Bahan ajar matematika peminatan kelas XI semester 2

Bahan ajar
MATEMATIKA Peminatan

Kelas XI
Polinomial

Oleh
FITRIA WINDIARNI,S.Pd

SMA NEGERI 3 MATARAM KOTA MATARAM
PROVINSI NUSA TENGGARA BARAT

POLINOMIAL Kelas
(SUKU BANYAK)
XI

Semester 2

Kompetensi dasar

3.4 Menganalisis keterbagian dan faktorisasi polinom
4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan faktorisasi polinomial

Indikator kompetensi
3.4.1 Menentukan koefisien dari polinomial identic
3.4.2 Menentukan nilai fungsi polynomial
3.4.3 Mengidentifikasi sifat-sifat operasi aljabar pada polynomial
3.4.4 Menentukan hasil dan sisa pembagian polinomial menggunakan cara

bersusun
3.4.5 Menentukan hasil pembagian dan sisa pembagian polinomial menggunakan

metode horner
3.4.6 Membuktikan teorema sisa
3.4.7 Menggunakan teorema sisa untuk menentukan hasil pembagian dan sisa

pembagian polinomial
3.4.8 Membuktikan teorema faktor
3.4.9 Menggunakan teorema faktor untuk menentukan faktor-faktor suatu

polinomial
3.4.10 Menentukan akar-akar persamaan polinomial
3.4.11 Menyelesaikan persamaan polinomial
3.4.12 Menganalisis hubungan akar-akar polinom dengan koofisien-koofisien suku
4.4.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai fungsi polinomial
4.4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan operasi aljabar pada

polinomial
4.4.3 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan menentukan hasil dan sisa

pembagian polynomial menggunakan cara bersusun
4.4.4 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pembagian polynomial

menggunakan metode horner
4.4.5 Menggunakan teorema sisa dalam menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan hasil pembagian dan sisa pembagian polinomial
4.4.6 Menggunakan teorema faktor untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan

dengan polinom
4.4.7 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan polinomial

46

Peta Konsep

Pengertian Pembagian
Polinomial Polinomial

Nilai Sisa ≠ 0 Sisa = 0
Polinomial
POLINOMIAL
Operasi
Aljabar Teorema Pemfaktoran
Pembagian Sisa Polinomial
Polinomial
Teorema Identitas
Akar Faktor
Polinomial

47

POLINOMIAL
(Suku Banyak)

Pada pembahasan sebelumnya kita mengenal penjumlahan suku-suku dengan
pangkat tertinggi 2(dua), atau yang biasa disebut persamaan kuadrat (PK) ( ) = 2 +
+ . Persamaan kuadrat merupakan salah satu bentuk aljabar. Pada bab ini kita akan
mempelajari bentuk aljabar lain, yang disebut Polinomial, yaitu penjumlahan suku-suku
dengan pangkat tertinggi lebih dari dua.

A. Pengertian Suku banyak (Polinomial)
Bentuk Umum Suku banyak
Dalam matematika, polinomial adalah pernyataan matematika yang
melibatkan jumlahan, perkalian, pangkat dalam satu atau lebih variable dengan
kooefisien.
a. Fungsi polinomial Derajat n
( ) = + 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + −1 + , ≠ 0

b. Persamaan polinomial Derajat n
+ 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + −1 + = 0, ≠ 0

c. polinomial Derajat n
+ 1 −1 + 2 −2 + ⋯ + −1 +

Perhatikan bentuk persamaan polinomial berikut ini!

5 3 + 7 2 − + 15 = 0
Bentuk persamaan polinomial di atas mempunyai ciri-ciri berikut:

a. Memuat satu variable, yaitu x
b. Pangkat tertinggi variabelnya 3 atau Sukubanyak berderajat 3

48

c. Mempunyai 4 suku yaitu5 3, 7 2 , − 15
d. Koefisien dari

3 ℎ 5 ; 2 ℎ 7 ; ℎ − 1
e. Suku tetap atau konstanta adalah 15

Bentuk aljabar di atas disebut sukubanyak (Polinomial) berderajat 3 karena pangkat
tertinggi variabelnya tiga.

Bentuk umum sukubanyak (Polinomial) berderajat n dalam variable x adalah:

0 + 1 + 2 2 + ⋯ + −1 −1 +

Dinamakan sukubanyak (polinom) dalam x yang berderajat n, dengan n bilangan
cacah dan ≠ 0. Bilangan 1, 2, … , disebut koefisien dan 0disebut suku tetap
(konstanta).

Sukubanyak dapat ditulis sebagai fungsi ( ) seperti berikut:
contoh:

1. Diketahui polinom: 15 3 + 5 2 − 19 + 67
a. Sukubanyak dalam peubah x
b. Sukubanyak berderajat 3
c. Koefisien dari:
3adalah 15
2adalah 5
adalah -19
ℎ 67

2. Diketahui polinom 3 + 5
a. Sukubanyak dalam peubah a
b. Sukubanyak berderajat 3
c. Koefisien dari masing-masing suku
3adalah 1
2adalah 0

49

adalah 0
ℎ 5

B. Operasi pada Sukubanyak
Penjumlahan atau pengurangan sukubanyak dilakukan dengan menjumlahkan atau
mengurangkan suku-suku sejenis. Sedangkan perkalian sukubanyak dilakukan
dengan memanfaatkan sifat distributif (mengalikan suku-suku dari kedua polinom
tersebut).

Contoh :
Diketahui sukubanyak ( ) dan ( )sebagai berikut:
( ) = 5 3 − 3 2 + 15 − 2
( ) = 8 2 − 7 + 13

Tentukan:
a. ( ) + ( )
b. ( ) − ( )
c. ( ) ( )

Alternatif Penyelesaian:
a. ( ) + ( ) = (5 3 − 3 2 + 15 − 2) + ( 8 2 − 7 + 13 )

= 5 3 + (−3 + 8) 2 + (15 − 7) + (−2 + 13)

= 5 3 + 5 2 + 8 + 11

b. ( ) − ( ) = (5 3 − 3 2 + 15 − 2) − ( 8 2 − 7 + 13 )
= 5 3 + (−3 − 8) 2 + (15 + 7) + (−2 − 13)
= 5 3 − 11 2 + 22 − 15

c. ( ) × ( ) = (5 3 − 3 2 + 15 − 2) ( 8 2 − 7 + 13 )

50

= 5 3( 8 2 − 7 + 13 ) − 3 2( 8 2 − 7 + 13 )
+ 15 ( 8 2 − 7 + 13 )
− 2( 8 2 − 7 + 13 )

= 40 5 − 35 4 + 65 3 − 24 4 + 21 3 − 39 2
+ 120 3 − 105 2 + 65 − 16 2 + 14
− 26

= 40 5 + (−35 − 24) 4 + (65 + 21 + 120) 3
+ (−39 − 105 − 16) 2 + (65 + 14) − 26

= 40 5 − 59 4 + 206 3 − 160 2 + 79 − 26

C. Nilai Polinomial / Nilai Sukubanyak
Nilai sukubanyak ( ) = ( ) dapat ditentukan dengan cara
sebagai berikut:
Cara Substitusi
Dengan cara mensubstitusikan = pada sukubanyak
( ) = + −1 −1 + ⋯ + 1 1 + 0
Akan diperoleh :
( ) = + −1 −1 + ⋯ + 1 1 + 0
Contoh:
Tentukan nilai sukubanyak berikut:
a. Jika ( ) = 3 + 2 2 + 3, maka nilai ( ) untuk = 2 adalah… .
b. Hitunglah nilai sukubanyak dari:
( ) = 5 4 + 2 3 − 3 2 + 15 , untuk nilai = 0 = 2

Alternatif Penyelesaian:
a. Nilai ( ) = 2 ℎ

(2) = 23 + 2. 22 + 3 = 8 + 2.4 + 3 = 8 + 8 + 3 = 19

b. Untuk nilai = 0, ℎ
(0) = 5.04 + 2. 03 − 3. 02 + 15 = 15

51

c. Untuk nilai = 2, ℎ
(2) = 5.24 + 2. 23 − 3. 22 + 15 = 5.16 + 2.8 − 3.4 + 15
= 80 + 16 − 12 + 15 = 99

Cara Skematik / Cara Horner
Misalkan( ) = 3 3 + 2 2 + 1 1 + 0 , maka:
( ) = 3 3 + 2 2 + 1 1 + 0

= ( 3 2 + 2 1 + 1) + 0
= ( ( 2 1 + 2) + 1) + 0
Dari bentuk terakhir ini, kita dapat menentukan nilai sukubanyak secara

bertahap:
1. Kalikan 3 , kemudian jumlahkan dengan 2 sehingga
diperoleh 3. + 2,
2. Kalikan 3. + 2 , kemudian jumlahkan dengan 1 sehingga
diperoleh
( 3. + 2) + 1 = 3 2 + 2 + 1, dan selanjutnya
3. Kalikan 3 2 + 2 + 1 , kemudian jumlahkan dengan
0sehingga diperoleh
( 3 2 + 2 + 1) + 0 = 3 3 + 2 2 + 1 + 0

Langkah tersebut dapat ditunjukkan dengan cara Skema Horner sebagai

berikut:

Langkah tersebut dapat ditunjukkan dengan cara Skema Horner sebagai

berikut: 2 1 0
3 3. ( 2 + 3. ). ( 1 + 2 + 3. 2).

3 ( 2 + 3. ) ( 1 + 2 + 3. 2) 0 + 1 + 2 2 + 3 3

( )

Keterangan: berarti “kalikandengan k”

52

Contoh soal dan alternative penyelesaian

1. Diketahui sukubanyak ( ) = 2 3 − 4 2 + − 8. Tentukan nilai
sukubanyak untuk = 2

Alternatif Penyelesaian:

Cara 1: Substitusi
(2) = 2. 23 − 422 + 2 − 8 = 2.8 − 4.4 + 2 − 8 = 16 − 16 + 2 − 8
= −6

Cara 2: Skema Horner

2 2 -4 1 -8

40 2

2 0 1 -6 = f(2)

2. Diketahui sukubanyak ( ) = 2 5 + 3 4 − 3 − 5 2 + 7 + 20. Agar
(−2) = −6, tentukan nilai !

Alternatif Penyelesaian:

Cara Substitusi:

(−2) = −6

(−2) = 2. (−2)5 + 3. (−2)4 − . (−2)3 − 5. (−2)2 + 7. (−2)+ = −6

⟺ 2. −32 + 3.16 + 8 − 5.4 − 14 + 20 = −6

⟺ −64 + 48 + 8 − 20 − 14 + 20 = −6

⟺ 8 − 30 = −6

⟺ 8 = 24

⟺ = 3
Jadi nilai ℎ 3

53

D. Pembagian Sukubanyak
1. Pengertian Pembagi, Hasil Bagi, dan Sisa Pembagian Polinomial
Pembagian sukubanyak dapat dilakukan dengan cara yang sama dengan
pembagian suatu bilangan. Perhatikan contoh pembagian sukubanyak
5 − 3 4 + 2 3 − 2 + 4 − 5 oleh sukubanyak 2 − 2 + 3 berikut !

2 − 2 + 3 3 − 2 − 3 − 4
5 − 3 4 + 2 3 − 2 + 4 − 5
5 − 2 4 + 3 3

− 4 − 3 − 2 + 4 − 5
− 4 + 2 3 − 3 2
− 3 3 + 2 2 + 4 − 5
− 3 3 + 6 2 − 9
−4 2 + 13 − 5
−4 2 + 8 − 12
5 + 7

Keterangan:
➢ 5 − 3 4 + 2 3 − 2 + 4 − 5 disebut sukubanyak yang dibagi
➢ 2 − 2 + 3disebut pembagi/ P(x) sukubanyak
➢ 3 − 2 − 3 − 4 disebut hasil bagi/ H(x)
➢ 5 + 7 disebut sisa (S)

Dari pembagian tersebut dapat dituliskan:

• 5 − 3 4 + 2 3 − 2 + 4 − 5 : ( 2 − 2 + 3) = ( 3 − 2 − 3 − 4)
dengan sisa 5 + 7

• 5−3 4+2 3− 2+4 −5 = ( 3 − 2 − 3 − 4) + 5 + 7
2−2 +3 2−2 +3

54

• 5 − 3 4 + 2 3 − 2 + 4 − 5 = ( 2 − 2 + 3) . ( 3 − 2 − 3 − 4)
+ (5 + 7)

Bentuk terakhir merupakan bentuk umum pembagian, yaitu: sukubanyak f(x)
dibagi sukubanyak g(x) menghasilkan hasil bagi h(x) dengan sisa S dapat
ditulis sebagai berikut:

( ) = ( ). ℎ( ) +

Contoh soal dan alternative penyelesaian ke
1. Tuliskan pembagian sukubanyak 3 − 7 2 + 3 + 15 oleh − 5

dalam bentuk umum pembagian !

Alternatif Penyelesaian:
Sukubanyak 3 − 5 2 + 3 + 15 : − 5

− 5 2 − 2 − 7
3 − 7 2 + 3 + 15
3 − 5 2
−2 2 + 3 + 15
−2 2 + 10

− 7 + 15
− 7 + 35

−20

Diperoleh ℎ = 2 − 2 − 7 dan = −20
Bentuk umum pembagiannya dapat dituliskan sebagai berikut:

3 − 7 2 + 3 + 15 = ( − 5). ( 2 − 2 − 7) + (−20)

55

2. Pembagian Polinomial dengan Cara Horner
a. Pembagian Polinomial dengan (x – k)
Sukubanyak ( ) = 3 3 + 2 2 + 1 1 + 0 dibagi oleh ( − ).
Pembagian dengan cara Horner sebagai berikut:

3 2 1 0

3. ( 2 + 3. ). ( 1 + 2 + 3. 2).

3 ( 2 + 3. ) ( 1 + 2 + 3. 2) 0 + 1 + 2 2 + 3 3

Koefisien-koefisienhasilbagi ( ) =

Jadi,
3 3 + 2 2 + 1 1 + 0 = ( − ). ( 3 2 + ( 2 + 3. ) +
( 1 + 2 + 3. 2)) +( 0 + 1 +
2 2 + 3 3)

Diperoleh:
Hasil bagi = ℎ( ) = 3 2 + ( 2 + 3. ) + ( 1 + 2 + 3. 2)
Sisa = = 0 + 1 + 2 2 + 3 3)

Contoh soal dan alternative penyelesaian

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak 3 − 7 2 + 3 + 15
oleh − 5 !

Alternatif penyelesaian:
3 − 7 2 + 3 + 15 dibagi oleh − 5

− 5 = 0 1 −7 3 15
= 5 −10 −35
−7 −20
1 −2
Sisa = −20
Hasilbagi = 2 − 2 − 7

56

b. Pembagian Polinomial dengan (ax + b)
Jika ( ) dibagi oleh ( + ) , maka akan diperoleh:
( ) = ( + ). ℎ( ) +
= ( + ) . . ℎ( ) + = ( + ) ( . ℎ( )) +
= ( − (− )) . ( ) + , ( ) = . ℎ( )

Koefisien H(x) dan sisa pembagian dapat diperoleh dengan cara Horner

seperti pada pembagian sukubanyak oleh( x – k ) dengan = − .

Jadi hasil bagi ( ) ℎ ( + ) adalah ℎ( ) = ( ) dan sisanya =


(− )

Jika ( ) habis dibagi oleh ( ) maka sisanya = 0, sehingga : ( ) =

( ). ℎ( )

( ) ℎ( )disebut faktor dari ( ).

Contoh soal dan alternative penyelesaian

Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian sukubanyak
( ) = 2 3 + 17 2 − 6 + 5 dibagi dengan (2 + 1) !

AlternatifPenyelesaian:

2 + 1 = 0

2 = −1 2 17 −6 5

= − 1 −1 −8 7
2

2 16 −14 12

Sehinggadiperoleh:
( ) = ( + 12) (2 2 + 16 − 14) + 12
= ( + 12) . 2( 2 + 8 − 7) + 12

57

= (2 + 1). ( 2 + 8 − 7) + 12

Jadi, hasilbaginya= ℎ( ) = 2 + 8 − 7 dan sisanya = 12

Atau cara lain hasil baginya adalah 2 2+16 −14 = 2 + 8 − 7 dan sisanya
2

= 12

c. Pembagian Polinomial dengan + + ; ≠

Penyelesaian pembagian sukubanyak kini dapat diselesaikan dengan

beberapa cara, antara lain dengan metode Horner, apabila pembaginya dapat

difaktorkan. Jika pembagi tidakdapat difaktorkan maka dapat diselesaikan

dengan cara pembagian biasa atau sifat keidentikan.

a. Pembagidapatdifaktorkan
( ) = ( 2 + + ). ( ) +
= ( + )( + ). ( ) + ( + )

Untukmencarihasilbagidansisanyadapatdiselesaikandengancara Horner

dan Cara keidentikan.

Contoh soal:

Tentukan hasil bagi dan sisanya jika ( ) = ( 3 + 5 2 − 8 +

4) dibagi ( ) = ( 2 − − 2)

Alternatif Penyelesaian:
( ) = ( 3 + 5 2 − 8 + 4)
( ) = ( 2 − − 2) = ( − 2)( + 1)

Diselesaikan dengan cara Horner sebagai berikut:

− 2 = 0

= 2 1 5 −8 4

2 14 12

17 6 16

Artinya:
( ) = ( 3 + 5 2 − 8 + 4) = ( − 2)( 2 + 7 + 6) + 16….(1)
Selanjutnya hasil pembagian tersebut yaitu ( 2 + 7 + 6) dibagi lagi
dengan ( + 1)

58

+ 1 = 0 176
= −1 -1 -6

160

Artinya:
( ) = ( 3 + 5 2 − 8 + 4) = ( − 2)( 2 + 7 + 6) + 16

= ( − 2)( + 1)( + 6) + 16

Jadi hasil baginya adalah( + 6) dan sisanya adalah 16

Diselesaikan dengan Cara Keidentikan:
( ) = ( 3 + 5 2 − 8 + 4) = ( 2 − − 2). ( ) +

= ( 2 − − 2). ( + ) + ( + )
= 3 + ( − 1) 2 + (− − 2 + ) + (−2 + )

Perhatikan koefisien tiap suku: → = 6
− 1 = 5

− − 2 + = −8 → −6 − 2 + = −8 → = 0

−2 + = 4 → −2.6 + = 4 → = 16

Jadi, hasil baginya adalah ( + ) = ( + 6) dan
sisanya ( + ) = 0 + 16 = 16

Diselesaikan denganCara PembagianBersusun:

+ 6

2 − − 2 3 + 5 2 − 8 + 4

3 − 2 − 2

6 2 − 6 + 4

6 2 − 6 − 12

16

Terlihat hasil baginya adalah( + 6) dan sisanya = 16

59

E. Teorema Sisa
Dalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear, kita

dapat menggunakan teorema sisa.

Teorema sisa 1
Jika suku banyak ( ) dibagi − , maka sisa pembagiannya adalah ( )

Contoh : Tentukan sisa pembagian dari ( ) = 3 + 4 2 + 6 + 5 dibagi ( + 2)

1. Menggunakan teorema sisa 1

( ) = 3 + 4 2 + 6 + 5 dibagi ( + 2)

Bentuk pembagi ( + 2) ⇔ ( − (−2)), sehingga = −2
(−2) = (−2)3 + 4(−2)2 + 6(−2) + 5

= −8 + 16 − 12 + 5
=1
Jadi, sisa pembagian dari ( ) = 3 + 4 2 + 6 + 5 dibagi ( + 2) adalah 1.

2. Pembagian bersusun
( ) = 3 + 4 2 + 6 + 5 dibagi ( + 2)

2 + 2 + 2

+ 2 3 + 4 2 + 6 + 5

3 + 2 2 −

2 2 + 6

2 2 + 4 −

2 + 5
2 + 4 −

1

3. Cara horner
( ) = 3 + 4 2 + 6 + 5 dibagi ( + 2)

Jadi, sisa pembagiannya adalah 1
Teorema sisa 2
Jika suku banyak ( ) dibagi + , maka sisa pembagiannya adalah (− )

Contoh : Tentukan sisa pembagian dari ( ) = 5 3 + 21 2 + 9 − 1 dibagi 5 + 1

60

1. Menggunakan teorema sisa 2

( ) = 5 3 + 21 2 + 9 − 1 dibagi 5 + 1

(− 15) = 5 (− 15)3 + 21 (− 15)2 + 9 (− 15) − 1
5 21 9
= − 125 + 25 − 5 − 1

= − 50
2
= −2

Jadi, sisa pembagian ( ) = 5 3 + 21 2 + 9 − 1 dibagi 5 + 1 adalah −2

2. Cara Horner
( ) = 5 3 + 21 2 + 9 − 1 dibagi 5 + 1

Jadi, sisa pembagian ( ) = 5 3 + 21 2 + 9 − 1 dibagi 5 + 1 adalah −2

Teorema sisa 3
Jika suku banyak ( ) dibagi ( − )( − ), maka sisa pembagiannya adalah
+ dimana ( ) = + dan ( ) = + .

Contoh : Tentukan sisa pembagian 3 − 2 2 + 3 − 1 dibagi 2 + − 2

1. Menggunakan teorema sisa 3
3 − 2 2 + 3 − 1 dibagi 2 + − 2

Pada ( ) = 3 − 2 2 + 3 − 1 dibagi 2 + − 2 , bentuk 2 + − 2 dapat
difaktorkan menjadi ( = 2)( − 1). Berdasarkan teorema sisa 3, bentuk

( + 2)( − 1) ⇔ ( − (−2))( − 1)

Sehingga, nilai = −2 = 1

( ) = +
(−2) = −2 +
(−2)3 − 2(−2)2 + 3(−2) − 1 = −2 +
−8 − 8 − 6 − 1 = −2 +

−23 = −2 + ..... Persamaan 1
( ) = +

(1) = +
(1)3 − 2(1)2 + 3(1) − 1 = +

1 − 2 + 3 − 1 = +
1 = + ... Persamaan 2

61

Eliminasi persamaan 1 dan 2
−2 + = −23

+ = 1 −
−3 = −24
= 8
Substitusi = 8 ke persamaan 2

+ = 1
8 + = 1

= −7
Jadi, sisa pembagiannya + = 8 − 7

2. Pembagian bersusun
3 − 2 2 + 3 − 1 dibagi 2 + − 2

2 + 2 + 2

2 + − 2 3 − 2 2 + 3 − 1

3 + 2 − 2 −

−3 2 + 5 − 1
−3 2 − 3 + 6 −

8 − 7

Jadi, sisa pembagian 3 − 2 2 + 3 − 1 dibagi 2 + − 2

F. Teorema Faktor
Teorema faktor dapat digunakan untuk menentukan faktor linear dari suku
banyak..

Teorema faktor
Jika ( ) suatu suku banyak, maka ( − ) merupakan faktor dari ( ) jika
dan hanya jika ( ) =

Contoh : Tentukan faktor-faktor dari 3 − 2 2 − + 2
Jika ( − ) merupakan faktor suku banyak 3 − 2 2 − + 2, maka
merupakan faktor dari 2, yaitu ±1 ± 2. Dengan mencoba beberapa
bilangan di tersebut, maka ditemukan sisa pembagian 0 untuk = 1,
yaitu :

62

2 3 + 7 2 + 2 − 3 = ( + 1)(2 2 + 5 − 3
= ( + 1)(2 − 1)( + 3)

Jadi, faktor-faktornya adalah ( + 1)(2 − 1)( + 3).

G. Akar-akar dan penyelesaian persamaan suku banyak

Metode penyelesaian persamaan suku banya dilakukan dengan memfaktorkan,

sebab pada persamaan polinomial tidak mempunyai rumus khusus seperti pada

persamaan kuadrat. Dengan menfaktorkan, maka kita akan mendapatkan faktor-

faktor dari persamaan polinomial tersebut. Dari faktor-faktor tersebut, kita

mendapatkan akar-akar persamaan polinomial yang merupakan penyelesaiannya.
Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 3 − 4 2 + + 6 = 0

Penyelesaian :

Dengan menggunakan teorema faktor, kita dapat mencoba beberapa bilangan
faktor dari 6 seperti ±1, ±2, ±3, ± 6, maka kita temukan sisa pembagian 0
untuk = −1, yaitu :

Sehingga, bentuk persamaan tersebut menjadi
( + 1)( 2 − 5 + 6) = 0
( + 1)( − 2)( − 3) = 0
= −1 = 2 = 3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {−1,2,3}

H.Hubungan akar-akar polinomial dengan koefisien-koefisien suku

1. Untuk suku banyak berderajar dua: + + =

Jika 1dan 2 adalah akar-akar persamaan kuadrat 2 + + = 0, ∶

a. 1 + 2 = −


b. 1. 2 =

2. Untuk suku banyak berderajar tiga: + + + =

Jika 1, 2 3 adalah akar-akar persamaan kuadrat 3 + 2 + + =

0,

maka :

a. 1 + 2 + 3 = −


b. 1. 2 + 2. 3 + 1. 3 =

c. 1. 2. 3 = −


3. Untuk suku banyak berderajar empat: + + + + =

Jika 1, 2, 3 4 adalah akar-akar persamaan kuadrat

63

4 + 3+ 2 + + = 0, maka :

a. 1 + 2 + 3 + 4 = −


b. 1. 2. 3 + 2. 3. 4 + 3. 4. 1 + 4. 1. 2 =

c. 1. 2. 3. 4 =


Contoh : Jika salah satu akar dari suku banyak 3 + 4 2 + − 6 = 0 adalah = 1,
tentukanlah akar-akar yang lain.

Karena (1) = 0, maka = 1 adalah akar persamaan ( ) = 0
3 + 4 2 + − 6 = 0
( − 1)( 2 + 5 + 6) = 0
( − 1)( + 2)( + 3) = 0

Jadi, akar yang lain adalah = −2 = −3

I. Pengayaan

Fungsi pecah sebagian

Pecahan 2 dapat dinyatakan sebagai berikut :
2− −2
2 2
2 − − 2 = ( + 1)( − 2)

⇔= ( + 1)( − 1) + ( − 2)
( + 1)( − 2)

⇔= ( + 1)( − 1) + ( ( + 2) 2)
( + 1)( − 2) + 1)( −

⇔= 1 + ( ( + 2) 2)
+ 1)( −

sedangkan pecahan 3 dapat dinyatakan sebagai beikut :
2− −2
3 3
2 − − 2 = ( + 1)( − 2)

⇔= ( + 1)( − 2)( + 1) + (3 + 2)
( + 1)( − 2)

⇔= ( + 1)( − 2)( + 1) + 3 + 2
( + 1)( − 2) + 1)( −
( 2)

⇔= ( + 1) + ( (3 + 2) 2)
+ 1)( −

Bandingkan derajat pembilang ruas kanan dengan derajat penyebut ruas kiri

pada dua pecahan di atas :

“Derajat pembilang sekurang-kurangnya satu kurangnya dari derajat penyebut

sebelumnya”.

64

Untuk setiap faktor linear ( + ) pada penyebut, terdapat satu pecahan dalam

benuk dimana A konstanta.
+

Misalnya :

2 3 − 2 = ( + 3 − 2) = 1 + 2
− 1)( + −

Contoh :

65