กรณฑ์ที่สอง

เรือ่ ง กรณฑ์ท่ีสอง

วิชาคณติ ศาสตร์เพม่ิ เติม ระดับชั้นมัธยมศกึ ษาปที ี3่

เสนอ
ผู้ช่วยศาสตราจารย์ ดร.พรหมมา วหิ คไพบลู ย์

จดั ทาโดย
นางสาว ชนิตา วงษาเศก รหสั 6310121204016

สาขาคณิตศาสตร์ วิทยาลัยการฝึกหัดครู

หนังสอื อเิ ล็กทรอนิกสเ์ ปน็ สว่ นหนงึ่ ของรายวิชาเทคโนโลยีดจิ ทิ ลั
เพือ่ การจดั การเรยี นรคู้ ณิตศาสตร์
ภาคเรียนท่ี 1 ปกี ารศกึ ษา 2565
มหาวทิ ยาลัยราชภัฏพระนคร

คานา

หนงั สืออเิ ลก็ ทรอนิกส์เลม่ น้ีจัดทำข้นึ เพอ่ื ประกอบกำรเรียนวชิ ำเทคโนโลยีดจิ ทิ ลั เพ่อื กำรจดั กำรเรียนรู้
คณติ ศำสตร์ รหัสวิชำ 4092107 โดยมีจดุ ประสงคเ์ พื่อให้ผู้จดั ทำได้ฝกึ กำรศึกษำคน้ ควำ้ และนำสิง่ ท่ีได้ศึกษำ
คน้ คว้ำมำสร้ำงเปน็ ชิ้นงำน เพ่ือเปน็ สอื่ กำรเรียนรใู้ น รำยวิชำคณติ ศำสตร์ และเปน็ ประโยชน์สำหรับนกั เรียน
หรอื ผู้ทมี่ คี วำมสนใจท่จี ะศกึ ษำเรือ่ งกรณฑ์ท่สี อง หำกมีข้อผิดพลำดประกำรใดตอ้ งขออภัย ณ ทนี่ ีด้ ว้ ย

ผู้จดั ทำ
น.ส.ชนิตำ วงษำเศก

สารบัญ

เรอ่ื ง หนา้

ควำมหมำยของรำกท่สี อง 1
คำ่ สมั บูรณ์ 1
สมบตั ิของกรณฑ์ที่สอง 2
ตวั อย่ำง 4
แบบฝกึ หดั 7

1

กรณฑ์ทส่ี อง

ความหมายของรากที่สอง

1. เม่ือ แทนจำนวนจริงบวกใดๆ หรอื ศูนย์ (เขียนแทนด้วย ≥ 0) รำกที่สองของ คอื จำนวนท่ี
ยกกำลังสองแล้วได้

ตวั อย่ำง
9 เปน็ รำกทสี่ องของ 81 เพรำะ 92 = 81
-9 เป็นรำกทสี่ องของ 81 เพรำะ −92 = 81

ค่าสัมบรู ณ์
ค่ำสัมบูรณ์ของจำนวนใดๆ หำได้จำกระยะที่จำนวนนน้ั อยู่หำ่ งจำก 0 บนเส้นจำนวน เชน่

ค่ำสัมบูรณ์ของจำนวนจรงิ ใดๆ ทีไ่ ม่เปน็ ศูนย์ เปน็ จำนวนจรงิ บวกเสมอ และค่ำสมั บรู ณ์ของศนู ย์
เทำ่ กับศนู ย์ เขียนแทนค่ำสัมบูรณข์ อง ดว้ ย | |

เม่ือ > 0 คำ่ สมั บูรณ์ของ เทำ่ กบั เม่ือ < 0 คำ่ สัมบูรณ์ของ เท่ำกับ – และเม่ือ =
0 ค่ำสมั บูรณ์ของ เท่ำกับ 0 นนั่ คือ | | = เมอ่ื > 0
| | = − เมอื่ < 0 และ | | = 0 เมื่อ = 0

เชน่ |8| = 8
|−8| = 8

2

สมบัติของกรณฑ์ทีส่ อง

1.1 สมบัติของ √ เมอื่ ≥
จำนวนในรปู √ เม่อื ≥ 0 มีสมบัติ 2 ขอ้ ดงั นี้
1. √ √ = √ เม่อื ≥ 0, ≥ 0

2. √ = √ เมือ่ ≥ 0, > 0

√

1.2 กำรดำเนนิ กำรของจำนวนจริงซ่งึ เกีย่ วกับกรณฑท์ ี่สอง
เนือ่ งจำกกำรบวกและกำรคณู จำนวนจรงิ มีสมบัตกิ ำรสลบั ท่ี สมบัตกิ ำรเปลี่ยนหมู่ และสมบัตกิ ำรแจก

แจง ดงั นน้ั กำรบวกกำรคูณในรูป √ เมอ่ื ≥ 0 กส็ มบัตกิ ำรสลับที่ สมบัตกิ ำรเปลี่ยนหมู่ และสมบัติกำร
แจกแจงด้วย

สมบัตกิ ารสลับทส่ี าหรับการบวก

√ + √ = √ + √

เชน่ √5 + √3 = √3 + √5

√18 + √22 = √22 + √18

สมบัตกิ ารเปลี่ยนหมู่สาหรบั การบวก

(√ + √ ) + √ = √ + (√ + √ )

เช่น (√11 +√3) +√7 = √11 + (√3 +√7)

√8 +(√15 + √29) = ( √8 + √15 ) + √29

3

สมบัติการสลับทีส่ าหรบั การคูณ
√ × √ = √ × √

เชน่ √12 × √19 = √19 × √12

สมบัติการเปล่ียนกลุม่ สาหรับการคณู
(√ × √ ) × √ = √ × (√ × √ )

เช่น (√5 × √3) × √7 = √5 × (√3 × √7)

สมบัติการแจกแจง

(√ × √ ) × √ = (√ × √ ) + (√ × √ )
และ √ × (√ × √ ) = (√ × √ ) + (√ × √ )

เช่น (√3 × √2) × √5 = (√3 × √5) + (√2 × √5)

√7 × (√6 × √8) = (√7 × √6) + (√7 × √8)

4

ตวั อยา่ ง

2. จงทาให้อย่ใู นรูปยา่ งง่าย
1) √32 = √2 × 4 × 4 = 4√2
2) √500 = √100 × 5 = 10√5
3) 3√112 = 3√7 × 4 × 4 = 3(4√7) = 12√7
4) 2√242 = 2√2 × 121 = 2(11√2) = 22√2

3.จงหาผลบวกของ √ + √ 5

วิธีทา √12 + √27 = √2 × 2 × 3 + √3 × 3 × 3 ใชส้ มบตั กิ ารแจกแจง
โดยมี √3 เป็นตวั รว่ ม
= 2√3 + 3√3
= (2 + 3)√3
= 5√3

ตอบ 5√3

4.จงหาผลลบของ √ − √

วิธที า √500 − √20 = √100 × 5 − √4 × 5

= √(10 × 10) × 5 − √(2 × 2) × 5

= 10√5 − 2√5 ใชส้ มบตั กิ ารแจกแจงโดย
= (10 − 2)√5 มี √5 เป็นตวั รว่ ม
= 8√5

ตอบ 8√5

6

5.จงหาผลคณู ของ √ × √

วิธที า √12 × 2√3 = √2 × 2 × 3 × 2√3

= 2√3 × 2√3

= (2 × 2)√3 × 3
=4×3
= 12

ตอบ 12

เห็นไหมคะ ??
คณิตศำสตร์ง่ำยนิดเดยี ว

6.จงหาผลหารของ √

√

วธิ ที า 2√242 = 2√242

√18 18

= 2√2×121

2×9

= 2√121

9

= 2 × 11
3

= 22

3

ตอบ 22

3

7

แบบฝึกหัด

1).รากทีส่ องของแต่ละจานวนตอ่ ไปน้เี ท่ากบั เท่าใด

1. 36

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……………….
……………………………………………………………………………………………………………………….........................................

2. 196

………………………………………………………………………………………………………………………………………….…………….…
……………………………………………………………………………………………………………………….........................................

3. 50

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……….………
……………………………………………………………………………………………………………………….........................................

4. 16

81

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……….………
……………………………………………………………………………………………………………………….........................................

5. 24

75

………………………………………………………………………………………………………………………………………….……….………
……………………………………………………………………………………………………………………….........................................

8

2).จงทา √ ใหอ้ ยใู่ นรูปอยา่ งง่าย

............................................................................................................................. .................................................
.................................................................................. ............................................................................................
............................................................................................................................. .................................................

3).จงทา √ ใหอ้ ยู่ในรูปอย่างง่าย

............................................................................................................................. .................................................
.................................................................................. ............................................................................................
............................................................................................................................. .................................................

4).จงหาผลลพั ธข์ อง √

√

............................................................................................................................. .................................................
....................................................................................................................................................................... .......
............................................................................................................................ ..................................................

5).จงหาผลลพั ธ์ของ √

√

............................................................................................................................. .................................................
.................................................................................. ............................................................................................
............................................................................................................................. .................................................

6).จงหาผลลพั ธข์ อง √ × √

............................................................................................................................. .................................................
.................................................................................. ............................................................................................
............................................................................................................................. .................................................

9

7).จงหาผลลพั ธข์ องจานวนทีก่ าหนดให้

1.จงหาผลบวกของ √ + √

............................................................................................................................. .................................................
.................................................................................. ............................................................................................
............................................................................................................................. .................................................

2.จงหาผลบวกของ √ + √

............................................................................................................................. .................................................
.................................................................................. ............................................................................................
............................................................................................................................. .................................................

3.จงหาผลลบของ √ − √

............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................................................................. .
............................................................................................................................. .................................................

4.จงหาผลลบของ √ − √

............................................................................................................................. .................................................
..................................................................................................................................... .........................................
.......................................................................................... ....................................................................................

5.จงหาผลลพั ธข์ อง √ + √ − √

............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
........................................................................................................................................................................ ......

6.จงหาผลลัพธ์ของ √ + √ − √

............................................................................................................................. .................................................
.................................................................................. ............................................................................................
............................................................................................................................. .................................................

7.จงหาผลลพั ธข์ อง ( √ + √ ) − ( √ + √ )

............................................................................................................................. .................................................
.................................................................................. ............................................................................................
............................................................................................................................. .................................................

10

8.จงหาผลคูณของ √ × √

............................................................................................................................. .................................................
.................................................................................. ............................................................................................
............................................................................................................................. .................................................

9.จงหาผลคณู ของ √ × √

............................................................................................................................. .................................................
........................................................................................................................................................................... ...
............................................................................................................................. .................................................

10.จงหาผลลพั ธข์ อง √ × (√ + √ )

............................................................................................................................. .................................................
................................................................................................................................... ...........................................
..............................................................................................................................................................................

11.จงหาผลลพั ธข์ อง √ × ( √ − √ )

............................................................................................................................. .................................................
.................................................................................. ............................................................................................
............................................................................................................................. .................................................

12.จงหาผลลพั ธข์ อง √

√

............................................................................................................................. .................................................
.................................................................................................................................................................... ..........
......................................................................................................................... .....................................................

13.จงหาผลลัพธข์ อง √

√

............................................................................................................................. .................................................
............................................................................................................................. .................................................
..............................................................................................................................................................................

14.จงหาผลลพั ธข์ อง √ × −
√

............................................................................................................................. .................................................
.................................................................................. ............................................................................................
............................................................................................................................. .................................................