

Иймээс эдгээр хүндрэлүүдээс зайлсхийхийн тулд Карно карт болон Квайнй арга (Quine-
McCluskeyprocedurе )-ыг хэрэглэдэг. Ялангуяа Карно карты арга нь 3 ба 4 хувьсагчтай илэрхийллийг
хялбарчлахад маш хялбар, түргэн бөгөөд түүнийг 5, 6 хувьсагчтай илэрхийлэлд ашиглахаар өргөтгөх
боломжтой байдаг.

3.1 Түлхүүрэн функцын хамгийн хялбар бүтэцтэй хэлбэр

AND болон OR логик элемент ашиглан функцыг хэрэгжүүлэхэд хэрэгжилтийн зардал нь
ашиглаж буй логик элементүүд болон тэдгээрийн оролтын тоотой шууд хамааралтай байдаг. Карно
картын арга нь ANDболон OR логик элемент ашиглан хамгийн хямд, хялбар 2-түвшинт cxeмзохиоход
өргөн ашиглагддаг арга юм. Үржвэрүүдийн нийлбэр хэлбэртэй (минтерм хэлбэр) илэрхийллийн 2-
түвшинт хэлхээ нь хэд хэдэн AND логик элементүүд бүхий бүлгүүдийн гаралт нь нэг ширхэг OR логик
элементийн оролт болдог бол үүнтэй ижлээр нийлбэрүүдийн үржвэр хэлбэртэй (макстерм хэлбэр)
илэрхийллийн 2-түвшинт хэлхээ нь хэд хэдэ OR логик элементүүд бүхий бүлгүүдийн гаралт нь нэг AND
логик элементийн оролт болдог. Тиймээс бид хамгийн хялбар, хамгийн цөөн гишүүд (минтерм,
макстерм)-ээс бүрдсэн функцын 2-түвшинт AND-OR логик хэлхээг зохиохын тулд уг илзрхийллийнхээ
хамгийн хялбар бүтэцтэй үржвэрүүдийн нийлбэр ба нийлбэрүүдийн үржвэрийг олох хэрэгтэй.

Илэрхийллийн хамгийн хялбар бүтэцтэй үржвэрүүдийн нийлбэр нь (a)-д хамгийн цөөн
гишүүнтэй байх, (b)-д хамгийн цөөн литералтай үржвэрбүхий гишүүдийн нийлбэр байхаар
тодорхойлогддог.
Эдгээр шаардлагуудыг хангаснаар илэрхийлэлд харгалзах 2-түвшинт логик хэлхээ хамгийн цөөн оролт
бүхий цөөн тооны логик элементээс бүтэж хямд, хялбар болдог. Харин энд функцын минтерм гишүун
шиг үржвэрүүдийн нийлбэр нь цор ганц байх шаардлагагүй. Өөрөөр хэлбэл тухайн функц нь ижил
тооны гишүүн болон литералтай, өөр өөр үржвэрүүдийн нийлбэр хэлбэрт байж болно. Минтерм хэлбэр
нь өгөгдсөн функцын хамгийн хялбар бүтэцтэй үржвэрүүдийн нийлбэрийг дараах аргаар олдог.

1. ХҮ'+ ХҮ = X теоремыг ашиглан гишүүдийг нэгтгэнэ. Тухайн гишүүний хувьд X + X = X тул хэрэв
шаардлагатай бол теоремыг хэд хэдэн литералуудыг хасахын тулд хэдэн ч удаа ашиглаж болно.

2. Эмхэтгэлийн болон бусад теоремуудыг ашиглан илүүдэл гишүүдийг хасна.

Харамсалтай нь зарим тохиолдолд гишүүдийн нэгтгэгдэх, хасагдахаас хамааран эцсийн үр дүн хамгийн
хялбар байж чаддаггүй.

Жишээ: Илэрхийллийн хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг ол.
F(a, b, c) = Σ m(0, 1,2, 5,6,7)

Суурь мэдлэг

16

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

F = a'b'c'+a'b'c +a'bc'+ ab'c + abc'+ abc

=a'b' + b'c + bc' + bc (2-1)

Энд эмхэтгэлийн теоремыг ашиглан нэг ч гишүүн хасч чадаагүй ч өөр нэг теорем ашиглаад хамгийн
хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг олж чадлаа.

F - a'b'c'+a'b'c +a'bc'+ ab'c + abc'+ abc

= a'b' + bc' + ac (2-2)

Илэрхийллийн хамгийн хялбар бүтэцтэй нийлбэрүүдийн үржвэр (minimum sum-of-products
expression) нь (а)-д хамгийн цөөн гишүүнтэй байх, (b)-д хамгийн цөөн литералтай нийлбэр бүхий
гишүүдийн үржвэр байхаар тодорхойлогддог. Харин энд функцын макстерм гишүүн шиг
нийлбэрүүдийн үржвэр нь цор ганц байх шаардлагагүй. Макстерм хэлбэр нь өгөгдсөн функцын хамгийн
хялбар нийлбэрүүдийн үржвэрийг олохдоо хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг олдогтой ижил
(гэвч хялбарчлахдаа (X + Ү)(Х + Ү ' ) = X теоремыг ашиглана) аргаар олдог.

Жишээ:

(A+B'+C+D')(A+B'+C'+D')(A+B'+C+D)(A'+B'+C'+D)(A+B+C'+D)(A'+B+C'+D)

= (А + B'+ D')(A+B'+C') (В'+ С'+ D) (В + С'+ D)
(2-3)
= (А + В'+ D') (A + В'+ С ' ) (С'+ D)

= { А + В'+ D')(C'+ D)

3.2 Хоёр ба гурван хувьсагчтай Карно карт

Үнэний хүснэгтийн нэгэн адил функцын Карно карт нь хувьсагчуудын утгын комбинац бүрд
функцын утгыг тодорхойлдог. Энд 2 хувьсагчтай Карно картыг харуулсан бөгөөд картын дээд талд нэг
хувьсагчийн утгууд харин зүүн талд нь хоёр дахь хувьсагчийн утгуудыг бичдэг. Ингэж бичсэнээр
картын нүд бүр А болон В хоёр хувьсагчийн аль нэг комбинацтай харгалзана.

A
B 01

A =0, B = 0 0 A =1, B = 0

A =0, B = 1 1 A =1, B = 1

Зураг 3.1-д Карно картанд харгалзах F функцын үнэний хүснэгтийг харууллаа. Нэгэнт бид картын
нүдэнд харгалзах хувьсагчуудын комбинацыг мэдэж байгаа тул үнэний хүснэгтээс А болон В хоёр

хувьсагчийн комбинацд харгалзах F функцын утгыг картын нүднүүдэд харгалзуулан бичнэ. Зураг3.1(b).
Карт дахь 1 бүр нь F функцын минтермийг илэрхийлэх тул бид үнэний хүснэгтээс минтерм уншихтай
нэгэн адил минтермүүдийг унших боломжтой. Тухайлбал: Зураг 3.1(с)-ээс 00 нүдэн дэх 1 нь F функцын
A'В'минтермийг, 01 нүдэн дэх 1 нь A'B минтермийг илэрхийлнэ. Картын зэрэгцээ нүдэнд байгаа
минтермүүд нь зөвхөн 1 хувьсагчаараа ялгаатай тул хоорондоо нэгтгэгддэг. Иймээс A'B' ба A'B нь А'
болж нэгтгэгдэх ба нэгтгэгдэж буй 1-үүдийг карт дээр зураг 3.1(d)-дүзүүлснээр битүү гогцоогоор
тэмдэглэнэ.

Суурь мэдлэг
17

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

A A 1
B B0 0

AВ F 0 0 1 A',B' 01 0
1 0
00 1
01 1 0 A', B 11
10 0
11 0 11

F= A'B' + A'B

a) b) c) d)

Зураг 3.1 Хоёр хувьсагчтай үнэний хүснэгт болон Карно карт

Зураг 3.2-т гурван хувьсагчтай үнэний хүснэгт болон харгалзах Карно картыг харууллаа (Зураг
3.27-д арай өөр байдлаар тэмдэглэсэн картыг харуулсан болно). А хувьсагчийн утгууд нь картын дээд
талд нөгөө хоёр Вба С хувьсагчдын утгуудыг картын зүүн тал дагуу байрлуулах бөгөөд мөрүүд зөвхөн
нэг хувьсагчаараа ялгаатай байхаар 00, 01, 11, 10 гэсэн дарааллааг тэмдэглэгдэнэ. Үүний дараа үнэний
хүснэгтээс функцын утгуудыг харгалзах нүднүүдэд оноон бичнэ.

ABC F A 0 1
BС 0 1
000 0 0
001 0 ABC = 001, F = 0 00 0 0 ABC = 110, F = 1
010 1 01
011 1 1
100 1 11 1
101 0
110 1
111 0

10 1

F

a) b)

Зураг 3.2 Гурван хувьсагчтай функцын Карно карт болон үнэний хүснэгт

Зураг 3.3-д гурван хувьсагчийн картын минтермүүдийн байрлалыг харуулсан бөгөөд картын
зэргэлдээх нүдэнд байгаа минтермүүд зөвхөн нэг хувьсагчаараа ялгаатай тул ХҮ + ХҮ =Хтеоремоор
хоорондоо нэгтгэгддэг. Жишээлбэл: 011 (a'bc) минтерм нь 001 (a'b'c), 010 (a'bc'), 111 (abc) гэсэн 3
минтермтэй зэргэлдээ тул нэгтгэгдэнэ. Мөн зөвхөн нэг хувьсагчаараа ялгаатай мөрнүүд тул картын
оройн болон хамгийн доод талын нүднүүдийг зэргэлдээ гэж үздэг. Тиймээс 000 ба 010 нүд болон 100 ба
110 нүд нь хоорондоо зэргэлдээ гэсэн үг юм.

Суурь мэдлэг
18

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Зураг 3.3 Гурван хувьсагчийн Карно карт дахь минтермүүдийн байрлал
Функц нь минтерм хэлбэрт өгөгдсөн бол тухайн минтерм бүрд харгалзах нүдэнд 1-ийг, үлдсэн
нүдэнд 0-ийг байрлуулж картыг зурдаг. (хүсвэл 0-ийг бичихгүй орхиж болно.) Зураг 5.4-д F(a, b, с) =
m1+ m3+ т5функцэд харгалзах картыг харуулав. Харин макстерм хэлбэрт өгөгдсөн бол тухайн макстерм
тус бүрд харгалзах нүдэнд 0-ийг, үлдсэн нүдэнд 1-ийг байрлуулж картыг зурдаг. Тиймээс Зураг 3.4-д
F(a, b, с) = М0М2М4М6М7-ынхувьд ижил карт гарна.

Зураг 3.4 F(a, b, с) = Σm(1, 3, 5) = П М(0,2, 4, 6, 7) фунцын Карно карт

Зураг 3.5-д Карно картанд хувьсагчуудын үржвэр бүхий функцын гишүүд (минтерм)-ийг хэрхэн
тэмдэглэхийг харуулсан бөгөөд хэрэв b = 1 бол түүний утгыг тэмдэглэхдээ картын b-н утга 1 байгаа
доод талын 2 мөрний нийт нүднүүдийг хамруулан тэмдэглэнэ. Хэрэв b = 1 ба с = 0 үед bс'= 1 байгаа тул
bc= 10 меренд харгалзах нүднүүдэд хоёр 1-ийг тавина. Хэрэв a = 1 ба с = 0 үед ас'= 1 байгаа тул с = 0
мөрийн a = 1 баганад 1-ийг тавина.

Энэ баганад
a=1

Эдгээр мөрүүдэд Эдгээр мөрүүдэд
b=0 с=0

b bc' ac

Зураг 3.5 Үржвэр гишүүдийг Карно картанд тэмдэглэх нь

Хэрэв функц нь алгебрын илэрхийлэл хэлбэрээр өгөгдсөн бол түүнийг картанд тэмдэглэхдээ
минтерм болгон задлах шаардлагагүй. Харин алгебрын илэрхийллийг үржвэрүүдийн нийлбэр хэлбэрт
хувиргаад түүнийг шууд 1-ээр төлөөлүүлэн карт дээр тэмдэглэж болно. Жишээ нь:

f(a, b, с) = abc'+ b'с + а'
бол карт дээр дараах байдлаар тэмдэглэгдэнэ.

1. a = 1 ба bc= 10 бол аЬс' гишүүн нь 1 байх бөгөөд abc'
энэ нь картын a = 1 багана, bc=10 мөрийн
огтлолцол дээр байрлана.

2. bc- 01 бол b'c гишүүн нь 1 байх бөгөөд энэ үед

картын bc=01 мөр дагуудаа 1 утгатай байна.
3. a = 0 бол а' гишүүн нь 1 байх бөгөөд энэ үед

картын a = 0 багана дагуудаа 1 утгатай байна.

Зураг 3.6 дээр Карно карт ашиглан функцыг хэрхэн хялбарчлахы харууллаа. Зураг 3.6(а)-д
хялбарчлагдах гэж буй илэрхийллийг тэмдэглэсэн байдлыг харуулсан бөгөөд картын зэргэлдээ

Суурь мэдлэг

19

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

нүднүүд зөвхөн хувьсагчаараа ялгаатай тул энд X'Y + ХҮ = X теоремыг ашиглан нэгтгэх боломжтой.
Иймээс a'b'c ба a'bc нэгтгэгдэн a'c, a'b'c ба ab'c нэгтгэгдэн b'cболж байгааг Зураг 3.6(b)-д харуулсан
бөгөөд битүү гогцоогоор хүрээлэгдсэн гишүүд нэгтгэгдэж буйг илэрхийлнэ. Тиймээс 3.6(b)-ийн a = 0
(а') баганад bхувьсагч хасагдаж T1 =a'c болж, үүнтэй ижлээр bc=01 мөрөнд а хувьсагч хасагдаж Т2 = b'c
болж F-ийн хамгийн хялбар бүтэцтэй үржвэрүүдийн нийлбэр a'c + b'c болж байна.

F = Σ m (1, 3, 5) F = a'c+ b'c

a) Минтермийн хэсэг b)F функцыг хялбарчилсан нь

Зураг 3.6 Гурван хувьсагчтай функцыг хялбарчлах

F-ийн инверсийн картыг F-ийн картын 1-ийг 0-ээр, 0-ийг 1-ээр солин олж болно. F'-ийг
хялбарчлахын тулд картыг ашиглан хялбарчлал хийдэгтэй ижлээр хялбарчилна. Тухайлбал картын дээд
ба доод талын хоёр мөр зөвхөн нэг хувьсагчаараа ялгаатай {b'c' ба bc') тул нэгтгэгдэн хоёр хувьсагч

хасагдаж T1= c'болно. Үлдсэн нэг нь зурагт үзүүлсэнчлэн нэгтгэгдэн T2= аb болж F'-ийн хамгийн
хялбар үржвэрүүдийн нийлбэр с' + аb болжбайна.

Зураг 3.7 Зураг 3.6(а)-ын картын инверс
Карно карт нь Булийн алгебрын үндсэн теоремуудыг илэрхийлж чаддаг. Зураг 3.8-д эмхэтгэлийн
теорем ХҮ + X ' Z + YZ = ХҮ + X'Z-ыг харуулсан бөгөөд түүний 1-үүд нь өөр хоёр гишүүнд давхардаж
байгаа тул YZ нь илүү гишүүн болж байна.

ху + x'z + yz= ху + x'z Суурь мэдлэг

20

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Зураг 3.8 Эмхэтгэлийн теоремийн Карно карт
Хэрэв функц нь хоёр ба түүнээс олон хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэр хэлбэртэй бол
тэдгээрийг бүгдийг нь картанд тэмдэглэх боломжтой. Зураг 5.9-д F =Σ m(0, 1, 2, 5, 6, 7)-ийн хоёр
хариуны боломжийг харууллаа.

F = а'с'+ bc'+ ас F = а'с'+ b'c+ ab

Зураг 3.9 Хоёр хариутай функц

3.3 Дөрвөн хувьсагчтай Карно карт

Зураг 3.10-д дөрвөн хувьсагчийн карт дахь минтермүүдийн байрлалыг харууллаа. Энд минтерм
бүр дөрвөн минтермтэй зэргэлдээ байгаа тултүүнийг нэгтгэх боломжтой харагдаж байна. Жишээлбэл:
m5(0101) нь m1 (0001), m4(0100), m7(0111), m13 (1101) минтермүүд нь зөвхөн нэг хувьсагчаараа ялгаатай
тул нэгтгэх боломжтой. Зэргэлдээ нүднүүдийи тодорхойлолт нь гурван хувьсагчийн үед картын дээд ба
доод талын нүднүүд зэргэлдээ гэдэг бол олон хувьсагчийн картын үед хоёр захынбаганууд хоорондоо
зэргэлдээ болж өргөждөг. Өөрөөр хэлбэл энд 00 ба 10 баганууд буюу 0 ба 8, 1 ба 9 минтермүүд зэргэлдээ
болж байна.

AB
СD 00 01 11 10

00 0 4 12 8

01 1 5 13 9

11 3 7 15 11

10 2 6 14 10

Зураг 3.10 Дөрвөн хувьсагчтай Карно картын минтермүүдийн байрлал
Дараах дөрвөн хувьсагчтай илэрхийллийн Карно картыг зурвал (Зураг 3.11)

f (a, b, с, d) = acd + a'b + d'
a = c = d = 1 үед эхний гишүүн 1-тэй тэнцүү тул бид a = 1 багана, cd = 11 мөрийн огтлолцол дээр 1-ийг
бичнэ. ab = 01 үед а'b= 1 тул бид ab = 01 багананд дөрвөн 1-ийг бичнэ. Хамгийн сүүлд d = 0 үед d'= 1
тул бид d = 0 байх хоёр мөрөнд найман 1-ийг бичнэ. (Зөвлөмж: 1 + 1 = 1 тул давхардсан 1-ийг бичих
шаардлагагүй.)

Суурь мэдлэг
21

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Зураг 3.11 acd + a'b + d функцын карт
Үүний дараа бид Зураг 3.12-ын f1 ба f2функцуудыг Зураг 3.10-ыг ашиглан минтермүүдийг 1-ээр
төлөөлүүлэн бичиж хялбарчилна. Ингэж тэмдэглэснийхээ дараа 1-үүдийг бүлэглэн хооронд нь нэгтгэж
хувьсагчуудыг хасна. Зураг 5.12(а)-д эхний багана ab = 0-ын бүлгээс a'b'd. Түүний дээрх дөрвөн 1-ийн
бүлгээс bc', захын 1-д нэгтгэл байхгүй тул харгалзах минтерм нь гарч байна.

4 булангийн
комбинацууд нь
зэрэгцээ тул
эндээс b'd'

a'bd

f1= Σ m (l,3, 4, 5, 10, 12, 13) f2= Σm(0,2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 14, 15)

= bc' + ab'd' + ab'cd' = c + bd'+ a'bd

a) b)

Зураг 3.12 Дөрвөн хувьсагчийн функцын хялбарчлал
Зураг 3.12(b)-д дөрвөн булангийн 1-үүд нэгтгэгдэн b'd', найман 1-ийн бүлгээс с, голын хоёр 1-ийн
бүлгээс a'bd гарч илэрхийлэл хялбарчлагдаж байна. Карно картыг дурын утга (Х-ээр тэмдэглэгдэх)-г
оруулан өргөтгөхөд их хялбар байдаг. Үүний тулд эхлээд байх ёстой минтермүүдээ 1-ээр тэмдэглээд
дараа нь дурын утгуудаа Х-ээр тэмдэглэнэ. Ингэж тэмдэглэсний дараа хялбарчлал хийхдээ хэрэв
хялбарчлалд чухал нөлөө үзүүлж байгаа тохиолдолд л дурын утгуудыг бүлэгт оруулна. Эсрэг
тохиолдолд түүнийг бүлэгт оруулахгүй. Тухайлбал: Зураг 3.13-д гурван дурын утга байгаа хэдий ч
зөвхөн минтерм 13-ийг хялбарчлахад ашиглагдаж байгаа нэг дурын утгыг л бүлэглэлд оруулсан байна.

f= Σm(l,3,5, 7, 9) + Σт(6,12, 13) = ad + cd Суурь мэдлэг
Зураг 5.13 Бүрэн бус тодорхойлогдсон функцын хялбарчлал

22

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Зураг 3.1, 3.6 болон Зураг 3.12-д функцын хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг олох Карно
картын хэрэглээг харуулсан бөгөөд учир нь f-ийн 0-үүд ньf'-ийн 1-үүд тул f-ийн карт дээр 0-үүдийг
бүлэглэснээр (битүү гогцоогоор тэмдэглэснээр) f'-ийн хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэр
хялбархан олддог. Өөрөөр хэлбэл f'-ийнхамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийн инверс нь f-ийн
хамгийн хялбар нийлбэрүүдийн үржвэр гэсэн үг юм. Жишээ болгон дараах илэрхийллийг авч үзье.

f = x'z'+ wyz + w'y'z'+ x'y
Эхлээд 1-үүдийг картанд тэмдэглээд дараа нь 0-үүдийг бүлэглэнэ.

f'=y'z + wxz'+ w'xy
f-ийн хамгийн хялбар нийлбэрүүдийн үржвэр нь:

f=(y + z')(w'+ х'+ z)(w + х'+ y')

Зураг 3.14 Дөрвөн хувьсагтай Карно карт

3.4 Чухал импликантыг ашиглан хялбар илэрхийллийг
тодорхойлох

Карно картанд бичигдсэн F функцын үржвэр бүхий гишүүнийг илэрхийлэх ганцхан 1 эсвэл 1-
үүдийн бүлгийг F-ийн импликант (implicant) гэж нэрлэнэ. (Бүлэг 4.1-ээс импликант болон суурь
импликантын тодорхойлолтыг харна уу). Зураг 3.15 дээр F-ийн хэд хэдэн импликантыг үзүүлэв. Хэрэв
үржвэр гишүүний импликант нь дахин хялбарчлагдахаар (ямар нэг хувьсагч нь хасагдах) ямар ч
гишүүнтэй бүлэглэгдэх боломжгүй бол түүнийг cyyрьимпликант (prime implicant) гэж нэрлэдэг.

Зураг 3.15
Зураг 3.15-аас харахад a'b'c, a'cd' ба ac' нь дахин аль нэг хувьсагчтай бүлэглэгдэх боломжгүй тул
суурь импликант юм. Харин a'b'c'd' нь ab'c'd'-тай бүлэглэгдэх боломжтой тул суурь импликант биш юм.
F-ийн бүх суурь импликантуудийг Карно картаас олох боломжтой бөгөөд дараах
тохиолдлуудбайдаг. Үүнд:
• ямарч 1-тэй зэргэлдээ биш ганц 1 нь суурь импликант
• хэрэв зэргэлдээ хоёр 1 нь өөр дөрвөн 1-ийн бүлэгт давхар ороогүй байвал уг хоёр 1 нь суурь
импликант
• хэрэв зэргэлдээ дөрвөн 1 нь өөр найман 1-ийн бүлэгт давхар ороогүй байвал угдөрвөн 1 нь суурь
импликант
Функцын хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэр нь функцын зарим суурь импликантуудаас (бүх
суурь импликантууд биш) тогтдог. Өөрөөр хэлбэл функцын үржвэрүүдийн нийлбэрийн агуулж буй
суурь импликант биш гишүүд нь хамгийн хялбар байх албагүй. Учир нь суурь импликант биш

Суурь мэдлэг
23

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

гишүүдийг нэмэлт гишүүд ашиглан нэгтгэж хялбарчлах боломжтой. Иймээс картаас хамгийн хялбар
үржвэрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд бид картанд бүх 1-ийг хамарсан суурь импликантын хамгийн
хялбар (цөөн тооны импликант) олох хэрэгтэй. Зураг 3.16-д үзүүлсэн функц нь 6 суурь импликанттай
байна. Зургаас харахад эдгээрийн 3 суурь импликант нь карт дээрх бүх 1-ийг хамарч чадаж байгаа тул
функцын хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэр нь эдгээрээс бүрдэж байна. Зурагт хамгийн хялбар
үржвэрүүдийн нийлбэрт орохгүй суурь импликантуудыг ялгаж харуулав.

a'c'd Хамгийн хялбар шийд:
F = a'b'd + bc' + ac

Бүх суурь импликантууд:
a'b'd, bc', ac, a'c'd,ab, b'cd

bc'd

Зураг 3.16 Бүх суурь импликантуудийг тодорхойлох нь
Картаас бүх суурь импликантуудыг олохдоо суурь импликант бүр хамгийн хялбар үржвэрүүдийн
нийлбэрт багтдаггүй гэдгийг санах хэрэгтэй. Мөн нэг суурь импликантын зарим 1-үүд нь өөр жижиг
суурь импликантанд давхар хамрагдсан байж болдог. Жишээлбэл: Зураг 3.16-д a'c'd нь дахин нэгтгэлд
орохгүй тул суурь импликант бол abd нь өөр хоёр 1-тэй нэгдэж аb болох тул суурь импликант биш юм.
Хэдийгээр b'cd-ынхоёр 1 нь өөр суурь импликантанд орсон ч энэ гишүүн нь өөрөө суурь импликант юм.
Картаас суурь импликантыг тодорхойлоход дурын утга нь 1-ээр төлөөлөгдөх боловч дан дурын
утгуудаас бүрдэх суурь импликант нь эцсийн хамгийн хялбар хариуд орохгүй. Учир нь функцын суурь
импликантыг олох нь хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг тодорхойлохгүй юм. Хэрэв картаас
буруу дарааллаар суурь импликантыг олвол хамгийн хялбар хариу гарахгүй. Жишээлбэл: Зураг 3.17-д
хэрэв эхлээд CD-гсонговол, дараа нь үлдсэн 1-үүдийг хамруулахын тулд BD, В'С, АС-гсонгох хэрэгтэй
болно. Тиймээс Зураг 3.17-д үзүүлсэнчлэн бүх 1-ийг хамрах суурь импликантуудыг сонгох нь зөв юм.

f = CD + BD + B'C + AC f = BD + B'C + AC

a) b)
Зураг 3.17

Зураг 3.17-ийн картанд зарим минтермүүд ганцхан суурь импликантанд хамрагдаж байхад зарим
нь хоёр өөр суурь импликантанд хамрагдаж байх жишээтэй. Тухайлбал: т2нь B'С-д хамрагдаж байхад m3
нь B'C ба CD-д хамрагдаж байна. Хэрэв минтерм нь зөвхөн ганцхан суурь импликантанд хамрагдаж
байвал түүнийг суурь импликантын чухал импликант (essential prime implicant) гэх ба ийм импликант нь
хамгийн хялбар хариуд орох ёстой. Тиймээс т2нь өөр суурь импликантанд хамрагдаагүй тул B'C нь
чухал импликант, харин CD-ын зарим 1-үүд өөр суурь импликантад хамрагдаж байгаа тул чухал
импликант биш юм. m5 болон m14 нь өөр суурь импликантанд хамрагдаагүй тул BD болон CD нь чухал
импликант болно.

Ерөнхийдөө хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг картаас олохдоо бид чухал
импликантуудийг олох хэрэггэй гэсэн үг юм. Түүнийг олохын тулд карт дээрх бүх 1-үүдийг суурь
импликантанд давхардан хамрагдсан эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Хэрэв 1 нь зөвхөн ганцхан суурь
импликантанд хамрагдаж байвал тэр нь түүний чухал импликант юм. Харин хэд хэдэн суурь

Суурь мэдлэг
24

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

импликантанд хамрагдаж байгаа тохиолдолд бид бусад минтермүүдийг шалгахгүйгээр түүнийг чухал
импликант мөн эсэхийг шууд хэлж чадахгүй. Жишээлбэл: Зураг 3.16-ын картын хувьд т5нь зөвхөн b'c-д,
тюнь ас-д буюу карт дээрх бүх 1-үүд зөвхөн хоёрхон суурь импликантанд хамрагдах тул b'c ба ас нь
хоёулаа чухал импликантууд юм.

Илүү түвэгтэй буюу 5 ба түүнээс дээш хувьсагчийн картын хувьд бю чухал импликантуудыг
олохдоо системчилсэн аргыг ашигладаг. Тухайлбаг минтермүүдийг зөвхөн нэг суурь импликантанд
хамрагдсан эсэхийг шалгахдаа түүний зэргэлдээх бүх нүднүүдийг шалгана. Хэрэв тухайн минтерм болон
түүний зэргэлдээх 1-үүд бүгд зөвхөн нэг гишүүн болж байвал тухайн минтерм нь суурь импликантын
чухал импликант юм. Эсрэг тохиолдолд бид бусад минтермүүдийг шалгахгүйгээр түүнийг чухал
импликант мөн эсэхийг шууд хэлж чадахгүй. Зураг 3.18-д энэ зарчмыг харууллаа.

Зураг 3.18
Зургаас харахад минтерм m0-ийн зэргэлдээ 1-үүд 11, 12,14 бөгөөд эдгээрийг бүгдийг нь хамарсан
гишүүн байхгүй тул чухал импликант (essential prime implicant) биш, мөн 17 ба 115 ба 115-үүд нэг
гишүүнд хамрагдахгүй байгаа тул чухал импликант биш юм. Харин 11ба түүний зэргэлдээ 1-үүд болох
10, 15 нь нэг гишүүн A'С'-д хамрагдаж байгаа тул A'C', 10 ба 12-нь зөвхөн A'B'D'-дхамрагдаж байгаа тул
A'B'D', 111 ба 115-ын хувьд ACD нь тус тус чухал импликант юм. Хамгийн хялбар хариуг гаргахын тулд
бид чухал импликантууд биш болох A'BD эсвэл ВCD-ийн аль нэгийг сонгох ёстой бөгөөд эцсийн хариу
нь

A'BD
A'C'+ A'B'D'+ ACD +эсвэл

BCD
Хэрэв картанд Х-ээр тэмдэглэгдэх дурын гишүүн байвал бид түүнийг хамгийн хялбар шийдэл
гаргахдаа 1-ээр төлөөлүүлэн ашиглана. Харин бусад тохиолдолд түүнийг ашиглах шаардлагагүй. Карно
карт ашиглан дараах дарааллаар хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг олдог.
1. Аль нэг гишүүнд хамрагдаагүй минтермийг сонгоно.
2. Түүний зэргэлдээх 1 ба Х-ийн нүднүүдийг олно.
3. Хэрэв нэг гишүүн бүх зэргэлддээх 1 болон Х-үүдийг хамарч байвал тэр нь чухал импликант тул

түүнийг сонгоно. (Хэрэв дурын утга байгаа бол түүнийг зөвхөн 2 ба 3 дугаар алхамд л 1-ээр
төлөөлүүлэн үзнэ.)
4. Бүх чухал импликантуудыг сонгож дуустлаа 1-3 дугаар алхмыг давтана.
5. Карт дээрх үлдсэн 1-ийг хамарсан хамгийн хялбар суурь импликантуудыг олно. (Хэрэв нэгээс
олон шийд олдвол хамгийн цөөн литералтайг нь сонгоно.)

Суурь мэдлэг
25

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Нүднүүдэд1 болон X
утгуудыгтэмдэглэх

Бүх зэрэгцээ 1 болон
Х-үудийн

олж,бүлэглэх

ҮГҮЙ Нэг гишүүн бүх
зэргэлдээх1 болон Х-
үүдийг хамарччадаж байна

уу?

ТИЙМ

Энэхүү гишүүннь
чухал импликант

байна

Бүх 1-үүдийг ҮГҮЙ
бүлэглэсэн үү ?

ТИЙМ

Суурь болон чухал
импликантуудаас бүрдсэнхялбар

илэрхийллийг бичих

Дуусгах

Зураг 3.19 Карно карт ашиглан хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэр олох алгоритм
Зураг 3.19-д ерөнхий алгоритмыг, Зураг 3.20-д түүний жишээг харууллаа. Зургаас харахад 14болон
түүний зэргэлдээх 1 ба Х-үүд (Х0, 15, 16) мөн 113 ба түүний зэргэлдээх 1 ба X (15 ,19, Х15), 18 ба19 нэг
гишүүнд хамрагдахгүй байгаа тул чухал импликантууд биш юм. Харин 16ба түүний зэргэлдээ 1-үүд ба X
болох (14 , Х7) нь нэг гишүүн А'В-д хамрагдаж байгаа тул А'В, 110 ба 18 нь зөвхөн AB'D'-д, хамрагдаж
байгаа тул AB'D' нь тус тус чухал импликант юм. Хамгийн сүүлд карт дээр үлдсэн хоёр 1-ээс AC'D
чухал импликантаар гарч байна.
Ер нь минтермүүдээ зөв сонгож чадвал дараа дараагийн алхмууд нь хялбарчлагддаг бөгөөд бид
дараагийн хэсэгт үүнийг 5 болон 6 хувьсагчийн хувьд хэрхэн ашиглахыг авч үзнэ.

Суурь мэдлэг
26

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Энд цэнхэрээр
тэмдэглэгдсэн 1-
үүд нь зөвхөн нэг
суурь
импликанттай
байна.

Зураг 5.20
3.5 Таван хувьсагчийн Карно карт

5 хувьсагчийн Карно картыг хоёр 4 хувьсагчийн картууд дээр дээрээсээ давхарлан байрласан
маягаар 3 хэмжээст хэлбэрээр зурдаг. Доод талын картын гишүүдийг 0-15, дээд талынхыг нь 16-31 гэж
дугаарладаг. Ингэж зурснаар А'нь доод талдаа, А нь дээд талд нь байрлана. Картыг 2 хэмжээстээр
харуулахын тулд бид нэг нүдийг диагнольдан хоёр хувьсагчийг бичиж Зураг 3.21-д харууллаа.
Картаас харахад зарим гишүүд нь зэргэлдээ мэт боловч тэд өөр өөр давхарт байгаа тул зэргэлдээ биш
юм. Тухайлбал: гишүүн 0 болон 20 нь зэргэлдээ биш, учир нь өөр өөр давхарт оршиж байна. Энд гишүүн
бүр зөвхөн таван зэргэлдээ гишүүнтэй байж болно. Үүний 4 нь ижил давхарт 1 нь өөр давхарт байж
болно (Зураг 3.22). Таван хувьсагчийн картыг Зураг 5.28-д үзүүлснээр давхарга давхаргаар нь салган
зурж болох хэдий ч энэ тохиолдолд зэргэлдээ гишүүдийг олоход түвэгтэй болдог.

Эдгээр гишүүд нь нэгтгэгдэхгүй. Учир нь өөр өөр
давхаргын, өөр өөр баганад бичигдсэнбайна.

Эдгээр 8 гишүүн нь бүлэглэгдэн BD' гэсэн шийд гарна. (Арын 2
баганаас В, дээд талын 2 мөрнөөс D' бичигдэх бөгөөд хоёр давхаргын
эдгээр 4 нүдний гишүүдээс А хялбарчлагдана)
Хоёр давхаргын эдгээр 4 гишүүдээс CDE гэж бичигдэнэ. (Голын 2
баганаас С, нэг л мөр харгалзаж байгаа тул энэ мөрнөөсDE)

Эдгээр нь зөвхөн дээд талын давхаргад харгалзах
тул түүнээс AB'DE' гэж бичигдэнэ.

Зураг 3.21 Таван хувьсагчийн Карно карт

Зэргэлдээ эсэхийг шалгахын тулд бид 1 гишүүнийг түүний зэргэлдээх 5 гишүүнтэй нь шалгах
шаардлагатай. (Ер нь зэргэлдээ нүдний тоо картынхувьсагчдын тоотой тэнцүү байдаг.) Дараах картыг
ашиглан хоёр 5 хувьсагчтай илэрхийллийг хялбарчлахыг үзье.

F(A, В, С, D, Е) = Σm(0, 1, 4, 5, 13, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 28, 30, 31)

Суурь мэдлэг
27

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Зураг 3.22
P1суурь импликант нь минтерм 0-ийн зэргэлдээх бүх 1-ийг хамарч байгаа тул Р1 -ийг эхлээд, Р2
суурь импликант нь минтерм 24-ийн зэргэлдээх бүх 1-ийг хамарч байгаа тул түүнийг дараа нь сонгоё.
Үүний дараа сайтар шалгасны дүнд картанд үлдсэн бүх 1-ийг 3 суурь импликант хамарч байгааг харж
болно.

чсТоуэнхмгадолэхголидэмгхпдэлсрэиэнкгал1нэ-тгүдуүуэдндэын.ьг

Зураг 3.23
Энд бид Р3 ба Р4-ийг сонговол дахин AB'C ба BCD' хоёр бүлгийн аль нэгийг сонгох хэрэгтэй болно.
Иймд

AB'C
F= A'B'D' + АВЕ'+ ACD+ A'BCE +эсвэл
Р1P2Р3 Р4B'CD'
Зураг 3.24-ийн хувьд функц нь дараах бөгөөд

F(A,В, С, D, E)=Σm(0, 1,3, 8, 9, 14, 15, 16, 17, 19, 25, 27, 31)
Р1суурь импликант нь минтерм m16-ийн зэргэлдээ 1-үүдийг хамарч байгаа тул Р1 -ийг эхлээд, дараа
нь Р2 суурь импликант нь минтерм m3-ийи зэргэлдээх бүх 1-ийг хамарч байгаа тул Р2-ийг, Р2 суурь
импликант ньминтерм m8-ийн зэргэлдээх бүх 1-ийг хамарч байгаа тул Р3-ийг тус тус сонгоно. m14нь
зөвхөн m16тэй зэргэлдээ тул Р4 нь чухал импликант байна. Харин картанд үлдсэн бүх 1-ийг Р5 ба хоёр (1-
9-17-25 эсвэл 17-19-25-27) суурь импликант хамарч байгаа тул аль нэгийг нь сонгох хэрэгтэй бөгөөд
эцсийн хариу нь дараах болж байна.

Суурь мэдлэг
28

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Зураг 3.24

Суурь мэдлэг
29

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

ДАСГАЛ БОДЛОГО 3.1
Хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэр ба нийлбэрүүдийн үржвэрийг тодорхойл.

f = b'c'd + bcd + acd'+ a'b'c + a'bc'd
Эхлээд f-ийн картыг зур.

ab
сd 00 01 11 10

00

01

11

10

Хариу:

ab
сd 00 01 11 10

00 1

01 1

11 1 1 1

10 1 11

(a) Карт дээрх т0-ын зэргэлдээ минтермүүдийг бич. Суурь мэдлэг
(b) m0-ыг агуулах чухал импликантыг ол.
(c) m3-ын зэргэлдээ минтермүүдийг бич.
(d) m3-ыг агуулах чухал импликант байгаа эсэхийг тодорхойл.
(e) Өөр чухал импликант байгаа эсэхийг тодорхойлж тэмдэглэ.
Хариу:

(а) т2ба m8
(a) т2ба т7
(b) үгүй

30

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Хамгийн цөөн бүлэглэл байхаар үлдсэн 1-үүдийгтэмдэглэ.
f-ийн хоёр хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэр нь
f = __________________________ буюу
f = __________________________

Хариу:

a'cd
f = b'd'+ a'bd + abc + эсвэл

a'b'c Суурь мэдлэг

f-ийн хамгийн хялбар нийлбэрүүдийн үржвэрийг олъё. f-ийн картыг зурахаас эхлэе
f -ийн бүх чухал импликантыг тодорхойлж тэмдэглэнэ.

ab
сd 00 01 11 10

00
01
11
10

31

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

f'

Хариу:

m1-ийн m11-ийн хялбарчлал
хялбарчлал m6-ийн хялбарчлал

Үлдсэн 1-үүдийг тэмдэглэн f '-ийн хамгийн хялбар нийлбэрүүдийн үржвэрийг бичвэл
f = ________________________________

тул f-ийн хамгийн хялбар нийлбэрүүдийн үржвэр нь
f = ____________________________________

Эцсийн хариу:
f ' = b'c'd + a'bd'+ ab'd + abc'
f = ( b + c + d'){a + b'+ d)(a'+ b + d')(a'+ b'+ c)

Суурь мэдлэг
32

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

БОДЛОГУУД

3.2 Дараах функцуудыг Карно карт дээр зур. (Зурахаасаа өмнө минтерм болгон задлах хэрэггүй)
F(A,B,C,D) = BD'+ B'CD + ABC + ABCD + B'D'

(b) Хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг ол.
(c) Хамгийн хялбар нийлбэрүүдийн үржвэрийг ол.
3.3 Функц бүрд Карно картыг ашиглан хамгийн хялбар үржвэрүүднийлбэрийг ол.

(a) f1(a,b,c) = т0 + т2 + т5 + т6
(b) f2(d,e,f) = Σ.m(0,1,2,4)
(c) f3(r,s,t) = rf'+ r's' + r's
(d) f4 (x,y,z) = M 0 - M 5

3.4 Функц бүрийн хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэр болон хамгийн хялбар нийлбэрийн
үржвэрийг ол.
(a)f(a,b,c,d) = ПM(0,1, 6, 8, 11, 12) · П D(3, 7, 14, 15)
(b) f(a,b,c,d) = Σ m(1, 3, 4, 11) + Σ m(2, 7, 8, 12, 14, 15)

3.5 Түлхүүрэн схем нь 2 хяналтын оролт (С1 ба С2), 2 мэдээллийн оролт( X 1 ба Х2),мөн 1-гаралттай (Y).
Хяналтын 2 оролтоос хамааран энэхүү схем нь мэдээллийн 2 оролтон дээр AND, OR, EQU (эквивал
эсвэл XOR логик үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг.
C1 C2 Гүйцэтгэгдэх функц

00 OR

01 XOR

10 AND

11 EQU

(a) Z -ийн үнэний хүснэгтийг байгуул.

(b) Карно картыг ашиглан хамгийн цөөн AND-OR логик эле ашигласан схем зур.
3.6 Функц бүрийн үржвэрүүдийг хамгийн хялбар нийлбэрээр илэрхийл.Чухал импликантуудыг доогуур

нь зурж тайлбарла.
(a) f(a,b,c,d) = Σ.m(0, 1, 3, 5, 6, 7, 11, 12, 14)
(b) f(a,b,c,d) = ПМ(1, 9, 11, 12, 14)
(c) f (a,b,c,d) = ПМ( 5 , 7 , 13, 14, 15) ·П D(1, 2, 3, 9)

3.7 Функц бүрийн үржвэрүүдийг хамгийн хялбар нийлбэрээр илэрхийл.
(a) f(a,b,c,d) = Σ m(0, 2, 3, 4, 7, 8, 14)
(b) f(a,b,c,d) = Σm(1,2,4, 15) + Σd(0, 3, 14)
(c) f(a,b,c,d) = ПM (1, 2, 3, 4, 9, 15)
(d) f(a,b,c,d) = П M(0, 2, 4, 6, 8) · П D(1, 12, 9, 15)

3.8 F(a,b,c,d,e) = Σm (0,3,4,5,6,7,8,12,13,14,16,21,23,24,29,31)
(a) Карно карт ашиглан чухал импликантуудыг олж, яагаад чухал импликантаар сонгосныг
тайлбарла (Энд 4 суурь импликант байгаа болно).
(b) Карно карт ашиглан бүх суурь импликантуудыг ол (Бүгд 9 ширхэг байгаа болно).

3.9 Функц бүрийн хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэр болоннийлбэрүүдийн үржвэрийг ол.

(a) F(A,B,C,D,E) = Σ m(0,1,2,6,7,10,15,16,18,20,21,27,30) + Σd (3,4,11,12,19)
(b) F(A,B,C,D,E) = П М(0,3,6,9,11,19,20,24,25,26,27,28,29,30) · П D(1,2,12,13)

3.10 Өгөгдсөн илэрхийллийн хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг ол.
m5-ыг дурын гишүүн болгоод хариу өөрчлөгдөхгүй гэдгийг батал.
F(A,B,C,D) = А'С'+ B'C + ACD'+ BCD

3.11 Дараах функцуудын хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг илэрхийл.
(a) f1(A, В, С) = m1+ m2 + m4 + т6
(b) f2(d, е, f) = Σ m(1, 5, 6, 7)
(c) f3(r, s, t) = r's'+ rs'+ rs
(d) f1(a, b, c ) = m3 + m4 + m6 + m7
(e) f2(n, p, q) = I m (2, 3, 5, 7)

Суурь мэдлэг

33

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

(f) f3(x,y,z) = M3M6
3.12 Түлхүүрэн схем нь 2-хяналтын оролт (C1ба С2), мэдээллийн 2-оролт ( X 1 ба Х2), мөн нэг (Y)

гаралттай. Хяналтын 2-оролтоос хамааранэнэхүү схем нь мэдээллийн 2-оролтон дээр хүснэгтэд
үзүүлсэн үйлдлийг гүйцэтгэдэг.

C1 C2 Гүйцэтгэгдэх функц

00 Х1Х2

01 Х1Х2

10 Х1+ Х2

11 Х1≡Х2
(a) Z-ийн үнэний хүснэгтийг байгуул.
(b) Карно картыг ашиглан хамгийн цеөн OR-AND логик элемеь"
ашигласан схемийг зур.
3.13 Карно картыг ашиглан дараах функцуудын хувьд боломжит 6үх хамгийн хялбар үржвэрүүдийн
нийлбэрийг илэрхийл.
(a) F(a, b, с) = П M(3, 4)
(b) g(d, e,f) = Σm (1,4,6) + Σ d (0, 2, 7)
(c) F(p, q, r) = (p + q'+ r)(p'+ q + r')
(d) F(s, t, u) = Σm(1, 2, 3) + Σ d(0, 5, 7)
(e) f(a, b, c) = П M(2, 3, 4)
(f) G(D, E, F) = Σ m(1, 6) + Σ d(0, 3, 5)

3.14 Дараах функц бүрийн хувьд бүх суурь импликантууд болон хамгийн хялбар үржвэрүүдийн
нийлбэрийг ол.
(a) f{A, В, С, D) = Σm(4, 11, 12, 13, 14) + Σ d(5, 6, 7, 8, 9, 10)
(b) f(A, В, С, D ) = Σm(3, 11, 12, 13, 14) + Σd (5, 6, 7, 8, 9, 10)
(c) f{A, В, С, D) = Σ m (1,2,4, 13, 14) + Σ d (5, 6,7,8, 9, 10)
(d) f(A, B, C, D) = Σ m(4, 15) + Σ d(5, 6, 7, 8, 9, 10)

(e) f(A, B, C, D ) = Σm(3, 4,11,15) + Σd(5, 6, 7, 8, 9, 10)
(f) f{A, B, C, D) = Σm(4) + Σd(5, 6. 7,8, 9, 10, 11, 12, 13, 14)
(g) f{A, B, C, D) = Σm(4, 15) + Σ d(0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10)

3.15 Хамгийн бага үржвэрүүдийн нийлбэрийг ол.
(a) Σ m (0, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 12, 13)
(b) Σ m(2, 4, 8) + I d(0, 3, 7)
(c) Σ m (1,5, 6,7, 13) + Σ d (4,8)
(d) f(w, x,y, z) = Σm(0, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 12, 13) + Σ d (1, 6, 11, 14)
(e) П M(0, 1, 2, 5, 7, 9, 11) • П D(4, 10, 13)

3.16 Эхлээд картыг дараа нь Булийн алгебрыг ашиглан дараах илэрхийллийг хялбарчил. Алгебрын
хялбарчлал хийхдээ хэрэгжүүлэх теоремуудын дарааллыг карт ашиглан тодорхойл.
F = a'b'c'+ a'c'd + bed + abc + ab'

3.17 Өгөгдсөн F = AB'D'+ A'B + A'C + CD илэрхийллийн хувьд
(a) Карно карт ашиглан F илэрхийллийн макстермийг ол (Хариугаа 10-тын тэмдэглэгээ болон
алгебрын илэрхийллээр бич).
(b) Карно карт ашиглан Р илэрхийллийн хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг ол.
(c) F-ийн хамгийн хялбар нийлбэрүүдийн үржвэрийгол.

3.18 Өгөгдсөнf(а,b, c, d, e ) = Σm(6,7,9,11,12,13,16,17,18,20,21,23,25,28) илэрхийллийн хувьд Карно карт
ашигла.
(a) Чухал импликантуудыг ол. (3 байгаа)
(b) Хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг ол. (7 гишүүн)
(c) Бүх суурь импликантуудыг ол. (12 байгаа)

3.19 Зурагдсан функц бүрийн хувьд бүх суурь импликантуудыг ол.

Суурь мэдлэг
34

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

3.20 Өгөгдсөн F(A,B.C.D.E) = Σm(1,7,8,13,16.19) + Σ d(0,3,5,6,9,10,12.15,17,18,20,23,24,27,29,30)
функцын хувьд
(a) F-ийн Карно картыг зур.
(b) F-ийн бүх суурь импликантуудыг ол. (Суурь импликантууд I зөвхөн дурын утгуудад агуулагдах
албагүй)
(c) F-ийн бүх хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг ол.
(d) Р-ийн бүх суурь импликантуудыг ол.
(e) F-ийн бүх хамгийн хялбар нийлбэрүүдийн үржвэрийг ол.

Суурь мэдлэг
35

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

БҮЛЭГ 4. КВАЙНЫ АРГА
1. Квайны арга (Quine-McCluskey method)-ыгашиглан функцын суурь импликантуудыг олж

энэхүү аргыг тайлбарлах
2.Функцын суурь импликант болон чухал импликантуудыг тодорхойлох
3.Өгөгдсөн функцын суурь импликантын диаграмм болон Петрикийн арга (Petrick's method)-

ыгашиглан функцын чухал импликант болон хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг
олох
4.Квайны аргыг ашиглан бүрэн бус тодорхойлогдсон функцыг хялбарчлах
5.Өргөтгөсөн хүснэгтийн (Map-entered variables) аргыг ашиглан функцын хамгийн хялбар
үржвэрүүдийн нийлбэрийг олох

Бүлэг 3-д бид цөөн тооны хувьсагчтай функцыг хялбарчлахад Карно карт тохиромжтой бөгөөд үр
дүнтэй болохыг авч үзсэн. Харин хэд хэдэн функц эсвэл нилээд олон хувьсагчтай функцыг хялбарчлах
шаардлага гарахад тоон компьютерийн хэрэг гарч ирнэ. Иймээс энэ бүлэгт бид компьютерт
программчлагдахуйц системчилсэн хялбарчлалын арга болох Квайны аргыг авч үзэх болно. Энэ арга нь
еренхийдөө функцын хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг олохдоо минтерм хэлбэрийг багасгадаг
арга бөгөөд дараах үндсэн хоёр алхамтай.

1. ХҮ + ХҮ'= X теоремыг системтэйгээр ашиглан гишүүн бүрээс литерал (literal)-ыг хасах бөгөөд
знэ үйлдлийн дүнд үлдсэн үр дүнг нь суурь импликант (prime implicant)-yyдгэнэ.

2. Хамгийн цеөн литералтай болгон тэдгээрийг хооронд нь OR хийхэд үндсэн функцтэй тэнцүү
байх чухал импликантуудыг функцын суурь импликантын диаграммыг ашиглан сонгох

4.1 Суурь импликантуудыг тодорхойлох

Функцын хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг Квайны арга ашиглан олохын тулд үндсэн
функц нь минтермүүдийн нийлбэр хэлбэрт өгөгдсөн байх ёстой (Хэрэв функц өөр хэлбэрт өгөгдсөн бол
түүнийг 3.3-ын аль нэгаргаар минтерм хэлбэрт хувиргана). Квайны аргын эхний алхам бол
минтермүүдийг нэгтгэн функцын бүх суурь импликантуудыг тодорхойлох юм. 2-т.с-ээр илэрхийлэгдсэн
минтермүүдийг дараах теорем ашиглан нэгтгэнэ

XV + Х Ү ' = Х (4-1)

X нь литералуудынүржвэр, Үнь дан хувьсагч. Иймд хэрэв 2 гишүүн зөвхөн нэг хувьсагчаараа ялгаатай
бол тэд нэгтгэгдэх ёстой. Дараах жишээндилэрхийллийг алгебрын хэлбэрээр болон 2-тын
тэмдэглэгээгээр харууллаа

AB'CD'+AB'CD =АВ'С

1010 +1 0 1 1 = 1 0 1- (зураас орхигдсон хувьсагчийг илэрхийлнэ)

XY XY' X
A'BC'D + A'BCD' (нэгтгэгдэхгүй )

0 1 0 1 + 0 1 1 0 (нэгтгэгдэхгүй)
Бүх суурь импликантуудыг тодорхойлохын тулд бүх минтермүүдыг нэгтгэх боломжтой эсэхийг
шалгана. Шалгах процессын тоог багасгахын тулд эхлээд гишүүдийг 1-үүдийн тоогоор нь жагсаах
хэрэгтэй.

f(a,b,c,d) = Σm(0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 14) (4-2)

Бүлэг-0 0 0000
Бүлэг-1
1 0001
Бүлэг-2 2 0010
Бүлэг-3 8 1000
5 0101
6 0110
9 1001
10 1010
7 0111
14 1110

Суурь мэдлэг

36

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Жагсаалтын бүлэг-0 нь огт 1-гүй, бүлэг-1 нь нэг 1-тэй, бүлэг-2 нь хоёр 1-тэй, бүлэг-3 нь гурван 1-тэй
байна.

Хэрэв хоёр гишүүн нь хоорондоо зөвхөн нэг хувьсагчаараа ялгаатай байвал нэгтгэгдэх боломжтой.
Харин зэргэлдээ бус гишүүд хамгийн багадаа хоёр хувьсагчаар ялгаатай тул XY + ХҮ'= X теоремыг
ашиглах боломжгүй. Тиймээс тэдгээрийг хооронд нь харьцуулах шаардлагагүй. Үүнтэй нэгэн адил бүлэг
доторх ижил тооны 1-тэй гишүүд нь хамгийн багадаа хоёр хувьсагчаар ялгаатай байх ёстой тул
тэдгээрийг хооронд нь харьцуулах шаардлагагүй. Тиймээс зөвхөн зэргэлдээ бүлэг дэх гишүүдийг
хооронд нь харьцуулах хэрэгтэй.

Иймд эхлээд бүлэг-0-ийн бүх гишүүдийг бүлэг-1-ийн гишүүдтэй харьцуулъя. 0000 ба 0001 -ийг
нэгтгэн дөрөв дэх хувьсагчийг нь хасан 000-болгож болно. Үүний нэгэн адил 0 ба 2-ийг нэгтгэн 00-0
(a'b'd'), 0 ба 8-ийг нэгтгэн -000(b'c'd') болгож болно. Үр дүнг Хүснэгт 4.1-ийн хоёрдугаар баганад нэгтгэн
бичлээ.

Хүснэгт 4.1 Суурь импликантуудыг тодорхойлох нь

Багана I Багана II Багана III
0, 1, 8, 9 -00-
Бүлэг-0 0 0000 √ 0√, 1 000- √

1 0001 √ 0, 2 00-0 √ 0, 2, 8, 10 -0-0

Бүлэг-1 2 0010 √ 0, 8 -000 √ 0, 8, 1, 9 -00-

8 1000 √ 1, 5 0-01 0, 8, 2, 10 -0-0

5 0101 √ 1, 9 -001 √ 2, 6, 10, 14 --10

Бүлэг-2 6 0110 √ 2, 6 0-10 √ 2, 10, 6, 14 --10
9 1001 √ 2, 10 -010 √
10 1010 √ 8, 9 100- √

Бүлэг-3 7 0111 √ 8, 10 10-0 √
14 1110 √ 5, 7 01-1 √

6, 7 011- √
6, 14 -110 √
10, 14 1-10

Бүлэг-0-ийг бүлэг-2 ба 3-тай харыдуулах шаардлагагүй. Харин бүлэг-1 ба 2-ыг харьцуулах
хэрэгтэй. Эхний гишүүнийг 2 дахь бүлгийн бүх гишүүдтэй харьцуулбал 5 ба 9 нь нэгдэх боломжтой бол
10 ба 6-тай нэгдэхгүй. Хоёрдугаар гишүүн нь зөвхөн 6 ба 10-тай нэгтгэгдэх бөгөөд наймдугаар гишүүн
нь зөвхөн 9 ба 10-тай нэгтгэгдэнэ. Гишүүдийг нэгтгэхдээ үргэлж шалгаж байх хэрэгтэй бөгөөд магадгүй
нэг гишүүнд X + X = X теорем хэд хэдэн удаа хэрэглэгдэж болно. Мөн хамгийн хялбар шийдлийг олоход
илүү гишүүдийг нэгтгэх зорилгоор хоёр гишүүн аль хэдийн нэгтгэгдсэн ч дахин нэгтгэгдэх
боломжтойгоос гадна хялбарчлахын тулд нэмэлт гишүүд нэмэгдэж болно. Харин дараа нь эдгээр
нэмэгдсэн гишүүд хасагдах ёстой. Бүлэг-2 ба 3-ын гишүүдийг харьцуулснаар хүснэгтийн эхний багана
дуусна. Шинэ гишүүд 5 ба 7, 6 ба 7, 6 ба 14, 10 ба 14 гишүүдийг нэгтгэснээр үүсгэж байна.

Хүснэгтийн хоёр дахь баганын гишүүд нь агуулж буй 1-ийнхээ тоогоор хоёр хэсэгт хуваагдаж
байна. Хоёр дахь баганын гишүүдийг ХҮ + ХҮ'= X теоремын тусламжтайгаар нэгтгэх хэрэгтэй тул яг
ижил байрлалд хувьсагч нь хасагдсан гишүүдийг хооронд нь харьцуулах хэрэгтэй. Иймээс 1 ба 2-р бүлэг
дэх гишүүдийг нэгтгэн хүснэгтийн гуравдугаар багананд бичсэн бөгөөд 0, 1, 8, 9 нь минтерм 0, 1, 8, 9-
үүдийг нэгтгэсэн гэдгийг илэрхийлж байна. Нэгтгэхдээ 000-(0,1) ба 100-(8,9)-ыг нэгтгэж -00- болж
байгаа бөгөөд энэ нь a'b'c'+ ab'c'= b'c'-тэй эквивалент юм. Мөн (0,2) нь (8,10)-тэй, харин (0,8) нь (1,9) ба
(2,10)-тай, гурав дахь бүлгийн (2,6) нь (10,14)-тэй, харин (2,10) нь (6,14)-тэй нэгдэж болж байна.

Хүснэгтийн гурав дахь багананд давхардсан 3 хос байгаа бөгөөд эдгээр хосууд нь ижил 4
минтермийг өөр өөр дарааллаар нэгтгэснээс үүссэн байна. Давхардлыг устгасны дараа дахин нэгтгэл
хийх боломжгүй болж байна. Ер нь бид харьцуулалтыг дахин нэгтгэл хийх боломжгүй болтол хийгээд
дараагийн шинэ баганын гишүүдийг нэгтгэж эхлэх хэрэгтэй.

Дахин нэгтгэл хийх боломжгүй гишүүдийг суурь импликант гэх ба минтерм бүр нь ядаж нэг суурь
импликантанд хамаарах тул функц нь суурь импликантуудын нийлбэртэй тэнцүү болно. Жишээлбэл:
Энд

F =a'c'd + a'bd + a'bc+ b'c' + b'd' + cd'(4-3)
(1,5) (5,7) (6,7) (0,1,8,9) (0,2,8,10) (2,6,10,14)

Суурь мэдлэг

37

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Энэ илэрхийллийн гишүүд нь хамгийн цөөн литералтай хэдий ч гишүүдийн тоо нь хамгийн цөөн
биш байна. Эмхэтгэлийн теорем (Consensustheory)-ыгашиглан илүүдэл гишүүдийг хасвал f-ийн хамгийн
хялбар үржвэрүүдийн нийлбэр нь

f = a'bd + b'c'+ cd' (4-4)

болж байна. Бүлэг 4.2-д суурь импликантуудыг илүү хялбараар хасах боломжтой суурь импликант
диаграммын аргыг авч үзнэ.

Одоо бид Квайны аргыг ашиглан импликант болон суурь импликантуудыг тодорхойлно.

Тодорхойлолт:

Өгөгдсөн п хувьсагчийн Fфункцын хувьд түүний үржвэр гишүүн Р нь ийн F-ийн импликант байх
хангалттай бөгөөд хүрэлцээтэй нөхцөл нь хувьсагчийн комбинац бүрд Р = 1 байхад F = 1 байх юм.
Өөрөөр хэлбэл зарим комбинацын үед Р = 1 байхад F - 0 бол Р нь F функцын импликант биш юм.

F(a, b, с) = a'bc + ab'c' + ab'c + a b c = b'c'+ ac (4-5)

Хэрэв a'b'c' = 1 бол F = 1, хэрэв ac = 1 бол F= 1 гэх мэт. Тиймээс a'b'c' ба acнь Fфункцын импликант
байна. Энэ жишээнд а = 0, b = с = 1,bс = 1 үед F= 0 тул bc F функцын импликант биш юм. Ер нь хэрэв
функц үржвэрүүдийн нийлбэр хэлбэрт өгөгдсөн тохиолдолд үржвэр гишүүд нь F функцын импликант
байдаг. Мөн F функцын минтерм бүр нь импликант байдаг. Жишээлбэл: Хүснэгт 4.1-ийн бүх гишүүд нь

4-2 илэрхийллийн импликантууд юм.

Тодорхойлолт:
Аль ч литерал нь дахин устгагдах боломжгүй үржвэр гишүүн импликантыг F функцын суурь импликант
гэнэ.

(4-5) илэрхийлэлд a'b'c' нь суурь импликант биш юм. Учир нь а нь устгагдах боломжтой бөгөөд
харин а-ыг устгасны дараа үлдэж буй b'c' ба ас нь суурь импликант юм. Хэрэв бид аль нэгнээс нь ямар
нэг литералыг нь устгавал энэ хоёр нь уг функцын импликант биш болно. Ер нь суурь импликант нь
хамгийн цөөн литералтай байх ёстой тул тэдгээрийг өөр гишүүдтэй дахин нэгтгэж ямарч литерал устгах
боломжгүй гэсэн үг юм.

Квайны арга гэдэг нь функцын бүх үржвэр гишүүн импликантуудыг олоод тэдгээрт нэгтгэл хийн
шалгаж, суурь импликантуудыг тодорхойлох юм.

Функцын хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэр нь уг функцын зарим нэг суурь импликантуудын
нийлбэрээс тогтдог. Өөрөөр хэлбэл функцын үржвэрүүдийн нийлбэр нь суурь импликант биш
гишүүнийг агуулах тул хамгийн хялбар шийдэл байх албагүй байдаг. Учир нь суурь импликант биш
гишүүн нь хамгийн цөөн литералтай байх албагүй бөгөөд түүнийг өөр минтермтэй нэгтгэж мөн суурь
импликантаар орлуулах боломжтой байдаг.

4.2 Суурь импликантын диаграмм

Квайны аргын хоёр дахь хэсэг нь чухал импликантууд (essential inplicant)-ыголохын тулд суурь
импликантын диаграммыг ашиглах юм. Функцын минтермүүдийг диаграммын дээд талд нь суурь
импликантуудыг доош нь цувуулан бичдэг. Суурь импликант нь минтермүүдийг агуулж байдгийг бид
мэднэ. Тиймээс хэрэв диаграммд бичигдсэн суурь импликант тухайн минтермийг агуулж байвал
тэдгээрийн харгалзах мөр баганы огтлолд Х-ийг бичнэ. Хүснэгт 4.2-д Хүснэгт 4.1-ээс гаргасан суурь
импликантын диаграмм (ptime implicant chalrt)-ыгүзүүлсэн бөгөөд энд зөвхөн өмнө шалгагдаагүй
гишүүд бичигдсэн болно.

Эхний мөрөнд b'c' нь минтерм 0, 1, 8, 9-ийн нийлбэрээр тодорхойлогдож байгаа тул тэдгээрийн
огтлолыг Х-ээр тэмдэглэсэн байна. Үүний нэгэн адил b'd' нь минтерм 0, 2, 8, 10-ын нийлбэрээр
тодорхойлогдож байгаа тул мөн тэдгээрийн огтлолыг Х-ээр тэмдэглэжээ.

Суурь мэдлэг
38

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Хүснэгт 4.2 Суурь импликантын диаграмм

0 1 25 6789 10 14
(0, 1, 8, 9) b'c' X X
X XⓍ

(0, 2, 8, 10) b'd' X X XX X
XⓍ
(2, 6, 10, 14) cd' X XX

(1, 5) a'c'd X X

(5, 7) a'bd XX

(6,7) a'bc XX X

Хэрэв минтерм нь зөвхөн нэг суурь импликантанд хамаарч байвал түүнийг чухал импликант гэж
нэрлэдэг бөгөөд чухал импликант нь хамгийн бага үржвэрүүдийн нийлбэрт агуулагдах ёстой. Суурь
импликантын диаграмм ашиглан чухал импликантыг хялбархан тодорхойлж болно. Хэрэв тухайн
баганад ганцхан X байвал харгалзах мөрөнд чухал импликант байна гэсэн үг юм. Тухайлбал: Хүснэгт
4.2-ын 9 ба 14 дүгээр баганад зөвхөн ганцхан X байх тул b'c'ба сd'нь чухал импликант юм.

Хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэр суурь импликантыг сонгох бүрдээ тухайн мөрийг дарж
тэмдэглэнэ. Үүний дараа дээрх суурь импликантуудад хамаарах минтермүүд бүхий багануудыг дарна.
Хүснэгт4.3-д Хүснэгт 4.2-ын чухал импликантууд түүнд харгалзах мөр баганууд дарагдсан байгааг
харууллаа. Хамгийн хялбар суурь импликантууд — үлдсэн баганад харгалзах ёстой. Энэ жишээнд a'bd
нь хоёр баганыг хамарч байгаа бөгөөд хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэр нь

f = b'c'+ cd' + a'bd
болох ба энэ нь (4-4) илэрхийлэлтэй ижил байна. Энд a'bd нь хамгийн хялбар шийдэлд орж байгаа хэдий
ч чухал импликант биш бөгөөд энэ нь т5 - т7-ыннийлбэрээр тодорхойлогдож, т5нь a'c'd-p,, т7нь а'bс-д
хамаарагдаж байна.

0 1 25 6 7 8 9 Хүснэгт 4.3
10 14
(0, 1, 8, 9) b'c' X X X XX
X
(0, 2, 8, 10) b'd' X X XX XX

(2, 6, 10, 14) cd' X XX

(1, 5) a'c'd X X

(5, 7) a'bd XX

(6,7) a'bc XX X

Суурь импликантын диаграммыг байгуулах явцад зарим минтерм ньзөвхөн нэг суурь импликантанд,
зарим нь хэд хэдэн суурь импликантад хамрагдаж болно. Хэрэв суурь импликант нь f функцын өөр ямар
нэг суурь импликантанд хамрагдаагүй минтермийг хамарч байвал түүнийг ч импликант гэнэ. Бүх чухал
импликант нь хамгийн хялбар шийдэлд орох чухал импликантууд хамгийн эхлээд сонгогддог. Чухал
импликант сонгосны дараа тэдгээрт хамрагдах минтермүүд нь харгалзах багануудыг дарахад хасагддаг.
Харин чухал импликант бүх минтермүүдийг хамарч чадаагүй тохиолдолд хамгийн хялбар шийдийг
олоход нэмэлт чухал биш суурь импликант хэрэгтэй болдог. Их хэмжээний суурь импликантын
диаграммын хувьд түүнийг багасгах нэмэлт аргачлал хэрэгтэй болдог.Зарим функц хоёр ба түүнээс олон

хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэртэй байдаг бөгөөд үүнийг дараах жишээгээр авч үзье.

Жишээ: Суурь импликантын диаграммын багана бүр хоёр ба түүнээс дээш Х-тэй бол түүнийг цикл
суурь импликантын диаграмм гэнэ. Дараах функцын диаграммыг зуръя.

F = Σ m (0, 1, 2, 5, 6,7) (4-6)

0 000 √ 0,1 00-
1 001
2 010 √ 0,2 0-0
5 101 √ 1,5 -01
6 110 √ 2,6 -10
√ 5,7 1-1

Суурь мэдлэг

39

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Суурь импликантууд нь 7 111 √ 6,7 11-

Хүснэгт 4.4-д дээрх функцэд харгалзах суурь импликантын диаграммыг харууллаа. Диаграммын
бүх баганад хоёр X байна. Энд багана 0-д (0,1) ба (0,2) эхлээд (0,1) мөрийг, дараа нь 0 болон 1 баганыг
даръя. Хоёрдугаар баганад (2,6) нь хоёр баганыг хамарч байгаа тул түүнийг сонгоё. Үлдсэн нэг баганыг
(5,7) хамарч байгаа тул түүнийг сонгоод эцсийн хариу F = a'b' + bc' + ас болж байна.

Хүснэгт 4.4

012567

①→ (0, 1) a'b' XX
(0,2) a'c' XX
②→ (1,5)
③→ (2,6) b'c XX
(5, 7) XX
bc' XX

ac

(6,7) ab XX

Бид энэ хариуг хамгийн хялбар шийд гэж батлаж чадахгүй тул еөр суурь импликантыг сонгох 0
дүгээр баганаас эхэлбэл

Хүснэгт 4.5

P1 (0, 1) a'b' 012567
P2 (0,2) a'c' XX
P3 (1,5) b'c XX
P4 (2,6) bc'
P5 (5, 7) ac XX
XX
P6 (6,7) ab XX
XX

болох ба эцсийн хариу нь F = а'с'+ b'c + ab гарч байна. Дээрх хоёр хариу нь ижил тооны гишүүн,
литералтай тул энэ функц нь хоёр хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэртэй байна. (4-6) илэрхийллийн
хоёр хариуг Карнокартыг ашиглан олсон хариутай (Зураг 3.9) харьцуулбал карт дээрх минтерм бүр нь
хоёр бүлэгт хамрагдаж байгаа болон суурь импликантын диаграммын багана бүр хоёр Х-тэй байгаа нь
минтерм бүр хоёр өөр суурь импликантантад хамаарагдаж буйг илэрхийлж байна.

4.3 Петрикийн арга

Петрикийн арга нь бүх хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг cyypьимпликантын
диаграммаас олох арга юм. Илэрхийллийн хувьсагчдын тоонэмэгдэх тусам суурь импликантын тоо
ихсэж суурь импликантын диаграмм илүү түвэгтэй болдог. Энэ тохиолдолд зөв (үнэн) хариуг олохын
тулд маш олон удаагийн оролдлого давталт хийх хэрэгтэй болно. Харин Петрикийн арга нь суурь
импликантын диаграммаас хамгийн хялбар хариуг олдог өмнөх аргаас илүү системчилсэн арга юм.
Петрикийн аргыг ашиглахын тулд эхлээд суурь импликантын диаграммаас бүх чухал импликантууд бол
минтермүүдийг арилгасан байх ёстой.

Суурь мэдлэг
40

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Хүснэгт 4.5-г ашиглан Петрикийн аргыг хэрхэн ашиглахыг авч үзье. Диаграммын мөрүүдийг Р1,
Р2, Р3гэж тэмдэглэе. Диаграммын бүх минтермүүдийг хамарсан үед үнэн байх Р1логик функцыг үүсгэе.
Үүний тулд эхлээд P1мөрийн суурь импликант хариунд орсон үед үнэн байх P1логик хувьсагч, Р2мөрийн
суурь импликант хариунд орсон үед үнэн байх Р2логикхувьсагч гэх мэт мөр бүрд харгалзах логик
хувьсагч үүсгэе. Р1,Р2мөрний 0-р багана нь X байгаа тул минтерм 0-ийг оруулахын тулд бид Р1эсвэл Р2
мөрийг сонгох хэрэгтэй. Иймд (Р1+ Р2) гэсэн илэрхийлэл гарцаагүй үнэн байх болно. Минтерм 1-ийг
оруулахын тулд бид Р1, ба Р2-ийн аль нэгий сонгох хэрэгтэй тул илэрхийлэл нь (Р1+ Р3) болно. Харин
минтерм 2-ийнхувьд (Р2 + Р4), минтерм 5, 6, 7-ийн хувьд (Р3 + Р5), (Р4 + Р6) ба (Р5 + Р6) гэжсонговол үнэн
байх ба дараах функц үнэн байна.

Р = (Р1+Р2)(Р1+Р3)(Р2+Р4)(Р3+Р5)(Р4+Рб)(Р5+Р6) = 1
Үүний дараа Р-г хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэр болгож хялбарчилна. Илэрхийлэлд инверс
байхгүй тул хялбарчлалд амар байна. Эхлээд (X + Ү)(Х + Z ) = X + YZхаалт задлаххуулийгашиглавал

Р = (Р1+Р2Р3)(Р4+Р2Р6)(Р5+Р3Р6) = (Р1Р4+ P1P2P6+ Р2Р3Р4+ Р2Р3Р6)(Р5+Р3Р6) =

= Р1Р4Р5 + Р1Р2Р5Р6+ Р2Р3 Р4Р5+ Р2Р3 Р5Р6 + Р1Р3Р4Р6 + Р1Р2Р3Р6 + Р2Р3 Р4Р6 + Р2Р3Р6

Одоо илүү гишүүдийг хасахын тулд X + ХY = Хтеоремыг ашиглая.

Р = Р1Р4Р5+ Р1Р2Р5Р6+ Р2Р3 Р4Р5+ Р1Р3Р4Р6+ Р2Р3Р6
Нэг талаас бүх минтермүүдийг хамрахын тулд Р нь үнэн байх ёстой. Нөгөө талаас бүх минтермүүдийг
хамрахын тулд бид Р1 ,Р4 ,Р5 мөрүүд эсвэл Р1,Р2,Р5,Р6мөрүүдийг эсвэл Р2, Р3, Р6 мөрүүдийг сонгох
хэрэгтэй гэсэн үг юм. Энд боломжтой хувилбар байгаа хэдий ч үүний зөвхөн хоёр нь хамгийн цөөнтооны
мөрүүдийг агуулж байна. Тэдгээр хамгийн цөөн тооны суурьимпликанттай хоёр хариуг авахын тулд Р1
,Р4 ,Р5 мөрүүд эсвэл Р2, Р3,Р6мөрүүдийг сонгоно. Эдгээрийг илэрхийлэл хэлбэрээр нь бичвэл эхний
хувилбар нь F = a'b'+ bс'+ ас, хоёр дахь хувилбар нь F = а'с'+ b'c + ab буюу Бүлэг 4.2-д гарсан хамгийн
хялбар хоёр шийд гарч байна.

Петрикийн аргыг нэгтгэн хэлбэл:

1. Бүх чухал импликантуудын мөрүүд болон харгалзах багануудыг хасаж суурь импликантын
диаграммыг багасгана.

2. Багасгасан суурь импликантын диаграммын мөрүүдийг Р1, Р2, Р3 гэж тэмдэглэнэ.
3. Бүх минтермүүдийг агуулсан үед Р үнэн байх логик функц үүсгэх ба логик функц нь нийлбэрийн

үржвэр хэлбэртэй байна. Нийлбэр гишүүн бүр (Рi0 + Pi1+ ...) хэлбэртэй байна, Рi0 ,Pi1 ... нь i
баганыг хамарч буй мөрүүдийг илэрхийлнэ.
4. Өмнөх алхамаас гарсан үр дүнгийн бүх гишүүд нь шийд тул бид хамгийн хялбар шийдийг
тодорхойлохын тулд хамгийн цөөн хувьсагчтайг нь олно.
5. 5 дугаар алхамаас олдсон хариуны суурь импликант бүрийн литералуудыг тоолон хамгийн цөөн
литералтайг нь сонгож тэдгээрийн харгалзах суурь импликантын нийлбэрийг бичиж эцсийн
хариуг олно.

Петрикийн арга нь томоохон хэмжээний диаграммын хувьд илүү ашигтай бөгөөд компьютерээр
хэрэгжүүлэхэд маш хялбархан байдаг.

4.4 Бүрэн бус тодорхойлогдсон функцын хялбарчлал

Бүрэн бус тодорхойлогдсон функцын хамгийн хялбар шийдийг олохдоо дурын утуудад нь
тохиромжит утгыг оноодгийг бид мэднэ. Энэ хэсэгт бид Квайны аргыг бүрэн бус тодорхойлогдсон
функцын хамгийн хялбар шийдийг олоход хэрхэн ашиглахыг авч үзнэ. Суурь импликантуудыг олохдоо
дурын утгуудыг ашиглан гишүүдийг нэгтгэж, илүүдэл литералуудыг хасдаг бөгөөд дурын утгуудыг
диаграммд оруулдаггүй. Мөн дурын утгууд нь эцсийн хариуг олоход ашиглагдах хэдий ч хариунд
ордоггүй.

Р = (A,В, С, D) = Σ m(2,3,7,9,11,13)+ Σ m(1,10,15)

Суурь импликантуудыг олоход дурын утгуудыг минтерм шиг ашигладаг.

Суурь мэдлэг

41

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

1 0001 √ (1,3) 00-1 √ (1,3, 9, 11) -0-1
2 0010 √ (1,9) -001 √ (2, 3, 10, 11) -01-
(3, 7, 11, 15) --11
3 0011 √ (2, 3) 001- √ (9, 11, 13, 15) 1--1
9 1001 √ (2, 10) -010 √

10 1010 √ (3,7) 0-11 √

7 0111 √ (3, 11) -011 √
11 1011 √ (9, 11) 10-1 √
13 1101 √ (9, 13) 1-01 √

15 1111 √ (10, 11) 101- √

(7, 15) -111 √

(11, 15) 1-11 √
(13, 15) 11-1 √

Харин диаграммыг зурахдаа дурын утгуудыг орхиж зурна.

2 3 7 9 11 13

(1, 3, 9, 11) X X XX

*(2, 3, 10, 11) X X X

*(3, 7, 11, 15) XX X

*(9, 11, 13,15) XXX

*чухал импликантыг илтгэнэ.

F = B'C + C D + A D
Хэдийгээр үндсэн функц нь бүрэн бус тодорхойлогдсон функц бог хялбарчлагдсан функц нь
хувьсагчуудын бүх комбинацд тодорхойлогддог. Хялбарчлалд бид дурын утгуудад автоматаар утга
оноож өгдөг. Хялбарчлагдсан илэрхийллийн гишүүн бүрд харгалзах минтермүүдийн нийлбэрүүдийг
орлуулдаг. Тухайлбал:
F = (m2+ m3+ m10+ m11) +(m3+ т7+ m11+ m15) + (m9+ m11 + Т13+m 15)

Энд т1 -дүнэний хүснэгтэд утга оноосонхэдии ч дурын тул утга агуулагдаагүй байна.

ABCD = 0001 бол F = 0; 1010 бол F = 1; 1111 бол F = 1

Суурь мэдлэг
42

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

ДАСГАЛ БОДЛОГО 4.1

Дараах илэрхийллийн хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг ол.
F (A,B,C,D,E) = Σm(0,2,3,5,7,9,11,13,14,16,18,24,26,28,30) 10-т.с тоог 2-т.с-д шилжүүлээд, 1-ийн тоогоор
нь ангилан бүлэглэ.

0 00000 √ 0,2 000-0
2 00010 √
16 10000
3 00011
5 00101
9 01001
18 10010
24 11000
7 00111
11 01011
13 01101
14 01110
26 11010
28 11100
30 11110

Зэргэлдээ бүлэг дэх гишүүдийг шалгаад боломжтой бол нэгтгэ.

Хариу:

0 00000 √ 0,2 000-0 0, 2, 16, 18 -00-0

2 00010 √ 0,16 -0000
16 10000
3 00011 √ 2,3 0001-
5 00101
9 01001 √ 2,18 -0010
18 10010 √ 16,18 100-0 V
24 11000 √
7 00111 √ 16,24 1-000
11 01011 √ 3,7 00-11
13 01101 3,110-011
14 01110 √
26 11010 √ 5,7 001-1
28 11100 √ 5,13 0-101
30 11110 √ 9,11 010-1
√ 9,13 01-01
√ 18,26 1-010
√ 24,26 110-0
24,28 11-00
14,30 -1110
26,30 11-10
28,30 111-0

Хоёрдугаар баганы зэргэлдээ бүлэг дэх гишүүдийг шалгаад боломжтой бол нэгтгэ. Хариугаа дахин
нягтлан шалга.

Суурь мэдлэг
43

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Хариу:
(Гуравдугаар багана)
0, 2,16,18 -00-0 ((0,2), (16,18), (0,16) ба (2,18)-г тулган шалга.)
16,18,24,26 1-0-0 ((16,18), (24,26), (16,24) ба (18,26)-г тулган шалга.)
24, 26, 28, 30 11--0 ((24,26), (28,30), (24,28) ба (26,30)-г тулган шалга.)

Гуравдугаар баганад нэгтгэгдэх гишүүн байна уу? Дараах суурь импликант диаграммыг гүйцээ.

02

(0,2,16,18)

Хариу: Гуравдугаар баганад нэгтгэгдэх гишүүн алга байна.

0 2 3 5 7 9 11 13 14 16 18 24 26 28 30

(0,2,16,18) X X XX

(16,18,24,26) XXXX

(24,26,28,30) XXXX

(2,3) X X

(3,7) X X

(3,11) X X

(5,7) X X

(5,13) X X

(9,11) XX

(9,13) XX

(14,30) XX

Чухал импликантуудыг олоод тэдгээрт харгалзах мөр багануудыг дар.
Хариу:

0 2 3 5 7 9 11 13 14 16 18 24 26 28 30

*(0,2,16,18) Ⓧ X XX

(16,18,24,26) XXXX

*(24,26,28,30) XXⓍX

(2,3) X X

(3,7) X X

(3,11) X X

(5,7) X X

(5,13) X X

(9,11) XX

(9,13) XX

*(14,30) ⓍX

*нь чухал импликант-ыг илэрхийлнэ.
Диаграммын үлдсэн бүх баганууд 2 ба түүнээс дээш X агуулах ба хоёрг агуулсан эхний баганаас эхлэн
суурь импликантуудыг сонго. Дараа үлдсэн багануудыг хамрах хамгийн цөөн суурь импликантуудыг
сонгоно.

Суурь мэдлэг
44

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

Хариу: энд * нь чухал импликант-ыг илэрхийлнэ.

0 2 3 5 7 9 11 13 14 16 18 24 26 28 30

*(0,2,16,18) Ⓧ X XX

(16,18,24,26) XXXX

*(24,26,28,30) XXⓍX

(2,3) X X

(3,7) X X

(3,11) X X

(5,7) X X

(5,13) X X

(9,11) XX

(9,13) XX

*(14,30) ⓍX

Энэ диаграммаас 0,1 болон /-/ тэмдэглэл дэх сонгогдсон суурь импликантуудыг бич. Дараа нь
хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг алгебрын илэрхийллээр бич.
Хариу:
-00-0, 11—0, 0-011, 001-1, 01-01 ба -1110

f = В'С'Е'+ АВЕ' + A'C'DE + A'B'CE + A'BD'E + BCDE'

Чухал импликант нь дарагдсан суурь импликантын диаграммд давтагдана. Хоёр дахь хамгийн хялбар
үржвэрүүдийн нийлбэрийг ол.

0 2 3 5 7 9 11 13 14 16 18 24 26 28 30

*(0,2,16,18) Ⓧ X XX

(16,18,24,26) XXXX

*(24,26,28,30) XXⓍX

(2,3) X X

(3,7) X X

(3,11) X X

(5,7) X X

(5,13) X X

(9,11) XX

(9,13) XX

*(14,30) ⓍX

* нь чухал импликант-ыг илэрхийлнэ.

Хариу:
(5, 13) суурь импликантыг сонгохоос эхлэнэ.

f = BCDE'+ В'С'Е'+ АВЕ'+ A'B'DE + A'CD'E + A'BC'E

Суурь мэдлэг
45

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

БОДЛОГУУД
4.2 Квайны аргыг ашиглан функцын хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг ол.

f(a,b,c,d) = Σm(1,3,4,5,6,7,10,12,13) + Σm(2,9,15)
4.3 Дараах функцуудын бүх суурь импликантуудыг Квайны аргыг ашиглан ол.

(a) f(a,b,c,d) = Σm (0,3,4,5,7,9,11,13)
(b) f(a,b,c,d) = Σm (2,4,5,6,9,10,11,12,13,15)

4.4 Бодлого 4.3 функцуудын бүх хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг суурь
импликантын графикийг ашиглан ол.

4.5 Дараах функцуудын бүх суурь импликантуудыг Квайны арга ашиглан ол.
(a) f(a,b,c,d) = Σm(1,5,7,9,11,12,14,15)
(b) f(a,b,c,d) = Σm (0,1,3,5,6,7,8,10,14,15)

4.6 Бодлого 6.5 функцуудын хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг суурь импликантын
графикийг ашиглан ол.

4.7 4 хувьсагчийн картыг ашиглан дараах илэрхийллийн хамгийн хялбар үржвэрүүдийн
нийлбэрийг ол.

(a) F(AB,C,D,E) = Σm (0,4,5,7,9) + Σd (6,11) + Е(т1 + т5)
т -A, В, С, D хувьсагчуудын минтерм болно.

(b) Z{A,B,C,D,E,F,G) = Σ m(0,3,13,15) + Σ d(1,2,7,9,14) + E(m6+m8)+ Fm12+Gm5

4.8 Дараах функцын бүх суурь импликантуудыг олоод, дараа нь Петрикийн аргаар хамгийн хялбар
шийдлийг ол.
F(A,B,C,D) = Σ m (9,12,13,15) + Σd(1,4,5,7,8,11,14)

4.9 F(A,B,C,D,E) = Σ m(0,2,6,7,8,10,11,12,13,14,16,18,19,29,30) +Σd (4,9,21)
Квайны аргыг ашиглан f функцын хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг ол. Илэрхийллийн
чухал импликантуудын доогуур зур.

4.10 Квайны аргыг ашиглан дараах функцуудын хамгийнүржвэрүүдийн нийлбэрийг ол.
f(a,b,c,d) = Σ m(2,3,4,7,9,11,12,13,14) + Σd (1,10,15)
f{a,b,c,d) = Σ m(0,1,5,6,8,9,11,13) + Σd (7,10,12)
f(a,b,c,d) = Σ m(3,4,6,7,8,9,11,13,14) + Σd (2,5,15)

4.11 (a) f{A,B,C,D) = Σ m(1,3,5,6,8,9,12,14,15) + Σ d(4,10,13) функцын суурь импликантуудыг Квайны
аргыг ашиглан ол. Дараа нь бүх импликантуудыг болон хамгийн хялбар үржвэрүүдийн

нийлбэрийг (b) f'-ийн хувьд (а) хэсгийг давт.
4.12 (a) f(a,b,c,d,e)= Σ m (1,2,4,5,6,7,9,12,13,15,17,20,22,25,28,30) функцын бүх суурь импликантуудыг

Квайны аргыг ашиглан ол. Мөн бүх чухал импликантуудыг болон хамгийн хялбар үржвэрүүдийн
нийлбэрийг ол (b) f'-ийн хувьд (а) хэсгийг давт.
4.13 Квайны аргыг ашиглан бүх хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг ол.

(a) f(A,B,C,D,E) = Σ m(0,1,2,3,8,9,10,11,19,21,22,23,27,28,29,30)
(b) f(A,B,C,D,E )=Σ m (0,1,2,4,8,11,13,14,15,17,18,20,21,26,27,30,31)

4.14 Бодлого 4.14-ийн функцын бүх хамгийн хялбар нийлбэрүүдийн үржвэрийг Квайны аргыг
ашиглан ол.

Суурь мэдлэг
46

Процессын автоматжуулалт PLC сургалтын агуулгын дэлгэрэнгүй

4.15 (а) Квайны аргыг ашиглан G(A,B,C,D,E,F) = Σ m(1,7,11,12,15,33,35,43,47,59,60) +
Σd(30,50,54,58) функцын бүх суурь импликантуудыг ол.
Мөн бүх чухал импликантуудыг болон хамгийн хялбар үржвэрүүдийн нийлбэрийг ол.

(b) G'-ийн хувьд (а) хэсгийг давт.

4.16 Дараах суурь импликантын хүснэгт нь 4 хувьсагчтай f(A,B,C,D) функцын хувьд бөгөөд үүнийг
ашиглан
(a) Суурь импликант бүрийг 10-т.с-ээр илэрхийл.
(b) f-ийн макстермийг жагсаа.
(c) f -ийн дурын утгуудыг жагсаа.
(d) Чухал импликант бүрд алгебрын илэрхийлэл зохио.

2 3 7 9 11 13

-0-1 X X X

-01- X X X

--11 XX X

1--1 X X X

Боловсруулсан: Инженер багш: /Б.Батчимэг/

Суурь мэдлэг
47