การวัดต าแหน่งที่ของข้อมูล การวัดการกระจายของข้อมูล กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนบัวใหญ่ อ าเภอบัวใหญ่ จังหวัดนครราชสีมา ส านักการศึกษา ศาสนาและวัฒนธรรม องค์การบริหารส่วนจังหวัดนครราชสีมา กรมส่งเสริมการปกครองท้องถิ่น กระทรวงมหาดไทย นางสาวนิตยา ภูส าเภา
ค าน า เอกสารประกอบการเรียนการเรียนรู้รายวิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน 5 รหัสวิชา ค33102 เรื่อง การวิเคราะห์ ข้อมูลเบื้องต้น ระดับมัธยมศึกษาปีที่ 6 จัดท าขึ้น โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อเป็นสื่อประกอบการเรียน ให้นักเรียนได้ศึกษา ค้นคว้าและสามารถเรียนรู้ได้ด้วยตนเอง ท าให้การจัดการเรียนรู้เป็นไปอย่างมีประสิทธิภาพ ซึ่งจะส่งผลต่อคุณภาพ ของนักเรียนโดยตรง เกิดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนที่สูงขึ้น และมีเจตคติที่ดีต่อการเรียนเพิ่มขึ้น ขอขอบคุณ คณะผู้บริหาร คณะครูและผู้มีส่วนเกี่ยวข้องทุกคนที่ได้ให้ข้อเสนอแนะ ส าหรับการปรับปรุงแก้ไข เพื่อการพัฒนาให้เอกสารเล่มนี้มีความสมบูรณ์ เกิดประโยชน์ต่อครูผู้สอน และตัวผู้เรียนและผู้ที่สนใจทั่วไป ซึ่งจะ ส่งผลต่อการพัฒนาการเรียนการสอน ให้มีคุณภาพยิ่งขึ้น นิตยา ภูส าเภา
สารบัญ หน้า การวัดต าแหน่งที่ของข้อมูล 1 ควอร์ไทล์ 1 เดไซล์ 1 เปอร์เซ็นไทล์ 2 การวัดการกระจายของข้อมูล 12 พิสัย 12 ส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ 14 ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย 18 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 21 ความแปรปรวน 26
1 การวัดตา แหน่งทีของข้อมูล่ (Measures of Relative Standing) การวัดตําแหน่ง เป็ นการแปลงข้อมูลแต่ละชุดให้อยู่ในลักษณะเดียวกัน เพือ่ประโยชนใ์นการเปรยีบเทยีบขอ้มูล ระหว่างข้อมูลคนละชุดกัน การแปลงข้อมูล มลีกัษณะเป็นการแบ่งชดุขอ้มูลออกเป็นสว่นยอ่ยๆ มที ั ้งแบ่งออกเป็น 4, 10 และ 100 ส่วน การวดัตาํแหน่งที ่แบ่งขอ้มูลออกเป็น 4 ส่วน คือ ควอร ์ไทล ์ การวดัตาํแหน่งที ่แบ่งขอ้มูลออกเป็น 10 ส่วน คือ เดไซล ์ การวดัตาํแหน่งที ่แบ่งขอ้มูลออกเป็น 100 ส่วน คือ เปอร ์เซ็นไทล์ ขอ้มูลแตล่ะชดุมลีกัษณะแตกตา่งกนัดงันั ้นการจะนําคะแนนทีอ่ยตู่า่งชดุกนัมาเปรยีบเทยีบกนั จึงจําเป็ นต้องนําขอ้มูลแตล่ะชดุนั ้นมาแปลงใหม้ลีกัษณะเดยีวกนัเสยีกอ่น โดยอาจใชว้ธิกีารทาง สถติ ชินิดใดชนิดหนึ ่งคอืควอร ์ไทล ์ เดไซล์หรือเปอร ์เซ็นไทล ์ 1. ควอร ์ไทล์(Quartile) เป็ นการบอกตําแหน่งด้วยการแบ่งจํานวนข้อมูลออกเป็ น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน ข้อมูลเรียงจากน้อยไปหามาก 2. เดไซล์(Decile) เป็ นการบอกตําแหน่งด้วยการแบ่งจํานวนข้อมูลออกเป็ น 10 ส่วนเท่า ๆ กัน ข้อมูลเรียงจากน้อยไปหามาก Q1 Q2 Q3 สว่นที ่1 สว่นที ่ 2 สว่นที ่ 3 สว่นที ่ 4 D4 D5 D6 ส่วนที1่ D1 D2 D3 D7 D8 D9 ส่วนที2่ส่วนที3่ส่วนที4่ส่วนที5่ส่วนที6่ส่วนที7่ส่วนที8่ส่วนที9่ส่วนที1่0
2 3. เปอร ์เซ็นไทล์(Percentile) เป็ นการบอกตําแหน่งด้วยการแบ่งจํานวนข้อมูลออกเป็ น 100 ส่วนเท่า ๆ กัน ข้อมูลเรียงจากน้อยไปหามาก ขอ้มูลไมไ่ดแ้จกแจงความถี ่ หาควอร ์ไทล ์, เดไซด์ , เปอร ์เซ็นไทล ์ ที ่ r สาํหรบัขอ้มูลที ่ไม่ไดแ้จกแจงความถี ่ มีขัน้ตอนการหา ดงันี ้ กาํหนดขอ้มูล ซึ ่งมคีา่ ในขอ้มูลทั ้งหมด n ค่า 1) เรียงลําดับค่าในข้อมูล จากน้อยไปมาก 2) หาตําแหน่งของ Qr , Dr , Pr ทีต่อ้งการ ตาํแหน่งดงักลา่วหาไดโ้ดยใชส้ตูรดงันี ้ ตําแหน่งของ 4 r(N 1) Qr ตําแหน่งของ 10 r(N 1) Dr ตําแหน่งของ 100 r(N 1) Pr ตัวอย่าง 1 คะแนนสอบวชิา คณิตศาสตรข์องนักเรยีนชัน้มธัยมศกึษาปีที ่4 จาํนวน 20 คน ซึ ่งมคีะแนนเต็ม 100 คะแนน เป็นดงันี ้ 85 60 43 95 64 73 50 55 68 89 76 68 90 63 77 82 74 67 49 58 จงหา 1) ควอรไ์ทลท์ี ่1 2) ควอรไ์ทลท์ี ่3 3) เดไซลท์ี ่4 4) เดไซลท์ี ่6 5) เปอรเ์ซน็ไทลท์ี ่15 6) เปอรเ์ซน็ไทลท์ี ่ 50 P1 P10 P20 P30 P40 P50 P60 P70 P80 P90 P100
3 เรียงจากน้อยไปมาก 43 49 50 55 58 60 63 64 67 68 68 73 74 76 77 82 85 89 90 95 1) ควอรไ์ทลท์ี ่1 ตําแหน่งของ 5.25 4 1(20 1) Q1 ตําแหน่ง 5 คือ 58 ตําแหน่ง 6 คือ 60 จะอยตู่าํแหน่งที ่5+0.25 = 5.25 Q1 58 0.5 58.5 คะแนน 2) ควอรไ์ทลท์ี ่3 ตําแหน่งของ 15.75 4 3(20 1) Q3 ตําแหน่ง 15 คือ 77 ตําแหน่ง 16 คือ 82 จะอยตู่าํแหน่งที ่15+0.75 =15.75 Q3 77 3.75 80.75 คะแนน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5.25 58.5 0.25 1 2 0.25 15.75 80.75 0.75 1 5 0.75
4 เรียงจากน้อยไปมาก 43 49 50 55 58 60 63 64 67 68 68 73 74 76 77 82 85 89 90 95 3) เดไซลท์ี ่4 ตําแหน่งของ 8.4 10 4(20 1) D4 ตําแหน่ง 8 คือ 64 ตําแหน่ง 9 คือ 67 จะอยตู่าํแหน่งที ่ 8+0.4 = 8.4 D4 641.2 65.2 คะแนน 4) เดไซลท์ี ่6 ตําแหน่งของ 12.6 10 6(20 1) D6 ตําแหน่ง 12 คือ 73 ตําแหน่ง 13 คือ 74 จะอยตู่าํแหน่งที ่12+0.6 =12.6 D6 73 0.6 73.6 คะแนน 8.4 65.2 0.4 1 3 0.4 12.6 73.6 0.6 1 1 0.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
5 เรียงจากน้อยไปมาก 43 49 50 55 58 60 63 64 67 68 68 73 74 76 77 82 85 89 90 95 5) เปอร ์เซ็นไทลท์ี ่15 ตําแหน่งของ 3.15 100 15(20 1) P15 ตําแหน่ง 3 คือ 50 ตําแหน่ง 4 คือ 55 จะอยตู่าํแหน่งที ่3+0.15 = 3.15 P15 50 0.75 50.75 คะแนน 6) เปอร ์เซ็นไทลท์ี ่ 50 ตําแหน่งของ 10.5 100 50(20 1) P50 ตําแหน่ง 10 คือ 68 ตําแหน่ง 11 คือ 68 จะอยตู่าํแหน่งที ่10+0.5 =10.5 P50 68 0 68 คะแนน 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3.15 50.75 0.15 1 5 0.15 10.5 68 0.5 1 0 0.5
6 แบบฝึ กทักษะ ผลการชั ่งนํ ้าหนัก (หน่วยเป็ นกิโลกรัม) ของนักเรียนจํานวน 30 คน เป็ น ดงันี ้ 42 53 68 49 68 56 44 38 60 51 48 45 44 58 62 45 50 66 54 62 43 57 62 70 52 57 69 65 64 48 จงหา 1) ควอรไ์ทลท์ี ่2 2) เดไซลท์ี ่4 3) เดไซลท์ี ่9 4) เปอรเ์ซน็ไทลท์ี ่38 5) เปอรเ์ซน็ไทลท์ี ่92
7 ขอ้มูลทีแ่จกแจงความถีแล้ว่ หาควอร ์ไทล ์ , เดไซด์ , เปอรเ์ซน็ไทล์ที ่ r สาํหรบัขอ้มูลที ่แจกแจงความถี ่แลว้ มขี ัน้ตอนการหา ดงันี ้ กาํหนดขอ้มูล ซึ ่งมคีา่ ในขอ้มูลทั ้งหมด n ค่า 1) สรา้งตารางแจกแจงความถีส่ะสมของขอ้มูล 2) หาตําแหน่งของ Qr , Dr , Pr ทีต่อ้งการ ตาํแหน่งดงักลา่วหาไดโ้ดยใชส้ตูรดงันี ้ ตําแหน่งของ Qr คือ 4 rN เมือ่ r {1, 2, 3} ตําแหน่งของ Dr คือ 10 rN เมือ่ r {1, 2, 3, … , 9} ตําแหน่งของ Pr คือ 100 rN เมือ่ r {1, 2, 3, … , 99} เมือ่ r แทน ตําแหน่งของ ควอร ์ไทล ์ เดไซด์ เปอร ์เซ็นไทล ์ N แทน จาํนวนขอ้มูลทั ้งหมด 3) หาขอ้มูลทีต่รงกบัตาํแหน่งของ ควอร ์ไทล ์เดไซด์ และเปอร ์เซ็นไทล ์ โดยเปรียบเทียบ อตัราสว่นหรอืการเทยีบบญัญตั ไิตรยางศ์แลว้นําคา่ที ่ไดไ้ปบวกกบัขอบลา่งของ อนัตรภาคชัน้ทีม่ตีาํแหน่ง ควอรไ์ทล์เดไซด์ และเปอร ์เซ็นไทล ์ โดยใชส้ตูร ดงันี ้ ตําแหน่งของ r L r f f 4 rN Q L I เมือ่ r {1, 2, 3} ตําแหน่งของ r L r f f 10 rN D L I เมือ่ r {1, 2, 3, … , 9} ตําแหน่งของ r L r f f 100 rN P L I เมือ่ r {1, 2, 3, … , 99}
8 เมือ่ L แทน ขอบลา่งของอนัตรภาคชัน้ทีม่ีควอร ์ไทล ์ เดไซด์ หรือเปอร ์เซ็นไทล ์อยู่ r แทน ตําแหน่งของ ควอร ์ไทล ์ เดไซด์ หรือเปอร ์เซ็นไทล์ N แทน จาํนวนขอ้มูลทั ้งหมด แทน ความกวา้งของอนัตรภาคชัน้ r f แทน ความถีข่องอนัตรภาคชัน้ทีม่ีควอรไ์ทล์เดไซด์หรอืเปอรเ์ซน็ไทลอ์ยู่ L f แทน ความถีสะสมของ่อนัตรภาคทีอยู่่ตํ ่ากวา่หนึ ่งของอนัตรภาคชัน้ทีม่ี ควอร ์ไทล ์ เดไซด์ หรือเปอร ์เซ็นไทล ์อยู่ ตัวอย่าง 2 คะแนนสอบวชิา คณิตศาสตรข์องนักเรยีนชัน้มธัยมศกึษาปีที ่4 จาํนวน 30 คน ซึ ่งมคีะแนนเต็ม 50 คะแนน เป็นดงันี ้ คะแนนสอบ จ านวนนักเรียน 1 – 10 2 11 – 20 7 21 – 30 12 31 – 40 6 41 – 50 3 จงหา 1) ควอรไ์ทลท์ี ่2 2) เดไซลท์ี ่7 3) เปอรเ์ซน็ไทลท์ี ่85 1) ควอร ์ไทล ์ที ่2 คะแนนสอบ จ านวนนักเรียน ความถีส่ะสม 1 – 10 2 2 11 – 20 7 9 21 – 30 12 21 31 – 40 6 27 41 – 50 3 30 รวม 30 ตาํแหน่งควอรไ์ทลท์ี ่2 คอื Q2 = 15 4 2(30) ซึ ่งตาํแหน่งที ่15 อยใู่นอนัตรภาคชัน้ที ่21 – 30
9 จากสูตร r L 2 f f 4 rN Q L I จะได้ 12 15 9 Q2 20.5 10 จะได้ 12 6 Q 20.5 10 2 จะได้ Q 20.5 100.5 2 จะได้ Q2 20.55 จะได้ Q2 25.5 2) เดไซลท์ี ่7 คะแนนสอบ จ านวนนักเรียน ความถีส่ะสม 1 – 10 2 2 11 – 20 7 9 21 – 30 12 21 31 – 40 6 27 41 – 50 3 30 รวม 30 ตําแหน่งเดไซลท์ี ่7 คือ D7 = 21 10 7(30) ซึ ่งตาํแหน่งที ่ 21 อยใู่นอนัตรภาคชัน้ที ่21 – 30 จากสูตร r L 7 f f 10 rN D L I จะได้ 12 21 9 D7 20.5 10 จะได้ 12 12 D 20.5 10 7 จะได้ D 20.5 101 7 จะได้ D7 20.510 จะได้ D7 30.5
10 3) เปอรเ์ซน็ไทลท์ี ่85 คะแนนสอบ จ านวนนักเรียน ความถีส่ะสม 1 – 10 2 2 11 – 20 7 9 21 – 30 12 21 31 – 40 6 27 41 – 50 3 30 รวม 30 ตําแหน่งเปอร ์เซ็นไทลท์ี ่85 คือ P85 = 25.5 100 85(30) ซึ ่งตาํแหน่งที ่25.5 อยใู่นอนัตรภาคชัน้ที ่31 – 40 จากสูตร r L 85 f f 100 rN P L I จะได้ 6 25.5 21 P85 30.5 10 จะได้ 6 4.5 P 30.5 10 85 จะได้ P 30.5 100.75 85 จะได้ P85 30.5 7.5 จะได้ P85 38
11 แบบฝึ กทักษะ จากตารางแจกแจงความถี ่ตอ่ ไปนี ้ อนัตรภาคชัน้ความถี ่ 11 – 15 5 16 – 20 11 21 – 25 15 26 – 30 18 31 – 35 12 36 – 40 10 41 – 45 9 จงหา 1. ควอรไ์ทลท์ี ่3 2. เดไซลท์ี ่8 3. เปอรเ์ซน็ไทลท์ี ่64
12 การวัดการกระจายของข้อมูล (Measures of Dispersion) การวัดการกระจายของข้อมูล แบ่งได้เป็ น 2 วิธี คือ 1. การวัดการกระจายสัมบูรณ์ (Absolute Variation) คือ การวัดการกระจายของข้อมูล เพยีงชดุเดยีว เพือ่ดวูา่ขอ้มูลชดุนั ้นแตล่ะคา่มคีวามแตกตา่งกนัมากหรอืนอ้ยเพยีงไร นิยมใช ้กันอยู่ 4 ชนิด คือ พิสัย (range) สว่นเบีย่งเบนควอรไ์ทล์(quartile deviation) สว่นเบีย่งเบนเฉลีย่ (mean deviation หรือ average deviation) สว่นเบีย่งเบนมาตรฐาน (standard deviation) 2. การวัดการกระจายสัมพัทธ ์ (Relative Variation) คือ การวัดการกระจายของข้อมูล ทีม่ากกวา่ 1 ชดุโดยใชอ้ตัราสว่นของคา่ที ่ไดจ้ากการวดัการกระจายสมับูรณ์ กบัคา่กลางของขอ้มูลนั ้นๆ เพือ่ ใชใ้นการเปรยีบเทยีบการกระจาย ของขอ้มูลเหลา่นั ้น มีอยู่ 4 ชนิด คือ สมั ประสทิธิข์องพสิยั (coefficient of range) สมั ประสทิธิข์องสว่นเบีย่งเบนควอรไ์ทล์(coefficient of quartile deviation) สมั ประสทิธิข์องสว่นเบีย่งเบนเฉลีย่ (coefficient of average deviation) สมั ประสทิธิข์องความแปรผนั (coefficient of variation) พิสัย (range) กรณีของขอ้มูลที ่ไม่ไดแ้จกแจงความถี ่ พิสัย = ค่าสูงสุด คา่ตํ ่าสุด ตัวอย่าง 1 จงหาพิสัยของข้อมูลคะแนนทดสอบความรพู้ ืน้ฐานกอ่นเรยีนวชิาสถิติ ของนักเรียนกลมุ่หนึ ่งเป็นดงัตอ่ ไปนี ้ 45, 31, 60, 54, 21, 28, 41 พิสัย = 60 21 = 39 กรณีของขอ้มูลที ่แจกแจงความถี ่โดยแบ่งเป็นอตัราภาคชัน้ พสิยั= ขอบบนของอนัตรภาคชัน้ทีข่อ้มูลมคีา่ สงูสดุ ขอบลา่งของอนัตรภาคชัน้ทีข่อ้มูลมคีา่ตํ ่าสุด ตัวอย่าง 2 จงหาพสิยัของขอ้มูลตอ่ ไปนี ้ คะแนน จ านวนนักเรียน 30 39 8 40 49 10 50 59 12 60 69 45 70 79 50 80 89 20 90 99 5 ขอบบนของอนัตรภาคชัน้ทีข่อ้มูลมคีา่ สงูสดุ = 99.5 ขอบลา่งของอนัตรภาคชัน้ทีข่อ้มูลมคีา่ตํ ่าสุด = 29.5 พิสัย = 99.5 29.5 = 70
13 แบบฝึ กทักษะ จงหาพสิยัของแตล่ะขอ้ตอ่ ไปนี ้ 1. 15, 29, 14, 18, 20, 40, 25, 42, 34, 30 2. 11, 4, 17, 45, 58, 9, 40, 1, 25 3. 3.7, 1.5, 4.4, 2.2, 1.1, 4.1, 3.5 4. ข้อมูล จ านวนนักเรียน 50 55 2 56 61 10 62 67 19 68 73 6 74 79 1 5. ข้อมูล จ านวนนักเรียน 1 5 1 6 10 4 11 15 8 16 20 2
14 สว่นเบีย่งเบนควอรไ์ทล์(quartile deviation) กรณีขอ้มูลไมไ่ดแ้จกแจงความถี ่ สว่นเบีย่งเบนควอรไ์ทล์(Q.D.) = 2 Q3 Q1 ตัวอย่าง 3 นํ ้าหนัก (กโิลกรมั ) ของนักเรยีนชัน้มธัยมศกึษาปีที ่6 กลมุ่หนึ ่ง เป็นดงันี ้ 60 31 80 45 77 52 39 25 68 74 จงหาสว่นเบีย่งเบนควอร ์ไทล ์ของนํ ้าหนักของนักเรยีนกลมุ่นี ้ นําข้อมูลมาเรียงจากน้อยไปหามาก 25 31 39 45 52 60 68 74 77 80 จากสูตร หาตําแหน่ง 2.75 4 1(10 1) Q1 Q1 31 6 37 จากสูตร หาตําแหน่ง 8.25 4 3(10 1) Q3 Q3 74 0.75 74.75 จะได้สว่นเบีย่งเบนควอรไ์ทล์(Q.D.) = 18.88 2 74.75 37 2 31 1 0.75 8 3 39 8 74 1 0.25 3 9 77
15 กรณีขอ้มูลแจกแจงความถีแล้ว่ สว่นเบีย่งเบนควอรไ์ทล์(Q.D.) = 2 Q3 Q1 ตัวอย่าง 4 ตารางแจกแจงความถี ่แสดงคะแนนสอบวชิาคณิตศาสตรข์องนักเรยีน กลมุ่หนึ ่งจาํนวน 60 คน เป็นดงันี ้ คะแนนสอบ จ านวนนักเรียน (คน) 40 49 3 50 59 12 60 69 10 70 79 21 80 89 8 90 99 6 จงหาสว่นเบีย่งเบนควอร ์ไทล ์ของคะแนนสอบวชิาคณิตศาสตรข์องนักเรยีนกลมุ่นี ้ จากสูตร ตําแหน่ง 15 4 1(60) Q1 ตําแหน่ง 45 4 3(60) Q3 คะแนนสอบ จ านวนนักเรียน (คน) ความถีส่ะสม 40 49 3 3 50 59 12 15 60 69 10 25 70 79 21 46 80 89 8 54 90 99 6 60 หาค่าของ Q1 จากสูตร r L r f f 4 rN Q L I จากข้อมูลข้างต้น จะได้ L = 49.5 , = 10 , 15 4 rN , f L 3 , f r 12 จะได้ว่า 59.5 12 15 3 Q1 49.5 10 Q1=15 Q3=45
16 หาค่าของ Q3 จากสูตร r L r f f 4 rN Q L I จากข้อมูลข้างต้น จะได้ L = 69.5 , = 10 , 45 4 rN , f L 25 , f r 21 จะได้ว่า 79.02 21 45 25 Q3 69.5 10 หาสว่นเบีย่งเบนควอร ์ไทล์(Q.D.) = 2 Q3 Q1 = 9.79 2 79.02 59.5 ดงันั ้น สว่นเบีย่งเบนควอร ์ไทล ์ของคะแนนสอบวชิาคณิตศาสตรข์องนักเรยีนกลมุ่นี ้ ประมาณ 9.76 คะแนน
17 แบบฝึ กทักษะ จงหาสว่นเบีย่งเบนควอร ์ไทล ์ 1. 20, 18, 25, 46, 31, 25, 39, 18, 28 2. 13, 6, 3, 11, 1, 8, 15, 5, 4 3. 100, 126, 129, 106, 111, 137, 143, 159 4. ข้อมูล ความถี ่ 20 29 2 30 39 4 40 49 5 50 59 12 60 69 7 5. ข้อมูล ความถี ่ 51 60 9 61 70 11 71 80 18 81 90 7 91 100 5
18 สว่นเบีย่งเบนเฉลีย่(mean deviation หรือ average deviation) กรณีขอ้มูลไม่ไดแ้จกแจงความถี ่ ถ้า x1 , x2 , x3 , … , xn เป็ นข้อมูล n จาํนวน และมคีา่เฉลีย่ เลขคณิตเป็น X แล้ว สว่นเบีย่งเบนเฉลีย่ (M.D.) = n x x n i 1 i ตัวอย่าง 5 คะแนนสอบของนักเรยีนชัน้มธัยมศกึษาปีที ่6 กลมุ่หนึ ่ง เป็นดงันี ้ 70 55 68 80 86 100 จงหาสว่นเบีย่งเบนเฉลีย่ของคะแนนสอบของนักเรยีนกลมุ่นี ้ หาคา่เฉลีย่ เลขคณิต ( X ) = 76.5 6 70 55 68 80 86 100 (M.D.) = 6 7 0- 76.5 5 5 7 6.5 6 8 7 6.5 8 0 7 6.5 8 6 7 6.5 100 7 6.5 12.167 กรณีข้อมูลแจกแจงความถี ่แล้ว กําหนดให้ x1 , x2 , x3 , … , xk เป็นจดุกึ ่งกลางของอนัตรภาคชัน้ที ่1, 2, 3, … , k เขียนแทนด้วย xi และ f1 , f2 , f3 , … , fk เป็นความถีข่องอนัตรภาคชัน้ที ่1, 2, 3, … ,k ตามลําดับ ถ้า X แทนคา่เฉลีย่ เลขคณิตของขอ้มูลชดุนี ้ แล้ว สว่นเบีย่งเบนเฉลีย่ (M.D.) = k i 1 i k i 1 i i f f x x n f x x k i 1 i i เมือ่ n แทน จาํนวนขอ้มูลทั ้งหมด k แทน จาํนวนอนัตรภาคชัน้ i f แทน ความถีข่องอนัตรภาคชัน้ที ่ i xi แทน จดุกึ ่งกลางของอนัตรภาคชัน้ที ่ i
19 ตัวอย่าง 6 ตารางแจกแจงความถี ่แสดงคะแนนสอบวชิาคณิตศาสตรข์องนักเรยีน กลมุ่หนึ ่งมาเป็นตวัอยา่งดงันี ้จงหาสว่นเบีย่งเบนเฉลีย่ คะแนนสอบ จ านวนนักเรียน (คน) 20 29 2 30 39 7 40 49 9 50 59 13 60 69 4 วิธีท า สรา้งตารางแจกแจงความถี ่ เพือ่ ใชค้าํนวณหาสว่นเบีย่งเบนเฉลีย่ ไดด้งันี ้ คะแนนสอบ ความถี ่ (f ) i จุดกึ่งกลาง (x ) i i xi f xi x f i xi x 20 29 2 24.5 49 22.86 45.72 30 39 7 34.5 241.5 12.86 90.02 40 49 9 44.5 400.5 2.86 25.74 50 59 13 54.5 708.5 7.14 92.82 60 69 4 64.5 258 17.14 68.56 รวม f 35 5 i 1 i f x 1,657.5 5 i 1 i i f x x 322.86 5 i 1 i i 47.36 35 1,657.5 f f x x 5 i 1 i 5 i 1 i i 5 i 1 i 5 i 1 i i f f x x M.D. 9.22 35 322.86 M.D.
20 แบบฝึ กทักษะ จงหาสว่นเบีย่งเบนเฉลีย่ 1. 20, 18, 25, 46, 31, 25, 39, 18, 28 2. 13, 6, 3, 11, 1, 8, 15, 5, 4 3. 100, 126, 129, 106, 111, 137, 143, 159 4. ข้อมูล ความถี ่ 20 29 2 30 39 4 40 49 5 50 59 12 60 69 7 5. ข้อมูล ความถี ่ 51 60 9 61 70 11 71 80 18 81 90 7 91 100 5
21 สว่นเบีย่งเบนมาตรฐาน (standard deviation) กรณีขอ้มูลไมไ่ดแ้จกแจงความถี ่ ถ้า x1 , x2 , x3 , … , xn เป็ นข้อมูลตัวอย่าง n หน่วย และมคีา่เฉลีย่ เลขคณิตเท่ากบั X สว่นเบีย่งเบนมาตรฐานของตวัอยา่งใชส้ญัลกัษณแ์ทนดว้ย S.D. หรือ s คํานวณได้จากสูตร สตูรที ่1 s = n 1 x x n i 1 2 i สตูรที ่ 2 s = n 1 x nx n i 1 2 2 i ถ้า x1 , x2 , x3 , … , xN เป็ นข้อมูลประชากร N หน่วย และมคีา่เฉลีย่ เลขคณิต เท่ากับ สว่นเบีย่งเบนมาตรฐานของประชากรใชส้ญัลกัษณแ์ทนดว้ย คํานวณได้จากสูตร สตูรที ่1 = N x μ N i 1 2 i สตูรที ่ 2 = 2 N i 1 2 i μ N x
22 ตัวอย่าง 7 ตารางแจกแจงความถี ่แสดงคะแนนสอบวชิาคณิตศาสตรข์องนักเรยีน กลมุ่หนึ ่งมาเป็นตวัอยา่งดงันี ้ 54 55 52 60 64 70 53 72 จงหาสว่นเบีย่งเบนมาตรฐานของคะแนนสอบของนักเรยีนกลมุ่นี ้ วิธีท า หาค่า X และ 2 i x i x 2 i x 54 2,916 55 3,025 52 2,704 60 3,600 64 4,096 70 4,900 53 2,809 72 5,184 x 480 8 i 1 i x 29,234 8 i 1 2 i จะได้ 60 8 480 8 x x 8 i 1 i และ n 1 x nx s 2 8 i 1 2 i 62 7.87 8 1 29,234 (8)(60) s 2
23 กรณีขอ้มูลแจกแจงความถีแล้ว่ สว่นเบีย่งเบนมาตรฐานของตวัอยา่ง (s) สตูรที ่1 s = n 1 f x x k i 1 2 i i สตูรที ่ 2 s = n 1 f x nx k i 1 2 2 i i เมือ่ i f แทน ความถีข่องอนัตรภาคชัน้ที ่ i xi แทน จดุกึ ่งกลางของอนัตรภาคชัน้ที ่ i X แทน คา่เฉลีย่ เลขคณิตของตวัอยา่ง n แทน จํานวนตัวอย่างทั ้งหมด ( k i 1 i n f ) เมือ่ k แทนจํานวน อนัตรภาคชัน้หรือจํานวนกลุ่ม สว่นเบีย่งเบนมาตรฐานของประชากร () สตูรที ่1 = N f x μ k i 1 2 i i สตูรที ่ 2 = 2 k i 1 2 i i μ N f x เมือ่ N แทน จาํนวนขอ้มูลทั ้งหมดของประชากร k แทน จาํนวนอนัตรภาคชัน้ i f แทน ความถีข่องอนัตรภาคชัน้ที ่ i xi แทน จดุกึ ่งกลางของอนัตรภาคชัน้ที ่ i แทน คา่เฉลีย่ เลขคณิตของประชากร
24 ตัวอย่าง 8 ตารางแจกแจงความถี ่แสดงคะแนนสอบวชิาคณิตศาสตรข์องนักเรยีน กลมุ่หนึ ่งมาเป็นตวัอยา่งดงันี ้จงหาสว่นเบีย่งเบนมาตรฐาน คะแนนสอบ จ านวนนักเรียน (คน) 20 29 2 30 39 7 40 49 9 50 59 13 60 69 4 วิธีท า สรา้งตารางแจกแจงความถี ่ เพือ่ ใชค้าํนวณหาสว่นเบีย่งเบนมาตรฐานไดด้งันี ้ คะแนน สอบ ความถี ่ (f ) i จุด กึ ่งกลาง (x ) i 2 i x i xi f 2 i xi f 20 29 2 24.5 600.25 49 1,200.5 30 39 7 34.5 1,190.25 241.5 8,331.75 40 49 9 44.5 1,980.25 400.5 17,822.25 50 59 13 54.5 2,970.25 708.5 38,613.25 60 69 4 64.5 4,160.25 258 16,641 รวม f 35 5 i 1 i f x 1,657.5 5 i 1 i i f x 82,608.75 5 i 1 2 i i 47.36 35 1,657.5 f f x x 5 i 1 i 5 i 1 i i n 1 f x nx s 5 i 1 2 2 i i 10.99 35 1 82,608.75 35(47.36) s 2
25 แบบฝึ กทักษะ จงหาสว่นเบีย่งเบนมาตรฐาน 1. 20, 18, 25, 46, 31, 25, 39, 18, 28 2. 13, 6, 3, 11, 1, 8, 15, 5, 4 3. 100, 126, 129, 106, 111, 137, 143, 159 4. ข้อมูล ความถี ่ 20 29 2 30 39 4 40 49 5 50 59 12 60 69 7 5. ข้อมูล ความถี ่ 51 60 9 61 70 11 71 80 18 81 90 7 91 100 5
26 ความแปรปรวน (Variance) ความแปรปรวน คือ คา่ของสว่นเบีย่งเบนมาตรฐานยกกาํลงัสอง ซึ ่งความแปรปรวนสามารถวดั การกระจายของข้อมูลได้ กรณีขอ้มูลไมไ่ดแ้จกแจงความถี ่ ถ้า x1 , x2 , x3 , … , xn เป็ นข้อมูลตัวอย่าง n หน่วย และมคีา่เฉลีย่ เลขคณิตเท่ากบั X จะได้ ความแปรปรวนของตัวอย่าง คือ 2 n i 1 i 2 n 1 x x s หรือ 2 n i 1 2 i 2 n 1 x nx s ถ้า x1 , x2 , x3 , … , xN เป็ นข้อมูลประชากร N หน่วย และมคีา่เฉลีย่ เลขคณิต เท่ากับ จะได้ ความแปรปรวนของประชากร คือ N 2 i 1 i 2 N x μ σ หรือ 2 N i 1 2 i 2 μ N x σ
27 ตัวอย่าง 9 อายขุองนักเรยีนกลมุ่หนึ ่งมาเป็นตวัอยา่งดงันี ้ 16 15 20 26 17 จงหาความแปรปรวนของอายขุองนักเรยีนกลมุ่นี ้ วธิทีํา หาคา่เฉลีย่ เลขคณิต จะได้ 18.8 5 16 15 20 26 17 X และ 2 5 i 1 2 i 2 5 1 x 5x s 5 1 1 6 1 5 2 0 2 6 1 7 5 1 8.8 2 2 2 2 2 2 5 1 1 6 1 5 2 0 2 6 1 7 5 1 8.8 2 2 2 2 2 2 4 256 225 400 676 289 5 353.4 4 19.7 4 78.8 4 1,846 1,767.2 ดงันั ้น ความแปรปรวนของอายนุักเรยีนกลมุ่นี ้ เท่ากบั 19.7
28 กรณีขอ้มูลแจกแจงความถีแล้ว่ ความแปรปรวนของตัวอย่าง คือ 2 k i 1 i i 2 n 1 f x x s หรือ 2 k i 1 2 i i 2 n 1 f x nx s เมือ่ i f แทน ความถีข่องอนัตรภาคชัน้ที ่ i xi แทน จดุกึ ่งกลางของอนัตรภาคชัน้ที ่ i x แทน คา่เฉลีย่ เลขคณิตของตวัอยา่ง k แทน จาํนวนอนัตรภาคชัน้ n แทน จาํนวนขอ้มูลทั ้งหมดของตัวอย่าง ความแปรปรวนของประชากร คือ 2 k i 1 i i 2 N f x μ σ หรือ 2 k i 1 2 i i 2 μ N f x σ เมือ่ i f แทน ความถีข่องอนัตรภาคชัน้ที ่ i xi แทน จดุกึ ่งกลางของอนัตรภาคชัน้ที ่ i μ แทน คา่เฉลีย่ เลขคณิตของประชากร k แทน จาํนวนอนัตรภาคชัน้ N แทน จํานวนข้อมูลทั ้งหมดของประชากร
29 ตัวอย่าง 10 ตารางแจกแจงความถี ่แสดงคะแนนสอบวชิาคณิตศาสตรข์องนักเรยีน กลมุ่หนึ ่งเป็นดงันี ้จงหาความแปรปรวน คะแนนสอบ จ านวนนักเรียน (คน) 20 29 2 30 39 7 40 49 9 50 59 13 60 69 4 วิธีท า สรา้งตารางแจกแจงความถี ่ เพือ่ ใชค้าํนวณหาความแปรปรวนไดด้งันี ้ คะแนน สอบ ความถี ่ (f ) i จุด กึ ่งกลาง (x ) i 2 i x i xi f 2 i xi f 20 29 2 24.5 600.25 49 1,200.5 30 39 7 34.5 1,190.25 241.5 8,331.75 40 49 9 44.5 1,980.25 400.5 17,822.25 50 59 13 54.5 2,970.25 708.5 38,613.25 60 69 4 64.5 4,160.25 258 16,641 รวม f 35 5 i 1 i f x 1,657.5 5 i 1 i i f x 82,608.75 5 i 1 2 i i 47.36 35 1,657.5 f f x x 5 i 1 i 5 i 1 i i 2 k i 1 2 i i 2 n 1 f x nx s 120.7 3 3 5 1 8 2,60875 3 5 4 7.3 6 s 2 2
30 แบบฝึ กทักษะ จงหาความแปรปรวน 1. 6, 8, 10, 9, 14, 7 2. 12, 19, 10, 23, 28, 32 3. 20, 18, 25, 46, 31, 25, 39, 18, 28 4. ข้อมูล ความถี ่ 20 29 2 30 39 4 40 49 5 50 59 12 60 69 7 5. ข้อมูล ความถี ่ 51 60 9 61 70 11 71 80 18 81 90 7 91 100 5