งานคณิต

ลำดับและอนุกรม ลําดับ เลขคณิต คือ ลำดับ เลขคณิต (Arithmetic Sequence) คือ ลำดับของตัวเลขที่ผลต่างซึ่งได้จากพจน์สองพจน์ที่อยู่ติดกัน มีค่า คงตัวเป็นค่าเดียวกัน โดยเราเรียกค่าคงตัวนั้นว่า ผลต่างร่วม (Common Difference) เขียนแทนด้วย d ตัวอย่าง ลำดับเลขคณิต 16, 3, -10, …, -244 ซึ่งมี d = -13200, 205, 210, …, 300 ซึ่งมี d = 5-1, -2, -3, …, -18 ลําดับเลขคณิต สูตรที่ใช้ พจน์ทั่วไป an = a1 + (n-1)d โดยที่ an = พจน์ลำดับที่ n a1 = พจน์ลำดับที่ 1 n = จำนวนพจน์ในลำดับนั้นทั้งหมด d = ผลต่างร่วม ลําดับ เลขคณิต ตัวอย่างที่1 ถ้าลำดับเลขคณิตมีพจน์ที่ 1 เป็น 6 และผลต่างร่วมเป็น 4 จงหาพจน์ที่ 15 วิธีทำ จากโจทย์ จะได้ a1 = 6, d = 4 ต้องการหา a15 จากสูตรพจน์ทั่วไป an = a1 + (n-1)d แทนค่า a1 = 6, d = 4, n = 15 ดังนั้น a15 = 6 + (15-1)(4) = 62 ตอบ พจน์ที่ 15 คือ 62

ลำดับเรขาคณิต ลำดับเรขาคณิต คือ ลำดับที่มีจำนวนเพิ่มขึ้นหรือลดลงอย่างคงที่เป็นจำนวนเท่า ซึ่งจำนวนที่เพิ่มขึ้นหรือลดลงนั้น เรียกว่า อัตราส่วนร่วม เขียนแทนด้วย r โดยที่ r = พจน์ขวาหารด้วยพจน์ซ้าย การเขียนลำดับเราจะเขียนแทนด้วย ลำดับเลขคณิต โดยที่ a1,a2,a3,…anโดยที่ anคือพจน์ทั่วไปหรือเรียก อีกอย่างว่า พจน์สุดท้ายนั่นเอง ดังนั้น เราจะสามารถหาพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตได้จาก an = a1r n−1 เมื่อ an คือ พจน์ที่ n ของลำดับเรขาคณิต a1 คือ พจน์ที่ 1 ของลำดับเรขาคณิต r คือ อัตราส่วนร่วม ตัวอย่างที่ 1 จงหาพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต 2, 4, 8, … วิธีทำ จากโจทย์ a1 = 2 , r = 2 และพจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต คือ an= a1r n−1 แทนค่าที่มี จะได้ an=2(2) n−1 an=2(2) n2 −1 an= 2(2) n 2−1 an=2 n ฉะนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิต คือan= 2 n

อนุกรมเลขคณิต อนุกรมเลขคณิต คือการนำลำดับเลขคณิตแต่ละพจน์มาบวกกัน โดย เขียนแทนด้วย sn = a1 + a2 + a3 +….+an จากบทความ “สัญลักษณ์การบวก” ซึ่งเป็นการลดรูปการเขียนจำนวน หลายจำนวนบวกกัน ในบทความนี้จะพูดถึงการบวกของลำดับเลขคณิต การหาผลบวก สูตรสำหรับการหาผลบวก เลขคณิต สูตรอนุกรมเลขคณิต สูตรของอนุกรมเลขคณิตมีอยู่2 สูตร ดังนี้ 1. sn = n 2 (2n + (n − 1)d) โดยที่ d คือ ผลต่างร่วม 2. sn = n 2 (1 − ) โดยจะใช้สูตรนี้ก็ต่อเมื่อรู้ค่า n ตัวอย่าง จงหาผลบวก 20 พจน์แรกของอนุกรม 96 + 94 + 92 + 90 + … จากโจทย์ พจน์ของอนุกรมลดลงคงที่ดังนั้นเป็น อนุกรมเลขคณิตที่มีd = 2 โจทย์ต้องการผลบวก 20 พจน์แรก นั่นคือ หา จากสูตร sn = n 2 (2n + (n − 1)d) จากโจทย์ a1 = 96, d = −2 และ n = 20 s20 = 20 2 (2(96) + (2 − 1)(−2)) = 10(192 + (−38)) = 10(154) = 1540 ตอบ ผลบวกของ 20 พจน์แรกของอนุกรม 96 + 94 + 92 + 90 + … มีค่าเท่ากับ 1540

อนุกรมเรขาคณิต อนุกรมที่ได้จากจากลำดับเรขาคณิตเรียกว่า อนุกรมเรขาคณิต และอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตจะเป็น อัตราส่วนร่วมของอนุกรมเรขาคณิตด้วย วันนี้ผมจะพาทุกคนฝึกทำโจทย์อนุกรมเรขาคณิตกันครับ การทำโจทย์ เกี่ยวกับอนุกรมเรขาคณิตไม่ยากครับแต่ต้องใช้สูตรให้เป็นครับ สำหรับสูตรในการทำโจทย์เกี่ยวกับอนุกรม เรขาคณิตจะมี2 สูตรด้วยกัน สูตรในการหาผลบวก n พจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต คือ sn = 1(1− ) 1− เมื่อ ≠ 1 สูตรนี้ใช้ได้ตลอดหรือ sn = 1− 1− เมื่อ ≠ 1 สูตรนี้ใช้เมื่อรู้พจน์สุดท้าย ตัวอย่าง จงหาผลบวกแปดพจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต 1+2+4+8+... จากโจทย์ จะได้ 1 = 1 = 2 จากสูตร sn = 1(1− ) 1− แทนค่าสิ่งที่โจทย์ให้มาลงในสูตร s8 = 1(2 8−1) 2−1 s8 = 2 8−1 1 s8 = 255

จำนวนจริง จำนวนจริงคือจำนวนที่ประกอบไปด้วย จำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ R จำนวนเต็ม จำนวนนับหรือจำนวนเต็มบวก เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ N หรือ I +คือจำนวนที่เอาไว้ใช้นับสิ่งต่างๆ เซตของจำนวนนับเป็นเซตอนันต์ นั่นคือ I +ระบบจำนวนจริง = {1,2,3,…} จำนวนเต็มศูนย์เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ระบบจำนวนจริง มีสมาชิกเพียงตัวเดียว คือ I 0 = {0} จำนวนเต็มลบ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ I −ระบบจำนวนจริง คือ ตัวผกผันการบวกของจำนวนนับ ซึ่งตัวผกผัน คือตัวที่เมื่อนำมาบวกกับจำนวนนับจะทำให้ผลบวกเท่ากับ 0 เช่น จำนวนนับคือ 2 ตัวผกผันก็คือ -2 เพราะ2+(-2) = 0 สมาชิกของเซตของจำนวนเต็มลบมีจำนวนเป็นอนันต์ นั่นคือ I − = {…,-3,-2,-1} จำนวนตรรกยะ จำนวนตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ ระบบจำนวนจริง คือจำนวนที่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของ จำนวนเต็มได้ ซึ่งก็คือ ตัวเศษและตัวส่วนจะต้องเป็นจำนวนเต็มเท่านั้น (เต็มบวก, เต็มลบ) เช่น 1 2 จะเห็นว่า ตัว เศษคือ 1 ตัวส่วนคือ 2 ซึ่งทั้ง 1 และ 2 เป็นจำนวนเต็ม และจำนวนตรรกยะยังสามารถเขียนในรูปทศนิยมซ้ำได้อีก ด้วย เช่น 3.33333 เป็นต้น ตัวอย่าง -3 เกิดจากอะไรได้บ้าง >>> −3 1 , 3 −1 , −6 2 , . .. จะเห็นว่าเศษส่วนที่ยกตัวอย่างมานี้ มีค่าเท่ากับ -3 และ เศษส่วนเหล่านี้เป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้น จำนวนเต็มเป็นจำนวนตรรกยะ ข้อควรระวัง ตัวเศษสามารถเป็นจำนวนเต็มอะไรก็ได้ แต่!! ตัวส่วนต้องไม่เป็น 0 เช่น 1 0 ระบบจำนวนจริง แบบนี้ถือว่าไม่เป็นจำนวนตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะ จำนวนอตรรกยะ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์′ ระบบจำนวนจริง คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วน ของจำนวนเต็มได้เช่น เช่น ทศนิยมไม่รู้จบ 1.254545782268975456… , √2 , √3 เป็นต้น การแยกตัวประกอบของพหุนาม ตัวอย่างที่1 จงหาค่าของX เมื่อ 2 + 3 − 54 = 0 วิธีทำ ทำการแยกตัวประกอบพหุนาม + − = ( − )( + ) = จะได้ − = หรือ + = ดังนั้น = , −

ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ความสัมพันธ์ในทางคณิตศาสตร์นั้น มีความคล้ายกับความสัมพันธ์ในชีวิตจริงที่เราคุ้นเคย คือเป็นการแสดงความ เกี่ยวข้องกันของสองสิ่ง ซึ่งในทางคณิศาสตร์เรียกว่า คู่อันดับ ซึ่งมีนิยามดังนี้ คู่อันดับ คือ การนำสิ่ง สองสิ่ง มาเขียนคู่กัน โดยคำนึงถึงลำดับด้วย ซึ่งเขียนได้ดังนี้ คู่อันดับ a, b เขียนแทนด้วย (a, b) โดยเรียก a ว่า สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับ และเรียก b ว่า สมาชิกตัวหลังของ คู่อันดับ เช่น (โตเกียว, ญี่ปุ่น) (มกราคม, 31) (แบงค์, จอย) (99, 38) (-9, 36.9) การเท่ากันของคู่อันดับ หมายถึง (x1, y1) = (x2, y2) ก็ต่อเมื่อ x1 = y1 และ x2 = y2 หรือก็คือ ตัวหน้า = ตัวหน้า, ตัวหลัง = ตัวหลัง เมื่อรู้จักคู่อันดับแล้ว ความสัมพันธ์ มีนิยามดังต่อไปนี้ ความสัมพันธ์ คือ เซตที่มีสมาชิกทุกตัวเป็นคู่อันดับ โดยที่คู่อันดับแต่ละคู่ เกิดจากการจับคู่กันของสมาชิกจากเซต สองเซต เช่น {(A, X), (B, Y), (C, Z), (D, W)} {(Galaxy Note 10, Samsung), (iPhone 11, Apple), (Find X, Oppo), …} {(1, 1), (2, 4), (3, 9), …} ตัวอย่าง จงหาค่า x,y เมื่อ (x + 1, 2y) = (-5, 11) วิธีทำ x + 1 = −5

x = −6 2y = 11 y = 5.5 ตอบ x = −6 , y = 5.5 ผลคูณคาร์ทีเชียน เป็นการกระทำกันระหว่างเซต 2 เซต โดยผลคูณคาร์ทีเชียนระหว่างเซต A และ B เขียนแทน ด้วย A×B คือ เซตของคู่อันดับ (a,b) ทั้งหมด โดยที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B เขียน อยู่ในรูปแบบดังนี้ A×B = {(a,b) | a ∈ A และ b ∈ B} ***ข้อสังเกต “ความสัมพันธ์ระหว่างเซต A,B ทุกอันต้องเป็นสับเซตของ A×B”** ตัวอย่าง จงหาผลคูณคาร์ทีระหว่างเซตต่อไปนี้ {a, b} และ {a, b, c} = จับคู่สมาชิคทุกตัวของเซตแรกกับสมชิกทุกตัวของเซตหลัง ={(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} สมบัติของผลคูณคาร์ทีเชียน ให้ A, B และ C เป็นเซตใด ๆ และ n(A) คือ จำนวนสมาชิกของเซต A A×{} = {} {}×A = {} A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C) A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C) A×(B-C) = (A×B) – (A×C) n(A×B) = n(A).n(B) ความสัมพันธ์จาก A ไป B ให้A และ B เป็นเซตใด ๆ แล้ว r เป็นความสัมพันธ์จาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ r เป็นสับเซต ของ AB เขียนได้ว่า r = {(a,b) | (a,b) ∈ A×B}

ความสัมพันธ์แบบมีเงื่อนไข คือ เซตของคู่อันดับ โดยที่สมาชิกตัวหน้าของแต่ละคู่อันดับ สัมพันธ์กับสมาชิกตัวหลัง ในรูปแบบเดียวกันในทุก ๆ คู่อันดับ เช่น A = {โตเกียว, กรุงเทพ, จาการ์ต้า, ปักกิ่ง, โซล} B = {ไทย, จีน, ญี่ปุ่น, เกาหลี, อินโดนีเซีย, อินเดีย, รัสเซีย} ความสัมพันธ์จาก A ไป B แบบ “เมืองหลวง – ประเทศ” คือ {(โตเกียว, ญี่ปุ่น), (กรุงเทพ, ไทย), (จาการ์ต้า, อินโดนีเซีย), (ปักกิ่ง, จีน), (โซล, เกาหลี)} หรือเขียนแบบบอกเงื่อนไขได้ว่า {(a, b) ∈ A×B | a เป็นเมืองหลวงของ b} A = {1, 3, 5, 7, 9} ความสัมพันธ์จาก A ไป A แบบ “บวกกันได้ 10” คือ {(1, 9), (3, 7), (5, 5), (7, 3), (9, 1)} หรือเขียนแบบบอกเงื่อนไขได้ว่า {(a, b) ∈ A×A | a + b = 10} กราฟของความสัมพันธ์ หากความสัมพันธ์ เป็นความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลขแล้ว เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ โดยใช้กราฟได้ โดยการนำคู่อันดับต่างๆ ของความสัมพันธ์ไปวาดลงบนกราฟ เช่น ให้ A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {5, 6, 7, …, 20} โดย r = {(x, y) ∈ A×B | y = 3x} แจกแจงสมาชิกได้เป็น r = {(2, 6), (3, 9), (4, 12), (5, 15)} จะวาดกราฟได้ดังนี้

ในกรณี r เป็นความสัมพันธ์ของจำนวนจริง มักจะวาดกราฟได้เป็นเส้น เช่น r = {(x, y) ∈ R×R | y = 3x} จะวาดกราฟได้ดังนี้ พิจารณากราฟของความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y ได้ดังนี้ กราฟจะผ่านจุด (a, b) เมื่อ แทนค่า a และ b ลงในสมการแล้วทำให้สมการเป็นจริง จุดตัดแกน x คือ จุดที่ y = 0 ถ้าแทนค่าแล้วสมการไม่เป็นจริงแสดงว่า ไม่มีจุดตัดแกน x จุดตัดแกน y คือ จุดที่ x = 0 ถ้าแทนค่าแล้วสมการไม่เป็นจริงแสดงว่า ไม่มีจุดตัดแกน y กราฟอยู่เหนือแกน x เมื่อ y > 0 กราฟอยู่ใต้แกน x เมื่อ y < 0 ตัวอย่าง กราฟต่อไปนี้ผ่านจุด (0, 1) หรือไม่ x + y = 1

วิธีทำ แทนค่า x = 0, y = 1 ลงในสมาการ x + y = 1 0 + 1 = 1 1 = 1 แสดงว่ากราฟผ่านจุด (0,1) ตัวอย่าง จงหาจุดตัดแกน x และ y ของกราฟต่อไปนี้ 2x + 1 = 3y วิธีทำ จุดตัดแกน x คือจุดที่ y = 0 2x + 1 = 3(0) 2x + 1 = 0 x = − 1 2 ดังนั้นจุดตัดแกน x คือ− 1 2 ,0 จุดตัดแกน y คือ x = 0 2x + 1 = 3y 2(0) + 1 = 3y y = 1 3 ดังนั้นจุดตัดแกน y คือ (0, 1 3 ) โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ โดเมนของความสัมพันธ์ r คือ เซตของ สมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับทุกคู่ ในความสัมพันธ์ r โดเมนของ ความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย Dr

Dr = {x | (x, y) ∈ r} เรนจ์ของความสัมพันธ์ r คือ เซตของ สมาชิกตัวหลังของคู่อันดับทุกคู่ ในความสัมพันธ์ r เรนจ์ของ ความสัมพันธ์ r เขียนแทนด้วย Rr Rr = {y | (x, y) ∈ r} เช่น r = {(1, 3), (2, 8), (3, 10), (3, -5), (4, 19), (8, 3), (100, -5), (-9, 22)} Dr = {1, 2, 3, 4, 8, 100, -9} Rr = {3, 8, 10, -5, 19, -5, 22}

เรขาคณิต และภาคตัดกรวย ระยะห่างระหว่างจุด ให้จุด (x1, y1) และ (x2, y2) อยู่บนระนาบ x – y ดังรูป ระยะห่างระหว่างจุด (x1, y1) และ (x2, y2) จะหาได้จากการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ได้ว่า √(x1−x2 ) 2 + (y1−y2 ) 2 ข้อสังเกต - ถ้า x1 = x2 แสดงว่า จุดทั้งสองอยู่ในแนวเส้นตรงที่ขนานกับแกน y - จึงได้ว่า ระยะห่างระหว่างสองจุดนั้น = |y1 – y2| - ถ้า y1 = y2 แสดงว่า จุดทั้งสองอยู่ในแนวเส้นตรงที่ขนานกับแกน x - จึงได้ว่า ระยะห่างระหว่างสองจุดนั้น = |x1 – x2| ตัวอย่าง จงหาระยะห่างระหว่าจุด (1,2) และ (4,6) = √(1 − 4) 2 + (2 − 6) 2 = √(−3) 2 + (−4) 2

= √9 + 16 = √25 = 5 จุดกึ่งกลางระหว่างสองจุด ถ้าจุด (x, y) เป็นจุดกึ่งกลางระหว่างจุด (x1, y1) และ (x2, y2) ดังรูป แสดงว่า x เป็นค่ากึ่งกลางของ x1 และ x2 และ y เป็นค่ากึ่งกลางของ y1 และ y2 จะได้ว่า ตัวอย่าง จงหาความชันของเส้นตรงที่ผ่านสองจุดต่อไปนี้ (-7, -3) และ (-13, -6) วิธีทำ ให้p1คือ (−7, −3) และp2คือ (−13, −6) m = y2−y1 x2 − x1

= −6(−3) −13 − (−7) = −3 −6 = 1 2 ภาคตัดกรวย วงกลม นิยามของวงกลม คือ เซตของจุดที่มีระยะห่างจากจุด ๆ หนึ่ง (จุดศูนย์กลางของวงกลม) เป็นระยะเท่า ๆ กัน จะ ได้ว่า ทุก ๆ จุดบนวงกลมจะมีระยะห่างจากจุดศูนย์กลางเท่ากับรัศมี สมการวงกลม กลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h, k) และมีรัศมียาว r หน่วย จะมีสมการ คือ (x – h)2 + (y – k)2 = r2 แต่สมการวงกลมสามารถเขียนได้อีกแบบดังนี้

จาก (x-h)2 + (y-k)2 = r2 จะได้ x 2 – 2hx + h2 + y2 – 2ky + y2 = r2 x 2 + y2 – 2hx – 2ky + h2 + y2 – r 2 = 0 ให้ A = -2h, B = -2k, C = h2 + k2 – r 2 จะได้รูปทั่วไปของสมการวงกลม คือ x2 + y2 + Ax + By + C = 0 วงรี นิยามของวงรีให้ F1 และ F2 เป็นจุดใด ๆ จุด P ใด ๆ บนวงรีจะมีผลบวกของระยะจากจุดนั้นไปยังจุด F1 และ F2 เป็นค่าคงที่ค่าหนึ่งเสมอ โดยที่ค่าคงที่นี้มีค่ามากกว่าระยะ F1F2 หรือก็คือ F1P + F2P = k โดยที่ k > F1F2 สำหรับ ทุกจุด P บนวงรี เรียกจุด F1 และ F2 ว่า จุดโฟกัส และเรียก k ว่า ผลบวกคงตัว F1P1 + F2P1 = k = F1P2 + F2P2 ส่วนประกอบของวงรี กราฟวงรีที่จะศึกษาในตอนนี้มี 2 แบบ ดังนี้

สมการวงรี ตัวอย่าง วงรีที่มีสมการเป็น (x+1)2⁄25 + (y+2)2⁄16 = 1 เป็นวงรีแนวนอน หรือแนวตั้ง ? หาจุดศูนย์กลางวงรี ? จุดโฟกัส ความยาวแกนเอก ? จุดยอดของวงรี ?

ความยาวแกนโท ? ความยาวของเส้นเลตัสเรกตัม ? ค่าความเยื้องศูนย์กลางของวงรีนี้ ? พาราโบลา นิยามของพาราโบลา ให้ L เป็นเส้นตรงใด ๆ และ F เป็นจุดใด ๆ ที่ไม่อยู่บนเส้นตรง L จุด P ใด ๆ บนพาราโบลา จะมีระยะห่างจากเส้นตรง L เท่ากับ ระยะห่างจากจุด F เรียกจุด F ว่า จุดโฟกัสของพาราโบลา และเรียกเส้นตรง L ว่า เส้นไดเรกตริกซ์ ส่วนประกอบของพาราโบลา

กราฟพาราโบลาที่จะศึกษามี 4 แบบ ดังนี้ สมการของพาราโบลา พาราโบลาหงาย จะมีสมการ คือ (x – h)2 = 4a(y – k) พาราโบลาคว่ำ จะมีสมการ คือ (x – h)2 = -4a(y – k) พาราโบลาตะแคงขวา จะมีสมการ คือ (y – k)2 = 4a(x – h) พาราโบลาตะแคงซ้าย จะมีสมการ คือ (y – k)2 = -4a(x – h) ตัวอย่าง จงบอกลักษณะกราฟ จุดยอด จุดโฟกัส เส้นไดเรกตริกซ์ แกนสมมาตร ความยาวของเส้นเลตัสเรกตัม และจุดปลาย ของเส้นเลตัสเรกตัมของพาราโบลาที่มีสมการเป็น y2 = -4x – 4

วิธีทำ สมการอยู่ในรูป (y - 0)2 = -4(1)(x + 1) ดังนั้น เป็นพาราโบลาตะแคงซ้าย และ ล = 1 จะได้ว่า จุดยอดคือ (-1, 0) จุดโฟกัสคือ (-2, 0) เส้นไดเรกตริกซ์คือ x = 0 แกนสมมาตร คือ แกน y = 0 เส้นเลตัสเรกตัมยาว 4(1) = 4 จุดปลายของเส้นเลตัสเรกตัม คือ (-1, 2) และ (-1, -2) เมทริกซ์ ชุดของสมาชิกที่เขียนในแนวนอน เรียกว่า แถว (row) ของเมทริกซ์ ซึ่งมีทั้งหมด m แถว ชุดของสมาชิกที่เขียนใน แนวตั้ง เรียกว่า หลัก (column) ของเมทริกซ์ ซึ่งมีทั้งหมด n หลัก เรียก ว่าเป็น สมาชิก (entry) ในแถวที่ i และหลักที่ j ของเมทริกซ์ ถ้าเมทริกซ์มี m แถว n หลัก จะเรียก × ว่า ขนาด (size) หรือ มิติ (dimension) ของเมทริกซ์ ตัวอย่าง กำหนดให้ = [ 1 2 0 −2 4 − 1 ] จงหา 1. a12 วิธีทำ จาก a12 คือสมาชิกในแถวที่ 1 หลักที่ 2 จะได้ว่า a12 = 2 2. a13 วิธีทำ จาก a13 คือสมาชิกในแถวที่ 1 หลักที่3

จะได้ว่า a13 = 0 การบวกเมทริกซ์ เมทริกซ์จะบวกหรือลบกันได้เมื่อมีมิติเท่ากัน โดยนำตัวที่อยู่ตำแหน่งเดียวกันมาบวกหรือลบกัน เช่น การคูณเมทริกซ์ 1. เมทริกซ์ A จะคูณกับ B ได้ เมื่อจำนวนหลักของ A เท่ากับจำนวนแถวของ B ถ้า A มีมิติ m × n และ B มีมิติ n × p จะได้ A × B มีมิติ m × p ให้ C = A × B 2.จะได้ว่า Cxy หาได้จาก การนำแถวที่ x ของ A มากระทำกับหลักที่ y ของ B โดย Cxy = (ตัวที่ 1 ของแถว A)(ตัวที่ 1 ของหลัก B) + (ตัวที่ 2 ของแถว A)(ตัวที่ 2 ของหลัก B) + … เช่น

เมทริกซ์ยกกำลัง เมทริกซ์ที่ยกกำลังได้ จะต้องเป็นเมทริกซ์จตุรัส เช่น ดีเทอร์มิแนนต์ เป็นคุณสมบัติของเมทริกซ์จัตุรัส มีค่าเป็นจำนวนจริง ดีเทอร์มิแนนต์ของ A เขียนแทนด้วย det A = |A| เมทริกซ์ 2 × 2 หา det โดยการคูณแนวทแยงมุมหลัก ลบด้วยการคูณแนวทแยงมุมจากล่างซ้ายไปบนขวา เมทริกซ์ 3 × 3 หา det ได้โดยเติมสองหลักแรกต่อจากเมทริกซ์เดิม แล้วหา det โดยคูณแนวทแยงมุมจากบนซ้ายไปล่างขวา ลบด้วย คูณแนวทแยงมุมจากล่างซ้ายไปบนขวา

ไมเนอร์ โคแฟกเตอร์

ลิมิต และความต่อเนื่อง ตัวอย่าง lim x→3 x 3 − x 2 − 9x + 9 x 2 − x − 6 วิธีทำ lim x→3 x 3−x 2−9x+9 x 2−x−6 = lim x→3 x 2(−1)−9(−1) (−3)(+2) = lim x→3 (−1)( 2−9) (−3)(+2) = lim x→3 (−1)(−3)(+3) (−3)(+2) 12 5 การอนุพันธ์ ตัวอย่าง กำหนดให้ = 5 2 − 3 จงหา วิธีทำ d dx y = d dx (5x2 − 3x) = d dx 5x2 − d dx 3x = 5 d dx x 2 − 3 d dx x 5(2) − 3(1) = 10 − 3

สถิติเบื้องต้น ตัวอย่าง จากการสอบถามอายุของนักเรียนกลุ่มหนึ่งเป็นดังนี้ 14 , 16 , 14 , 17 , 16 , 14 , 18 , 17 จงหา ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของอายุนักเรียนกลุ่มนี้ วิธีทำ ̅̅̅=̅̅ ∑ x̅ = 14+16+14+17+16+14+18+17 8 = 126 8 ̅= 15.75

บรรณานุกรม https://www.athometh.com/math/sequence-arithmetic/?fbclid=IwAR2iG5CyPY9cMbWaquzcen5afDyR0VYot33qIIGaX3PKeLOQsERmA_xmic https://www.mathpaper.net/index.php/en/5/423-2015-08-08-08-49- 14?fbclid=IwAR3i1J_JNjNG3TJhcToeDcM64wIWvRJb4p1xzJw2V3d3e0rab1jWHmv3iP0 https://www.smartmathpro.com/article/real-numbersm4/?fbclid=IwAR3I_NzGRkTZYkFclVCWepn-WK8qKJKnvt-DV5VugbDgenThjmpObE59_ZU https://panyasociety.com/pages/summary-math-402-relationfunction/?fbclid=IwAR36MwMckGlYDcFZp_5Sj1K5zZj4m4n0mGc3Jvw5JWfmzFRF_6vwQt0P4M https://panyasociety.com/pages/summary-math-402-geometry-conic/?fbclid=IwAR1i_ngxIuM7vUTVNlVImCokthqAzDWHskdhmHbwuH1g6oxkYIunXrN9tA https://www.smartmathpro.com/article/mathmatrix/?fbclid=IwAR0ebBH0vO07cThW7S6TqenSJh2wz-UWVbkl4vxOUFwev69M1hsCuiUVi0I