hot ed ความเท่ากัน

1 อาจารย ณฐั สิทธิ์ (อ.ปกุ )

บทที่ 12 ความเทากันทุกประการ www.hot-ed.co.th

12.1 นิยาม ความเทากันทุกประการ

- รูปสองรูปเทากันทกุ ประการ เมื่อรูปหนง่ึ ทับอีกรูปหน่ึงไดส นิทพอดี ใชส ัญลักษณ “ ≅ ” แทนคําวา
เทา กันทกุ ประการ

-

- สวนของเสน ตรงสองเสน จะเทากันทกุ ประการ เมอ่ื สวนของเสน ตรงสองเสนนั้น ยาวเทา กนั
AB แทน สว นของเสนตรง AB และ

m(AB) แทน ความยาวของสว นของเสนตรง AB

จากนิยาม ถา AB ≅ PQ แลว m(AB) = m(PQ)

- มุมสองมุมจะเทา กนั ทกุ ประการ เม่ือมุมทัง้ สองนน้ั มี ขนาดเทากนั
Aˆ แทน มุม A และ m ( Aˆ ) แทน ขนาดของ Aˆ

จากนยิ าม ถา Bˆ ≅ Qˆ แลว m (B) = m (Q) และเพื่อความสะดวกใช Bˆ = Qˆ แทน m ( Bˆ ) = m ( Qˆ )

2 อาจารย ณัฐสิทธิ์ (อ.ปกุ )

www.hot-ed.co.th

- เสน ตรงสองเสนตดั กัน มุมตรงขา มจะมขี นาดเทากัน

จากรูป )1 ตรงขา มกับ )2 ดังนน้ั )1 = )2
)3 ตรงขามกับ )4 ดังนนั้ )3 = )4

- ดา นที่ยาวเทากันมุมที่มขี นาดเทา กันหรือจุดท่ีทับกันไดสนทิ เรยี กวา “สมนยั กนั ”

จากรปู จะไดว า AB สมนัยกับ DE น่นั คือ AB = DE
BC สมนยั กบั EF นั่นคือ BC = EF
CA สมนยั กับ FD นัน่ คอื CA = FD
AB)C สมนัยกบั DE)F นั่นคอื AB)C = DE)F
BC)A สมนยั กบั EF)D น่นั คือ BC)A = EF)D
CA)B สมนัยกับ FD)E นน่ั คอื CA)B = FD)E

3 อาจารย ณฐั สิทธ์ิ (อ.ปกุ )

www.hot-ed.co.th

ขอสงั เกตเก่ยี วกบั ความเทา กนั ทกุ ประการของรูปตาง ๆ

1. รปู สี่เหล่ียมมมุ ฉากสองรูปท่มี คี วามยาวรอบรปู ยาวเทา กนั อาจจะไมเ ทา กนั ทกุ ประการกไ็ ด เชน รูปสีเ่ หลยี่ มผืนผาท่มี ีดา นกวาง
6 ซม. และดานยาว 2 ซม. กับ สเ่ี หล่ยี มจัตรุ สั ทม่ี ดี า นยาวดา นละ 4 ซม.จะมีเสนรอบรูปยาว 2 × (2 + 6) = 2 × (4 + 4) = 16 ซม.
แตไมเทากันทกุ ประการ

2. รปู สี่เหล่ยี มผนื ผา สองรปู ทีม่ พี ืน้ ที่เทา กนั อาจไมเ ทากนั ทุกประการ เชน

พ้ืนท่สี ีเ่ หล่ียมผืนผา A = 6 × 10 = 60 ตารางหนว ย
พน้ื ท่สี เี่ หลยี่ มผนื ผา B =
∴ พื้นทสี่ เี่ หลี่ยมผืนผา A = 5 × 12 = 60 ตารางหนว ย

พืน้ ที่สเ่ี หลย่ี มผืนผา B แตขนาดไมเ ทากนั

3. รูปสามเหลย่ี มสองรูปท่ีมขี นาดมุมเทากนั สามคู รปู สามเหลี่ยมสองรูปนอี้ าจไมเ ทากนั ทกุ ประการ เชน

4. รูปวงกลมสองรูปทม่ี ีรศั มเี ทา กนั จะเทากนั ทกุ ประการ

4 อาจารย ณฐั สทิ ธิ์ (อ.ปกุ )

www.hot-ed.co.th

ลองทําดู

จงเตมิ ขอ ความลงในชองวา งใหถูกตอ ง
(1)

กําหนด ABC ≅ EDC AC สมนยั กับ _______________
จุด A สมนัยกับ _______________ AB)C สมนยั กบั _______________
จุด B สมนยั กับ _______________

(2)

กําหนด PQR ≅ PSR RP)Q สมนัยกบั _______________
จดุ Q สมนยั กบั _______________ PQ)R สมนยั กบั _______________
PQ สมนยั กับ _______________
QR สมนยั กบั _______________ AD)O = _______________
(3) DO)A = _______________
OA)D = _______________
กาํ หนด OAD ≅ OBC
DO = _______________
AD = _______________
OA = _______________

5 อาจารย ณัฐสิทธ์ิ (อ.ปกุ )

www.hot-ed.co.th

(4)

กําหนด ก ≅ ข
â= _______________ องศา
b) = _______________ องศา
x= _______________ ซม.

(5)

กาํ หนด ก ≅ ข y = _______________ ซม.
â= _______________ องศา z = _______________ ซม.
b) = _______________ องศา
x= _______________ ซม.

6 อาจารย ณัฐสิทธ์ิ (อ.ปุก)

12.2 ความเทา กันทกุ ประการของรปู สามเหลย่ี ม www.hot-ed.co.th

มอี ยู 3 แบบ คอื

- ดานมมุ ดาน (ด.ม.ด.)
- มุมดานมุม (ม.ด.ม.)
- ดา นดานดาน (ด.ด.ด.)

รปู สามเหลีย่ มที่สัมพนั ธก นั แบบ ดา น – มมุ – ดา น (ด.ม.ด.)

“มุมอยูระหวา งดา นสองคทู ่ยี าวเทากนั แลว รปู สามเหลยี่ มสองรูปน้ันจะยาวเทากันทุกประการ”

จากรปู AB = DE (ดา น)
BA)C = ED)F (มมุ )

AC = DF (ดา น)

ดังน้ัน ABC ≅ DEF เพราะมคี วามสมั พนั ธก นั แบบ ด.ม.ด.
ตัวอยา งที่ 12.1 กําหนดให AB)C = AB)D และ BC = BD จงใหเหตผุ ลวาเพราะเหตใุ ด AC และ AD จึงยาวเทา กัน

พิจารณารูปสามเหล่ียม ABC และรูปสามเหล่ยี ม ABD

1. CB = BD (โจทยกําหนดให)
2. AB)C = AB)D (โจทยกําหนดให)
3. AB = AB ( AB เปน ดานรวม)
4. ABC ≅ ABD (ความสมั พันธดา น – มมุ –ดา น)
5. AC = AD (คณุ สมบัตกิ ารเทา กันทุกประการ)

7 อาจารย ณฐั สทิ ธิ์ (อ.ปุก)

www.hot-ed.co.th

ตัวอยา งที่ 12.2 กําหนดให AO = BO และ CO = DO จงอธบิ ายวา เพราะเหตุใดรปู สามเหล่ยี ม AOC และรปู สามเหลีย่ ม BOD

จึงเทากนั ทกุ ประการ

1. AO = BO (โจทยก ําหนดให)
2. AO)C = BO)D (เสนตรงสองเสน ตดั กนั ขนาดของมุมตรงขามเทากัน)
(โจทยก ําหนดให)
3. CO = DO (ความสมั พนั ธด าน – มมุ –ดา น)

4. AOC ≅ BOD

ลองทาํ ดู

1. ขอใดทร่ี ูปสามเหลีย่ มสองรปู มคี วามสมั พนั ธแบบ ดา นมุมดา น

8 อาจารย ณัฐสิทธิ์ (อ.ปุก)

www.hot-ed.co.th
2. กําหนดให AD = CB และ AD)B = CB)D จงพิสูจนว า เพราะเหตุใด สามเหลีย่ ม ADB จงึ เทากันทุกประการกบั สามเหลยี่ ม CBD

3. กาํ หนดให AB = BC และ AB)D = CB)D จงพสิ ูจนวา DC = DA

9 อาจารย ณัฐสทิ ธ์ิ (อ.ปกุ )

www.hot-ed.co.th

4. กาํ หนดให AC = DE , CB = EB , ) = DE)B จงพสิ จู นวา ) = BD)E
ACB BAC

5. กาํ หนดใหเ สนทแยงมมุ MO และ NP ของรูปส่เี หลี่ยม MNOP แบงครึ่งซง่ึ กันและกันทจ่ี ุด Q จงพิสจู นวา รปู สี่เหลย่ี ม MNOP
เปนรูปสี่เหลยี่ มดานขนาน

10 อาจารย ณัฐสทิ ธิ์ (อ.ปุก )

www.hot-ed.co.th

รปู สามเหลีย่ มท่ีสัมพันธก ันแบบ มุม – ดาน – มมุ (ม.ด.ม.)“ดา นอยูตรงกลางระหวางสองมุมคูที่เทากันแลว สามเหลี่ยมสองรปู เทากัน

ทกุ ประการ”

จากรูป AB)C = PQ)R (มุม)

BC = QR (ดาน)
BC)A = QR)P (มุม)

ดังน้ัน ABC ≅ PQR (ความสมั พนั ธมมุ – ดา น – มมุ )

ตวั อยา งท่ี 12.3 กาํ หนดให BC = DC , AB)C = ED)C และ BC)A = DC)E จงอธิบายวา เพราะเหตุใด CA = CE

1. AB)C = ED)C (โจทยก าํ หนดให)
2. BC = DC (โจทยกาํ หนดให)
3. BC)A = DC)E (โจทยกําหนดให)
4. ABC EDC (ความสัมพันธมุม – ดา น – มุม)
5. ∴ CA ≅ CE (สามเหลี่ยมสองรูปเทา กนั ทกุ ประการ)

=

11 อาจารย ณัฐสทิ ธิ์ (อ.ปกุ )

www.hot-ed.co.th
ตวั อยางที่ 12.4 กําหนดให AB = AC และ AB)E = AC)D จงอธิบายวา เพราะเหตใุ ด BE = CD และ BE)A = CD)A

พิจารณารูปสามเหลย่ี ม ABE และรูปสามเหลย่ี ม ACD

1. AB)E = AC)D (โจทยกําหนดให)
2. AB = AC (โจทยกําหนดให)
3. BA)E = CA)D (เปน มมุ รวม)
4. ABE ACD (ความสัมพนั ธ มุม–ดาน-มมุ )
5. ∴ BE ≅ CD (สามเหล่ียมสองรปู เทา กนั ทุกประการ)
6. BE)A CD)A (สามเหลี่ยมสองรูปเทา กันทกุ ประการ)
=
=

12 อาจารย ณฐั สทิ ธิ์ (อ.ปกุ )
ลองทําดู
1. ขอใดท่รี ปู สามเหลย่ี มสองรปู มคี วามสมั พันธแบบ มุม – ดา น – มมุ (ม.ด.ม.) www.hot-ed.co.th

13 อาจารย ณฐั สิทธ์ิ (อ.ปกุ )

www.hot-ed.co.th
2. กําหนดให CA)B = DA)B และ AB)C = AB)D จงอธิบายวา เพราะเหตุใด สามเหลย่ี ม ABD เทากันทกุ ประการกับสามเหลีย่ ม

CBD

3. กาํ หนดให AO = BO และ DA)O = CB)O จงอธิบายวา เพราะเหตใุ ด DA = CB

14 อาจารย ณฐั สทิ ธิ์ (อ.ปุก)
4. กาํ หนดให AB)D = BA)C , BD)A = AC)B และ BD = AC จงอธบิ ายวา เพราะเหตุใด DA = CB
www.hot-ed.co.th

5. กําหนดใหร ูปสเ่ี หลี่ยม ABCD เปนรปู สี่เหล่ียมผนื ผา และ DA)E = BC)F จงอธบิ ายวา เพราะเหตุใด สามเหลี่ยม EDA จึงเทากัน
ทุกประการกบั สามเหลย่ี ม FBC

15 อาจารย ณฐั สิทธิ์ (อ.ปกุ )
6. กําหนดให OP แบง คร่งึ RO)Q และ OP)R = OP)Q จงอธบิ ายวา เพราะเหตใุ ด PR = PQ
www.hot-ed.co.th

16 อาจารย ณัฐสิทธิ์ (อ.ปกุ )
12.3 รูปสามเหล่ียมหนา จ่วั
www.hot-ed.co.th
คอื รูปสามเหลยี่ มทมี่ ดี านประกอบมมุ ยอดยาวเทา กันและมมุ ท่ฐี านกางเทากัน

รูปสามเหล่ยี ม ABC เปนรปู สามเหลย่ี มหนา จ่วั มี AC = BC เรียก ดาน AC และ ดาน BC วาดา นประกอบมมุ ยอด
เรยี ก ดา น AB วาฐาน เรยี ก AB)C และ BA)C วามมุ ท่ฐี าน และเรียก AC)B วา มมุ ยอด
ขอ สรุปเกีย่ วกบั สามเหลี่ยมหนาจ่ัว

1. เสนแบง ครง่ึ มุมยอดของรูปสามเหลีย่ มหนาจ่วั แบง รปู สามเหลีย่ มหนาจัว่ ออกเปนรปู สามเหลย่ี มสองรูปทเี่ ทากนั ทกุ ประการ
2. มมุ ที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนา จ่วั มขี นาดเทากนั
3. เสน แบง ครงึ่ มุมยอดของรปู สามเหลี่ยมหนา จัว่ แบงครง่ึ ฐานของรูปสามเหล่ยี มหนาจวั่
4. เสน แบง ครึ่งมุมยอดของรูปสามเหลย่ี มหนา จวั่ ตัง้ ฉากกับฐานของรปู สามเหล่ยี มหนา จ่ัว

17 อาจารย ณัฐสิทธ์ิ (อ.ปกุ )

www.hot-ed.co.th
ตัวอยา งที่ 12.5 กาํ หนดให AB)D = CB)D และ AD)B = CD)B = 90๐รูปสามเหลยี่ ม ABC เปนรูปสามเหลย่ี มหนา จ่ัวหรอื ไม

เพราะเหตุใด

วิธีทาํ พิจารณารูปสามเหลี่ยม ABD และรูปสามเหลี่ยม CBD
1. AB)D = CB)D
(โจทยกาํ หนดให)

2. BD = BD ( BD เปน ดา นรวม)
3. AD)B = CD)B (โจทยกาํ หนดให)

4. ABD ≅ CBD (ความสัมพันธ มมุ –ดา น–มมุ )

5. AB = BC (คณุ สมบตั กิ ารเทากนั ทุกประการ)
6. BA)D = BC)D (คุณสมบตั กิ ารเทากันทกุ ประการ)

7. รูปสามเหล่ียม ABC เปน รปู สามเหล่ยี มหนา จัว่ (ดานประกอบมุมยอดยาวเทา กนั )

ตวั อยา งที่ 12.6 กําหนดให DB = EC , AB = AC และ AB)D = AC)E รูปสามเหลย่ี ม ADE เปนรปู สามเหลีย่ มหนาจ่วั หรอื ไม

1. DB = EC (โจทยกําหนดให)
2. AB)D = AC)E (โจทยกําหนดให)

3. AB = AC (โจทยก ําหนดให)

4. ABD ≅ ACE (ความสัมพนั ธ ดาน–มุม-ดาน)

5. AD = AE (ความเทากนั ทกุ ประการของสามเหลีย่ ม)
6. AD)E = AE)D (ความเทากนั ทกุ ประการของสามเหลย่ี ม)

7. รปู สามเหลี่ยม ADE เปน รปู สามเหลี่ยมหนาจ่วั

18 อาจารย ณฐั สิทธิ์ (อ.ปกุ )
ลองทาํ ดู
1. จากรูปท่กี ําหนดให จงหาคาตวั แปรในแตละขอ โดยใชค ณุ สมบตั ิของรปู สามเหล่ยี มหนาจว่ั www.hot-ed.co.th

(1)

a = _________________ องศา
b = _________________ องศา

(2)

a = _________________ องศา
b = _________________ องศา
c = _________________ องศา

(3)

a = _________________ องศา
x = _________________ ซม.

19 อาจารย ณฐั สทิ ธ์ิ (อ.ปกุ )

www.hot-ed.co.th

(4)

a = _________________ องศา
b = _________________ องศา

(5)

a = _________________ องศา
b = _________________ องศา
2. กําหนดให ABCD เปนรปู ส่ีเหลยี่ มผืนผา E เปน จุดกึ่งกลางของดา น DC สามเหลย่ี ม ABE เปน รูปสามเหลี่ยมหนาจั่วหรอื ไม
เพราะเหตใุ ด

20 อาจารย ณัฐสิทธ์ิ (อ.ปุก)

www.hot-ed.co.th
3. กําหนดให ADE เปน รูปสามเหล่ยี มหนา จั่ว มี AD = AE และ DB = EC รปู สามเหลีย่ ม ABC เปน รูปสามเหลยี่ มหนาจวั่

หรอื ไม เพราะเหตใุ ด

4. กาํ หนดให BA)E = BA)C และ AB)E = AB)C รปู สามเหลี่ยม AEC เปนรปู สามเหลยี่ มหนาจั่วหรอื ไม เพราะเหตุใด

21 อาจารย ณฐั สิทธิ์ (อ.ปุก)

www.hot-ed.co.th

รปู สามเหล่ยี มที่สมั พนั ธก นั แบบ ฉาก - ดา น – ดาน (ฉ.ด.ด) “มดี านตรงขา มมมุ ฉากยาวเทากันและมดี านประกอบมุมฉาก
ยาวเทากนั หน่ึงคู รูปสามเหลย่ี มทงั้ สองจะเทากันทุกประการ”

ตวั อยา งที่ 12.7 กําหนดรูปสามเหล่ยี มหนา จว่ั ABC โดย A) เปนมมุ ยอด ถา AD ต้งั ฉากกับ BC ทีจ่ ุด D จงพิสจู นวา สามเหลีย่ ม ABD
เทากนั ทุกประการกบั สามเหล่ียม ACD

พิจารณารปู สามเหลย่ี มมมุ ฉาก ABD และ ACD จะไดวา

1. AD)B = AD)C (โจทยก ําหนดให)
2. AB = AC ( ABC เปน สามเหล่ยี มหนา จ่ัว)
3. AD = AD (ดา นรวม)
4. ABD ≅ ACE (ความสมั พนั ธ ดา น – มุม - ดา น)

22 อาจารย ณัฐสิทธิ์ (อ.ปกุ )

www.hot-ed.co.th

รูปสามเหล่ียมท่ีสมั พนั ธกนั แบบ ดา น – ดาน - ดาน (ด.ด.ด.) “ดานยาวเทากันสามคู ดา นตอดา นแลว รปู สามเหล่ยี มสอง รูปน้ี
เทา กันทกุ ประการ”

จากรปู AB = DE ; BC = EF ; CA = FD
∴ ABC ≅ DEF เพราะ มีความสมั พันธก นั แบบ ดา น – ดา น - ดาน (ด.ด.ด.)
ตวั อยา งที่ 12.8 กาํ หนดให MO = MP และ NO = NP จงอธบิ ายวาเพราะเหตใุ ด รปู สามเหลย่ี ม MNO และ รูปสามเหลย่ี ม MNP จึง

เทากันทกุ ประการ

1. MO = MP (โจทยก าํ หนดให)
(โจทยก ําหนดให)
2. NO = NP (ดา นรว ม)
(ความสัมพันธ ดา น – ดา น - ดา น)
3. MN = MN

4. MNO ≅ MNP

23 อาจารย ณัฐสทิ ธิ์ (อ.ปกุ )
ตัวอยา งที่ 12.9 กําหนดให DF = EG และ EF = DG จงอธบิ ายวา เพราะเหตุใด DF)E = EG)D
www.hot-ed.co.th

1. DF = EG (โจทยกําหนดให)
(โจทยก ําหนดให)
2. EF = DG (ดา นรวม)
(ความสมั พนั ธ ดา น – ดาน - ดาน)
3. DE = DE (สามเหลย่ี มสองรูปเทากนั ทกุ ประการ)

4. MNO ≅ MNP
5. DF)E = EG)D

ลองทําดู

1. ขอ ใดทรี่ ปู สามเหล่ยี มสองรูปมคี วามสมั พันธแ บบ ดานดานดาน

24 อาจารย ณฐั สิทธิ์ (อ.ปุก )
2. กําหนดให MO = NO และ MP = NP จงอธิบายวา เพราะเหตุใด
www.hot-ed.co.th

(1) MOP ≅ NOP (2) OP ⊥ MN ท่จี ดุ P

3. กาํ หนดให ABCD เปน รปู สเ่ี หลยี่ มผนื ผา จงอธิบายวาเพราะเหตุใด AD)B = CB)D

25 อาจารย ณฐั สทิ ธิ์ (อ.ปุก)

www.hot-ed.co.th
4. กาํ หนดให ABC เปนสามเหล่ียมหนาจัว และ AD = AE , BD = CE จงใหเ หตผุ ลวา เพราะอะไร AD)B = AE)C

5. กําหนดให DB = CA และ AD = BC จงอธิบายวา เพราะเหตใุ ด BA)D = AB)C