VEKTOR MATEMATIKA

VEKTOR

Belongs to:

@tamiiaww

A. PENGERTIAN VEKTOR

VEKTOR adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah.

•› Cara Penulisan : ⃗ (dibaca: vektor a)

•› Cara Geometri :

Misal : AB
A
̅̅ ̅ ̅ = ⃗ (dibaca: vektor AB = vektor a)

BA B
| ̅̅ ̅ ̅ | = ̅ ̅ ̅ ̅ = −⃗
|̅ ̅ ̅ ̅ | =

B. PANJANG VEKTOR

•› = ( 1, 2) = ( 12)

∴ | | = √ 12 + 22

Contoh soal :

1. = (1, 2)

| | = √12 + 22 = √1 + 4 = √5

2. Diketahui titik A (2,3) dan B (4,6) jika ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = , maka tentukan | |!
Jawab :

⃗ = ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗ = −

⃗ = (46 − 23) = (23)
−

|⃗ | = √22 + 32 = √4 + 9 = √13

C. VEKTOR SATUAN

VEKTOR SATUAN adalah suatu vektor dengan panjang satu satuan.

⃗

⃗ = 6

⃗

⃗
∴ = |⃗ |

Misal :

= (3, 4)

⃗
⃗ = | ⃗ |

(3, 4)
⃗ =

√32 + 42

⃗ = (3, 4) (3, 4) (3, 4)
==
√9 + 16 √25 5


∴ ⃗ = ( , )

D. VEKTOR dengan OPERASI GOEMETRI

•› Aturan Segitiga
•› Aturan Jajargenjang
•› Aturan Poligon

# Vektor dengan Aturan Poligon

Contoh Soal :

Diketahui vektor ⃗ = (23), ⃗ = (−11) dan ⃗ = (30). Tentukan ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ − ⃗ − ⃗ !
Jawab :

x

6

5 Positif : kanan, atas
4 Negatif : kiri, bawah

3 − ⃗

2 ⃗

1 ⃗ − ⃗ − ⃗ − ⃗ y
5 6 7 8 9 10
0 1 234
•› ⃗ = (−11) •› ⃗ = (03)
•› ⃗ = (23) − ⃗ = −3 (−11) = (−33) − ⃗ = − (30) = (−03)
⃗ = 2 (32) = (46)

∴ ⃗ − ⃗ − ⃗ = ( )

E. VEKTOR dengan OPERASI ALJABAR

•› Operasi Penjumlahan
•› Operasi Pengurangan
•› Perkalian Skalar

# Operasi Penjumlahan # Operasi Pengurangan

= ( 1, 2, 3) = ( 1, 2, 3)
⃗ = ( 1, 2, 3) ⃗ = ( 1, 2, 3)

1 + 1 1 − 1
+ ⃗ = ( 2 + 2) + ⃗ = ( 2 − 2)

3 + 3 3 − 3
Contoh Soal : Contoh Soal :

Diketahui vektor = (2, 1, 3) dan Diketahui vektor = (2, 1, 3) dan

⃗ = (4, 0, 2). Tentukan + ⃗ ! ⃗ = (4, 0, 2). Tentukan + ⃗ !
Jawab: Jawab:

2+4 6 2 − 4 −2
+ ⃗ = (1 + 0) = (1) + ⃗ = (1 − 0) = ( 1 )

3+2 5 3−2 1

# Perkalian Skalar Contoh Soal : Jawab:
1 1 Diketahui vektor ⃗ = (4, 0, 2). 4 12
Tentukan 3 ⃗ !
= ( 2) = ( 2) 3 ⃗ = 3 (0) = ( 0 )
3 3 26

1. Diketahui vektor = (24), = (−22), dan = (51). Gambarlah dan tentukan
nilai dari:
a. ⃗ + ⃗ + ⃗
b. ⃗ − ⃗ − ⃗
c. − ⃗ + ⃗ − ⃗
d. − ⃗ − ⃗ + ⃗

2. Diketahui = (−21), ⃗ = (−34), dan = (−23). Gambarlah dan tentukan nilai
dari:
a. ⃗ + ⃗
b. ⃗ − ⃗
c. ⃗ − ⃗ − ⃗
d. ⃗ + ⃗ − ⃗

1 ∙ = ∙ + ∙ + ∙
= 2 atau

3 ∙ = ∙
1 atau
= 2 = ∙
3

# sifat-sifat perkalian skalar

1. ∙ = ∙

2. + = ∙ + ∙

3. ∙ = ∙ cos 0° = 2
4. + 2 = 2 + 2 + 2 cos

5. − 2 = 2 + 2 − 2 cos

Contoh Soal 1:

Diketahui = 5 dan = 6. Sudut yang terbentuk oleh dan adalah 60°.

Tentukan perkalian skalar dan !
Jawab:

∙ = ∙ cos

∙ = 5 ∙ 6 ∙ cos 60°
1
∙ = 30 ∙ 2

∙ =

Contoh Soal 2:

Diketahui = 3, 5, 0 dan = 6, 0, 2 . Tentukan sudut yang dibentuk oleh

vektor dan !
Jawab:

•› ∙ = 1 ∙ 1 + 2 ∙ 2 + 3 ∙ 3
∙ = 3 ∙ 6 + 5 ∙ 0 + 0 ∙ 2

∙ = 18

•› = 32 + 52 + 02 = 9 + 25 + 0 = 34

•› = 62 + 02 + 22 = 36 + 0 + 4 = 40

•› cos = ∙ = 18 40 = 18 = 0,4880935301
34∙ 1360

cos = 0,4881
= cos−1 0,4881 = 60,785°
∴ sudut yang dibentuk sebesar , °

y = 3
( , ) 4
(3, 4) = +

= +
x

1. Tentukan ∙ dan cosinus sudut antara dan !

a) = 2 dan = 1 −4 3
−4 3
d) = 5 dan = 3
b) = 3 dan = 5
−7 1 23
2 −4
21
c) = −3 dan = 1 e) = −7 dan = 1

−1 1

11

2. Diketahui = − + , = − 2 + 2 dan = + 2 + 3 . Tentukan:

a) ∠ ∙ f) + 2

b) ∠ ∙ g) + 2

c) ∠ ∙ h) − 2

d) ∙ i) − 2

e) ∙ j) 4 + 2

1. Dilihat sebagai titik m

mn

A PB AB P

: = : -n

= + : = : −
+
= − +
− +

Contoh Soal 1:

Jika diketahui titik adalah titik bagi antara ruas garis dengan perbandingan

3: 2 dan (0, 1, 5) dan (0, −4, 5), maka tentukan koordinat titik !

Jawab:

: = :
: = 3: 2
+ 2 + 3
= + = 2 + 3

0 00 0 0
2 1 + 3 −4 2 + −12 −10
5 5 = 10 15 25
= 5 5 = 5

∴ = −


2. Dilihat sebagai vektor = +
+
mn
= +
A PB +




o C B
Contoh Soal 2: P

Diketahui persegi panjang , adalah

titik tengah dan adalah titik potong

dengan . Jika = dan =

maka tentukan ! + o DA
+
Jawab: # =

# = + = 1 + 2 − CB
= + − 1+2

= − = + 2 − 2
3
3 − 2
= 3 P 2=m
o 1=n

∴ = −

1. Diketahui 5, 17, 1 dan (8, −1, 4). Jika titik terletak pada ruas garis
sehingga : = 2: 1 maka tentukan titik !

2. Koordinat (6, −4, −12) merupakan titik tengah ruas garis . Jika
(4, 5, −3) dan ( , , ) maka tentukan nilai , dan !

3. Titik membagi ruas garis didalam dan diluar dengan perbandingan 4: 1.
Jika (2, 3, −1) dan (−3, 3, 10) maka tentukan titik !

4. Diketahui titik 3, −1, 7 , (5, 3, 1) dan ( , , ) segaris dengan
: = 3: −1. Tentukan koordinat titik !

5. Diketahui titik 2, −3, 1 , (12, 2, 6). Jika titik pada sehingga
: = 2: 3 maka tentukan 2 − 2!

6. Diketahui 0, 1, −2 , (4, 5, 6) dan pada sehingga = 3 .

Tentukan !

7. Diketahu titik 5, −2, 1 dan (4, −1, 1). Jika titik pada sehingga

: = 3: 2 maka tentukan − !

8. Diketahui bidang empat , = , = , dan = . Jika titik
pada dengan : = 1: 2 dan titik pada dengan : = 1: 2,

maka tentukan !

I. VEKTOR SEBAGAI RUAS GARIS BERARAH

1. Kesamaan Vektor

Dua buah vektor atau lebih dikatakan sama jika dan hanya jika vektor-vektor tersebut memiliki arah dan
panjang yang sama.

a) Secara Geometri b) Secara Aljabar
BD 1
FF = 2 1
= 2
3
3
1 = 1
= − Jika = maka 2 = 2
AC E 3 = 3
= ≠ E
= −

Contoh Soal 1 2 2 Contoh Soal 2
−8 2 + 4 Diketahui koordinat titik 5, −1, 6 , (2, −3, 8)
Diketahui = dan = . dan (−1, 4, 3). Jika segiempat berbentuk
jajar genjang, tentukan koordinat titik !
Jika = , maka tentukan nilai 2 + 3 ! Jawab: (−1, 4, 3) (2, −3, 8)

Jawab:

= 2
2 2 + 4
−8 =

•› 2 = 2

•› −8 = 2 + 4 5, −1, 6 , ,

−8 − 4 = 2 •› =
−12 = 2
−6 =
∴ + − = −

= − + = − +

= + •› = − +
2 −1 5
= = −3 − 4 + −1

83 6

∴ = −


2. Titik-titik yang Segaris (Kolinier) Contoh Soal 4

C Jika 4, 2, , (2, −2, 1) dan (8, + 2, −8)
terletak pada garis lurus. Tentukan nilai + !
B = ∙ atau Jawab:
A = ∙ atau
= ∙ = ∙
= konstanta − = −
Arah sama panjang berbeda 24 8 2
−2 − 2 = + 2 − −2
1 1
−2 −8
Contoh Soal 3 6
−4 = + 4
Diketahui titik-titik −1, 5, 4 , 2, −1, −2 1 −
dan (3, , ) terletak segaris. Tentukan 2 + ! −2 −9
6
−4 = + 4
Jawab: 1 −

•› = −9

− = − 32 # 6 = −2 → = − 1
2 −1 − −1 3
−2 # + 4 = −4
−1 − 5 = 1 1
−32 4 1 − 3 + 4 − 3 = −4

−6 = + 1 − 1 − 4 = −4
3 3
− − 4 = −12
−36 + 2 − = −8

−6 = +
−6 + 2 = 8

# 3 = # 1 − = −9
1
# + = −6 − = −9 − 3 −1
3 + 3 = −6
3 = −6 − 3 − = 3 − 1
3 = −9 = −2
= −3 ∴ +
= − + − ∴ + = + − =
= − =

# + 2 = −6

3 + 2 3 = −6
3 = −6 − 6
3 = −12
= −4

1. Diketahui −1, 5, 4 , (2, −1, −2) dan ( , −3, ) segaris. Tentukan nilai dan !
2. Diketahui titik 1, 3, −1 , (3, 5, 0) dan −1, 4, 1 . Jika berbentuk persegi, tentukan

koordinat !
3. Diketahui ttik-titik 3, −5, 2 , (1, 4, −3) dan (7, 3 − 5, 7 − 2) segaris. Tentukan nilai

− !
4. Jika titik 2, −1, 5 , (1, 2, 7) dan ( , 8, ) terletak pada satu garis maka tentukan nilai + !
5. Diketahui ttik-titik −2, 3, 5 , (2, 3, 7) dan ( , , 10). Jika , , dan segaris maka tentukan

koordinat !
6. Diketahui titik 3, 3, 2 , (4, 5, 1) dan (7, , ). Jika ketiga titik itu segaris, maka tentukan nilai

dan !

7. Diketahui vektor posisi titik dan berturut-turut adalah = + 4 + 7 dan

= 6 + + 14 . Jika titik dan segaris, tentukan nilai − 2!

8. Agar kedua vektor = ( , 4, 7) dan = (6, , 14) segaris, maka tentukan nilai − !
9. −1, 5, 4 , 2, −1, −2 , dan (3, , ). Jika , , dan segaris, maka tentukan nilai dan !
10. Tentukan nilai dan agar segiempat dengan titik sudut 1, −5 , 2, 3 , −3, 1 , dan

( , ) merupakan jajargenjang!

I. PROYEKSI ORTHOGONAL SUATU VEKTOR

Contoh soal

⃗ diproyeksikan tegak lurus Diketahui ⃗ = (3, 5, 10) dan ⃗⃗ = (0, 3, 4).

Jika adalah proyeksi dari ⃗ ke ⃗⃗ , maka carilah
⃗ ⃗⃗
Panjang | ⃗ | dan vektor nya!
1. Proyeksi Skalar Jawab :

Hasil berupa panjang vektor #Proyeksi Skalar 0
3

⃗ ∙ ⃗⃗ | ⃗ | = ⃗ ∙ ⃗⃗ = ( 5 ) ∙ (3)
| ⃗⃗ | | ⃗⃗ | 10 4
| ⃗ | =
√02 + 32 + 42

| ⃗ | = 0 + 15 + 40 = 55 = 55
√0 + 9 + 16 √25 5

| ⃗ | = 11

2. Proyeksi Orthogonal #Proyeksi Orthogonal

Hasil berupa persamaan vektor 30

⃗ = ⃗ ∙ ⃗⃗ ∙ ⃗⃗ ⃗ = ⃗ ∙ ⃗⃗ ∙ ⃗⃗ = ( 5 ) ∙ (3) ∙ 0
| ⃗⃗ |2 | ⃗⃗ |2 10 4 (3)

(√02 + 32 + 42)2 4

⃗ 55 0 55 0
= ∙ (3) = ∙ (3)
(√25)2 4 25 4
@tamiiaww

0
33 33 44
⃗ = 11 0
∙ (3) = 5 = 5 , 5
5 4 44

(5)

Tentukan proyeksi skalar dan proyeksi orthogonal ⃗⃗ pada ⃗ jika diketahui:

1. ⃗⃗ = 6 + 2 6. ⃗⃗ = 3 + − 7
⃗ = 3 − 9 ⃗ = + 5

2. ⃗⃗ = − − 2 7. ⃗⃗ =
⃗ = −2 + 3 ⃗ = 4 + 3 + 8

3. ⃗⃗ = − 2 8. ⃗⃗ = 3 + 4
⃗ = −4 − 3 ⃗ = 2 + 3 + 3

4. ⃗⃗ = 5 + 6 9. ⃗⃗ = 3 − 2 + 6
⃗ = 2 − ⃗ = + 2 − 7

5. ⃗⃗ = −2 + 10. ⃗⃗ = 2 − +
⃗ = 6 + 3 ⃗ = + + 2

@tamiiaww