1

1.Identitas : Matematika XI (Wajib)
: Ganjil
a. Nama Mata Pelajaran :
b. Semester
c. Kompetensi Dasar

3.6 Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri
4.6 Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan

menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga

majemuk, dan anuitas)

d. Materi Pokok : Barisan Arimetik dan Geometri
e. Alokasi Waktu : 8 x 45 menit
f. Tujuan Pembelajaran :

Melalui pendekatan saintifik dengan menggunakan model pembelajaran Discovery
Learning (Pembelajaran Penemuan) dan Problem Based Learning (Pembelajaran Berbasis
Masalah)/projek, peserta didik diharapkan dapat Menggeneralisasi pola bilangan dan
jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri serta Menggunakan pola barisan aritmetika
atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk
pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas) berpikir kritis, berkomunikasi,
berkolaborasi, berkreasi(4C).

g. Materi Pembelajaran
Buku Teks Pelajaran (BTP) SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI, Sudianto Manullang dkk,
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia, 2017

2.Peta Konsep

POLA BILANGAN

Barisan Deret
Bilangan Bilangan

Barisan Barisan Deret Deret
Aritmetik Geometri Aritmetik Geometri

Rumus Aplikas Rumus Aplikasi Jumlah n Aplikasi Jumlah n Aplikasi
Suku Ke-n i Suku Ke-n suku suku

Deret Geometri
Tak Hingga

UKBM_MATW: 3.6_1 _Barisan Aritmetika Page 1

3.Kegiatan Pembelajaran

Pertemuan 1 dan 2

a. Pendahuluan

Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan memahami cerita
di bawah ini.

Pada malam pertunjukkan dalam rangka membantu korban bencana alam,
ruangan tempat duduk untuk para penonton dibagi atas beberapa baris.
Masing–masing baris terdiri dari 200 tempat duduk. Harga karcis baris
terdepan Rp. 150.000,00 per orang dan harga kacis baris paling belakang
sebesar Rp. 50.000,00 per orang. Selisih harga karcis untuk tiap baris itu
sama. Jika semua karcis habis terjual maka panitia berharap akan
memperoleh uang sebesar Rp. 120.000.000,00. Berapakah harga karcis
per orang dari sebelum baris paling belakang?

Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan kalian lanjutkan ke
kegiatan belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada dalam UKBM ini.

b. Kegiatan Inti

1) Petunjuk Umum UKB
a) Baca dan pahami materi pada buku Sinaga, Bornok, dkk. 2017. Buku
Siswa Matematika XI Wajib. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan
Kebudayaan, hal. 180 s.d. 196.
b) Setelah memahami isi materi dalam bacaan berlatihlah untuk berfikir
tinggi melalui tugas-tugas yang terdapat pada UKB ini baik bekerja
sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya.
c) Kerjakan UKB ini di buku kerja atau langsung mengisikan pada bagian
yang telah disediakan.
d) Kalian dapat belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan ayo
berlatih, apabila kalian yakin sudah paham dan mampu menyelesaikan
permasalahan-permasalahan dalam kegiatan belajar 1, kalian boleh
melanjutkan ke kegiatan belajar 2.

2) Kegiatan Belajar
Ayo…, ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran dan

konsentrasi!

Kegiatan Belajar 1

Perhatikan kalender tahun 2012 di samping
Tuliskan angka-angka yang menunjukkan hari senin

.......................................................................................
.......................................................................................

Apa yang dapat anda ketahui tentang angka-angka
tersebut?
.......................................................................................
.......................................................................................

Coba anda buat pola bilangan untuk hari lainnya.
Hasil apa yang anda peroleh?
.......................................................................................
.......................................................................................

UKBM_MATW: 3.6_1 _Barisan Aritmetika Page 2

Bisakah anda mendefinisikan apa yang dimaksud dengan pola bilangan?
..............................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................
Perhatikan pola bilangan berikut dan coba anda lanjutkan bilangan berikutnya serta
sebuntkan nama pola bilangan tersebut.

Pola bilangan
....................................................

Pola bilangan
....................................................

Pola bilangan
....................................................

Pola bilangan
....................................................

Pola bilangan
....................................................

A. BARISAN BILANGAN
Dapatkan anda menuliskan dua angka berikutnya yang mungkin untuk masing-masing
barisan bilangan di bawah ini:
1. 1, 3, 5, ..., ...
2. 500, 400, 320, 260, ..., ...
3. 1, 1, 2, 3, 5, ..., ...
4. 2, 3, 5, 8, 13, 21, ..., ...
Barisan bilangan di atas sering muncul dalam kehidupan sehari-hari. Anda mungkin
menjumpai barisan bilangan (1) jika mencari nomor rumah. Barisan (2) merupakan
harga televisi dalam ribuan rupian yang disusutkan 20% pertahun. Barisan (3) dan (4)
adalah barisan Fibonaci yang dapat anda teliliti dalam susunan daun, segmen-segmen
dalam buah nanas atau biji cemara.

"Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang tersusun menurut pola

tertentu".

UKBM_MATW: 3.6_1 _Barisan Aritmetika Page 3

Contoh soal:
1. Sebuah barisan didefinisikan Un = n2 – 2n – 1, dengan n bilangan asli.

a. Tuliskan bentuk barisannya
b. Tentukan nilai suku ke-10
2. Suatu grup nasyid dijadwalkan latihan setiap Rabu pada bulan Agustus. Jika
latihan pertama dilakukan pada tanggal 3, tentukan jadwal latihan nasyid pada
bulan tersebut.

Jawab:

1. Bentuk barisannya
a. U1 = (1)2 – 2(1) – 1 = -2
U2 = (2)2 – 2(2) – 1 = -1
U3 = (3)2 – 2(3) – 1 = 2
U4 = (4)2 – 2(4) – 1 = 7
U5 = (5)2 – 2(5) – 1 = 14

Jadi, barisan bilangan tersebut adalah -2, -1, 2, 7, 14, ...

b. Suku kesepuluh dapat dicari sebagai berikut.
U10 = (10)2 – 2(10) – 1 = 79

2. Anda dapat mencari polanya sebagai berikut.

Rabu ke-1 3

Rabu ke-2 3 + 7 = 10

Rabu ke-3 10 + 7 = 17

Rabu ke-4 17 + 7 = 24

Rabu ke-5 24 + 7 = 31

Jadi, jadwal latihan nasyid tersebut diperoleh dengan menambahkan 7 hari pada

setiap suku.

Suku-suku pada barisan tersebut sebagai berikut.

Minggu Ke- Tanggal Pola

1 3 3 = 7. 1 – 4

2 10 10 = 7 . 2 - 4

3 17 17 = 7 . 3 - 4

4 24 24 = 7 . 4 – 4

5 31 31 = 7 . 5 – 4

Jadi, rumus berulang untuk barisan tanggal tersebut adalah Un = 7n – 4

B. DERET BILANGAN
Deret bilanganmerupakan jumlah dari suku-suku pada barisan bilangan. Jika U1, U2, U3,
...,Un badalah barisan bilangan maka U1 + U2+ U3+ ... +Un adalah sebuah deret bilanagn.

UKBM_MATW: 3.6_1 _Barisan Aritmetika Page 4

Ayoo berlatih!

Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka cobalah
selesaikan soal-soal di bawah ini:

1. Aplikasikan konsep yang kalian dapat untuk menyelesaiakn masalah berikut.

Tuliskan 4 bilangan pertama dari barisan dengan rumus berikut.
a. Un = 2n2 – n – 2

b. Un = 1 ( + 2)

2

Alternatif Penyelesaian:

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

2. Tentukan jumlah deret bilangan yang rumus suku ke-n nya diketahui.
a. Un = n – 5 untuk 10 bilangan yang pertama
b. Un = 2+ 1, untuk 4 bilangan yang pertama
Alternatif Penyelesaian
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................
............................................................................................................................................................

UKBM_MATW: 3.6_1 _Barisan Aritmetika Page 5

Pertemuan 4 dan 5

a. Pendahuluan

Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan
memahami cerita di bawah ini.

Dalam sebuah gedung akan disusun kursi untuk acara Training.
Terdapat 30 kursi pada baris pertama dan setiap baris berikutnya
memuat empat kursi lebih banyak dari baris di depannya. Bila dalam
gedung itu terdapat sepuluh baris kursi. Berapakah kursi yang
tersedia untuk acara training itu?

Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan kalian
lanjutkan ke kegiatan belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada dalam
UKB ini.

b. Kegiatan Inti

1) Petunjuk Umum UKB
a) Baca dan pahami materi pada buku Sinaga, Bornok, dkk. 2017. Buku
Siswa Matematika XI Wajib. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan
Kebudayaan, hal. 180 s.d. 196.
b) Setelah memahami isi materi dalam bacaan berlatihlah untuk berfikir
tinggi melalui tugas-tugas yang terdapat pada UKB ini baik bekerja
sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya.
c) Kerjakan UKB ini di buku kerja atau langsung mengisikan pada bagian
yang telah disediakan.
d) Kalian dapat belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan ayo
berlatih, apabila kalian yakin sudah paham dan mampu menyelesaikan
permasalahan-permasalahan dalam kegiatan belajar 1 dan 2, kalian
boleh melanjutkan ke kegiatan belajar 3 dan 4.

2) Kegiatan Belajar
Ayo…, ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran dan
konsentrasi!

Kegiatan Belajar 3 dan 4

Alternatif Penyelesaian:
Untuk menentukan banyaknya kursi yang tersedia dalam gedung tersebut mulai
dari baris pertama sampai baris ke sepuluh dapat diilustrasikan sebagai
berikut:

Jumlah kursi tiap baris adalah 64

30 + 34 + 38 + 42 + ... +

Baris Baris Baris Baris Baris
ke-1 ke-2 ke-3 ke-4 ke-10

u1 + u2 + u3 + u4 + ... + u10

UKBM_MATW: 3.6_1 _Barisan Aritmetika Page 6

Catatan: untuk mencari jumlah kursi tiap baris adalah dengan menggunakan
rumus suku ke-n barisan aritmetika, yaitu : Un = a + (n – 1)b

Misal U10 = 30 + (10 – 1)4 = 64.

Karena kita ingin mengetahui jumlah kursi yang tersedia di dalam gedung, maka
itu artinya kita menjumlahkan kursi tiap barisnya:

30 + 34 + 38 + 42 + ... + 64

sebanyak 10 suku

Perhatikan pola dalam tabel berikut:

Suku Baris Jumlah kursi Jumlah kursi sampai baris ke-
ke- ke- tiap baris
U1 = a 30 (deret)
U2 1 34
2 S1 = 30 = 30
U3 38
3 S2 = 30 + 34 = (30+34)2 = 64
U4 42 2
4 ... (30+38)3
U5 ... S3 = 30 + 34 + 38 = 2 = 102
U6 5 ...
U7 6 ... S3 = 30 + 34 + 38 + 42 = (30+42)4 = 144
U8 7 ... 2
U9 8 64
U10 9 ........................................................
10
........................................................

S10 = (30+64)10 = .......................................
2

Susunlah jumlah suku-suku barisan aritmetika yang dinyatakan sebagai berikut:
S1 = U1
S2 = U1 + U2
S3 = U1 + U2 + U3
S4 = U1 + U2 + U3 + U4
..................................
...................................................
Sn = U1+ U2 + U3 + .................... + Un

n merupakan bilangan asli

Tuliskan kembali definisi Deret Aritmetika yang ada di buku paket matematika
atau sumber lain

Deret Aritmetika adalah......................................................................................................
............................................................................................................................. .........................
............................................................................................................................. .........................
......................................................................................................... .............................................
............................................................................................................................. .........................
......................................................................................................................................................

Untuk menemukan rumus jumlah n-suku pertama, gunakan definisi di atas:

UKBM_MATW: 3.6_1 _Barisan Aritmetika Page 7

Sn = u1 + u2 + u3 + ... + un artinya

Sn = a + (a+b) + (a+2b) + ... + (a + (n-1).b) ... (persamaan 1)

Dengan menggunakan sifat komutatif pada penjumlahan, maka persamaan 1 di ubah

menjadi

Sn = (a+(n-1)b) + ... + (a+2b) + (a+b) + a ... (persamaan 2)

Kita jumlahkan persamaan 1 dan persamaan 2:

Sn = a + (a+b) + (a+2b) + ... + (a+(n - 1)b) +
Sn = (a+(n - 1)b) + ... + (a+2b) + (a+b) + a

2Sn = 2a + (n-1)b + 2a + (n-1)b + 2a + (n-1)b + ... + 2a + (n-1)b
2Sn = n (2a + (n - 1)b)

Sn = ............................................ = ..........................................

Jadi, rumus jumlah n-suku pertama dari deret aritmetika adalah :

Mari kita aplikasikan rumus Deret Aritmetika yang telah kita temukan. Sambil
mempelajari buku matematika halaman 192 – 195.
Kerjakanlah soal-soal di bawah ini.

1. Ditentukan deret aritmetika:
10 + 16 + 22 + . . . .
Carilah:
a. rumus suku ke-n,
b. rumus jumlah n suku pertama, dan
c. jumlah 50 suku pertama.

2. Diketahui deret aritmetika 10 suku. Jumlah tiga suku pertama adalah 45 dan jumlah
dua suku terakhir adalah 105. Tentukan jumlah semua suku deret itu.

3. Seorang pekerja mendapat kenaikan gaji Rp50.000,00 tiap bulan. Jumlah gajinya pada
bulan Januari Rp1.200.000,00. Berapa jumlah total gaji yang dia peroleh pada akhir
tahun?

c. Penutup Page 8

UKBM_MATW: 3.6_1 _Barisan Aritmetika

Bagaimana kalian sekarang?

Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1, 2, 3, dan
4, berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang
sudah kalian pelajari. Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi
pada UKB ini di Tabel berikut.
Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi

No Pertanyaan Ya Tidak

1. Apakah kalian telah memahami pengertian Pola
Bilangan, Barisan dan Deret Aritmatika?

2. Dapatkah kalian menjelaskan Pola Bilangan,
Barisan dan Deret Aritmatika?

3. Dapatkah kalian menyusun masalah kontekstual
yang menjadi Pola Bilangan, Barisan dan Deret
Aritmatika?

4. Dapatkah kalian menyelesaikan masalah
kontekstual yang berkaitan dengan Pola Bilangan,
Barisan dan Deret Aritmatika?

Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah
kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang
kegiatan belajar 1, 2, atau 3 yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan
Guru atau teman sejawat. Jangan putus asa untuk mengulang lagi!. Dan apabila
kalian menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka lanjutkan berikut.

Dimana posisimu?

Ukurlah diri kalian dalam menguasai materi Komposisi Fungsi dalam rentang
0 – 100, tuliskan ke dalam kotak yang tersedia.

Setelah kalian menuliskan penguasaanmu terhadap materi Komposisi Fungsi,
lanjutkan kegaitan berikut untuk mengevaluasi penguasaan kalian!.

Yuk Cek Penguasaanmu terhadap Materi Pola
Bilangan, Barisan dan Deret Aritmatika!

Agar dapat dipastikan bahwa kalian telah menguasi materi Pola Bilangan, Barisan
dan Deret Aritmatika?, maka kerjakan soal berikut secara mandiri di buku kerja
kalian masing-masing.

Kerjakan Soal Uji Kompetensi 5.1 pada Buku Pegangan Siswa pada halaman
197 s.d. 198 nomor soal 1 s.d. 10.

UKBM_MATW: 3.6_1 _Barisan Aritmetika Page 9

1.Identitas : Matematika XI (Wajib)
: Ganjil
a. Nama Mata Pelajaran :
b. Semester
c. Kompetensi Dasar

3.6 Menggeneralisasi pola bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri
4.6 Menggunakan pola barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan

menyelesaikan masalah kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga

majemuk, dan anuitas)

d. Materi Pokok : Barisan Arimetik dan Geometri
e. Alokasi Waktu : 4 x 45 menit
f. Tujuan Pembelajaran :

Melalui pendekatan saintifik dengan menggunakan model pembelajaran Discovery
Learning (Pembelajaran Penemuan) dan Problem Based Learning (Pembelajaran
Berbasis Masalah)/projek, peserta didik diharapkan dapat Menggeneralisasi pola
bilangan dan jumlah pada barisan Aritmetika dan Geometri serta Menggunakan pola
barisan aritmetika atau geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah
kontekstual (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga majemuk, dan anuitas) berpikir
kritis, berkomunikasi, berkolaborasi, berkreasi(4C).

g. Materi Pembelajaran
Buku Teks Pelajaran (BTP) SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI, Sudianto Manullang
dkk, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia, 2017

2.Peta Konsep

POLA BILANGAN

Barisan Deret
Bilangan Bilangan

Barisan Barisan Deret Deret
Aritmetik Geometri Aritmetik Geometri

Rumus Aplikas Rumus Aplikasi Jumlah n Aplikasi Jumlah n Aplikasi
Suku Ke-n i Suku Ke-n suku suku

Deret Geometri
Tak Hingga

UKBM_MATW: 3.6_2 _Barisan Geometri Page 1

3.Kegiatan Pembelajaran

Pertemuan 5 dan 5

a. Pendahuluan

Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan memahami cerita
di bawah ini.

Ada sebuah legenda dari Persia tentang deret geometri yang akan kita pelajari. Pada
suatu masa, negeri itu diperintah oleh Raja yang kurang memikirkan kesejahteraan
rakyat, sehingga rakyat hidup dalam kemiskinan. Sementara raja sendiri berlimpah
kemewahan. Diceritakan pula bahwa raja tersebut pandai bermain catur. Suatu
ketika raja menantang seseorang bermain catur. Sebelum permainan dimulai, orang
tersebut mengajukan permintaan, jika dia menang dia menginginkan hadiah gandum
sesuai banyak kotak-kotak pada papan catur dengan ketentuan 1 butir gandum pada
kotak pertama, 2 butir gandum pada kotak kedua, 4 butir gandum pada kotak ketiga,
demikian seterusnya sehingga banyak gandum pada setiap kotak adalah dua kali
banyak gandum pada kotak sebelumnya. Raja dapat menerima permintaan itu. Ketika
akhirnya orang itu menang, raja terkejut. Mengapa raja terkejut? Berapakah banyak
gandum pada kotak terakhir (kotak ke-64)?

Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan kalian lanjutkan ke
kegiatan belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada dalam UKBM ini.

b. Kegiatan Inti

1) Petunjuk Umum UKB
a) Baca dan pahami materi pada buku Sinaga, Bornok, dkk. 2017. Buku
Siswa Matematika XI Wajib. Jakarta: Kementrian Pendidikan dan
Kebudayaan, hal. 198 s.d. 115.
b) Setelah memahami isi materi dalam bacaan berlatihlah untuk berfikir
tinggi melalui tugas-tugas yang terdapat pada UKB ini baik bekerja
sendiri maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya.
c) Kerjakan UKB ini di buku kerja atau langsung mengisikan pada bagian
yang telah disediakan.
d) Kalian dapat belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan ayo
berlatih, apabila kalian yakin sudah paham dan mampu menyelesaikan
permasalahan-permasalahan dalam kegiatan belajar 1, kalian boleh
melanjutkan ke kegiatan belajar 2.

2) Kegiatan Belajar
Ayo…, ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran dan
konsentrasi!

Kegiatan Belajar 5 dan 6

Informasi yang ada:
 Misalkan banyak gandum pada kotak ke-n adalah Un
 Banyak gandum pada setiap kotak adalah dua kali banyak gandum pada kotak

sebelumnya.

UKBM_MATW: 3.6_2 _Barisan Geometri Page 2

Coba kita sederhanakan dengan tabel:

Kotak Suku Jumlah Barisan
ke-n ke- gandum Geometri

1 u1 = a 1 1 = 1.20
2 u2 2 2 = 1.21
3 u3 4 4 = 1.22
4 u4 8 8 = 1.23
5 u5 ...
6 u6 ... ...

...

64 U64 ... ...

Banyaknya gandum di atas membentuk barisan geometri dengan perbandingan yang

tetap.

1, 2, 4, 8, ...

Berapakah nilai perbandingan itu?

Dari mana mendapat nilai perbandingan itu

Jika nilai perbandingan itu adalah r dan barisan geometri tadi adalah u1, u2, u3, ..., un -1, un

maka rumus r = …
…

Coba lihat pola dari tabel banyaknya gandum tersebut.

u1 u2 u3 u4 ... un
a ar ar2 ar3 ... ...

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan geometri adalah

Dengan rasio barisan geometri adalah r = ……
……

Ingat kembali cerita raja yang terkejut tadi. Jadi, berapa butir gandum pada kotak
terakhir?
....................................................................................................................................................................
....................................................................................................................................................................
Contoh soal:

UKBM_MATW: 3.6_2 _Barisan Geometri Page 3

Mari kita aplikasikan rumus barisan geometri yang telah kita temukan. Sambil
mempelajari buku paket halaman 198 – 215.
Kerjakanlah soal-soal di bawah ini.

1. Tentukan suku pertama, rasio, dan rumus suku ke-n setiap barisan geometri berikut.
a. 2, 6, 18, 54, . . .

b. 16, –32, 64, –128, . . .

2. Carilah suku yang diminta pada setiap barisan geometri berikut!
a. 3, 6, 12, …… (U20)

b. 6, 3, 3/2, ……(U10)

3. Jumlah penduduk suatu desa pada tahun 2010 diperkirakan 6.400 jiwa. Kenaikan
jumlah penduduk adalah 2 kali lipat setiap tahunnya. Tentukan jumlah penduduk desa
tersebut pada tahun 2004.

Materi: Deret Geometri
Tujuan :

1. Memahami deret geometri.
2. Menentukan jumlah suku ke-n dari suatu deret geometri
3. Deret Geometri tak hingga

Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan geometri dengan unsur

pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka U1 + U2 + U3 + ... + Un + ....

disebut deret geometri dengan Un = ar n-1

Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a
dan rasio r, dapat diturunkan dengan cara sebagai berikut.
Misalkan Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un, maka

Sn = a + ar2 + ar3 + ..... + arn-1
r Sn = ar + ar3 + ar4 + ..... + arn-1 + arn
Sn - r Sn = a - arn
(1 - r) Sn = (1 -rn)a

Jadi rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r
adalah

Sn  a(1  rn) untuk r  1 , atau
1 r

Sn  a(r n  1) untuk r 1
r 1

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan | r | < 1

Jumlah deret geomatri tak hingga adalah : S  lim S n a
1 r
n

Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak

terhingga ada dua kasus :

UKBM_MATW: 3.6_2 _Barisan Geometri Page 4

1. Jika -1 < r < 1, maka rn menuju 0 akibatnya S  a(1  0)  a Deret
1r 1r

geometri dengan -1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat)

2. Jika r < -1 atau r > 1, maka untuk n   nilai rn makin besar akibatny

S  a(1  )    Deret geometri dengan r < -1 atau r > 1 disebut deret
1 r

geometri divergen (memencar)

Ayoo berlatih!

Setelah kalian memahami uraian singkat materi dan contoh di atas, maka cobalah
selesaikan soal-soal Uji kompetensi 5.2 halaman 202 s.d. 203, nomor 1 s.d. 10

BUNGA, PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN

1. Mendeskripsikan konsep barisan dan deret pada konteks dunia nyata, seperti bunga,
pertumbuhan dan peluruhan.

2. Mengidentifikasikan, menyajikan model matematika dan menyelesaikan masalah
keseharian yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmatika, geometri dan yang
lainnya.

a) Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk
1) BUNGA TUNGGAL
Bunga tunggal adalah bunga yang timbul pada setiap akhir jangka waktu tertentu
yang tidak mempengaruhi besarnya modal (besarnya modal tetap).
Besarnya bunga berbanding senilai dengan persentase dan lama waktunya dan
umumnya berbanding senilai pula dengan besarnya modal.

Jika modal sebesar M dibungakan dengan bunga p % setahun maka:
a. Setelah t tahun, besarnya bunga:

I  M  p t
100

b. Setelah t bulan, besarnya bunga:
IM p  t
100 12

c. Setelah t hari, besarnya bunga:
- Jika satu tahun 360 hari, maka:
IM p  t
100 360
- Jika satu tahun 365 hari, maka:
IM p  t
100 365
- Jika satu tahun 366 hari (tahun kabisat), maka:
IM p  t
100 366

Contoh:
Budi meminjam uang sebesar Rp 1.000.000,00 kepada Edi dengan tingkat bunga
18% pertahun. Hitung besarnya bunga selama:

a. 2 tahun
b. 6 bulan
c. 50 hari
d. 2 tahun 6 bulan dan 50 hari!

UKBM_MATW: 3.6_2 _Barisan Geometri Page 5

Alternatif Penyelesaian

M = 1.000.000 dan p = 18

a. Besarnya bunga selama 2 tahun

i= 100 x x

i= 18 x 1000000 x 2 = 360000
100

Jadi besarnya bunga selama 2 tahun sebesar Rp 360.000,00

b. Besarnya bunga selama 6 bulan:

i = p x M x t
100 12
18 6
i = 100 x 1000000 x 12 = 90000

Jadi besarnya bunga adalah Rp 90.000,00

c. Besarnya bunga selama 50 hari:

i = p x M x t
100 360
18 50
i = 100 x 1000000 x 360 = 25000

Jadi besarnya bunga dalam 50 hari adalah sebesar Rp 25.000,00

d. Besarnya bunga dalam 2 tahun 6 bulan dan 50 hari dapat dicari dengan jalan

menjumlahkan bunga 2 tahun + bunga 6 bulan + bunga 50 hari:

Atau dapat dicari dengan jalan menghitung waktu seluruhnya dalam hari,

sehingga 2 tahun 6 bulan 50 hari = 950 hari, sehingga:

i = p x M x t
100 360
18 950
i = 100 x 1000000 x 360 = 475000

Jadi besarnya bunga selama 2 tahun 6 bulan dan 50 hari adalah
Rp 475.000,00

2) BUNGA MAJEMUK

Jika kita menyimpan modal berupa uang di bank selama periode bunga tertentu,
misalnya satu tahun maka setelah satu tahun kita akan mendapatkan bunga
sebesar p % kali modal yang kita bungakan. Jika bunga itu tidak kita ambil, tetapi
ditambahkan pada modal awal untuk dibungakan lagi pada periode berikutnya,
sehingga besarnya bunga pada setiap periode berikutnya berbeda jumlahnya
(menjadi bunga berbunga), maka dikatakan modal tersebut dibungakan atas dasar
bunga majemuk.

a) Perbedaan Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk
Bunga tunggal dihitung berdasarkan modal yang sama setiap periode
sedangkan bunga majemuk dihitung berdasarkan modal awal yang sudah
ditambahkan dengan bunga.

b) Perhitungan Nilai Akhir Modal

 Dengan menggunakan rumus

Jika modal sebesar M dibungakan atas dasar bunga majemuk sebesar p %

setahun selama n tahun, maka besarnya modal setelah n tahun adalah:

- Setelah satu tahun

M1  M  P M
100

 M 1  P 
 100 

- Setelah dua tahun

UKBM_MATW: 3.6_2 _Barisan Geometri Page 6

M2  M 1  P   P M 1  P 
 100  100  100 

 M 1  P 1  P 
 100  100 

 M 1  P 2
 100 

- Setelah n tahun

Mn  M 1 P n
 100

Contoh soal

Modal sebesar Rp 1.000.000,00 diperbungakan dengan dasar bunga majemuk 3%
setahun. Hitunglah nilai akhir modal setelah 3 tahun.
Alternatif Penyelesaian

Misalkan M = 1.000.000,00, n = 3 tahun, p = 3%.
M3 = M (1+i)3

= 1.000.000 (1+0,03)3
= 1.000.000 (1,03)3
= 1.000.000 x 1,092727
= 1.092.727
Jadi nilai akhir setelah 3 tahun = Rp 1.092.727,00

3) Model Pertumbuhan Penduduk

Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal
penaksiran jumlah penduduk. Sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus,
penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Secara matematik, hal ini dapat
dirumuskan sebagai :

Pn = P1 R n -1

dimana
R =1 + r
P1 = jumlah pada tahun pertama (basis)
Pn = jumlah pada tahun ke-n
r = persentase pertumbuhan per-tahun
n = indeks waktu (tahun)

Contoh Soal 1)

Penduduk suatu kota berjumlah 1 juta pada tahun 1991, tingkat pertumbuhannya 4%
per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2006.

Alternatif Penyelesaian:

P1 = 1.000.000

R = 0,04

R = 1,04

P2006 = P16= 1000000 (1,04)15

= 1.000.000 ( 1,800943)

= 1.800.943

Contoh Soal 2)

UKBM_MATW: 3.6_2 _Barisan Geometri Page 7

Jumlah penduduk kota X pada tahun 1994 mencapai 2 juta jiwa. Bila jumlah
penduduk di kota tersebut meningkat dengan laju 2,5% pertahun dan andaikan laju
pertambhan itu tetap sebesar itu dalam setiap tahunnya, tentukanlah banyaknya
penduduk di kota X pada tahun 1999.

Alternatif Penyelesaian:
Pertumbuhan penduduk pada dasarnya sama dengan pertambahan tabungan yang
disimpan di Bank. Jadi, apabila banyaknya penduduk mula-mula P dengan tingkat
kenaikan penduduk I%, sedangkan banyaknya penduduk setelah n tahun adalah Pt,
maka tentunya banyaknya penduduk pada saat n tahun adalah :

Pn = P(1 + I)n

Jadi, dari soal di atas kita dapatkan, banyaknya penduduk di kota X pada tahun 1999
(setelah 5 tahun) menjadi :

P5 = 2.000.000 (1 + 0,025)5

= 2 . 106 . (1,025)5

= 2 . 106 (1,1314)

= 2.262.816 (dibulatkan).

c. Penutup

Bagaimana kalian sekarang?

Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1, 2,
3, dan 4, berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi
yang sudah kalian pelajari. Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan
materi pada UKB ini di Tabel berikut.

Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi

No Pertanyaan Ya Tidak

1. Apakah kalian telah memahami pengertian Barisan
dan Deret Geometri?

2. Dapatkah kalian menjelaskan Barisan dan Deret
Geometri?

3. Dapatkah kalian menyusun masalah kontekstual
yang menjadi Barisan dan Deret Geometri?

4. Dapatkah kalian menyelesaikan masalah kontekstual
yang berkaitan dengan Barisan dan Deret Geometri?

Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah
kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang
kegiatan belajar 1, 2, atau 3 yang sekiranya perlu kalian ulang dengan
bimbingan Guru atau teman sejawat. Jangan putus asa untuk mengulang
lagi!. Dan apabila kalian menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka
lanjutkan berikut.

UKBM_MATW: 3.6_2 _Barisan Geometri Page 8

Dimana posisimu?

Ukurlah diri kalian dalam menguasai materi Komposisi Fungsi dalam rentang
0 – 100, tuliskan ke dalam kotak yang tersedia.

Setelah kalian menuliskan penguasaanmu terhadap materi Komposisi
Fungsi, lanjutkan kegaitan berikut untuk mengevaluasi penguasaan kalian!.

Yuk Cek Penguasaanmu terhadap Materi
Barisan dan Deret Geometri!

Agar dapat dipastikan bahwa kalian telah menguasi materi Pola Bilangan,
Barisan dan Deret Aritmatika?, maka kerjakan soal berikut secara mandiri di
buku kerja kalian masing-masing.
Kerjakan Soal Uji Kompetensi 5.3 pada Buku Pegangan Siswa pada halaman
212 s.d. 213 nomor soal 1 s.d. 10.

UKBM_MATW: 3.6_2 _Barisan Geometri Page 9

MTKU-3.7/4.7/4/2-2

LIMIT FUNGSI ALJABAR

1. Identitas

a. Nama Mata Pelajaran : Matematika Wajib
b. Semester :4
c. MateriPokok : Limit Fungsi Aljabar
d. Alokasi Waktu : 4 x 4 jam pelajaran @ 45 menit
e. Kompetensi Dasar :

3.7 Menjelaskan limit fungsi aljabar (fungsi polinom dan fungsi rasional)
secara intuitif dan sifat-sifatnya, serta menentukan eksistensinya

4.7 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit fungsi aljabar

f. TujuanPembelajaran:

Melalui Pendekatan Scientific Learning dengan menggunakan model
pembelajaran penemuan dan berbasis masalah, kalian dapat:

 Memahami konsep limit fungsi aljabar dengan menggunakan konteks
nyata dan menerapkannya

 Menemukan konsep limit fungsi aljabar untuk memahami sifat-sifat
limit fungsi aljabar.

 Menemukan konsep limit fungsi aljabar untuk menentukan nilai limit
fungsi Aljabar x→c.

 Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model matematika dalam
memecahkan masalah nyata tentang limit fungsi aljabar

g. Materi Pembelajaran

Buku Teks Pelajaran (BTP) SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI, Sudianto Manullang dkk,
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia, 2017

Petunjuk Umum

1. Pastikan dan fokuskan apa yang akan anda pelajari hari
ini.

2. Baca dan pahami Pendahuluan (Apersepsi) untuk membantu
anda memfokuskan permasalahan yang akan dipelajari.

3. Cari referensi/buku-buku teks yang terkait dengan
topik/permasalahan yang anda hadapi.

4. Jangan lupa browsing internet untuk menda-patkan
pengetahuan yang up to date.

5. Selalu diskusikan setiap persoalan yang ada dengan teman-
teman dan atau guru.

6. Presentasikan hasil pemahaman anda agar bermanfaat
bagi orang lain.

Jika tahapan-tahapan telah kalian lewati, kalian boleh meminta tes formatif kepada Bp/Ibu
guru sebagai prasyarat untuk melanjutkan ke UKBM berikutnya. Oke.?!

h. KegiatanPembelajaran

a) Pendahuluan
Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian jawab soal berikut agar kalian mudah
mempelajari materi limit fungsi aljabar.
Lengkapi tabel berikut, jika diketahui rumus fungsi f(x) = 2x + 1
x 0,8 0,9 0,99 0,9999 1 1,00001 1,001 1,03 1,1

f(x)

Dari tabel terlihat untuk x mendekati 1, maka nilai f(x) = 2x + 1 mendekati ....

Dikatakan lim (2x  1)  ....
x1

Lengkapi tabel berikut, jika diketahui rumus fungsi g(x)  x2  4
x2

x 1,8 1,9 1,99 1,9999 2 2,00001 2,001 2,03 2,1

g(x)

Dari tabel terlihat untuk x mendekati 2, maka nilai g(x)  x2 4

mendekati ....
x2

Dikatakan lim x2  4  lim (x  2)  .....
x2 x  2 x2

Setelah kalian menjawab pertanyaan di atas, silahkan dilanjutkan ke kegiatan belajar
berikut. Apabila belum paham, mintalah pada teman atau guru untuk membimbing
kembali terkait konsep limit fungsi aljabar.
.
b) Peta Konsep

2. Kegiatan Inti

KegiatanBelajar 1
Untuk lebih paham lagi yuk kita coba nonton di youtube tentang menyelesaikan
soal limit fungsi aljabar
https://www.youtube.com/watch?v=zqwdChGJ3cs
Bagaimana? Apakah sudah lebih paham dalam menyelesaikan limit fungsi aljabar
melalui sifat-sifat limit fungsi?
Nah … sekarang coba kalian terapkan pengetahuan dan keterampilan yang sudah
kalian pahami tentang limit fungsi aljabar pada permasalahan berikut ini.
Hitunglah :

1. lim (3x2  6x  5)
x4

2. lim 5x  6
x3 2x 1

3. lim 2x2 17x  35
x5 x  5

4. lim x  2
x2 x  7  3
x  2  2x 1

5. lim
x3 2x  3  x

Apabila kalian telah mampu menyelesaikan persoalan di atas, maka kalian bisa
melanjutkan pada kegiatan belajar 2 berikut.

KegiatanBelajar 2

Kalian boleh melakukannya pertanyaan di bawah

ini secara mandiri atau berdiskusi.
Jika ada teman yang kesulitan…kalian bisa

membantu teman untuk lebih paham.
Ingat…Ilmu yang diamalkan tidak akan

berkurang, justru akan menambah pemahamanmu

Diketahui lim f (x)  4 dan lim g(x)  9 , maka hitunglah nilai

xa xa

lim 3 f (x)  1 g ( x) 
xa 3 

Ayo Berlatih …

Setelah kalian menuntaskan UKBM dan presentasi, coba uji kemampuan kalian
dengan mandiri atau diskusi dengan teman kalian pada latihan berikut.
Hitunglah :
1. lim (4x3  5x2  3x  2)

x1

2. lim 2x3  4x2  5x 1
x 2 4
x0

3. lim x2  5x  6
x2 x  2

4. lim 3x2  14 x  8
x4 x2 3x  4

5. lim 3  4x  1
x2 x  2

6. lim 3  x  3x 1
x1 5x 1  x  3

7. Diketahui lim f (x)  5 dan lim g(x)  4 , hitunglah xlim23 f (x)  1 g(x) 
x2 x2 2 

8. lim a x  3  b  1, hitung a dan b
x1 x 1

3. Penutup

Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1 dan 2, berikut
untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah kalian pelajari. Jawablah
sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada UKBM ini di Tabel berikut.

Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi

No Pertanyaan Ya Tidak

1. Apakah Anda telah memahami konsep limit fungsi
aljabar?

2. Apakah Anda telah memahami sifa-sifat limit
fungsi aljabar?

3. Dapatkah Anda menentukan himpunan
penyelesaian dari limit fungsi aljabar?

Dapatkah Anda menyelesaikan masalah
4. kontekstual yang berkaitan dengan Limit fungsi

aljabar?

Jumlah

Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah

kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang UKBM
ini dengan bimbingan Guru atau teman sejawat. Jangan putus asa untuk
mengulang lagi!. Dan apabila kalian menjawab “YA” pada semua pertanyaan, maka
kalian boleh sendiri atau mengajak teman lain yang sudah siap untuk mengikuti tes

formatif agar kalian dapat belajar ke UKBM berikutnya... Oke.?

Anda Pasti Bisa.!

Perhatian !! Lembar ini diisi oleh Guru sebelum kalian mengikuti tes formatif.

CHECKLIST KETERLAKSANAAN UKBM

No Uraian Kegiatan Keterlaksanaan
Ya Tidak

1 Melengkapi tabel nilai fungsi f(x) = 2x+1 untuk nilai x

mendekati 1

2 Melengkapi tabel nilai fungsi g(x)  x2  4 untuk nilai x
x2

mendekati 2

3 Menghitung lim (3x2  6x  5)
x4

4 Menghitung lim 5x  6
x3 2x 1

5 Menghitung lim 2x2 17x  35
x5 x  5

6 x2
Menghitung lim
x2 x  7  3

7 Menghitung lim x  2  2x 1
x3 2x  3  x

8 lim 3 f ( x)  1 g(x)  jika diketahui
Menghitung xa 3 

lim f (x)  4 dan lim g(x)  9

xa xa

9 Menyelesaikan soal-soal uji kemampuan secara mandiri maupun

diskusi

Unit KegiatanBelajarMandiriMTK.3-8-4.8

UNIT KEGIATAN BELAJAR
mandiri

1. Identitas : Matematika XI (Wajib)
: ganjil
a. Nama Mata Pelajaran : TurunanFungsiAljabar
b. Semester : 4 Minggu x 4 Jam Pelajaran @45 Menit
c. Materi Pokok :
d. Alokasi waktu
e. Kompetensi Dasar

3.8 Menjelaskan sifat-sifat turunan fungsi aljabar dan menentukan
turunan fungsi aljabar menggunakan definisiatausifat-sifat
turunan fungsi

4.8 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan turunan fungsi
aljabar

f. TujuanPembelajaran :

Kalian dapat menjelaskan sifat-sifat turunan fungsi aljabar dan
menentukan turunan fungsi aljabar menggunakan definisi atau
sifat-sifat turunan fungsi dan dapat menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan turunan fungsi aljabar.

PETA KONSEP

MatematikaWajib Kelas XI

Unit KegiatanBelajarMandiriMTK.3-8-4.8

g. MateriPembelajaran :

Buku Teks Pelajaran (BTP) SMA/MA/SMK/MAK Kelas XI, Sudianto

Manullang dkk, Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan Republik

Indonesia, 2017

PETUNJUK UMUM

1. Pastikan dan fokuskan apa yang akan anda pelajari
hari ini.

2. Baca dan pahami Pendahuluan (Apersepsi) untuk
membantu anda memfokuskan permasalahan yang
akan dipelajari.

3. Cari referensi/buku-buku teks yang terkait dengan
topik/permasalahan yang anda hadapi.

4. lupa browsing internet untuk menda-patkan
pengetahuan yang up to date.

5. Selalu diskusikan setiap persoalan yang ada dengan
teman-teman dan atau guru.

6. Presentasikan hasil pemahaman anda agar
bermanfaat bagi orang lain.

Jika tahapan-tahapan telah kalian lewati, kalian boleh meminta tes
formatif kepada Bp/Ibu guru sebagai prasyarat untuk melanjutkan ke
UKBM berikutnya. Oke.?!

2.KegiatanPembelajaran

a. Pendahuluan

Sebelumbelajar pada materiinisilahkan kalian membaca dan
memahamicerita di bawahini.

 Seorang pemain ski meluncur kencang di

permukaan bukit es. Dia meluncur turun,

kemudian naik mengikuti lekukan

permukaan es sehingga di suatu saat, dia

melayang keudara dan turun kembali

kepermukaan. Perhatikan gambar

disamping. https://olahraga.kompas.com/read/2014/01/08/181
5207/Polisi.Schumacher.Bermain.Ski.dengan.Aman
 Bagaimana jika bukit es diasumsikan
Untuk dapat menyelesaikan
u sebagai kurva, pemain ski diasumsikan persoalan tersebut, silahkan
sebuah garis yang tegak lurus kepapan ski kalian
Lanjutkan ke kegiatan belajar
serta papan ski adalah sebuah garis lurus berikut dan ikuti petunjuk yang
ada dalam UKB ini.
lainnya. Dapatkah kalian tunjukan

hubungan kedua garis tersebut?

MatematikaWajib Kelas XI

Unit KegiatanBelajarMandiriMTK.3-8-4.8

b. Kegiatan Inti

1) KegiatanBelajar
Ayo……ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran dan

konsentrasi!!!

KegiatanBelajar 1

Diskusikan dengankelompok kalian persoalandibawahini.

Laju perubahan kecepatan yang Dari masalah disamping bisakah
mudah dipahami adalah perubahan kalian membuat perbandingan
kecepatan sebuah bola yang dilempar antara kecepatan, perubahan
vertical keatas pada saat naik jarak dan perubahan waktu.
kecepatan bola semakin berkurang Tuliskan dibawah ini
dan kecepatannya nol ketika bola
sampai pada titik tertinggi. Sementara
itu, pada saat turun kecepatan bola
semakin bertambah.

Setelah kalian membaca buku dan literasi lain apakah kalian sudah
memahami konsep turunan yang mengacu pada konsep perubahan
kecepatan dan limit ? tuliskanlah definisi limit yang kalian ketahui

Kalian hebat … semangat

Coba kalian diskusikan dan

amati

proses penyelesaian

turunan fungsi berikut ini

1. Suatu mobil bergerak denganpersamaan s  f (t)  3t 2  t (dalam m).
tentukankecepatanmobil pada saat t  10 detik.

MatematikaWajib Kelas XI

Unit KegiatanBelajarMandiriMTK.3-8-4.8
Jawab :

Kecepatan pada saat t  10 adalah lim f (x  h)  f (x)
h0 h

Kecepatan pada saat t  10 adalah lim f (x  h)  f (x)
h0 h

lim f (x  h)  f (x) = lim f (3(...  ...)2  (...  ...)  (3...2  ...)
h0 h h0 h

= lim 3...2 6...h  3h2  t  h  ...2  ...
h0 h

= ....th  ...h2  h
lim
h0 h

= lim (...t  ....h  ...)
h0

= ........

Ayooberlatih!

Setelah kalian memahami uraian singkat penyelesaian turunan fungsi dan
contoh di atas, maka coba diskusikan soal dibawah ini:

1. Diketahui fungsi jarak t dengan s dalam m dan t sekon. Tentukan kecepatan
rata-rata dalam interval waktu 3 sekon sampai 5 sekon .

2. Sebuah partikel bergerak meninggalkan titik asal .Jarak dari titik asal setelah
t detik dinyatakan dengan s  f (t)  1 t 2 cm. Berapakah laju perubahan
2
jarak dari titik asal t  7 .

3. Tentukan turunan dengan menggunakan definisi :
a. f (x)  10x  5
b. f (x)  4x 2
c. f (x)  3x 2  2x

MatematikaWajib Kelas XI

Unit KegiatanBelajarMandiriMTK.3-8-4.8

Jelaskan jawabanmu dan tuliskan pada buku kerja kalian!
Apabila kalian telah mampu menyelesaikan soal di atas, maka kalian bisa
melanjutkan pada kegiatan belajar 2 berikut.

KegiatanBelajar 2

Sudahsiapkahuntukpembelajaranselanjutnya?
??

YukkklanjutkeKegiatanBelajar2!!!

Pada kegiatanbelajar 1 kalian sudah bisa menyelesaikan permasalahan
dengan cara definisi. Apakah kalian tau ada alternative penyelesaian turunan
fungsi yang lain, silahkan baca referensinya di Buku Matematika Kelas XI

Penerbit Erlangga dengan penulis Noor mandiri, pada halaman 298-299.

1.Tentukan turunanpertamafungsiberikut. Setelah membaca
a. f (x)  3x6 Ayo kita berlatih
kerjakan dibuku kerja
b. f (x)  6 x3
kalian
c. f (x)  5
3x4

d. f (x)  1 x8  2 x3  3
43

2. Diberikan f (x)  3x3  2x2  5x  2 tentukannilaidari :

a. f (2)

b. 1
f( )
2

c. f (0)

Apabila kalian telah mampu menyelesaikan soal di atas, maka kalian bisa
melanjutkan pada kegiatan belajar 3 berikut.

Kegiatanbelajar 3 Sudah siapkah untuk pembelajaran
selanjutnya???Sebagai panduan kalian bisa baca
MatematikaWajib Kelas XI http://smantika.blogspot.com/p/materi.html

Unit KegiatanBelajarMandiriMTK.3-8-4.8

Jika f(x) = c , maka f’(x) = …….. Coba
diskusikan
Jika f(x) = cx, maka f’(x)= …….. sifat-sifat
Jika f(x) = cxn, maka f’(x)= ……….
turunan
Jika H(x) = f(x) ± g(x), maka H’(x)= ……. aljabar yang
kamu ketahui

Jika H(x) = u(x) . v(x), maka H’(x)= …….

Jika H (x) = ( ) ,maka H’(x)= ……….
( )

Kalian Kereeenn!!!!

Sekarang yuk
jawabpertanyaandiskusi di buku

kalian ..

Ayooberlatih!

Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:

1. f (x)  (4x2  3) (3x  2) K
A
   2. f (x)  4x2  5x 2x2  6x 1 L
I
3. f (x)  3x2  2 A
5x  4 N
B
4. f (x)  x 2  3x  2 I
5x  4 S
A
 5. f (x)  2x 2  3x 4

6. f (x)  4x2  x

MatematikaWajib Kelas XI

Unit KegiatanBelajarMandiriMTK.3-8-4.8

Bagaimana cara kalian bisa menemukan penyelesaian masing-masing
soal tersebut? Konsep mana yang kalian gunakan untuk menemukan
jawaban tersebut? Dapatkah kalian menuliskan rumus
matematikanya? Dapatkah kalian memberikan contoh permasalahan
dalam kehidupan sehari-hari yang penyelesaiannya menggunakan
rumusan matematika tersebut? Kerjakan Bersama teman kalian di
buku kerja masing-masing!Periksakan seluruh pekerjaan kalian kepada
Guru agar dapat diketahui penguasaan materi sebelum kalian
diperbolehkan belajar ke UKB berikutnya.

c. Penutup

Bagaimana kalian sekarang?

Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1,
2, dan 3, berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap
materi yang sudah kalian pelajari. Jawablah sejujurnya terkait dengan
penguasaan materi pada UKB ini di Tabel berikut.
TabelRefleksiDiriPemahamanMateri

No Pertanyaan Ya Tidak

1. Apakah kalian telah memahami
pengertian turunan fungsi?

2. Dapatkah kalian menjelaskan Turunan
Fungsi?

3. Dapatkah kalian menyusun masalah
kontekstual menjadi konsep turunan ?

4. Dapatkah kalian menyelesaikan masalah
kontekstual yang berkaitan dengan konsep
turunan?

Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka
pelajarilah kembali materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP)
dan pelajari ulang kegiatan belajar 1, 2, atau 3 yang sekiranya perlu
kalian ulang dengan bimbingan Guru atau teman sejawat. Jangan putus
asa untuk mengulang lagi!. Dan apabila kalian menjawab “YA” pada
semua pertanyaan, maka lanjutkan kegiatan berikut.

MatematikaWajib Kelas XI

Unit KegiatanBelajarMandiriMTK.3-8-4.8 Ukurlah diri kalian dalam

Dim menguasai materi
ana
posi Trigonometri dalam rentang
sim
u? 0 – 100, tuliskan kedalam

kotak yang tersedia.

Setelah mengikuti kegiatan 1, 2, dan 3, bagaimana
penyelesaian permasalahan pada bagian awal pembelajaran
tadi? Silahkan kalian perdiskusi dengan teman sebangku
atau teman lain. Kemudian tuliskan penyelesaian matematika
tersebut di buku kerja masing-masing!.

Ini adalah bagian akhir dari UKB materi Turunan fungsi aljabar,
mintalah tesformatif kepada Guru kalian sebelum belajar ke UKB
berikutnya.

Sukses untuk
kalian!!!

MatematikaWajib Kelas XI

Unit KegiatanBelajarMandiriMTK.3-8-4.8

MatematikaWajib Kelas XI

Unit Kegiatan belajar Mandiri (UKBM)

UNIT KEGIATAN BELAJAR M A N D I R I ( U K B M )
(KD. 3.9/ 4.9 )

1. Identitas

a. Nama Mata Pelajaran : MatematikaWajib

b. Kelas / Semester : XI / II

c. Kompetensi Dasar :

3.9.Menganalisis keberkaitan turunan pertama fungsi dengan nilai
maksimum, nilai minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan
garis singgung kurva

4.9 Menggunakan turunan pertama fungsi untuk menentukan titik maksimum,
titik minimum, dan selang kemonotonan fungsi, serta kemiringan garis
singgung kurva, persamaan garis singgung, dan garis normal kurva berkaitan
dengan masalah kontekstual

d. Materi Pokok :AplikasiTurunanFungsi

e. Alokasi Waktu : 4 × 45 menit (2 pertemuan)

f. Tujuan Pembelajaran :

MelaluiPendekatanScientific Learningdenganmenggunakan model
pembelajaranProblem Based Learningdanmetodediskusi,
pesertadidikdapatmenentukan persamaan garissinggung dan persamaan garis
normal pada suatu titik, menunjukkan keterkaitan turunandalam menentukan
titik stasioner sertakecekungan suatu fungsi,
menunjukkankeberkaitanturunandalammenentukankemonotonandantitikbeloks
uatufungsi, menyebutkan aplikasi turunan dalamkehidupan sehari-hari,
menentukan gradien suatu garissinggung dengan menggunakankonsep turunan
dan menentukanpersamaannya, menentukan persamaan garissinggung dan
garis normal suatufungsi, menentukan titik stasioner,kecekungan,
kemonotonan serta titikbelok suatu fungsi denganmenggunakan konsep
turunan, menganalisis sketsa suatu fungsidengan menggunakan konsep
turunan, denganmengembangkansikapjujur dan disiplinsertarasa ingin tahu,
tanggung jawab, bekerjasama dan toleransi selama proses pembelajaran
berlangsung

Unit Kegiatan belajar Mandiri (UKBM)

g. Materi Pembelajaran :

Agar kompetensi yang akan Anda pelajari pada UKBM ini dapat terkuasai
dengan baik, maka terlebih dahulu bacalah Buku Teks Pelajaran (BTP) berikut:
1) Manullang, Sudianto, dkk. 2017. MatematikaSMA/MA/SMK/MAKkelasXI.
Jakarta: Kemeterian Pendidikan dan Kebudayaan
2) Aksin, Nur, dkk. 2017. Matematika Mata Pelajaran Wajib
SMA/MA/SMK/MAKkelasXI Semester 1. Klaten : PT Macanan Jaya Cemerlang.
3) Ari yuana, Rosiana. 2014. Buku Siswa: Perspektif Matematika Kelas XI. Solo:
PT Tiga Serangkai Pustaka Mandiri.
4) Buku atau sumber lain yang sekiranya berkaitan dengan materi program linear.
Untuk keperluan ini Anda boleh mencarinya di perpustakaan atau browsing
internet.

2. Peta Konsep

3. Kegiatan Pembelajaran
a. Pendahuluan
Sebelum belajar pada materi ini silahkan kalian membaca dan memahami narasi di bawah
ini.
Dari selembarsengberukuran 30 cm × 30 cm akandibuat Loyang
berbentukkotaktanpatutupdengancaramengguntingempatpersegi di
setiappojoklembaranseng. Dimisalkanpanjangukuranpersegisetiappojok yang
dipotongyaitu x cm. Setelahdibentukmenjadi Loyang

Unit Kegiatan belajar Mandiri (UKBM)

Dari selembarsengberukuran 30 cm × 30 cm akandibuat Loyang
berbentukkotaktanpatutupdengancaramengguntingempatpersegi di
setiappojoklembaranseng. Dimisalkanpanjangukuranpersegisetiappojok yang
dipotongyaitu x cm. Setelahdibentukmenjadi Loyang

makakapasitasnyadinyatakandenganV x  4x3 120x2  900x .

Kapasitasmaksimumdapatditentukandenganmenerapkankonsepturunanfungsi.
Selainuntukmenentukankapasitasmaksimum,
konsepturunanfungsijugadapatdigunakanuntukmenentukanpersamangarissing
gungpadakurva, menentukan interval fungsinaikatauturun,
danmenentukanfungsikecepatandanpercepatanfungsijarak.

Untuk dapat menyelesaikan persoalan tersebut, silahkan kalian lanjutkan ke kegiatan
belajar berikut dan ikuti petunjuk yang ada dalam UKB ini.

b. Inti

1) Petunjuk Umum UKBM
Baca dan pahami materi pada Buku Teks Pelajaran
a) Setelah memahami isi materi dalam bacaan berlatihlah untuk berfikir tinggi
melalui tugas-tugas yang terdapat pada UKBM ini baik bekerja sendiri
maupun bersama teman sebangku atau teman lainnya.
b) Kerjakan UKBM ini dibuku kerja atau langsung mengisikan pada bagian yang
telah disediakan.
c) Kalian dapat belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan ayo berlatih,
apabila kalian yakin sudah paham dan mampu menyelesaikan permasalahan
dalam kegiatan belajar yang ada, kalian boleh sendiri atau mengajak teman
lain yang sudah siap untuk mengikuti tes formatifagar kalian dapat belajar
ke UKBM berikutnya.

2) Kegiatan Belajar

Kalian sudah siappp ???
Ayo……ikuti kegiatan belajar berikut dengan penuh kesabaran dan penuh
konsentrasi ya !!!

Kegiatan Belajar 1

Sebelum melakukan kegiatan belajar 1, perhatikan dan amati gambar dibawah ini
dulu...

Unit Kegiatan belajar Mandiri (UKBM)

Seorang pemain ski meluncur kencang di
permukaan bukit es. Dia meluncur turun,
kemudian naikmengikuti lekukan permukaan
es sehingga di suatusaat, dia melayang ke

udara dan turun kembali kepermukaan.
Perhatikangambar di samping.Secara
analitik, misalkan bahwa bukit es
diasumsikan sebagai kurva, pemainski

diasumsikan sebuah garis yang tegak lurus
ke papan ski serta papan skiadalah sebuah

garis lurus lainnya. Dapatkah kamu
tunjukkan hubungan keduagaris tersebut?

Setelah mengamati ilustrasi gambar diatas kalian bentuk kelompok masing-masing
beranggotakan 5 orang. Diskusikan bersama anggota kalian :

Coba kamu amati gambar di bawah ini. Misalkan permasalahan di atas
ditampilkan dalam bentuk gambar berikut.

Posisi tegak pemain terhadap papan ski adalah sebuah garis yang disebut garis
normal. Papan ski yang menyinggung permukaan bukit es di saat melayang ke
udara adalah sebuah garis yang menyinggung kurva disebut garis singgung.
Jadi, garis singgung tegak lurus dengan garis normal.
Bagaimana hubungan
gradien garis singgung dengan kurva?

Unit Kegiatan belajar Mandiri (UKBM)

Seorang anak menarik sebuah tali dan kemudian membuat gelombang
dari
tali dengan menghentakkan tali tersebut ke atas dan ke bawah. Dia
melihat
bahwa gelombang tali memiliki puncak maksimum maupun minimum.

Bagaimana hubungan nilai maksimum dan minimum dengan
gradien garis singgung?
Gradien garis singgung adalah tangen sudut yang dibentuk oleh garis itu
sendiri dengan sumbu x positif atau turunan pertama dari titik
singgungnya

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu dan memiliki turunan
pertama dan kedua pada x1 • I sehingga:

1. Jika f '(x1) = 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut stasioner/kritis
2. Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) > 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik

minimum fungsi
3. Jika f '(x1) = 0 dan f "(x1) < 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik

maksimum fungsi
4. Jika f "(x1) = 0 maka titik (x1, f(x1)) disebut titik belok.

Unit Kegiatan belajar Mandiri (UKBM)

Ayoo Berlatih !

1. Tentukan nilai maksimal dari fungsi kuadrat ( ) = − 2 + 4 − 3 !
2. Luas permukaan kotak tanpa tutup dengan alas persegi adalah

108 2. Tentukan ukuran kotak agar volumenya maksimum?

Kegiatan Belajar 2

Sebelum melakukan kegiatan belajar 2, perhatikan dan amati gambar dibawah ini
dulu...

Bangunan yang tinggi
dengan lantai bertingkat selalu
difasilitasi denganeskalator atau
lift. Gerakan lift dan eskalator

saat naik dapat
diilustrasikansebagai fungsi
naik. Demikian juga gerakan lift

dan eskalator saat turun
dapatdiilustrasikansebagai

fungsiturun.
Amatilahkeempatgrafikfungsidib

awahini dan cobatuliskan ciri-
ciri fungsi naik dan fungsi turun

sebagai ide
dasaruntukmendefnisikan fungsi
Setelah mengamati ilustrasi gambar diatas kalian bentuk kelnoamikpdoakndfaunndgsisiktuusriukna.n
:

a. Pengertian fungsi naik dan fungsi turun

1) Jika x1 dan x2 dalam fungsi f x memenuhi a  x1  x2  b
didapat hubungan f x1   f x2 , fungsi dikatakan naik

2) Jika x1 dan x2 dalam fungsi f x memenuhi a  x1  x2  b
didapat hubungan f x1   f x2 , fungsi dikatakan turun

Unit Kegiatan belajar Mandiri (UKBM)

b. Naik turunnya suatu fungsi kontinu f x dalam suatu interval tertentu

dapat dilihat dari gradient garis singgungnya

1) Fungsi f xmerupakan fungsi naik jika gradien garis singgungnya
bernilai positif, dapat dituliskan f ' x....0
Fungsi f xmerupakan fungsi turun jika gradien garis

2) singgungnya bernilai positif, dapat dituliskan f ' x....0
3) Fungsi f xtidak naik dan tidak turun jika gradien garis

singgungnya nol, dapat dituliskan f ' x.....0

Ayoo Berlatih !

Setelah kalian memahami materi pada kegiatan belajar 2, cobalah berlatih soal-
soal berikut ini ya...

1. Tunjukkan grafik fungsi f x  x3 , x  R dan x > 0 adalah fungsi naik!
2. Tentukan interval fungsi f x  x 2 agar fungsi naik!
3. Tentukan interval fungsi naik dan turun dari fungsi f x  x 4  2x2

4. Tentukan interval fungsi naik f x  x2  x

5. Diketahui f x  2 x3  1 x 2  3x  1 . Jika gx  f 1  x, fungi g
32 6

naikpadaselang interval ….

Kegiatan Belajar 3

Ayo Diskusi !
Ayo berlatih menentukan persamaan garis singgung dan persamaan garis normal
pada kurva !

Unit Kegiatan belajar Mandiri (UKBM)

Lengkapi titik-titik berikut dengan teliti dan benar!
Soal 1

Diketahui persamaan kurva f x  x2  3x  1 . Bagaimana menentukan persamaan garis

singgung dan persamaan garis normal pada kurva tersebut di x = 3?

Penyelesaian :
1. Langkah-langkah mencari persamaan garis singgung kurva sebagai berikut
a. Menentukan koordinat titik singgung
x = 3 merupakan absis titik singgung
Ordinat titik singgung

y  f x  x2  3x 1
y  f 3  32  33 1
y  f 3  1

Diperoleh koordinat titik singgung T(3,1)
b. Menentukan gradien garis singgung

Gradien garis singgung kurva adalah m  f ' x  2x  3
Gradien garis singgung kurva di titik T(3,1) adalah m  f ' 3  23  3  .......

c. Menentukan persamaan garis singgung
Persamaan garis singgung kurva di titik T(3,1) dan bergradien m = …… sebagai berikut

y  yT  mx  xT 
y 1  .......x  3

y  .......  ........  1

......  y  .8

Jadi, persamaan garis singgung kurva x = 3 adalah ......  y  .8

2. Langkah-langkah mencari persamaan garis normal kurva sebagai berikut

a. Menentukan gradient garis normal

Koordinat titik singgung kurva adalah T(3,1)

Gradien garis normal adalah mn   f 1  1
2x  3
' x

Gradien garis normal kurva dititik T(3,1) adalah mn   f 1   1 3  1
.....
' 3 23 

b. Menentukan persamaan garis normal
Persamaan garis normal kurva di titik T(3,1) dan bergradien mn = …… sebagai berikut

y  yT  mn x  xT 
y 1  .......x  3

...... .....  x  3
x  .....  6

Jadi, persamaan garis singgung kurva x = 3 adalah x  ......  6

Unit Kegiatan belajar Mandiri (UKBM)

Berdasarkan diskusi di atas, silahkan berikan tuliskan kesimpulan Anda pada kotak
di bawah ini:

Kesimpulan:

Ayoo Berlatih !

Setelah kalian memahami materi pada kegiatan belajar 2, cobalah berlatih soal-
soal berikut ini ya...

1. Tentukan persamaan garis singgung di titik dengan absis x = 2 pada

kurva f x  x2

2. Tentukan persamaan garis singgung di titik dengan absis x = –1 pada

kurva f x  x4
3. Tentukan persamaan garis singgung kurva f x  x 2 di titik P(2, 4)

x 1
4. Garis g sejajargaris y  2x  5 danmenyinggungkurva

f x  2x2  6x  1 di titik P. Koordinattitik P adalah….

5. DDiketahuigarissinggung parabola y  4x  x2 di titikA(1,3)
jugamerupakangarissinggung parabola y  x 2  6x  p . Nilai p yang

memenuhiadalah….

Unit Kegiatan belajar Mandiri (UKBM)

c. Penutup

Bagaimana
kalian sekarang?

Setelah kalian belajar bertahap dan berlanjut melalui kegiatan belajar 1, 2, 3, dan 4
berikut diberikan Tabel untuk mengukur diri kalian terhadap materi yang sudah kalian
pelajari. Jawablah sejujurnya terkait dengan penguasaan materi pada UKB ini di Tabel
berikut.

Tabel Refleksi Diri Pemahaman Materi Ya Tidak
No Pertanyaan
1. Apakah kalian telah memahami
dandapatmenghitungpersamaangarissinggungdangaris
normal?
2. Apakah kalian telah memahami
dandapatmenghitungfungsinaikdanfungsiturun?
3. Apakah kalian telah memahami
dandapatmenghitungtitikstasionerdannilaistasioner
4. Apakah kalian telah memahami
dandapatmenghitungkecepatandanpercepatan?

Jika menjawab “TIDAK” pada salah satu pertanyaan di atas, maka pelajarilah kembali
materi tersebut dalam Buku Teks Pelajaran (BTP) dan pelajari ulang kegiatan belajar 1, 2
dan 3 yang sekiranya perlu kalian ulang dengan bimbingan Guru atau teman sejawat.
Jangan putus asa untuk mengulang lagi!. Dan apabila kalian menjawab “YA” pada semua
pertanyaan, maka lanjutkan berikut.

Dimana posisimu?
Ukurlah diri kalian dalam menguasai materi aplikasiturunanfungsidalam rentang 0 – 100,
tuliskan ke dalam kotak yang tersedia.

Unit Kegiatan belajar Mandiri (UKBM)

Setelah kalian menuliskan penguasaanmu terhadap materi

aplikasiturunanfungsilanjutkan kegiatan berikut secara mandiri untuk mengevaluasi

penguasaan kalian!

Kerjakan di buku kerja masing-masing....

1) Kurva f x  x2  x  20 menyinggunggaris ℓ di titikA(3,-8). Gradiengaris

ℓadalah ….
2) Persamaangarissinggungkurva y  x2  4x  5 dititik (1,-8) adalah ….
3) Persamaangaris normal kurva y  1 3x  x2 di x = 3 adalah ….

4) Grafikfungsi f x  x3  3x2  9x 15turunpada interval ….
5) Diketahui gx  1 x3  A2 x 1; f x  g2x 1, A suatukonstanta. Jika f

3

naikpada x  0 atau x  1, nilaimaksimumrelatif g adalah ….

Setelah menyelesaikan soal di atas dan mengikuti kegiatan belajar,silahkan kalian
berdiskusi dengan teman lalu tuliskan penyelesaian permasalahan diatas ke buku
kerja masing-masing!
Ini adalah bagian akhir dari UKBM materi ..............., mintalah tes formatif kepada Guru
kalian sebelum belajar ke UKBM berikutnya.
Sukses untuk kalian!!!