The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.

Home Explore Toán 10 - Tập 2

View in Fullscreen

Toán 10 - Tập 2

Like this book? You can publish your book online for free in a few minutes!

Download PDF

Related Publications

Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.

Published by nguyenquocduongqnu1999, 2021-09-30 09:16:05

Toán 10 - Tập 2

Pages:

Toán 10 - Tập 2

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

Nhóm 2. Bất phương trình chứa dấu căn

√√ ® B≥0 √√ ®B≥0

• A> B⇔ A > B� • A≥ B⇔ A ≥ B�

 
√ B > 0 √ B ≥ 0
• A < B ⇔ AA ≥ 0 • A ≤ B ⇔ AA ≥ 0
< B2� ≤ B2�

® B<0 ® B≤0

• √ > B ⇔  ®A ≥ 0 • √ ≥ B ⇔  ®A ≥ 0
A B ≥ 0 A B ≥ 0

A > B2� A ≥ B2�

√��BÀI TẬP√VẬN DỤNG��
Bài 1. Giải bất phương trình: �2 − 4� + 5 ≥ � − 1.

� Lờ®i �g2iả−i 4� + 5 ≥ 0 ⇔ ® ∈ R ⇔ � ≥ 1.
ĐK: �

�−1≥0 �≥1

�√
Bất phương trình �2 − 4� + 5 ≥ � − 1

⇔�2 − 4� + 5 ≥ � − 1

⇔�2 − 5� + 6 ≥ 0

⇔� ≤ 2 ∨ � ≥ 3�

Giao với điều kiện � S = [1; 2] ∪ [3; +∞). �
√√ ĐS: S = [−2; −1] ∪ [5; +∞)

Bài 2. Giải bất phương trình: �2 − 3� − 3 ≥ � + 2.
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√√ �
Bài 3. Giải bất phương trình: −�2 + � + 6 ≤ 8 − �2. ĐS: S = [−2; 2]
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√√ �
Bài 4. Giải bất phương trình: −�2 + � + 12 ≤ 15 − �2. ĐS: S = [−3; 3]
� Lời giải

Trang 47

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ �
Bài 5. Giải bất phương trình: �2 − 4� − 12 ≤ � − 4.
�
� Lời giải 
√ B ≥ 0 �
Áp dụng công thức A ≤ B ⇔ AA ≥ 0 ĐS: S = [4; +∞)
≤ B2�

�
Bất phương trình �2 − 4� − 12 ≤ � − 4

�2 − 4� − 12 ≥ 0

⇔ ��2−−44≥� 0
−
12 ≤ (� − 4)2
�2 − 4� − 12 ≥ 0

⇔ �4�−−42≥8 0
≤
 0

� ∈ (−∞; −2] ∪ [6; +∞)

⇔ �� ∈ [4; +∞)
∈ (−∞; 7]

⇔� ∈ [6; 7]�

Kết luận: S = [6; 7].
√

Bài 6. Giải bất phương trình: �2 − 13� + 30 > � − 7.

� Lời giải ®
B<0

Áp dụng công thức √ > B ⇔ ®A ≥ 0
A B ≥ 0

A > B2

�
Bất phương trình �2 − 13� + 30 > � − 7
®
�−7<0

⇔  ®�2 − 13� + 30 ≥ 0
�−7≥0

 ®�2 − 13� + 30 > (� − 7)2
�<7

⇔ ®� ≤ 3 ∨ � ≥ 10
� ≥ 7

ñ � > 19
�≤3

⇔
� > 19�

Kết luận: S = (−∞; 3] ∪ (19; +∞).
√

Bài 7. Giải bất phương trình: �2 − 14� + 49 ≤ 2� − 5.
� Lời giải

Trang 48

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ �
Bài 8. Giải bất phương trình: �2 − 3� − 10 > � − 2. ĐS: S = (−∞; 2] ∪ [14; +∞)
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ �
Bài 9. Giải bất phương trình: �2 + 5� + 4 ≤ 3� + 2. ĐS: S = [0; +∞)
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ �
Bài 10. Giải bất phương trình: �2 + � − 12 > �. ĐS: S = (−∞; 4] ∪ (12; +∞)
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ �
Bài 11. Giải bất phương trình: 3�2 + 4� + 1 ≥ 2� + 2. ĐS: S = (−∞; −1]
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ �
Bài 12. Giải bất phương trình: 4�2 + � − 18 > 2� + 3. ĐS: S = [2; +∞)
� Lời giải

Trang 49

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

� �
Bài 13. Giải bất phương trình 2(�2 − 1) ≤ � + 1. ĐS: S = [1; 3] ∪ {−1}
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ �
Bài 14. Giải bất phương trình 3�2 + 10� + 8 ≥ 2� + 4. ĐS: S = (−∞; −2]
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ �
Bài 15. Giải bất phương trình �2 + � − 6 − 2 ≥ �. ĐS: S = (−∞; −3]
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ �
Bài 16. Giải bất phương trình �2 − 5� + 4 ≤ 2� − 2. ĐS: S = [4; +∞) ∪ {1}
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ �
Bài 17. Giải bất phương trình � + 2 − �2 − 5� + 4 ≥ 0. ĐS: S = [0; 1; ] ∪ [4; +∞)
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ �
Bài 18. Giải bất phương trình 2� + −�2 + 6� − 5 > 8. ĐS: S = (3; 5]
� Lời giải

Trang 50

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ �
Bài 19. Giải bất phương trình 21 − 4� − �2 ≤ � + 3. ĐS: S = [1; 3]
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ �
Bài 20. Giải bất phương trình �4 − 2�2 + 1 + � > 1. ĐS: S = (−∞; −2) ∪ (0; +∞) \ {1}
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

� DẠNG 3. Phương trình và bất phương trình căn thức nâng cao

��
Nhóm 1. Có ba căn thức f(�) − �(�) ≥ �(�) hay f(�) − �(�) = �(�).

• Bước 1: Đặt điều kiện.

• Bước 2: Chuyển√vế sao c√ho hai vế đều√không âm và bình phương hai vế để chuyển
về dạng cơ bản A ≤ B; A ≥ B hay A = B.

• Bước 3: giải và giao kết quả vừa có được với điều kiện ban đầu, suy ra tập nghiệm
cần tìm.

√��BÀ√I TẬP VẬN√DỤNG��
Bài 1. Giải bất phương trình � + 14 − 2� + 5 ≥ � − 1.
� Lời giải

� + 14 ≥ 0
Điều kiện 2��−+15≥≥00 ⇔ � ≥ 1�

Trang 51

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

Khi đó bất phương trình tương đương với

√√ √
� − 1 + »2� + 5 ≤ � + 14

⇔ 3� + 4 + 2 (� − 1)(2� + 5) ≤ � + 14
�
52�−2
⇔ + 3� − 5 ≤ 5 − �
�≥0

⇔ 22��22 + 3� − 5 ≥ 0
+ 3� − 5 ≤ (5
 − �)2

⇔ ��2∈≤∈+ÅÅ51−−3∞∞� −;; −−355220òò≤∪∪0[[11;; +∞)
⇔ 5]

� ∈ï [−15; 2]ò
5
⇔ �∈ −15; − 2 ∪ [1; 2]

So với điều kiện ban đầu ta được � ∈ [1; 2] �
Vậy S = [1; 2] �

√√ √ �
Bài 2. Giải bất phương trình � + 3 ≤ 2� + 8 − 7 − �. ĐS: S = [5; 7]

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√√ ï ò�
Bài 3. Giải bất phương trình � + 7 ≥ 2 + 2� − 3. 3
� Lời giải ĐS: S = 2 ; 2

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

� √� ß ™�
Bài 4. Giải bất phương trình �(� − 1) = 2 �2 − �(� + 2). 9
� Lời giải ĐS: S = 0; 8

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√√ √ ï ã�
Bài 5. Giải bất phương trình � + 3 − � − 1 > 2� − 1. 3
� Lời giải ĐS: S = 1; 2

Trang 52

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√√ √ ï ò�
Bài 6. Giải bất phương trình � + 2 − � − 1 ≥ 2� − 3. 3
� Lời giải ĐS: S = 2 ; 2

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√√ √ ï ã�
1
Bài 7. Giải bất phương trình 5� − 1 − 4� − 1 ≤ 3 �. ĐS: S = 4 ; +∞

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ √ √�. Ç√ 3− 3 å�
� � 2 3
Bài 8. Giải bất phương trình + 2 − + 1 < ĐS: S = ; +∞

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√√ �
Bài 9. Giải phương trình 2�2 + 10� + 8 + �2 − 1 = 2� + 2. ĐS: S = {−1}
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√√ √√ �
Bài 10. Giải phương trình � + 3 + 3� + 1 = 2 � + 2� + 2. ĐS: S = {1}

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Trang 53

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

Nhóm 2. Giải bất phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

��BÀI TẬP√VẬN DỤNG��
Bài 1. Giải bất phương trình 2�2 + � − 19 ≥ 3 2�2 + � − 15.
� Lời gi√ải
Đặt � = 2�2 + � − 15 ⇔ 2�2 + � = �2 + 15 (với � ≥ 0).

Khi đó bất phương trình trở thành

�2 − 4 ≥ 3�

⇔ �2 − 3� − 4 ≥ 0

⇔ � ≤ −1 hay � ≥ 4�

Mà � ≥ 0 nên � ≥ 4 ⇔ √ ≥ 4 ⇔ 2�2 + � − 31 ≥ 0 ⇔ � ≤ √ hay � ≥
√ 2�2 + � − 15 −1 − 249

4

−1 + 249 � √ ôñ √ å
4 Ç

Vậy S = −∞; −1 − 249 ∪ −1 + 249 ; +∞ . �
4 4

�
Bài 2. Giải bất phương trình (� + 4)(� − 3) + 3 (� − 1)(� + 2) > 0. ĐS: S = (−∞; −3) ∪ (2; +∞)

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ �
Bài 3. Giải bất phương trình �2 + 3� ≥ 2 + 5�2 + 15� + 14. ĐS: S = (−∞; −5] ∪ [2; +∞)
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ Ä√ √ ä�
Bài 4. Giải bất phương trình �(� − 4) −�2 + 4� + (� − 2)2 < 2. ĐS: S = 2 − 3; 2 + 3
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

� �
Bài 5. Giải bất phương trình (� − 3)(8 − �) + 26 > −�2 + 11�. ĐS: S = [3; 4) ∪ (7; 8]
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Trang 54

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

√ �
Bài 6. Giải bất phương trình 2�2 + 4� + 3 3 − 2� − �2 > 1. ĐS: S = [−3; 1]
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

� − 1 … � − 1 ï 1 ã�
� � − 8 0
Bài 7. Giải bất phương trình − 2 ≥ 3. ĐS: S = ;

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

…… Å ã�
�−1 2� + 3 49
Bài 8. Giải bất phương trình 2� + 3 + 4 �−1 < 5. ĐS: S = −4; − 31

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ ïò �
�2
Bài 9. Giải bất phương trình � + 1 + − 4� + 1 ≥ √ ĐS: S = 0; 1 ∪ [4; +∞)
3 �. 4

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 1ñ0. Giải b√ất pôhưñơng trì√nh 8�3 +å √ + 1 ≥ 58�2 + 29�. �
76� � ĐS:

S= 0; 3 −2 2 ∪ 3+2 2 ; +∞
2 2

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

� �
Bài 11. Giải bất phương trình: �3 − 3�2 + 2 (� + 3)3 − 9� ≥ 0. ĐS: S = [−2; +∞).
� Lời giải

Trang 55

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

� �
Bài 12. Giải bất phương trình: �3 − 3�2 + 2 (� + 2)3 ≤ 6�. √
� Lời giải ĐS: S = [−2; 2 − 2 3] ∪ {2}.

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Nhóm 3. Giải phương trình & bất phương trình tích số (hoặc liên hợp)

��√BÀI TẬP VẬN DỤNG��
Bài 1. Giải bất phương trình: (� − 1) 2� − 1 ≤ 3(� − 1).

� Lời giải √ √ √
Ta có ®(� − 1) 2� − 1 ≤ 3(� ®− 1). ⇔ (� − 1) 2�®− 1 − 3(� − 1)®≤ 0 ⇔ (� − 1)( 2� − 1 − 3) ≤ 0.
�−1≥0 �≥1 �≥1 �≥1
TH1: √ ⇔√ ⇔ ⇔ � ≤ 5 ⇔ 1 ≤ � ≤ 5 �S1 = [1; 5].
® 2� − 1 − 3 ≤ 0 ® 2� − 1 ≤ 3 ®
�−1≤0 �≤1 2� − 1 ≤ 9 ® � ≤1
√⇔ √⇔ �≤1 � ≥5
TH2: ⇔ � S2 = ∅.
2� − 1 − 3 ≥ 0 2� − 1 ≥ 3
2� − 1 ≥ 9

Hợp tập nghiệm � S = S1 ∪ S2 = [1; 5] �
√ ĐS: S = [1; 2] ∪ [3; +∞).

Bài 2. Giải bất phương trình: (� − 3) � − 1 ≥ � − 3.

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 3. Giải bất phương trình: (� − √ + 1 > �2 + � − 6. �
2) � ĐS: S = [−1; 2) .

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Trang 56

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

Bài 4. Giải bất phương trình: (1 − √ + 2 < −�2 − � + 2. �
�) � ĐS: S = (−1; 1) .

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ �
Bài 5. Giải bất phương trình: (�2 − 4�) 2�2 − 3� − 2 ≥ 0.

� Lời giải 

Áp dụng công thức: A· √ ≥ 0 ⇔ B®B= 0 0
2� B >

A≥0 
⇔ �=�
2�2 − 3� − 2 = 0 − 1 ∨ � = 2  = 2
0 ⇔  ®2�2 − 3� − 2 > � 2 � ≤
√
Ta có (�2−4�)· 2�2 − 3� −2 ≥ �2 − 4� ≥ 0 0 < − 1 ∨ � > 2 ⇔  − 1 ∨� ≥ 4�
ò 2 � 2
Å
≤0∨� ≥4

Kết luận: S = −∞; − 1 ∪ {2} ∪ [4; +∞). �
Bài 6. Giải bất 2 trình:
Å ã ïã
2� + 4 √ 1 5
phương � − 2� − 5 10� − 3�2 − 3 ≥ 0. ĐS: S = 3 ; 2 ∪ {3}.

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ Å 1 ò �
3�) 2�2 −∞; 2 .
Bài 7. Giải bất phương trình: (�2 − − 3� − 2 ≥ 0. ĐS: S = − ∪ {2} ∪ [3; +∞)

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Trang 57

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

√√ �
6+�− �2 6 + � − �2 ĐS: S = [−2; −1] ∪ {3} .
Bài 8. Giải bất phương trình: 2� + 5 ≥ � + 4 ·.

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ �

Bài 9. Giải bất phương trình: 3 − 2 √�2 + 3� + 2 > 1 (1)
1 − 2 �2 − � + 1
� Lời giải
ñ
Điều kiện �2 + 3� + 2 ≥ 0 ⇔ � ≤ −2
� � ≥ −1
Có 1 − √ − � + 1 = 1 − (2� − 1)2 + 3 ≤ 1 − √ < 0� ∀� ∈ R.
2 �2 3

� � ��
(1) ⇔ 3 − 2 �2 + 3� + 2 < 1 − 2 �2 − � + 1 ⇔ 1 + �2 − � + 1 < �2 + 3� + 2 ⇔ �2 − � + 1 < 2�
� > 0
® −1 + √ 13 �
�>0 6
⇔ � 2 − � +1 ≥ 0 ⇔ 3�2 + � −1 > 0 ⇔ � >
� 2 − � +1 < 4�2

Ç√ å
13 − 1
So điều kiện � S = 6 ; +∞ · �

� �(� + 2) √ 5−1
+ 1)3 − √� 2
Bài 10. Giải bất phương trình: � ≥ 1. ĐS: � = .
(�

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ √�
�� − � 3 − 5.
Bài 11. Giải bất phương trình: ≥ 1. ĐS: � = 2
1 − 2(�2 − � + 1)

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Trang 58

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

√ √ �2) √�
�(� + √1 − −� 5− 1
Bài 12. Giải bất phương trình: 1 − �2 ≥ 1. ĐS: � = 2 .
√ 3
� �+

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ √ �
� 3�.
Bài 13. Giải phương trình: + 1 + 1 = 4�2 +

� Lời giải® ®
� + 1 ≥ 0 � ≥ −1
Điều kiện ⇔ ⇔ � ≥ 0.
3� ≥ 0 �≥0

Bpt ⇔ (4�2 − 1) + √ − √ + 1) = 0 ⇔ (2� − 1)(2� + 1) + √ 2� −√ 1 =0
( 3� �
Å ã 3� + � + 1
(2� − 1) 2� + 1 + √ 1√ 1 1√
⇔ 3� + � + 1 = 0 ⇔ 2� −1 = 0 ⇔ � = 2 ( Do 2� +1+ √ +� + 1 > 0� ∀�
3�

So với điều kiện, nghiệm là � = 1 � �
2
√
√√ 11 − 3 5.
Bài 14. Giải phương trình: 3�(2 + � − 2) = 2� + � + 6 ĐS: � = 3� � = 2

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√√ �
Bài 15. Giải phương trình: 2�2 + 3� + 5 + 2�2 − 3� + 5 = 3�. ĐS: � = 4 .
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√√ �
Bài 16. Giải phương trình: 2�2 + � + 9 + 2�2 − � + 1 = � + 4.
� Lời giải ĐS: � = 0� � = 8 .
7

Trang 59

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ √ �
3� 6
Bài 17. Giải phương trình: + 1 − − � + 3�2 − 14� − 8 = 0.

� Lời giải® 3� + 1 ≥ 0 1
6−� ≥0 3
Điều kiện ⇔ − ≤ � ≤ 6.

Bpt ⇔ √ + 1 − 4 + 1 − √ − � + 3�2 − 14� = 5 ⇔ √ 3(� − 5) + �√− 5 + (3� + 1)(� − 5) = 0
3� 6
3� + 1 + 4 1 + 6 − �
� = 5

⇔ 3 + √1 + 3� + 1 = 0�
√
3� + 1 + 4 1 + 6 − �

mà √ 3 + √1 + 3� + 1 > 0.
3� + 1 + 4 1 + 6 − �

So điều kiện, nghiệm là � = 5 �
√√ ĐS: � = 5.
Bài 18. Giải phương trình: � + 2 + 2� − 10 = 2� − 3.

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 19. Giải phương trình: (� − √ + 1 + 1)2 = �2. �
4)( � ĐS: � = 8 .

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ �
Bài 20. Giải phương trình: (� − 1) �2 + 5 + � = �2 + 1. ĐS: � = 2 .
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Trang 60

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 21. Giải phương trình: �2 − � + √ − � + 3 = √ − 17.
2�2 21�

Suy luận Sử dụng casio, tìm được nghiệm � = 1� � = 2.

Khi đóghép (�� + �) để liên hợp. � 
 khi �=1 � 2 � = 1
3 = · 12 − 1 + 3 = 2 = �� + � = � + �
� 2�2 − � +

Tức là  � � � �
2�2 2 · 22
√ khi � = 2 � − � +3 = −2+ 3 = 3 = �� +� = 2� + � = 1�

Suy ra 2�2k−hi��+=31−�(�√+211�) để liên hợp. 
− 17 = √ � = 3
· 1 − 17 = 2 = �� + � = � + �
21

Tương tự khi √ √ � �
21� 21
� = 2 � − 17 = · 2 − 17 = 5 = �� + � = 2� + � = −1�
√
Suy ra (3� − 1) − 21� − 17 để liên hợp.

� Lời giải

Điều kiện 21� − 17 ≥ 0 ⇔ � ≥ 17 .
21

�� î √ó
2�2 − � + 3 − (� + 1) + (3� − 1) − 21� − 17 + (�2 − 3� + 2) = 0
Phương trình ⇔

⇔ √ �2 − 3� + 2 + 9(�2 −√3� + 2) + (�2 − 3� + 2) = 0
2�2 − � + 3Å+ � + 1 3� − 1 + 21� − 17
1 ã
+ √9 + 1 = 0 ⇔ �2 − 3� + 2 = 0
⇔ (�2 − 3� + 2) √
 2�2 − � + 3 + � + 1 3� − 1 + 21� − 17

⇔ � = 1 thỏa mãn điều kiện.
�=2

Bài 22. Giải phương trình: √ + 4 + √ + 9 = �2 + 6� + 13. �
2 3� 3 5� ĐS: � = −1� � = 0.

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 23. Giải bất phương trình: √ 6�2 √ �
( 2� + 1 + 1)2 > 2� + � − 1 − 1. √
ĐS: � ∈ (10 + 4 5; +∞) .

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................

Trang 61

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 24. Giải bất phương trình: �√2 < �2 + 3� + 18 . �
+1− � (� + 1)2 ĐS: � ∈ (−1; 3) \ {0}�
(� + 1)2

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√√ �
Bài 25. Giải bất phương trình: �2 + 35 < 5� − 4 + �2 + 24. ĐS: � ∈ (1; +∞) .
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ √ �
4� 2 2�
Bài 26. Giải bất phương trình: + 1 + + 3 ≤ (� − 1)(�2 − 2). ĐS: S = [3; +∞) ∪ {−1}.

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Trang 62

5CHƯƠNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

BÀI �. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT

63

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

1. Công thức lượng giác cơ bản

• tan α = sin α • cot α = cos α • tan α · cot α = 1
cos α sin α

• sin2 α + cos2 α = 1 • 1 + tan2 α = 1 α • 1 + cot2 α = 1 α
cos2 sin2

2. Dấu của các giá trị lượng giác

sin � ⊕
1
π
2

Cung phần tư

(II) (I) Giá trị lượng giác I II III IV

π O 0 cos � sin α ++ − −
−1 (I I I ) 2π 1 cos α +− − +
tan α +− + −

(IV ) cot α +− + −

(Nhất cả – Nhì sin – Tam tan – Tứ cos)

3π
2

−1 �

3. Cung góc liên kết

Cung đối Cung bù nhau sctcaioonnCst ��uππ2nπ2π22g−−−−p��h��ụ�� ===n=hctcsaaooiunnst �
cos(−�) = cos � sin(π − �) = sin � �
sin(−�) = − sin � cos(π − �) = − cos � �
tan(−�) = − tan � tan(π − �) = − tan � �
cot(−�) = − cot � cot(π − �) = − cot �

Cung hơn kém π cctasooniCstn��u��nππ2π22π2g++++h��ơ��n��=k===é−−m−cotcsasπoi2nnt��
sin(π + �) = − sin �
cos(π + �) = − cos �
tan(π + �) = tan �
cot(π + �) = cot �

ï sin (�2π + �) = sin �� sin [(�2π + 1) + �] = − sin �
cos (�2π + �) = cos �� cos [(�2π + 1) + �] = − cos �
• (bỏ chẵn pi cộng, bỏ lẻ trừ).

• tan (�π + �) = tan �� cot (�π + �) = cot � (tan và cot bỏ pi chẵn, lẻ đều cộng).

Trang 64

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

� DẠNG 1. Cho một giá trị lượng giác của góc, tính các giá trị còn lại hay một biểu
thức lượng giác

Dựa vào các công thức cơ bản và dấu của các giá trị lượng giác.

• tan α = sin α • cot α = cos α • tan α · cot α = 1
cos α sin α

• sin2 α + cos2 α = 1 • 1 + tan2 α = 1 α • 1 + cot2 α = 1 α
cos2 sin2

Nhớ: "Nhất cả - nhì sin- tam tan - tứ cos để biết dấu của các giá trị lượng giác.

3 ��BÀI TẬP VẬN DỤNG��
5
Bài 1. Cho cos � = − và 180◦ <� < 270◦. Tính sin �� tan �� cot �.

ĐS: sin � = − 4 � tan � = 4 � cot � = 3
5 3 4
� Lời giải

180◦ 270◦  sin � < 0

• Vì <� < � tan � > 0
cot � > 0�

sin2 α + cos2 α 1 � sin2 � Å 3 ã2 16
− 5 25
• Ta có = = 1 − cos2 � = 1 − = .

� sin � = − 4 .
5
4 4 1 3
� tan � = 3 = 3 , cot � = tan � = 4 .

�

Bài 2. Cho sin � = − 1 và 90◦ <� < 180◦. Tính cos �� tan �� cot �. √
3 √
√
ĐS: cos � = − 2 3 3 � tan � =− 2 � cot � = −2 2
4
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 3. Cho sin α = 4 và 0 < α < π . Tính cos α� tan α� cot α.
5 2
3 4 3
ĐS: cos α = 5 � tan α = 3 � cot α = 4

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Trang 65

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

................................................. .................................................
................................................. .................................................

Åã �

Bài 4. Cho cos α = − 5 và α ∈ π ; 3π . Tính sin α� tan α� cot α.
13 2

ĐS: sin α = − 12 � tan α = 12 � cot α = 5
13 5 12
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�π � �
2 π.
Bài 5. Cho tan α = − 15 và α ∈ ; Tính sin α� cos α� cot α.
7
√15 � cos α − √ 7 � cot α 7
ĐS: sin α = 274 = 274 = − 15

� Lời giải 

• Vì π <α<π  sin α > 0
2 � cos α < 0
cot α < 0�

• Ta có cot α = 1 == − 7 .
tan α 15

• Ta lại có: 1 + tan2 α = 1
� cos2 α

��2α = 1 = Å1 15 ã2 = 49 .
1 + tan2 α − 7 274
1 +

� cos α = − √ 7 .
274

• Mà tan α = csoinsααÅ� sin αã= tan α · cos α
15 −√7 = √15 .
� sin α = − 7 · 274 274

�

Bài 6. Cho tan � = 13 và 0<�< π . Tính sin �� cos �� cot �.
3 2
√8 � sin � √13 � cot � 8
ĐS: cos � = 233 = 233 = 13

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Trang 66

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

�

Bài 7. Cho cot α = − 19 và π < α < π. Tính sin α� cos α� tan α.
7 2
√ 7 � cos α − √19 � tan α 7
ĐS: sin α = 410 = 410 = − 19

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 8. Cho cot α = −3 và 3π < α < 2π. Tính sin α� cos α� tan α. √ √
2

ĐS: sin α = − 10 � cos α = 3 10 � tan α = − 1
10 10 3
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 9. Cho sin α = − 1 và π <α< 3π . Tính cos α� tan α� cot α. √ √√
5 2

ĐS: cos α = − 21 � tan α = 2 21 � cot α = 21
5 21 2
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 10. Cho cos � = 4 và 0<� < π . Tính sin �� tan �� cot �. √ √
13 2

ĐS: sin � = 3 17 � tan � = 3 17 � cot � = 13
13 4 4
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Trang 67

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

�

Bài 11. Cho tan α = 15 và π <α< 3π . Tính sin α� cos α� cot α.
8 2
15 8 8
ĐS: sin α = − 17 � cos α = − 17 � cot α = 15

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ �
Bài 12. Cho cot 15◦ = 2 + 3. Tính sin 15◦� cos 15◦� tan 15◦.
� Lời giải �√
2− 3 � cos 15◦ > 0
ĐS: sin 15◦ = 2

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 13. Cho tan α = 2 và 180◦ < α < 360◦. Tính sin α� cos α� cot α. √√

� Lời giải ĐS: sin α = − 2 5 5 � cos α = − 5
5

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

√ √�
Bài 14. Cho tan � = −2 2 và 0 < � < π. Tính sin �� cos �� cot �. 2 3 2 � cos � 1
� Lời giải ĐS: sin � = = − 3

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Trang 68

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

Bài 15. Cho sin α = 1 và tan α + cot α < 0. Tính cos α� tan α� cot α. √
5 −256�
√
ĐS: cos α = cot α = −2 6

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 16. Cho cos � = 4 và tan � + cot � > 0. Tính sin �� tan �� cot �. √√
5

ĐS: sin � = 6 � tan � = 6
15 12
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 17. Cho tan � = 2. Tính giá trị biểu thức:

a A = sin2 � − 3 sin � cos �.
cos2 � + 3 sin2 �
Vì tan � = 2 nên cos � =� 0 và chia tử, mẫu của A cho cos2 � (bậc cao của A), ta được:

sin2 � − 3 sin � cos � tan2 � − 3 tan � 22 − 3 · 2
cos2 � cos2 � 1 + 3 tan2 � 1 + 3 · 22
A= sin2 = = = − 2 �
cos2 � cos2 � 13
cos2 � + 3 �

b B = sin � + 5 cos � .
sin3 � − 2 cos3 �
Vì tan � = 2 nên cos � =� 0 và chia tử, mẫu của B cho cos3 � (bậc cao của B), ta được:

sin � · 1 � + 5 cos � · 1 � Ä äÄ ä 35
cos � cos2 cos � cos2 tan � 1 + tÄan2 � + 5 ä1 + tan2 � 6
B= sin3 � = = �
cos3 � tan6 � − 2
− 2 cos3 �
cos3 �

Nhận xét: Đề cho tan �, cần tính biểu thức chứa sin �� cos �, ta cần chia cos � bậc cao.

ĐS: a) A = − 2 , b) B = 35
13 6

Bài 18. Cho cot α = 5. Tính giá trị biểu thức:

a A = sin α + 2 cos3 α.
cos α + 2 sin3 α
Vì cot α = 5 nên sin α =� 0 và chia tử, mẫu của A cho sin3 α (bậc cao của A), ta được:

sin α · 1 α + 2 cos3 α 1 + cÄot2 α + 2 coät3 α 23
sin α sin2 sin3 α cot α 1 + cot2 α + 2 11
A= = = �
cos α 1 sin3 α
sin α · sin2 α + 2 sin3 α

Trang 69

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

b B = 2 cos2 α + 5 sin α · cos α + 1.

Vì cot α = 5 nên sin α �= 0 và hai vế cho sin2 α (bậc cao của B), ta được:

B = 2 cos2 α + 5 sin α · cos α + 1
sin2 sin2 αä = sin2 α sin2
αÄ α 101
26
⇔ B 1 + cot2 α 2 cot2 α + 5 cot α + 1 + cot2 α ⇔ 26B = 101 ⇔ B = �

Nhận xét: Đề cho cot �, cần tính biểu thức chứa sin �� cos �, ta cần chia sin � bậc cao.

ĐS: a) A = 23 , b) B = 101
11 26

Bài 19. Cho tan � = 3. Tính giá trị biểu thức: A= 2 sin � + cos � � ĐS: A = − 7
cos � − 3 sin � 8
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 20. Cho tan α = 3. Tính giá trị biểu thức: A= 2 sin2 � − 5 sin � cos �+ cos2 � � ĐS: A = 4
3 sin2 � + sin � cos � −7 cos2 � 23

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 21. Cho tan α = 2. Tính giá trị biểu thức: P = 8 cos3 α − 2 sin3 α + cos α � ĐS: P = − 3
2 cos α − sin3 α 2

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 22. Cho cot α = −3. Tính giá trị biểu thức: P = 2 sin2 α + 2 sin α cos α − cos2 α �
2 sin2 α − 3 sin α cos α + 4 cos2 α
23
ĐS: P = − 47

� Lời giải

Trang 70

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 23. Cho tan α = 3. Tính giá trị biểu thức: P = 2 sin α + 3 cos α � ĐS: P = 9
4 sin α − 5 cos α 7
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 24. Cho cot α = 3. Tính giá trị biểu thức: P = 3 sin α − 2 cos α � ĐS: P = − 30
5 sin3 α − 4 cos3 α 113

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 25. Cho sin α = 3 và 0<α< π . Tính: P = cot α + tan α �
5 2 cot α − tan α
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 26. Cho sin α = 1 và 90◦ < α < 180◦. Tính: P = 8 tan2 α + 3 cot α − 1 �
3 tan α + cot α
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Trang 71

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

√√ �
= 5 + 3 tan α + 6 − 4 cot α�
Bài 27. Cho cos α = 3 và − π < α < 0. Tính: P
5 2
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

� �
= tan2 α − 2 tan α + 1 + |4 cot α + 1|�
Bài 28. Cho cos α = 3 và − π < α < 0. Tính: P
5 2
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 29. Cho sin � + cos � = �. Tính theo � giá trị của các biểu thức:

a A = sin � cos �. b B = | sin � − cos �|.

c C = sin4 � + cos4 �. d D = tan2 � + cot2 �.

e E = sin3 � + cos3 �. f F = sin6 � + cos6 �.

� Lời giải

a Tính A = sin � cos � theo � (luôn tính sin � cos � theo � nếu đề cho sin � ± cos � = �).
Ta có: (sin � + cos �)2 = sin2 � + cos2 � + 2 sin � cos � = 1 + 2 sin � cos �

� A = sin � cos � = (sin � + cos �)2 − 1 = �2 − 1.
2 2

b Tính B = | sin � − cos �| theo �.

Ta có: (sin � cos �)2 = sin2 � + cos2 � − 2 sin � cos � = 1 − 2 �2 − 1 = 2 − �2.
√ 2
� | sin � − cos �| = 2 − �2.

Nhận xét. Lập luận này cũn√g chứng tỏ rằng: nếu sin � + cos � = � thì 2 − �2 ≥ 0, tức là
ta luôn có | sin � + cos �| ≤ 2. Còn có thể suy ra bất đẳng thức này từ nhiều cách khác,

chẳng hạn: theo B�|u≤nh�iax�1c2op+k1i,2t�a· cÄó � + cos2 ä = √
|1 · sin � + 1 · cos sin2 � 2.

c Tính C = sin4 � + cos4 � the�oÄ�. ä2 �cos2 ��2 �
Ta có C = sin4 � + cos4 � = sin2 � �
+ + 2 sin2 � cos2 − 2 sin2 � cos2 �
Ç 1 å2
= Ä � + cos2 �ä2 − 2 (sin � cos �)2 = 1 − 2 �2 − = 1 + 2�2 − �4 .
sin2 2 2

Trang 72

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

d Tính D = tan2 � + cot2 � theÄo �. ä
Ta có D = tan2 � + cot2 � = tan2 � + cot2 � + 2 tÇan � cot � − 2 t�aån �2 cot �
= (tan � + cot �)2 − 2 = Å cos � ã2 − 2 −2 =
sin � sin � sin2 � + cos2 4
cos � + = sin � cos � (� − 1)2 − 2.

e Tính E = sin3 � + cos3 � theo �.
Ta có E = sin3 � + cos3 � = (sin � + cos �)3 − 3 sin � cos � (sin � + cos �)

= �3 − 3 (�2 − 1)� = 2�3 − 3�3 + 3� = −�3 + 3� .
2 2 2

f Tính F = sin6 � + cos6 � thÄeo �. ä3+�cos2 ��3 Ä ä3 Ä ä
Ta có F = sin6 �+cos6 � = sin2 � sin2 � −3 sin2 �
Ç 1 å2 = � + cos2 sin2 � cos2 � � + cos2

= 1 − 3 �2 − = 1 − 3 �4 − 2�2 + 1 = −3�4 + 6�2 + 1.
2 4 4

�

Bài 30. Cho sin � + cos � = 5 . Tính giá trị của các biểu thức:
4

a Tính A = sin � cos �.

.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................

b Tính B = | sin � − cos �|.

.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................

c Tính C = sin4 � + cos4 �.

.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................

d Tính D = tan2 � + cot2 �.

Trang 73

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................

e Tính C = sin3 � + cos3 �.

.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................

f Tính C = sin6 � + cos6 �.

.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................
.............................................. ..............................................

Bài 31. Cho sin � + cos � = 1 và π < � < π� Tính sin �� cos �� tan �� cot �. ĐS:
5 2
4 3 4 3
sin � = 5 ; cos � = − 5 ; tan � = − 3 ; cot � = − 4

� Lời giải Ää

• Ta có (sin � + cos �)2 = sin2 � + cos2 � + 2 sin � cos � = 1 + 2 sin � cos �

(sin � + cos �)2 − 1 1 − 1 12
2 25 25
� sin � cos � = = = − .
2
1 12
Do đó, ta có tổng S = sin � + cos � = 5 và tích P = sin � cos � = − 25

• Theo Viét thì sin �� cos � là hai nghiệm của phương trình bậc hai X2 − SX + P = 0�
1 12 4 3 3 4
tức X2 − 5 X − 25 = 0 � sin � = 5 � cos � = − 5 hoặc sin � = − 5 � cos � = 5 .

�π � ß sin � > 0 4 3
2 π cos � < 0 5 5
• Do � ∈ ; � nên chọn sin � = và cos � = − .

• Suy ra tan � = sin � = − 4 và cot � = 1 = − 3 .
cos � 3 tan � 4

√ √�
Bài 32. Cho sin � + cos � = 2. Tính sin �� cos �� tan �� cot � 2
ĐS: sin � = cos � = 2 và
tan � = cot � = 1
� Lời giải

Trang 74

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 33. Cho sin � + cos � = 1 và 3π <� < 2π. Tính sin �� cos �� tan �� cot � �
√ √2 2 √ √ ĐS:

cos � = 1 + 7 � sin � = 1 − 7 � tan � = −4 + 7� cot � = −4 + 7
4 4 3 3
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 34. Cho tan � + cot � = �. Tính giá trị của biểu thức:

a A = tan2 � + cot2 � b B = | tan � − cot �| c C = tan3 � + cot3 �
� Lời giải
√
ĐS: A = �2 − 2; B = �2 − 4; C = �3 − 3�

a A = tan2 � Ä+ cot2 � ä
Ta có A = tan2 � + cot2 � + 2 tan � cot � − 2 tan � cot � = (tan � + cot �)2 − 2 = �2 − 2.

b B = | tan � − cot �|
Ta có (ta√n � − cot �)2 = tan2 + cot2 � − 2 tan � cot � = �2 − 2 − 2 = �2 − 4. � B = | tan � −
cot �| = �2 − 4.

c C = tan3 � + cot3 � Ta có C = tan3 � + cot3 � = (tan � + cot �)3 − 3 tan � cot �(tan � + cot �) =
�3 − 3�

! Đối với bài toán cụ thể, ta có thể giải phương trình bậc hai theo tan �

Bài 35. Cho ta√n � − cot � = 3� √Tính I = tan2 � + cot2 �� J = tan � + cot �� K = tan4 � − cot4 �. �
A = 11� B = ± 13� C = ±33 13 ĐS:
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 36. Cho tan � − 6 cot � =5 và π <�< 3π . Tính giá trị của biểu thức A = sin � + cos �. �
√ 2 ĐS:

A = − 7 37
37
� Lời giải

Trang 75

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 37. Cho tan � − 3 cot � = 6 và π <�< 3π · Tính sin �� cos �� tan �. �
√ cos � = −� 1 √� 2 √ ĐS:

tan � = 3 + 2 3� sin � = − �3 + 2 3
√
22 + 12 3 22 + 12 3
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 38. Cho 3 sin4 � − cos4 � = 1 .
2
1
Tính A = 2 sin4 � − cos4 � ĐS: A = − 16

� Lời giải 1
2
Ta có: 3 sin4 � − cos4 � =
⇔ 6 sin4 � − 2 �Äcos2 ��2
⇔ 6 sin4 � − 2 Ä1 − sin2 �=ä21− 1 = 0ä

⇔ 6 sin4 � − 2 1 − 2 sin2 � + sin4 � − 1 = 0

⇔ 4 sin4 � + 4 sin2 � − 3 = 0
1 3
⇔ sin2 � = 2 (nhận) hoặc sin2 � = − 2 (loại ).

� cos2 � = 1 − sin2 � = 1 − 1 = 3
4 4
1 9
� sin4 � = 4 và cos4 � = 16

� A = 2 sin4 � − cos4 � = 2� 1 − 9 = − 1 . �
4 16 16

Bài 39. Cho 3 sin4 � + cos4 � = 3
4
7
Tính A = sin4 � + 3 cos4 �. ĐS: A = 4

� Lời giải

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

Trang 76

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

�

Bài 40. Cho 5 sin4 � + cos4 � = 8
3
40
Tính A = 9 sin4 � + 4 cos4 � ĐS: A = 9

� Lời giải

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

�

Bài 41. Cho 4 sin4 � + 3 cos4 � = 7
4
7 57
Tính A = 3 sin4 � + 4 cos4 � ĐS: A = 4 hoặc A = 28

� Lời giải

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

�

Bài 42. Cho 4 sin4 � + 3 cos4 � = 7
4
7 57
Tính A = 3 sin4 � + 4 cos4 � ĐS: A = 4 hoặc A = 28

� Lời giải

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

....................................................................................................

�

Trang 77

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

� DẠNG 2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức lượng giác
Phương pháp:

• Cách 1. Thông thường biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản bằng cách phép biến
đổi đại số và công thức lượng giác.

• Cách 2. Dùng biến đổi tương đương.

Lưu ý:

• Các hằng đẳng thức

�2 + �2 = (� + �)2 − 2�� 2 − �2 = (� − �)(� + �)
�3 + �3 = (� + �)3 − 3��(� + �) �4 − �4 = (�2 − �2)(�2 + �2)

• Các công thức lượng giác cơ bản

tan α = sin α sin2 α + cos α2 = 1
cot α = ccooss αα 1
sin α 1 + tan2 α = cos2 α

tan α · cot α = 1 1 + cot2 α = 1 α
sin2

Nhóm 1. Sử dụng sin2 � + cos2 � = 1 và đưa về hằng đẳng thức

��BÀI TẬP VẬN DỤNG�� ĐS:
Bài 1. Chứng minh rằng: cos2 � − sin2 � = 1 − 2 sin2 �
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 2. Chứng minh rằng: 2 cos2 � − 1 = 1 − 2 sin2 � �
� Lời giải ĐS:

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 3. Chứng minh rằng: 3 − 4 sin2 � = 4 cos2 � − 1 �
� Lời giải ĐS:

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 4. Chứng minh rằng: 4 cos2 � − 3 = (1 − 2 sin �)(1 + 2 sin �) �
� Lời giải ĐS:

Trang 78

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 5. Chứng minh rằng: cos4 � − sin4 � = 2 cos2 � − 1 = 1 − 2 sin2 � �
� Lời giải ĐS:

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 6. Chứng minh rằng: sin4 � − cos4 � = 1 − 2 cos2 � = 2 sin2 � − 1 �
� Lời giải ĐS:

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 7. Chứng minh rằng: sin4 � + cos4 � = 1 − 2 sin2 � cos2 � �
� Lời giải ĐS:

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 8. Chứng minh rằng: sin3 � cos � + sin � cos3 � = sin � cos � �
� Lời giải ĐS:

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 9. Chứng minh rằng: sin6 � + cos6 � = 1 − 3 sin2 � cos2 � �
� Lời giải ĐS:

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 10. Chứng minh rằng: sin6 � − cos6 � = � − 2 cos2 � Ä − sin2 � cos2 ä �
1 � 1 � ĐS:

� Lời giải

Trang 79

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 11. Chứng minh rằng: sin8 � + cos8 � = Ä − 2 sin2 � cos2 �ä2 − 2 sin4 � cos4 � �
1 ĐS:

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Ä äÄ ä �
Bài 12. Chứng minh rằng: sin8 � − cos8 � = 2 sin2 � − 1 1 − 2 sin2 � cos2 � ĐS:

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Bài 13. Chứng minh rằng: 1 + sin2 � = 1 + 2 tan2 � ĐS:
1 − sin2 �
� Lời giải
1 + sin2 � 1 + sin2 �
VT = 1 − sin2 � = cos2 � = 1 + tan2 � = 1 + tan2 � + tan2 � = 1 + 2 tan2 � = VP (đpcm)
cos2 �
�

Bài 14. Chứng minh rằng: 1 + cos2 � = 1 + 2 cot2 � ĐS:
1 − cos2 �
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 15. Chứng minh rằng: 1 − cos � = sin � �
sin � 1 + cos � ĐS:

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 16. Chứng minh rằng: 1 + sin � = cos � �
cos � 1 − sin � ĐS:

� Lời giải

Trang 80

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Nhóm 2. Sử dụng tan � = sin � � cot � = cos � quy đồng và thu gọn khi gặp tan� cot
cos � sin �

��BÀI TẬP VẬN DỤNG��
Bài 1. Chứng minh rằng: cot2 � − cos2 � = cot2 � · cos2 �
ĐS:
� Lời giải Ää
cos2 � · 1 − sin2 � �
V T = cot2 � − cos2 � = cos2 � − cos2 � = cos2 � − cos2 � sin2 � = sin2 � ĐS:
Ä ä sin2 � cos2 � (đpcm) sin2 �
cos2 �
= sin2 � · 1 − sin2 � = cot2 � ·

Bài 2. Chứng minh rằng: tan2 � − sin2 � = tan2 � · sin2 �
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 3. Chứng minh rằng: tan � + cot � = 1 �
sin � cos � ĐS:

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 4. Chứng minh rằng: 1 = tan2 � + cot2 � + 2 �
sin2 � cos2 � ĐS:

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 5. Chứng minh rằng: tan � + cos � = 1 �
1 + sin � cos � ĐS:

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Trang 81

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

Bài 6. Chứng minh rằng: cot � + 1 sin � � = 1 �
+ cos sin � ĐS:

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 7. Chứng minh rằng: tan � tan � = tan � + tan � �
cot � + cot � ĐS:

� Lời giải tan � + tan � 1 �
tan � + tan � tan � + tan � tan � + tan � 1
VP = cot � + cot � = = = tan � tan � = tan � tan � = V T ĐS:
1 1 tan � tan �
tan � + tan �

Bài 8. Chứng minh rằng: tan � · tan � = tan � − tan �
cot � − cot �
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 9. Chứng minh rằng: 1 + 1 =1 �
1 + tan � 1 + cot � ĐS:

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 10. Chứng minh rằng nếu sin � cos � = 0� 5 thì 3 + 3 = 18 . �
2 + tan � 2 + cot � 7 ĐS:

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 11. Chứng minh rằng: Ää 1 �
(1 − sin �) 1 + tan2 � = 1 + sin � ĐS:

� Lời giải Ä ä 1 1 − sin � 1 − sin � �
+ tan2 � cos2 1 − sin2 � (1 − sin �)(1 + sin �) ĐS:
V T = (1 − sin �) 1 = (1 − sin �) � = =

= 1 = VP (đpcm)
1 + sin �
Ää
Bài 12. Chứng minh rằng: (1 − cos �) 1 + cot2 � = 1
1 + cos �
� Lời giải

Trang 82

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Å ãÅ ã �
1 1 ĐS:
Bài 13. Chứng minh rằng: 1 − cos � 1 + cos � + tan2 � = 0

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Å ãÅ ã �
1 1 ĐS:
Bài 14. Chứng minh rằng: 1 − sin � 1 + sin � + cot2 � = 0

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 15. Chứng minh rằng: 1 + tan α + tan2 α + tan3 α = sin α + cos α �
cos3 α ĐS:
� Lời giải
sin α + cos α sin α cos α sin α 1 1 �
VP = Ä cos3 α ä= cos3 α + cos3 α = cos α · cos2 + cos2 ĐS:
α α
= tan α� 1 + tan2 α + 1 + tan2 α = 1 + tan α + tan2 α + tan3 α = V T

Bài 16. Chứng minh rằng: 1 + cot � + cot2 � + cot3 � = sin � + cos �
sin3 �
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 17. Chứng minh rằng: sin2 α − cos2 α = tan α − 1 �
1 + 2 sin α cos α tan α + 1 ĐS:

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 18. Chứng minh rằng: tan2 α − sin2 α = tan6 α �
cot2 α − cos2 α ĐS:

� Lời giải

Trang 83

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 19. Chứng minh rằng: cos2 α + sin2 α = 1 − sin α cos α �
1 − tan α 1 − cot α ĐS:

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 20. Chứng minh rằng: tan2 � − tan2 � = sin2 � − sin2 � �
tan2 � tan2 � sin2 � sin2 � ĐS:

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 21. Chứng minh rằng: 1 − tan2 � = 3 tan2 � +1 �
cos2 � cos2 � ĐS:

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

ñô �
1 − cos � (1 + cos �)2 ĐS:
Bài 22. Chứng minh rằng: sin � sin2 � − 1 = 2 cot �

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 23. Chứng minh rằng: sin α − cos α = 1 + cot2 α �
sin α + cos α cos α − sin α 1 − cot2 α ĐS:

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Trang 84

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

Bài 24. Chứng minh rằng: tan2 α · 1 + cot2 α = 1 + tan4 α �
1 + tan2 α cot2 α tan2 α + cot2 α ĐS:

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Ç… … 1 − sin α å2 �
1 + sin α 1 + sin α ĐS:
Bài 25. Chứng minh rằng: 1 − sin α − = 4 tan2 α
�
� Lời Çg…iải 1 + sin α … − sin α å2 1 + sin α 1 − sin α ĐS:
1 − sin α 1 + sin α 1 − sin α 1 + sin α
VT = − 1 = − 2 +

Ä ä
2 + 2 sin2 α − 2 1 − sin2 α
= (1 + sin α)2 − 2(1 − sin α)(1 + sin α) + (1 − sin α)2 = 1 − sin2 α
(1 − sin α)(1 + sin α)

= 4 sin2 � = 4 tan2 � = VP
cos2 �
Ç… … α å2
Bài 26. Chứng minh rằng: 1 + cos α − 1 − cos α = 4 cot2 α
1 − cos α 1 + cos

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 27. Chứng minh rằng: sin2 � tan2 � + 4 sin2 � − tan2 � + 3 cos2 � = 3 �
ĐS:
� Lời giải
V TÄ = sin2 � tan2 � + 4 sinä2 � −Ätan2 � + 3 cos2ä� �
= sin2 � tÄan2 � − tanä2 � + 3 sin2 � + cos2 � + sin2 � ĐS:
= tan2 � · sin2 � − 1 + 3 + sin2 �

= sin2 � · � cos2 � + 3 + sin2 �
cos2 � − �

= − sin2 � + 3 + sin2 � = 3 (đpcm)

Bài 28. Chứng minh rằng: (1 + tan �)(1 + cot �) sin � cos � = 1 + 2 sin � cos �
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 29. Chứng minh rằng: sin2 � tan � + cos2 � cot � + 2 sin � cos � = tan � + cot � �
� Lời giải ĐS:

Trang 85

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Bài 30. Chứng minh rằng: 1 + sin � + cos � + tan � = (1 + cos �)(1 + tan �) �
� Lời giải ĐS:

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Câu 31. Chứng minh rằng 1 − cot4 � = 2 − 1 � .
sin2 � sin4
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Câu 32. Chứng minh rằng 1 + cos � − 1 − cos � = 4 cot � .
1 − cos � 1 + cos � sin �
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Câu 33. Chứng minh (sử dụng tương đương) sin � + 1 + cos � = 2 � .
1 + cos � sin � sin
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Câu 34. Chứng minh (sử dụng tương đương) sin � + cos � − 1 = 1 cos � � .
sin � − cos � + 1 + sin
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Trang 86

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Câu 35. Chứng minh (sử dụng tương đương) sin2 � + 2 cos � − 1 = 1 cos � � .
2 + cos � − cos2 � + cos
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Câu 36. Chứng minh (sử dụng tương đương) sin � + cos � − 1 = sin � 2 cos � + 1 .
1 − cos � − cos �
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Câu 37. Chứng minh rằng ∀� ∈ N, ta có Å sin � + cot � ã� = sin� � + cot� � �
1 + sin � tan � 1 + sin� � tan� � �

� Lời giải Ö è�
VT = Å ã�
sin � + cot �
= sin � + cot � =
1 + sin � tan � 1 + sin � · 1 �
è� Å cot
Ö =
(sin � + cot �) cot � ã� = cot� � = VP�
sin � + cot �
cot � + sin � sin � + cot �

Câu 38. cot � rằng Å sin � + cot � ã2019 = sin2019 � + cot2019 �
Chứng minh 1 + sin � tan � 1 + sin2019 � tan2019 �

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Câu 39. Cho Cho sin4 � + cos4 � = � 1 � . Chứng minh rằng
� � +

a sin8 � + cos8 � = 1 (HK2 - THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tp.HCM)
�3 �3 (� + �)3

b sin10 � + cos10 � = (� 1 (HK2 - THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tp.HCM)
�4 �4 + �)4

� Lời giải

Trang 87

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Nhóm 3. Rút gọn biểu thức
Phương pháp: Dùng các biến đổi đại số, các hằng đẳng thức và các công thức lượng
giác để thu gọn biểu thức đã cho.

��BÀI TẬP VẬN DỤNG��
2 cos2 � − 1
Câu 1. Rút gọn biểu thức A= sin � + cos � + sin �. ĐS: A = cos �

� Lời giải Ää
2 cos2 � − sin2 � + cos2 �
A = 2 cos2 � − 1 + sin � = sin � + cos � + sin � = cos2 � − sin2 � + sin � �
sin � + cos � sin � + cos �

= (cos � − sin �)(cos � + sin �) + sin � = cos � − sin � + sin � = cos ��
sin � + cos �

Câu 2. Rút gọn biểu thức A = (tan � + cot �)2 − (tan � − cot �)2. ĐS: A = 4

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Ää �
Câu 3. Rút gọn biểu thức A = 1 − sin2 � cot2 � + 1 − cot2 �. ĐS: A = sin2 �
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Câu 4. Rút gọn biểu thức A = cos4 � + sin2 � cos2 � + sin2 �. �
� Lời giải ĐS: A = 1

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Câu 5. Rút gọn biểu thức A = tan � + cos � ĐS: A = 1
1 + sin � cos �
� Lời giải

Trang 88

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

» �
Câu 6. Rút gọn biểu thức A = (1 + tan �) cos2 � + (1 + cot �) sin2 �. ĐS: A = |sin � + cos �|
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

…… �

Câu 7. Rút gọn biểu thức A = 1 + sin � − 1 − sin � . ĐS: A = 2 sin �
1 − sin � 1 + sin � |cos �|

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Câu 8. Rút gọn biểu thức A= cos � tan � − cot � cos �. �
sin2 � ĐS: A = sin �

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

1 + sin � ñ Å 1 − sin � ã2ô �
cos � 1 cos � . ĐS: A = 2 tan �
Câu 9. Rút gọn biểu thức A= · −

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Câu 10. Rút gọn biểu thức A= cos2 � − sin2 � + cos4 �. �
cot2 � − tan2 � ĐS: A = cos2 �

� Lời giải

Trang 89

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Nhóm 4. Chứng minh một biểu thức độc lập với biến
Phương pháp: Để chứng minh một biểu thức độc lập với biến nào đó, ta rút gọn biểu
thức đó để được một kết quả là một hằng số. Học sinh có thể kiểm tra đáp án bằng casio.

��BÀI TẬP VẬN DỤNG��
cos2 � − sin2 �
Câu 1. Chứng minh biểu thức B= sin2 � sin2 � − cot2 � · cot2 � độc lập với biến.

� Lời giải c·−ocossi2tn2�s2�i�n==2· �c�c1osossi−sin2n22�2c��o��−s1ss2iin−s�ni22n�c��2o=s�si2n−−�2s�is�ncsi−noi2n2s�s22�is�n�si2ni·n�2c2s�oi�ns22=��−1�
cos2 � − sin2 �
B = sin2 � sin2 � − cot2 � �
=
= cos2 � − sin2 � − cos2 �

sin2 � sin2 �

cos2 � sin2 � − sin2 � =
sin2 � sin2 �

Câu 2. Chứng minh biểu thức B = cos4 � − sin4 � + 2 sin2 � độc lập với biến.
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Câu 3. Chứng minh biểu thức B = sin4 � + sin2 � cos2 � + cos2 � độc lập với biến.
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Câu 4. Chứng minh biểu thức B = cos4 � + sin2 � cos2 � + sin2 � độc lập với biến.
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Trang 90

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

�

Câu 5. Chứng minh biểu thức B = sin6 � + cos6 � − 2 sin4 � − cos4 � + sin2 � độc lập với biến.
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Câu 6. Chứng minh biểu thức B = cos2 � cot2 � + 5 cos2 � − cot2 � + 4 sin2 � độc lập với biến.
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Câu 7. Chứng minh biểu thức B = (1 + cot �) sin3 � + (1 + tan �) cos3 � − sin � − cos � độc lập với
biến.
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Ä äÄ ä �
Câu 8. Chứng minh biểu thức B = sin4 � + cos4 � − 1 tan2 � + cot2 � + 2 độc lập với biến.
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

��
Câu 9. Chứng minh biểu thức B = sin4 � + 4 cos2 � + cos4 � + 4 sin2 � độc lập với biến.
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Trang 91

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

… 1 1 � π� �
1 + cos � cos 0 4 với
Câu 10. Chứng minh biểu thức B = sin � · + 1 − � � < � < độc lập

biến.

� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Câu 11. Chứng minh biểu thức B= 2 + cot � + 1 độc lập với biến.
tan � − 1 cot � − 1
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Ä ä2 �
1 �
Câu 12. Chứng minh biểu thức B= − tan2 − 1 độc lập với biến.
4 sin2 � cos2 �
� Lời giải 4 tan2 �

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

Ä äÄ ä �
− 1 + tan2 � 1 + cot2 �
Câu 13. Chứng minh biểu thức B= 1 − tan2 � độc lập với biến.
tan �
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Câu 14. Chứng minh biểu thức B= 1 − sin6 � − 3 tan2 � độc lập với biến.
cos6 � cos2 �
� Lời giải

Trang 92

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Câu 15. Chứng minh biểu thức B= tan2 � − cos2 � + cot2 � − sin2 � độc lập với biến.
sin2 � cos2 �
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

Câu 16. Chứng minh biểu thức B= cot2 � − cos2 � + sin � cos � độc lập với biến.
cot2 � cot �
� Lời giải

................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................
................................................. .................................................

�

� DẠNG 3. Cung góc liên kết

Cung (góc) đối nhau Cung (góc) bù nhau Cung (góc) phụ nhau
cos(−α) = cos α sin(π − α) = sin α
sin(−α) = − sin α � π �
tan(−α) = − tan α cos(π − α) = − cos α 2 α
cot(−α) = − cot α tan(π − α) = − tan α sin − = cos α
cot(π − α) = − cot α
� π �
2 α
cos − = sin α

� π �
2 −α
tan = cot α

� π �
2 −α
cot = tan α

Trang 93

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

Cung (góc) hơn kém π Cung (góc) hơn kém π
2

� π �
2 +α
cos(π + α) = − cos α sin = cos α

� π �
2 α
sin(π + α) = − sin α cos + = − sin α

� π �
2 +α
tan(π + α) = tan α tan = − cot α

� π �
2 +α
cot(π + α) = cot α cot = − tan α

ñ
sin(�2π + �) = sin �� sin[(2� + 1)π + �] = − sin �

• (bỏ chẵn pi cộng, bỏ lẻ trừ).
cos(�2π + �) = cos �� cos[(2� + 1)π + �] = − cos �

• tan(�π + �) = tan �� cot(�π + �) = cot � (tan và cot bỏ pi chẵn, lẻ đều cộng).

��BÀI TẬP VẬN DỤNG��
Bài 1. Dùng cung liên kết (không dùng máy tính), tính

• sin 150◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • cos 150◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• tan 150◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • cot 150◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• sin 135◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • cos 135◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• tan 135◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • cot 135◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• sin 225◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • cos 225◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• tan 225◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • cot 225◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• sin 210◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • cos 210◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• tan 210◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • cot 210◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• sin 240◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • cos 240◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• tan 240◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • cot 240◦ = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• cos 11π = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • sin 13π = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• tan 10π = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • cot 7π =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Åã
11π 16π
• cos 3 =................................. • cos − 3 =............................

Åã Åã
31π 19π
• sin − 2 =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • cot − 4 =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bài 2. Diễn tả giá trị lượng giác của các góc sau bằng giá trị lượng giác của góc �.
Å ã
5π � � � π �� π �
2 2π 2 � 2 − � = cos �.
• sin − = sin + − = sin

• cot(� − π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• sin(π + �) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Trang 94

Chuyên đề Toán 10 HKII Nguyễn Quốc Dương

• tan(2π − �) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• cot(3π − �) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• sin(� − 7π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• tan(� − 5π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Åã
5π
• sin 2 + � ................................................................................

Åã
3π
• cos 2 + � ...............................................................................

Åã
3π
• cot � − 2 ...............................................................................

Åã
5π
• cos � − 2 ...............................................................................

Åã
11π
• tan 2 +� ..............................................................................

• sin2(π + �) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• cos9(π − �) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• cot11(� − 3π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• cos4(� + 3π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
• cot2(� − 5π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• cos6(� − π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

• cos5 �π �
Å2 −� ................................................................................

ã
3π
• cos8 � − 2 ..............................................................................

• sin2012 � − π� .............................................................................
Å � 2ã

• tan2 � − 9π ..............................................................................
2
Åã
7π
• cos2019 � + 2 ...........................................................................

Åã
5π
• sin2019 2 −� ............................................................................

Åã
11π
• cos2015 � − 2 ..........................................................................

cot2 � π �
� 2
• − ................................................................................

Bài 3. Rút gọn biểu thức
� �
A = cos � − π
• 2 + sin(� − π).

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................

Trang 95

Nguyễn Quốc Dương Chuyên đề Toán 10 HKII

� π � � π � � π � � π �
2 � 2 � 2 � 2 +� .
• B = cos − + sin − − cos + − sin

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................
Å ãÅ ã
7π 3π
• C = 2 cos � + 3 cos(π − �) − sin 2 −� + tan 2 − � .

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................
Å ã
� π � 3π � � π �
2 � 2 2 +� .
• D = 2 sin + + sin(5π − �) + sin + + cos

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................
Å ãÅ ã
7π 3π
• E = 2 cos � − 3 cos(π − �) + 5 sin 2 −� + cot 2 −� .

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................
Å ã
� π � 3π −� .
= sin(5π + �) + cos � − 2 2
• F + cot(3π − �) + tan

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................

Bài 4. Rút gọn biểu thức Å ã Å ã
sin � �.
3π � π � 11π
2 2 � 2
a G = cos(15π − �) + − − tan + cot −

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................

..............................................................................................
Å ã
� π � 3π �.
2 � + cot(2π 2
b H = sin(π + �) − cos − − �) + tan −

.............................................. ..............................................

.............................................. ..............................................

.............................................. ..............................................

.............................................. ..............................................

Å ãÅ ã
3π 3π
c I = cos(5π − �) − sin 2 +� + tan 2 − � + cot(3π − �).

Trang 96

Pages:

Click to View FlipBook Version