“Año de la unidad, la paz y el desarrollo” UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA (Creada por Ley N° 2565) FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL PRESENTADO POR: Yericov Moises Ruiz Rajo Huancavelica, PERÚ 2023 CATENARIAS: EN LA INGENIERÍA CIVIL
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 2 Contenido INTRODUCCIÓN .........................................................................................................4 HISTORIA.....................................................................................................................5 Rober Hooke y Galileo Galilei ..................................................................................5 El desafío de Bernoulli...............................................................................................6 Johann Bernoulli ........................................................................................................6 Christiaan Huygens....................................................................................................8 Gottfried Leibniz........................................................................................................9 CAPITULO: ECUACIÓN DE LA CATENARIA.......................................................10 PROPIEDADES DE LA CATENARIA ......................................................................12 Carencia de tensiones laterales ................................................................................12 Adecuada transmisión de esfuerzos.........................................................................13 CAPITULO: APLICACIONES...................................................................................14 Gateway Arch...........................................................................................................14 ESTADIO DE MÚNICH .........................................................................................16 Estética Arquitectónica ............................................................................................18 Kingdom Centre.......................................................................................................19 Antonio Gaudí..........................................................................................................20 CONCLUSIONES .......................................................................................................24
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 3 AGRADECIMIENTOS AGRADEZCO A MIS PADRES QUIENES HACEN POSIBLE QUE ESTUDIE UNA CARRERA TAN HERMOSA, TAMBIÉN A TODOS LOS CIENTÍFICOS QUE COLABORARON EN ESTA INVESTIGACIÓN.
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 4 INTRODUCCIÓN La catenaria, una figura matemática que despierta fascinación y que se encuentra omnipresente en nuestro entorno, desempeña un papel de vital importancia en el campo de la ingeniería civil. Esta curva única se forma cuando un cable o cadena se suspende desde dos puntos, y es una vista común en nuestra vida diaria, desde las líneas eléctricas que surcan nuestros cielos hasta los majestuosos puentes colgantes que cruzan nuestros ríos y valles. La catenaria no es solo una curva que agrada a la vista, sino que también posee propiedades únicas que la hacen perfecta para soportar cargas. Cuando un cable se suspende y solo tiene que soportar su propio peso, adopta de manera natural la forma de una catenaria. Esta forma permite que el cable distribuya de manera uniforme el peso a lo largo de toda su longitud, lo cual reduce el estrés al que está sometido y aumenta su estabilidad. En el ámbito de la ingeniería civil, el estudio de la catenaria es fundamental para el diseño de estructuras que deben soportar cargas. Desde los puentes colgantes hasta las líneas eléctricas y los teleféricos, la presencia de la catenaria es innegable. Incluso en el campo de la arquitectura, la catenaria ha sido utilizada por arquitectos renombrados como Antoni Gaudí para diseñar estructuras impresionantes y duraderas. En resumen, la catenaria es mucho más que una simple curva. Es una herramienta poderosa en el campo de la ingeniería civil, permitiendo a los ingenieros diseñar estructuras seguras, eficientes y duraderas. La catenaria es un testimonio del ingenio humano para utilizar los patrones naturales en beneficio de nuestras construcciones y tecnologías.
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 5 MARCO HISTORICO Rober Hooke y Galileo Galilei Un cable colgante a través de 2 puntos es lo que hoy conocemos como catenaria pero no siempre fue así en un comienzo se pensaba que esta tenía la naturaleza de una parábola Galileo (1638) afirma: Clava dos clavos en una pared a una altura conveniente y al mismo nivel; haz que la distancia entre estos clavos sea el doble del ancho del rectángulo sobre el cual se desea trazar la semi parábola. Sobre estos dos De unos clavos cuelga una cadena liviana de tal longitud que la profundidad de su hundimiento (curva o saca) es igual a la longitud del prisma. Esta cadena asumirá la forma de una parábola, de modo que si esta forma está marcada por puntos en la pared habremos descrito una parábola completa que puede dividirse en dos partes iguales trazando una línea vertical a través de un punto intermedio entre los dos clavos... Cualquier mecánico común sabrá cómo hacerlo. Figura 1 DIALOGO ACERCA DE 2 NUEVAS CIENCIAS GALILEO GALILEI
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 6 El desafío de Bernoulli Galileo tenía el pensamiento que esta cuerda o cable que se cuelga bajo su propio peso tenía una naturaleza parabólica, pero 1690 el suizo Jakob Bernoulli propone un desafío en la prestigiosa Acta Eruditorum para descubrir una fórmula matemática que describa el comportamiento de la cuerda. Johann Bernoulli Figura 2 Jacob Bernoulli reto en ACTA ERUDITORUM (Bernoulli, 1690-1691) Figura 3 Relación entre una función hiperbólica y una parabólica
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 7 Bernoulli demostró que la longitud formada entre la el punto de origen y la intersección de una línea horizontal con la parábola = 2 8 + 1 proyectada desde la hipérbole 2 − 2 = 1 esta proyección formara una catenaria demostrando su diferencia con una parábola. (Rubin, 2021) Aquí una construcción geométrica de la curva, sin ayuda. sin hilo ni cadena alguna, y sin presuponer cuadratura alguna, construcción que en mi opinión debe juzgarse como la más perfecta que hemos encontrado. puede obtener para los Trascendentes y los más conformes al Análisis. Consideremos dos segmentos cualesquiera que tengan una relación entre ellos. Determinada invariable, representada aquí por D y K, tan pronto como conocemos la Figura 4 ACTA EDUDITORUM 1968
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 8 relación de estos dos segmentos, todo lo demás se sigue por simple Aplicación de la geometría ordinaria. (Leibniz, 1696-1731) Christiaan Huygens Christiaan Huygens demostró que una carga uniforme que somete a un cable que tiene una forma parabólica y otro cable que tenga la forma de una catenaria los 2 cables se comportaban de manera diferente, aunque el no pudo obtener la ecuación lo haría con la ayuda de Gottfried Leibniz. Según Fernández (2020) Johann Bernoulli, Gottfried Leibniz y Christiaan Huygens lograron resolver de manera independiente y simultánea un problema que Jakob Bernoulli había planteado como un desafío un año antes en la revista “Acta Eruditorum”. Lograron obtener una fórmula analítica que permitía describir geométricamente a la catenaria, y publicaron sus soluciones en la misma revista. Un hecho interesante es que Johann Bernoulli se interesó en este problema después de una discusión con su hermano mayor Jakob, quien Figura 5 DEMOSTRACIÓN GEOMÉTRICA DE LAS DIFERENCIAS DE RECORRIDO ENTRE UNA CATENARIA Y PARÁBOLA
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 9 había invertido varios años y mucho esfuerzo en intentar demostrar que la catenaria era una parábola. Johann, supuestamente con el único propósito de burlarse, demostró en una sola noche que la catenaria no era una parábola. () = || ⃗⃗⃗⃗⃗ = = = = ()ℎ = || ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = = Dividimos la primera educación en la segunda = = Ecuación de la catenaria. Gottfried Leibniz Leibniz asocia la ecuación de la catenaria con una ecuación ya conocida esta ecuación es. = √1 + ( ) 2 Figura 6 Diferencias de comportamiento ante una fuerza uniforme en una. catenaria y una parábola
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 10 = = Leibniz demuestra una nueva igualdad por la tanto una nueva ecuación a integrar. = ∫ √ 2 − 1 Aunque esta solución esta modernizada esta es la solución original OBJETIVOS Como objetivo de la monografía tenemos el escudriñar en la ecuación de las catenarias para descubrir la medida de la longitud del cable y las fuerzas que actúan en esta curva. También conocer sus capacidades físicas analizando el comportamiento de las fuerzas en construcción que utilizaron esta curva para conocer su eficiencia y su adaptación con el entorno en diversas obras CATENARIA La catenaria es una curva ideal que tiene una importancia significativa en varios campos de la física y la ingeniería. Esta curva se forma cuando una cadena, cuerda o cable, que carece de rigidez flexional (es decir, puede doblarse fácilmente), está suspendida de sus dos extremos y se deja colgar libremente bajo la influencia de un campo gravitatorio uniforme, como la Figura 7 Derivación de la Ecuación de la Catenaria
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 11 gravedad de la Tierra. La forma de la catenaria es el resultado del equilibrio entre las fuerzas de tensión en la cadena, cuerda o cable y la fuerza de la gravedad que actúa sobre ella. Este equilibrio de fuerzas da lugar a una curva suave y continua que se asemeja a una “U” alargada. La catenaria no sólo es interesante desde un punto de vista teórico, sino que también tiene aplicaciones prácticas en la vida cotidiana. Por ejemplo, cuando ves un cable de electricidad suspendido entre dos postes, la forma que adopta es una catenaria. Del mismo modo, la forma de una cadena colgante, como la de un collar, también es una catenaria. Ecuación de la catenaria Según Vedoya, Gescovich (2023)” El autor parte de una cuerda ideal perfectamente flexible e indeformable, con masa distribuida de manera uniforme a lo largo de su longitud, suspendida en el aire por sus extremos y sometida solamente a la fuerza de la gravedad.” Tensión presente en el punto D = √ 2 + 2 2 Para simplifica los cálculos subsecuentes, se introduce la constante = / .Entonces se escribe Figura 8 Diagrama de Fuerzas en una Catenaria
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 12 = = = √ 2 + 2 La longitud del cable desde el origen hasta cualquier punto se expresa como. = sinh La forma que adopta el cable es la de una catenaria y está definida por la ecuación. = cosh PROPIEDADES DE LA CATENARIA Carencia de tensiones laterales Al ser la curva que se comba bajo su propio peso, la catenaria tiene la característica de ser el lugar geométrico de los puntos donde las tensiones horizontales del cable se compensan y por ello carece de tensiones laterales por lo que la cadena permanece inmóvil sin desplazarse hacia los lados. Las fuerzas que actúan son una fuerza vertical, la de la gravedad, y una tensión tangente a la cadena en cada punto que es la que la mantiene estirada. Figura 9 Distribución de Fuerzas en un muro en forma de Parábola
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 13 En una cuerda horizontal, es claro que ninguna tensión horizontal, por grande que sea, puede contrarrestar el peso (vertical) de la cuerda, luego esta se arqueara un poco necesariamente (aun a costa de estirarse aumentando su longitud). En general, el hecho de que la componente horizontal de la tensión tenga que ser constante implicaría que también tendría que serlo la componente vertical, y esto a su vez lleva a un absurdo, pues la tensión vertical debería ser mayor en los puntos más altos. Adecuada transmisión de esfuerzos a catenaria invertida, denominada arco catenario. Es decir, matemáticamente las características de la catenaria se conservan al invertir su gráfica. De modo que el arco catenario es la forma ideal para sobrellevar su propio peso, como se presenta en este caso. El trabajo estructural, no presenta fuerzas de cizalla significativas en las uniones y la fuerza al apoyo se transmite a lo largo de la línea del arco. Posee la ventaja que cuando mayor es la altura, más pequeño es el empuje horizontal en los puntos de arranque, con lo que se pueden obtener grandes alturas con mínimos empujes laterales, de ahí la estructura más alta posee mayor resistencia en sus laterales. La transmisión de esfuerzos y presiones hacia los cimientos es la propiedad que hace que los arcos catenarios de esta iglesia no necesiten apoyos laterales para sustentarse. (Según Diaz et al. 2021) Según Diaz et al. (2021) De este modo, la geometría estructural se consigue con una técnica constructiva propia de la modernidad, al invertir la curva catenaria, conservando las características matemáticas. El denominado arco catenario, como se le conoce, es la forma ideal para un cuerpo que se soporta así mismo. Cuando está
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 14 construido de elementos individuales cuyas superficies son perpendiculares a la curva del arco, cuyos esfuerzos y cargas son directamente llevados a los cimientos. Su estabilidad no disminuye al crecer en altura, por el contrario, es una forma geométrica muy estable sin que se requieran apoyos complementarios. (p.12) CAPITULO: APLICACIONES La catenaria no es sólo fascinante en términos teóricos, sino que también tiene usos prácticos en nuestro día a día. Un ejemplo de esto es cuando observas un cable eléctrico colgando entre dos postes, la forma que toma es una catenaria. De igual manera, la forma que adquiere una cadena suspendida, como la de un collar, es también una catenaria. Adicionalmente, la catenaria posee características matemáticas singulares que la hacen destacar entre otras curvas. Según Vedoya, Gescovich (2023) “Por ello la catenaria le resultaba tan atractiva, pues elimina las fuerzas laterales y distribuye la compresión de forma totalmente homogénea, permitiendo crear estructuras elevadas, elegantes y estables”. (p.8) Gateway Arch Arquitecto: Eero Saarinen Figura 10 Gateway Arch (San Luis, Misuri)
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 15 Ingeniero: Hannskarl Bandel Ingeniero Estructural: Fred Severud Constructora: MacDonald Construction Co Promotor Tishman Realty & Construction Company Año de Construcción ;1963-1965 Peso: 42.000tn Altura: 192m Ancho :192m Coste: $13,000,000 USD Ubicación: San Luis, Missouri, Estados Unidos Elementos Matemáticos La forma geométrica de la estructura la estableció Hannskarl Bandel mediante ecuaciones que dio a Saarinen. = (cosh − 1) = cosh−1 (1 + ) = /− 1 = cosh−1 = 3.0022 Figura 11 Ecuación del Arch Gateway
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 16 = 192 Altura máxima del Centroide = 1172 Máxima área de la sección cruzada del arco en su base = 122 Mínima área de la sección cruzada del arco en su altura máxima = 91 Semianchura del centroide en la base ESTADIO DE MÚNICH Ubicación: Complejo Deportivo de la Ciudad Olímpica de Múnich. Tiempo de construcción: 1968 –1972. Área Techada: 33750 m2 Longitud de la cobertura principal: 450 m Materiales: Acero y malla plástica Figura 12 Medidas del Arch Gateway
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 17 Cubierta: Tiene una superficie de 74 800 m2 y tiene una malla rectangular de cables pretensados, distanciados en 75 cm hacia ambos lados y con un ángulo de intersección variable, lo cual hace posible que se adecue a las curvaturas que posee la cubierta. La cobertura proyectada no sólo cubre el estadio, sino los otros equipamientos del complejo deportivo, unificando de esta manera los elementos del Parque Olímpico Capacidad: 69 250 espectadores. Arquitecto e Ingeniero estructural: Frei Otto Figura 13 Estadio de Múnich, Alemania Figura 14 Método de los Pañuelos (Estadio de Munchen)
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 18 Nota. l procedimiento consistía en colgar una membrana desde el número de puntos deseado. Estos, eran los apoyos que posteriormente definirían la cáscara. Al actuar el peso propio sobre una tela (que no resiste esfuerzos de flexión ni compresión), esta se comportaría a tracción pura. La forma resultante es el viaje por el que se transmiten la cargas. Lo que se consigue es eliminar todos Los esfuerzos compuestos, como es la flexión (la combinación de los esfuerzos de tracción producidos en una cara mientras que en la opuesta se generan al mismo tiempo de compresión).(Cuesta ,2022) Estética Arquitectónica Recordemos que para que una construcción ingenieril se considere como una obra magnifica debe de cumplir con diferentes aspectos no solo los analíticos y matemáticos de igual importancia los aspectos estéticos son importantes según Cuesta (2022) Figura 15 Método del Pañuelo
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 19 La eficiencia consiste en utilizar los mínimos recursos para completar cualquier objetivo. Sin embargo, como hemos comprobado, no es lo único que hay que tener en cuenta. Isler consigue el máximo rendimiento dentro de lo que le permite el proceso de diseño, el comportamiento estructural, su ejecución y construcción, el ahorro material, el coste económico…buscando también el mínimo mantenimiento. (p.58) Kingdom Centre Otro espectacular ejemplo de catenaria, aunque en este caso el uso es más estético que estructural, lo podemos encontrar en Oriente medio, en concreto en Riad, la capital de Arabia Saudita donde se encuentra el Kingdom Centre, un rascacielos que cuando se acabó de construir en el año 2002, era con sus más de 302 metros de altura, uno de los 25 edificios más altos del mundo. (Fernández ,2019) Figura 16 Kingdom Centre (Arabia Saudita )
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 20 El arquitecto fue Scott Berry de la firma Ellerbe Beckett, que ganó un concurso al que se presentaron más de 100 de las más importantes firmas de arquitectura del mundo y que tardó tres años en resolverse. El edificio fue planteado como un símbolo de Arabia Saudí y a su curva catenaria se han referido como “un collar para la ciudad de Riad”. Propiedad de la familia real saudita, alberga entre otros a un hotel, un banco, un centro comercial, un centro deportivo y viviendas de lujo. Antonio Gaudí Para entender las capacidades arquitectónicas de Antonio Gaudí debe de entenderse las capacidades y las alternativas de la forma de la catenaria según Sáenz (2021) De la misma forma que se puede colgar una cadena de dos puntos y conocer así su geometría catenaria, esto se puede hacer rotar sobre un eje para obtener catenarias cupuliformes, llevando al espacio las ventajas estructurales de los arcos. De la misma forma que sucedía con el sistema bidimensional, cuando las cúpulas debían soportar peso más allá del propio el volumen óptimo surge al hacer rotar una parábola, obteniendo así un paraboloide de revolución. (p.18) Figura 17 Casa de Mila Gaudí y el uso de las catenarias
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 21 Uno de los grandes arquitectos de todos los tiempos, el catalán Antonio Gaudí i Cornet que vivió entre 1852 y 1926, en una época de grandes transformaciones sociales en la que se produjo el tránsito a la arquitectura moderna, es probablemente el primero en investigar y hacer uso en su obra de la catenaria y otros arcos antifuniculares. No cabe duda de que Gaudí es un maestro de la arquitectura con una visión global de la obra, que cuida todos los detalles e integra, desde los primeros momentos de la concepción del proyecto, aspectos tan diferentes como la estructura, la distribución o la ornamentación. Pero la catenaria es una estructura que derivan en estructuras bastantes diversas según Fernandez< (2019) “del arco catenario se derivan los arcos funiculares que tienen también optimas características constructivas y que se pueden obtener con facilidad reproduciendo (invertidos) los efectos de cargas puntuales sobre una curva catenaria”. (p.29) Figura 18 Proceso matemático de Gaudí en la Construcción de catenarias
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 22 En 1906, en la casa Milá, diseña una galería de arcos catenarios de ladrillo. Esta galería se encuentra en la planta superior, por lo que los arcos tienen que soportar tan solo su propio peso, siendo la geometría óptima en este caso una catenaria. Los modelos que emplea para el trazado de los arcos son a escala real, evitando así el complejo ajuste matemático que supondría el cálculo de esta estructura. Para ello, apoyándose en una pared, colgaba el cable de dos puntos y ajustaba la geometría manteniendo la distancia horizontal fija, modificando la cantidad de cable, que soportaba unas cargas proporcionales a las reales, determinando su altura de este modo. La geometría que adoptaba la curva la reproducía después en ladrillo. Los resultados obtenidos eran casi idénticos a los que proporcionaban los métodos gráficos, y muy similares a los matemáticos. (Sáenz ,2021) Cables Eléctricos Según Calvo (2022) Retomando el termino de catenaria, este se utiliza ya que es la forma que toma un cable tendido entre 2 puntos y sometido a la acción de su propio peso. Esta curva es común en líneas tranviarias, donde la catenaria este compuesta por un único hilo que apoya en varios puntos de forma consecutiva. (p.22) Figura 19 Arco Catenario
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 23 En el ámbito del ferrocarril se conoce como catenaria a la línea aérea de contacto que se instala de forma longitudinal sobre las vías, de modo que el material rodante, nombre con el que se hace referencia a los vehículos o trenes, mediante el sistema de captación de corriente eléctrica tengan acceso al flujo de energía necesario para su desplazamiento (p.21) Figura 20 Línea de ferrocarril con catenaria
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 24 CONCLUSIONES • Para concluir, la catenaria es una curva matemática de suma importancia en la ingeniería civil. Su presencia en diversas estructuras, como puentes colgantes, líneas eléctricas y teleféricos, evidencia su relevancia en el diseño y construcción de infraestructuras. • La catenaria no solo es agradable a la vista, sino que también tiene propiedades únicas que la hacen perfecta para soportar cargas. Cuando un cable se suspende y solo tiene que soportar su propio peso, adopta de manera natural la forma de una catenaria. Esta forma permite una distribución uniforme del peso a lo largo de toda su longitud, reduciendo el estrés y aumentando la estabilidad. • El estudio de la catenaria es fundamental en la ingeniería civil para el diseño de estructuras que deben soportar cargas. Su aplicación no se limita a la ingeniería civil, sino que también se extiende a la arquitectura, donde ha sido utilizada por arquitectos renombrados como Antoni Gaudí para diseñar estructuras impresionantes y duraderas. • En resumen, la catenaria es mucho más que una simple curva. Es una herramienta poderosa en el campo de la ingeniería civil que permite a los ingenieros diseñar estructuras seguras, eficientes y duraderas. Su estudio y comprensión seguirán siendo fundamentales para el progreso de la ingeniería civil y la arquitectura.
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 25 RECOMENDACIONES Esta monografía ha sido cuidadosamente redactada con el objetivo de proporcionar una visión integral sobre el tema de la catenaria. Se ha hecho un esfuerzo consciente para explicar aspectos esenciales de este tema fascinante, que abarca desde su historia hasta sus definiciones matemáticas y sus aplicaciones en el mundo de la ingeniería. La catenaria tiene una rica historia que se remonta a siglos atrás, cuando los primeros matemáticos comenzaron a explorar sus propiedades únicas. A lo largo de los años, la comprensión de la catenaria ha evolucionado, y esta monografía intenta capturar esa evolución histórica. En cuanto a las definiciones matemáticas, se han incluido las más relevantes para proporcionar una base sólida para entender la catenaria. Estas definiciones son esenciales para cualquier estudio serio de la catenaria y se presentan de manera clara y concisa. Las aplicaciones de la catenaria en el mundo de la ingeniería son vastas y variadas. Desde la construcción de puentes hasta el diseño de líneas eléctricas, la catenaria juega un papel crucial. Esta monografía destaca algunas de las aplicaciones más importantes y cómo la catenaria contribuye a ellas. Es importante tener en cuenta que, para comprender completamente el contenido de esta monografía, se requiere un conocimiento de álgebra lineal a nivel universitario. Sin embargo, incluso con ese requisito, este material no se adentra de manera profunda en los temas de matemáticas. En lugar de eso, se ha hecho un esfuerzo para proporcionar solo la información suficiente para entender la naturaleza de la catenaria, sin abrumar al lector con detalles matemáticos innecesarios. En resumen, esta monografía es un recurso valioso para cualquier persona interesada en la catenaria, ya sea por curiosidad académica o por aplicaciones prácticas en el mundo de la ingeniería. Esperamos que encuentres este material informativo y útil en tu estudio de la catenaria.
CATENARIA EN LA INGENIERÍA 26 REFERENCIAS Cuesta, P. (2022) Construcción de formas libres a partir de modelos: Análisis de los métodos experimentales de Heinz Isler, su eficiencia y sostenibilidad. [Trabajo finde grado]. Universidad de Alcalá. Diaz, Y, Vergel. M, Delgado, J, A (2021). La precisión geométrica y constructiva de los sistemas laminares en ladrillo y hormigón de la arquitectura sagrada de san José de Cúcuta. Boletín Redipe. 10(12),22-32. https://doi.org/10.36260/rbr.v10i10.1507. Fernández, A. (2020) La catenaria y su influencia en la arquitectura de Gaudí. La gaceta de RSME. 23(2), 303-323 Fernández, I. (2019) Curvas Planas con propiedades físicas Geométricas Especiales y Útiles. [Grado en Matemáticas]. Universidad de Cantabria. http://hdl.handle.net/10902/16915 Gescovich, G., Vedoya, D, E. (2023) La curva catenaria como forma natural y su emergencia en la arquitectura. Arquitecno. 1(21), 1-11. https://doi.org/10.30972/arq.0216693. Intellectual Mathematics (2015) Leibniz on the catenary. [video]. YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=-Zaf99s5h84&t=2s Rabasco, P. (2011). El sistema Ctesiphonte. Evolución de la estructura catenaria. Informes De La Construcción, 63(522), 43–52. https://doi.org/10.3989/ic.10.009 Rubin, D. (2020) The Catenary (hanging chain), how it was first solved. [video] .YouTube. https://www.youtube.com/watch?v=RAaFAbnUseQ&t=883s Sánchez, M. J. (2015) Historias de Matemáticas. Euler y el problema de Basilea. Pensamiento Matemático. 5(1), 027-056