ฟังก์ชัน (Function) กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ โรงเรียนบัวใหญ่ อ าเภอบัวใหญ่ จังหวัดนครราชสีมา ส านักการศึกษา ศาสนาและวัฒนธรรม องค์การบริหารส่วนจังหวัดนครราชสีมา กรมส่งเสริมการปกครองท้องถิ่น กระทรวงมหาดไทย นางสาวนิตยา ภูส าเภา
ค าน า เอกสารประกอบการเรียนการเรียนรู้รายวิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม2 รหัสวิชา ค30202 เรื่อง ฟังก์ชัน (Function) ระดับมัธยมศึกษาปีที่ 4 เล่ม 2 จัดท าขึ้น โดยมีวัตถุประสงค์เพื่อเป็นสื่อประกอบการเรียน ให้ นักเรียนได้ศึกษาค้นคว้าและสามารถเรียนรู้ได้ด้วยตนเอง ท าให้การจัดการเรียนรู้เป็นไปอย่างมีประสิทธิภาพ ซึ่งจะส่งผลต่อคุณภาพของนักเรียนโดยตรง เกิดผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนที่สูงขึ้น และมีเจตคติที่ดีต่อการเรียน เพิ่มขึ้น ขอขอบคุณ คณะผู้บริหาร คณะครูและผู้มีส่วนเกี่ยวข้องทุกคนที่ได้ให้ข้อเสนอแนะ ส าหรับการปรับปรุง แก้ไขเพื่อการพัฒนาให้เอกสารเล่มนี้มีความสมบูรณ์ เกิดประโยชน์ต่อครูผู้สอน และตัวผู้เรียนและผู้ที่สนใจ ทั่วไป ซึ่งจะส่งผลต่อการพัฒนาการเรียนการสอน ให้มีคุณภาพยิ่งขึ้น นิตยา ภูส าเภา
สารบัญ หน้า ฟังก์ชัน (Function) 1 โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน (Domain and Rang of a Function) 3 การหาค่าของฟังก์ชัน (Value of a Function) 9 ฟังก์ชันผกผัน (Inverse Function) 11 การด าเนินการของฟังก์ชัน (Function Operation) 15 ฟังก์ชันประกอบ (Composite Function) 18
1 ฟังก์ชัน (Function) บทนิยาม ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือ เซตของคู่อันดับ (x, y) ทั้งหมด โดยที่ x เป็นสมาชิกของเซต A และ y เป็นสมาชิกของเซต B เขียนแทนด้วย A B โดยที่ A B = { (x, y) x A และ y B } ตัวอย่าง 1 ก าหนด A = { 1, 3, 5 } และ B = { a, b } จะได้ว่า A B = { (1, a), (1, b), (3, a), (3, b), (5, a), (5, b) } B A = { (a, 1), (a, 3), (a, 5), (b, 1), (b, 3), (b, 5) } บทนิยาม ฟังก์ชัน คือ ความสัมพันธ์ซึ่งสมาชิกในโดเมนแต่ละตัวจับคู่กับสมาชิกในเรนจ์ ของความสัมพันธ์เพียงตัวเดียวเท่านั้น จะเรียก f ว่าเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ f เป็นสับเซตของ A B ส าหรับ x A และ y, z = B ซึ่งถ้า (x, y) , (x, z) f แล้ว y = z ตัวอย่าง 2 ก าหนด A = {1, 3, 4, 5} และ B = {1, 4, 5} จะได้ว่า f = {(1, 4), (3, 5), (4, 1), (5, 4)} เป็นฟังก์ชัน และ g = {(1, 4), (3, 5), (4, 1), (3, 4)} ไม่เป็นฟังก์ชัน เพราะมี (3, 5), (3, 4) g ซึ่ง 5 4 หมายเหตุ วิธีการเช็คว่าเป็นฟังก์ชันหรือไม่ 1. ถ้าฟังก์ชันเขียนในรูปเซตแบบแจกแจง ดูตัวหน้าต้องไม่ซ้ ากัน 2. ถ้าฟังก์ชันเขียนในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไข ถ้ามี y 2 , y , เครื่องหมายอสมการ , , , ไม่เป็นฟังก์ชัน 3. ถ้าฟังก์ชันเขียนในรูปกราฟ ให้ลากเส้นตรงขนานแกน y ถ้าเส้นตรงตัดกราฟ 1 จุดเป็นฟังก์ชัน ถ้าเส้นตรงตัดกราฟตั้งแต่ 2 จุดขึ้นไปไม่เป็นฟังก์ชัน
2 แบบฝึกทักษะที่ 1 ค าชี้แจง จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังชันหรือไม่ ข้อที่ ความสัมพันธ์ เป็นฟังก์ชัน ไม่เป็นฟังก์ชัน 1 f = {(2, 3), (3, 4), (5, 6), (7, 8)} 2 g = {(2, 4), (3, 4), (5, 4), (7, 4)} 3 h = {(2, 3), (2, 4), (3, 4), (5, 5), (7, 7)} 4 i = {(3, 2), (4, 3), (5, 3), (6, 7), (5, 3)} 5 j = {(3, 3), (5, 5), (7, 7)} 6 K = {(x, y) / y = 2x + 1} 7 l = {(x, y) / y = 5x - 1 3x } 8 m = {(x, y) / y = x} 9 n = {(x, y) / y 2 = x } 10 o = {(x, y) / y = 5 x 2 } 11 p = {(x, y) / x = y + 3} 12 13 14 15 16
3 โดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน (Domain and Rang of a Function) บทนิยาม ส าหรับเซต f A B และ f เป็นฟังก์ชัน โดเมน f คือ เซตของคู่อันดับที่เป็นสมาชิกตัวหน้าทั้งหมดของ f เขียนแทนด้วย Df = { x A / y B ; (x, y) f } เรนจ์f คือ เซตของคู่อันดับที่เป็นสมาชิกตัวหลังทั้งหมดของ f เขียนแทนด้วย Rf = { y B / x A ; (x, y) f } ตัวอย่าง 1 ก าหนดให้ A = {1, 2, 3, 4} และ B = {2, 4, 6} และ f = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 6)} จงหาโดเมนและเรนจ์ของ f วิธีท า จะได้ว่า Df = {1, 2, 3, 4} Rf = {2, 4, 6} # ตัวอย่าง 2 ก าหนดฟังก์ชัน f = {(x, y) R R / y = 5x + 3} จงหาโดเมนและเรนจ์ของ f วิธีท า การหาโดเมนของ f ท า y ในเทอม x แล้วดูค่า y จาก y = 5x + 3 พบว่า ทุก x R ทุก y R เสมอ ดังนั้น Df = R หรือ { x / x R } การหาเรนจ์ของ f ท า x ในเทอม y แล้วดูค่า x จาก y = 5x + 3 y – 3 = 5x 5 y 3 = x พบว่า ทุก y R ทุก x R เสมอ ดังนั้น Rf = R หรือ { y / y R } # ตัวอย่าง 3 ก าหนดฟังก์ชัน f = {(x, y) R R / y = x 2 – 1} จงหาโดเมนและเรนจ์ของ f วิธีท า หาโดเมน จาก y = x 2 – 1 พบว่า ทุก x R ทุก y R เสมอ ดังนั้น Df = R หรือ { x / x R } หาเรนจ์ จาก y = x 2 – 1 y + 1 = x 2 y 1 = x ใน เป็นค่าลบไม่ได้ จะได้ y + 1 0 y – 1 ดังนั้น Rf = { y R / y –1 } = [–1, ) #
4 ค่าวิกฤต คือ –2 , 2 เอามาเขียนบนเส้นจ านวน ตัวอย่าง 4 ก าหนดฟังก์ชัน f = {(x, y) R R / y = 2x 1 3 } จงหาโดเมนและเรนจ์ของ f วิธีท า หาโดเมน จาก y = 2x 1 3 เศษส่วนตัวส่วนต้องไม่เท่ากับ 0 จะได้ 2x + 1 0 x 2 1 ดังนั้น Df = R – { 2 1 } หรือ { x / x 2 1 } หาเรนจ์ จาก y = 2x 1 3 y(2x + 1) = 3 2xy + y = 3 2xy = 3 – y x = 2y 3 - y จะได้ 2y 0 y 0 ดังนั้น Rf = R – {0} { y / y 0 } # ตัวอย่าง 5 ก าหนดฟังก์ชัน f = {(x, y) R R / y = x 4 } จงหาโดเมนและเรนจ์ของ f วิธีท า หาโดเมน จาก y = x 4 ใน เป็นค่าลบไม่ได้ จะได้ x – 4 0 x 4 ดังนั้น Df = { x R / x 4 } = [4, ) หาเรนจ์ จาก y = x 4 เมื่อ x – 4 0 x 4 0 จะได้ค่า y 0 ดังนั้น Rf = { y R / y 0 } = [0, ) # ตัวอย่าง 6 ก าหนดฟังก์ชัน f = {(x, y) R R / y = 2 4 x } จงหาโดเมนและเรนจ์ของ f วิธีท า หาโดเมน จาก y = 2 4 x ใน เป็นค่าลบไม่ได้ จะได้ 4 – x 2 0 x 2 – 4 0 (x+2)(x–2) 0 + – + –2 2 ดังนั้น Df = { x R / –2 x 2 } = [–2, 2]
5 หาเรนจ์ จาก y = 2 4 x จะได้ y 0 y 2 = 4 – x 2 x 2 = 4 – y 2 นั่นคือ 4 – y 2 0 y 2 – 4 0 (x+2)(x–2) 0 + – + –2 0 2 ดังนั้น Rf = [–2, 2] [–2, ) = [0, 2] # ตัวอย่าง 7 ก าหนดฟังก์ชัน f = {(x, y) R R / y = x + 3} จงหาโดเมนและเรนจ์ของ f วิธีท า หาโดเมนโดยใช้วิธีวาดกราฟ จาก y = x + 3 จะได้ y – 3 = x ซึ่งอยู่ในรูป y – k = ax – h (h, k) คือจุดยอด ดังนั้น (0, 3) เป็นจุดยอด เขียนกราฟได้ดังนี้ ดังนั้น Df = R Rf = { y R / y 3 } #
6 แบบฝึกทักษะที่2 ค าชี้แจง ก าหนดฟังก์ชัน f ในแต่ละข้อต่อไปนี้ จงหาโดเมนและเรนจ์ของ f 1. f = {(2, 3), (3, 5), (4, –1), (5, –2), (6, –1)} Df = ................................................................ Rf = ……………………………………….…………… 2. f = {(x, y) R R / y = 3x – 1} ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… 3. f = {(x, y) R R / y = x 5 1 } ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… 4. f = {(x, y) R R / y = 2x 3 x 1 } ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..……………
7 5. f = {(x, y) R R / y = x 2 + 2} ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… 6. f = {(x, y) R R / y = x 3 } ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… 7. f = {(x, y) R R / y = x 9 2 } ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..……………
8 8. f = {(x, y) R R / y = 2 16 x } ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… 9. . f = {(x, y) R R / y = x } ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… 10. f = {(x, y) R R / y = x + 1 } ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..…………… ................................................................………….………………………………………………..……………
9 การหาค่าของฟังก์ชัน (Value of a Function) ข้อตกลง ส าหรับ (x, y) f เขียนแทนด้วย y = f(x) กล่าวคือ y เท่ากับค่าของฟังก์ชัน f ที่ x ตัวอย่าง 1 ก าหนด f = {(1, 4), (3, 5), (4, 1), (5, 4)} จงหา f(1), f(3), f(4), f(5) วิธีท า นั่นคือ เมื่อ x = 1 จะได้ y = f(1) = 4 เมื่อ x = 3 จะได้ y = f(3) = 5 เมื่อ x = 4 จะได้ y = f(4) = 1 เมื่อ x = 5 จะได้ y = f(5) = 4 # ตัวอย่าง 2 ก าหนด f(x) = 2x + 1 จงหา f(0), f(3), f(4), f(8), f(a), f(x+4), f( 3) f(8) f(4) f(0) วิธีท า จะได้ f(0) = 2(0) + 1 = 1 f(3) = 2(3) + 1 = -5 f(4) = 2(4) + 1 = 9 f(8) = 2(8) + 1 = 17 f(a) = 2(a) + 1 = 2a+1 f(x+4) = 2(x+4) + 1 = 2x+9 f( 3) f(8) f(4) f(0) = - 5 17 9 1 = - 5 8 1 = 5 3 # ตัวอย่าง 3 ก าหนด f(3x 1) = x + 7 จงหา f(x), f(5), f(4) วิธีท า จาก f(3x 1) = x + 7 เปลี่ยน 3x 1 เป็นอินเวอร์ส จะได้ 3 x 1 จากนั้น เอา 3 x 1 ไปแทนค่าใน x + 7 จะได้ f(x) = 3 x 1 + 7 f(x) = 3 x 22 f(5) = 3 5 22 = 3 27 = 9 f(4) = 3 - 4 22 = 3 18 = 6 #
10 แบบฝึกทักษะที่ 3 ค าชี้แจง จงเติมในช่องว่างให้สมบูรณ์ 1. ก าหนด f = {(2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25), (6, 36)} จงหา f(2) = …………… f(3) = ………….. f(4) = …………. f(5) = …………. f(6) = …………. 2. ก าหนด f(x) = 4x 3 จงหา 2.1 f(0) =………..……………………………………………………………………………….……………………. 2.2 f(2) =…………………………………………………………………………………….………………………. 2.3 f(4) =……………………………………………………………………………………..………………………. 2.4 f(7) =……………………………….………………………………………………………………………………. 2.5 f( 2) f(4) f(0) f(7) =……………………………………………………..…………………………………. …………………………………………………………………………..…………………………………………….. …………………………………………………………………………..…………………………………………….. …………………………………………………………………………..…………………………………………….. …………………………………………………………………………..…………………………………………….. …………………………………………………………………………..…………………………………………….. 3. ก าหนด f(x 4) = 3x 2 1 จงหา 3.1 f(x) = …………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. 3.2 f(6) = …………………………………………………………………………………………………………… 3.3 f(2) = ……………………………………………………………………………………………………….. 3.4 f(x+3) = ………………………………………………………………………………………………………… 3.5 f(a) = ………………………………………..………………………………………………………………….. 4. ก าหนด f(6x + 1) = x + 2 จงหา 4.1 f(x) = …………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………………………. 4.2 f(0) = …………………………………………………………………………………………………………… 4.3 f(1) = ……………………………………………………………………………………………………….. 4.4 f(x5) = ……………………………………………………………………………………………………… 4.5 f(a+b) = ………………………………………..……….……………………………………………………..
11 ฟังก์ชันผกผัน (Inverse Function) บทนิยาม ตัวผกผันของฟังก์ชัน f คือ ความสัมพันธ์ที่เกิดจากการสลับที่ของสมาชิกตัวหน้า และสมาชิกตัวหลังแต่ละคู่อันดับ ตัวผกผันของฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชัน เรียกว่า ฟังก์ชันผกผัน ** ฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันผกผันต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ** ตัวอย่าง 1 ก าหนด f = { (1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, e), (6, f) } จงหา f 1 f 1 = { (a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4), (e, 5), (f, 6) } # ตัวอย่าง 2 ก าหนด f(x) = 2x + 3 จงหา f 1 (x) วิธีท า จาก f(x) = 2x + 3 หรือ y = 2x + 3 หา f 1 (x) โดยสลับที่ระหว่าง x กับ y จะได้ x = 2y + 3 เขียนสมการในรูป y = f 1 (x) จะได้ 2y + 3 = x 2y = x 3 y = 2 x 3 ดังนั้น f 1 (x) = 2 x 3 # ตัวอย่าง 3 ก าหนด f(x) = 3x 2 5 จงหา f 1 (x) วิธีท า จาก f(x) = 3x 2 5 หรือ y = 3x 2 5 หา f 1 (x) โดยสลับที่ระหว่าง x กับ y จะได้ x = 3y 2 5 เขียนสมการในรูป y = f 1 (x) จะได้ 3y 2 5 = x 3y 2 = x + 5 y 2 = 3 x 5 y = 3 x 5 ดังนั้น f 1 (x) = 3 x 5 #
12 ตัวอย่าง 4 ก าหนด f(x) = 1 2 3x จงหา f 1 (x) พร้อมเขียนกราฟของ f(x) และ f 1 (x) วิธีท า จาก f(x) = 1 2 3x หรือ y = 1 2 3x หา f 1 (x) โดยสลับที่ระหว่าง x กับ y จะได้ x = 1 2 3y เขียนสมการในรูป y = f 1 (x) จะได้ 1 2 3y = x 2 3y = x 1 3y = 2x 2 y = 3 2x 2 ดังนั้น f 1 (x) = 3 2x 2 เขียนกราฟได้ดังนี้ y = f(x) = 1 2 3x ได้ y = f 1 (x) = 3 2x 2 ได้ # x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 2 7 -2 2 1 1 2 5 4 2 11 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 3 8 -2 3 4 3 2 0 3 2 3 4 Y x y = f(x) = 1 2 3x y = f(x) = x y = f(x) = 3 2x - 2
13 แบบฝึกทักษะที่ 4 ค าชี้แจง จงแสดงวิธีท า 1. ก าหนด f = { (0, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6) } จงหา f 1 ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… 2. ก าหนด f(x) = 3x – 1 จงหา f 1 (x) ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… 3. ก าหนด f(x) = x 5 1 จงหา f 1 (x) ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… 4. ก าหนด f(x) = x 3 จงหา f 1 (x) ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...…………………………………………
14 ...............................................................………………………………...………………………………………… 5. ก าหนด f(x) = 2 x จงหา f 1 (x) พร้อมเขียนกราฟของ f(x) และ f 1 (x) ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… ...............................................................………………………………...………………………………………… เขียนกราฟได้ดังนี้ y = f(x) = 2 x ได้ y = f 1 (x) = …………. ได้ # x -3 -2 -1 0 1 2 3 y x -3 -2 -1 0 1 2 3 y Y x y = f(x) = x
15 การด าเนินการของฟังก์ชัน (Function Operation) บทนิยาม ก าหนด f และ g เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจ านวนจริง ผลบวก (sum) ผลต่าง (difference) ผลคูณ (product) และผลหาร (quotient) ของฟังก์ชันก าหนดโดย (f + g)(x) = f(x) + g(x) เมื่อ x Df Dg (f g)(x) = f(x) g(x) เมื่อ x Df Dg (f g)(x) = f(x) g(x) เมื่อ x Df Dg ( g f )(x) = g(x) f(x) เมื่อ x Df Dg และ g(x) 0 ตัวอย่าง 1 ให้ f = {(1, 6), (2, 11), (3, 12), (5, 18)} และ g = {(1, 6), (2, 1), (3, 0), (4, 16)} จงหา f + g , f g , f g และ g f วิธีท า จะได้ Df = {1, 2, 3, 5} และ Dg = {1, 2, 3, 4} โดเมนของ f + g , f g , f g และ g f คือ Df Dg = {1, 2, 3} จะได้ f + g = {(1, 6+6), (2, 11+1), (3, 12+0)} = {(1, 12), (2, 12), (3, 12)} f g = {(1, 66), (2, 111), (3, 120)} = {(1, 0), (2, 10), (3, 12)} f g = {(1, 66), (2, 111), (3, 120)} = {(1, 36), (2, 11), (3, 0)} g f = {(1, 6 6 ), (2, 1 11 ), (3, 0 12 )} = {(1, 1), (2, 11)} หาค่าไม่ได้
16 ตัวอย่าง 2 ก าหนด f(x) = 3x + 1 และ g(x) = x + 2 จงหา (f+g)(x), (fg)(x), (fg)(x) และ ( g f )(x), (f+g)(1), (fg)(3), (fg)( 2), ( g f )(5) วิธีท า โดเมนของ f+g , fg , fg คือ Df Dg = R โดเมนของ g f คือ {x x Df Dg และ g(x) 0 = R {2} (f+g)(x) = f(x) + g(x) = (3x+1) + (x+2) = 3x+1+x+2 = 4x+3 (fg)(x) = f(x) g(x) = (3x+1) (x+2) = 3x+1x2 = 2x1 (fg)(x) = f(x) g(x) = (3x+1)(x+2) = 3x 2 +6x+x+2 = 3x 2 +7x+2 ( g f )(x) = g(x) f(x) = x 2 3x 1 ; x 2 (f+g)(1) = 4x+3 = 4(1)+3 = 7 (fg)(3) = 2x1 = 2(3)1 = 5 (fg)( 2) = 3x 2 +7x+2 = 3(2) 2 +7(2)+2 = 1214+2 = 0 ( g f )(5) = x 2 3x 1 = 5 2 3(5) 1 = 7 16 #
17 แบบฝึกทักษะที่ 5 ค าชี้แจง จงพิจารณาว่าความสัมพันธ์ต่อไปนี้เป็นฟังชันหรือไม่ 1. ให้ f = {(–3, 1), (0, 4), (2, 0)} และ g = {(–3, 2), (1, 2), (2, 6)} จงหา 1.1 f + g =………………………………………………………………………………………………….…………. ………………………………………………………………………………………………………………. 1.2 f – g =……………………………………………………………………………………………………..………. ………………………………………………………………………………………………………………. 1.3 f g =……………………………………………………………………………………………………..………. ………………………………………………………………………………………………………………. 1.4 g f =……………………………………………………………………………………………………..….……. ………………………………………………………………………………………………………………. 2. ก าหนด f(x) = x 2 และ g(x) = x 2 จงหา 2.1 (f+g)(x) =…………………………………………………………………………………………………………. …………………………...…………………………………….………………………………………. 2.2 (fg)(x) =…………………………………………………………………………………………………………. …………………………...…………………………………….………………………………………. 2.3 (fg)(x) =…………………………………………………………………………………………………………. …………………………...…………………………………….………………………………………. 2.4 ( g f )(x) =…………………………………………………………………………………………………………. …………………………...…………………………………….………………………………………. 2.5 (fg)( 4) =………………………………………………………………………………………………………. …………………………...…………………………………….………………………………………. 2.6 ( g f )(3) =………………………………………………………………………………………………………….
18 ฟังก์ชันประกอบ (Composite Function) บทนิยาม ก าหนด f และ g เป็นฟังก์ชัน และ Rf Dg ฟังก์ชันประกอบของ f และ g เขียนแทนด้วย gof และเป็นฟังก์ชันที่โดเมน คือ Dgof = { x Df f(x) Dg } และก าหนด gof โดย gof(x) = g(f(x)) ส าหรับทุก x ใน Dgof ตัวอย่าง 1 ก าหนดแผนภาพของฟังก์ชัน f และ g ให้หาฟังก์ชันประกอบ gof และ fog (ถ้ามี) A B C f g วิธีท า หา gof พบว่า Rf = {a, b, c} และ Dg = {a, b, c} ท าให้ Rf Dg = {a, b, c} จะได้ว่า f(1) = a g(a) = p เป็นผลให้ g(f(1)) = p f(2) = c g(c) = q เป็นผลให้ g(f(2)) = q f(3) = b g(b) = p เป็นผลให้ g(f(3)) = p นั่นคือ (gof)(1) = p , (gof)(2) = q และ (gof)(3) = p gof = {(1, p), (2, q), (3, p)} หา fog พบว่า Rg = {p, q, r} และ Df = {1, 2, 3} ท าให้ Rg Df = fog = ไม่มี # ตัวอย่าง 2 ก าหนด f = {(1, 2), (2, 4), (3, 5)} และ g = {(1, 2), (2, 3), (4, 5)} ให้หาฟังก์ชัน gof และ fog (ถ้ามี) วิธีท า หา gof พบว่า Rf = {2, 4, 5} และ Dg = {1, 2, 4} ท าให้ Rf Dg = {2, 4} จะได้ว่า f(1) = 2 g(2) = 3 เป็นผลให้ g(f(1)) = 3 f(2) = 4 g(4) = 5 เป็นผลให้ g(f(2)) = 5 นั่นคือ (gof)(1) = 3 และ (gof)(2) = 5 gof = {(1, 3), (2, 5)} หา fog พบว่า Rg = {2, 3, 5} และ Df = {1, 2, 3} ท าให้ Rg Df = {2, 3} จะได้ว่า g(1) = 2 f(2) = 4 เป็นผลให้ f(g(1)) = 4 g(2) = 3 f(3) = 5 เป็นผลให้ f(g(2)) = 5 นั่นคือ (fog)(1) = 4 และ (fog)(2) = 5 fog = {(1, 4), (2, 5)} # 1 2 3 a b c p q r
19 ตัวอย่าง 3 ก าหนด f(x) = x 2 3 และ g(x) = x + 2 จงหาฟังก์ชัน gof(x) และ fog(x) พร้อมทั้งโดเมนของฟังก์ชันทั้งสอง วิธีท า พบว่า Df = R และ Rf = [3, ) Dg = R และ Rg = R หา gof พบว่า Rf = [3, ) และ Dg = R ท าให้ Rf Dg จะได้ gof(x) = g(f(x)) = g(x 2 3) = (x 2 3) + 2 = x 2 1 ดังนั้น gof = {(x, y) y = x 2 1} และ Dgof = R หา fog พบว่า Rg = R และ Df = R ท าให้ Rg Df จะได้ fog(x) = f(g(x)) = f(x + 2) = (x + 2) 2 3 = x 2 + 4x + 4 3 = x 2 + 4x + 1 ดังนั้น fog = {(x, y) y = x 2 + 4x + 1} และ Dgof = R # ตัวอย่าง 4 ก าหนด f(x) = 5x 6 และ g(x) = 3 x จงหาฟังก์ชัน gof(x) , gof(2) , (gof)1 (x) , fog(x) , fog(4) , (fog)1 (x) วิธีท า พบว่า Df = R และ Rf = R Dg = R และ Rg = R หา gof พบว่า Rf = R และ Dg = R ท าให้ Rf Dg จะได้ gof(x) = g(f(x)) = g(5x 6) = 3 5x 6 ดังนั้น gof(x) = 3 5x 6 gof(2) = 3 5x 6 = 3 4 3 5(2) 6 (gof) 1 (x) = 5 3x 6 (เปลี่ยนเครื่องหมาย + , , x , เป็นตรงข้าม)
20 หา fog พบว่า Rg = R และ Df = R ท าให้ Rg Df จะได้ fog(x) = f(g(x)) = f( 3 x ) = 5( 3 x ) 6 = 6 3 5x = 3 5x -18 ดังนั้น (fog)(x) = 3 5x -18 fog(4) = 3 38 3 5(-4)-18 (fog)1 (x) = 5 3x 18 # ตัวอย่าง 5 ก าหนด f(x) = x 1, g(x) = 3x + 4 และ h(x) = x 2 จงหาฟังก์ชัน gofoh(x) และ fogoh(x) วิธีท า หา Df = R , Rf = R , Dg = R , Rg = R , Dh = R , Rh = [0, ) หา gofoh(x) และ fogoh(x) ได้ จะได้ gofoh(x) = g(f( h(x) ) = g(f( x 2 ) = g( x 2 1 ) = 3(x 2 1) + 4 = 3x 2 3 + 4 = 3x 2 + 1 ดังนั้น gofoh(x) = 3x 2 + 1 จะได้ fogoh(x) = f(g( h(x) ) = f(g( x 2 ) = f( 3(x 2 ) + 4 ) = f( 3x 2 + 4 ) = 3x 2 + 4 1 = 3x 2 + 3 ดังนั้น fogoh(x) = 3x 2 + 3 #
21 แบบฝึกทักษะที่ 6 ค าชี้แจง จงท าให้เป็นผลส าเร็จ 1. ก าหนดแผนภาพของฟังก์ชัน f และ g ให้หาฟังก์ชันประกอบ gof และ fog (ถ้ามี) A B C f g …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2. ก าหนด f = {(2, 1), (3, 2), (4, 3), (5, 4), (6, 5), (7, 6)} และ g = {(2, 4), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 5), (7, 1)} ให้หาฟังก์ชัน gof และ fog (ถ้ามี) …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3. ก าหนด f(x) = 3x + 2 และ g(x) = 4x – 1 จงหาฟังก์ชัน gof(x), gof(3), fog(x) และ fog(5) …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… 1 2 3 4 a b c 2 4 6
22 4. ก าหนด f(x) = x 2 และ g(x) = x + 5 จงหาฟังก์ชัน gof(x), (gof)1 (x), fog(x) และ (fog)1 (x) …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… 5. ก าหนด f(x) = 2x 2 + 1 , g(x) = x 4 และ h(x) = 3x จงหาฟังก์ชัน gofoh(x) และ fogoh(x) …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………