เวกเตอร์

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 1

เอกสารประกอบการเรียน
เรือ่ ง เวกเตอร์

1 เg;gเวกเตอร์และสมบัติของเวกเตอร์

2 เg;ระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ

สารบญั 3 เg;gเวกเตอรใ์ นระบบพิกดั ฉาก
เนอื้ หา 4 เg;gเวกเตอรห์ นึ่งหนว่ ย

5 เg;ผลคณู เชงิ สเกลาร์

6 เg;gผลคูณเชงิ เวกเตอร์

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง เวกเตอร์ 2

1. เวกเตอรแ์ ละสมบตั ขิ องเวกเตอร์

ปริมาณเวกเตอร์และปริมาณสเกลาร์

บทนยิ าม 1
ปรมิ าณสเกลาร์ (scalar quantity) หรอื เรียกยอ่ ๆ วา่ สเกลาร์ คือ ปรมิ าณที่มีแต่ขนาดเพยี งอยา่ ง

เดียว เชน่ นา้ หนกั ความสูง เป็นตน้
ปรมิ าณเวกเตอร์ (vector quantity) หรอื เรียกยอ่ ๆ วา่ เวกเตอร์ คอื ปริมาณทีม่ ีทัง้ ขนาดและ

ทิศทาง เชน่ นค-้าวหามนเักร็ว คคววาามมสเรู่งง เปน็ ตน้

เวกเตอรใ์ นเชิงเรขาคณติ

แสดงเวกเตอรใ์ นเชิงเรขาคณติ ได้ด้วยส่วนของเส้นตรงทรี่ ะบทุ ิศทาง โดยความยาวของส่วนเสน้ ตรง
บอกขนาดของเวกเตอร์และหัวลกู ศรบอกทศิ ทางของเวกเตอร์

B จากรปู ท่ี 1 เรียกวา่ เวกเตอร์ AB เขยี นแทนด้วย AB อ่านว่า เวกเตอร์ เอบี
เรยี ก A วา่ จดุ เรมิ่ ต้น ของเวกเตอร์ และ เรยี ก B วา่ จดุ สิน้ สุดของเวกเตอร์
และแทนขนาดของ AB ดว้ ยสัญลกั ษณ์ AB

A

รปู ที่ 1

ในกรณีทต่ี อ้ งการกล่าวถงึ เวกเตอร์ใด ๆ โดยท่ไี ม่ตอ้ งการระบุจดุ เร่ิมตน้ และ
u จดุ สิน้ สดุ ของเวกเตอร์จะใช้อกั ษรตัวเดียว และมเี ครื่องหมาย กา้ กับไว้

เช่น u ดังรูปที่ 2 และแทนขนาดของ u ดว้ ยสัญลักษณ์ u

รูปที่ 2

บทนยิ าม 2
u = v กต็ อ่ เมื่อ เวกเตอร์ท้ังสองมีขนาดเท่ากนั และทิศทางเดยี วกนั

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 3

บทนิยาม 3
นเิ สธ ของ u คือ เวกเตอร์ที่มีขนาดเทา่ กบั ขนาดของ u แตม่ ีทิศทางตรงข้ามกบั ทศิ ทางของ u
และใชส้ ญั ลกั ษณ์ u แทน นิเสธของ u

บทนยิ าม 4
u กบั v ขนานกัน ก็ต่อเมอื่ เวกเตอรท์ ้งั สองมีทศิ ทางเดยี วกนั หรือทิศทางตรงข้ามกัน
u กบั v ขนานกัน เขียนแทนดว้ ยสัญลกั ษณ์ u // v

ตวั อย่าง 1 จากรูปทีก่ า้ หนดให้ จงพจิ ารณาวา่ เวกเตอร์ใดบ้างท่ขี นานกนั พร้อมทง้ั บอกทศิ ทาง

คณุ ครูขวญั หลา้ เหลา่ จินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง เวกเตอร์ 4

ตวั อย่าง 2 จากรปู ทก่ี ้าหนดให้ จงหาวา่ เวกเตอร์คูใ่ ดบา้ งทเ่ี ท่ากัน แลละคู่ใดบ้างท่ีเป็นนเิ สธซง่ึ กันและกนั

ตัวอยา่ ง 3 จากรูปท่กี ้าหนดให้ จงหาว่า AB, GB,DC,DA,CB,FG, AF, GH เวกเตอร์ใดบ้างที่เทา่ กนั และ
เวกเตอร์ใดบ้างเปน็ นิเสธซึ่งกันและกนั

ตวั อยา่ ง 4 นาย A เดินไปทางทศิ ตะวันออกเฉียงเหนอื 3 กม. แล้วเดินไปทางทศิ ตะวันตกเฉียงเหนืออีก 4 กม.
แล้วหยุด จงหาว่านาย A อยู่หา่ งจากจดุ เรม่ิ ต้นก่ีกโิ ลเมตร

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 5

การบวกเวกเตอร์

บทนยิ าม 5
ก้าหนดให้ u และ v เป็นเวกเตอรใ์ ด ๆ ผลบวกของเวกเตอร์ u และ v เขียนแทนด้วย

u + v คือเวกเตอร์ท่ีมจี ุดเรม่ิ ตน้ ท่ี จุดเร่ิมตน้ ของ u และมีจุดสน้ิ สดุ ที่จุดสนิ้ สุดของ v เมอื่ เลือ่ น v
ใหจ้ ุดเรม่ิ ต้นของ v อยทู่ จ่ี ดุ ส้ินสดุ ของ u

v
u u+v

u
ตวั อยา่ ง 5 จากเวกเตอร์ท่กี ้าหนดให้ จงหาผลบวกของเวกเตอร์ u v และ u v w

การบวกเวกเตอรโ์ ดยใชก้ ฎของรปู สเี่ หลย่ี มด้านขนาน

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 6

r v และ #v w

ตัวอยา่ ง 6 จากเวกเตอร์ท่กี ้าหนดให้ จงหาผลบวกของเวกเตอร์ u

บทนยิ าม 6

เวกเตอร์ศนู ย์ (zero vector) คอื เวกเตอร์ทม่ี ีขนาดเปน็ ศูนย์ หรือ เวกเตอรท์ ่มี ีจดุ เริ่มตน้ และจะ

สนิ้ สดุ อยทู่ จี่ ดุ เดียวกนั เขียนแทนด้วย 0

ตัวอย่าง 7 จากรูปท่ีกา้ หนดให้ จงหาว่าเวกเตอร์ใดบ้างท่บี วกกันแลว้ ได้เท่ากับเวกเตอรศ์ ูนย์

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

ห้

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 7

สมบัติของการบวกของเวกเตอร์
ให้ u , v และ w เปน็ เวกเตอรใ์ ด ๆ ในระนาบ แลว้

1. u + v เปน็ เวกเตอรใ์ นระนาบเดยี วกับ u , v
2. u + v = v + u
3. (u + v ) + w = u + ( v + w )
4. 0 + u = u และ u + 0 = u
5. u + (-u) = 0 และ (-u) + u = 0
6. ถา้ u = v แลว้ จะได้ u + w = v + w
7. u k ไม่มคี วามหมาย เมื่อ k เป็นสเกลาร์ เช่น u + 8 ไม่มคี วามหมาย

การลบเวกเตอร์

บทนิยาม 7
กา้ หนดให้ u และ v เปน็ เวกเตอรใ์ ดๆ ผลลบของเวกเตอร์ u และ v เขยี นแทนดว้ ย

u - v คือ ผลบวกของ u และนิเสธของ v หรือ u - v = u + (- v )

vv
u -v

u จะได้ u + (- v )

คณุ ครูขวญั หลา้ เหลา่ จินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 8

-

ตวั อย่าง 8 จากรปู ทกี่ ้าหนดให้ จงหา AC, AD,BE ในรูป u, v, w
ตัวอย่าง 9 จากรปู ทีก่ า้ หนดให้ จงหา BC, CD,CA,BD ในรปู a,d

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

\

เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง เวกเตอร์ 9

การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์

uu

u u = 2u
บทนิยาม

ก้าหนดให้ a เป็นจา้ นวนจรงิ u เป็นเวกเตอร์ ผลคูณของระหวา่ ง a และ u
เปน็ เวกเตอร์ที่ เขยี นแทนดว้ ย aku โดยที่

ถ้า a = 0 แล้ว au 0
ถา้ a > 0 แล้ว au จะมขี นาด a u และ มที ิศทางเดยี วกบั u
ถา้ a < 0 แลว้ au จะมขี นาด a u และ มที ิศทางตรงข้าม u

สมบัติของการคณู เวกเตอรด์ ้วยสเกลาร์
ให้ u และ v เป็นเวกเตอร์ใด ๆ a และ b เปน็ จ้านวนจรงิ แลว้

1. au เปน็ เวกเตอร์
2. a(bu) = (ab) u = b(a u)
3. (a + b) u = au + bu
4. a (u + v ) = au + a v
5. 1u = u

ตัวอยา่ ง 10 ให้ u เปน็ เวกเตอร์ท่มี ีขนาด 5 หน่วย และมที ศิ ทางดังรูป

u จงหา 4u , -4u , 1 u , - 1 u
5 5

คณุ ครูขวญั หลา้ เหลา่ จินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง เวกเตอร์ 10

ตัวอยา่ ง 11 จากรูป กา้ หนดให้ AB u , AC v , P และ Q เป็นจดุ ซ่งึ AP 3u , AQ 2v
จงหา

11.1 BC

11.2 PB

11.3 PQ

11.4 PC

11.5 BD DC CQ

สามเหล่ียมฐานอตั ราส่วน O

uv

Am C n B

ด้านฐานถูกแบง่ เปน็ 2 ส่วน จะได้ OC m 1 n (nu mv)

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

ตัวอยา่ ง 12 จากรูป AC : CB = 1 : 2 จงหา OC เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 11
O
_
u v
AC B

ตัวอยา่ ง 13 กา้ หนดให้ C เป็นจดุ บน BD และ C อยู่หา่ งจากจุด B เป็นระยะทาง 2 ของระยะ BD
3

จงหา w

O

u wv
B CD

คณุ ครูขวญั หลา้ เหลา่ จินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม



เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง เวกเตอร์ 12

2. ระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ
ระบบพกิ ดั ฉากสามมิติจะกา้ หนดโดยใหเ้ ส้นตรง XX/ , YY/ และ ZZ/ เปน็ เส้นตรงสามเสน้

ทตี่ ง้ั ฉากซ่งึ กันและกัน ที่ O ซึง่ เรยี กว่าจุดกา้ เนิด โดยการกา้ หนดทศิ ทางของเส้นตรงท้งั สามน้ันจะ
ก้าหนดได้ 2 ระบบ คอื ระบบมือขวา และระบบมือซา้ ย ดังรปู

OO

ระบบมอื ขวา ระบบมอื ซา้ ย

ซึง่ ระบบท่นี ยิ มคือ ระบบมือขวา โดยท่วั ไป เม่อื เขยี นรูปแกนพิกดั ในระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ นยิ มเขียน
เฉพาะแกน X แกน Y และ แกน Z ทางบวก ซึ่งมหี ัวลกู ศรกา้ กบั โดยละแกน X แกน Y และ แกน Z ทางลบ
ไว้ในฐานท่เี ข้าใจ ดังรปู

ZZ

+ Y O Y
. X
t
IO
_

X

ระนาบอ้างอิงแบง่ ออกเปน็ 3 ระนาบ ได้แก่ ระนาบ XY , ระนาบ YZ และ ระนาบ XZ ดังรูป

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 13
คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 14

ระนาบ XY , ระนาบ YZ และ ระนาบ XZ ทั้งสามระนาบจะเปน็ ปรภิ ูมสิ ามมติ ิออกทั้งหมดเป็น 8
บรเิ วณ คือ เหนอื ระนาบ XY 4 บรเิ วณ และใตร้ ะนาบ XY 4 บรเิ วณ โดยในแตล่ ะบริเวณเรยี กวา่ อัฐภาค
(octant)

ซึง่ แบ่งได้ดงั นี้
1. อฐั ภาคท่ี 1 เปน็ บรเิ วณท่ีประกอบดว้ ยแกน X , แกน Y และ แกน Z ทางบวกบรรจอุ ยู่แล้ว
นับทวนเขม็ นาฬิกาต่อไปจะไดอ้ ัฐภาคต่อไป อัฐภาคเหนือระนาบ XY มี 4 อฐั ภาคและอัฐภาคใต้ระนาบ XY
จะมี 4 อัฐภาค
2. อฐั ภาคท่ี 1 จะอยู่คูก่ ับ อัฐภาคที่ 5 (อยู่บนอย่ลู ่างตามลา้ ดับ)
3. อัฐภาคท่ี 2 จะอยู่คกู่ บั อฐั ภาคท่ี 6 (อยู่บนอยู่ล่างตามล้าดับ)
4. อฐั ภาคท่ี 3 จะอย่คู ่กู ับ อฐั ภาคที่ 7 (อยู่บนอยู่ลา่ งตามลา้ ดับ)
5. อัฐภาคท่ี 4 จะอยคู่ ู่กับ อัฐภาคท่ี 8 (อยบู่ นอยู่ลา่ งตามล้าดับ)
จุดในปริภมู สิ ามมิตจิ ะใชพ้ ิกดั ระบตุ ้าแหน่งของ P โดยเขียนจา้ นวนจรงิ ซง่ึ จ้านวนน้ีจะเรียงกนั
ตามล้าดับ โดยก้าหนดเป็น P(x,y,z) และเรยี ก (x,y,z) วา่ สามส่งิ อนั ดับ (Ordered Triple)
ถ้าให้ P เปน็ จดุ ๆ หนง่ึ บนระบบพิกดั ฉากสามมิติ การระบุพกิ ัดของจุด P จะได้ P(x,y,z) ดงั รูป

P(a,b,c)
อยใู่ นแนวเสน้ ตรง x = a
อยู่ในแนวเส้นตรง y = b
อย่ใู นแนวเส้นตรง z = c

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 15

ตัวอยา่ ง 14 จากรปู จงหาพิกดั ของจุด B, C, D, E, F และ G เมอื่ กา้ หนด A(2, 4, 3)
.

จดุ B มีพิกัด
จดุ C มีพิกดั
จุด D มพี ิกดั
จุด E มพี กิ ัด
จุด F มพี กิ ัด
จดุ G มีพกิ ดั

ตวั อยา่ ง 15 จากรูปที่กา้ หนดให้ จงหาพกิ ัดของจดุ A, B, C, D, E, F, G และ FH

G F จดุ A มีพกิ ดั
D E จุด B มพี ิกัด
จดุ C มีพกิ ัด
A C จุด D มพี ิกดั
B จุด E มพี ิกัด
จุด F มพี ิกัด
จุด G มีพิกดั
จุด H มีพกิ ัด

ตัวอย่าง 16 จงลงจดุ ต่อไปนี้ในปรภิ มู ิสามมติ ิ 2. B (-1, 0, 2)
1. A (2, 3, 4)

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

3. C (-2, 1, 3) เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง เวกเตอร์ 16

4. D (-2, -3, -5)

ตวั อยา่ ง 17 จงเขียนจุด A(2, 2, -1) B(1, -3, 2) C(-1, 3, 3) ลงบนระบบพกิ ัดฉากสามมิติเดยี วกัน
วธิ ที า

คณุ ครูขวญั หลา้ เหลา่ จินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 17

ระยะทางระหว่างจดุ สองจดุ ในปรภิ ูมสิ ามมิติ

จุด Q(a,b,0) เป็น ภาพฉาย ของจดุ P(a,b,c) บนระนาบ XY
จุด R(0,b,c) เป็น ภาพฉาย ของจดุ P(a,b,c) บนระนาบ YZ
จุด S(a,0,c) เปน็ ภาพฉาย ของจุด P(a,b,c) บนระนาบ XZ

ตวั อย่าง 18 จากภาพ จงหาพกิ ดั ภาพฉายของจุด P(2, 2, 3) บนระนาบ XY, YX และ XZ
วธิ ีทา

ภาพฉาย ของจุด P(2,2,3) บนระนาบ XY มีพิกดั .........................
ภาพฉาย ของจดุ P(2,2,3) บนระนาบ YZ มพี กิ ัด.........................
ภาพฉาย ของจุด P(2,2,3) บนระนาบ XZ มีพิกัด.........................

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 18

(PQ)2 = (PU)2 + (UQ)2
PQ = (PU)2 (UQ)2
PU = RT
(PU)2 = (RT)2

= (RS)2 + (ST)2
PQ = (PU)2 (UQ)2

= (RS)2 (ST)2 (UQ)2

RS = y2 – y1 ST = x2 – x1 , UQ = z2 – z1

จาก PQ = (RS)2 (ST)2 (UQ)2
จะได้ PQ = (y2 y1 )2 (x2 x1 )2 (z2 z1 )2

สรปุ ระยะห่างระหวา่ งจดุ P(x1, y1, z1) และจดุ Q(x2, y2, z2) หรอื PQ หาไดจ้ ากสตู ร

PQ = (y2 y1 )2 (x2 x1 )2 (z2 z1 )2

ตวั อย่าง 19 จงหาระยะหา่ งระหว่างจดุ A(1, 0, 3) และ B(-1, 3, 2)
วิธที า

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 19

ตวั อย่าง 20 จงหาภาพฉายของจดุ P(3, -4, 8) และ Q(7, -2, 8) ในระนาบ XY, YZ และ XZ และตรวจสอบ
วา่ ระยะทางระหว่างจดุ P และ Q เท่ากับระยะทางของภาพฉายในระนาบใด
วธิ ที า

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 21

3. เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉาก

3.1 เวกเตอรใ์ นระบบพิกัดฉากสองมิติ
ก้าหนดเวกเตอร์ i คือ เวกเตอร์ทีม่ ีขนาด 1 หนว่ ย และมที ิศทางไปตามแกน X ทางบวก
เวกเตอร์ j คอื เวกเตอร์ทม่ี ีขนาด 1 หน่วย และมที ิศทางไปตามแกน Y ทางบวก ดงั รูป

เวกเตอรใ์ ด ๆ ในระบบพกิ ัดฉาก 2 มติ ิ มกั เขยี นให้อยู่ในรูปผลบวกของเวกเตอร์ i และ j

bA b
Oa a

จากรปู จะเห็นว่า เวกเตอร์ OA เป็นผลบวกของเวกเตอร์ในแนวนอน ai กับเวกเตอร์ในแนวต้งั b j

ดงั นัน้ OA = ai + b j ก็ตอ่ เม่ือ i 1 ,j 0 หรอื เขยี นแทนดว้ ย OA a
0 1 b

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 22

ดังนน้ั เวกเตอร์ที่มจี ุดเริม่ ตน้ ที่ (0, 0) จดุ ส้นิ สดุ ท่ี (a, b) คือ เวกเตอร์ ai + b j หรอื เวกเตอร์ a
b

ในกรณีทัว่ ไป ถ้า AB ท่ีมจี ุดเร่ิมต้นท่ี A(x1, y1) และจดุ ส้ินสุดที่ B(x2, y2) ดงั รูป จะเขียนแทน AB ดว้ ย

x2 x1 และถา้ ให้ a = x2 – x1 และ b = y2 – y1 แลว้ จะเขยี นแทน AB ดว้ ย a
y2 y1 b

B(x2, y2)

A(x1, y1)

ตัวอยา่ ง 21

1

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง เวกเตอร์ 23

ตัวอยา่ ง 22 กา้ หนดให้ A(0, 2) , B(3, 5) , C(2,-4) , D(-3,8) จงหา AB , ฺBA , AC , ฺCD และ Dฺ C

วธิ ที า - 411

ตัวอย่าง 23 กา้ หนดให้ AB = 2 และ A(-3, 2) จงหาพกิ ดั ของ B
6

วิธีทา

ตัวอย่าง 24 กา้ หนดให้ BA = 3 และ A(2, -5) จงหาพิกดั ของ B
วิธที า 7

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง เวกเตอร์ 24

เวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉากสามมติ ิ

x
กา้ หนดให้ x, y, z R จะเรียก y ว่า เวกเตอร์ในปรภิ มู สิ ามมิติ ซ่ึงจะแทนดว้ ยส่วนของเส้นตรงที่

z
มจี ดุ เร่ิมต้นทจ่ี ุดก้าเนดิ และมจี ุดสนิ้ สดุ ทจี่ ุด (x, y, z)

ตัวอย่าง 25 จงหาเวกเตอร์ที่มจี ุดเร่มิ ต้นอยูท่ จ่ี ุดก้าเนดิ และจุดสน้ิ สดุ อย่ทู ่จี ุดต่อไปนี้

1. P(2, 3, -1) 2. Q(-4, 0, 5)

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 25

ตวั อย่าง 26 จงเขยี นเวกเตอรต์ ่อไปน้ีในระบบพิกัดฉากสามมิตเิ ดียวกนั โดยใหจ้ ุดเร่มิ ตน้ อยทู่ ี่จดุ ก้าเนิด

32 5

u 2 ,v 3 ,w 0

14 3

จากทกี่ ล่าวมาขา้ งตน้ ไดก้ ลา่ วถึงการก้าหนดในระบบพิกัดฉากสามติ ิทีม่ จี ดุ เริม่ ตน้ ทีจ่ ดุ ก้าเนิดส่วนการ

กา้ หนดเวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉากสามมิติที่มจี ดุ เร่ิมตน้ ทจี่ ุดอื่นท่ไี มใ่ ชจ่ ดุ กา้ เนิด สามารถก้าหนดได้ดังน้ี

ก้าหนด AB มีจดุ เร่มิ ต้นท่ี A(x1, y1, z1) และจดุ ส้ินสุดท่ี B(x2, y2, z2) จะได้ AB x2 x1
y2 y1
z2 z1

และถา้ AB a1
b จะได้ a = x2 – x1 , b = y2 – y1 , c = z1 – z1
c

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 26

ตัวอยา่ ง 27 จงหา AB เม่อื ก้าหนด
1. A(3,-5,7) และ B(-4, 1, -2)
2. A(-1,4,5) และ B(1, 3, -4)
3. A(4,-3,-4) และ B(-2, -1, -4)
4. A(1,-4,-15) และ B(-5, 0, 6)
5. A(2,3,9) และ B(3, 4, -8)

คณุ ครูขวญั หลา้ เหลา่ จินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง เวกเตอร์ 26

ให้ a, b, c, d และ f เป็นจา้ นวนจริงใด ๆ

เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉากสองมติ ิ เวกเตอร์ในระบบพกิ ัดฉากสามมติ ิ

1. การเท่ากัน

2. นเิ สธของเวกเตอร์

3. การบวกเวกเตอร์

4. เวกเตอรศ์ ูนย์

5. การลบเวกเตอร์

6. การคณู เวกเตอรด์ ้วย
สเกลาร์

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 28

ตวั อยา่ ง 28 ก้าหนดให้ u 3 ,v 5 และ = -2 จงหา u v , u v , u , v
และ u 4 7

ตวั อยา่ ง 29 กา้ หนดให้ u 2 1 = 3 จงหา u v , u v , u , v
และ u 5 ,v 7 และ
4 3

คณุ ครูขวญั หลา้ เหลา่ จินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 29

ถา้ k > 0 แล้ว u และ v มที ิศทางเดียวกัน
ถ้า k < 0 แล้ว u และ v มที ิศทางตรงข้ามกัน

ตัวอยา่ ง 30 จงตรวจสอบว่าเวกเตอรค์ ู่ใดบา้ งท่ีขนานกัน เวกเตอรใ์ ดมีทศิ ทางเดียวกัน และเวกเตอร์คใู่ ดมี

ทศิ ทางตรงข้ามกัน

1 24

1. PQ 3 2. u 6 3. MN 12

4 8 16

คณุ ครูขวญั หลา้ เหลา่ จินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 30

ตัวอยา่ ง 31 จงตรวจสอบวา่ เวกเตอร์ท่ีก้าหนดใหใ้ นแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ เวกเตอร์คู้ใดบา้ งที่ขนานกนั

1. 1 , 3 , 6 , 3 , 5 , 0 , 4
3 1 2 9 0 9 2

1
2 1 4 3 84
2. 1 , 0 , 2 , 0 , 4 , 0
3 2 6 6 12 1

2

วธิ ที า

ทฤษฎบี ท ถา้ a 0, b 0, c 0 และ d 0 และ a , c เปน็ เวกเตอร์
b d

แล้วจะได้วา่ a ขนานกบั c กต็ อ่ เม่ือ a c หรือ b d
b d b d a c

คณุ ครูขวญั หลา้ เหลา่ จินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

ฟุ

เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง เวกเตอร์ 31

ขนาดของเวกเตอรใ์ นระบบพกิ ัดฉากสองมิตแิ ละสามมิติ

ทฤษฎบี ท 1. u a แล้ว u a2 b2
b a2 b2 c2

a
2. u b แลว้ u

c

ตวั อย่าง 32 ก้าหนด u มาให้ จงหาขนาดของ u

1. 4 2. 7 1 3
3 2 3. 2 4. 4

2 5

ก

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง เวกเตอร์ 32

ทฤษฎบี ท ถ้า A มพี ิกัด (x1, y1) และ B มีพิกดั (x2, y2) แลว้ จะได้ AB (x2 x1 )i (y2 y1 ) j
และ AB (x2 x1 )2 (y2 y1 )2

ตัวอยา่ ง 33 กา้ หนด A( 1. -2, 4) และ B(3, 5,-7) จงหาขนาดของ AB

ตัวอยา่ ง 34 กา้ หนด M( 1. -1, 3) และ B(3, 4,9) จงหาขนาดของ MN

ตวั อย่าง 35 ก้าหนด Q( 5. -3, -8) และ C(0, -4,1) จงหาขนาดของ QC

คณุ ครูขวญั หลา้ เหลา่ จินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 33

เวกเตอรห์ นึ่งหนว่ ยในระบบพิกดั ฉากสองมิตแิ ละสามมิติ

บทนิยาม เวกเตอรห์ น่ึงหน่วย คือ เวกเตอรท์ ี่มีความยาวหรอื ขนาดเทา่ กับหน่ึงหน่วย ไมว่ า่ เวกเตอร์นั้นจะมี
ทศิ ทางใดกต็ าม

ทฤษฎีบท 1. ให้ u a และ u 0 เวกเตอรห์ น่ึงหน่วยที่มีทศิ ทางเดยี วกับ u คอื 1 a
b a2 b2 b

หรอื เขียนแทนด้วย 1 u
u

2. ให้ u aa
b และ u 0 เวกเตอรห์ นง่ึ หนว่ ยทม่ี ีทิศทางเดียวกบั u คือ 1 b
c a2 b2 c

หรอื เขียนแทนดว้ ย 1 u
u

3. เวกเตอร์หนงึ่ หนว่ ยที่มที ศิ ทางตรงข้ามกบั u คอื 1 u
u

4. เวกเตอรห์ นงึ่ หนว่ ยท่ีขนานกับเวกเตอร์ u คือ 1 u
u

5. ให้ u a = ai + b j กต็ ่อเมื่อ i 1 ,j 0
b 0 1

a 10 0
6. ให้ u b = ai + b j + ck ก็ตอ่ เมอื่ i 0 , j 1 , k 0

c 00 1

คณุ ครูขวญั หลา้ เหลา่ จินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม



เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง เวกเตอร์ 34

ตวั อยา่ ง 36 ก้าหนด DE เปน็ เวกเตอรท์ ี่มีจดุ เรมิ่ ตน้ ท่ี D (3, -4) และจุดสนิ้ สดุ ท่ี E (-5, 7)
จงหาเวกเตอร์หน่งึ หนว่ ยทมี่ ที ิศทางเดียวกับ DE ในรูปของ i และ j

วิธที า

ตัวอย่าง 37 กา้ หนด KM เป็นเวกเตอร์ท่ีมจี ุดเริม่ ต้นท่ี K(1, -5, 7) และจุดสนิ้ สดุ ท่ี M(3, 8, -4)
จงหาเวกเตอร์หนึ่งหนว่ ยที่มีทศิ ทางเดียวกบั KM ในรปู ของ i , j และ k

คณุ ครูขวญั หลา้ เหลา่ จินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 35

ตัวอย่าง 38 จงหาเวกเตอร์หนึง่ หนว่ ยทีม่ ีทศิ ทางเดียวกบั เวกเตอรท์ ่ีก้าหนดให้ โดยเขียนในรูปของ i และ j

ในกรณที เ่ี ป็นเวกเตอรใ์ นระบบพิกัดฉากสองมิติ และเขียนในรูปของ i , j และ k ในกรณี

ทเี่ ป็นเวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉากสามมิติ

1. u 3 2
4 2. v 1

3

3. AB โดยท่ี A(2, -4) และ B(-6, 3)

4. CD โดยที่ C(3, -7, -4) และ D(0, 4, 6)

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 36

ตัวอยา่ ง 39 จงหาเวกเตอร์ที่มขี นาด 3 หนว่ ย และมีทศิ ทางตรงขา้ มกบั 2
3

ตัวอย่าง 40 จงหาเวกเตอร์ทีม่ ีขนาด 2 หน่วย และมที ศิ ทางเดยี วกับ 3
2
1

ผลคณู เชงิ สเกลาร์

บทนิยาม
ให้ u และ v เปน็ เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉากสองมิติหรือสามมติ ิ a, b, c , x , y และ z เป็นสเกลาร์

ผลคูณเชิงสเกลาร์ (scalar product) ของ u และ v เขยี นแทนด้วย u v กา้ หนดดังน้ี
1. ถา้ u ai bj และ v xi y j เป็นเวกเตอร์ในระบบพกิ ดั ฉากสองมิติ
จะได้ u v ax by
2. ถา้ u ai bj ck และ v xi y j zk เปน็ เวกเตอร์ในระบบพิกดั ฉากสามมิติ
จะได้ u v ax by ck

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 37

ตัวอยา่ ง 41 ให้ u 3i 2j และ v 4i 5j จงหา u v

ตวั อยา่ ง 42 ให้ u 3i 2j 6k และ v 4i j 3k จงหา u v

ตวั อยา่ ง 43 ให้ u 5 6
6 และ v 7 จงหา u v
9 11

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

สมบัติที่สาคญั ของผลคณู เชงิ สเกลาร์ เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 38

f l

2-

คณุ ครูขวญั หลา้ เหลา่ จินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง เวกเตอร์ 39

ตวั อย่าง 44 จงหามุมระหวา่ งเวกเตอร์ต่อไปนี้

1. u 3 และ v 9
2 6

2. u i 2j k และ v 2i j 4k

3. u i j 2k และ v 3i 3j 6k

สิ่งท่ีควรทราบ
1. u v 2 u 2 2u v v 2
2. u v 2 u 2 2u v v 2
3. u v 2 u v 2 2 u 2 2 v 2
4. u v 2 u v 2 4u v
5. (u v) (u v) u 2 v 2

คณุ ครูขวญั หลา้ เหลา่ จินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 40

ตัวอย่าง 45 ก้าหนดมมุ ระหวา่ ง u กับ v เปน็ 600 และ u 5 , v 8 จงหา u v

ตัวอยา่ ง 46 ก้าหนดให้ u 5, v 3 และ u v 15 จงหา
2

1. (u v) (u v)

2. (u v) 2

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง เวกเตอร์ 41

3. (u v) 2

ตวั อยา่ ง 47 กา้ หนดให้ u 8 , v 2 ถ้า u v 9 จงหา u v
ตวั อย่าง 48 ก้าหนดให้ u 8 , v 10 ถ้า u v 20 จงหา u v

คณุ ครูขวญั หลา้ เหลา่ จินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 42

ตวั อย่าง 49 ก้าหนดให้ u 3 , v 5 ถา้ u v 4 จงหา u v

-

ตัวอยา่ ง 50 ก้าหนดให้ u 4 , v 3 และ u ต้ังฉากกับ v จงหา u v

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง เวกเตอร์ 43

ผลคณู เชิงเวกเตอร์

.

คณุ ครูขวญั หลา้ เหลา่ จินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง เวกเตอร์ 44

ตัวอยา่ ง 51 จงหา u v ในแตล่ ะข้อต่อไปนี้ 23
2. u 1 และ v 2
56
1. u 6 และ v 7 34

9 11

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 45

ตวั อยา่ ง 52 กา้ หนดให้ A(4, 1, -3) , B(-1, 6, 1) และ c(0, 1, 2) จงหา AB AC

คณุ ครูขวญั หลา้ เหลา่ จินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอื่ ง เวกเตอร์ 46

ตวั อย่าง 53 ให้ u 2i j 3k , v 2i j 2k และ w 2i k จงหา w (v v)

.

หมายเหตุ พื้นที่ของรปู สามเหลี่ยม ABC = 1 AB AC
2

ตวั อยา่ ง 54 กา้ หนดให้ u 4i 3j k และ v 2i j 3k เปน็ ด้านประกอบของส่ีเหล่ียมดา้ นขนาน
จงหาพืน้ ท่ีของรูปสีเ่ หลีย่ มด้านขนาน

คณุ ครูขวญั หลา้ เหลา่ จินดา โรงเรยี นหนองกพี่ ทิ ยาคม

เอกสารประกอบการเรยี น เรอ่ื ง เวกเตอร์ 47

ตวั อย่าง 55 กา้ หนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลย่ี ม และมจี ุดยอดที่ A(2,3) ,B(-1,2) และ C(1,-1)
จงหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC

ตัวอย่าง 56 กา้ หนดให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยม และมีจุดยอดท่ี A(2,3,-1) ,B(-1,2,4) และ C(3,-2,-1)
จงหาพน้ื ที่ของรูปสามเหล่ยี ม ABC

คณุ ครูขวญั หลา้ เหล่าจินดา โรงเรยี นหนองกีพ่ ทิ ยาคม