ความน่าจะเป็น

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น

ความน่าจะเป็น

ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น ข อ ง เ ห ตุ ก า ร ณ์ คื อ จำ น ว น ที่
แ ส ด ง ใ ห้ ท ร า บ ว่ า เ ห ตุ ก า ร ณ์ ใ ด เ ห ตุ ก า ร ณ์ ห นึ่ ง มี

โ อ ก า ส เ กิ ด ขึ้ น ม า ก ห รื อ น้ อ ย เ พี ย ง ใ ด

เ มื่ อ P (E) คื อ ค ว า ม น่ า จ ะ เ ป็ น ข อ ง
เ ห ตุ ก า ร ณ์ E


N (E) คื อ จำ น ว น ผ ล ที่ จ ะ เ กิ ด ขึ้ น ใ น เ ห ตุ ก า ร ณ์
E


N ( S ) คื อ จำ น ว น ผ ล ทั้ ง ห ม ด ที่ อ า จ จ ะ เ กิ ด ขึ้ น
ไ ด้


จำ น ว น ผ ล ที่ จ ะ เ กิ ด ขึ้ น ใ น เ ห ตุ ก า ร ณ์ E
เ รี ย ก อี ก อ ย่ า ง ห นึ่ ง ว่ า เ ห ตุ ก า ร ณ์ ที่ ส น ใ จ ห รื อ สิ่ ง ที่
โ จ ท ย์ กำ ห น ด ใ ห้


จำ น ว น ผ ล ทั้ ง ห ม ด ที่ อ า จ จ ะ เ กิ ด ขึ้ น ไ ด้
S เ รี ย ก อี ก อ ย่ า ง ห นึ่ ง ว่ า แ ซ ม เ ปิ ล ส เ ป ซ ห า ไ ด้
จ า ก ก า ร ท ด ล อ ง สุ่ ม


ข้ อ สั ง เ ก ต ถ้ า
E เ ป็ น เ ห ตุ ก า ร ณ์ ใ ด ๆ จ ะ พ บ ว่ า


1) 0 <
P(E) < 1


2) P(E) =
0 เ มื่ อ E เ ป็ น เ ห ตุ ก า ร ณ์ ที่ เ ป็ น ไ ป ไ ม่ ไ ด้


3) P(E) =
1 เ มื่ อ E เ ป็ น เ ห ตุ ก า ร ณ์ ที่ แ น่ น อ น

หลักการบวก

หลักการบวก (Addition principle)



1) การทำงานสองอย่างไม่พร้อมกัน โดยงานแรกทำได้ n1 วิธี
ขณะที่งานที่สองทำได้ n2 วิธี ซึ่งจะมีวิธีที่จะเลือกทำงานได้
ทั้งหมด n1 + n2 วิธี



2) การทำงาน k อย่าง ไม่พร้อมกัน โดยแต่ละงานทำได้ n1, n2,
n3, …, nk วิธี ดังนั้น จำนวนวิธีที่จะเลือกทำงานมีทั้งหมด n1 + n2

+ n3 + … + nk วิธี



ตัวอย่างที่ 1จงหาจำนวนวิธีที่จะหยิบไพ่ 1 ใบ ให้ได้แต้มคิงหรือ
แจ๊ค จากไพ่สำรับหนึ่งที่มี 52 ใบ



วิธีทำ เนื่องจากไพ่แต้มคิง หรือ แจ๊ค มีอย่างละ 4 ใบ การหยิบไพ่
1 ใบ ให้ได้แต้มคิงหรือแจ๊ค แบ่งเป็น 2 กรณี คือ



1) การเลือกหยิบไพ่แต้มคิง 1 ใบ จากไพ่แต้มคิงทั้งหมด 4 ใบ
ทำได้ 4 วิธี



2) การเลือกหยิบไพ่แต้มแจ๊ค 1 ใบ จากไพ่แต้มแจ๊คทั้งหมด 4 ใบ
ทำได้ 4 วิธี



ดังนั้น การหยิบไพ่ 1 ใบ ให้ได้แต้มคิงหรือแจ๊ค ทำได้ 4 + 4 = 8 วิธี

หลักการคูณ

หลักการคูณ (Multiplication principle)



1) การทำงานสองอย่างไม่พร้อมกัน โดยงานแรกทำได้ n1 วิธี ขณะที่งานแต่ละวิธีใน
การทำงานอย่างแรก จะมีวิธีทำงานที่สองได้ n2 วิธี ดังนั้นจะมีวิธีที่จะเลือกทำงานทั้ง

สองอย่าง n1n2 วิธี



2) การทำงาน k อย่าง ไม่พร้อมกัน โดยมีวิธีทำงานอย่างแรกได้ n1 วิธี ในแต่ละวิธี
ของงานแรก สามารถทำงานที่สองได้ n2 วิธี และในแต่ละวิธีที่เลือกทำงานอย่างแรก
และอย่างที่สอง สามารถเลือกทำงานที่สามได้ n3 วิธี ฯลฯ จำนวนวิธีทั้งหมดที่จะเลือก

ทำงาน k อย่าง เท่ากับ n1.n2.n3. … .nk วิธี



ตัวอย่างที่ 6 ห้องประชุมแห่งหนึ่งมีประตูอยู่ 3 ประตู จงหาวิธีที่เดินเข้าและออกห้อง
ประชุม ถ้ามีเงื่อนไข คือ



1. เดินเข้าและออกประตูใดก็ได้



2. ห้ามเดินเข้าและออกซ้ำประตูเดิม



วิธีทำ



1. เดินเข้าและออกประตูใดก็ได้



สามารถทำได้ ดังนี้ 1. เลือกเดินเข้า 1 ประตู จากทั้งหมด 3 ประตู ทำได้ 3 วิธี



2. เลือกเดินออก 1 ประตู จากทั้งหมด 3 ประตู ทำได้ 3 วิธี



ดังนั้น วิธีที่เดินเข้าและเดินออกห้องประชุมประตูใดก้ได้ เท่ากับ 3×3 = 9 วิธี



2. ห้ามเดินเข้าและออกซ้ำประตูเดิม



สามารถทำได้ ดังนี้ 1. เลือกเดินเข้า 1 ประตู จากทั้งหมด 3 ประตู ทำได้ 3 วิธี



2. เลือกเดินออก 1 ประตู จากทั้งหมด 2 ประตู ทำได้ 2 วิธี



ดังนั้น วิธีที่เดินเข้าและเดินออกห้องประชุมประตูใดก็ได้ เท่ากับ 3×2 = 6 วิธี

แซมเปิ้ ลสเปซ

แซมเปิลสเปซ (Sample Space) คือ เซตของ
ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้ทั้งหมดจากการทดลองสุ่ม
และเป็นสิ่งที่เราสนใจ เรานิยมใช้สัญลักษณ์ S แทน

แซมเปิลสเปซ จากความหมายของแซมเปิลสเปซ
แสดงว่า ในการทดลองหรือการกระทำใด ๆ ก็ตาม

ผลลัพธ์ที่มีโอกาสจะเกิดขึ้นได้ต้องเป็นสมาชิกใน
แซมเปิลสเปซทั้งสิ้น

ตัวอย่างที่ 1 การหาแซมเปิลสเปซในการโดยเหรียญ
1 เหรียญ ถ้าเราสนใจหน้าที่หงายขึ้น ผลลัพธ์ที่อาจจะ
เกิดขึ้นได้คือ หัว หรือ ก้อย ดังนั้น แซมเปิลสเปซที่ได้

คือ S={หัว, ก้อย}
ตัวอย่างที่ 2 ในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก ถ้าเราสนใจแต้ม

ของลูกเต๋าที่หงายขึ้น ผลลัพธ์ที่อาจจะเกิดขึ้นได้คือ
ลูกเต๋าขึ้นแต้ม 1 หรือ 2 หรือ 3 หรือ 4 หรือ 5 หรือ 6

ดังนั้น แซมเปิลสเปซที่ได้คือS = {1, 2,3,4,5,6}
ตัวอย่างที่ 3 จากการทดลองสุ่มโดยการทดลองทอด

ลูกเต๋า 2 ลูก
1. จงหาแซมเปิลสเปซของแต้มของลูกเต๋าที่หงายขึ้น
2. จงหาแซมเปิลสเปซของผลรวมของแต้มบนลูกเต๋า

การทดลองสุ่ม

การทดลองสุ่ม (random experiment) คือ การ
ทดลองหรือการกระทำใด ๆ ซึ่งทราบว่าผลลัพธ์อาจจะ

เป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้อง
แน่นอนว่า ในแต่ละครั้งที่ทดลองผลที่เกิดขึ้นจะเป็น

อะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้เหล่านี้



ตัวอย่างที่ 1 จงพิจารณาว่าการกระทำต่อไปนี้
เป็นการทดลองสุ่มหรือไม่ เพราะเหตุใด


1) การโยนเหรียญ 1 เหรียญ หนึ่งครั้ง



ตอบ เป็นการทดลองสุ่ม เพราะว่าในการโยนเหรียญ 1
เหรียญ หนึ่งครั้ง อาจจะออกหัวหรือก้อย แต่ไม่
สามารถระบุได้แน่นอนว่าจะออกหัวหรือก้อย


2) การทอดลูกเต๋า 1 ลูก หนึ่งครั้งลงในถ้วย



ตอบ เป็นการทดลองสุ่ม เพราะว่าในการทอดลูกเต๋า 1
ลูก หนึ่งครั้งลงในถ้วย ลูกเต๋าจะหงายหน้าที่มีแต้ม 1,
2, 3, 4, 5 และ 6 แต่ไม่สามารถระบุได้แน่นอนว่าลูกเต๋า

จะหงายหน้าที่มีแต้มใด

วิธีการสับเปลี่ยน

วิธีเรียงสับเปลี่ยน (Permutation)



imgsute



วิธีการเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของที่แตกต่างกันทั้งหมด
หมายถึง การนำสิ่งของที่มีลักษณะที่แตกต่างกัน

ทั้งหมดมาจัดเรียงสับเปลี่ยน โดยถือตำแหน่งหรือลำดับ
ก่อนหลังเป็นสำคัญ แบ่งออกเป็น 3 แบบ คือ



1) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนของสิ่งของ n สิ่ง ซึ่ง
แตกต่างกันทั้งหมดในแนวเส้นเดียวกัน (แต่ไม่เป็น

วงกลม) เท่ากับ n! วิธี



2) จำนวนวิธีเรียงสับเปลี่ยนสิ่งของ n สิ่ง ซึ่งแตกต่าง
กันทั้งหมดในแนวเส้นเดียวกัน โดยจัดทีละ r สิ่ง (r £ n)

เท่ากับ n! / (n-r)! วิธี



* เขียนแทนด้วย P(n, r) = n! / (n-r)!



จาก P(n, r) = n! / (n-r)!



= n . (n-1) . (n-2) . … . (n-r+1) . (n-r)! / (n-r)!



= n . (n-1) . (n-2) . … . (n-r+1)

แฟกทอเรียล

แฟกทอเรียล การหาจำนวนวิธีทำงานโดยใช้กฎการคูณ [1]ในบางครั้งเราสามารถเขียน
ผลคูณให้สั้นกะทัดรัดได้ โดยใช้แฟกทอเรียล จึงควรศึกษาแฟกทอเรียลไว้บ้าง ดังนี้


บทนิยาม สำหรับจำนวนเต็ม บวก n แฟกทอเรียล คือ ผลคูณของจำนวนเต็ม บวก
ตั้งแต่ 1 ถึง n เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ " n! "


ดังนั้น n! = n x (n – 1) x (n – 2) x … x 3 x 2 x 1


8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1


5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1
ข้อสังเกต : n! = n x (n – 1)!


เช่น 8! = 8 x 7!


5! = 5 x 4!
Suphot
Suphot Phollakan

การทดลองสุ่ม (random experiment) คือ การทดลองหรือการกระทำใด ๆ ซึ่งทราบ
ว่าผลลัพธ์อาจจะเป็นอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถบอกได้อย่างถูกต้องแน่นอนว่า ในแต่ละ

ครั้งที่ทดลองผลที่เกิดขึ้นจะเป็นอะไรในบรรดาผลลัพธ์ที่อาจเป็นไปได้เหล่านี้



ตัวอย่างที่ 1 จงพิจารณาว่าการกระทำต่อไปนี้ เป็นการทดลองสุ่มหรือไม่ เพราะเหตุใด



1) การโยนเหรียญ 1 เหรียญ หนึ่งครั้ง



ตอบ เป็นการทดลองสุ่ม เพราะว่าในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ หนึ่งครั้ง อาจจะออกหัว
หรือก้อย แต่ไม่สามารถระบุได้แน่นอนว่าจะออกหัวหรือก้อย


2) การทอดลูกเต๋า 1 ลูก หนึ่งครั้งลงในถ้วย



ตอบ เป็นการทดลองสุ่ม เพราะว่าในการทอดลูกเต๋า 1 ลูก หนึ่งครั้งลงในถ้วย ลูกเต๋าจะ
หงายหน้าที่มีแต้ม 1, 2, 3, 4, 5 และ 6 แต่ไม่สามารถระบุได้แน่นอนว่าลูกเต๋าจะหงายหน้าที่

มีแต้มใด

แบบฝึกหัด

1.ปุ้มและปิ่ นตดัชิ้นส่วนยาสีฟันชนิดหน่ึงส่งไปชิงโชคทางโทรทศัน์ถา้ปุ้มส่งชิ้นส่วนของสินคา้ไป
10 ชิ้น

และปิ่ นส่งไป 40 ชิ้น ใครจะมีโอกาสไดร้ับรางวลัมากกวา

2.นิมิตหลับตาหยิบลูกบอล 1 ลูกจากกล่องใบหน่ึงซ่ึงมีลูกบอลสีแดง 3 ลูก สีขาว 3 ลูก ไชยา
หลับตาหยิบ

ลูกบอล 1 ลูกเช่นกนัจากกล่องอีกใบหน่ึงซ่ึงมีลูกบอลสีแดง 5 ลูก สีขาว 5 ลูก ใครจะมีโอกาสหยิบ
ได้สี

แดงมากกวา

3.โนต้อยากมีเงินมาก ๆ จึงขอเงินคุณแม่ไปซ้ือสลากกินแบ่งรัฐบาล 1 ฉบับ นักเรียนคิดวา่ โน๊ตมี
โอกาสถูก

รางวัลที่ 1 หรือไม

4. ลูกปิ งปอง 6 ลูก เขียนเลข 2 ลงบนลูกปิงปองทุกลูก หยบิลูกปิงปองข้ึนมา จะมีโอกาสมาก
น้อยเพียงไร

ที่จะหยิบได้ลูกปิ งปองหมายเลข 2

5. นักเรียนห้องหนึ่งต้องการเลือกคณะกรรมการห้องซึ่งประกอบด้วยต าแหน่ง ประธาน รอง
ประธาน

เลขานุการ และเหรัญญิกและผู้ช่วยเหรัญญิก ต าแหน่งละ 1 คน ถ้ามีผู้สมัครทั้งหมด 9 คน จ า
นวนวิธีในการ

เลือกคณะกรรมการห้องมีทั้งหมดกี่วิธี

6.ถุงใบหน่ึงบรรจุลูกแกว้ขนาดเดียวกนั และน้า หนกัเท่ากนั 3 ลูก สีเขียว 2 ลูก สีด า 1 ลูก สุ่ม
หยบิ 2

คร้ัง คร้ังละ 1 ลูก จงหาผลลพัธ์ท้งัหมดที่อาจจะเกิดข้ึนตามเงื่อนไขต่อไปน้ีโดยใชแ้ผนภาพตน้
ไม้

7.ถุงใบหน่ึงบรรจุลูกแกว้ขนาดเดียวกนั และน้า หนกัเท่ากนั 3 ลูก สีเขียว 2 ลูก สีด า 1 ลูก
สุ่มหยบิ 2 คร้ัง คร้ังละ 1 ลูก จงหาผลลพัธ์ท้งัหมดที่อาจจะเกิดข้ึนตามเงื่อนไขต่อไปน้ีโดยใชแ้ผ

นภาพ
ต้นไม้

8.. สมมุติวา่ แม่ซ้ือสลากกินแบ่งรัฐบาลมา 1 ฉบบั เป็นไปไดห้ รือไม่ที่แม่จะถูกรางวลัที่หน่ึง

9.ในขวดโหลใบหน่ึงมีลูกกวาดสีแดงอยู่ 400 ลูก สีขาว 100 ลูกถา้เขยา่ ใหลู้กกวาดในขวดโหล
คละกนั

อยา่ งดีแลว้หยบิลูกกวาดออกมากา มือหน่ึง นกัเรียนคิดวา่ จะไดลู้กกวาดสีใดมากกวา่ เพราะ
เหตุใด แน่ใจ

หรือไม่วา่ คา ตอบถูกตอ้ง