Penyelesaian SPLDV dengan metode grafik

BAHAN AJAR MATEMATIKA I Nyoman Sastrayoga,S.Pd

BAHAN AJAR
SISTEM PERSAMAAN LINIER

DUA VARIABEL
(SPLDV)

(PERTEMUAN PERTAMA)

SMK NEGERI 1 KUBU
2021

Page 1 Bahan Ajar Matematika “SPLDV”

BAHAN AJAR
SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA

VARIABEL

Pertemuan Pertama Indikator Pencapaian Kompetensi

Kompetensi Dasar 3.3.1 Mengonstruksi model matematika dari
masalah kontekstual yang berkaitan
3.3 Menentukan nilai variabel pada dengan Sistem Persamaan Linier Dua
sistem persamaan linear dua Variabel.
variabel dalam masalah
kontekstual. 3.3.2 Menyelesaikan suatu masalah kontekstual
yang berkaitan dengan sistem Persamaan
4.3 Menyelesaikan masalah sistem Linier Dua Variabel dengan metode grafik
persamaan linear dua variabel.
4.3.1 Menentukan penyelesaian Sistem
Persamaan Linier Dua Variabel dengan
metode Grafik

Tujuan Pembelajaran

Melalui model pembelajaran Probleme Based Learning berbantuan LKPD
3.3.3.1 Peserta didik dapat mengonstruksi model matematika dari masalah kontekstual yang

berhubungan dengan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
3.3.2.1 Peserta didik dapat menentukan penyelesaian masalah kontekstual berkaitan dengan

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel dengan metode grafik
4.3.1.1 Peserta didik dapat menentukan penyelesaian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

dengan metode Grafik

Page 2 Bahan Ajar Matematika “SPLDV”

URAIAN MATERI

1. Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)
❖ Definisi Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)
Kalian telah mempelajari dan memahami persamaan linear satu variabel. Materi tersebut

akan membantu kalian untuk memahami persamaan linear dua variabel. Cobalah perhatikan
persamaan-persamaan berikut.

a) 5 + = 15
b) 3 + − 1 = 10
c) 3 − = 2 + 8
d) 9 − 3ℎ = 3
Persamaan-persamaan tersebut memiliki dua variabel yang belum diketahui nilainya. Bentuk
inilah yang dimaksud dengan persamaan linear dua variabel. Jadi Persamaan linear dua variabel
adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat/derajat tiap-tiap variabelnya
adalah satu.

Bentuk umum persamaan linear dua variabel :

+ =

Dengan , , ∈ , , ≠ 0 dan , merupakan variabel

Analisislah persamaan-persamaan berikut, manakah yang merupakan persamaan linear dua

variabel.

1) – 3 = 7
2) 2 + = 7

3) 2 – = + 3

Jawab: mengandung dua variabel yaitu variabel dan dengan pangkat tertinggi
1) – 3 = 7 dari masing-masing variabel adalah pangkat 1, sehingga persamaan tersebut

merupakan persamaan linear dua variabel

2) 2 + = 7 mengandung dua variabel yaitu variabel dan , tetapi salah satu variabel
pangkat tertinggi adalah 2, jadi berdasarkan definisi persamaan tersebut
bukanlah merupakan persamaan linear dua variabel.

3) 2 – = + 1 Dengan menyederhanakan b pada ruas kanan, maka persamaan di samping
akan mengandung dua variabel yaitu variabel dan dengan pangkat
tertinggi dari masing-masing variabel adalah pangkat 1 , sehingga
persamaan tersebut merupakan persamaan linear dua variabel.

Page 3 Bahan Ajar Matematika “SPLDV”

❖ Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV)
Penyelesaian persamaan linear dua variabel dapat ditentukan dengan cara mengganti

kedua variabelnya dengan bilangan yang memenuhi persamaan linear tersebut. Hasilnya berupa
koordinat yang memuat nilai dan .
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan linear dua variabel berikut.

a) + = 6; , ∈
b) 5 − = 10; ∈ {0,1,2,3}, ∈ { }
Jawab:
a) Diketahui persamaan + = 6; , ∈ .
➢ Ambil nilai = 1, sehingga diperoleh :

+ = 6
⇔ 1 + = 6
⟺ = 6 − 1
⇔ = 5
Diperoleh = 1 dan = 5 atau dapat ditulis dalam bentuk (1,5)
➢ Ambil nilai = 2, sehingga diperoleh :
+ = 6
⇔ 2 + = 6
⇔ = 6 − 2
⇔b=4
Diperoleh = 2 dan = 4 atau dapat ditulis dalam bentuk (2,4)
➢ Ambil nilai = 3, sehingga diperoleh :
+ = 6
⇔ 3 + = 6
⇔ = 6 − 3
⇔b=3
Diperoleh = 3 dan = 2 atau dapat ditulis dalam bentuk (3,3)
➢ Ambil nilai = 4, sehingga :
+ = 6
⇔ 4 + = 6
⇔ = 6 − 4
⇔b=2
Diperoleh = 4 dan = 2 atau dapat ditulis dalam bentuk (4,2)

Page 4 Bahan Ajar Matematika “SPLDV”

Jadi, himpunan penyelesaian dari + = dengan dan anggota bilangan asli
adalah = {( , ), ( , ), ( , ), ( , )}

b) Diketahui persamaan 5 − = 10; ∈ {0,1,2,3}, ∈ { }
➢ Untuk nilai = 0, maka diperoleh : 5 − = 10
⇔ 5(0) − = 10
⇔ 0 − = 10
⇔ = −10
Nilai = −10 tidak memenuhi syarat karena bukan anggota bilangan asli
➢ Untuk nilai = 1, maka diperoleh : 5 − = 10
⇔ 5(1) − = 10
⇔ 5 − = 10
⇔ − = 10 − 5
⇔ − = 5
⇔ = −5
Nilai = −5 tidak memenuhi syarat karena bukan anggota bilangan asli
➢ Untuk nilai = 2, maka diperoleh: 5 − = 10
⇔ 5(2) − = 10
⇔ 10 − = 10
⇔ − = 10 − 10
⇔ − = 0
⇔ = 0
Nilai = 0 tidak memenuhi syarat karena bukan anggota bilangan asli.
➢ Untuk nilai = 3, maka diperoleh: 5 − = 10
⇔ 5(3) − = 10
⇔ 15 − = 10
⇔ − = 10 − 15
⇔ − = −5
⇔ = 5
Diperoleh = 3 dan = 5 atau dapat ditulis dengan (3,5)

Jadi, Himpunan penyelesaian dari − = ; ∈ { , , , } dan ∈ { }
adalah = { , }.

Page 5 Bahan Ajar Matematika “SPLDV”

2. Definisi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Coba perhatikan bentuk- bentuk persamaan berikut.

a. { 3 − − ==16

b. {4− 2 + + = 5
= −1

c. { 5 + +2 = 9
= 4

Dari bentuk-bentuk persamaan di atas terlihat bahwa masing-masing mengandung dua buah
persamaan linear dua variabel. Bentuk inilah yang disebut dengan Sistem Persamaan Linear Dua
Variabel. Jadi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah sebuah sistem / kesatuan
dari beberapa Persamaan Linear Dua Variabel (PLDV) yang sejenis. Persamaan Linear Dua
Variabel yang sejenis yang dimaksud disini adalah persamaan – persamaan dua variabel yang
memuat variabel yang sama.

Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel :

{ + =
+ =

Dengan , , , , , adalah bilangan real dan , merupakan variabel. Penyelesaian

sistem persamaan linear dua variabel tersebut adalah

pasangan bilangan ( , ) yang memenuhi kedua persamaan

tersebut

Analisislah Persamaan-persamaan berikut, manakah yang merupakan sistem persamaan linear dua
variabel

a. 2 + 2 = 62
4 + = 70.

b. 3 − = 10
− 2 = 0.

c. 2 − = 4
= −2 .

Penyelesaian:
a. 2 + 2 = 62

4 + = 70.
Dilihat dari masing-masing persamaannya, persamaan-persamaan tersebut merupakan dua buah
persamaan linear dua variabel yang sejenis yaitu sama-sama menuat variabel dan variabel
,sehingga persamaan ini merupakan sistem persamaan linear dua variabel

Page 6 Bahan Ajar Matematika “SPLDV”

b. 3 − = 10

− 2 = 0.

Dilihat dari masing-masing persamaannya, persamaan pertama merupakan persamaan linear dua
variabel yang memuat variabel dan variabel , persamaan kedua merupakan persamaan linear
dua variabel yang memuat variabel dan variabel , karena variabel dari kedua persamaan
tersebut tidak sama/tidak sejenis, maka persamaan-persamaan tersebut bukanlah merupakan
sistem persamaan linear dua variabel

c. 2 − = 4

= −2 .

Dengan mengubah = −2 menjadi 2 + = 0 maka persamaan-persamaan tersebut
merupakan dua buah persamaan linear dua variabel yang sejenis yaitu sama-sama menuat
variabel dan variabel ,sehingga persamaan ini merupakan sistem persamaan linear dua
variabel.

3. Model Matematika dari Masalah Kontekstual Berkaitan dengan SPLDV

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) merupakan gabungan dua persamaan
linear dua variabel. Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah ax + by = c dengan a,b, dan
c bilangan riil. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel berupa pasangan bilangan yang
memenuhi semua persamaan yang diketahui.

Dalam kehidupan sehari-hari, ada banyak permasalahan yang dapat dipecahkan
menggunakan SPLDV. Pada umumnya permasalahan tersebut berkaitan dengan masalah aritmetika
sosial, misalnya menentukan harga satuan barang, menentukan panjang atau lebar sebidang tanah,
dan menentukan jumlah hewan dalam suatu peternakan.

Langkah pertama dalam menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan SPLDV
adalah membuat model matematika dari permasalahan tersebut. Selanjutnya persamaan yang
diperoleh dapat diselesaikan menggunakan beberapa metode seperti metode grafik, eliminasi,
substitusi, gabungan eliminasi dan substitusi

Dalam membuat model matematika dari permasalahan kontekstual, langkah-langkahnya
adalah sebagai berikut:

1. Tuliskan informasi yang ada pada masalah yang diberikan, misalkan apa yang
diketahui.

2. Buatlah permisalan dengan mengganti hal yang diketahui dengan variabel-variabel
(misalkan x dan y)

3. Buatlah model matematikanya dengan dasar informasi yang telah dibuat sebelumnya
Untuk lebih jelas, silakan pahami contoh soal berikut:

Contoh 1:

Untuk persiapan UKK (Uji Kompetensi Keahlian) Pak Made dan Bu Dewi mengunjungi Toko
Berkah untuk membeli perlengkapan UKK yang masih diperlukan. Pak Made membeli 4 Sanitary
Bag dan 2 Laundry Bag seharga Rp. 240.000,00 dan Bu Dewi membeli 2 Sanitary Bag dan 1
Laundry Bag sseharga Rp. 120.000. Buatlah model matematika dari permasalahan tersebut!

Page 7 Bahan Ajar Matematika “SPLDV”

Penyelesaian:
Langkah 1 : Menulis Informasi yang diketahui
Diketahui:
• Pak Made membeli 4 Sanitary Bag dan 2 Laundry Bag seharga Rp. 240.000,00

+

• Bu Dewi membeli 2 Sanitary Bag dan 1 Laundry Bag sseharga Rp. 120.000

+

Ditanyakan: Model Matematikanya:

Langkah 2: Melakukan Pemisalan Variabel
Misalkan: x = harga 1 buah Sanitary Bag
y = harga 1 buah Laundry Bag

Langkah 3 : Membuat Model Matematika
Dari informasi yang diperoleh di atas maka dapat dibuat model matematikanya
• Pak Made membeli 4 Sanitary Bag dan 2 Laundry Bag seharga Rp. 240.000,00

Persamaannya bisa ditulis :
5 + 2 = 240000

• Bu Dewi membeli 2 Sanitary Bag dan 1 Laundry Bag sseharga Rp. 120.000
2 + = 120000

Jadi, model matematika untuk masalah kontekstual tersebut adalah

+ = .
+ = .

Page 8 Bahan Ajar Matematika “SPLDV”

4. Menentukan Solusi dari SPLDV dalam masalah kontekstual dengan metode grafik

Dalam menyelesaikan permasalahan kontekstual yang berkaitan dengan SPLDV
menggunakan metode grafik dilakukan dengan menemukan titik potong dari kedua persamaan garis
lurus yang diketahui. Apabila kedua garis tersebut saling sejajar, maka himpunan penyelesaianya
adalah himpunan kosong. Sedangkan jika garisnya berhimpit maka jumlah himpunan
penyelesaiannya tak hingga. Langkah – langkah penyelesaian menggunakan metode grafik adalah
sebagai berikut:

1. Buatlah model matematika dari masalah kontekstual yang diberikan
2. Tentukanlah koordinat masing-masing persamaan garis dengan mengambil nilai yang

sembarang, sehingga menemukan nilai dan di dapatkan koordinat titik ( , )
3. Tuangkan koordinat yang didapatkan tadi pada bidang kartesius
4. Lalu hubungkan titik-titik tersebut menjadi sebuah garis.
5. Jika garis tersebut berpotongan, berarti itu adalah himpunan penyelesainnya
6. Titik potongnya bisa terlihat dari kooordinat yang sama pada masing-masing garis
Selain cara di atas, untuk menyelesaikan SPLDV dengan metode grafik, bisa dilakukan dengan
mencari masing – masing titik potong garis terhadap masing-masing sumbu. Langkah – langkahnya
sebagai berikut:
1. Tentukan titik potong terhadap sumbu , maka = 0
2. Tentukan titik potong terhadap sumbu , maka = 0
3. Selanjutnya tuangkan koordinat masing-masing titik potongnya ke bidang kartesius dan

hubungkan menjadi sebuah garis.
Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari metode grafik ini dengan mencari titik potong
masing-masing sumbu, diperlukan ketelitian dalam menggambar grafik dengan skala yang
tepat.
Sebelum menentukan HP dari SPLDV ingat kembali cara menggambar garis dari sebuah persamaan
linier dua variabel.
Contoh 2:
Gambarlah garis dari persamaan dua variabel berikut : 2 + = −2
Ambil nilai x sembarang :
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10

Page 9 Bahan Ajar Matematika “SPLDV”

Berikut diberikan permasalahan terkait dengan menentukan permasalahan kontekstual terkait
SPLDV dengan metode Grafik.

Contoh 2:

Keliling sebuah persegi panjang dengan 28 cm. Jika Lebarnya 2 cm lebih pendek dari panjangnya.
Maka tentukanlah panjang dan lebardari persegi panjang tersebut.

Penyelesaian:

Langkah 1 : Menulis informasi yang diketahui

Diketahui:

Keliling persegi panjang = 28 cm

Lebarnya 2 cm lebih pendek dari panjangnya

Ditanyakan:
Panjang dan lebar persegi panjang tersebut = ………?

Jawab:

Langkah 2: Melakukan Pemisalan Variabel

Misalkan: = panjang persegi panjang

= lebar persegi panjang

Langkah 3: Membuat Model Matematika

• Keliling persegi panjang = 28 cm

2( + ) =

2( + ) = 28

+ = (Persamaan 1)

• Lebarnya 2 cm lebih pendek dari panjang, maka

= − (Persamaan 2)

Dengan demikian, kita peroleh Model Matematika berbentuk SPLDV

+ =
= −

Page 10 Bahan Ajar Matematika “SPLDV”

Langkah 4 : Menyelesaikan SPLDV dengan metode Grafik

Cari koordinatnya:

• Persamaan: x + y = 14
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4

• Persamaan: y = x – 2
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Jika diperhatikan, pada koordinat di atas ada koordinat yang sama yaitu (8,6) sehingga HP
dari SPLDV adalah (8,6). Dengan grafik bisa dilihat seperti dibawah ini

Selanjutnya, bagaimana cara mensketsa grafik SPLDV di atas jika dicari dengan cara
menentukan titik potong masing-masing sumbu?

+ = 14
= − 2

• Persamaan 1: + = 14

Titik potong terhadap sumbu , maka = 0. Di dapatkan

+ = 14

+ 0 = 14

Page 11 Bahan Ajar Matematika “SPLDV”

= 24 ➔ Koordinatnya (14 , 0)

Titik potong terhadap sumbu , maka = 0, Didapatkan
+ 4 = 14
= 14 ➔ Koordinatnya (0 , 14)

Sehingga, dari persamaan garis x + y =24 didapatkan koordinat (14 , 0) dan (0 , 14)

• Persamaan 2: = − 2
Titik potong terhadap sumbu , maka = 0. Di dapatkan
0 = − 2
= 2 ➔ Koordinatnya (2 , 0)
Titik potong terhadap sumbu , maka = 0. Didapatkan
= 0 − 2
= −2 ➔ Koordinatnya (0 , - 2)
Sehingga, dari persamaan garis = − 2 didapatkan koordinat (2 , 0) dan (0 , - 2)
Jika di gambar dalam koordinat kartesius terlihat seperti dibawah ini :

Page 12 Bahan Ajar Matematika “SPLDV”

Nah sekarang, Bagaimana cara menentukan koordinat titik C?

Untuk metode grafik, jika kalian menggambar grafik dengan mencari titik potong di sumbu x
dan sumbu y di masing-masing garis, maka untuk mencari titik potong kedua garisnya kalian harus
membuat skala pada koordinat kartesius dengan rapi dan tepat. Jika tida, maka titik potong yang
kalian dapatkan akan keliru. Selanjutnya, bagaimana cara menentukan titik potongnya?? Silakan
cari informasi lebih lanjut ya… Kita akan bahas ini dengan metode yang berbeda!

Rangkuman

1. Bentuk umum persamaan linear dua variabel :

+ =

Dengan , , ∈ , , ≠ 0 dan , merupakan variabel

2. Bentuk umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel :

{ + =
+ =

Dengan , , , , , adalah bilangan real dan , merupakan variabel. Penyelesaian sistem

persamaan linear dua variabel tersebut adalah

pasangan bilangan ( , ) yang memenuhi kedua persamaan

3. Langkah-langkah membuat model matematika

Dalam membuat model matematika dari permasalahan kontekstual, langkah-langkahnya

adalah sebagai berikut:

a. Tuliskan informasi yang ada pada masalah yang diberikan, misalkan apa yang
diketahui.

b. Buatlah permisalan dengan mengganti hal yang diketahui dengan variabel-variabel
(misalkan x dan y)

c. Buatlah model matematikanya dengan dasar informasi yang telah dibuat
sebelumnya

4. Langkah-langkah menyelesaiakan masalah kontekstual terkait SPLDV dengan metode

grafik

a. Buatlah model matematika dari masalah kontekstual yang diberikan

b. Tentukanlah koordinat masing-masing persamaan garis dengan mengambil nilai

yang sembarang, sehingga menemukan nilai dan di dapatkan koordinat titik ( , )

c. Tuangkan koordinat yang didapatkan tadi pada bidang kartesius

d. Lalu hubungkan titik-titik tersebut menjadi sebuah garis.

e. Jika garis tersebut berpotongan, berarti itu adalah himpunan penyelesainnya

f. Titik potongnya bisa terlihat dari kooordinat yang sama pada masing-masing garis

5. Langkah – langkah penyelesaian menggunakan metode grafik dengan mencari titik potong
kedua garis
a. Tentukan titik potong terhadap sumbu , maka = 0
b. Tentukan titik potong terhadap sumbu , maka = 0
c. Selanjutnya tuangkan koordinat masing-masing titik potongnya ke bidang kartesius
dan hubungkan menjadi sebuah garis

Page 13 Bahan Ajar Matematika “SPLDV”

REFLEKSI

Petunjuk :
Isilah kolom berikut ini untuk melakukan refleksi terhadap proses pembelajaran

Pada Materi pembelajaran ini, adakah materi yang menurutmu sulit untuk
dipahami? Materi apakah itu ?
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….

Kesan apakah yang kamu dapatkan setelah mempelajari materi pada kegiatan
pembelajaran ini?
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………….

Page 14 Bahan Ajar Matematika “SPLDV”