Persamaan linear dua variabel, sering disebut Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV), adalah sekumpulan dua persamaan yang memuat dua variabel (biasanya記號 (jì hào) - jìhào atau huruf x dan y) yang harus diselesaikan untuk menemukan nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut. Bentuk umum SPLDV: SPLDV dapat dituliskan dalam bentuk umum berikut: • persamaan 1: ax + by = m • persamaan 2: cx + dy = n di mana a, b, c, d, m, dan n adalah bilangan real (angka yang bisa positif, negatif, atau nol). Menyelesaikan SPLDV: Ada beberapa metode untuk menyelesaikan SPLDV, yaitu: • Metode Substitusi: o Menyelesaikan salah satu persamaan untuk x atau y. o Substitusikan hasil tersebut ke persamaan lainnya. o Selesaikan persamaan yang tersisa untuk menemukan nilai variabel yang tersisa. o Substitusikan kembali nilai variabel yang ditemukan ke salah satu persamaan awal untuk menemukan nilai variabel lainnya. • Metode Eliminasi: o Manipulasi kedua persamaan untuk mendapatkan koefisien yang sama untuk salah satu variabel (misalnya x) pada kedua persamaan. o Jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan untuk menghilangkan variabel tersebut. o Selesaikan persamaan yang dihasilkan untuk menemukan nilai variabel lainnya. o Substitusikan nilai variabel yang ditemukan ke salah satu persamaan awal untuk menemukan nilai variabel lainnya. • Metode Grafik: o Gambarkan masing-masing persamaan sebagai garis lurus pada bidang koordinat (sumbu x dan y). o Titik potong kedua garis tersebut merupakan solusi dari SPLDV (nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan). Contoh sederhana: Misalkan kita memiliki SPLDV berikut: • persamaan 1: 2x + y = 5 • persamaan 2: x - 3y = -1 Kita dapat menggunakan salah satu metode di atas untuk menyelesaikan SPLDV ini dan menemukan nilai x dan y.
Kesimpulan: Persamaan linear dua variabel adalah konsep dasar dalam aljabar yang memiliki banyak penerapan dalam kehidupan sehari-hari dan bidang matematika lainnya. Menguasai metode untuk menyelesaikan SPLDV akan membantu Anda memecahkan berbagai masalah yang melibatkan hubungan antara dua variabel. Contoh Soal Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Berikut adalah beberapa contoh soal SPLDV dengan cara penyelesaiannya: Soal 1: Persamaan: • 2x + 3y = 11 • x - y = 2 Penyelesaian: Metode Substitusi: 1. Selesaikan salah satu persamaan untuk x atau y. Misalkan kita selesaikan persamaan kedua untuk x: x = y + 2 2. Substitusikan hasil persamaan x ke persamaan pertama: 2(y + 2) + 3y = 11 3. Sederhanakan dan selesaikan persamaan untuk y: 2y + 4 + 3y = 11 5y = 7 y = 7/5 4. Substitusikan nilai y ke salah satu persamaan awal untuk menemukan nilai x. Misalkan kita substitusikan ke persamaan pertama: 2x + 3(7/5) = 11 2x + 21/5 = 11 2x = 40/5 x = 8/5 Solusi: x = 8/5, y = 7/5 Metode Eliminasi: 1. Manipulasi kedua persamaan untuk mendapatkan koefisien yang sama untuk x pada kedua persamaan. Misalkan kita kalikan persamaan kedua dengan 2: 2x - 2y = -2 2. Jumlahkan kedua persamaan: 5y = 9 3. Bagi kedua sisi persamaan dengan 5 untuk menemukan nilai y: y = 9/5 4. Substitusikan nilai y ke salah satu persamaan awal untuk menemukan nilai x. Misalkan kita substitusikan ke persamaan pertama: 2x + 3(9/5) = 11 2x + 27/5 = 11 2x = 40/5 x = 8/5 Solusi: x = 8/5, y = 7/5 Soal 2: Persamaan: • 3x + 2y = 12
• x - y = 4 Penyelesaian: Metode Grafik: 1. Gambarkan masing-masing persamaan sebagai garis lurus pada bidang koordinat (sumbu x dan y). o Untuk persamaan 3x + 2y = 12, kita dapat memotong sumbu x dan y pada titik (0, 6) dan (4, 0) dan menghubungkan kedua titik tersebut. o Untuk persamaan x - y = 4, kita dapat memotong sumbu x dan y pada titik (4, 0) dan (0, -4) dan menghubungkan kedua titik tersebut. 2. Titik potong kedua garis tersebut merupakan solusi dari SPLDV. Titik potongnya adalah (2, 2). Solusi: x = 2, y = 2 Metode Substitusi atau Eliminasi: Anda juga dapat menyelesaikan soal ini dengan menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Hasilnya akan sama, yaitu x = 2 dan y = 2. Kesimpulan: Ada berbagai metode untuk menyelesaikan SPLDV, yaitu metode substitusi, eliminasi, dan grafik. Masing-masing metode memiliki kelebihan dan kekurangannya sendiri. Pilihlah metode yang paling sesuai dengan soal yang Anda hadapi. Soal-soal lain: Anda dapat mencoba menyelesaikan soal-soal SPLDV berikut: • 4x + 5y = 17 3x - 2y = 8 • 2x - y = 3 x + 3y = 10 • 5x + 2y = 14 3x - 4y = -2 Aplikasi Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) memiliki banyak sekali aplikasi dalam berbagai bidang, di antaranya: 1. Matematika: • Menyelesaikan masalah yang melibatkan dua variabel: SPLDV sering digunakan untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan dua variabel, seperti mencari nilai dua buah benda yang berbeda beratnya, menentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik, atau menghitung laju dan percepatan benda yang bergerak.
• Membuktikan teorema geometri: SPLDV dapat digunakan untuk membuktikan berbagai teorema geometri, seperti teorema Pythagoras, teorema Thales, dan teorema paralelisme. 2. Sains: • Memodelkan fenomena alam: SPLDV dapat digunakan untuk memodelkan berbagai fenomena alam, seperti pertumbuhan populasi, peluruhan radioaktif, dan gerak benda. • Menentukan parameter dalam eksperimen: SPLDV dapat digunakan untuk menentukan parameter dalam eksperimen, seperti konstanta laju reaksi atau kekuatan medan magnet. 3. Teknik: • Menganalisis struktur: SPLDV dapat digunakan untuk menganalisis struktur, seperti jembatan, gedung, dan pesawat terbang. • Merancang sistem elektronik: SPLDV dapat digunakan untuk merancang sistem elektronik, seperti rangkaian listrik dan amplifier. 4. Ekonomi: • Membuat model ekonomi: SPLDV dapat digunakan untuk membuat model ekonomi, seperti model permintaan dan penawaran, model inflasi, dan model pertumbuhan ekonomi. • Menganalisis keputusan investasi: SPLDV dapat digunakan untuk menganalisis keputusan investasi, seperti memilih portofolio saham yang optimal atau menentukan nilai suatu aset. 5. Kehidupan sehari-hari: • Mencampur cat: SPLDV dapat digunakan untuk menentukan jumlah cat yang dibutuhkan untuk mencampur warna yang diinginkan. • Membuat resep masakan: SPLDV dapat digunakan untuk menentukan jumlah bahan yang dibutuhkan untuk membuat resep masakan tertentu. • Menjadwalkan kegiatan: SPLDV dapat digunakan untuk menjadwalkan kegiatan yang melibatkan dua variabel, seperti waktu dan biaya. Contoh Soal: Soal: Di sebuah toko, harga 2 kilogram apel dan 3 kilogram jeruk adalah Rp60.000. Harga 3 kilogram apel dan 2 kilogram jeruk adalah Rp70.000. Berapa harga 1 kilogram apel dan 1 kilogram jeruk? Penyelesaian: Misalkan harga 1 kilogram apel adalah x dan harga 1 kilogram jeruk adalah y. Persamaan 1: 2x + 3y = 60.000 Persamaan 2: 3x + 2y = 70.000
Kita dapat menyelesaikan SPLDV ini dengan menggunakan metode substitusi atau eliminasi. Metode Substitusi: 1. Selesaikan salah satu persamaan untuk x atau y. Misalkan kita selesaikan persamaan pertama untuk x: x = (60.000 - 3y) / 2 2. Substitusikan hasil persamaan x ke persamaan kedua: 3((60.000 - 3y) / 2) + 2y = 70.000 3. Sederhanakan dan selesaikan persamaan untuk y: 90.000 - 9y + 2y = 70.000 -7y = - 20.000 y = 20.000 / 7 4. Substitusikan nilai y ke salah satu persamaan awal untuk menemukan nilai x. Misalkan kita substitusikan ke persamaan pertama: 2x + 3(20.000 / 7) = 60.000 2x + 60.000 / 7 = 60.000 2x = 0 x = 0 Solusi: Harga 1 kilogram apel adalah Rp0 dan harga 1 kilogram jeruk adalah Rp20.000. Kesimpulan: SPLDV adalah alat yang sangat berguna untuk menyelesaikan berbagai masalah yang melibatkan dua variabel. Dengan mempelajari SPLDV, Anda dapat membuka banyak peluang untuk belajar dan bekerja di berbagai bidang.