สื่อการเรียนการสอน

เรื่องราวของเซต

เรียนรู้เรื่องเซต

1.ความหมายของเซต 5.การเขียนแสดงเซต
6.การสับเซต
2.สมาชิกขอเซต
7.การดำเนินการระหว่างเซต
3.สัญลักษณ์ของเซต

4.รูปแบบของเซต 8.เอกภพสัมพัทธ์

9.การเขียนแป็นภาพพจน์

เซต

ความหมายของเซต
ในทางคณิตศาสตร์ คำว่า "เซต" หมายถึง กลุ่ม หมู่ เหล่า กอง ฝูง

ชุด เเละเมื่อกล่าวถึงเซตของสิ่งใดๆ จะทราบได้ทันทีว่าในเซตนั้นมี
อะไรบ้าง เราเรียกสิ่งที่อยู่ในเซตว่า 'สมาชิก'

สมาชิกของเซต

สมาชิกของเซต
ในทางคณิตศาสตร์ สมาชิก ของเซต หมายถึงวัตถุแต่ละสิ่งที่ประกอบเข้าด้วยกันเป็นเซต
เมื่อเราเขียนว่า A = {1, 2, 3, 4} หมายความว่าสมาชิกต่าง ๆ ของเซต A ได้แก่ จำนวน 1, 2,
3 และ 4 กลุ่มย่อยของสมาชิกของ A เช่น {1, 2} เรียกว่าเป็นเซตย่อยของ A
เซตสามารถเป็นสมาชิกของเซตอื่นได้เช่นกัน ลองพิจารณาจาก B = {1, 2, {3, 4}} สมาชิก
ของ B ไม่ใช่จำนวน 1, 2, 3 และ 4 แต่มีสมาชิกเพียงสามตัวใน B ได้แก่ จำนวน 1, จำนวน 2
และเซต {3, 4}
สมาชิกในเซตสามารถเป็นอะไรก็ได้ ตัวอย่างเช่น C = {สีแดง, สีเขียว, สีน้ำเงิน} ซึ่งเป็นเซตที่
ประกอบด้วยสมาชิก สีแดง สีเขียว และ สีน้ำเงิน

∈ ∉1.) , สั ญลักษณ์ของเซต
∈ แทน เป็นสมาชิกของเซต
∉ แทน ไม่เป็นสมาชิกของเซต

≠2.) =,

≠= แทน การเท่ากัน 3.) Ø หรือ { } แทน การเป็นเซตว่าง
แทนการไม่เท่ากัน เซตว่าง คือ เซตที่ไม่มีสมาชิก





⊂4.) แทน เป็นสับเซตของเซต

∪5.) เรียกว่า ยูเนียน คือ การรวมสมาชิกของเซตหลายเซตมารวมกัน

∩6.) เรียกว่า อินเตอร์เซกชัน

ประเภทของเซต

เซตจำกัด

เซตจำกัด (Finite Set)
เซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวนเต็มบวก หรือ ศูนย์เซตใดๆเป็นเซตจำกัดก็ต่อเมื่อ

เรารู้จำนวนสมาชิกของเซตนั้นแน่นอน เช่น
เซตว่างมีจำนวนสมาชิกเป็น 0 {1, 2, 3, ...,100} มีจำนวนสมาชิกเป็น 100

เซตว่าง

เซตว่าง (Empty Set)
เซตที่ไม่มีสมาชิก หรือมีจำนวนสมาชิกในเซตเป็นศูนย์ สามารถเขียนแทนได้ด้วย

สัญลักษณ์ {} หรือ Ø
ตัวอย่างเช่น

∴A = {x | x เป็นจำนวนเต็ม และ 1 < x < 2} A = Ø
∴B = { x | x เป็นจำนวนเต็มบวก และ x + 1 = 0 } B = Ø

เนื่องจากเราสามารถบอกจำนวนสมาชิกของเซตว่างได้ ดังนั้น เซตว่างเป็นเซตจำกัด

เซตอนันต์

เซตอนันต์ (Infinite Set)
เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด ไม่สามารถบอกจำนวนสมาชิกได้ เช่น
เซตของจำนวนเต็มบวก {1, 2, 3, ...} เซตของจุดบนระนาบ

การเขียนแสดงเซต

รูปแบบการแจกแจง

รูปแบบแจกแจง
การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก เขียนสมาชิกทุกตัวลงในเครื่องหมายวงเล็บปีกกา { }

และใช้เครื่องหมาย
จุลภาค ( , ) คั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัว

ตัวอย่างเช่น
• เซตของจำนวนนับที่น้อยกว่า 7 เขียนแทนด้วย {1,2,3,4,5,6,}
• เซตของพยัญชนะไทย 5 ตัวแรก เขียนแทนด้วย { ก,ข,ฃ,ค,ฅ }

รูปแบบเงื่อนไข

รูปแบบเงื่อนไข
เขียนแบบบอกเงื่อนไข ใช้ตัวแปรเขียนแทนสมาชิกของเซต แล้วบรรยายสมบัติของสมาชิกที่

อยู่รูปของตัวแปร
เช่น {x| x เป็นสระในภาษาอังกฤษ } อ่านว่า เซตของ x โดยที่ x เป็นสระในภาษาอังกฤษ

{x| x เป็นเดือนแรกและเดือนสุดท้ายของปี } อ่านว่า เซตของ xโดยที่ x เป็นเดือนแรก
และเดือนสุดท้ายของปี
เครื่องหมาย “ | ” แทนคำว่า โดยที่
ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกนั้นจะใช้จุด ( ... ) เพื่อแสดงว่ามีสมาชิกอื่นๆ ซึ่งเป็นที่เข้าใจ
กันทั่วไปว่ามีอะไรบ้างที่
อยู่ในเซต

ตัวอย่างเช่น
{ 1,2,3,...,10 } สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามี 4,5,6,7,8 และ9 เป็นสมาชิกของเซต

{ วันจันทร์, อังคาร, พุธ,..., อาทิตย์ } สัญลักษณ์ ... แสดงว่ามีวันพฤหัสบดี วันศุกร์ และวันเสาร์
เป็นสมาชิกของเซต

การสั บเซต

บทนิยาม

ให้ A และ B เป็นเซตใดๆ

∈A เป็นสับเซตของB ก็ต่อเมื่อสมาชิกตัวของAเป็นสมาชิกของB

A เป็นสับเซตของ B A B
A ไม่เป็นสับเซตของ B A ¢ B

สับเซตแท้

สับเซตแท้

≠A เป็นสับเซตแท้ของ B ก็ต่อเมื่อ

ACB และ A B
เซตว่างเป็นเซตที่ไม่มีสับเซตแท้

ตัวอย่าง

กำหนดให้ A=[1,2,(1,2)]
จงหาสับเซตทั้งหมดของ A
Ø {1},{2},{(1,2)},{1,2},{1},{1,2},{2},{1,2},{1,2},{1,2}

กำหนดให้ A={1,2,(1,2)}

การดำเนินการระหว่างเซต

อินเตอร์เซกชัน

เมื่อกำหนด A = {1,2,3,4} และ B = {2,4,6,8} สร้างเซต
C ที่มีสมาชิกเป็นสมาชิก

ของทั้งเซต A และ B ได้ดังนี้ C= {2,4}
จะเห็นว่า สมาชิกแต่ละตัวของเซต C เป็นสมาชิกของทั้งเซต A และ B เรียกเซต C

∩ว่า อินเตอร์เซกชัน (intersection) ของเซต A และ B เขียนแทนด้วย A B

บทนิยาม

∩ ∈ ∈


A B = { x | x A และ x B }

ตัวอย่าง

∩ให้ A = {0,1,2,3} และ B = {0,3,5} จงหา A B
∩วิธีทำ เซต A และ B มีสมาชิกร่วมกัน คือ 0 และ 3

ดังนั้น A B = {0,3}

พาเวอร์เซต

บทนิยาม


พาเวอร์เซตของเซต A ก็คือ เซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสับเซตทั้งหมดของเซต A

เขียนแทนด้วย P(A)

ตัวอย่าง

A = {1} ; n(A) = 1
จำนวนสับเซต 2¹ = 2
สับเซตทั้งหมด {1} , Ø
P(A) = { {1} , Ø }

ยูเนียน

ให้ A = {2,3,4} และ B = {3,4,8,9} สร้างเซต C ซึ่งเป็นเซตใหม่ โดยที่สมาชิกของเซต C เป็น
สมาชิกของเซต A หรือเซต B หรือทั้งสองเซตได้ดังนี้
C = {2,3,4,8,9}

∪เรียกเซต C ว่า ยูเนียน (union) ของเซต A และ B เขียนแทนด้วย A B

บทนิยาม

∪ ∈ ∈


A B = { x | x A หรือ x B }

ตัวอย่าง

∪ให้ A = {0,1,2,3} และ B = {1,3,5,7} จงหา A B
∪ ∪วิธีทำ A B เกิดจากการนำสมาชิกของเซต A และ B มาเขียนไว้ด้วยกัน ดังนั้น A B = {0,1,2,3,5,7}

คอมพลีเมนต์

ให้ A เป็นเซตที่มี7
U เป็นเอกภพสัมพัทธ์ เรียกเซตซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิก
เซต A ว่า คอมพลีเมนต์ (complement) ของเซต A เมื่อเทียบกับ U หรือคอมพลีเมนต์ของ
เขียนแทนคอมพลีเมนต์ของเซต A ว่า A'

บทนิยาม

ตัวอย่าง ∈ ∉


A' = { x | x U และ x A }

ให้ U = {0,1,2,3,4,5} และ A = {0,2} จงหา A'
วิธีทำ เนื่องจาก 1,3,4 และ 5 เป็นสมาชิกของ U แต่ไม่เป็นสมาชิกของเซต A ดังนั้น A' =
{1,3,4,5}

ผลต่างระหว่างเซต

(difference of sets) ของเซต A และ B หมายถึง เซตที่มีสมาชิกอยู่ในเซต A แต่ไม่อยู่ใน
เซต B เขียนแทนด้วย A - B

บทนิยาม

∈ ∉A - B = { x | x A และ x B }

ตัวอย่าง

ให้ A = {0,1,2,3,4} และ B = {3,4,5,6,7} จงหา A-B และ B-A
วิธีทำ จะได้ A-B = {0,1,2}
B-A = {5,6,7}

≠ข้อสังเกต จากตัวอย่างข้างต้น จะเห็นว่า A-B B-A

เอกภพสั มพัทธ์



เอกภพสัมพัทธ์ คือ เซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดของสิ่งที่เรา

ต้องการจะศึกษา สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ u

ตัวอย่าง

กำหนดให้ U คือ เซตของจำนวนเต็มบวก
จะได้ A = {2}

ตัวอย่างเช่น
ถ้าเราจะศึกษาเกี่ยวกับจำนวนเต็ม
U = {...,-2,-1,0,1,2,...}
หรือ U = {x | x เป็นจำนวนเต็ม.}

การเขียนแผนภาพพจน์

การเขียนแผนภาพพจน์
การเขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ มักเขียนแทนเอกภพสัมพัทธ์ U ด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้า

หรือรูปปิดใด ๆ ส่วนเซต A,B,C,D,… ซึ่งเป็นเซตย่อยของ U อาจเขียนแทนด้วยวงกลม
หรือวงรีหรือรูปปิดใด ๆ โดยให้ภาพทื่แทนเซตย่อยอยู่ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่แทนเอกภพ
สัมพัทธ์

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่1

ถ้ากำหนดให้ U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A = {1,2,3} , B = {1,2,3,4,5} , C = {3,5,6,7}
เราจะเขียนแนภาพเวนน์-ออยเลอร์ แสดงเอกภพสัมพัทธ์ U และเซตย่อยต่าง ๆ ดัง
แผนภาพต่อไปนี้

ตัวอย่างที่2

ถ้าเซต A และ B
ไม่มีสมาชิกร่วมกันแผนภาพมีลักษณะดังนี้ ตัวอย่างที่3

ถ้าเซต A และ B มีสมาชิกร่วมกันบางส่วน ( ไม่ทั้งหมด )

ตัวอย่างที่4

⊂ ≠ถ้า A B แต่ A B แผนภาพจะมีลักษณะดังนี้

ตัวอย่างที่5

ถ้า A=B แผนภาพมีลักษณะดังนี้

{จบการเรียนรู้เรื่องเซต}