Chủ đề: Phương Trình Vô Tỉ

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

MỨC ĐỘ DỄ

Bài 1. Giải phương trình: 2x − 3 + √ 3x − 1 =0
3 − 2x2 + 2 − x
√
Hướng dẫn: Nhân liên hợp√đưa phương trình ban đầu thành 3 − 2x2 = 2x2 − 6x + 5. Đáp số: x = 1.
Bài 2. Giải phương tr√ình x + 1 3x2 + x + 1 = x3 + 3x2 + 3x
Hướng dẫn: Đặt t = x + 1 ≥ 0.
√
Ta có phương trình: t 3x2 + t2 = x3 + 3xt2 ⇔ (x − t)3 = 0 Đáp số: x = 1 + 5
2 .

Ngoài ra, ta cũng có thể giải bài tập tương tự √

√ 5−1
Giải phương trình: x + 1 3x2 − x + 1 = x3 − 3x2 + 3x. Đáp số: x = .
√2
Bài 3. Giải phương trình (1 − x) 5 − 4x2 = 2x

1
Hướng dẫn: Bình phương đưa về phương trình bậc 4 với hai nghiệm x = −1; x = .
√2
Bài 4. Giải phương tr√ình : x (x + 1) (x + 4) + 1 = x2 + 2x + 3 x2 + x + 1
Hướng dẫn: Đặt a = x2 +√x + 1;√b = x + 2 (a >√0)
√
Bài 5. Giải phương trình: x x + x + 12 = 12 5 − x + 4 − x

Hướng dẫn: Vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến trên [0; 4] . Đáp số:x = 4.

Bài 6. Giải phương trình: x + 4 − 2 Åx + 2ã…x − 1 = 0
x − 1x + 2

Hướng dẫn: Đặt …x − 1 đưa phương trình về 2t3 − 2t2 − 5t + 2 =0  t=2 √
t= (t2 − 1) t ⇔ −1 ± 3

x+2 t=
√2
Đáp số: x = −3; x = 2 3 − 2. √
Bài 7. Giải phương tr√ình: (3x − 5) 2x2 − 3 = 4x2 − 6x + 1
Hướng dẫn: Đặt t = 2x2 − 3 ≥ 0. Phương trình đã cho trở thành
√
√ 8 + 26
t3 − (3x − 5) t + 2x2 − 6x + 4 = 0 ⇒ ∆ = (x − 3)2 . Đáp số: x = 5 − 1; x = .
2
 √
Bài 8. Giải phương trình 1 + 2x 1 − x2 = 1 − 2x2
2√
Hướng dẫn: Phương trình đã cho viết lại thành 1 + 2x 1 − x2 = 2 1 − 4x2 + 4x4 .
√ √ √
√ t = −1 ® 2 6 − 2 ´
Đặt t = 2x 1 − x2 đưa phương trình về 2t2 + t − 1 = 0 ⇔ 1 −
Đáp số:x ∈ ; .
t= 2 4
√2
Bài 9. Giải phương trình 8x2 − 8x + 3 = 8x 2x2 − 3x + 1

Hướng dẫn: Bình phương hai vế phương trình lên ta được ® √ − 1 3 − √ ´
64x4 − 64x3 − 48x2 + 48x − 9 = 0 ⇔ 8x2 + 4x − 3 8x2 − 12x + 3 7 ; 3
= 0 Đáp số: x ∈ .
44

Bài 10. Giải phương trình (3x + 1) √ − 1 = 5x2 + 3x − 3
2x2
√2
Hướng dẫn: Đặt t = 2x2 − 1 ≥ 0 phương trình đã cho tương đương với

2t2 − (3x + 1) t + x2 + 3 − 1 = 0 .
x
2√
Bài 11. Giải phương trình: x4 + 4x3 + 5x2 + 2x − 10 = 12 x2 + 2x + 5

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đươ√ng với + 5 √ √
x2 + 2x + 5 2 − 9 x2 + 2x + 5 + 10 = 12 x2 + 2x 2+4 2

⇔ t4 − 9t2 + 10 = 12t ⇔ t2 − 4t +√2 t2 + 4t + 5 = 0 (t = x2 + 2x + 5 ≥ 0) Đáp số: x = −1 ±
Bài 12. Giải phương trình: (x + 2) x2 − 2x + 5 = x2 + 5

Hướng dẫn: Bình phương hai vế, đưa phương trình đã cho về

x=1 ß 5 ™
5 1;
2x3 − 9x2 + 12x − 5 = 0 ⇔ . Đáp số:x ∈ .
x= 2
2√
Bài 13. Giải phương trình 4x2 + 14x + 11 = 4 6x + 10
√ √
Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn, đưa phương trình về: 6x + 10 − 2x − 3 6x + 10 + 2x + 7 = 0

Bài 14. Giải phương trình 2x − 3 + √ 3x − 1 =0
3 − 2x2 + 2 − x

Hướng dẫn: PhưÄơ√ng trình đã cho tương đương với √ − 2x2 + x − 2 ß 2x2 − 6x + 5 ≥ 0
2x−3+ (3x − 1) 3 − 2x2 − 2+ 3 1− x =0⇔ 4x4 − 24x3 + 58x2 − 60x + 22 = 0
ä
−3x2 + 4x − 1 x

= 0 ⇔ 2x−3+

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 201

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

ß 2x2 − 6x + 5 ≥ 0 =0 ⇔ x = 1. Đáp số: x = 1.
⇔ (x − 1)2 4x2 − 16x + 22

Bài 15. Giải phương trình √ 17x + 1 = 2x − 3
3 − 2x2 + 2 − x

Hướng dẫn: √

Phương t√rình đã cho tương đương với 2x2 + 10x + 7 = (2x − 3) 3 − 2x2
Đặt u = 3 − 2x2 ⇒ 2x2 = 3 − u2 ta được phương trình 3 − u2 + 10x + 7 = (2x − 3) u

⇔ u2 + (2x − 3) u − 10x − 10 = 0 ⇒ ∆ = (2x − 7)2 Đ√áp số: Phương trình vô nghiệm.
Bài 16. Giải phương trình 8x2 + 3x + 4x2 + x − 2 x + 4 = 4

H√ướng dẫn: Phương trình đ√ã cho tương đương với 0 ⇒ ∆√x+4 = 4x2 + x − 6 2 .
x+ 4 2 + 4x2√+ x−2 x + 4√+ 8x2 + 2x − 8 =

Đáp số: x = 1 − 65 ;x= −3 + 57 .

88 √
Bài 17. Giải phương t√rình: 6x3 + 15x2 + x + 1 = 3x2 + 9x + 1 x2 − x + 1
Hướng dẫn: Đặt u = x2 − x + 1 khi đó phương trình trở thành

u2 − 3x2 + 9x + 1 u + 6x3 + 14x2 + 2x = 0 ® 1 + √ 3 + √ ´
− 13 5
⇒ ∆u = 3x2 + 9x + 1 2 − 4 6x3 + 14x2 + 2x = 3x2 + 5x + 1 2 Đáp số: x ∈ ; 0; − .
√
62

Bài 18. Giải phương trình 7x2 − 10x + 14 = 5 x4 + 4

Hướng dẫn: Phương trình đã cho viết lại thành Å + 2ã − 10 = … + 4 .
7x 5 x2 x2
x
√ √
2 √ ®5 − 7 5 + 7 ´
2 2. ;
Đặt t = x + ≥ Đáp số: x ∈ .
x √3 3
Bài 19. Giải phương √trình x2 − (x + 2) x − 1 = x − 2
Hướng dẫn: Đặt t = x − 1 đưa phương trình về

t4 − t3 + t2 − 3t + 2 = 0 ⇔ t2 + t + 2 (t − 1)2 = 0 Đáp số: x = 2.
√
Bài 20. Giải phương trình 2 2x − 1 + x + 1 2 − 9x2 + 15 = 22x

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

√ ® 2x2 + 3x − 3 ≥ 0
2x2 + 3x − 3 = (x + 1) 2x − 1 ⇒ 2x2 + 3x − 3 2 = (x + 1)2 (2x − 1)

ß 2x2 + 3x − 3 ≥ 0 √= 0 ⇔ x = 1. Đáp số: x = 1.
⇔ (x − 1) 2x3 + 7x2 + 4x − 5

Bài 21. Giải phương trình :(x + 3) −x2 + 8x + 48 = x − 24

Hướng dẫn: Đưa phương trình về
√
(x + 3) −x2 − 8x + 48 = − 1 −x2 − 8x + 48 − 3x − 1 x2.

2 √2
Bài 22. Giải phương trình: x3 − 4x2 − 5x + 6 = 3 7x2 +√9x − 4
H√ướng dẫn: Viết phương trình thành x3 −4x2 −5x+6 = 3 7x2 + 9x − 4 ⇔ (x + 1)3 +(x + 1) = 7x2 + 9x − 4 +

3 7x2 + 9x − 4.
Bài 23. Giải phương trình √ 17x + 1
3 − 2x2 + 2 − x = 2x − 3

Hướng dẫn: Viết phương trình lại thành √

3 − u2 + 10x + 7 = (2x − 3) u ⇔ u2 + (2x − 3) u − 10x − 10, với u = 3 − 2x2.

Đáp số: Phương trình vô nghiệm. √
Bài 24. Giải phương trình 2x3 − 15 = 5 − 2x

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với
√ = √−2x + 4
2 x3 − 8 = 5 − 2x − 1 ⇔ 2 (x − 2) x2 − 2x + 4 5 − 2x + 1

Å 1 ã
⇔ 2 (x − 2) x2 − 2x + 4 + √ = 0 ⇔ x = 2.
5 − 2x + 1

… 2x + 1 x + 2
Bài 25. Giải phương trình 2 =
x+1 x+1

Hướng dẫn: Đặt t = … 2x + 1 đưa phương trình về t2 + 2t − 3 = 0 Đáp số: x = 0.
x+1
√
Bài 26. Giải phương trình x2 −1 = 2x x2 − 2x
Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với Ä√x2 − 2x − ä2 = (x − 1)2 . Đáp số:x = 1 ± √
√ x 2.

Bài 27. Giải phương trình 3 3x − x2 − 1 x2 − 2x = x3 − 4x2 + 4x − 1

Hướng dẫn: Ta có x3 − 4x2 + 4x − 1 = (x − 1)3 − x (x − 1) = (x − 1) x2 − 3x + 1

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 202

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

® 4 − √ √ 3 + √ ´
32 3− 5 5
Đáp số: x ∈ ;; .
4 2 2√
Bài 28. Giải phương trình 15x2 + 2 (x + 1) x + 2 = 2 − 5x√
Hướng d√ẫn: Biến đổi phương trình thành x + 2 − 2 (x + 1) x + 2 − 6x − 15x2 = 0.
Đặt t = x + 2. Khi đó ta được phương trình bậc hai

t2 − 2 (x + 1) t − 15x2√− 6x = 0 ⇒√∆t = (4x + 1)2
® 19 161 1 73 ´
Đáp số: x ∈ − + ; − .
50 50 18 18
√
Bài 29. Giải phương trình 5x2 + 28x + 24 = 3x2 + 4x + 8 2x + 1

Hướng dẫn: Bình phương hai vế và thu gọn phương trình thành
(x − 4) 9x2 + 16x + 8 x2 + 4x + 8√ = 0 Đáp số: x = 4.
Bài 30. Giải phương trình (2x + 3) 4x + 1√= 8x + 5. √
Hướng dẫn: Đưa phương trình đã cho về√ 4x + 1 − 3 4x + 1 − 4x − 3 = 0. Đáp số: x = 2.
Bài 31. Giải phương trình x2 + 2x 1 − 1 − x2 = 3

Hướng dẫ√n: Phương trình đã cho tương đương với √
−1 − x2ä = x4 − 6x2 + 9 ⇔ x4 − 10x2 + 9 4x2 1
4x2 Ä + − x2 = 0
1

⇔ 1 − x2 9 − x2 √ ⇔ 1 − x2 =0 ï x=1 Đáp số: x = 1.
+ 4x2 1 − x2 ⇔ x = −1

√
Bài 32. Giải phương trình x3 − 3 6 + 3 6 + x = 6
√
Hướng dẫn: Phương trình đã cho viết lại thành x= » 3 6+ 36+x
3 6+

√√  x3 = y + 6


Đặt y = 3 6 + 3 6 + x, z = 3 6 + x ta có hệ phương trình y3 = z + 6 Đáp số: x = 2.

 z3 = x + 6

Bài 33. Giải phương trình 1 + 1 + √1 = 2
x3 x2 1+x x

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với 1+x + √x = 2
√ x2 1+x

Bài 34 Giải phương trình 2x2 − 3x − (2x + 1) x2 − 4x + 3 − 3 = 0

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với
√
x2 − 4x +3= x (2x + 1) − 2 (2x + 1) −1 − 4x + 3 = x + 1 ⇔ x = −1. Đáp số: x = −1.
√ 4x + 3 2x − 1 ⇔ √

⇔ x2 − − (x − 2) = −1 x2
2x + 1
√
Bài 35. Giải phương trình x2 + 5x + 2 = 4 x3 + 3x2 + x − 1
√
Hướng dẫn: Đặt a = x2 + 2x − 1; b = x + 1 (a, b ≥√0) . Ta có a + 3b = 4 ab.
Bài 36. Giải phương trình x3 + 2x√− 3 − (2x − 1) x2 − x + 3 = 0
Hướng dẫn: Đặt a = 2x − 1; b = x2 − x + 3 suy ra (b − 2) (ab + 3 (b + 2)) = 0.

MỨC ĐỘ TRUNG BÌNH

√
Bài 37. Giải phương trình 2x2 + 5x − 1 = 7 x3 − 1

Hướng dẫn: Phương trình đã cho viết lại thành

2 x2 + x + 1 + 3 (x − 1) = √ +x √ 1 ⇔ x−1 = … x−1
√ 7 x2 +1 x− 2 + 3 x2 + x + 1 7 x2 + x + 1
√
Đáp số: x = 4 + 6; x = 4 − 6.
√
Bài 38. Giải phương trình 4x2 + 13x + 5 + 1 − 3x = 0

√ ß 4x2 + 13x + 2y + 8 = 0
1 − 3x 4y2 +√ 12y + 3x + 8 =√0
Hướng dẫn: Đặt = 2y + 3 ⇒ . Trừ vế theo vế của phương trình được

(x − y) [4 (x + y) + 10] = 0. Đáp số: x = −11 ± 73 −15 ± 97
;x=
√8 8
Bài 39. Giải phương trình 7x2 − 10x + 14 = 5 x4 + 4

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

x2 + 2x + 2√ − 5 (x2 − 2x + 2) (x2 + 2x + 2) + 6 x2 − 2x + 2 = 0.
®
a = √ x2 + 2x + 2
Đặt b = x2 − 2x + 2 ⇒ (a − 2b) (a − 3b) = 0.

√
Bài 40. Giải phương trình x5 − x2 − 8x − 16 = x3 + 11x2 + 44x + 64 3 x + 4

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với + ó √ + 4
(x + 4 − 4)5 − (x + 4)2 = + 4)3 − (x + 4)2 + 4 (x 4) 3x
î
(x

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 203

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

√ t3 − 4 5 = t10 − t7 + t6 + 4t4 Đáp số: x = 4.
Đặt t = 3 x + 4 ta được phương trình

Bài 41. Giải phương trình x2 + 2x x2 + 2x + 2 » + 1)4 + 2 + 1 =3
(x

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

⇔ î + 1)4 − ó » + 1)4 + 2 + 1 =3
(x 1 (x

Đặt t = » + 1)4 + 2 ⇒ (x + 1)4 = t2 − 2, t > 0.
(x

Phương trình trở t√hành t2 − 3 (√t + 1) = 3 ⇔ (t − 2) t2 + 3t + 3 = 0 → t = 2.
Đáp số: x = −1 + 4 3; x =Ä−√1 − 4 3. ä
Bài 42. Giải phương trình 7 − x2 − 2 x2 − 1 + x2 + (x − 1)2 = 2

ß x2 + y2 + 4y = 3
x2y + 2x2 = 2x + y + 1
Hướng dẫn: Phương trình đã cho trở thành

Bài 43. Giải phương trình 24x4 + 12x2 − 3 = … 2x2 + 11
2
3 12
3 ã2
Hướng dẫn: Phương trình đã cho trở thành … + 33 = Å − 27
6x 6x + .
4 24

 … 33 3
6y + = 6x 2
…  4 + 3
6y + + 2
33 3  … 33 x2
44. Giải = 6x  6x + = 6y +

Đặt 4 + ta có hệ 1 = − √34√x4 +
Bài phương 2





trình x2 − 3x + 3 1

Hướng dẫn: Phương trình viết thàn√h:
2 x2 − x + 1 − x2 + x + 1 = − 3 (x2 − x + 1) (x2 + x + 1). Đáp số: x = 1.

3
Bài 45. Giải phương trình 18x2 − 13x + 2 = 3 (81x4 − 108x3 + 56x2 − 12x + 1)

Hướng dẫn: Đặt (3x − 1)2 = a ⇒ 2a − x = 3 (a√2 + 2x2) ⇒ (a + x) (a − 5x) = 0
Bài 46. Giải phương trình 8x4 + 33x2 − 9 + 13x3 3 + x2 = 0

Hướng dẫn: Nhận thấy x = 0 không phải nghiệm của phương trình. Chia hai vế phương trình cho x4. √
Khi đó ta được 8 + 33 − 9 …3 √Å 1 ã Đáp số: x = ± 5
+ 13 + 1 ⇔ 8 + 33t2 − 9t4 + 13 3t2 + 1 = 0 t =
x2 x4 x2 x5
√
Bài 47. Giải phương trình 8x2 − 13x + 7 = Å + 1ã 3 3x2 − 2
1
x

Hướng dẫn: Phương trình đã cho viết lại thành
(2x − 1)3 − x2 − x − 1 = (x + 1) 3 (2x − 1) (x + 1) + (x2 − x − 1)

√ß a3 − x2 − x − 1 = (x + 1) b Đáp số: x = 1; x = − 1
Đặt a = 2x − 1; b = 3 3x2 − 2 ta có hệ phương trình b3 − x2 − x − 1 = (x + 1) a .
8

Bài 48. Giải phương trình √ x+2 +9 = 1 − 1
x + 3x4 − 11x2 x2 − 1 x2 − 3

H(xư+ớn2g)dÄẫxn−: P√h3ưxơ4n−g trình đã cho tương đương với 1
11x2 x2 − 3 − x2 −
ä
+9

⇔ x2 − (Ä3√x4 − 11x2 + 9) 9 − = (x2 − 3) (x2 − 1) − 48x3 − 27x2 + 60x = 0
(x + 2) 3x4 − 11x2 + = −6 ⇔ 3x6 + 12x5
ä
x

⇔ x (x − 1) x2 + x − 4 3x2 + 12x √+x15−3=x20 + 5x − 3
Bài 49. Giải phương trình x3 −1=

Hướng dẫn: Bình phương ai vế phương trình ta được √
x3 − 1 2 = x 3x2 − 5x + 3 Å −5
2 ⇔ x3 + 1 −2 = 3 − ã2 Đáp số: x = 3
x3 3x + x 5 .
2

Bài 50. Giải phương trình 2 − x2 …x + 1 = x2. Hướng dẫn: Đặt y …x + 1 suy ra 2 − x2 y − x2 +
=
2 √2
2y 2y2 − x − 1 = 0 ⇔ − (x + 2y) xy + x − 2y2 = 0. Đáp số: x = 1; x = 1 − 3.
√
Bài 51. Giải phương trình 13 x2 + 9x − 10 = 2 (3x + 1) 2x2 − 3
√2
Hướng dẫn: Đặt y = 2x2 − 3

Phương trinh đã cho trở thành 13 x2 + 9x − 10 − 2 (3x + 1) y + 2 y2 − 2x2 + 3 = 0
2

⇔ 1 (x − 2y + 4) (5x − 2y − 2) = 0
2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 204

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

Bài 52. Giải phương trình   √ 1 1
2− =
2−x x

Hướng dẫn: Phương trình đã cho biến đổi thành √
√ √ 2−x=t
2− √1 = 1 ⇒ 2x2 2 − x − x2 = 2 − x. Đặt (t ≥ 0) ⇒ x = 2 − t2. ta được 2t5 − t4 − 8t3 +
2−x x2

4t2 + 7t − 4 = 0 ⇔ (t − √1) t2 + t − 1 2t2 − t − 4 = 0.
1+ 5
Đáp số: x = 1; x = .
2√
Bài 53. Giải phương trình 4x2 + 14x + 11 = 4 6x + 10

H√ướng dẫn: Đặt ẩn ph√ụ không hoàn toàn, đưa phương trình về:
6x + 10 − 2x − 3 6x +√10 + 2x + 7 = 0
Bài 54. Giải phương √trình 51 x − 2 = 3x2 − 58x + 110
Hướng dẫn: Đặt t = x − 2 ≥ 0. Đưa phương trình đã cho trở thành

27t2 + 51t − 3x2 + 31x − 56 = 0 ⇒ ∆t = (6x − 31)2 .
» √ √

Bài 55. Giải phương trình: 5 + 4 9 − x = 13 (26 − x)

Hướng dẫn: Bình phương và trục căn thức đưa về phương trình cơ bản.
Bài 56. Giải phương trình 15x2 + 6 3 (x2 + 2) = 25x3 + 36x + 2

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

3 (x2 + 2) − x − 2 = 25x3 + 36x + 2 − x − 2
15x2 + 6
(x − 1)2 = 0
⇔ 2 (x − 1)2 = 10 (x − 1)3  2 = 10 (x − 1)
3 (x2 + 2) + x + 2 15x2 + 6 ⇔ 15x2 + 6
3 (x2 + 2)

⇔ 2x2 − x + 16 − (x − 1) Ä 3 (x2 + 2) − x ä2 = 3
3 (x2 + 2) = 0 ⇔ +1
5 √5
Bài 57. Giải phương trình x x2 − 3x + 3 − x3 − 1 = 0

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với √
x3 − 3x2 + 3x − 1 = √ 5
√ √ Ç1 + å2
x3 ⇔ (x − x3 x.
1)3 = ⇔ x − 1 = Đáp số: x = 2 .

  Å1 1 1 1ã
2 x7 x5 x3 x
Bài 58. Giải phương trình x7 + x5 + x3 +x = 2 3 + + +

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

x4 + 1 x2 + 1 =   (x4 + 1) Å x2 + 1 ã ⇔ x11 + x9 + x7 + x5 − 4 = 0. Đáp số: x = 1.
23 2 x10 √

Bài 59. Giải phương trình x2 + (2x + 3) 3x2 + 6x + 2 = 6x + 5

Hướng d√ẫn: + 6x√+ 2 ≥ 0 ⇒ u2 − 2 (2x + 3) u − 5x2 + 6x + 8 = 0 ⇒ ∆u = (3x + 1)2 .
Đặt t = 3x2

Đáp số: x = −5 ± 29 .

2
Bài 60. Giải phương trình 2 (x4 + 4) = 3x2 − 10x + 6

Hướng dẫn: Phương trình đã cho được viết lại thành

4 x2 − 2x + 2 − x2 + 2x + 2 = 2 (x2 − 2x + 2) (x2 + 2x + 2)

Å x2 − 2x + 2 ã   Å x2 − 2x + 2 ã
x2 + 2x + 2 2 x2 + 2x + 2
⇒ 4 − −1=0
4x2 − 6x + 1
Bài 61. Giải phương trình = − √ √ + 4x2 + 1
3 16x4

3

Hướng dẫn: Phương trình đã cho được viết lại thành

4x2 − 2x + 1 √   4x2 − 2x + 1
6 − 3 4x2 + 2x + 1 = − 3 4x2 + 2x + 1 √
Bài 62. Giải phương trình x2 − 7x + 1 = 4 x4 + x2 + 1

Hướng dẫn: Đặt y = x2 + 1.

Ta có phương t−rì1n3h±y√−679x´= 4 y2 − x2 ⇔ 15y2 + 14xy − 65x2 = 0
® .
10 √
Đáp số: x ∈

Bài 63. Giải phương t√rình (x + 1) x2 − x + 2 = x2 + x + 1 x2 − 2x + 3
Hướng dẫn: Đặt y = x2 − 2x + 3 phương trình đã cho trở thành

(x + 1) x2 − x + 2 − x2 + x + 1 y + x y2 − x2 + 2x − 3 = 0

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 205

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

⇔ − (y − 2) x2 − xy − x + 1 = 0. Đáp số:x = 1 x = 1 ± √
; 2.
2
 Ì
(5 − x) 4 √ − 13 (5 + x) (27 − x) = 0 Đáp số: x = 25.

2+ 9− x

MỨC ĐỘ KHÓ

Bài 64. Giải phương trình −512x3 + 960x − 536x + 165 = … − 600 + 960 − 512
125 x x2 x3 .

Hướng dẫn: Phương trình đã cho viết lại thành f Å + 5ã = f Ç… 5 − 2å với f (t) = t3 + 4t; f (t) > 0.
−4x
2 2x

Đáp số: x= 1Ä5 √ 5 √ä
−2 − 3 + −2 + 3 .
2
1 10 3 √2
Bài 65. Giải phương trình x3 + x2 + x + −10x − 1

Hướng dẫn:

Phương trình đã cho tương đương với 1 + 10x +3+ √ 2x = 0
x2 −10x − 1

Đặt t = √x ⇒ 10x + 1 = − 1 .
−10x − 1 x2 t2
√
Từ đó, ta có 1 + 3 + 2t = 0 ⇔ 2t3 + 3t2 −1 = 0 . Đáp số: x= −5 ± 2 6.
− t2 √
Bài 66. Giải phương trình x3 + 22x2 − 11x − 6x2 + 12x − 6 2x − 1 = 0

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tư√ơng đương với
x3 + 22x2 − 11x = 6x2 + 12x − 6 2x − 1

(x − 1)2 x2 − 18x + 9  x=1  x=1 √
x2 − 8x + 4 = 0 ⇔  x2 − 18x + 9 = 0 ⇔  x = 9 ± 6√2

x2 − 8x + 4 = 0 x=4±2 3

 x=1 √
Đáp số:  x = 9 ± 6√2
x=4±2 3
√
Bài 67. Giải phương trình 4x3 + 45x = 24x2 + −x2 + 4x − 3 + 26

Hướng dẫn: Viết phương trình lại thành (2x − 4)3 − 3 (2x − 4) = 2 (3 − x) (x − 1)
√√ √√
Sau đó để ý t3 − 3t + 2 = 3−x+ x−1 2; t3 − 3t − 2 = − 3−x− x−1 2.

Từ đó nhân hai vế lại, đưa phương trình t3 − 3t 2 − 4 = −t2

Bài 68. Giải phương trình x3 − 3x2 − 8x + 40 = 8 4 4 (x + 1)

Hướng dẫn: Xét hai hàm số f (x) = x3 − 3x2 − 8x + 40; g(x) = 4 4 (x + 1) trên [−1; +∞) . Ta chứng minh

f (x) ≥ x + 3 ≥ g(x). Đáp số: x = 3.

3 LỚP BÀI TOÁN CHỨA HAI CĂN THỨC

MỨC ĐỘ DỄ

√√ x2
Bài 69. Giải phương trình 1 − x + 1 + x = 2 −
√√ 4

Hướng dẫn: Đặt a = 1 − x; b =√ 1 + x đưa về h√ệ. Đáp số: x = 0.
Bài 70. Giải phương trình 3 2 + x − 2 = 2x + x + 6
√
11 − 3 5
Hướng dẫn: Liên hợp với nghiệm nguyên x = 3. Đáp số: x = 3; x =
√ 2
2 √ √ 1)2
Bài 71. Giải phương trình x − + x + 2 + 1 − x = (x +

Hướng dẫn: Liên hợp với ng√hiệm x = 0 và xét hàm số tìm nghiệm còn lại x = −1. Đáp số: x = 0 ;x = −1.
Bài 72. Giải phương trình √ x + 1 − 2 = 1
3 2x + 1 − 3 x + 2
√
√ √ 1± 5
Hướng dẫn: Xét hàm số f (t) = t3 + t đưa về f x+1 =f 3 2x + 1 . Đáp số: x = 0; x = .
√√ 2
Bài 73. Giải phương trình 5x − 1 + 3 9 − x = 2x2 + 3x − 1.

Hướng dẫn: Liên hợp với nghiệm nguyên x = 1. Đáp số: x = 1.

√ Å2 ã … 2
2x 1 x
Bài 74. Giải phương trình (2x − 5) + 3 = x + − 1.
33

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 206

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

Hướng dẫn: Phương trình đã cho trở thành

2x − 5 = 1   Å2 ã 1
x 1
(2x + 3) − ⇔ (2x − 5)2 = 4x2 − 9 . Đáp số: x = 3.
33 √27

Bài 75. Giải phương 1 x2 5 Ç 1 − x2 + √ x å
trình + + +2=0
√ x2 1 − x2 2 x 1 − x2
√
Hướng dẫn: Đặt a = 1 − x2 + √ x 2
quy về phương trình bậc hai theo ẩn a. Đáp số: x = − 2 .
x √1 − x2 √
Bài 76. Giải phương trình 2 x + 2x − 1 + 2 x2 + 3x + 1 = 2 (x − 3)

Hướng dẫn: Nhân lượng liên hợp, n√ghiệm x = −2 . Ä√
Ä ä
ä
Bài 77. Giải phương trình 3x 2 + 9x2 + 3 + (4x + 2) 1 + x2 + x + 1 = 0

Hướng dẫn: Xét hàm số f (t) = t Ä + √ + ä . Đáp số: x = −1.
2 t2 3 5

Bài 78. Giải phương trình 2 − …x + 2 = √ + 7
x
x−3

Hướng dẫn: Đặt t = …x + 2≥ 0. Suy ra x = 2 + 3t2 Thay vào phương trình đã cho ta được t4 − 4t3 − 7t2 +
x − 3√ t2 − 1 .

4t + 1 = 0 Đáp số: x = 1−5 5

2 2x2 − 9x + 17
√
Bài 79. Giải phương trình 3 − x = √ 2x2 − 6x + 16 + 3x − 1

√
Hướng dẫn: Nhân√lượng liên hợp, đưa phương trình đã cho thành x2 − 3x + 8 + 2 (x − 3) 3x − 1 = 0
9 − 41
Đáp số: x = .
2 √√ √
Bài 80. Giải phương trình x − 1 + x + 1 + 2 − x = x2 + 2

Hướng dẫn:

ï 1 −√ 1 ò
Phương trình đã cho viết lại thành (x − 1) x + √ √ = 0. Phươn trình trong ngoặc, ta
2−x+1 x+1+ 2

lại biến đổi về một vế là hàm đồng biến, một vế là hàm nghịch biến. Đáp số: x = 0; x = 1.
√
Bài 81. Giải phương trình » − 2)2 + (x + 1) 3 3x − 2 + 3x − 6 = 0
3 (3x

Hướng dẫn: Đặt t = √ − 2 ⇔ x = t3 + 2 phương trình đã cho tương đương với
3 3x ,
3
Å t3
+ 2 ã ï t = 1
1t t = −3
t2 + 3 + + t3 − 4 = 0 ⇔ t4 + 3t3 + 3t2 + 5t − 12 = 0 ⇔ t2 + 2t − 3 t2 + t + 4 = 0 ⇔

25
Đáp số: x = 1; x = − .
3√
4x2 −√2x − 3 20 + 2x − 11 2x + 3
Bài 82. Giải phương trình =
√2x + 2x + 3 2x

Hướng dẫn: Đặt 2x = a; 2x + 3 = b đưa v√ề phương trìn√h (b − 2) b3 + b2 − 5b + 4 = 0
Bài 83. Giải phương trình x2 + 3 = (2 − x) 2x2 + 3 + x 1 − 4x

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với
Ä√2x2 √ √ √ √
+ ä2 − 2 (2 − x) 2x2 + 3 + 3 − 2x 1 − 4√x = 0 ⇒ ∆√2x2+3 = x + 1 − 4x 2. Đáp số: x = −2 − 5.
3
√
Bài 84. Giải phương trình 3 x3 + 6x2 − 6x − 1 = x2 + 4x + 1

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với ∈ ¶−3 ± √© .
2)3 − 9 (2x + 1) = » 2)2 − 3 Đáp số: x 22
»
3 (x + (x +

√ Å2 ã … 2
2x 1 x
Bài 85. Giải phương trình (2x − 5) + 3 = x + − 1
33

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

2x − 5 = 1  + Å2 − ã ⇔ (2x − 5)2 = 1 4x2 − 9
(2x 3) x 1
33 27

⇔ 104x2 − 540x + 684 = 0 Đáp số: x = 3. √ √
Bài 86. Giải phương trình x2 + 3 = (2 − x) 2x2 + 3 + x 1 − 4x
Ä√2x2 √ √
Hướng dẫn: Phương trình đã cho ⇔ + 3 + x − ä2 = x + 1 − 4x 2 Đáp số:x = −2 − 5.
2
√√
Bài 87. Giải phương trình (4x + 1) x + 2 − (4x − 1) x − 2 = 21

Hướng dẫn: Phương trình đã cho viết lại thành

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 207

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

Öè

Å − 17 ã 4x + 1 − 4x − 1 +4 17
x √ √ = 0 Đáp số: x = .
4 5 3
x+1+ x−2+ 4

2 √2√
Bài 88. Giải phương trình x2 = x3 − x2 + x2 − x

Hướng dẫn: Chia hai vế cho x2 sử dụng bất đẳng thức đánh giá V P ≤ 1.

Đáp số: Phương trình vô nghiệm. √ √
Bài 89. Giải phương trình (x − 3) 1 + x + x 4 − x√= 2x − 3
√
Hướng dẫn: Phương trình đã cho trở thành (x − 3) 1 + x − 1 + x 4 − x − 1 = 0

3
Đáp số: x = 0; x = 3; x = .
2√ √
Bài 90. Gải phương trình (x + 2) x2 − 2x + 4 = (x − 1) x2 + 4x + 7

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

ß (x + 2) (x − 1) ≥ 0 = (x − 1)2 x2 + 4x + 7 ß (x + 2) (x − 1) ≥ 0
⇔ (x + 2)2 x2 − 2x + 4 ⇔ 3 (x + 2)2 = 3 (x − 1)2

Đáp số: Phương trình vô nghiệm. √ √
Bài 91. Giải phương trình (x − 1) x2 + x + 1 + (x + 1) x2 − x + 1 = 2x2

HưÄớ√ng dẫn: Viết ph√ương trình thành Ä√
ä2
ä2
x x2 + x + 1 + x2 − x + 1 − x − x2 + 2 = 0 Đáp số:x = 0; x = 1.
√
Bài 92. Giải phương trình 5 4√x2 − 82x + 99 − 4 4 (x − 1) (x − 17) = 1
Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ a = 5 4x2 − 82x + 99; b = 4 4 (x − 1) (x − 17).

Bài 93. Giải phương trình √9 − 2x + √4x + 3 15
=
√ √4 − x 4x + 1 2
Hướng dẫn: t = 2 4 − x + 4x + 1√đưa về phương trìn√h theo ẩn t.
Bài 94. Giải phương trình 2012 x− x2 + 1 + 2010 x+ x2 + 1 = 2

√ √
Hướng dẫ√n: Ta có x +2010 √x2 + 1 > 2012 x + x2 + 1 từ đó suy ra
x −2012 x2 + 1 + 2010 x + x2 + 1 > 2
√ √
Å 1 ã 1 Å 1ã 1
x x
Bài 95. Giải phương trình − + x + + − x = x
22

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với
√√ √√
⇔x 1+x+ 1−x −1 1+x− 1−x =x
2
√
√√ x√ = x Đáp số: x = 0; x = ± 10 + 2 5
⇔x 1+x+ 1−x − √ 1−x
2 Ä1√+2xx2++ ä .
√ 4
1−1 8 2x2
Bài 96. Giải phương trình = Ä + 3x + + ä
x1 1

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với √ + 1 = 3x2 + x + 2
2x2
2 − 8x
√ 3x2
2x2 + 1; +x+2 Å 1 ã
−∞;
Đồ thị hàm số 2 − 8x cắt nhau tại x = 0 trong − 4 . Đáp số:x = 0.

Bài 97. Giải phương trình √3 x √
+ 3 2x3 − 10 = x

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với √3 + … 10 = 1.
x3 3 2− x3

Đặt t = √1 √
ta đưa phương trình đã cho về (t − 1) 27t2 − 10t − 1 = 0. Đáp số: x = 3 77 − 20 13.
x3 √
√
Bài 98. Giải phương t√rình 6x2 − 40x + 150 − √4x2 − 60x + 100 = 2x − 10
Hướng dẫn: Đặt y = 6x2 − 40x + 150 ≥ 0, z = 4x2 − 60x + 100 ≥ 0.

ß y − z = 2 (x − 5) ⇒ 3y2 − 10yz + 3z2 = 0 ⇔ (y − 3z) y − z =0
Thay vào phương trình ta được hệ y2 + z2 = 10 (x − 5)2 3

Đáp số:x = 15. √ √

Bài 99. Giải phương trình 3 x3 + 6x2 − 6x − 1 = x2 + 4x + 1

Hướng dẫn: Phương √trìn©h đã cho tương đương với » + 2)3 − 9 (2x + 1) = » + 2)2 − 3
¶ 3 (x (x

Đáp số: x ∈ −3 ± 2 2 . √√

Bài 100. Giải phương trình x3 + 12x + 7 2 + x + 7 8 − x = 6x2 + 9

Hướng dẫn: (x + 1) x2 − 7x + 19 + √7 (x + 1) − √7 (x + 1) = 0 Đáp số: = −1.
2+x+1 8−x+3
√
Bài 101. Giải phương trình x3 − 2x2 3 2x + 1 − 2x 1 − » + 1)2 =1
√ 3 (2x

Hướng dẫn: Đặt y = 3 2x + 1.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 208

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

Phương trình đã cho viết dướ√i dạng x3 −√2x2y −2x 1 − y2 −1− y3 − 2x − 1 = 0 ⇔ (x − y) x2 − xy + y2 = 0
Bài 102. Giải phương trình 3 x2 + 4 = x − 1 + 2x − 3

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

√ +4−x = √ ⇔ −x3 + x2 + 4 = √ x−2 +x−2 Đáp số: x = 2.
3 x2 x−1−1+x−2 √ x−1+1
» 4)2 x 3 x2
3 (x2 + + + 4 + x2

Bài 103. Giải phương trình √6 − 2x + √6 + 2x = 8
√ 5 − x√ 5 + x 3

Hướng dẫn: Đặt a = 5 + x ; b = 5 − x (a, b ≥ 0) khi đó ta có

2ab (a + b) − 4 (a + b) = 8 Đáp số:x = −4; x = 4.
ab
3
a2 + b2 = 10

MỨC ĐỘ TRUNG BÌNH

Bài 104. Giải phương trình x3 + 2x2 − 1 = 15 √√ 3
x−1− x−2

Hướng dẫn: Trục căn thức, đưa về xét một vế là hàm dồng biến, một vế là hàm hằng. Đáp số: x = 2.

Bài 105. Giải phương trình 24x2 − 60x + 36 = √ 1 − √ 1
5x − 7 x − 1
√
Hướng dẫn: Xét hàm số f (t) = t2 − t − 1. Đáp số: x = 3
.
2
… √
Bài 106. Giải phương trình x − 1 + 7 − x3 = 4x2 − 4x − 1
3

4
Hướng dẫn: Trục căn thức xuất hiện x2 − x − 1 nhận tử. Đáp số: x = 1 + √1 ; x = 1 − √1 .
42 2 22
√
Bài 107. Giải phương trình x3 − 2x2 3 2x + 1 − 2x 1 − » + 1)2 = 1.
3 (2x
√
Hướng dẫn: Phương trình√đã cho tương đương với x = 3 2x + 1 ⇔ x3 − 2x − 1 = 0.
Đáp số: x = −1; x = 1 ± 5
2 .

Bài 108. Giải phương trình x3 + » + 1)3 + » + 2)3 = 3x + 4
2 (x 2 (x

3 3

Hướng dẫn: Ta có » + 2)3 = [1 + (1 + x)] 2 ≥ 1+ 2 (1 + x) ⇔ (x + 1)2 (4x + 7) ≥ 0.
(x

Suy ra VT ≥ x3 3x + 5 = x3 + 1 + 3x + 4 ≥ 3x + 4 = V P. Đáp số: x = −1.
+ 0 + 2.
2√ √
Bài 109. Giải phương√trình (x + 2) x + 1 − (4x + 5) 2x + 3 = −6x − 23
Hướng dẫn: Đặt t = x + 1 ⇒ x = t2 − 1 (t ≥ 0) .

Phương trình đã cho trở thành

t3 + 6t2 + t + 17 − 4t2 + 1 √ + 1 = 0 ⇔ √ t (t − 2) + (t − 2) 3t2 + 4t + 8 = 0 Đáp số: x = 3.
2t2 2t2 + 1 + t 4t2 + 1
+ 1
6 √1 + 1
Bài 110. Giải phương trình = 1+x √
(a, b
√ x+3 −2 + 3 1 + x
1+x =√a =b
® 3 1+x ß a2 = x√+ 1
⇒ b2 = 3 1 +
Hướng dẫn: Đặt −2 + ≥ 0) x − 2 ⇒ a2 − b2 + 3a = (x + 3) .

Ta có: a2 6 + 3a = 1 + 1 ⇔ a3 − b3 + 3a2 − 3ab + ba2 − ab2 = 0 ⇔ (a − b) a2 + b2 + 3a =0
− b2 a b

Đáp số: x = 0; x = 3. √ √

Bài 111. Giải phương trình x − 1 + x ( x − 1) = x.

Hướng dẫn: Chia hai vế cho x đưa phương trình trở thành

 Å √1 − 1 ã Å √1 + 1 ã +   √1 − 1 = 1
xx xx xx

 a =   √1 − 1  ab + a = 1
x x 





Đặt   √1 1 ⇒ …1 − a2 + … 1 + b2 =1 Đáp số: Phương trình vô nghiệm.
x x  4 4
 b = +




Ä√ äÄ √ä
Bài 112. Giải phương trình 3 2x2 + 1 − 1 = x 1 + 3x + 8 2x2 + 1

Hướng dẫn: P√hương trình √đã cho trở thành
3x2 + x + 8x 2x2 + 1 − 3 2x2 + 1 + 3 = 0
Khảo sát hàm số trên với x ≥√0. Suy ra p√hương trình có một nghiệm duy nhất x = 0. Đáp số: x = 0.
Bài 113. Giải phương trình 13 x − 1 + 9 x + 1 = 16x

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 209

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

Hướng dẫn: Phương trình đã cho viết lại thành

√√ … 1 … 9 ≤ Å 1ã Å 9ã
13 x − 1 + 9 x + 1 = 13.2 (x − 1) + 3.2 (x + 1) 13 x − 1 + +3 x+1+ = 16x
4444

5
Đáp số: x = .
4
Ä√ ä√
Bài 114. Giải phương trình 2 x + x3 + 1 = 4 15 − x − 4

Hướng dẫn: Ta chứng minh V T ≥ −2 ≥ V P.

Bài 115. Giải phương trình … 1 − x3 + … − 2 = 1
x
3

39

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

9x2 − 9x + 2 + 9x2 − 9x + 2 12
= 0 Đáp số: x = ; x = .
Ç … 2 å …   ã2
x x 9 3 Å1 x3 33
9 + − x)2 3 1
3 (1 − + (1 − x) − x3 + −
33
√√
Bài 116. Giải phương trình: 2 x + x2 + 1 + 3 3 −x + x2 + 1 = 5
√ √ √
Hướng dẫn: Đặt a = x + x2 +1 ⇒ −x + x2 + 1 = 1 a > 0. Đưa phương trình về 2 a+ √3 = 5.
,
a 3a

Đáp số: x = 0.

Bài 117. Giải phương trình √ 1 − √ 1 =x−1

8x3 − 1 x3 + 3x2 + 3x

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

11
− (2x) = − (x + 1)
»(2x)3 − 1 » 1)3
(x + − 1 √ √

Bài 118. Giải phương trình 2 (x − 2) 3 4x − 4 + 2x − 2 = 3x − 1

Hướng dẫn√: Phương trình đã cho viế√t lại thành
2 (x − 2) 3 4x − 4 − 2 + 2 (x − 2) 2x − 2 − 2 + 5 (x − 3) = 0

⇔ (x − 3) 8 (x − 2) + √4 (x − 2) + 5 = 0 Đáp số: x = 3.
√ √ 4√ x−2+2
3 4x − 4 2 + 2 √3 4x − 4 + √

Bài 119. Giải phương trình 4 10 − x + 4 x − 1 = 3 ß √
√√ hệ a+b= 3
a4 + b4 = 9 Đáp số: x = 1; x = 10.
Hướng dẫn: Đặt 4 10 − x = a; b = 4 10 + x, ta có

√√
Bài 120. Giải phương trình 4 4 − x2 + 12x 4 − x2 = 5x2 + 6x + 8

HÄướ√ng dẫn: P−h3ưxơäng=t9rìxn2h−đã12cxh√o 4tư−ơnxg2 đương với −8
22 4 − x2 +4 4 − x2
√
Đặt t = 2 4 − x2 − 3x ⇒ 2t√= t2 − 8.√
3x+1+ 3x−1 x
Bài 121. Giải phương trình =
2 3
Hướng dẫn: Xét hàm số f (x) = √ + 1 + √ − 1− 2x ta có
3x 3x ,
3
√ √ 2
3x+1− 3x−1
f (x) = √ ≥ 0 Đáp số: x = 0.
3 x2 − 1
√ √
Bài 122. Giải phương trình 2 x2 − 2x − 1 + 3 x3 − 14 = x − 2
√
Hướng dẫn: Từ đ√ề dễ, ta chứng minh nếu x2 − 2x − 1 ≥ 0 thì x − 2 ≥ 3 x3 − 14 ⇔ x2 − 2x − 1 ≤ 0.
Đáp số: x = 1 + 2.
√ √
Bài 123. Giải phương√trình 3x2 − 18x + 2√5 + 4x2 − 24x + 29 = 6x − x2 − 4
Hướng dẫn: Đặt a = 3x2 − 18x + 25; b = 4x2 − 24x + 29 (a, b ≥ 0) .
√
Từ đó ta có phương trình a√+ b = a2 − b2 ⇔ (a +√b) (a − b − 1) = 0 Đáp số: x = 3 ± 2.
Bài 124. Giải phương trình 2x2 + 48x − 27 + x 2x2 − 24x + 67 = 4x + 6

H⇔ưxớnÄg√d2ẫxn2:−Ph24ưxơn+g trình đã cho tương √đương với − 27
ä +6− 2x2 + 48x

67 − 2 = 2x

x 2x2 − 24x + 63 2x2 √− 24x + 63
⇔√ =
2x2 − 24x + 67 + 2 2x + 6 + 2x2 + 48x − 27
√ √
Å 1 ã x2 Å 1 ã x2
1 1
Bài 125. Giải phương trình + + 2x + 2 + − − 2x + 2 = 5
xx

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với
√ √
Å 1 ã x2 Å 1 ã x2
1 1
+ + 2x + 2 + − − 2x + 2 = 5
xx

⇔ √ + 2x + 2 √ − 2x + 2+ …2 + 2 +1− …2 − 2 +1 = 5
x2 + x2 x2 x x2 x

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 210

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

√√ 4√ =5
⇔ x2 + 2x + 2 + x2 − 2x + 2 + √ x2 + 2x + 2 + x2 − 2x + 2

Bài 126. Giải phương trình 2x + x − 1 = … − 1 + … − 1
1 3x
x xx

Hướng dẫn: Ta có đánh giá

… 1 … x2 −1 x−1+ 1 x2 − 1 +1 1 x−1 √
(x − 1) +3 x +3 x . 1+ 5
≤ = 2x − +1 = 2x + Đáp số: x =
.
xx 2 2 x x 2

MỨC ĐỘ KHÓ

» √ √» √
Bài 127. Giải phương trình 2 + 2 + 2 + x + 3 2 − 2 + 2 + x = 2x

8π
Hướng dẫn: Đặt x = 2 cos y tìm được nghiệm x = 2 cos .
+về»ñ(4√2−4xx−−2x)x323++√5xx4=−=0x52x3+2+7x43√−44−x2x+2
Bài 128. Giải phương trình x5 2 = 0(∗)

Hướng dẫn: Đưa phương trình
√
Đặt a = 4 − x2 chuyển ph√ương trình (∗)√về phương trình trùng phương.
Bài 129. Giải phương√trình 3x2 + 33 + 3 x = 2x + 7
√Hướng dẫn: Đặt t= x, t ≥ 0. Phương trình đã cho trở thành
3t4 + 33 = 2t2 − 3t +7 ⇔ t4 − 12t3 + 37t2 − 42t + 16 = 0 ⇔ (t − 1)2 (t − 2) (t − 8) = 0

Đáp số: x = 1; x = 4; x = 64√. √
Bài 130. Giải phương trình 3x − 7 + (4x − 7) 7 − x = 32

√Ç … 14 å
Hướng dẫn: Đặt a = 7 − x 0 ≤ a ≤ .
√3
Phương trình đã cho trở thành 14 − 3a2 − 4a3 + 21a − 32 = 0

Mà 0 ≤ f (a) = √ − 3a2 ≤ √ và g(a) = −4a3 + 21a − 32, 0 ≤ a ≤ … 14 g (a) = −12a2 + 21
14 14 ;
3
Ç √ å √ nghiệm.
7 77
⇒ −32 = g(0) ≤ g(a) ≤ g = −32 + Đáp số: Phương trình vô
2

Bài 131. Giải phương trình 2−x = √ √
2x − 3 − 3x−1
4
2−x √ √
Hướng dẫn: Phương trình dã cho tương đương với = 2x − 3 − 3 x − 1
4
√ x √ x−2
⇔ 2x − 3 − 1 + − 3x − 1 + = 0
24
(x − 2) x2 + 2x − 4
⇔ √ 2x − 4 + + x − 2 = 0 ⇔ x = 2.
2x − 3 + 1 8A 4

(do: √ 1 + x2 + 2x − 4 + 1 > 0; ∀x ≥ 3 Đáp số: x = 2.
)
2x − 3 + 1 8A 4 √ 2
√
Bài 132. Giải phương trình 4x2 + (2x − 5) 4x + 2 + 17 = 4x + (2x + 3) 6 − 4x

Hướng dẫn: Ph√ương trình đã cho tương đươn√g với
4x2 + (2x − 5) √4x + 2 + 17 = 4x +√(2x + 3) 6 − 4x(1)
(1) ⇔ (2x +√3) 6 − 4x − (2x −√5) 4x + 2 = (2x − 1)2 + 16
⇔ (2x + 3) 6 − 1)2 + 16
− 4x + (5 − 2x) 4x + 2 = (2x

V T ≥ 16(∗) √ √
(5 − 2x) 4x +
V P 2 = (2x + 3) 6 − 4x + 2 2

V P2 ≤ ¶ (2x + √ 4x 2 + (5 √ 2©
2. 3) 6 − − 2x) 4x + 2

⇔ VP2 ≤ 2 −96x2 + 96x + 104 = 2 î−24 (2x − 1)2 + ó ≤ 2.128 = 256
128

1
⇒ V P ≤ 16 (∗∗) Đáp số: x = .

2√ √
Bài 133. Giải phương trình 2 (2x − 3) 3 x − 1 + x − 1 = 3x − 2

Hướng dẫn: √ √
Nếu x > 2 thì 3 x − 1 + x − 1 > 2 ⇒ V T − V P > 4 (2x − 3) − (3x − 2) = 5 (x − 2) > 0.
√√
Nếu 3 < x < 2 thì 3x−1+ x−1 < 2.

2

⇒ V T − V P < 4 (2x − 3) − (3x − 2)√= 5 (x − 2) < 0 Đá√p số: x = 2.
Bài 134. Giải phương √trình (4x + 2)√ x + 1 − (4x − 2) x − 1 = 9
Hướng dẫn: Đặt a = 2 x + 1; b = 2 x − 1 ⇒ a2 −b2 = 8. Từ phương trình đã cho ta có (a − 3) a2 + 3a + 7 =

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 211

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

(b − 1) b2 + b + 3 .

Từ đó suy ra (a − 3) (b − 1) a2 + 3a + 7 (b + 1) = (a − 3) (b − 1) b2 + b + 3 (a + 3) hay tương đương a2 − 9 b2 − 1 Å a2 +
a

a2 + 3a + 7 b2 + b + 3
0. Việc còn lại là chứng minh − > 0.
a+3 b+1
5
Đáp số: x = .
4

4 LỚP BÀI TOÁN CHỨA NHIỀU CĂN THỨC

MỨC ĐỘ DỄ

√ √√
Bài 135. Giải phương trình x2 + (2x√− 1) x + 1 + x√2 + x + 2x x + 1 = x + x + 1
Hướng dẫn: Đặt a = x2 + x + 2x x + 1; b = x + x + 1 (a, b ≥ 0) .
1Ä √ √ ä 1Ä √ √ä
Đáp số: x = 2 − 5 − 7 − 2 5 ; x = 2 + 5 − 7 + 2 5
2 √ 2√ √ √
Bài 136. Giải phương trình 3 2003x + 2004 + 3 2001x + 1 + 3 5 − 4x − 3 4000x + 2010 = 0

Hướng dẫ√n: √ √√
Đặt a = 3 2003x + 2004; b = 3 2001x + 1; c = 3 5x − 4; d = 3 4000x + 2010 đưa về hệ

ß a+b+c=d

a3 + b3 + c3 + d3 √ √√

Bài 137. Giải phương trình x − 2 x − 1 − (x − 1) x + x2 − x = 0

H√ướng dẫn: PÄh√ương trình đã√cho tương đương với
ä
x−1−1 − − − x2 −
x 1 1 √ x = 0 Đáp√số: x = 2. √

Bài 138. Giải phương trình 5x2 + 14x + 9 − x2 − x − 20 = 5 x + 1

Hướng dẫn: Bình phương và đưa phương trình về

2x2 − 5x + 2 = 5 (x2 − x −√20) (x + 1)√⇔ 2x2 − 5x +√2 = 5 (x2 − 4x + 5) (x + 4)
Bài 139. Giải phương trình 3 3x + 5 = 3 15x + 12 − 3 2x − 1

Hướng dẫn: Lập phương hai vế đưa về phương trình bậc 3 có nghiệm x = 1.

Đáp số: x = 1; x = − 4 x = − 41
; .
5 √ 22 √ √
Bài 140. Giải phương trình 2x − 2 + 3 3x − 1 − 4 6x − 2 = 2

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

√2 (x − 3) + √ 3 (x −√3) −√ 6 (x −√3) = 0 Đáp số: x = 3.
2x − 2 + 2 9x2 + 2 3√x + 4 4 6x − 2 +√2 6x − 2 + 4

√
Bài 141. Giải phương trình x − 2 + 4 − x + 2x − 5 = 2x2 − 5x

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

ï 1 −√ 1 +√ 2 ò
(x − 3) √ − (2x + 1) = 0 Đáp số: x = 3.
x − 2 + 1 4 − √x + 1 x − 2 + 1 √
√
Bài 142. Giải phương trình 4 x + 1 − 1 = 3x + 2 1 − x + 1 − x2

Hướng dẫn: Phương trình đã cho trở thành

2a2 + ab − b2 − 2 (2a − b) = 0 ⇔ (2a − b) (a + b − 2) = 0
√ √
Với a = x + 1; b = 1 − x (a, b ≥ 0) . Đáp số: x = −3 ; x = 0.
√ √ √5 √
Bài 143. Giải phương trình x + 4 + 4 x + 1 = −x2 + 2x + 4 − 1 − x + 5

Hướng dẫn: Đặt x = 1 − t ta đưa phương trình đã cho về

Å t − 3√ = √1 + √2 − 1√ ã = 0. Đáp số: x = 0.
(t − 1) √
2 2 − t + 5 − t2 2 + 5 − t 1 + 2 − t 1 + t

Bài 144. Giải phương trình   x3 + 1 − √ + 1 = √ − x + 1 − √ + 3
x x2 x
x+3

Hướng dẫn: Bình phương hai vế phương trình đưa về x3 +1 = x2 −x+1 Đáp số: x = √
1 ± 3.
x+3
√ √ √
Bài 145. Giải phương√trình x2 + x +√2 − 2x2 + x + 1 = x2 − 1 3x2 + 2x + 3
î √ó
Hướng dẫn: Đặt u = x2 + x + 2; v = 2x2 + x + 1 (u, v ≥ 0) ta được phương trình (u − v) 1 + (u + v) u2 + v2 =

0 Đáp số: x = ±1. √√ √

Bài 146. Giải phương trình 3x x2 − 2 + 3x2 − 4 = 2 3x4 − 3x2 − 4
Ä√ √ ä2
Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương 3x4 − 3x2 − 4 − 2 3x2 − 4 = 0. Đáp số: x = 2.
√ √ √
Bài 147. Giải phương trình (13 − 4x) 2x − 3 + (4x − 3) 5 − 2x = 2 + 8 16x − 4x2 − 15

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 212

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

Hướng dẫn: Đặt u = √ − 3; v = √ − 2x (u, v ≥ 0) . Khi đó phương trình biến đổi thành Å 3 u2 + 7 ã u +
2x 5 v2
22

Å 7 u2 + 3 ã v = 2 + 8uv
v2
22

⇔ 3 (u + v) (2 − uv) + 7uv (u + v) = 4 + 16uv

Đặt t = u + v, √ ≤ t ≤2 ⇒ uv = t2 −2 lúc đó phương trình đã trở thành t3 − 4t2 +t+6 = 0 ⇔ t = 2.
2
2

Đáp số: x = 2. √

Bài 148. Giải phương trình √ x − 3 = √ 1√
2x − 1 − 1 x + 3 − x − 3

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

√ x2 − 2x − 8 Å x + √2 ã
√ − (x − 4) = 0 ⇔ (x − 4) √ x2 − 9Ä+√ 2x − 1 − 1 = 0 Đáp số: x = 4; x = 5.
x2 − 9 + 2x − 1 6 = x 5x2 + 9x
Bài 149. Giải phương trình √ + 3 + √ − − 18 + ä
x2 x 2 5x 2

Hướng dẫn: Phương trình đã cho viết lại thành

Å x (√x + 3) − √2 ã
(x − 2) (x − 3) √ = 0. Đáp số: x = 2; x = 3.
x x + 3 + 5x2 + 9x − 18 x + 5x − 6
√ √
Bài 150. Giải phương trình 1 + » + x)3 = x+ 1+x 1+ 1+x
√ (1

Hướng dẫn: Đặt 1 + 1 + x = a (a ≥ 0) . √

Đưa phương trình về a (a + 1) a2 − a − 1 2 = 0 Đáp số: x = 1 + 5
√ √ 2√ . √

Bài 151. Giải phương trình 11x2 − 14x + 9 + 11x2 − 2x + 3 + 17x2 + 2x + 3 = 2 (2x + 4)

1
Hướng dẫn: Dùng bất đẳng thức Cauchuy – Schwarz. Đáp số: x = .
3√
Bài 152. Giải phương trình 2 (x − √x)2 − 4 (x − √ + 4 = 3x + 3 x − 1
x)
√
(x + 1) x + 1
 √
5+1
Hướng dẫn: Đánh giá vế trái ≥ 2. Đáp số: x = .
√2
√ √
Bài 153. Giải phương trình 13x2 + 8x + 5 + 29x2 − 24x + 5 = 2 12x2 + 4x − 1

1
Hướng dẫn: V T ≥ 8x ≥ V P. Đáp số: x = .
2
Bài 154. Giải phương√trình √ » − x)2 + » − x)3 √√ 4 x2 (1 − x);
x√+ 4 x(1 4 (1 = 1 − x + 4 x3 +

Hướng dẫn: Đặt a = 4 x; b = 4 1 − x đưa phương trình về

a2 + ab2 + b3 = b2 + a2 + a2b Đáp số: x = 0; x = 1 x = 1.
;
√ √2 √
Bài 155. Giải phương trình x + 1 + x + 3 = 1 − x + 3 1 − x2

√ √ ß a2 + b2 = 2
a = x + 1; b= 1−x 2b + b2 − a2 + 6 = 2a + 6ab
Hướng dẫn: Đặt (a, b ≥ 0) ta có

⇒ b + b2 − a2 + 6 − 2a − 6ab + 3 a2 + b2 − 2 = 2 (a − b) (a − 2b − 1) = 0 . Đáp số: x = 0; x = − 24 .
25
Ä√ √ ä √
Bài 156. Giải phương trình 2 21 + x2 − 1 − x2 − 1 − x4 = 3x2 + 1
√√
Hướng dẫn: Đặt u = 1 + x2; v = 1 − x2 (u, v ≥ 0) . Phương trình đã cho trở thành

ß u2 + v2 = 2 −3u2 + 4u + 2
2 (2u − v) − uv u√+ 2
= 3u2 − 2√ ⇒v = ⇒ 5u4 − 10u3 + 3u2 + 4u − 2 = 0. Đáp số: x = 0.
√
Bài 157. Giải phương trình x2 + x + 1 + x2 − x + 1 = 2 x + 1.

Hướng dẫn: Bình phương đưa phương trình đã cho về √
x 4x2 − x − 4 = 0 ,(0 ≤ x ≤ 2) . Đáp số: x = 0; x = 1 + 65
√√ √ 8 .

Bài 158. Giải phương trình 3 x8 = 6 x2 + 1 x4 + x2 + 1

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

⇔   … x4 + x2 +   =1 x2 + 1
6 x4 = x4 1 ⇔ 3 x4 +1 +
1 √ x2 +√ 1 Äx2 x4√
x2 + + x2
x+3− x
Bài 159. Giải phương trình + 4x + ä = 2x
3

H√ướng 3dẫ−n:√Pxh+ươ1ngÄxtr2ìn+h √đã cho tương đương với
x+ ä
x2 + 4x + 3 = 2x
√√
⇔ x2 + √(x + 1) (x +√3) = x x + 3 + x + 1
Đặt a = x + 3, b = x + 1 ta được x2 + ab = x (a + b)

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 213

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

⇔ 1+ ab = a + b ⇔ 1− a Å bã = 0.
x2 x x x 1−
x
√
√ x + 2 +√2 2x + 1
Bài 160. Giải phương trình x + 2 =
x + 2x + 1

√√ a2 + 2b
Hướng dẫn: Đặt a = x + 2, b = 2x + 1 phương trình trở thành a = a2 − 2 + b
⇔ a a2 + b − 2 = a2 + 2b ⇔ (a − 2) a2 + a + b = 0.

B√ài 161. Giải phươ√ng trình
x x2 + x − 2 + 3x x5 − 1 = (x2 + 3) (3x7 − 2x2 + x − 2)

Hướng dẫn: Ta chứng minh V T ≤ √V P. Đáp số: x = 1. √
Bài 162. Giải phương√trình x 2 + x + 1 + 1 = (x + 1) 3x + 2
Hướng dẫn: ĐÄ2ặat2a−=√3ax2+−11đ−ưaa phương trình về
a2 − a − 1 0.
− ä =
1
√√ √√
Bài 163. Giải phương trình x2 + x + 1 3 2x + 1 = x √x + 1 + 3 2x +√1
Hướng dẫn: Phương trình√đã cho tương đương với x − x + 1 x − 3 2x + 1 = 0.
Đáp số: x = −1; x = 1 ± 5
.
2√ √
Bài 164. Giải phương trình x 1 + x + 1 − x + (1√− x) (1 + x) + 1 = x
Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với x + 1 − x = 0.
√√ √
Bài 165. Giải phương trình 1+x+ 1−x 3 + 1 − x2 = 7
.
2√
√√ √√ ±3 7
Hướng dẫn: 2 1+x+ 1−x 3+ 1+x+ 1−x 2 = 9. Đáp số: x = .

  x3 8

Bài 166. Giải phương trình + 1 − √ + 1 = √ − x + 1 − √ + 3
x x2 x
x+3

Hướng dẫn: Bình phương hai vế phương trình đưa về x3 +1 = x2 − x − 1. Đáp số: x = √
1 ± 3.
x+3
√ √ √
Bài 167. Giải phương√trình x2 + x +√2 − 2x2 + x + 1 = x2 − 1 3x2 + 2x + 3
Hướng dẫn: Đặt u = x2 + x + 2; v = 2x2 + x + 1 (u, v ≥ 0) ta được phương trình (u − v) î + (u + v) √ + v2ó =
1 u2

0. Đáp số: x = ±1. Ä√ √ ä√

Bài 168. Giải phương trình 2 x + 5x − 4x2 = 3 + 5 − 4x

Hư√ớng d√ẫn: Phương t√rình√đã cho tương đương với
2 x − 5 − 4x + 2 x 5 − 4x = 3.

Bài 169. Giải phương trình √ 1 +√ 1 =√ 2
−x2 + x + 1 −x2 − x + 1 1 − x2
Hướng dẫn: Ta có đánh giá V T ≥ √ 4 √ ≥ 4 Đáp số: x = 0.
−x2 + x + 1 + −x2 − x + 1 2 (2 − 2x2)
√ √
Bài 170. Giải phương trình 2x + 4 − 22 − x = √12x − 8

9x2 + 16

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với

√ 2 (3x − √2) = √4 (3x − 2) .
2x + 4 + 2 2 − x 9x2 + 16
√
2 4 2
Phương trình còn lại, viết lại thành 9x2 − 32 î 2 (4 − x2) ó = 0. Đáp số: x = ; x = .
2 +x+8 33
√ √√
Bài 171. Giải phương trình 5 x2 − 1 + 5 x − 1 + x + 1 = 3x − 1

Hướng dẫn: Phương trình đã cho tương đương với
√ √ √
5 x−1 x+1+1 + x+1+1 =3 » + 1)2 − 1
√√ √ (x

⇔ x+1+1 5 x−1+1−3 x+1−1 =0 √

√ √√ 17 15 3
⇔ x + 1 + 1 5 x − 1 − 3 x + 1 + 4 = 0 Đáp số: x = − .
√ √ √ 48
Bài 172. Giải phương trình 3 x2 − 2 3 x − (x − 4) x − 7 − 3x +√25 = 0.
Hướng dẫn: Phương trình đã ch tương đương với √ x − 7+
( 3x − 1)2 = 1 3 − 7.

MỨC ĐỘ TRUNG BÌNH Trang 214
√ √√

Bài 173. Giải phương trình 4 1 − x −√6 = x − 3 1 − x2 + 5 1 + x
Hướng dẫn: Bình phương và đặt t = 1 − x2 đưa phương trình về

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

√ 3
.
−8t2 + (6x − 4) t − 3x − 4 = 0 sau đó lập biệt thức ∆ = (3x − 6)2 . Đáp số: x = − 2

»√ √
Bài 174. Giải phương trình 2− 2 (x + 1) + 4 2x = 1

√
Hướng dẫn: Chia của hai vế phương trình cho 4 2 ta được
»√ √
2 − (x + 1) = √1 − √ ⇔ 2 − (x + 1) = √1 + √ − 2 … x
4x x
4

√ 42 22

ß a = 4 2 1 2y
a2 .
Đặt √ ⇒ a2 − y4 + 1 = + y2 −
b= 4x a

⇔ a y2 + 1 − (ay + 1) a√y2 + 1 + ay +√1 = 0 √ √
Bài 175. Giải phương trình x2 − x + 19 + 7x2 + 8x + 13 + 13x2 + 17x + 7 = 3 3 (x + 2)

H√ướng dẫn: Phương trình đã cho trở√thành
5 3 √√ 1 ≥5 3√ √ Å 1ã √ 1
+ 3 |x + 2| + 3 x+ + 3 (x + 2) + 3 x + = 3 3 (x + 2) Đáp số: x = .
2 2 √2 2 2
Bài 176. Giải phương trình 1+ 1+x Ä√2x2 √
− 2x + 1 + x − ä = xx
1

Hướng dẫn: Nhân liên hợp đưa phương trình đã cho về √

√√ x2 − 3x + 4 3− 5
2x2 − 2x + 1 = (1 − x) 1 + x ⇒ x = 0. Đáp số: x = 0; x = .
√ √√ 2

Bài 177. Giải phương trình 2 2x + 4 + 4 2 − x = 9x2 + 16

Hướng dẫn: Phương trình đã cho viết lại thành
4 (2x + 4) + 16 2 (4 − x2) + 16 (2 − x) = 9x2 + 16

⇔ 8 4 − x2 + 16 2 (4 − x2) = x2 + 8x. Đặt t = 2 (4 − x2) ≥ 0. √

Ta có phương trình 4t2 + 16t − x2 − 8x = 0 ⇒ ∆ = (2x + 8)2 . Đáp số: 4 2
.
√ 3√ √
Bài 178. Giải phương trình x (2√x + 7) − 4√ 2x2 + 9x + 10 + 10 = (3x + 2) 2 x + 2 − 2x + 5
Bài 179. Giải phương trình x 1 + x + 1 − x + (1 − x) (1 + x) + 1 = x

Hướng dẫn: Phương trình đã cho biến đổi thành

a2 − 1 (a + b) + ab + b2 = 0 ⇔ √(a + b) √a2 + b − 1 =√0 √
Bài 180. Giải phương trình x2 + x + 1 3 2x + 1 =√x x + 1 + 3 2x√+ 1
Hướng dẫn: Phương trình đã cho biến đổi thành x + 1 − x x − 3 2x + 1 = 0

Bài 181. Giải phương trình Å… 1 + x + √ ã2 = 2 Å x …xã
x √ + +1
1−x 1+x+1 1−x

Hướng dẫn: Phương trình đã cho biến đổi thành

Å√ … x ã2 x = 0 . Với x ∈ [0; 1) ta có
1+x+ −1 +
1−x 1−x

Å√ … x ã2 x ≥ 0 Đáp số: x = 0.
1+x+ −1 +
1−x 1−x √
√√
Bài 182. Giải phương trình (2 − x) 1 − x + (4x − 2) 1 + x = 3x x

Hướng dẫn: Đặt a = … 1 − 1 (a ≥ 0) , đưa phương trình về dạng
x
√ 1 4
Ä +1 − a2 ä2 = 0 Đáp số: x = 0; x = ; x = .
a +2 √ √ 2 √5 √

Bài 183. Giải phương trình 3 x + 3 + 3 x − 3 = 5 x + 5 + 5 x − 5
√√
Hướng dẫn: Xét hàm số f (x) = 3 3 + x − 5 5 + x ⇒ f (x) = 1 − 1 > 0 . Đáp số: x = 0.

√√ 3 » +√x)2 5 » + x)4 √
3 (3 5 (5

Bài 184. Giải phương trình 1 + 2013x + 1 − 2013x = (1 + 2014x) 1 − 2014x + (1 − 2014x) 1 + 2014x

Hướng dẫn: Ta chứng minh V T ≥ V P Đáp số: x = 0.

Bài 185. Giả√i phương trình √ √
x2 + x + x + 1 +√1 + x2 − x + x + 1 + 1 = 2 1 + 1 + x
Hướng dẫn: Đặt t = x + 1 ⇔ x = t2 − 1, (t ≥ 0) ta đ√ược
(t + 1) (t3√− t2 + 1) + (t + 1) (t3 − t2 − 2t + 3) = 2 t +1
Đặt ® a = √ t3 − t2 + 1 + 3√ phương thành ß ß
b = t3 − t2 − 2t trình trở a+b=
√ a2 − b2 2 2t − √2 ⇔ 2a = t + 1 Đáp số: x = 0.
√ = 2b = 3 − t

Bài 186. Giải phương trình 4 1 +√2013x +√4 1 − 2013x = 4 1 + 2014x + 4 1 − 2014x
Hướng dẫn: Xét hàm số f (t) = 4 1 + t + 4 1 − t chia các trường hợp −1 < t < 0.

Üê

1 1 3− 1 < 0. Đáp số: x = 0.
Và 0 < t < 1 để chứng minh f (t) = 3

4

(t + 1) 4 (1 − t) 4

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 215

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

√√ √ √
Bài 187. Giải phương trình√ x2 + x + 1 + √x2 − x + 1 = 4√x4 + x2 + 1 + 4 x4 − x2 + 1
Hướng dẫn: Ta có V T ≥ 2 4 x4 + x2 + 1 ≥ 4 x4 + x2 + 1 + 4 x4 − x2 + 1 = V P. Đáp số: x = 0.
√ √
Bài 188. Giải phương trình 2 (1 + √x) 1 + 2x√= 1 + x + » + 2x)3
(1

Hướng dẫn: Đưa phương trình về 1 + x = √1 + 2x Đá√p số: x =√0.
Bài 189. Giải phương trình 2 x2 + x + 1 = 1 + x + 1 − x 1 + 2x

Hướng dẫn: Ta chứng minh√ √
2 x2 + x + 1 ≥ 2x + 2 ≥ √2x2 + 3x +√1 + −2x2√+ x + 1. Đáp số: x = 0.
Bài 190. Giải phương trình 1 + 2x + 3 1 + 3x + 4 1 + 4x = 3 (x + 1) .

Hướng dẫn: Chứng minh V T√≤ V P. Đá√p số: x = 0. √
Bài 191. Giải phương trình 3 1 + x + 1 − x = (x + 4) 1 − x2

Hướng dẫn: Viết phương trình lại thành √ 3 + √ 1 = x + 4.
1−x 1+x

Chứng minh V T ≥ V P. Đáp√số: x = 0√. √ √√
Bài 192. Giai phương trình 4 − x + 10 − 3x = 1 + x + 3 − x 7 − 2x

H√ướng dẫn:√Phương trình đã cho tương đương với = 0 Đáp số: x = 3. √
4 − x − 10 − 3x 2 + 2 (7 − 2x) (1 + x) (3 −√x)

Bài 193. Giải phương√trình (x √+ 4) (2x + 3) −√ 3 x + 8 = 4 − (x + 8) (2x + 3) + 3 √x + 4 √√
Hướng dẫn: Đặt a = x + 4; b = 2x + 3; c = x + 8 (a, b, c ≥ 0) đưa phương trình về 2x + 3 − 3 x+4+ x+8 =

4. Nhận thấy vế trái là hàm đồng√biến trên (3; +∞√) nên√f (x) ≥ f (5) = 4. Đáp số: x = 5.
Bài 194. Giải phương trình x − 2 x − 1 − (x − 1) x + x2 − x = 0

H√ướng dẫn: PÄh√ươxn−g trình đã√cho tương đương với
x− 1−1 1−1 − x2
− ä = 0. Đáp số: x = 2.
x
√√ √
Bài 195. Giải phương trình x + x +√4 + x +√25 + 1 = 2 x +√16
Hướng dẫn: Xét hàm số f (x) = x + x + 4 + x + 25 + 1 − 2 x + 16, ta có

⇒ f (x) = 1 − √ 1 + √ 1 + √ 1 > 0. Đáp số: x = 0.
x + 16 2 x + 4 2 x + 25

MỨC ĐỘ KHÓ

√√ √ √√
Bài 196. Giải phương trình 4 − x + 10 − 3x = 1 + x + 3 − x 7 − 2x

H√ướng dẫn:√Bình p3xhư2ơn+g2ha√i 7vế−đ2ưxa phương trình về = 0 Đáp số: x = 3.
4 − x − 10 − 2 (1 + x) (3 − x) √
30 x
Bài 197. Giải phương√trình 15x2 + » + 1)3 + 26 = » + 1)5 + + 1
10 (x 6 (x

Hướng dẫn: Đặt t = x + 1 ⇒ x = t2 − 1, (t ≥ 0) . Phương trình đã cho biến đổi thành

15 t2 − 1 2 + 10t3 + 26 = 6t5 + 30t

⇔ f (t) = 6t5 − 15t4 − 10t3 + 30t2 + 3√0tx−ã421 = 0, (t ≥ 0)√. Đáp số: x = 0.
Bài 198. Giải phương trình Å √1 − = 4 1 + 1 + 4x
x x+1
√
x + x2 + 3x + 2 + 1

Hướng dẫn: Phương trìn√h đã cho tương đương với √
1 4 + 4 1 + 4x x+1+ (x + 1) (x + 2) 4x + 4x 1 + 4x
x(x + 1)2 = x + 1 + (x + 1) (x + 2√) ⇔ (x + 1)2 =

⇔f Å1ã = f (4x) Đáp số: x = 2−1 .

x+1 √ 2√ √

Bài 199. Giải phương trình (2 − x) x + 3 − 2x = −x3 + 7x2 − 17x + 15

Hướng d√ẫn: P√hương trình đã cho trở thành
(2 − x) x + 3 − 2x = (3 − x) (x2 − 4x + 5)

Sử dụng bất đxẳ)n2 g+t1hóứîc(C√axu)c2h+uy √– 3S−chw2xar2zóta=c(ó3

V T2 ≤ î − − x) x2 − 4x + 5 = V P 2 Đáp số: x = 1.
(2 √ √√

Bài 200. Giải phương√trình(7 − 6x)√ 4 + 3x + (13 + 6x) 1 − 3x = 5 −9x2 − 24x − 11
Hướng dẫn: Đặt u = 4 + 3√x; v = 1− 3x thì ta có
5 + 2v2 u + 5 + 2u2 v = u2v2 − 4u2 + v2 ⇔ (u + v)3 = √ − u4 ⇒ (5 + 2uv)3 + u4 = 5
5

Đáp số: Phương trình vô nghiệm.

B PHƯƠNG PHÁP NHÂN TỬ CASIO

Thông thường một phương trình vô tỷ có nghiệm luôn được quy về dạng tích f1(x).f2(x)...fn(x) = 0 và để chế
tác một phương trình vô tỷ ta cũng xuất phát từ một tích nào đó rồi biến đổi V T → V P như các ví dụ:

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 216

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

√√ √
-V T = x√+ 3 − √2x + 1 3x −√2 + 2x +√1 = 3x2 + 5x − 7 − (2x − 5√) 2x + 1 =√V P
-V T = x + 3 − x − 3 + 1 x + 3 + 5 x − 3 + 5 = −4x + 23 + 6 x + 3 + 4 x2 − 9 = V P

Nhiệm vụ của người giải toán là làm sao để biến đổi V P → V T một cách nhanh chóng, chuyên đề này sẽ giúp

các bạn làm công việc đó một cách nhanh chóng nhờ sự hỗ trợ của máy tính CaSiO.

1 √
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CHỈ CÓ MỘT CĂN THỨC DẠNG AX + B

√
Chúng ta sẽ xét phương trình dạng f (x) + g(x) ax + b = 0

1. Ý tưởng tìm lời giải:
Chúng ta thử làm một ví dụ đơn giản sau:

√
VÍ DỤ 1. Giải phương trình vô tỷ: 2x2 − 3x − 7 − 4x + 5 = 0

Lời giải.

Phần nháp: Nếu đặt t = √ +5 ⇔ x = t2 − 5 thì từ PTVT, ta được √ 5 = Å t2 − 5 ã2
4x 2x2 − 3x − 7 − 4x + 2 −
44

t2 −5 −7− t = t4 − 2t2 −t − 1 = 1 t2 + 4t + 1 t2 − 4t − 1
3
4 8 88
√ 1
Nhưng chúng ta sẽ không giải tiếp t mà sẽ ngược lại t = 4x + 5 vào từng nhân tử: t2 + 4t + 1 t2 − 4t − 1
8√
1√ √√ x + 1 − 4x + 5
= 4x + 5 + 4 4x + 5 + 1 4x + 5 − 4 4x + 5 − 1 = 2x + 3 + 2 4x + 5
8

Vậy tóm lại ta c√ó: √√
2x2 − 3x − 7 − 4x + 5 = 2x + 3 + 2 4x + 5 x + 1 − 4x + 5 (∗)
√
Lời gải: Bạn đọc biến đổi PTVT như biểu thức (∗) , từ đó ta được nghiệm của phương trình là x = 5 + 1.

-Nhận xét: Hướng đi của bài này tuy hơi dài, nhưng cũng đủ để cho bạn đọc thấy việc tìm ra nhân tử trong

PTVT dạng này là có cơ sở. Chúng ta tạm gọi cách này là phương pháp đặt ẩn.

Tuy nhiên nếu biế√t trước ngh√iệm của PTVT√, chúng ta có √thể tìm ra nhân tử rất nhanh chóng
Thật vậy với x = 5 + 1 thì 4x + 5 = 4 5 + 9 = 2 + 5(1)

Nhưng vì đây là PTVT với các hệ số nguyên (gọi tạm là PTVT đơn giản), các nhân tử của nó cũng thường chỉ

là có hệ số nguyên. Bạn đọc thử quan sát (∗) , các hệ số của x, hệ số tự do, hệ số trong và ngoài căn thức đều

nguyên. . . √
Rất có thể 4x + 5 = ax√+ b với
√ √
Kết hợp với (1) ta thấy: 4x + 5 = 2 √+ 5 = 1 + 1 + 5 = 1 + x.
Vậy là PTVT sẽ√có nhân tử x + 1 − 4x + 5 . Bư√ớc tiếp theo là chỉ cấn biến đổi PTVT để có nhân tử này:
2x2 − 3x − 7 √− 4x + 5 = 2x2 −√4x − 8 + x + 1 − √4x + 5
= 2 x + 1 + √4x + 5 x + 1 − √4x + 5 + x + 1 − 4x + 5
= 2x + 3 + 2 4x + 5 x + 1 − 4x + 5

Chúng ta cũng tạm gọi cách làm này là phương pháp biết trươc nghiệm.

√
VÍ DỤ 2. Giải phương trình 3x2 − 2x − 5 − (5x − 1) 3x − 2 = 0.

Lời giải.

Phần nháp:

Phương pháp đặt ẩn: Đặt t = √ 2 ⇔ x = t2 + 2
3x − .
3
Từ PTVT ta có: 3x2 − 2x − 5 − (5x − √ − 2= 1 t4 − 5 t3 + 2 t2 − 7 − 5
1) 3x t
√3 3 3 3√
= 1 (t − 5) (t + 1) t2 − t + 3 1 √ 3x − 2 + 1 3x + 1 − 3x − 2
= 3x − 2 − 5
33

Phương pháp biết trước nghiệm: Sử dụng C√ASIO, t thấy PTVT có đúng một nghiệm x = 9
Do đó, giả sử PTVT có chứa 1 nhân tử là 3x − 2 + ax + b và nó chứa nghiệm x = 9 thì nó cũng có thể chứa

một nghiệm khác nghiệm x = 9 (trái với điều kiện là PTVT có nghiệm duy nhất).

Hơn nữa, x = 9 là một nghiệm đẹp. Vì vậy, với a = 0 sẽ giúp biểu thức bên trong nhân tử sẽ chỉ có nghiệm duy

nhất. √

Từ đó ta được nhân tử là 3x − 2 − 5 (vì nhân tử này chứa ngh√iệm x = 9)
Do đó, các bước tiếp the√o chỉ cần biến đổi PTVT để có nhân tử 3x − 2 − 5 :
3x2 − 2x − 5 − (5x − 1) √3x − 2 = 0
√
⇔ 3x2√− 27x = (5x −√1) 3x − 2 − 5 ⇔ 3x (x√− 9) = (5x − 1) 3x − 2 − 5
⇔ x 3x − 2 − 5 3x − 2 + 5 = (5x − 1) 3x − 2 − 5

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 217

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

√√ √√
⇔ 3x − 2 − 5 x 3x − 2 + 5 − 5x + 1 = 0 ⇔ 3x − 2 − 5 x 3x − 2 + 1 = 0

Lời giải: Dành cho bạn đọc từ làm. . .

√
VÍ DỤ 3. Giải phương trình: 15x2 − 8x − 1 + 3x2 + 17x + 9 x − 1 = 0.

Lời giải. √

Phần nháp: Đặt t = x − 1 ⇔ x = t2 + 1 √
Ta được: 15x2 − 8x − 1 + 3x2 + 17x + 9 x − 1

= 15t4 + 22t2 + 6 + 3t4 + 23t2 + 29 t √ √
= 3t2 + 9t + 2 t3 + 2t2 + t + 3 = 9 x − 1 + 3x − 1 x x − 1 + 2x + 1

Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm. . .
-Nhận xét: Với lý do là PTVT này vô nghiệm nên việc tìm nhân tử bằng phương pháp biết trước nghiệm sẽ

rất khó.

√
VÍ DỤ 4. Giải phương trình x3 + x2 − 5 − x2 + x + 4 x + 2 = 0

Lời giải.

Phần nháp: √

Phương pháp đặt ẩn: t = √x + 2 ⇔ x = t2 − 2 ta được:
x3 + x2 − 5 − x2 + x + 4 x + 2 = t6 − 5t4 + 8t2 − 9 − t4 − 3t2 + 6 t

= t6 − t5 − √5t4 + 3t3 + 8t2 − 6t − 9 √= t2 − t − 3 t4 − 2t2 + t + 3
= x − 1 − x + 2 x2 + 2x + 3 + x + 2
√ √
3 + 13 3 + 13
Phương pháp biết trước nghiệm: Ta tìm được 1 nghiệm x = . Giống ví dụ 1, ta thấy x = sẽ
2 2
 √ √
√ 7 + 13 13 + 1 = x − 1
thỏa mãn x + 2 = =
2 √2
Vậy PTVT có nhân tử x − 1√− x + 2
⇒ x3 + x2 − 5 − x2 + x + 4 x + 2
√
= x3 + x2 − 5 − x2 + x + 4 (x − 1) +√x2 + x + 4 x − 1 − x + 2
= x2 − 3x −√1 + x2 + x + 4 √x − 1 − x + 2
√
= x − 1 − √x + 2 x − 1 + x + 2√ + x2 + x + 4 x − 1 − x + 2
= x − 1 − x + 2 x2 + 2x + 3 + x + 2

Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm. . .

2. Mở rộng phương pháp: √

Chúng ta sẽ xét phương trình vô tỷ dạng: ax3√+ bx2 + cx + d − 3 mx + n = 0
Nhận xét: PTVT sẽ tồn tại một nhân tử là 3 mx + n + ux + v với Chúng ta sẽ tìm được u và v bằng những

cách sau:  

Cách 1: u= 3 9a2 (3an − bm) và v=   b3 (3an − bm) = bu
3a
27a2d − 9abc + 2b3 3 √
ux0 + v + mx0 + n = 0
3a (27a2d − 9abc + 2b3) u 3a

Cách 2: Giả sử ta tìm được một nghiệm x0 của PTVT thì ta có hệ phương trình sau: =
vb

Từ đó ta có thể tìm được nhân tử của PTVT

√
VÍ DỤ 1. Giải phương trình sau: 8x3 − 36x2 + 53x − 25 − 3 3x − 5 = 0(∗)

Lời giải.

Phần nháp: Trước tiên ta tìm nhân tử

Cách 1: Theo công thức, thế a = 8, b = −36, c = 53, d = −25, m = 3, n = −5 ta được u = −2 và v = 3.

Cách 2: Ta thấy rằng PTVT tồn tại nghiệm x0 = 2

Ta có hệ phương trình: 2u + v + 1 = 0 ß u = −2
u −2 ⇒ v=3

=
v 3√
Vậy là chúng ta đã biết có nhân√tử 3 3x − 5 − 2x + 3 Cách 1: Phân tích đa thức thành nhân tử
(∗) ⇔ 8x3 − 36x2 + 51x − √22 = 3 3x − 5 − 2x + 3
⇔ (2x − 3)3 − (3x − 5) = 3 3x − 5 − (2x − 3)
√ √
⇔ 2x − 3 − 3 3x − 5 » − 5)2 + 3 3x − 5 (2x − 3) + (2x − 3)2 + 1 =0
√ 3 (3x
3 3x
⇔ − 5 − 2x + 3 = 0 ⇔ 3x − 5 − (2x − 3)2 = 0 ⇔ (x − 2) 8x2 − 20x + 11 =0

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 218

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

√√
Cách 2: Nhờ nhân tử 3 3x − 5 − 2x + 3 , ta được√3 3x − 5 = 2x − 3
Vậy biến đổi PTVT thành (2x − 3)3 + (2x − 3) = 3 3x − 5 + 3x − 5

Xét hàm số f (t) = t3 + t. √

Ta có f (t) = 3t2√+ 1 > 0, ∀t nên f (t) luôn đồng biến, mà theo giả thiết thì f (2x − 3) = f 3 3x − 5
Suy ra 2x − 3 = 3 3x − 5 ⇔ 3x − 5 − (2x − 3√)3 = 0 ⇔ (x − 2) 8x2 − 20x + 11 = 0 √

Cách 3: Sử dụng nhân liên hợp nhờ nhân tử 3 3x − 5 − 2x + 3 (∗) ⇔ 8x3 −36x2 +51x−22 = 3 3x − 5−2x+3

⇔ 8x3 − 36x2 + 51x − 22 = 3x − 5 − (2x − 3)3

» − 5)2 + √ − 5 (2x − 3) + (2x − 3)2
3 (3x 3 3x

Ñé

⇔ 8x3 − 36x2 + 51x − 22 1 + 1 =0

» − 5)2 + √ − 5 (2x − 3) + (2x − 3)2
3 (3x 3 3x

⇔ (x − 2) 8x2 − 20x + 11 = 0.

√
VÍ DỤ 2. Giải phương trình 81x3 + 162x2 + 114x + 29 − 4 3 2x + 1 = 0

Lời giải.

Phần nháp: Đầu tiên, vẫn là tìm nhân tử của PTVT

81 162 114 29
Cách 1: Với a = , b = , c = , d = , m = 2, n = 1, ta được:

44 44
 
9a2 (3an − bm)
u= 3 27a2d − 9abc + 2b3 = −3 và v = bu = −2.
3a

−u + v − 1 = 0

Cách 2: Dễ thấy PTVT có 1 nghiệm là x0 = −1, do đó ta có hệ phương trình sau: u3
=
v2
ß u = −3 √ √
v = −2 . Tóm lại, PTVT có nhân tử là 3 2x + 1 − 3x − 2 81x3 + 162x2 + 114x + 29 − 4 3 2x + 1 = 0
⇔
√
⇔ 81x3 + 162x2 + 114x + 29 − 4√(3x + 2) = 4 3 2x + 1 − 3x − 2
⇔ 3 2x + 1 − 3x 2
3 Ä + 2)3 − (2x + ä = 4 −
(3x 1) √
4 3 2x
⇔ 3 (3x + 2)3 + 4 (3x + 2) = 3 (2x + 1) + + 1(1)

Xét hàm số f (t) = 3t3 + 4t. Ta có f (t) = 9t2 + 4 > 0 nên f (t) luông đồng biến.

Từ (1) suy ra (3x + 2)3 = 2x + 1 hay (x + 1) 27x2 + 27x + 7 = 0

-Nhận xét: Phương pháp này sẽ giúp bạn đọc tìm ra những đẳng thức đẹp như ở PT (1)

2 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CHỈ CÓ MỘT CĂN THỨC DẠNG F (X) VỚI F (X) CÓ BẬC LỚN HƠN 1

√
So sánh với PTVT chỉ có một căn thức dạng ax + b , chúng ta có thể nhận thấy phương pháp tìm nhân tử
bằng cách đặt ẩn t = f (x) khá khó để thực hiện được. Do đó, với PTVT dạng này, phương pháp biết trước
nghiệm sẽ được phổ biến hơn. . .

-Ý tưởng tìm lời giải:
Phương pháp biết trước nghiệm sẽ giúp chúng ta tìm được nhân tử của PTVT qua các nghiệm chúng ta tìm
được.

√
VÍ DỤ 1. Giải phương trình sau: 4x2 − 4x − 5 − (x + 1) 2x2 − 1 = 0

Lời giải. √

Phần nh√áp: Ta có thể tìm r√a nghiệm √x = 1 + 3 bằng CASIO.
Khi đó 2x2 − 1 = 7 +Ä4√ 3 = 2 + 3=x+1
ä
Vật PTVT có nhân tử là 2x2 − 1 − x − 1

Bước tiếp theo là biến √đổi PTVT: 3x2 − 6x − 6 − (x + 1) Ä√2x2 − 1 − x − ä
4x2 − 4x − 5 − (x + 1) 2x2 − 1 = 1
Ä√ ä Ä√ ä Ä√ ä
= 3 2x2 − 1 − x − 1 2x2 − 1 + x + 1 − (x + 1) 2x2 − 1 − x − 1
Ä√2x2 Ä3√2x2
= − 1 − x − ä − 1 + 2x + ä
1 2

Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm. . .
-Nhận xét: Chắc bạn đọc có thể nhận ra rằng: CASIO là mộ trợ thủ đắc lực trong việc giải toán.

√
VÍ DỤ 2. Giải phương trình x2 + 7x − 8 + 2 (x − 3) 2x2 − x − 1 = 0

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 219

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

Lời giải.

Phần nháp: Sử dụng máy tính CASIO để tìm nghiệm của PTVT, nhưng PTVT lại có 2 nghiệm hữu tỷ: x = 1
10

và x = .
7

Nếu như là nghiệm vô tỷ như ở ví dụ 1 thì ta có thể tìm ra được luôn nhân tử mà không cần nghiệm khác, còn

2 nghiệm hữu tỷ thì sẽ phải làm như sau:
Ä√2x2
Giả sử PTVT có nhân tử − x − 1 + ax + ä Khi ấy, nhân tử này sẽ chứa cả 2 nghiệm x = 1 và x = 10
b. .
7
√ 10 √ 9 10a
Khi x = 1 thì 2x2 − x − 1 + ax + b = a+b Khi x = thì 2x2 − x − 1 + ax + b = + +b
7 77

Từ đó ta thấy a,b là nghiệm của hệ phương trình sau: a+b=0 ß a = −3
9 10a ⇔ b=3

+ +b=0
77
Ä√2x2 ä
Vậy nhân tử sẽ là − x − 1 − 3x + 3

Bước tiếp theo là biến đ√ổi PTVT theo nhân tử ta tìm được: − 3) Ä√ − x − 1 − 3x + ä
x2 + 7x − 8 + 2 (x − 3) 2x2 − x − 1 = 7x2 − 17x + 10 + 2 (x 2x2 3
Ä√2x2 Ä√2x2 Ä√2x2
= Ä√ − x − 1 − 3x + ä ä Ä√ − x − 1 + 3x − ä + 2 (x − 3) − x − 1 − 3x + ä
3 3 3

= − 2x2 − x − 1 − 3x + 3 2x2 − x − 1 + x + 3 ä

Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm
-Nhận xét: Những ví dụ trên đều là cho PTVT có không quá hai nghiệm để bạn dọc dễ tiếp cận với ý tưởng
giải PTVT bằng phương pháp này. Vậy nếu PTVT cho nhiều hơn 2 nghiệm thì sao?

√
VÍ DỤ 3. Giải phương trình sau: 7x2 + 6x + 26 + (5x − 32) x2 + 3x − 1 = 0.

Lời giải.

Phần nháp: Sử dụng CASIO, ta có thể tìm được 2 nghiệm của PTVT. Nhưng nếu bạn sử dụng CASIO để tìm

kiếm thêm nghiệm nữa, bạn sẽ tìm được cả 4 nghiệm của PTVT: x = ß 34 ; −5; 5™ Thực ra thì, bạn đọc
− ;2 .
38

chỉ cần 2 nghiệm trong số 4 nghiệm đó, rồi làm tương tự như ví dụ 2, ta cũng có thể đưa được ra kết quả. . . Thật

vậy, ta có các cặp và nhân tử tương ứng như sau:
Å√
 Å 34 ; ã ⇒ x2 + 3x − 1 + 20 43 ã
 − 5 x+

 3 19 19
 Å√
 Å 34 ; 5ã ⇒ x2 + 3x − 1 + 5 − 11 ã
 − x
 38 7 7






 Å 34 ; ã ⇒ Å√ + 3x − 1 + 1 x − ã
 − 2 x2 4




32
Å√
Å 5 ã ⇒ x2 + 3x − 1 + 1x − 4ã
−5;




 8 Ä√ 3 3
 ä
 (−5; 2) ⇒ x2 + 3x − 1 − 3






 Å5 ã ⇒ Å√ + 3x − 1 − 15 − 3ã
 ;2 x2 x 11
 11
 8



√
Điều này khiến PTVT có 3 cách nhóm nhân tử với 2 nhóm cặp nghiệm khác nhau: 7x2+6x+26+(5x − 32) x2 + 3x − 1
Å√ Å√
= − 209 x2 + 3x − 1 + 20 + 43 ã x2 + 3x − 1 − 15 − 3ã
x x
13 19 19 11 11
7 Ä√x2 Å√
= + 3x − 1 − ä x2 + 3x − 1 + 5 − 11 ã
3 x
77
Å√ ã Å√
= 6 x2 + 3x − 1 + 1 − 4 x2 + 3 − 1 + 1 − 4ã
x x
2 33

Lời giải: Dành cho bạn dọc tự làm. . .

-Nhận xét: Nếu PTVT có nhiều cặp nghiệm hữu tỷ thì có nhiều cách phân tích thành nhân tử, hãy chọn lấy

một cách và biến đổi nó. . .

Giờ bạn nhìn các ví dụ sau, sẽ thấy cách giải của nó khá đơn giản:

√
VÍ DỤ 4. Giải phương trình sau: x2 − 4x − 8 + x x2 + x = 0

Lời giải. √

2 + 2 13
Phần nháp: Ta tìm được 1 nghiệm x =
3
Từ đó ta được √ + x =   + √ = 7 √ = x +2
x2 62 14 3 13
+
9 9 33 2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 220

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

Vậy nhân tử có √ + x − x + 2 , từ đó ta được:
x2
2
x2 − 4x − √ +x = 3 x2 − 2x − 8 + x √ + x − x − 2
8 + x x2 x2
√2 2
=2 √ + x − x − 2 x2 + x + x + 2 +x √ + x− x − 2
x2 x2
Ä √ 2 ä Ä√ 2 2
ä
= 2 x2 + x − x − 4 x2 + x + x + 2

Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm. . .

√
VÍ DỤ 5. Giải phương trình sau: x2 − 6x + 4 + x3 − x + 1 = 0.

Lời giải.

Phần nháp: Dễ thấy phương trình có nghiệm là x = 1 và x = 3.

Tương tự ví dụ 2, ta ß 1+a+b=0 ß a = −2
có hệ 5 + 3a + b = 0 ⇔ b=1

Ä√ ä
Từ đó ta được nhân tử x3 − x + 1 − 2x + 1
Ä√x3 Ä√x3
Với chú ý: − x + 1 − 2x + ä − x + 1 + 2x − ä = x (x − 1) (x − 3) , từ đó ta được:
√ 1 Ä√ 1
x3 x3
x2 − 6x + 4 + − x + 1 = (x − 1) (x − 3) + − x + 1 − 2x + ä
Ä√x3 Ä√x3 1

− x + 1 − 2x + ä − x + 1 + 2x − ä Ä√x3 − − ä
1 1 1

= Ä√ äxÄ√ ä + x + 1 2x +

x3 − x + 1 − 2x + 1 x3 − x + 1 + 3x − 1

=
x

Lời giải: Dành cho bạn đọc tự giải. . .

Nhận xét: Đôi khi chúng ta phải biến đổi nhân tử ở dạng phân số.

√
VÍ DỤ 6. Giải phương trình sau: x3 + 3x2 − 7x − 1 + (3x + 1) x3 − 7x + 6 = 0.

Lời giải. √

Phần nháp: Ta thấy PTVT có nghiệm là x = −1 + 5 .

√  √ 5 5− √2
Suy ra x3 − 7x + 6 = 15 − 5 = 5 =2−x

Suy ra nhân tử là Ä√x3 − 7x 2 6 + x − 2
+
ä
2.
Ä√ ä Ä√ ä
Chú ý x3 − 7x + 6 + x − 2 x3 − 7x + 6 − x + 2 = (x − 2) x2 + x − 1

Do đó ta có: √

f (x) = x3 + 3x2 − 7x − 1 + (3x +Ä1√) x3 − 7x + 6 x − ä
= (x − 1) x2 + x − 1 + (3x + 1) x3 − 7x + 6 + 2

Ä√x3 Ä√x3 Å x − 1 ã Ä√x3

= − 7x + 6 + x − ä − 7x + 6 − x + ä x−2 + (3x + 1) − 7x + 6 + x − ä
2 2 +6+x 2

Ä√x3 − − ä Ñ Ä√x3 − 7x − ä (x − é
2 3x 2 1)

= 7x + 6x + x + 1 + x−2

Ä√x3 − 7x + 6 + x − ä Ä − 1) √ − 7x + 6 + 2x2 − 2x − ä
2 (x x3 4

= x − √2
− 1) x3
Ä√x3 − 7x + 6 + x − ä Ä − 7x + 6 + 2 (x + 1) (x − ä
2 (x 2)

= x−2
Ä ä Ä ä
− − − 2 (x − − − − 2)
(x 1) (x 2) (x + 3) + x 1) (x 1) (x 2) (x + 3) + 2 (x + 1) (x (∗)

= x−2

√
Đến đây, bạn đọc có thể nhận ra từng nhân tử có chung x − 2!!!

Điều này chưa chính xác, bởi đkxđ: −3 ≤ x ≤ 1 hoặc x ≥ 2. Vì vậy chúng ta phải xét 2 trường hợp:

TH1: x ≥ 2. Từ (∗) ta có: √ äÄ √ä
Ä
f (x) = (x − 1) (x + 3) + x − 2 (x − 1) (x − 1) (x + 3) + 2 (x + 1) x − 2

TH2: x < 2 . Từ (∗) ta có: √ äÄ √ä
Ä
f (x) = − (x − 1) (x + 3) − 2 − x (x − 1) − (x − 1) (x + 3) − 2 (x + 1) 2 − x

Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm. . .
-Nhận xét: Có lẽ bạn đọc sẽ thấy một điều: ở TH2, nhân tử

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 221

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

Ä √ä √
A = (x − 1) − (x − 1) (x + 3) − 2 (x + 1) 2 − x vẫn còn phân tích được tiếp bởi nó còn nghiệm x = − 5.
√
Ä − − − 2 − ä Ä − − ä
3) 3
(x 1) (x + 3) x (x + (x 1) (x 2) (x + 3) + x +

Thực ra thì A = x+3

Sau đó, cũng có 2 TH như trên. . . Nhưng tại sao lại có thể phân tích được A thành như vậy?

Các trường hợp trên đều là cách làm của một căn thức, còn ở đây là nhiều căn thức. Vì vậy, hãy đọc tiếp phần

III để hiểu được phương pháp làm dạng này. Phần III là phần khó và thường gặp nhất trong các đề thi đại học,

cao đẳng. . .

3 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CÓ NHIỀU CĂN THỨC

Ý tưởng tìm lời giải:
Phương pháp biết trước nghiệm sẽ giúp ích rất nhiều trong việc tìm nhân tử.

√√
VÍ DỤ 1. Giải phương trình sau: 5x − 6 + 5 x − 1 + x2 − 1 = 0

Lời giải. √

Phần nháp: Bước đầu tiên vẫn là tìm nghiệm của PTVT. Sử dụng CASIO ta được nghiệm x = 45 − 3 17 .

√ √32
Để ý rằng: x2 − 1 = (x − 1) (x + 1) . Vì vậy, có thể coi PTVT chỉ chứa 2 căn thức, đó là x − 1 và x + 1.
  √ √
√ 13 − 3 17 −3 + 17
√  x−1= = 8√
45 − 3 17    32√ =
Với x= thì  √ 77 − 3 17 −1 + 3 17 (∗)
32  8√

 x+1= 32




√
Tuy nh√iên, PTVT √dạng này thường khồn có nhân tử dạng x − 1 + ax + b và x + 1 + ax + b mà sẽ có
dạng x − 1 + m x + 1 + n , tức à bao √gồm luôn cả√2 dạng kia.
Để ý từ (∗) , ta thấy để có nhâ√n tử dạng x−1 +m x+1+n thì ta lấy:
√√ 3 Ä−3 ä − −1 √ = −1 để m, n là các số hữu
3 x−1− x+1 = 3 17
+ 17 +

8√ √ 8 tỷ

Vậy nhân t√ử của PT√VT là 3 x − 1 − x√+ 1 + 1 √. Bước√tiếp theo là biến đổi PTVT để có nhân tử đó:
5x − 6 + 5 x√− 1 + x√2 − 1 = 5√x − 6 + 5 √x − 1 + x − 1 x + 1
= 8x − 9 + √6 x − 1 − x − 1 3 x√− 1 − x√+ 1 + 1
√√ √√
Để 8x−9+√6 x − 1 có nhân tử là 3 x − 1 − x + 1 + 1 , ta chỉ cần nhân liên hợp: 3 x − 1 − x + 1 + 1 3 x − 1 + x +
8x − 9 + 6 x − 1 √
√
Do đ√ó: 5x − 6 +√5 x − 1 + √x2 − 1 √
√√ √
= 3√x − 1 − √x + 1 + 1 3√x − 1 + √x + 1 + 1 − x − 1 3 x − 1 − x + 1 + 1
= 3 x−1− x+1+1 2 x−1+ x+1+1

Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm. . .

-Nhận xét: Chắc nhiều bạn thắc mắ√c: √ √√
Tạ√i sao lại n√hân liên hợp giữa √3 x − 1 √− x + 1 + 1 với 3 x − 1 + x + 1 + 1 , mà lại không phải là
3 x − 1 − x√+ 1 − 1 h√oặc 3 x − 1√+ x − 1√− 1 ?
√
Th√ực ra thì:√3 x − 1 − √x + 1 + 1 √3 x − 1 − x + 1 − 1 =√10x − 9 − 6 x2 − 1
3 x − 1 − x + 1 + 1 3 x −√1 + x + 1 − 1 = 8x − 11 + 2 x + 1
Chúng không có căn thức dạng x − 1 như mình đang cần.

√√
VÍ DỤ 2. Giải phương trình sau: 4x + 3 + 2 1 − x2 − 4 1 + x = 0. (Đề thi thử ĐH lần 1 chuyên Lam
Sơn 2013)

Lời giải. √

Phần nháp: Bước đầu tiên vẫn là tìm nghiệm x = −36 + 3 19 bằng CASIO

√ √ 50 √ √√
√ 3 + 19 √ −1 + 3 19 −36 + 3 19
Khi đó 1 + x = và 1 − x = . Suy ra x = thỏa mãn 3 1 + x− 1 − x−1 =
10 10 50
0 √√
Suy ra PTVT có n√hân tử là 3√ 1 + x − 1 − x −√1 .
√√
Do đó: 4x + 3√+ 2 1 − x2√− 4 1 +√x = 4x +√3 − 4 1 + x + 2 1 − x 1 + x
= 10x + 9 − 6 1 +√x − 2 1 +√x 3 1 + x − 1 − x − 1
√ √√ √
Để nhân liên hợp 3 1 + x − 1 − x − 1 với một biểu thức để thu được 1 + x thì ta phải chọn: 3 1 + x − 1 − x − 1 3

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 222

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

√
10x + 9 − 6 x + 1
√ √
Từ đ√ó ta được:√4x + 3 + 2 1√− x2 − 4 √1 + x
√√ √
= 3√1 + x − √1 − x − 1 √3 1 + x +√ 1 − x − 1 − 2 1 + x 3 1 + x − 1 − x − 1
= 3 1+x− 1−x−1 1+x+ 1−x−1

Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm. . .

√√ √
VÍ DỤ 3. Giải phương trình sau: x + 3 + 1 + x − 1 − x − 3 1 − x2 = 0.

Lời giải.

Phần nh√áp: Viết l√ại PTVT d√ưới dạn√g sau:
x+3+ 1+x− 1−x−3 1+x 1−x=0

Sử dụng CASIO, ta tìm được 2 nghiệm x = 0 và x = − 24
√√ 25

Giả sử nhân tử có dạng 1 + x + a 1 − x + b .

Khi đó ta được hệ phương trình: 1+a+b=0 ß a=2
17 ⇔ b = −3

+ a+b=0
√ 5 5√
Từ đó ta nhận được nhâ√n tử 1√+ x + 2 1√− x − 3√
Từ đó ta đ√ược: x + 3√+ 1 + x − √1 − x − 3 1 + x 1 − x
= x + 3 − 1 −√x + 1 + x 1 −√3 1 − x√
√
= 12 − 5x − 12 1 −√x + 1 − 3√1 − x 1 + 1 + 2 1 − x − 3
√
Cần nhân liên hợp 1 + x + 2 1 − x − 3 với một biểu thức để thu được biểu thức chỉ chứa căn thức 1 − x

.√ √ √√ √
Ta lấy 1 + x + 2 1 −√x − 3 −√ 1 + x + 2√ 1 − x√− 3 = 12 − 5x −√12 1 − x√
√
Từ √đó ta được:√x + 3 + 1 + x√− 1 − x√− 3 1 + x 1 − x = √x + 3 − √1 − x + 1√+ x 1 − 3 1 − x
= 1√+ x + 2 1√− x − 3 − √1 + x + 2√ 1 − x − 3 + 1 − 3 1 − x 1 + x + 2 1 − x − 3
=− 1+x+2 1−x−3 1+x+ 1−x+2

Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm. . . √√

-Nhận xé√t: Bài toá√n trên có 2 nghiệm hữu tỷ. Chúng cùng thuộc nhân tử 1 + x + 2 1 − x − 3 , nhân tử
còn lại 1 + x + 1 − x + 2 không có nghiệm. Điều này tạo điều kiện thuận lợi cho phươn pháp biết trước

nghiệm. Tuy nhiên, nhiều PTVT cũng có 2 nghiệm hữu tỷ, nhưng mỗi nghiệm lại thuộc một nhân tử khác nhau.

Để hiểu rõ hơn, bạn đọc cùng xem ví dụ 4:

√√√
VÍ DỤ 4. Giải phương trình sau: 5x − 15 − 6 1 + x + 12 1 − x + 15 1 − x2 = 0

Lời giải.

Phần nháp: Sử dụng CASIO, ta dễ dàng tìm được 2 nghiệm là: x = − 24 và x= 3
.
√ 2√5 5
Nếu vẫn theo phương pháp trên, giả sử PTVT có nhân tử 1 + x + a 1 − x + b

Thì2t√a1c0ó hệ√phương trình: √
10 a = 1 + 10
 + a+b=0 
  3√
 b = − 10 + 7 10
55 ⇔
17  15
 + a+b=0  các hệ số đều nguyên,

có
55 √
10
Thật là lẻ! Trong khi đó PTVT nên việc phân tích PTVT để có nhân tử Ç√ + x + 1 + √ − x −
1 1
3

là khó khăn√, nhưng khô√ng phải là kh√ông thể! Thật vậy:
5x − 15 − 6 1 + x√+ 12 1 − x + 15 1 √− x2
Ç√ + x å
1+ 10 √ 10 + 7 10
=1 + 1 − x −
3 15
Ç 5 + √ x+ 15 − √ −x √ å
4 10 √ 3 10 √ 5 10
+ + 5 +
1 1 2
22

Vậy điều chúng ta cần là gì? √ √
Chính là tìm nhân tử có dạng 1 + x + a 1 − x + b vừa thỏa mãn 1 trong 2 nghiệm của bài toán, vừa thỏa

mãn √ √
3 2 10 10
Để ý thì ta thấy: khi x = thỏa mãn nhân tử trên thì + a+b=0
5 5 √5 √

Vậy, để thì √a = −2 và b√= 0 .Tóm lạ√i, PTVT sẽ tồn tại nhân tử 1 + x − 2 1 − x . Từ đó ta được:
5x − 15 − 6 1 + x + 12 1 − x + 15 1 − x2

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 223

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

√√ √
= 5x − 15 + 12 1 − x +√ 1 + x √−6 + 15 1√− x
= 15 −√25x + −6√+ 15 1 −√x 1 + x√− 2 1 − x
√ √√
= −5 √ 1 + x − √2 1 − x √1 + x + 2√1 − x + −6 + 15 1 − x 1+x−2 1−x

=− 1+x−2 1−x 5 1+x−5 1−x+6

Lời giải: Dành cho bạn dọc tự làm. . . √√
1+x−2 1−x
3 và nghiệm x = − 24 của nhân tử
-Nhận xét: PTVT này có nghiệm x = của nhân tử 25
√√ 5

5 1 + x − 5 1 − x + 6 . Vậy còn trường hợp PTVT chỉ có 1 nghiệm hữu tỷ thì sao. . .

√√√
VÍ DỤ 5. Giải phương trình sau: 3x − 10 + 3 2 + x − 6 2 − x + 4 4 − x2 = 0 (Đề thi ĐH khối B năm
2011)

Lời giải.

Phần nháp: Sử dụng CASIO, ta chỉ tìm thấy một nghiệm x = 6

√4 √ √5
Tương tự ví dụ 4, ta thấy 2 + x = 5 √ 2 5
và 2−x =
√ √5 √ 5
Vì lý√do giá trị√của 2 + x và 2 − x đều chứa 5 , PTVT có các hệ số nguyên, nên ta nghĩ ngay đến nhân
tử 2 + x √− 2 2 − x √. Khi đó, √ta có:
3x − 10 + 3 2√+ x − 6 √2 − x + 4 4 −√x2
= 3x − 10 − 6 √2 − x + √2 + x 3 + 4 2√− x
= −5x√+ 6 + 2√+ x − 2 √2 − x 3 +√4 2 − x √
√ √
= −√ 2 + x −√2 2 − x √ 2 + x +√2 2 − x + 2 + x − 2 2 − x 3 + 4 2 − x
= 2+x−2 2−x 2 2−x− 2+x+3
√√
6√ 4 5 √ 2 5
-Nhận xét: PTVT trên chỉ có một nghiệm hữu tỷ, khi thay x = thì 2 + x = và 2−x = . Từ
5 5 √5
√√ 6
đó có thể dễ dàng tìm được nhân tử 2 + x − 2 2 − x . Tuy nhiên giả sử khi thay x = , ta thấy 2 + x và
√5
2 − x đều là số hữu tỷ thì sao?

√√
VÍ DỤ 6. Giải phương trình sau: 2x2 − 5x − 1 − x − 2 − 4 − x = 0

Lời giải.

Phần nháp: Sử dụng máy tính CASIO, ta thấy PTVT này có nghiệm duy nhất x = 3.

a) Phương phá√p nhân liên hợ√p:
Khi x = 3 thì x − 2 =√1 và 4 √− x = 1.
Do đó: 2x2 − 5x − √1 − x − 2 − 4√− x
= 2x2 − 5x − 3 − x − 2 − 1 − 4 − x − 1

= (2x + 1) (x − 3) − √ x − 3 + √ x − 3
x−2+1 4−x+1

Å 1 +√ 1 ã
= (x − 3) 2x + 1 − √
x−2+1 4−x+1

Vì PTVT có nghiệm duy nhất x = 3 nên nhân tử

Å 1 +√ 1 ã
2x + 1 − √ có thể chứa nghiệm x = 3 hoặc là vô nghiệm. Thành thử ta thấy
x−2+1 4−x+1

Å 1 +√ 1 ã
2x + 1 − √ không chứa nghiệm x = 3. Vậy ta chứng minh nó vô nghiệm:
x−2+1 4−x+1

Ta thấy 2x + 1 − √ 1 +√ 1 ≥ 2x + 1 − 1 + √ 1 = 2x + √ 1 >0
x−2+1 4−x+1 4−x+1 4−x+1

Vậy bài toán được giải quyết theo hướng đó. . .

b) Phương pháp đạo hàm: √ √

xét hàm f (x) = 2x2 − 5x − 1 − x − 2 − 4 − x

Ta có f (x) = 4x − 5 − √ 1 + √ 1
2 x−2 2 4−x

Giải phương trình f (x) = 0 ta thấy có một nghiệm x = 2, 021126

Do đó, ta phải xét khoảng từng miền cho x:

Nếu x ≥ 73 thì ta có 3 − √ 1 ≥ 0.
36 2 x − 2

Khi đó f (x) = 4 (x − 2) + 3 − √ 1 + √ 1 > 0 . Vì vậy, f (x) đồng biến, suy ra x = 3 là nghiệm duy
2 x−2 2 4−x

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 224

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

nhất của f (x) = 0 √ √
x 4
Nếu 2 < x < 73 Ta có − 2 > 0 và − x > 0.
.
36
Å 73 ã 55 Å 73 ã 1889
Suy ra f (x) < 2x2 − 5x − 1 = 2 (x − 2) x − + x − − < 0
36 18 36 648

Từ đó ta có giải quyết trọn vẹn bài toán này bằng phương pháp đạo hàm

√√
VÍ DỤ 7. Giải phương trình sau: x − 3 + (x + 1) x − 1 − (x − 1) x + 2 = 0

Lời giải.

Phần nháp: Sử dụng CASIO ta thấy PTVT này có nghiệm duy nhất x = 2 . Do đó, sẽ có nhiều cách làm cho

những bài dạng này:

a) Phương phá√p nhân liên hợ√p:
Khi x = 2 thì √x − 1 = 1 và x √+ 2 = 2. Từ đó ta √được:
√
x − 3 + (x + 1) x − 1 − (x − 1) x + 2 = (x + 1) x − 1 − 1 − (x − 1) x + 2 − 2

(x√+ 1) (x − 2) (x√− 1) (x − 2) Å x+1 − √ x−1 ã
(x − 2) √
= x−1+1 − x+2+2 = x−1+1 x+2+2

Với lý do PTVT có nghiệm duy nhất x = 2 như trên và (x − 2) đã chứa nghiệm x = 2 rồi, Å x+1 − √ x−1 ã
vì vậy √
x−1+1 x+2+2

sẽ vô nghiệm hoặc chứa nghiệm x = 2. Thành thử, ta thấy x = 2 không thỏa mãn nhân tử trên. Do đó ta chỉ

cần chứng minh nhân tử ấy vô nghiệm:
√ x+1 − √ x−1 ≥ √ x+1 − √ x−1 = √ 2
x−1+1 x+2+2 x+2+2 x+2+2 x+2+2 >0

Vậy Å x+1 − √ x−1 ã
√ = 0 vô nghiệm. Từ đây dễ dàng có một lời giải hoàn chỉnh cho bài toán. . .
x−1+1 x+2+2

b) Phương pháp đạo hàm: √ √

xét hàm số f (x) = x − 3 + (x + 1) x − 1 − (x − 1) x + 2

Khi đó f (x) = 1 + 3√x − 1 − 3√x + 1
2 x−1 2 x+2

Vì ta thấy f (x) = 0 có một nghiệm duy nhất x = 2 và f (x) = 0 vô nghiệm nên ta chỉ cần chứng minh f (x) > 0

hoặc f (x) < 0 với mọi x. Để biết f (x) > 0 hay f (x) < 0 , ta thử một gái trị nào đó của x mà thỏa mãn đkxđ.

5
Ví dụ: Thay x = 2 thì f (2) = > 0

4

Vậy là ta chỉ cần chứng minh f (x) > 0 với mọi x > 1. Ta thấy:

Nếu 1 < x ≤ 2 thì f (x) = 1 + 3√x − 1 − 3√x + 1 > 1 + 3x − 1 − 3x√+ 1
√ √ √ 2 x − 1√ 2 x + 2 2 23

3− 3 1− 3 3− 3 1− 3
= x+ > + >0
2 2 22
Nếu x > 2 thì f (x) = 1 + 3√x − 1 − 3√x + 1 > 1 + 3√x − 1 − 3√x + 1 = 1 − √ 2 > 0
2 x−1 2 x+2 2 x+2 2 x+2 x+2

Từ đó ta có đpcm. Vậy, ta luôn có f (x) > 0, suy ra f (x) đồng biến, suy ra x = 2 là nghiệm duy nhất của

f (x) = 0

Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm. . .

-Nhận xét: Phương pháp đạo hàm giúp chúng ta chứng minh được phương trình có bao nhiêu nghiệm. Tuy

nhiên, thường thì PTVT là một đa thức phức tạp, việc đạo hàm sẽ trở lên khó khăn, đặc biệt là trong việc

chứng minh f (x) > 0 hoặc f (x) < 0

Trong khi đó, phương pháp nhân liên hợp sẽ được ưa chuộng hơn. . .

Tuy nhiên, nếu cố gắng phân tích nhân tử PTVT trên, ta có:
√ √ √√ √√
x − 3 + (x + 1) x − 1 − (x − 1) x + 2 = 1 x+2+ x−1−3 x x+2− x−1 +3

3 √√
Sẽ có nhiều bạn thắc mắc: PTVT chỉ có nghiệm x = 2 thì làm sao có được nhân tử x + 2 + x − 1 − 3 ???

Thực ra thì PT√VT này còn một √cách phân t√ích nữa: √ √√
x − 3 + (x + 1) x − 1 − (x − 1) x + 2 = x + 2 − √x − 1 − √1 x + 2 + x − 1 + x
Vẫn tồn đọng câu hỏi khó: làm sao có được nhân tử x + 2 − x − 1 − 1 ???

Nếu bạn đọc muốn đi sâu vào việc phân tích nhân tử, hãy đến với ví dụ sau:

√√
VÍ DỤ 8. Giải phương trình sau: x2 − 2x + (x + 1) x − 1 − (x − 1) x2 − 1 = 0.

Lời giải. Trang 225
5

Phần nháp: Sử dụng CASIO, ta thấy PTVT này có nghiệm duy nhất x =
4

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

Khi x= 5 thì √ = 1 và √ = 3
x−1 x+1 .
4 42
Å√ √ a 3ã √
Giả sử PTVT có nhân tử x + 1 + ax − 1 − − với a hữu tỷ. Khi đó ta có: x2 − 2x + (x + 1) x − 1 −
22
√√
(x − 1) x − 1 x + 1

= − (x − 1) √ − 1 Å√ + 1 + √ − 1 − a − 3ã (−ax + a − x + 5) √ − 1 + x2 − 2x + x2a − 2ax + a(1)
x x ax + x
22 2

Ta cần (−ax + a − x + 5) √ − 1 + x2 − 2x + x2 a − 2ax + a chứa nhân tử Å√ √ a − 3ã
x x+1+a x−1−
2 22
Å√ √ Å√ √ √
Do x + 1 + ax − 1 − a − 3ã −x + 1 + ax − 1 − a − 3ã = −a (a + 3) x − 1−x+ 3a− 3 a2 + a2x +

22 22 24

5
(2)

4
−ax + a − x + 5

Suy ra 2 = x2 − 2x + x2a − 2ax + a (∗) đúng với mọi x ≥ 1
−a (a + 3)
−x + 3 − 3 a2 + a2x + 5
a
24 √4

Nếu x = 2 thì từ√(∗) ta có √a = −1 hoặc a = −5 ± 2 7 . Nhưng do a hữu tỉ nên a = −1
Vậy nhân tử là √x + 1 − x − 1 −√1 . T√ừ (1) và(2) ta được:
x2 − 2x + (x√+ 1) x√− 1 − (x −√ 1) x − 1 x +√1
= − √(x − 1) x√− 1 x + 1 −√ x − 1 −√1 + 2 x − 1 −√1
Và x + 1 − x − 1 − 1√ − x + 1 − x√− 1 − 1 = 2 x − 1 − 1
Vậy là: x2 −√2x + (x √+ 1) x −√1 − (x − 1) x2√− 1
√ √√
= − (x√− 1) x √− 1 x + 1 − x − 1√− 1 + √x + 1 − √x − 1 − 1 − x + 1 − x − 1 − 1
= − x + 1 − x − 1 − 1 (x − 1) x − 1 + x + 1 + x − 1 + 1

Lời giải: Dành cho bạn đọc tự làm. . .

-Nhận xét: Phương pháp biết trước nghiệm cho lời giải khá dài. . .

Tuy nhiên, bằng việc sử dụng số chính phương, ta có thể sáng tạo ra cách làm khác độc đáo hơn!

Bạn đọc thử q√uan sát cá√ch làm√sau: √ √√
Với x = 4 thì x − 1 = 3 và x + 1 = 5. Khi đó bộ đôi này khác biệt nhau và 15 chính là x2 − 1
√ √ √√ Å√ √
Ta có x2−2x+(x + 1) x − 1−(x − 1) x2 − 1 = 8+5 3−3 15. Giả sử PTVT có nhân tử x + 1 + ax − 1 − a − 3ã

Å√ √ 22
5 a3
(giống như cách làm trên), ta được giá trị của nhân tử tại x = 4 là: + − a − 3ã .

√√ 22

Chúng ta chỉ cần a hữu tỷ để 8 + 5 3 − 3 15 √√ 5 với p, q, r hữu tỷ.
tìm =p+q 3+r
√√ a 3
5+a 3− −
2 2
Ta sẽ nhân liên hợp Å√ + √ − a − 3ã với một biểu thức để thu được một đa thức chỉ chứa √ √
5 a3 3 và 15
22
Å√ √ Å√ √ 1 ã√ √
5 +a 3 a 3 ã −5 +n 3− a 3ã 1 3 11 Å 3 3 1 a2 an 3+(n − a) 15
= − n+
− − − a2+ a+3an− a + +
2 2√ √ 22 4 2 422 2 2

Đồng nhất với 8 + 5 3 − 3 15 ta được:

1 a2 + 3 + 3an − 11 − Å3 + 3 + 1 a2 + 1ã
a a n an
= 222 2 n−a
42 4 =

8 5 −3

Giải hệ phương t√rình trên v√ới nghiệm hữu tỉ, ta được (a, n) = (−1; −4) .
Vậy nhân tử là x + 1 − x − 1 − 1 . Đến đây bạn đọc có thể tự giải quyết. . .

√√
VÍ DỤ 9. Giải phương trình sau: x − 3 + (x + 1) x − 1 − (x − 1) x + 2 = 0

Lời giải.

Phần nháp: Đây là bài tập ở ví dụ 7, bạn đọc có thể tham khảo các cách làm ở trên.

Ngoài ra, phương pháp số chính phương cũng có thể giúp ích được cho bài toán này:

P√TVT có ng√hiệm duy nhất x = 2 nên giả sử nhân tử của PTVT là
x−1+a x+ 1 −√1 − 2a
Ta cho x = 8, khi đó x − 1 = √ √ + 2 = √ Giá √trị của nhân tử là Ä√ + √ − 1 − ä
√ 7 và x 1√0. 7 a 10 2a
√
Và x − 3 + (x + 1) x − 1 − √(x − 1)√ x + 2 = 5 + 9 7 − 7 10
Cần tìm a hữu tỷ để √5 + 9√7 − 7 10 √√ p, q, r hữu tỷ
7+a Ä1√07−−1a−√120a
= p + q 7 + r 10 với

Ta có Ä√ + √ − 1 − ä + ä
7 a 10 2a n

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 226

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

√√
= 7 − 10a2 − n − 2a√n + (n −√ 1 − 2a) 7 + an + a + 2a2 10
Đồng nhất với 5 + 9 7 − 7 10, ta được

7 − 10a2 − n − 2an n − 1 − 2a an + a + 2a2 Å ã
== 1;

5 9 −7

Giải hệ phương trình trên với nghiệm hữu tỷ, ta được (a, n) = − 3 ; (−1; 8) .

√√ 8√ √
Vậy là ta có 2 cách phân tích với nhân tử x − 1 + x + 2 − 3 hoặc x − 1 − x + 2 + 1

Nhận xét: Phương pháp phân tích thành nhân tử trong PTVT hệ số hữu tỷ có 2 căn thức sẽ càng khó khăn
nếu PTVT này có đúng 1 nghiệm hữu tỷ. Vì vậy, nếu bạn đọc gặp dạng này, hãy sử dụng phương pháp nhân
liên hợp hoặc đạo hàm để có được lời giải nhanh chóng. . .
Tuy nhiên, chúng ta sẽ chưa xét tới việc PTVT vô nghiệm. Bạn đọc hãy đọc tiếp phần sau để hiểu thêm về
cách làm dạng này:

4 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VÔ NGHIỆM

Lưu ý: Phương pháp đạo hàm sẽ được sử dụng nhiều trong phương trình vô tỷ vô nghiệm.
√

VÍ DỤ 1. Giải phương trình sau: 15x2 + 9x + 1 + (10x + 7) 2x + 1 = 0.

Lời giải.
Phần nháp: Sử dụng máy tính CASIO, ta thấy PTVT này vô nghiệm

-Ý tưởng 1: Như đã nói, ta sẽ sử dụng phương√pháp đạo hàm:
Xét hàm số f (x) = 15x2 + 9x + 1 + (10x + 7) 2x + 1

Ta có f (x) = 30x + 9 + 3√0x + 17
2x + 1√
√√ √
Vì 30x + 16 = (30x + 15) + 1 ≥ 2 30x + 15 = 2 √15 2x + 1 > 6 2x + 1
Suy ra f (x) = 30x + 9 + 3√0x + 17 ≥ 30x + 9 + 6 √2x + 1 + 1 = 30x + 15 + √ 1 > 0
2x + 1 2x + 1 2x + 1

ï 1 ã Å 1 ã 1
− +∞ −
Vậy là f (x) luôn đồng biến trên ; . Suy ra f (x) ≥ f = > 0
2 24

Điều này chứng tỏ phương trình f (x) = 0 vô nghiệm. √

-Ý tưởng 2: Đây là một trường hợp nhỏ của phương trình vô tỷ chỉ có một căn thức dạng ax + b. Vậy vẫn

theo ý tưởng này thì ta có:

√ t2 − 1
Đặt t = 2x + 1 ⇔ x = . Khi đó phương trình vô tỷ trở thành:
√2
15x2 + 9x + 1 + (10x + 7) 2x + 1

= 15 Å t2 − 1 ã2 Å t2 − 1 ã Å Å t2 − 1 ã ã
+ 9 + 1 + 10 + 7 t
22 2

1 15t4 + 20t3 − 12t2 + 8t + 1 1 5t2 + 10t + 1 3t2 − 2t + 1 (∗)
= =
4√ 4

Thế t = 2x + 1 vào (∗) ta được
√
15x2 + 9x + 1 + (10x + 7) 2x + 1 = 1 5t2 + 10t + 1 3t2 − 2t + 1

1√ 4√
= 5 (2x + 1) + 10 2x + 1 + 1 3 (2x + 1) − 2 2x + 1 + 1
4√ √
= 5x + 3 + 5 2x + 1 3x + 2 − 2x + 1
√
Từ đó, ta có t√hể biến đổi 15x2 + 9√x + 1 + (10x + 7) 2x + 1
= 5x + 3 + 5 2x + 1 3 + 2x − 2x + 1 trong lời giải chi tiết

-Ý tưởng 3: Ta sẽ tìm nhân tử bằng phương pháp biết trước nghiệm. . . Tuy nhiên, điều kiện để sử dụng phương

pháp này là PTVT phải có nghiệm. Vậy ta lấy nghiệm đâu ra??? Cách tìm nhân tử sau sẽ gây cảm giác khó

hiểu cho bạn đọc, hãy thử tìm hiểu xem. √

Ta cần tìm nghiệm phương trình 15x2 + 9x + 1 + (10x + 7) 2x +√1 = 0(1) , nhưng rất tiếc, nó vô nghiệm
Vậy ra sẽ tìm nghiệm của phương trình 15x2 + 9x + 1 − (10x + 7) 2x + 1 = 0(2)
√  √
2−2 5 √ 9−4 5
Giải phương trình này bằng CASIO, ta được nghiệm x = . Từ đó ta được: 2x + 1 =
√ 55
=1− 2 53
=x+ .
55
Å√ 3 ã
2x
Vậy nhân tử của PT (2) là + 1 − x − 5 .

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 227

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

Nhận xét PT(1) và PT(2) được biến đổi từ PT(1) khi giả thiết tạm:

Vậy khi PT(2) có nhân tử là Å√ + 1 − x − 3ã thì PT(1) sẽ có nhân tử Å√ + 1 − x − 3ã
2x − 2x
√5 √ 5
Tức là PT(2) vay hệ số − 2x + 1 để cho có nghiệm, sau đó trả lại − 2x + 1 cho PT(1)

Vì vậy, ta sẽ biến đổi PTVT theo nhân tử Å√ + 1 − x − 3ã hay dễ nhìn hơn là Å√ + 1 + x + 3ã :
− 2x 2x
√5 5

15x2 + 9x + 1 + (10x + 7) 2x + 1

= 25x2 − 4x − 16 + Å√ + 1 + x + 3ã (10x + 7)
2x
55
Å√ Å√ Å√
2x 3 ã − 2x 3ã 2x 3 ã

= 5 + 1 + x + + 1 + x + + + 1 + x + 5 (10x + 7)
55
Å√ √
= 2x + 1 + x + 3ã 15x + 10 − 5 2x + 1

√5 √
= 5x + 3 + 5 2x + 1 3x + 2 − 2x + 1

-Ý tưởng 4: Sử dụng bất đẳng th√ức để chứng m√in√h PTVT vô √nghiệm:
Ta có 10x + 6 = 10x + 5 + 1 ≥ 2√ 10x + 5 = 2 2 2x + 1 > 4 2x + 1 √
√
Vậy 15x2 + 9√x + 1 + (10x + 7) 2x + 1 =√15x2 + 9x + 1 + (10x + 6) 2x + 1 + 2x + 1 > 15x2 + 9x + 1 +
4 (2x + 1) + 2x + 1 = 15x2 + 17x + 5 + 2x + 1 > 0

Ta được đpcm.

-Nhận xét: Ý tưởng 1 cho ta cách làm tổng quát những bà√i tập dạng này, mặc dù việc sử dụng của nó hơi khó.
Ý tưởng 2 sẽ chỉ áp dụng cho bài tập có 1 căn thức dạng ax + b .

Ý tưởng 3 c√ũng chỉ áp dụng cho những bài toán mà sau khi đổi dấu căn thức thì phương trình mới sẽ có nghiệm
a+b c
dạng .
d

Ý tưởng 4 không định hình được cách làm tổng quát, nhưng yêu cầu ta phải tư duy để được biểu thức đẹp. Để

hiểu hơn về các ý tưởng trên, bạn đọc thử đến với bài toán sau đây:

√
VÍ DỤ 2. Giải phương trình sau: 4x2 + 8x − 11 − 4 (4x − 6) x − 1 = 0

Lời giải.

Phần nháp: Sử dụng máy tính CASIO, ta thấy phương trình vô tỷ này vô nghiệm. Ta thử làm theo 4 ý tưởng

trên

-Ý tưởng 1: Đạo hàm √

Xét hàm số f (x) = 4x2 + 8x − 11 − 4 (4x − 6) x − 1

Ta có f (x) = 8x + 8 − 4√(6x − 7) = 8x + 8 − 4√(6x − 6) + √ 4 = √ √ 4
8x + 8 − 24 x − 1 +
x−1 x−1 x−1 x−1
− − √
Theo BĐT Cauchuy ta có √ 4 + x 1 + x 1 ≥ 3x − 1

x√− 1 √ 2 √2
và 7x + 9 = 7 (x − 1) + 16 ≥ 2 112 x − 1 > 21 x − 1

suy ra f √Å 4 + x − 1 + x − 1 − √ − ã ≥ 7x + 9 − √ − 1 > 0
(x) = 7x + 9 − 21 x − 1 + √ 3x 1 21 x
x−1 2 2

Vậy f (x) đồng biến trên [1; +∞) . Vậy f (x) ≥ f (1) = 1 > 0
√
-Ý tưởng 2: Đặt ẩn phụ t = √x − 1 ⇔ x = t2 + 1
Ta có: 4x2+8x−11−4 (4x − 6) x− 1 = 4 t2 + 1 2 +8 t2 + 1 −11−4 4 t2 + 1 −6 t = 4t4−16t3+16t2+8t+1

Sử dụng máy tính CASIO, ta thấy phương trình bậc 4: 4t4 − 16t3 + 16t2 + 8t + 1 = 0 vô nghiệm. Vậy ta sử dụng

phương pháp nhóm thành tổng các bình phương (xem thêm tại bài đọc thêm, trang (..)). Ta có thể tìm được:

4t4 − 16t3 + 16t2 + 8t + 1 = 4 Å − 2t − 4 ã2 + 32 Å + 1 ã2 + 25
t2 t (1)
9 9 8 162

Hoặc 4t4 − 16t3 + 16t2 + 8t + 1 = Å − 2t − 2 ã2 + 16 Å + 1 ã2 + 4
4 t2 t (2)
5 5 4 25

Hoặc rất nhiều cách phân√tích thành tổng bình phương khác nhau. . .
Sau đó, ta thế ngược t = √x − 1 vào P T (1) hoặc P T (2) ta được:
4x2 + 8x − 11 − 4 (4x − 6) x − 1 = 4t4 − 16t3 + 16t2 + 8t + 1

= Å − 13 − √ − ã2 + 32 Å√ − 1 + 1 ã2 + 25 >0
4x 2x 1 x
9 √ 9 8 162
4x2 + 8x − 11 − 4 (4x − 6) x − 1 = 4t4 − 16t3 + 16t2 + 8t + 1

= Å − 7 − √ − ã2 + 16 Å√ − 1 + 1 ã2 + 4 >0
4x 2x 1 x
5 5 4 25

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 228

Ƅ Chương 4. TUYỂN CHỌN NHỮNG BÀI TOÁN HAY VÀ NHỮNG LỜI GIẢI ĐẸP

Từ đó ta có nhiều cách phân tích thành tổng bình phương cho bài toán này

-Ý tưởng 3: Phương√pháp biết trước nghiệm. Theo cách làm của ví dụ 1 thì thay v√ì giải phương trình 4x2 +
8x − 11 − 4 (4x − 6) x − 1 = 0 , ta sẽ giải phương trình 4x2 + 8x − 11 + 4 (4x − 6) x − 1 = 0(∗)
Nhưng rất tiếc, PT(∗) cũng không cho nghiệm, chứng tỏ là ý tưởng giải phương trình bằng phương pháp này
đã bị gạt bỏ. . .

-Ý tưởng 4: Sử dụng bất đẳng thức:
√ − √
Theo BĐT Cauchuy ta có: 2x − 1 ≤ x 1+4 → x−1 ≤ x+3
.
√2 4√ √
Suy ra: 4x2 + 8x − 11 − 4 (4x − 6) x − 1 = 4x2 + 8x − 11 − 4 (4x − 4) x − 1 + 8 x − 1
√ √
≥ 4x2 + 8x − 11 − 4 (4x − x + 3 + 8x − 1 = 1 + 8x − 1 > 0
4) .
4

Vậy ta có đpcm.

-Nhận√xét: Tuy ý tưởng 3 bị gạt bỏ với lý do P T (∗) không có √nghiệm hoặc phương trình đó không có dạng
a+b c a+b c
. Nhưng nếu giả sử P T (∗) cho nghiệm vô tỷ dạng , bài toán có thể có một lời giải “đẹp”. Bạn
dd

đọc thử sử dụng ý tưởng 3 để giải bài toán sau:

√√
VÍ DỤ 3. Giải phương trình sau: 10x − 8 + 11 1 − x − 6 1 + x = 0

Lời giải.

Phần nháp: Sử dụng máy tính CASIO, ta thấy phương trình vô tỷ này vô nghiệm. Phương trình vô tỷ này có

2 căn thức khác nhau nên cũng cần phải c√hú ý. . . √
Ta sẽ không giải phương trình 10x − 8 + 11 1 − x − 6 1 + x√= 0 mà sẽ √đổi dấu đồng thời hết tất cả hệ số đứng
trước căn thức để được một phương trình mới: 10x − 8 + 11 1 −√x − 6 1 + x = 0(∗)
Giải phương trình (∗) bằng CASIO, ta được nghiệm x = −3 + 8 6
√ 25 .

 √ = −2 + 2 6 √√
 1−x = √5 ⇒ 1−x−2 1+x+2=0
Từ đó ta được 
√ 4+ 6
 1+x


√ 5√
Vậy nhân tử của (∗) là 1 − x − 2 1 + x +√ 2
√ √√
“Có vay, có trả”, phương trình 10x − 8 + 11 1 − x − 6 1 + x = 0 sẽ √có nhân tử√là − 1 − x + 2 1 + x + 2 ,
tức là đổi dấu đồng thời tất cả các hệ số của căn√thức của n√hân tử 1 − x − 2 1 +√x + 2 , cá√c hệ số còn lại
sẽ giữ nguyên√. . . Từ đó,√ta biến đổi 10x − 8 + 1√1 1 − x − 6 1√+ x theo n√hân tử − 1 − x + 2 1 + x + 2 :
10x − 8√+ 11 1 −√x − 6 1 + x √= 10x + 14√+ 16 1 + x − 11 −√ 1 − x + 2√ 1 + x + 2
= 2 −√ 1 − x +√2 1 + x + 2 √ 1 − x + 2√ 1 + x + 2 −11 − 1 − x + 2 1 + x + 2
= − 1−x+2 1+x+2 2 1−x+4 1+x−7

Vậy bài toán sẽ được giải quyết!

-Nhận xét: Hầu hết cách làm những bà tập trên đều dựa trên nghiệm của phương trình vô tỷ. Do đó, với chiếc

CASIO trong phòng thi, chắc hẳn nhiều bạn đọc sẽ thấy được sự hữu ích của nó. . .

Một bài tập nhỏ cho bạn đọc: Thử giải quyết ví dụ 3 bằng ý tưởng 1 và ý tưởng 4, sau đó hãy so sánh cách làm

với ý tưởng 3?

Cũng có thể có nhiều bạn đọc cho rằng phương pháp nhóm nhân tử này thật dài và vô vị, không bằng việc

“bình phương” hai vế của phương trình để được phương trình bậc 4 dễ dàng hơn. . .

Có thể bạn đã đúng nếu bạn đang giải một phương trình vô tỷ dễ.

Ƅ Nguyễn Quốc Dương - 0375113359 Trang 229