MODUL PDF (1)

UNIVERSITAS JAMBI MATA KULIAH
FISIKA MATEMATIKA I

PERSAMAAN
DIFFERENSIAL

PARSIAL

DISUSUN OLEH: TAHUN AJARAN
RISKA FITRIANI 2021/2022

A1C318013

KA PROFIL

RISKA FITRIANI
Pendidikan Fisika-PMIPA
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
--------UNIVERSITAS JAMBI--------

i

KA KATA PENGANTAR

Segala puji bagi Allah SWT yang senantiasa melimpahkan segala rahmat,
taufik dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan e-
modul pada materi Diferensial Parsial ini tepat pada waktunya. E-Modul ini
disusun dengan tujuan untuk membantu mahasiswa dalam memahami konsep-
konsep dan analitis mengenai materi diferensial parsial yang disertai dengan
contoh dan latihan soal-soal terstruktur untuk melatih sikap mandiri mahasiswa
dalam mempelajari materi terkait.

Berpedoman pada sumber-sumber yang terpercaya e-modul ini dapat
tersusun dengan bahasa yang sederhana agar konteks yang diberikan mudah
dipahami dan dicerna, seterusnya penulis mengucapkan terima kasih kepada
pihak-pihak yang telah bersedia membantu dalam penyusunan e-modul ini.

1. Dosen Pembimbing
2. Teman-teman sekalian, dan
3. Kepada pihak-pihak yang telah bersedia memberikan berbagai sumber

bacaan & literatur sehingga e-modul ini dapat tersusun.
Penulis menyadari masih terdapat kekurangan dalam penyusunan e-modul
ini, untuk itu kritik dan saran terhadap penyempurnaan e-modul ini sangat
diharapkan. Semoga e-modul ini dapat memberi maanfaat bagi mahasiswa
Pendidikan Fisika Universitas Jambi khususnya dan bagi semua pihak yang
membutuhkan.

Jambi, 25 Februari 2021

Penulis

ii

KA DAFTAR ISI

PROFIL ...................................................................... i
KATA PENGANTAR ........................................................ ii
DAFTAR ISI................................................................ iii
GLOSARIUM ................................................................ iv
BAB I PENDAHULUAN

1.1 Deskripsi Singkat Materi................................................................6
1.2 Prasyarat ............................................................................................7
1.3 Petunjuk Penggunaan E-Modul .......................................................8
BAB II PEMBELAJARAN
2.1 Tujuan Pembelajaran......................................................................12
2.2 Uraian Materi ..................................................................................12
2.3 Rangkuman ........................................................................................12
2.4 Latihan...............................................................................................12
BAB III EVALUASI
3.1 Kunci Jawaban .................................................................................12
3.2 Pedoman Penskoran.........................................................................12
DAFTAR PUSTAKA

iii

KA GLOSARIUM

Orde: adalah pangkat tertinggi dari sebuah koefisien diferensial.
Derivatif: adalah turunan.
Persamaan Diferensial: adalah suatu persamaan hubungan antara variabel
bebas, variabel terikat, dan satu (lebih) koefisien diferensial antara keduanya.
Persamaan diferensial parsial: adalah persamaan yang memuat satu atau lebih
turunan parsial dengan dua atau lebih variabel bebas.
Persamaan diferensial biasa: adalah suatu persamaan hanya mempunyai satu
variabel bebas.
Modul elektronik: adalah bentuk bahan ajar yang sesuai dengan karakteristik
materi ajar yang telah dikemas dalam satu kesatuan yang utuh, yang disusun
secara sistematis dipelajari secara mandiri dan lebih aktif oleh pebelajar sesuai
dengan kecepatan atau kemampuannya.
Notasi: adalah seperangkat atau sistem lambang (tanda) yang menggambarkan
bilangan (tentang aljabar).
Koordinat: adalah posisi proyeksi tegak lurus dari titik ke dua sumbu, yang
dinyatakan sebagai jarak yang ditandatangani dari titik asal.
Sistem koordinat polar (sistem koordinat kutub): adalah suatu sistem
koordinat 2-dimensi di mana setiap titik pada bidang ditentukan dengan jarak
dari suatu titik yang telah ditetapkan dan suatu sudut dari suatu arah yang telah
ditetapkan.
Garis singgung: adalah garis yang menyinggung objek geometri (kurva, lingkaran,
dll) di suatu titik tertentu yang disebut dengan titik singgung atau titik
persekutuan.
Partikel: adalah objek terlokalisasi kecil yang dapat memiliki beberapa sifat
fisik atau kimia seperti volume atau massa.

iv

KA BAB I PENDAHULUAN

1.1 Deskripsi Singkat Materi

Persamaan diferensial (PD) parsial adalah persamaan yang memuat satu
atau lebih turunan parsial dengan dua atau lebih variabel bebas. Orde dari PD
parsial : tingkat tertinggi dari derivatif yang ada dalam PD. Derajat dari PD
parsial : pangkat tertinggi dari turunan tingkat tertinggi yang ada dalam PD.

E-Modul dengan judul Persamaan Diferensial Parsial ini membahas
tentang notasi Persamaan Diferensial Parsial, konsep dasar dan cara-cara
penyelesaiannya yang banyak dijumpai dalam penerapannya di bidang teknik,
baik secara teoritis maupun praktis. Materi yang dipelajari mencakup :
Pengertian/konsep dasar persamaan diferensial, Notasi persamaan
diferensial parsial, total diferensial, dan perhitungan pendekatan dengan
menggunakan diferensial.

E-modul ini terdiri atas satu kegiatan belajar yang membahas tentang:
Notasi persamaan diferensial, total diferensial dan perhitungan pendekatan
dengan menggunakan diferensial. Pada kegiatan belajar dilengkapi dengan
contoh soal dan pembahasannya beserta tugas/latihan serta tes formatif
seperlunya untuk membantu mahasiswa dalam mencapai kompetensi yang
diharapkan.

Setelah selesai mempelajari modul ini secara keseluruhan mahasiswa
diharapkan mempunyai sub kompetensi “mampu menjelaskan konsep,
menganalisis dan menerapkan differensial parsial terkait persoalan fisika
yang ditinjau “.

1

1.2 Prasayarat

E-modul ini berisi materi-materi lanjutan dari yang semestinya telah
dipelajari sebelumnya. Adapun materi-materi dasar yang seharusnya telah
difahami oleh peserta kuliah di Jurusan Pendidikan Fisika terutama adalah
konsep dasar tentang : Diferensiasi dan Integrasi Fungsi.

1.3 Petunjuk Penggunaan E-Modul

1. Petunjuk Bagi Mahasiswa
Agar diperoleh hasil belajar yang maksimal, maka dalam menggunakan e-

modul ini ada beberapa prosedur yang perlu diperhatikan, dan dilaksanakan
antara lain :

a. Bacalah dan fahami dengan seksama uraian konsep-konsep teoritis yang
disajikan pada e-modul ini, kemudian fahami pula penerapan konsep-konsep
tersebut dalam contoh-contoh soal beserta cara penyelesaiannya. Bila
terpaksa masih ada materi yang kurang jelas dan belum bisa difahami
dengan baik para mahasiswa dapat menanyakan kepada dosen yang
mengampu kegiatan perkuliahan.

b. Coba kerjakan setiap tugas formatif (soal latihan) secara mandiri, hal ini
dimaksudkan untuk mengetahui seberapa besar pemahaman yang telah
dimiliki setiap mahasiswa terhadap materi-materi yang dibahas pada
setiap kegiatan belajar.

c. Apabila dalam kenyataannya mahasiswa belum menguasai materi pada level
yang diharapkan, coba ulangi lagi membaca dan mengerjakan lagi latihan-
latihannya dan kalau perlu bertanyalah kepada dosen yang mengampu
kegiatan perkuliahan yang bersangkutan. Kalau materi yang bersangkutan
memerlukan pemahaman awal (prasyarat) maka yakinkan bahwa prasyarat
yang dimaksud benar-benar sudah dipenuhi.

2

2. Petunjuk Bagi Dosen
Dalam setiap kegiatan perkuliahan, dosen mempunyai tugas dan peran

untuk :
a. Membantu mahasiswa dalam merencanakan proses belajar.
b. Membimbing mahasiswa melalui tugas-tugas atau latihan-latihan yang
dijelaskan dalam tahap belajar.
c. Membantu mahasiswa dalam memahami konsep baru dan menjawab
pertanyaan mahasiswa apabila diperlukan.
d. Membantu mahasiswa untuk mengakses sumber belajar lain yang
diperlukan.
e. Mengorganisir kegiatan belajar kelompok jika diperlukan.
f. Merencanakan seorang ahli/dosen pendamping jika diperlukan.
g. Mengadakan evaluasi terhadap pencapaian kompetensi mahasiswa yang
telah ditentukan. Evaluasi tersebut pelaksanaan-nya pada setiap akhir
kegiatan belajar.

3

KA BAB II PEMBELAJARAN

2.1 Tujuan Pembelajaran

Mahasiswa dapat menjelaskan konsep, menganalisis dan menerapkan
diferensial parsial.

2.2 Uraian Materi

2.2.1 Pengertian dan Notasi Differensial Parsial

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang memuat sebuah

fungsi dari dua atau lebih peubah yang tidak diketahui dan turunan-turunan

parsialnya terhadap peubah tersebut (Arsyad, 2018). Suatu persamaan disebut

diferensial apabila mempunyai bentuk diferensial, misalnya atau . Pada

bentuk diferensial , x adalah variabel bebas dan y adalah variabel tak bebas.

Pada umunya, bentuk persamaan diferensial merupakan bentuk fenomena yang
menerangkan objek yang diamati (variabel tergantungnya) sebagai fungsi waktu
(t) dan atau ruang (x,y,z). Persamaan diferensial terbagi menjadi 2 kelompok
berdasarkan variabel bebasnya. Jika dalam suatu persamaan hanya mempunyai
satu variabel bebas, maka disebut persamaan diferensial biasa. Sedangkan jika
dalam suatu persamaan mempunyai lebih dari satu variabel bebas disebut
persamaan diferensial parsial (Sasongko, 2010). Berikut adalah contoh
persamaan diferensial biasa dan diferensial parsial:
1. Diferensial Biasa

2. Diferensial Parsial

4

Secara umum, persamaan differensial merupakan persamaan yang
mengandung derivatif-derivatif (turunan). Derivatif adalah suatu konsep dalam
matematika yang menghitung laju dari perubahan suatu fungsi di satu titik. Jika
y = f (x), maka dy/dx dapat dipandang sebagai kemiringan kurva y = f (x) atau
sebagai laju perubahan y relatif terhadap x. Laju perubahan sering muncul di
dalam fisika; contoh-contoh yang jelas adalah laju perubahan terhadap waktu
seperti kecepatan, percepatan, dan laju pendinginan benda. Ada juga laju
perubahan yang lain: laju perubahan volum gas terhadap tekanan yang diberikan,
laju penurunan bahan bakar di dalam tangki mobil terhadap jarak yang ditempuh,
dan lain-lain. Persamaan-persamaan yang melibatkan laju perubahan (persamaan-
persamaan diferensial) perlu untuk diselesaikan dalam masalah-masalah terapan.
Derivatif juga digunakan untuk mencari titik-titik maksimum dan minimum suatu
kurva dan untuk mencari deret pangkat suatu fungsi. Persamaan Differensial
penting untuk dipelajari karena banyak hubungan-hubungan fisis atau hukum-
hukum dalam fisika dan matematika terapan yang muncul secara matematis
adalah dari persamaan ini.

Misal z adalah suatu fungsi yang bergantung pada 2 variabel x dan y; kita
tulis z = f (x, y). Seperti penggambaran y = f (x) sebagai kurva di dua dimensi,
penggambaran secara geometris bagi z = f (x, y) akan sangat membantu. Jika x,
y, z adalah koordinat-koordinat rektangular, maka untuk tiap-tiap x, y
persamaan tersebut memberikan suatu nilai z, dan juga menentukan sebuah titik
(x, y, z) di tiga dimensi. Semua titik yang memenuhi persamaan tersebut
biasanya akan membentuk suatu permukaan di dalam ruang 3-dimensi (Boas,
2006).

5

Gambar 2.1 Permukaan Kurva dalam Tiga Dimensi Ruang

Sekarang anggaplah x tetap; bayangkan bidang x = tetap memotong
permukaan itu. Titik-titik yang memenuhi z = f (x, y) dan x = tetap akan berada
pada suatu kurva. Kita dapat mencari kemiringan, titik maksimum dan titik
minimum, dll. bagi kurva ini. Karena z adalah suatu fungsi yang bergantung pada y
(pada kurva ini), kemiringan kurva kita tulis dz/dy. Akan tetapi, untuk
menunjukkan bahwa z adalah suatu fungsi yang bergantung pada dua variabel x dan
y dengan salah satu variabel (x) untuk sementara dibuat tetap, kita tulis ∂z/∂y;
∂z/∂y kita sebut derivatif parsial z relatif terhadap y. Demikian juga, kita bisa
membuat y tetap dan mencari ∂z/∂x, derivatif parsial z relatif terhadap x.
Jika drivatif-derivatif parsial ini didiferensialkan terus, kita tulis

Jika z = f (x, y), kita dapat menggunakan notasi zx atau fx atau f1 untuk melambangkan
∂f/∂x dan notasi-notasi yang terkait untuk derivatif-derivatif yang lebih tinggi

Contoh. Diberikan , maka

6

Kita juga dapat meninjau fungsi-fungsi yang bergantung pada lebih dari dua

variabel, meskipun dalam kasus ini susah untuk memberikan gambaran geometris-

nya. Contohnya, temperatur T udara di suatu ruangan bisa jadi bergantung pada

titik (x, y, z) tempat temperatur tersebut diukur dan bergantung pada waktu t;

kita tulis T = T (x, y, z, t). Kita lalu dapat mencari, misalnya, ∂T/∂y, yang artinya

laju perubahan T relatif terhadap y dengan x dan z yang tetap dan pada suatu

waktu tertentu t.

Notasi yang sering digunakan dalam terapan (khususnya termodinamika)

adalah (∂z/∂x)y, yang artinya ∂z/∂x ketika z diungkapkan sebagai fungsi yang

ber- gantung pada x dan y. Contohnya, misal . Maka menggunakan

koordinat- koordinat polar r dan θ, (ingat bahwa x = r cos θ, y = r sin θ, x2 + y2 =

r2), kita dapat menulis z dalam beberapa cara. Untuk masing-masing ungkapan

mari kita hitung ∂z/∂r.

Tiga ungkapan bagi ∂z/∂r ini mempunyai nilai-nilai yang berbeda dan merupakan
derivatif bagi tiga buah fungsi yang berbeda, oleh karena itu dibedakan dengan
menuliskan variabel bebas yang kedua sebagai subscript. Catat bahwa kita tidak
menulis z(x,y) atau z(r,θ); z adalah satu variabel, tetapi setara dengan beberapa
fungsi yang berbeda. Buku-buku matematika biasanya menghindari notasi
subscript dengan menulis,

7

misalnya, z = f (r, θ) = g(r, x) = h(r, y), dst.; sehingga (∂z/∂r)θ dapat ditulis
∂f/∂r, dan demikian juga

Akan tetapi, notasi yang banyak ini (z = f = g = h, dst.) akan merepotkan dan
membingungkan di dalam terapan ketika huruf-huruf tersebut mempunyai makna
fisis. Contohnya, di dalam termodinamika, kita memerlukan

(2.7)
dan derivatif-derivatif parsial lainnya yang sejenis. Di sini T bermakna
tempera- tur (dan huruf-huruf yang lain mempunyai makna fisis juga). Jika kita
menulis T = A(p, v) = B(v, s) = C(p, u) = D(s, p) dan rumus-rumus yang serupa
untuk delapan besaran yang sering digunakan dalam termodinamika, masing-
masing sebagai fungsi yang bergantung pada sepasang dari tujuh besaran
lainnya, kita bukan hanya mempunyai sistem yang berantakan, tetapi makna fisis
persamaan-persamaan juga akan hilang sebelum dikembalikan ke huruf yang
standar. Oleh karena itu notasi subscript menjadi penting (Boas, 2006).

Lambang (∂z/∂r)x biasanya dibaca “parsial z relatif terhadap r,
dengan x tetap.” Akan tetapi, hal penting yang harus dipahami adalah
bahwa notasi tersebut bermakna bahwa z dituliskan sebagai suatu
fungsi yang hanya bergantung pada variabel r dan x, kemudian
didiferensialkan relatif terhadap r.

8

Jika (∂/∂x) / (∂f/∂y) dan (∂/∂y) / (∂f/∂x) keduanya kontinu maka berlaku (∂/∂x) / (∂f/∂y) = (∂/∂y)
/ (∂f/∂x).
2.4.2 Total Diferensial

Grafik bagi persamaan y = f (x) adalah suatu kurva di bidang (x, y) dan

adalah kemiringan garis singgung kurva di titik (x, y). Dalam kalkulus, ∆x melam-
bangkan perubahan dalam x, dan ∆y melambangkan perubahan yang terkait
dalam
y. Dari definisi

Kita akan mendefinisikan diferensial dx bagi variabel bebas sebagai

=

Akan tetapi, dy tidak sama dengan ∆y. Hal ini karena ∆y adalah perubahan

dalam y sepanjang kurva, tetapi adalah perubahan dalam y

sepanjang garis singgung. Dapat dikatakan bahwa dy adalah pendekatan linear

bagi ∆y. Sebagai contoh. Jika y = f (t) mewakili jarak yang telah ditempuh suatu

partikel sebagai fungsi yang bergantung pada t, maka dy/dt adalah

kecepatannya. Jarak yang telah ditempuh oleh partikel antara waktu t dan t+dt

adalah ∆y. Perkiraan singgung dy = (dy/dt)dt adalah jarak yang ditempuh jika

partikel itu bergerak dengan kecepatan dy/dt pada waktu t.

9

dy adalah perkiraan yang bagus bagi ∆y jika dx kecil. Mengatakan bahwa dy/dx
adalah limit bagi ∆y/∆x ketika ∆x → 0 bermakna bahwa selisih ∆y/∆x − dy/dx
→ 0 ketika ∆x → 0. Sebut saja selisih ini s; maka dapat kita katakan

Atau karena
(2.12)

Hal yang serupa dapat dikerjakan untuk fungsi yang bergantung pada dua va-
riabel, z = f (x, y). Telah diketahui bahwa persamaan ini mewakili suatu permukaan
dan bahwa derivatif-derivatif ∂f/∂x, ∂f/∂y, pada sebuah titik, adalah
kemiringan garis-garis singgung relatif terhadap permukaan pada arah x dan y di
titik itu. Lam- bang ∆x = dx dan ∆y = dy mewakili perubahan variabel-variabel
bebas x dan y. Besaran ∆z melambangkan perubahan yang terkait dalam z
sepanjang permukaan. Kita definisikan dz dengan persamaan

Diferensial dz disebut diferensial total bagi z. Untuk dx dan dy yang kecil, dz
adalah perkiraan yang bagus bagi ∆z. Jika ∂f/∂x dan ∂f/∂y adalah fungsi-fungsi
yang kontinu, pemahaman ini dapat diperjelas. Dari definisi

Dengan menambahkan dan mengurangi suku, kita peroleh
(2.15)

Ingat dari kalkulus bahwa teorema nilai tengah mengatakan bahwa untuk fungsi
diferensiabel f(x),

(2.16)
dengan x1 adalah di antara x dan x + ∆x. Secara geometris hal ini
mengatakan bahwa ada sebuah garis singgung di suatu tempat di antara x
dan x + ∆x yang memiliki kemiringan yang sama dengan garis AB. Pada dua
suku pertama sisi kanan persamaan (2.15), y adalah tetap, dan kita dapat
menggunakan (2.16) jika kita tulis ∂f/∂x untuk f'.

10

Pada dua suku terakhir sisi kanan persamaan (2.15), x adalah tetap, dan kita
dapat menggunakan persamaan yang mirip (2.16) dengan y sebagai variabel.
Maka persamaan dapat ditulis menjadi

Jika derivatif parsial bagi f adalah kontinu, maka nilai-nilai mereka pada
persamaan di atas di titik-titik dekat (x, y) berbeda dari nilai-nilai mereka di (x,
y) dan perbe- daan tersebut dapat dinyatakan dalam besaran-besaran yang
besarnya mendekati nol ketika ∆x dan ∆y mendekati nol. Sebut saja besaran-
besaran tersebut dan . Maka kita dapat menuliskan

dengan ∂f/∂x dan ∂f/∂y dihitung di (x,y).

Penjelasan di atas berlaku juga untuk fungsi-fungsi yang bergantung pada

sejumlah variabel. Jika maka dari definisi

dan du adalah perkiraan yang bagus bagi jika derivativ-derivatif parsial bagi f

kontinu dan (Boas, 2006).

2.4.3 Perhitungan Pendekatan dengan Menggunakan Diferensial
Boas (2006) menjelaskan contoh penggunaan konsep defferensial dalam

perhitungan perkiraan/pendekatan.
Contoh. Carilah kira-kira nilai dari

Jika selisih yang dicari adalah Tetapi

10

adalah kira-kira dengan

d

Perhitungan ini tidak dapat dilakukan dengan kalkulator (kecuali kalkulatornya
da- pat menampilkan lebih dari 16 digit) karena kita mengurangkan dua bilangan
yang hampir sama.
Contoh. Massa tereduksi µ bagi suatu sistem yang terdiri dari dua massa m1 dan

m2 didefinisikan µ−1 = m1−1 + m2−1 . Jika m1 meningkat 1%, berapa perubahan m2

agar massa tereduksi tidak berubah? Menghitung diferensial bagi persamaan

dan mengganti dm1 = 0.01m1, diperoleh

Sebagai contoh, jika harus menurun 3%.

Contoh. Resistansi R suatu kabel sebanding dengan panjangnya dan berbanding

terbalik dengan kuadrat jari-jarinya, R = kl/r2. Jika ralat relatif pengukuran

pan- jang adalah 5% dan ralat relatif pengukuran jari-jari adalah 10%, carilah ralat

relatif R paling besar.

Ralat relatif l artinya ralat pengukuran l dibagi dengan panjang l yang di-

ukur. ralat relatif l paling besar adalah +0.05 atau −0.05. Demikian juga |dr/r|

paling besar adalah 0.01. Ralat dR/R dapat dihitung dengan mendiferensialkan ln

R. Dari R = kl/r2 diperoleh

.

Maka

11

Contoh. Perkirakan perubahan dalam

Ketika x berubah dari dari π/2 menjadi 1,01π/2. Ingat dari kalkulus bahwa df
/dx = (sin x)/x. Lalu yang dicari adalah df = (df /dx)dx dengan x = π/2 dan
dx = 0,01π/2. Maka

2.3 Rangkuman
Suatu persamaan disebut diferensial apabila mempunyai bentuk

diferensial, misalnya atau . Pada bentuk diferensial , x adalah variabel
bebas dan y adalah variabel tak bebas. Pada umunya, bentuk persamaan
diferensial merupakan bentuk fenomena yang menerangkan objek yang diamati
(variabel tergantungnya) sebagai fungsi waktu (t) dan atau ruang (x,y,z).
Persamaan diferensial terbagi menjadi 2 kelompok berdasarkan variabel
bebasnya. Jika dalam suatu persamaan hanya mempunyai satu variabel bebas,
maka disebut persamaan diferensial biasa. Sedangkan jika dalam suatu
persamaan mempunyai lebih dari satu variabel bebas disebut persamaan
diferensial parsial (Sasongko, 2010). Berikut adalah contoh persamaan
diferensial biasa dan diferensial parsial:
1. Diferensial Biasa

2. Diferensial Parsial

13

2.4 Latihan
Klasifikasikan persamaan diferensial berikut:

14

BAB III EVALUASI

3.1 Kunci Jawaban
1. Persamaan diferensial biasa (PDB)
2. Persamaan diferensial biasa (PDB)
3. Persamaan diferensial parsial (PDP)
4. Persamaan diferensial biasa (PDB)
5. Persamaan diferensial biasa (PDB)
6. Persamaan diferensial parsial (PDP)
7. Persamaan diferensial biasa (PDB)
8. Persamaan diferensial biasa (PDB)
9. Persamaan diferensial parsial (PDP)
10. Persamaan diferensial biasa (PDB)

3.2 Pedoman Penskoran

Untuk mengetahui skor yang diperoleh, gunakan rumus berikut:

Keterangan:
B : banyaknya butir yang dijawab benar
N : banyaknya butir soal

15

DAFTAR PUSTAKA

Arsyad, M. (2018). Fisika untuk Matematika. Bogor: IPB Press.
Boas, L. Marry. (1984). Mathematical Method in The Physical Sciences. New

York: John Wiley and Sons
Sasongko, S. B. (2010). Metode Numerik dengan Scilab. Yogyakarta: Cv.Andi

Offset.

16