แบบฝึก_1-จำนวนจินตภาพ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น  หน้า 1
เล่มท่ี 1 จำนวนจินตภาพ

สาระสำคญั

นิยาม ถา้ a เป็นจำนวนจรงิ และ a < 0 เรยี ก a วา่ จำนวนจนิ ตภาพ

เชน่ −1 , −2 , −3 , −11 , −100 เปน็ ตน้

นิยาม เขียน −1 ดว้ ยสญั ลกั ษณ์ i โดยที่ i2 = −1

เรยี ก i วา่ หนว่ ยจินตภาพ (Imaginary Unit)

นิยาม ถ้า a เป็นจำนวนจรงิ บวกแลว้ −a = a −1

= ai

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชงิ ซ้อน  หนา้ 2
เลม่ ที่ 1 จำนวนจนิ ตภาพ

จุดประสงค์การเรยี นรู้

1. ด้านความรู้ : นักเรยี นสามารถ
1.1 บอกนิยามของจำนวนจินตภาพได้
1.2 เขียนจำนวนจินตภาพในรูปหนึง่ หนว่ ยจินตภาพได้
1.3 หาคา่ ของจำนวนจนิ ตภาพในรปู in เมือ่ n เป็นจำนวนเต็มบวกได้

2. ด้านทกั ษะกระบวนการ : นกั เรยี นสามารถ
2.1 แก้ปญั หาได้
2.2 ให้เหตผุ ลได้
2.3 ส่อื สาร สื่อความหมายทางคณิตศาสตร์ และนำเสนอได้
2.4 เชื่อมโยงได้
2.5 มคี วามคิดริเร่ิมสรา้ งสรรค์

3. ดา้ นคณุ ลกั ษณะอนั พึงประสงค์ : เพ่ือใหน้ ักเรียน
3.1 ซอ่ื สัตย์สุจรติ
3.2 มีวินยั
3.3 ใฝเ่ รียนรู้
3.4 อยูอ่ ย่างพอเพยี ง
3.5 มุ่งมั่นในการทำงาน

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน  หน้า 3
เลม่ ท่ี 1 จำนวนจินตภาพ

สาระการเรียนรู้

1. นยิ ามของจำนวนจนิ ตภาพ
2. การเขยี นจำนวนจินตภาพในรปู หนงึ่ หนว่ ยจินตภาพ
3. การหาค่าของจำนวนจินตภาพในรูป in เมอ่ื n เปน็ จำนวนเต็มบวก

เวลาท่ใี ช้ 2 ชัว่ โมง

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน  หน้า 4
เล่มท่ี 1 จำนวนจนิ ตภาพ

ใบความรู้ท่ี 1.1
เรอ่ื ง จำนวนจินตภาพ

ให้นกั เรยี นพิจารณาการแกส้ มการจากตวั อย่างต่อไปนี้

ตวั อย่างท่ี 1 จงแก้สมการ x2 − 4 = 0 ะi.

วธิ ที ำ จาก x2 −4 = 0

นำ 4 มาบวกเข้าทง้ั สองขา้ งของสมการ

จะได้ x2 − 4+ 4 = 0 + 4
x2 = 4

x = 4

ดังนัน้ x = ± 2

ตวั อย่างท่ี 2 จงแก้สมการ x2 + 4 = 0

วิธีทำ จาก x2 + 4 = 0

นำ 4 มาลบเขา้ ทงั้ สองขา้ งของสมการ

จะได้ x2 + 4 − 4 = 0 − 4

x2 = −4

x =  −4

ซ่งึ −4  R

ดังนน้ั x = 

จากตัวอยา่ งที่ 2 จะพบวา่ ไม่มจี ำนวนจรงิ ใดเลยที่เปน็ คำตอบของสมการ เพราะไมม่ ี
จำนวนจรงิ ใดท่ยี กกำลงั สองแลว้ ไดเ้ ท่ากับ −4 ดงั น้ันคำตอบของสมการตอ้ งไม่ใชจ่ ำนวนจริง ดว้ ย
เหตผุ ลดงั กลา่ วนกั คณิตศาสตร์จงึ ไดส้ ร้างระบบจำนวนข้ึนมาใหม่ เพ่ือนำมาอธบิ ายหรอื แกโ้ จทยใ์ น
ตัวอยา่ งที่ 2 ซึง่ เรยี กจำนวนท่ีสร้างขนึ้ ใหม่วา่ จำนวนจนิ ตภาพ

ศ๋ึ

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชิงซอ้ น  หน้า 5
เล่มที่ 1 จำนวนจนิ ตภาพ

จำนวนจนิ ตภาพ (Imaginary Number)

นยิ าม ถ้า a เป็นจำนวนจริง และ a < 0 เรยี ก a วา่ จำนวนจินตภาพ

เช่น −1 , −2 , −3 , −11 , −100 เป็นตน้

นิยาม เขยี น −1 ด้วยสญั ลักษณ์ i โดยที่ i2 = −1

เรยี ก i ว่า หน่วยจนิ ตภาพ (Imaginary Unit)

นยิ าม ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวกแลว้ −a = a −1

= ai
จากบทนยิ ามท้ัง 3 เราพบว่า i = −1

I2 = −1
−a = a −1
ดงั นัน้ −4 = 4 −1
−4 = 2i
ดงั น้นั จากตวั อย่างที่ 2 คำตอบของสมการคือ x =  2i

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชงิ ซ้อน  หน้า 6
เลม่ ที่ 1 จำนวนจินตภาพ

ตวั อย่างที่ 3 ให้เขยี นจำนวนต่อไปน้ีให้อยใู่ นรูปหน่วยจินตภาพ

1. −25

2. −144
3. −529

4. −18

5. − −625

วิธีทำ

1. −25 = 25 −1

∴ −25 = 5i

2. −144 = 144 −1
∴ −144 = 12i

3. −529 = 529 −1
∴ −529 = 23i

4. −18 = 9  (−2)
= 3 −2
= 3 2 −1

∴ −18 = 3 2i

5. − −625 = − 252  (−1)

= −(25 −1)

∴ − −625 = −25i

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชงิ ซ้อน  หน้า 7
เลม่ ท่ี 1 จำนวนจินตภาพ

พิจารณาค่า i ต่อไปนี้
i1 = i
i2 = −1
i3 = −i
i4 = 1
i5 = i
i6 = −1
i7 = −i
i8 = 1

จะพบวา่ คา่ ของ i ยกกำลงั 1, 2, 3, 4 จะมีคา่ เปน็ i, −1, −i, 1
ค่าของ i ยกกำลัง 5, 6, 7, 8 จะมีคา่ เป็น i, −1, −i, 1 ตามลำดบั เชน่ กัน

ดังนัน้ ค่าของ i ยกกำลัง 1, 2, 3,… ตามลำดบั จะมีคา่ เปน็ i, −1, −i, 1 เรยี งกนั ไป
เปน็ ชดุ ๆ ชุดละ 4 จำนวน

คา่ ของ in จะมคี ่าแตกตา่ งกันได้ 4 ค่า คือ i, −1, −i และ 1 หาไดจ้ าก
ถ้า n หารดว้ ย 4 ลงตัว จะได้ in มคี ่า 1
ถา้ n หารด้วย 4 เหลือเศษ 1 จะได้ in มีค่า i
ถา้ n หารดว้ ย 4 เหลือเศษ 2 จะได้ in มคี า่ −1
ถา้ n หารดว้ ย 4 เหลอื เศษ 3 จะได้ in มีคา่ −i

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชงิ ซ้อน  หนา้ 8
เลม่ ท่ี 1 จำนวนจินตภาพ

ตวั อย่างที่ 4 จงหาค่าต่อไปน้ี

1. i856
2. i75 + i2561
3. i201 + i202 + i203 + i204

วธิ ที ำ

1. i856 = i4(214) + 0
= (i4 )(214)  i0
= 1214 1
= 11

∴ i856 = 1

2. i75 + i2561 = i4(18) + 3 + i4(640) + 1
= (i4 )(18)  i3 +(i4 )(640)  i1
= 118  i3 +1640  i1
= i3 + i1
= −i + i

∴ i75 + i2561 = 0

3. i201 + i202 + i203 + i204 = i4(50) + 1 + i4(50) + 2 + i4(50) + 3 + i4(51) + 0

∴ i201 + i202 + i203 + i204 = i + i2 + i3 + i0

= i + (−1) + (−i) + 1
=0

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น  หน้า 9
เล่มท่ี 1 จำนวนจินตภาพ

ตัวอยา่ งที่ 5 จงหาค่าต่อไปนี้ ง+ 1

1. i + i2 + i3 + i4 =
2. i3 + i4 + i5 + i6
3. 1 + i + i2 + i3 + … + i9
4. 1 + i + i2 + i3 + … + i104

วิธีทำ

1. i + i2 + i3 + i4 = i + (−1) + (−i) + 1
∴ i + i2 + i3 + i4 = 0

2. i3 + i4 + i5 + i6 = (−i) + 1 + i + (−1)
∴ i3 + i4 + i5 + i6 = 0

3. 1 + i + i2 + i3 + … + i9 = 1 + (i + i2 + i3 + i4) + (i5 + i6 + i7 + i8)+ i9
= 1+ 0 + 0 + i

∴ 1 + i + i2 + i3 + … + i9 = 1 + i

4. 1 + i + i2 + i3 + … + i104 = 1 + (i + i2 + i3+ i4)+… + (i101 + i102 + i103 + i104)
= 1+0+0+…+0

∴ 1 + i + i2 + i3 + … + i104 = 1

แบบฝกึ ทักษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชิงซอ้ น  หน้า 10
เล่มท่ี 1 จำนวนจนิ ตภาพ

ตัวอย่างท่ี 6 จงหาค่าตอ่ ไปน้ี

1. i  i2  i3  i4

2. i5  i6  i7  i8

i  i  i  i3. 125
126 127 128

วิธที ำ

1. i  i2  i3  i4 = i1+2+3+4
∴ i  i2  i3  i4
= i10

= i4(2) + 2
_

= i2

= −1

2. i5  i6  i7  i8 = i5+6+7+8
∴ i5  i6  i7  i8 = i26
= i4(6) + 2
= i2

= −1

i  i  i  i3. 125
126 127 128 = i125+126+127+128
= i506
i  i  i  i∴ 125 = i4(126) + 2
126 127 128 = i2

= −1

จากตวั อยา่ งท่ี 5, 6 สรุปเปน็ ทฤษฎีบทได้ดงั น้ี

ทฤษฎบี ท ถ้า n เปน็ จำนวนเตม็ บวกแล้ว
1) in + in+1 + in+2 + in+3 = 0 เสมอ

2) in  in+1  in+2  in+3 = −1 เสมอ

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชิงซอ้ น  หน้า 11
เล่มที่ 1 จำนวนจนิ ตภาพ

แบบฝกึ ทักษะท่ี 1.1

1. จงเขยี นจำนวนต่อไปนใี้ ห้อยใู่ นรูปของจำนวนจนิ ตภาพ (20 คะแนน)

ขอ้ ที่ กำหนด −a = a −1 = ai

1. −3 ……………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………..

2. −16 ……………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………..

3. −14 ……………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………..

4. − −36 ……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

5. − −121 ……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

6. 3 + −27 ……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

7. 2 + −4 ……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

8. 4 − −9 ……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

9. 2 2 − −4 ……………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………..

10. 3 3 − −64 ……………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………..

เกณฑ์การใหค้ ะแนน (ขอ้ ละ 2 คะแนน) 2 คะแนน
1. แสดงวธิ ที ำไดถ้ ูกต้อง ส่อื ความหมายถูกต้องตามหลักคณติ ศาสตร์ 1 คะแนน
2. แสดงวธิ ที ำได้เป็นบางส่วน 0 คะแนน
3. แสดงวธิ ีทำไมถ่ กู ต้อง

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชงิ ซ้อน  หน้า 12
เล่มท่ี 1 จำนวนจนิ ตภาพ

แบบฝกึ ทักษะท่ี 1.2

คำชี้แจง จงหาค่าต่อไปน้ี (10 คะแนน)

1. i1250 + i56
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

2. 6i3 + 2i4 – 5i6
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

3. i10 + i11 + i12 + … + i83
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

i  i  i  i4. 106 107 108 109

……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

5. i202  i203  i204  i205  ...  i213
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

เกณฑ์การให้คะแนน (ขอ้ ละ 2 คะแนน) 2 คะแนน
1. แสดงวิธที ำได้ถกู ต้อง สื่อความหมายถูกต้องตามหลักคณิตศาสตร์ 1 คะแนน
2. แสดงวิธีทำได้เป็นบางส่วน 0 คะแนน
3. แสดงวธิ ีทำไม่ถูกตอ้ ง

แบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น  หน้า 13
เลม่ ที่ 1 จำนวนจนิ ตภาพ

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะชุดท่ี 1.1

1. จงเขยี นจำนวนต่อไปนใ้ี ห้อยูใ่ นรปู ของจำนวนจินตภาพ (20 คะแนน)

ขอ้ ที่ กำหนด −a = a −1 = ai

1. −3 ……………−…3……=………3……−…1……=………3…i………………………..

2. −16 ……………−…1…6……=………1…6 ……−…1……=……4i………………………..

3. −14 ……………−…1…4……=………1…4 ……−…1……=………1…4…i ………………..

4. − −36 …………−……−…3…6……=……−…(……36………−…1)……=……−…6…i …………..

5. − −121 …………−……−…1…21……=……−…(……1…21……−…1…)……=……−…1…1i………..

6. 3 + −27 ……………3…+………−…27……=………3……+…3……3…i ……………………..

7. 2 + −4 ……………2…+………−…4……=……2…+……2…i ……………………………..

8. 4 − −9
………………4…−………−9……=……2…−……3…i ……………………………..

9. 2 2 − −4
………2……2…−………−…4……=……2………2…−…2…i………………………..

10. 3 3 − −64 ………3……3…−………−…64……=……3……3…−……8…i ………………………..

เกณฑ์การให้คะแนน (ข้อละ 2 คะแนน) 2 คะแนน
1. แสดงวธิ ที ำไดถ้ ูกตอ้ ง สอ่ื ความหมายถูกต้องตามหลักคณติ ศาสตร์ 1 คะแนน
2. แสดงวธิ ีทำได้เป็นบางส่วน 0 คะแนน
3. แสดงวิธที ำไมถ่ ูกต้อง

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชิงซ้อน  หน้า 14
เล่มท่ี 1 จำนวนจินตภาพ

เฉลยแบบฝกึ ทกั ษะชดุ ท่ี 1.2

คำช้แี จง จงหาคา่ ต่อไปนี้ (10 คะแนน)
1. i1250 + i56
…………………………i1…25…0…+…i5…6……=……i4…(31…2)…+…2 …+……i4…(1…4)…+…0 ……………………………………………………………
……………………………………………=……i2 …+……i0…………………………………………………………………………………
……………………………………………=……−…1…+……1………………………………………………………………………………
……………………∴……i1…25…0 …+…i5…6……=……0 …………………………………………………………………………………………
2. 6i3 + 2i4 – 5i6
……………………6…i3…+…2…i4…–……5i…6 …=……6(…−…i)…+……2…(1…)…–……5…(−…1…) ………………………………………………………
……………………………………………=……−…6i……+…2……+……5……………………………………………………………………
……………∴………6…i3…+…2…i4…–……5i…6 …=……7…−……6…i ………………………………………………………………………………
3. i10 + i11 + i12 + … + i83
……i…10…+…i…11…+……i12…+………+…i…83……=…(…i10…+……i1…1 …+…i1…2…+…i…13…) …+………+……(i7…8 …+…i7…9…+…i…80…+……i8…1)…+…i…82…+…i…83…
…………………………………………=……(…−1……−…i …+…1……+…i)…+…………+…(…−…1…−…i…+…1……+…i…) +……i2…+…i…3 ………………
…………………………………………=……0…+…………+…0……+…(−…1…)…+……(−…i …) ……………………………………………………
∴……i…10…+…i…11…+…i…12…+…………+…i…83…=……−…1…−…i……………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

i  i  i  i4. 106 107 108 109

………………………i…10…6 ……i1…07……i…10…8 … i…10…9 …=……i1…06…+…10…7…+ 1…08…+…1…09……………………………………………………

…………………………………………………………=……i1…06…+…10…7 …+ 1…08…+…1…09……………………………………………………
…………………………………………………………=……i4…30…………………………………………………………………………
…………………………………………………………=……i4(…10…7)…+…2 …………………………………………………………………

…………………∴……i…106………i10…7 ……i…108……i…109……=……i2…=……−…1…………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน  หนา้ 15
เลม่ ท่ี 1 จำนวนจนิ ตภาพ

5. i202  i203  i204  i205  ...  i213

……………………i20…2 …i…203……i2…04 … i…205……i2…06……i20…7 =……(…i2…02…i…20…3…i…20…4 …i2…05…)….…..… (…i2…10…i…21…1…i…21…2 …i2…13…)…………
…………………………………………………………=……(…−1…) … (…−1…) … (…−1…)………………………………………………………

…………………∴……i…106………i1…07 ……i…108……i…109……=……(−…1…)………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………………………

เกณฑ์การใหค้ ะแนน (ข้อละ 2 คะแนน) 2 คะแนน
1. แสดงวิธที ำได้ถกู ตอ้ ง สือ่ ความหมายถูกตอ้ งตามหลักคณิตศาสตร์ 1 คะแนน
2. แสดงวธิ ที ำได้เปน็ บางสว่ น 0 คะแนน
3. แสดงวธิ ีทำไมถ่ ูกต้อง

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชิงซอ้ น  หนา้ 16
เล่มท่ี 1 จำนวนจนิ ตภาพ

แบบทดสอบหลงั เรียน
เรื่อง จำนวนจนิ ตภาพ

คำช้แี จง ใหน้ กั เรียน  ทับอักษรหน้าคำตอบที่ถกู ทส่ี ดุ เพยี งคำตอบเดยี ว

1. ข้อใดกล่าวถูกต้อง
ก. i8 = 1
ข. i16 = −1
ค. i3 = i
ง. i6 = 1

2. ข้อใดต่อไปนเ้ี ป็นจำนวนจินตภาพ
ก. – 1
ข. − 5
ค. −5
ง. 0

3. −16  −25 มีค่าเท่ากบั ข้อใด
ก. 20
ข. -20
ค. 20i
ง. – 20i

4. −25 + −9 มีคา่ เท่ากบั ข้อใด
ก. 2
ข. 8
ค. 2i
ง. 8i

5. ค่าของ (−i)3 + (−i)10 + (−i)25 ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. 1
ข. –1
ค. i
ง. –i

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน  หนา้ 17
เล่มท่ี 1 จำนวนจินตภาพ

6. คา่ ของ i219 ข้อใด
ก. –1
ข. 1
ค. –i
ง. i

7. ค่าของ i15 + i17 + i19 + i21 ตรงกับขอ้ ใด
ก. 0
ข. –1
ค. i
ง. –i

8. ค่าของ i23 + i24 + i25 + i26 + ... + i2405 ตรงกบั ขอ้ ใด
ก. i
ข. –i

ค. 1
ง. –1
9. ค่าของ i125 + i132 + i170 + i243 ตรงกบั ข้อใด
ก. –i
ข. –1
ค. 1
ง. 0
10. ค่าของ i + i2 + i3 + i4 + i5 + ... + i1026 ตรงกับข้อใด
ก. −1 + i
ข. −1−i
ค. 1 + i
ง. 1− i

แบบฝกึ ทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชงิ ซอ้ น  หน้า 18
เลม่ ท่ี 1 จำนวนจินตภาพ

เฉลยคำตอบ
แบบทดสอบหลังเรยี น

1. ก
2. ค
3. ข
4. ง
5. ข
6. ค
7. ก
8. ค
9. ง
10. ก

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชงิ ซ้อน  หนา้ 19
เล่มท่ี 1 จำนวนจินตภาพ

แบบบันทกึ คะแนน
การทำแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์

เลม่ ที่ 1 จำนวนจนิ ตภาพ

ลำดบั แบบฝึกทักษะท่ี คะแนนเตม็ คะแนนท่ไี ด้
1 1.1 20
2 1.2 10
3 แบบทดสอบหลังเรยี น 10
รวมคะแนน 40

ลงชอ่ื ……………….…………..ผตู้ รวจ

(..................................)

แบบฝึกทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชิงซอ้ น  หนา้ 20
เล่มท่ี 1 จำนวนจนิ ตภาพ

บรรณานุกรม

กนกวลี อษุ ณกรกุล และ รณชัย มาเจรญิ ทรัพย์. (2550). แบบฝึกหดั และประเมินผล
การเรียนรู้ คณติ ศาสตร์เพ่มิ เติม ม. 5 เลม่ 2. กรงุ เทพฯ : เดอะบุคส์.

กระทรวงศึกษาธิการ. (2544). คู่มือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร์ เลม่ 4 ชนั้ มัธยมศึกษา
ปที ี่ 4 – 6 กลุม่ สาระการเรียนรคู้ ณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศกึ ษา
ข้นั พ้นื ฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ : สกสค. ลาดพร้าว.
(2557). หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร์ เล่ม 4 กลุ่มสาระ
การเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 ตามหลกั สูตรการศกึ ษาขั้นพ้ืนฐาน
พุทธศกั ราช 2551. กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์ สกสค.

กวยิ า เนาวประทีป. (2547). เทคนิคการเรียนคณิตศาสตร์ จำนวนเชิงซอ้ น กลุ่มสาระ
การเรียนรคู้ ณติ ศาสตร์. กรงุ เทพฯ : ฟสิ ิกสเ์ ซน็ เตอร.์

ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา. (ม.ป.ป). หนงั สอื เรยี นเสรมิ มาตรฐานแม็ค คณติ ศาสตรเ์ พ่ิมเติม
ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 ภาคเรียนที่ 2 . กรุงเทพฯ : แมค็ จำกดั .

สมัย เหลา่ วานชิ ย์ และ พัวพรรณ เหลา่ วานชิ ย์ (ม.ป.ป). คณิตศาสตร์ ม. 5 เล่ม 4.
กรุงเทพฯ : ไฮเอด็ พับลชิ ชงิ่ จำกดั

สยามณัฐ พนัสสรณ์. (2549). เตรยี มสอบ O-NET . กรุงเทพฯ : แม็ค.

แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชงิ ซ้อน  หน้า 21 ก
เลม่ ที่ 1 จำนวนจินตภาพ

คำนำ

แบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน ชั้นมัธยมศกึ ษาปีท่ี 5 เป็นเอกสาร
สำหรบั ประกอบการจดั การเรียนรู้ รายวิชาคณติ ศาสตร์เพ่ิมเติม รหสั วิชา ค32202 จัดทำขึ้น
ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพนื้ ฐานพทุ ธศักราช 2551 กลุ่มสาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์
การจัดกิจกรรมการเรยี นการสอนในสถานการณ์ปัจจบุ ัน ต้องมีความหลากหลาย น่าสนใจ ทันสมัย
ตลอดจนใชส้ อ่ื การเรยี นการสอนประกอบใหส้ อดคลอ้ งกบั จุดประสงค์การเรียนรู้ จึงจะส่งผลให้
นกั เรียนเกิดการเรยี นรทู้ ่ดี มี ีประสทิ ธภิ าพ

ผู้จัดทำต้องขอขอบคณุ ท่ีปรึกษา ผูเ้ ชีย่ วชาญทุกท่านเป็นอย่างสูงทก่ี รุณาให้ความ
อนุเคราะห์ตรวจสอบ ใหค้ ำปรกึ ษา แนะนำ และให้กำลังใจ ข้าพเจา้ หวงั เปน็ อย่างยงิ่ ว่าแบบฝกึ
ทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่อื ง จำนวนเชงิ ซ้อน ช้นั มัธยมศึกษาปที ่ี 5 ท่จี ัดทำขึน้ นี้เปน็ เคร่ืองมือที่ดี
สำหรบั ครู และนกั เรยี น สามารถนำไปใชเ้ ป็นพื้นฐานในการศกึ ษา หาความรู้ สำหรับการเรียนรู้
ในเรอื่ งทเี่ กย่ี วข้องต่อไปได้อย่างมีประสิทธิภาพ

ขวัญหล้า เหล่าจนิ ดา

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เร่ือง จำนวนเชิงซ้อน  หน้า 22 ข
เล่มที่ 1 จำนวนจนิ ตภาพ

คำชแ้ี จง

1. แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรือ่ ง จำนวนเชิงซอ้ น ช้ันมัธยมศึกษาปที ี่ 5 แบง่ เปน็ เล่ม
จำนวน 8 เล่ม ได้แก่
เลม่ ท่ี 1 จำนวนจนิ ตภาพ
เลม่ ท่ี 2 การสรา้ งจำนวนเชิงซ้อน
เล่มท่ี 3 สมบตั ิเชิงพชี คณิตของจำนวนเชงิ ซอ้ น
เลม่ ที่ 4 รากทส่ี องของจำนวนเชงิ ซ้อน
เล่มที่ 5 กราฟและค่าสัมบูรณข์ องจำนวนเชิงซ้อน
เลม่ ท่ี 6 จำนวนเชิงซอ้ นในรูปเชิงขว้ั
เล่มที่ 7 รากท่ี n ของจำนวนเชงิ ซอ้ น
เล่มท่ี 8 สมการพหนุ าม
ซง่ึ แต่ละเล่มมีส่วนประกอบดังน้ี
ชื่อของแบบฝกึ ทกั ษะ
คำชี้แจง
สาระสำคัญ
จุดประสงค์การเรียนรู้
สาระการเรียนรู้
ใบความรู้
แบบฝึกทักษะ
เฉลยแบบฝึกทักษะ
แบบทดสอบหลังเรยี น
เฉลยคำตอบของแบบทดสอบ
แบบบนั ทกึ คะแนน
บรรณานุกรม

2. แบบฝึกทักษะคณติ ศาสตร์เล่มน้เี ป็นแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ เรือ่ ง จำนวนเชงิ ซอ้ น
เล่มท่ี 1 จำนวนจินตภาพ

3. การทำแบบฝกึ ทักษะคณิตศาสตร์ แต่ละเล่มให้ปฏบิ ัติ ดังน้ี
3.1 ศกึ ษารายละเอยี ดของลกั ษณะของแบบฝึกทักษะคณิตศาสตร์ให้เขา้ ใจ
3.2 นักเรียนศึกษาใบความรู้แตล่ ะตอนในแตล่ ะเลม่ ด้วยตนเอง
3.3 นักเรยี นทำแบบฝกึ หัดแตล่ ะตอนในแต่ละเล่มด้วยตนเอง
3.4 ตรวจคำตอบ
3.5 ทดสอบหลังเรียน
3.6 ตรวจคำตอบ

แบบฝึกทกั ษะคณติ ศาสตร์ เรื่อง จำนวนเชงิ ซอ้ น  หน้า 23 ค
เลม่ ที่ 1 จำนวนจนิ ตภาพ

สารบัญ หนา้
ก
คำนำ ข
คำชแ้ี จง ค
สารบัญ 1
สาระสำคัญ 2
จุดประสงค์การเรยี นรู้ 3
สาระการเรียนรู้ 4
ใบความรู้ที่ 1.1 เรื่อง จำนวนจนิ ตภาพ 11
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1.1 12
แบบฝกึ ทกั ษะท่ี 1.2 13
เฉลยแบบฝกึ หดั ที่ 1.1 14
เฉลยแบบฝกึ หัดที่ 1.2 16
แบบทดสอบหลังเรยี น 18
เฉลยคำตอบแบบทดสอบหลังเรียน 19
แบบบนั ทกึ คะแนน 20
บรรณานกุ รม