หน่วยการเรียนรู้ที่ 2 ของไหล

95

จากสมการ ∆ 1 = 1 1∆ และ ∆ 2 = 2 2∆ แทนค่าใน
∆ 1 = ∆ 2 จะได้

∆ ∆

1 1 = 2 2

1 1 = 2 2

ผลคณู ของพน้ื ทหี่ นา้ ตดั ของท่อกับอัตราเร็วของของไหลมคี ่าเท่ากบั ปริมาตรของไหลทผี่ า่ น
พนื้ ทีห่ นา้ ตดั ในท่อในหนึง่ หน่วยเวลา เรียกว่า อัตราการไหล R (Flow rate) จากสมการ 1 1 =
2 2 แสดงว่าในท่ออนั หนึ่ง อัตราการไหลมีค่าคงตัว แสดงถึงความตอ่ เนื่องของการไหล เรยี กว่า
สมการความต่อเนอื่ ง (Continuity equation) ซง่ึ สามารถเขยี นได้อีกรปู เปน็ = คา่ คงตัว

5.2 กระบวนการ
1) ความสามารถในการส่อื สาร (อ่าน ฟัง พดู เขียน)
2) ความสามารถในการคดิ (สังเกต วิเคราะห์ จัดกลุ่ม สรปุ )
3) ความสามารถในการแกป้ ัญหา (แสวงหาความรู้)
4) ความสามารถในการใช้ทกั ษะชวี ิต (ความรบั ผิดชอบ)
5) ความสามารถในการใช้เทคโนโลยสี ารสนเทศ (ใชก้ ารสืบค้นผา่ นคอมพิวเตอร์)

5.3 คุณลักษณะและคา่ นิยม
ใฝเ่ รียนรูแ้ ละมงุ่ มั่นในการทำงาน

6.การบูรณาการกับปรชั ญาของเศรษฐกจิ พอเพียง
6.1 ความพอเพียง
6.1.1 ความพอประมาณ
ขณะทแี่ บ่งกลุม่ นักเรยี นต้องประมาณความสามารถของตนเองให้ได้ แล้วเลือกกลุ่ม

โดยคละความสามารถทห่ี ลากหลาย เพือ่ ช่วยกันสืบเสาะหาความรู้ และแบ่งปันความรซู้ ่ึงกนั และกนั
ภายในกล่มุ ได้

6.1.2 ความมเี หตุผล
มีความเข้าใจและอธิบายเก่ียวกบั สมการตอ่ เน่ือง ซงึ่ เกย่ี วขอ้ งกบั การไหลของของไหล

ทเ่ี ป็นสายกระแสและไม่คิดความหนดื เปน็ การเคล่อื นทเ่ี ป็นไปตามกฎการอนุรักษ์พลังงาน อยา่ งเปน็ เหตเุ ปน็
ผล ถกู ตอ้ งตามหลักวชิ าการ

6.1.3 การมภี มู คิ ้มุ กนั ในตัวที่ดี

รแู้ ละเข้าใจสมการจิ่เน่ือง ซึ่งเกี่ยวขอ้ งกับการไหลของของไหลที่เป็นสายกระแส และไม่คดิ ความหนืด เป็น
การเคล่อื นทเี่ ปน็ ไปตามกฎการอนรุ กั ษพ์ ลังงาน

96

6.2 คณุ ธรรมกำกับความรู้

6.2.1 เง่ือนไขคุณธรรม
นกั เรียนตอ้ งเปน็ ผทู้ ่สี นใจใฝเ่ รียนรู้ มคี วามรบั ผิดชอบ ซื่อสัตย์ มุ่งมัน่ อดทน มีวินยั มีเหตผุ ล

6.2.2 เง่อื นไขความรู้ (รอบรู้ รอบคอบ ระมดั ระวงั )
นกั เรียนตอ้ งมีความรอบคอบ มวี นิ ยั มีเหตผุ ล ในการเรยี นรู้ รู้จกั เออ้ื เฟ้ือเผ่อื แผใ่ นการแบ่งปัน

หรือถ่ายทอดความรใู้ หแ้ ก่สมาชกิ ในกลมุ่ และนอกกลมุ่

7. กิจกรรมการเรยี นรู้
ข้นั ท่ี 1 ข้ันสรา้ งความสนใจ
1.1 ครนู ำเข้าสูห่ ัวข้อ เรื่อง สมการความตอ่ เน่ือง โดยทบทวนลกั ษณะของของไหลอดุ มคตใิ น
หัวข้อไม่สามารถอดั ตัวได้ ทำใหค้ วามหนาแน่นของของไหลคงตวั แลว้ ตัง้ คำถามใหน้ ักเรียนตอบ ดงั น้ี
1) ของเหลวไหลในท่อที่มีพื้นที่หน้าตัดไม่สม่ำเสมอ เช่น การบีบปลายสายยาง
ขณะรดน้ำตน้ ไม้ อตั ราเร็วการไหลในแตล่ ะตำแหน่งในท่อสมำ่ เสมอหรือไม่
2) สมั พนั ธ์กับพ้ืนท่ีหนา้ ตดั ของท่อหรือไม่ อยา่ งไร
(ครเู ปิดโอกาสให้นกั เรยี นแสดงความคิดเหน็ อย่างอสิ ระ ไม่คาดหวงั คำตอบท่ี
ถูกต้อง)

ขน้ั ที่ 2 ขัน้ สำรวจและค้นหา
2.1 ครนู ำนกั เรียนทุกคนศกึ ษาเนอ้ื หา เร่อื ง สมการความต่อเนอื่ ง ตามรายละเอยี ดในใบ

ความรทู้ ี่ 11
2.2 ครูนำนกั เรยี นศึกษาโจทย์ตวั อย่างท่ี 1 ในใบความร้ทู ี่ 11 อยา่ งละเอยี ด
2.3 นกั เรยี นทำใบงาน เรือ่ ง สมการความต่อเน่ือง
2.4 นักเรยี นทำโจทยท์ ี่ครใู ห้ เพื่อตรวจสอบความเข้าใจ ลงในสมุด

เมด็ เลอื ดไหลดว้ ยอตั ราเร็ว 8 เซนตเิ มตรต่อวนิ าที ในเส้นเลือดใหญม่ รี ัศมี 0.6เซนตเิ มตร ไปสเู่ ส้นเลอื ด
ขนาดเล็กลง และมีรัศมี 0.3 เซนติเมตร อัตราเรว็ ของเม็ดเลือดในเสน้ เลอื ดเล็กเป็นกี่เซนติเมตรต่อวนิ าที

ขนั้ ที่ 3 ขั้นอธบิ ายและลงขอ้ สรุป
3.1 ครูส่มุ นกั เรียน ออกมาเฉลยโจทย์ที่ครูให้ หนา้ ชัน้ เรียน
3.2 ครูนำนักเรยี นอภิปรายเพอื่ นำไปสู่การสรุปโดยใช้คำถามต่อไปน้ี

97

1) ในการพิจารณาการไหลของของไหลต้องระบุอะไรบา้ ง (แนวการตอบ ในการ
พิจารณาการไหลของของไหลตอ้ งระบทุ งั้ ขนาดและทิศทางของความเร็วทกุ ๆ ตำแหนง่ ในลำของไหล
ท่เี คลื่อนท)่ี

2) เสน้ แทนแนวการเคล่ือนท่ีของของไหล เรียกวา่ (แนวการตอบ สายกระแส
(Stream line))

3) โดยท่ีสายกระแสแต่ละสายจะตดั กันหรือไม่ อย่างไร (แนวการตอบ โดยทีส่ าย
กระแสแต่ละสายจะไม่ตัดกัน ทศิ ทางความเร็วของการไหลทจี่ ุดใด ๆ จะอยใู่ นแนวสมั ผสั กบั สาย
กระแส ณ จุดนัน้ )

4) สำหรับการไหลแบบคงตวั ทที่ ุก ๆ อนุภาคท่ีเคลอื่ นที่ผ่านจดุ ใดจุดหนึ่งจะมีการ
เคลือ่ นท่ีไปตามแนวท่ีมีอนุภาคบางตัวไดเ้ คล่ือนทไี่ ปกอ่ นหนา้ นั้นแล้ว เรียกวา่ (แนวการตอบ
การไหลแ่ บบเป็นชนั้ (Laminar flow))

5) จงบอกลกั ษณะของของไหลในอดุ มคติ (แนวการตอบ 1. ไม่มีความหนดื หรอื แรง
เสียดทานภายในระหวา่ งช้นั ของของไหล 2. ไม่สามารถอัดตัวได้ ทำให้ความหนาแน่นของของไหลมคี ่า
คงตัว 3. ไหลสมำ่ เสมอ (steady flow) คือ ท่ตี ำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งในของไหลความเร็วและความ
ดนั ของของไหล มีค่าคงตัว และ 4. ไหลโดยไม่หมุน กลา่ วคือของไหลไม่มลี ักษณะการไหลเช่ียวและไม่
มีการไหลวนเกดิ ขน้ึ ))

3.3 ครูและนักเรยี นรว่ มกนั อภปิ รายจนได้ข้อสรปุ เรื่อง สมการความต่อเนอื่ ง

ข้ันที่ 4 ขน้ั ขยายความรู้
4.1 นกั เรียนสนทนาซักถามครู และร่วมกนั อภปิ ราย เกย่ี วกับตัวอยา่ ง สมการต่อเน่ือง
4.2 นกั เรยี นร่วมกนั สบื คน้ แก้ปญั หา ในใบงานที่ 7
4.3 นักเรียนทาแบบฝึกทกั ษะ

ขั้นที่ 5 ข้ันประเมนิ ผล
5.1 ครูตรวจใบงาน เร่ือง สมการความต่อเน่ือง
5.2 ครูตรวจสมุดนักเรยี นในการทำโจทยต์ วั อยา่ ง ตรวจสอบความเข้าใจ และแบบฝึกทกั ษะ

8. ส่อื การเรียนรู้/แหลง่ เรียนรู้
8.1 ใบความรู้ เร่อื ง สมการความตอ่ เนื่อง
8.2 ใบงาน เรื่อง สมการความตอ่ เนื่อง
8.3 อนิ เทอรเ์ น็ต
8.4 ห้องสมุด

98

9. การวัดและประเมินผล วิธีการวดั เครือ่ งมอื เกณฑ์การประเมนิ
จุดประสงค์การเรยี นรู้
1) ตรวจใบงาน เรอื่ ง 1) แบบประเมนิ การ 1) นักเรยี นสามารถ
ดา้ นความรู้ (K) สมการความต่อเนื่อง
1) นักเรยี นอธบิ ายสมการความต่อเนื่องได้ ทำกิจกรรม ตอบคำถามได้

ด้านกระบวนการ (P) 2) ใบงาน เร่อื ง ระดบั ดี ผา่ นเกณฑ์
1) นกั เรียนคำนวณหาปริมาณตา่ ง ๆ ท่ี
เกี่ยวขอ้ งได้ สมการความต่อเน่ือง

ด้านคุณลักษณะ (A) 1) ตรวจสมดุ นักเรยี น 1) แบบประเมินการ 1) นกั เรยี นสามารถ
1) ใฝเ่ รยี นรู้และมงุ่ ม่ันในการทำงาน ในการทำโจทย์ ทำกจิ กรรม ทำแบบฝึกหัดได้
ตรวจสอบความเข้าใจ 2) คำถามตรวจสอบ ระดับดี ผา่ นเกณฑ์
และแบบฝึกหัด ความเขา้ ใจและ
แบบฝกึ หัด

1) ตรวจใบงาน เรอ่ื ง 1) แบบประเมินการ 1) นกั เรียนทำภาระ
สมการความต่อเนื่อง
2) ตรวจสมดุ นักเรียน ทำกิจกรรม งานท่ไี ดร้ บั มอบหมาย
ในการทำโจทย์
ตรวจสอบความเข้าใจ 2) ใบงาน เรอื่ ง ไดร้ ะดบั ดี ผา่ นเกณฑ์
และแบบฝกึ หดั
สมการความต่อเนื่อง

3) คำถามตรวจสอบ

ความเขา้ ใจและ

แบบฝึกหัด

10. เกณฑ์การประเมนิ ผลงานนกั เรยี น

เกณฑ์การประเมินแบบ Rubrics ของการทำกจิ กรรม เรือ่ ง สมการความต่อเน่ือง

ประเด็นการ คา่ น้ำหนกั แนวทางการใหค้ ะแนน

ประเมนิ คะแนน

ดา้ นความรู้ 3 ตอบคำถามไดถ้ ูกต้องครบถว้ น จำนวน 4-5 ข้อ

(K) 2 ตอบคำถามได้ถูกต้องครบถ้วน จำนวน 2-3 ขอ้

1 ตอบคำถามไดถ้ ูกต้องครบถ้วน จำนวน 1 ข้อ หรอื ตอบคำถามไม่ถูกตอ้ งท้ัง 5 ข้อ

ดา้ นกระบวนการ 3 แสดงวธิ กี ารหาคำตอบได้ถูกต้องครบถว้ น ท้งั 2 ข้อ

(P) 2 แสดงวธิ ีการหาคำตอบได้ถกู ต้องครบถว้ นเพียงขอ้ เดียว

1 แสดงวิธีการหาคำตอบไมถ่ ูกต้อง ท้งั 2 ข้อ

99

100

101

102

103

ชือ่ ชนั้ เลขที่ อ

ใบงาน เรอื่ ง สมการความต่อเน่อื ง

คำชี้แจง จงตอบคำถามต่อไปนีใ้ หถ้ กู ต้องครบถว้ น

1) การไหลของของไหลทีไ่ ม่มีการอดั ตัวความหนาแน่นจึงมีคา่ คงตวั เท่ากับคา่ ใด
ตอบ ……………………………………………………………………………………………………………………………………………..
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

2) เนือ่ งจากของไหลเป็นชนิดทอ่ี ัดไม่ได้ ความหนาแนน่ จึงมีค่าคงตัว และไม่มขี องไหลเข้าหรือออกจากท่อ
ในช่วง จากตำแหน่ง 1ถึง 2 ดังน้ันมวลของของไหลที่ผ่านพน้ื ที่หนา้ ตัดใด ๆ ต่อเวลาจะมคี า่ เทา่ กนั หรอื ไม่
แล้วไดส้ มการอยา่ งไร

ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

3) สมการความต่อเนื่อง (Continuity equation) คือ
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………………………….…………………………..

4) อัตราการไหลมีค่าคงตัว แสดงถงึ ความต่อเน่ืองของการไหล เรียกว่า
ตอบ ………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………….………..

5) อตั ราการไหลมีคา่ คงตวั สามารถเขียนได้อกี รูป คือ
ตอบ …………………………………………………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

แบบฝึกทกั ษะ

1. เมด็ เลือดไหลด้วยอัตราเร็ว 10 เซนตเิ มตรต่อวินาที ในเส้นเลอื ดใหญ่มรี ัศมี 0.4 เซนตเิ มตร ไปสู่

เสน้ เลือดขนาดเล็กลง และมีรัศมี 0.2 เซนตเิ มตร อัตราเรว็ ของเมด็ เลอื ดในเส้นเลือดเลก็ เปน็ กเ่ี ซนตเิ มตร

ต่อวนิ าที

2. ถ้านำ้ ปะปาในท่อท่ีไหลผ่านมาตรวัดเข้าบ้านมีอัตราการไหล 88 x 10- 4 ลูกบาศกเ์ มตรตอ่ วนิ าที จงหา
7
อัตราเรว็ ของน้ำในท่อปะปาเม่ือสง่ ผา่ นท่อท่ีมีขนาดเส้นผ่านศูนยก์ ลาง 10 เซนติเมตร จะเปน็ ก่เี มตรตอ่ วนิ าที

104

ชอ่ื ชน้ั เลขท่ี อ

เฉลยใบงาน เรือ่ ง สมการความตอ่ เนอ่ื ง

คำชแี้ จง จงตอบคำถามต่อไปนี้ให้ถกู ต้องครบถ้วน

1) การไหลของของไหลท่ไี มม่ ีการอัดตัวความหนาแนน่ จึงมีค่าคงตัวเท่ากับคา่ ใด
ตอบ ของไหลในท่ออันหนึ่งลักษณะ

2) เน่ืองจากของไหลเปน็ ชนิดทอี่ ดั ไม่ได้ ความหนาแนน่ จึงมีค่าคงตัว และไมม่ ีของไหลเข้าหรือออกจากท่อ

ในช่วง จากตำแหน่ง 1ถงึ 2 ดงั น้ันมวลของของไหลทผ่ี ่านพนื้ ที่หนา้ ตดั ใด ๆ ตอ่ เวลาจะมคี ่าเท่ากันหรือไม่
แล้ว ได้สมการอยา่ งไร

ตอบ มคี ่าเท่ากัน ∆ 1 = ∆ 2

∆ ∆

3) สมการความตอ่ เน่ือง (Continuity equation) คอื
ตอบ 1 1 = 2 2

4) อตั ราการไหลมีค่าคงตวั แสดงถึงความต่อเน่ืองของการไหล เรยี กว่า
ตอบ สมการความต่อเน่ือง (Continuity equation)

5) อัตราการไหลมีคา่ คงตวั สามารถเขียนได้อีกรปู คือ อ
ตอบ = คา่ คงตัว

เฉลยแบบฝกึ ทักษะ

1. เม็ดเลือดไหลด้วยอัตราเร็ว 10 เซนตเิ มตรต่อวินาที ในเสน้ เลอื ดใหญ่มรี ัศมี 0.4 เซนติเมตร ไปสู่

เส้นเลือดขนาดเล็กลง และมีรัศมี 0.2 เซนติเมตร อัตราเร็วของเม็ดเลือดในเสน้ เลือดเล็กเป็นกเี่ ซนติเมตร

ตอ่ วนิ าที

วิธีทำ จาก Av = ค่าคงตวั

จะได้ A1v1 = A2v2

(0.4 cm)(…… cm)(…… cm/s) = (…….cm)(0.2 cm)v2

v2 = ……. cm/s

ตอบ อตั ราเร็วของเมด็ เลือดในเสน้ เลอื ดเล็กเป็น …….. เซนตเิ มตรต่อวินาที

105

2. ถ้านำ้ ปะปาในท่อท่ไี หลผ่านมาตรวัดเข้าบ้านมีอตั ราการไหล 88 x 10- 4 ลูกบาศก์เมตรต่อวินาที จงหา
7
อัตราเรว็ ของน้ำในท่อปะปาเม่อื ส่งผา่ นท่อท่ีมขี นาดเส้นผ่านศูนย์กลาง 10 เซนติเมตร จะเปน็ กีเ่ มตรตอ่ วนิ าที

วธิ ีทำ จาก อตั ราการไหล = Av

แทนคา่ 88 x 10- 4 m3 /s =  ( 0.05 m)( …… m )v
7
88 22
7 x 10- 4 m3 /s = 7 ( 25 x 10-4 m2 )v

v = …….. m/s

ตอบ อตั ราเรว็ ของน้ำในท่อปะปาจะเปน็ …………..เมตรตอ่ วินาที

106

ใบความรู้ เร่อื ง สมการความต่อเน่ือง

พิจารณาการไหลของของไหลที่ไม่มีการอัดตัวความหนาแน่นจึงมีค่าคงตัวเท่ากับ ของไหลในท่อ
อันหนง่ึ ลกั ษณะ ดังรปู ที่ 17.21 ใหข้ องไหล ไหลผ่านท่อบรเิ วณที่มีพ้ืนที่หนตดั 1 ด้วยความเร็ว 1 แล้วไหล
ไปผา่ นบรเิ วณซึ่งมพี ื้นทีห่ นา้ ตัด 2 ด้วยความเรว็ 2

รปู 17.21 แสดงการไหลของของไหลในท่ออนั หนง่ึ ทมี่ ีพน้ื ที่หนา้ ตัดไม่คงตวั
สำหรับช่วงเวลา ∆ ที่เทา่ กัน มวลของของไหลท่ีไหลผา่ นบริเวณพ้ืนท่หี นา้ ตดั 1และ 2 หาไดจ้ าก

∆ = ∆

ของไหลที่ผ่านพ้ืนที่ ∆ 1 = 1∆ 1

∆ 1 = 1∆ 1

จะได้ ∆ 1 = 1 1∆

และทำนองเดียวกันของไหลที่ผ่านพ้นื ที่หนา้ ตดั 2จะได้

∆ 2 = 2 2∆

เนอ่ื งจากของไหลเปน็ ชนดิ ที่อัดไม่ได้ ความหนาแนน่ จึงมคี า่ คงตัว และไมม่ ขี องไหลเข้าหรือออกจากท่อ

ในช่วงจากตำแหนง่ 1ถึง 2 ดงั นน้ั มวลของของไหลทผี่ า่ นพ้นื ทีห่ น้าตัดใด ๆ ตอ่ เวลาจะมคี ่าเท่ากนั

∆ 1 = ∆ 2
∆ ∆
∆ 1 ∆ 2
จากสมการ ∆ 1 = 1 1∆ และ ∆ 2 = 2 2∆ แทนคา่ ใน ∆ = ∆ จะได้

1 1 = 2 2

1 1 = 2 2

107

ผลคูณของพ้นื ทหี่ น้าตดั ของท่อกับอตั ราเรว็ ของของไหลมคี ่าเท่ากับปริมาตรของไหลที่ผ่าน

พ้ืนที่หนา้ ตดั ในท่อในหน่ึงหน่วยเวลา เรยี กว่า อัตราการไหล R (Flow rate) จากสมการ 1 1 = 2 2
แสดงวา่ ในท่ออันหนึ่ง อัตราการไหลมีค่าคงตัว แสดงถงึ ความตอ่ เน่ืองของการไหล เรยี กว่า สมการความ

ต่อเนอ่ื ง (Continuity equation) ซ่ึงสามารถเขียนได้อกี รูปเปน็ = คา่ คงตัว

ตวั อยา่ งที่ 1 เม็ดเลอื ดไหลด้วยอตั ราเรว็ 10 cm/s ในเสน้ เลือดใหญ่รัศมี 0.3 cm ไปสู่เส้นเลอื ดขนานเลก็ ลง มี

รศั มี 0.2 cm อัตราเรว็ เม็ดเลือดในเส้นเลือดเลก็ เปน็ เท่าใด

จาก

1 1 = 2 2

(0.3 cm)(0.3 cm)(10 cm/s) = (0.2 cm)(0.2 cm)v2

V2 = 0.9
V2 = 0.04

22.5 cm/s

108

แผนการเรยี นรูท้ ่ี 11 เรือ่ ง สมการแบร์นลู ลี
ช้นั มัธยมศกึ ษาปีท่ี 6
หน่วยการเรียนร้ทู ่ี 2 ของไหล ภาคเรยี นที่ 1 ปีการศึกษา 2565
รหสั วิชา ว 30204 รายวชิ า ฟิสิกสเ์ พ่ิมเติม 4 ผู้สอน นางสาวเกตศรา กอ้ งเวหา
กลุ่มสาระการเรยี นรู้ วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี
เวลา 3 ช่ัวโมง

1. สาระสำคญั
4. เข้าใจความสัมพันธ์ของความร้อนกับการเปลี่ยนอุณหภูมิและสถานะของสสาร สภาพยืดหยุ่นของ

วัสดุและมอดุลัสของยัง ความดันในของไหล แรงพยุงและหลักของอาร์คิมีดีส ความตึงผิวและแรงหนืดของ
ของเหลว ของไหลอุดมคติละสมการแบร์นูลลี กฎของแก๊ส ทฤษฎีจลน์ของแก๊สอุดมคติ และพลังงานในระบบ
ทฤษฎีอะตอมของโบร์ ปรากฏการณ์โฟโตอิเล็กทริก ทวิภาวะของคลื่นและอนุภาค กัมมันตภาพรังสี แรง
นิวเคลยี ร์ ปฏิกริ ิยานิวเคลยี ร์ พลังงานนวิ เคลยี ร์ ฟสิ กิ สอ์ นภุ าค รวมทั้งนำความรู้ไปใช้ประโยชน์

2. ผลการเรยี นรู้
อธิบายสมบัติของของไหลอุดมคติ สมการความต่อเนื่อง และสมการแบร์นูลลี รวมทั้งคำนวณปริมาณ

ตา่ งๆ ทเ่ี กี่ยวขอ้ ง และนำความรู้เก่ียวกบั สมการความต่อเน่ืองและสมการแบร์นูลลีไปอธิบายหลกั การทำงานของ
อุปกรณ์ต่างๆ

3. จุดประสงคก์ ารเรยี นรู้
3.1 ด้านความรู้ (K)
1) นักเรยี นอธบิ ายสมการแบร์นูลลีได้
2) นกั เรียนอธบิ ายหลักการทำงานของอปุ กรณต์ า่ งๆ โดยใชส้ มการความต่อเนื่อง และสมการ
แบรน์ ูลลีได้
3.2 ด้านกระบวนการ (P)
1) นักเรยี นคำนวณหาปริมาณตา่ ง ๆ ท่ีเกี่ยวข้องได้
3.3 ดา้ นคณุ ลกั ษณะ (A)
1) ใฝ่เรียนรแู้ ละมุ่งมัน่ ในการทำงาน

4. สาระสำคญั
พฤติกรรมการไหลของของไหลสามารถทำให้ง่ายต่อความเข้าใจด้วยของไหลอุดมคติ ซึ่งมีลักษณะ

ดังน้ี อย่างสมำ่ เสมอหรือทีต่ ำแหนง่ ใดตำแหน่งหนึ่งในของไหลความเร็วและความดันคงตวั ไม่มีแรงหนืด บีบ
อดั ไมไ่ ดห้ รือมีความหนาแน่นคงตวั และไหลโดยไม่หมุนวน อนภุ าคของของไหลเคลื่อนทไ่ี ปตามสาย กระแส

109

ที่ไม่ตัดกัน ปริมาตรของของไหลที่ผ่านพื้นที่หน้าตัดในหนึ่งหน่วยเวลาเป็นอัตราการไหล (Flow rate) ตาม
สมการความตอ่ เนือ่ ง (Continuity equation) = คา่ คงตวั

เมื่อของไหลมีการไหลในท่อ ผลรวมของความดัน พลังงานจลน์ต่อหนึ่งหน่วยปริมาตรและพลังงาน
ศักย์โน้มถ่วงต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร มีค่าคงตัวเสมอ ซึ่งเป็นไปตาม สมการแบร์นูลลี ดังนี้ + 1 2 +

2

ℎ = ค่าคงตัวสามารถนำไปอธิบายการไหลของของเหลวที่ไหลออกจากรูรั่วของภาชนะ เครื่องฉีดน้ำ และ
อากาศทเ่ี คลือ่ นที่ผา่ นปีกเคร่ืองบิน
5. สาระการเรียนรู้

5.1 ความรู้
สมการแบรน์ ูลลี
พิจารณาของไหลอุดมคติที่ไหลผ่านสองตำแหนง่ ในทออนั หนึ่งท่ีมีระดับความสูงต่างกันและมี

ขนาดของทอ่ ตา่ งกนั ความสมั พนั ธ์ของปรมิ าณตา่ ง ๆ ของของไหลขณะผ่านท่อทต่ี ำแหน่งทัง้ สอง ดังน้ี
เริ่มจากพิจารณาของไหลเริ่มต้นไหลจากตำแหน่งสูง 1จากระดับอ้างอิงในช่วงเวลา ∆

ผา่ นพ้ืนทห่ี นา้ ตดั 1ด้วยความเรว็ 1 ได้ระยะ ∆ 1 และมปี ริมาตร ∆ 1ดงั แสดงในรูป 17.22 ก
ในช่วงเวลา ∆ เดียวกัน จะมีการไหลที่ตำแหน่งสูง 2จากระดับอ้างอิง ผ่านพื้นที่หน้าตัด

2 ดว้ ยความเรว็ 2 ได้ระยะ ∆ 2 และมีปริมาตร ∆ 2 ดังรปู 17.22 ข.
เนอ่ื งจากของไหลในอดุ มคติไมส่ ามารถอัดได้ ดังนัน้ ของไหลท่ีเคล่ือนท่ีผ่านตำแหนง่ ทั้งสองจะ

มีปริมาตร ∆ เท่ากัน และมีมวล ∆ เท่ากัน ตามสมการ ∆ = ∆ พิจารณาการ
เปลี่ยนแปลงพลังงานได้ดงั น้ี

รปู 17.22 แสดงการไหลของของไหลในท่อท่ีมีพน้ื ท่หี น้าตัดไมค่ งตวั และไหลจาก
ความสูง 1ไปสู่ 2 ความเรว็ เปลีย่ นจาก 1 เป็น 2

110

ความสูงเปลี่ยนไปจะมีพลังงานศักย์โนม้ ถว่ งท่ีเปล่ยี นแปลงไปคอื

∆ = ∆ 2 − ∆ 1 = ∆ ( 2 − 1)

ความเร็วเปลี่ยนไปจะมีพลังงานจลนท์ ่ีเปล่ยี นแปลงไปคือ

∆ = 1 (∆ ) 22 − 1 (∆ ) 12 = 1 ∆ ( 22 − 12)
2 2 2

หากพจิ ารณาการไหลของของไหลเกดิ จากแรงกระทำเนื่องจากความดนั ในของไหลตาม
สมการ
= สามารถพจิ ารณางานทเี่ กดิ ขึ้นจากการเคลื่อนที่ของของไหล ตามสมการ

= ∆
= ∆
= ∆

การเคลอ่ื นทข่ี องของไหลสามารถหางานทเี่ กดิ จากแรงกระทำในระยะ ∆ 1 และ ∆ 2 ได้
คือ

1 = 1∆
2 = − 2∆

2 เปน็ ลบเนอื่ งจาก แรง 2 มีทิศตรงข้ามกับการเคล่ือนที่ของของไหล
จากความสัมพันธ์ระหวา่ งงานและพลังงานกลา่ ววา่ งานทั้งหมดท่กี ระทำต่อระบบเทา่ กับ
พลังงานจลน์รวมของระบบทเ่ี ปลยี่ นไป ซ่ึงเขยี นเปน็ สมการไดว้ า่

= ∆
1 + 2 + = 2 − 1

โดยงานของแรงโนม้ ถ่วงของโลกจาก 1ไป 2คือ = − ( 2 − 1)

จะได้ 1 + (− 2 ) + (− ( 2 − 1)) = 1 22 − 1 12
2 2

เน่ืองจาก = แทนคา่ ในสมการข้างตน้ จะได้


1 + 1 12 + 1 = 2 + 1 22 + 2
2 2

นนั่ คอื + 1 2 + h = ค่าคงตวั
2

111

สมการนี้เรียกว่าสมการแบร์นูลลีซึ่งกล่าวว่าผลรวมของความดันพลังงานจลน์ต่อหนึ่งหน่วย
ปริมาตรและพลงั งานศักย์โนม้ ถ่วงต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร ณ ตำแหน่งใด ๆ ภายในทอ่ ท่ีของไหลผ่าน มี
ค่าคงตวั เสมอ
5.2 กระบวนการ

1) ความสามารถในการสอ่ื สาร (อ่าน ฟัง พดู เขียน)
2) ความสามารถในการคดิ (สงั เกต วเิ คราะห์ จัดกลุ่ม สรปุ )
3) ความสามารถในการแก้ปัญหา (แสวงหาความรู้)
4) ความสามารถในการใช้ทกั ษะชวี ติ (ความรบั ผดิ ชอบ)
5) ความสามารถในการใช้เทคโนโลยสี ารสนเทศ (ใช้การสบื ค้นผา่ นคอมพิวเตอร)์

5.3 คุณลกั ษณะและค่านยิ ม
ใฝ่เรยี นรูแ้ ละมุ่งมั่นในการทำงาน

6.การบูรณาการกับปรชั ญาของเศรษฐกิจพอเพียง
6.1 ความพอเพียง
6.1.1 ความพอประมาณ
ขณะท่ีแบง่ กลุม่ นักเรียนต้องประมาณความสามารถของตนเองให้ได้ แล้วเลือกกลมุ่

โดยคละความสามารถท่ีหลากหลาย เพื่อช่วยกนั สืบเสาะหาความรู้ และแบ่งปนั ความรู้ซึ่งกนั และกัน
ภายในกลมุ่ ได้

6.1.2 ความมีเหตุผล
มีความเขา้ ใจและอธิบายเกยี่ วกบั สมการของแบรน์ ลู ลี ซงึ่ เกี่ยวข้องกับการไหลของของไหล

ที่เป็นสายกระแสและไมค่ ิดความหนดื เป็นการเคลอ่ื นท่ีเปน็ ไปตามกฎการอนรุ ักษ์พลงั งาน อย่างเป็นเหตเุ ปน็
ผล ถกู ต้องตามหลกั วิชาการ

6.1.3 การมีภมู ิคุม้ กนั ในตัวท่ดี ี

รู้และเข้าใจสมการของแบร์นูลลี ซึ่งเกี่ยวข้องกับการไหลของของไหลที่เป็นสายกระแส และไม่คิดความ
หนดื เปน็ การเคลอ่ื นทเี่ ปน็ ไปตามกฎการอนรุ ักษ์พลงั งาน

6.2 คุณธรรมกำกบั ความรู้

6.2.1 เงื่อนไขคณุ ธรรม
นกั เรยี นต้องเปน็ ผทู้ ี่สนใจใฝเ่ รียนรู้ มีความรับผิดชอบ ซื่อสัตย์ มุง่ มนั่ อดทน มีวินัย มีเหตุผล

6.2.2 เง่อื นไขความรู้ (รอบรู้ รอบคอบ ระมดั ระวัง)
นกั เรียนต้องมีความรอบคอบ มีวินัย มีเหตผุ ล ในการเรยี นรู้ รจู้ กั เอ้อื เฟอื้ เผอ่ื แผใ่ นการแบ่งปัน

หรอื ถา่ ยทอดความรูใ้ หแ้ กส่ มาชิกในกลุ่มและนอกกล่มุ

112

7. กิจกรรมการเรียนรู้
ข้นั ที่ 1 ขั้นสร้างความสนใจ
1.1 ครนู ำเขา้ สหู่ ัวขอ้ เรื่อง สมการแบรน์ ูลลี โดยทบทวนการไหลของของเหลวในท่อท่มี ี
ปลายท้งั สองอยูใ่ น ระดบั เดียวกัน มพี น้ื ท่ีหนา้ ตัดตา่ งกนั อธบิ ายการไหลด้วยสมการต่อเนื่อง
1.2 จากนนั้ ยกสถานการณ์ของเหลวในท่อท่ีปลายท้ังสองอยู่ในระดบั ตา่ งกนั พืน้ ท่ีหนา้ ตดั
ตา่ งกนั แลว้ ต้ังคำถามใหน้ กั เรียนตอบ ดงั นี้
1) การไหลของของเหลวในท่อ นีจ้ ะอธบิ ายได้อยา่ งไร
2) อัตราเรว็ การไหลของของเหลวสมั พันธ์กับความสงู ของปลายท่อหรือไม่ อยา่ งไร
(ครูเปิดโอกาสใหน้ กั เรยี นแสดงความคดิ เหน็ อยา่ งอสิ ระ ไม่คาดหวงั คำตอบท่ถี ูกต้อง)
ขนั้ ที่ 2 ขั้นสำรวจและคน้ หา
2.1 ครูนำนักเรยี นทุกคนศึกษารปู 17.22 และศกึ ษาเน้อื หา เร่ือง สมการแบร์นูลลี ตาม
ความรู้ จนไดส้ มการทเ่ี กี่ยวข้อง
2.2 ครูนำนักเรยี นศึกษาปัญหาตวั อย่างที่ 1 ในใบความรู้ อยา่ งละเอยี ด
2.3 นักเรยี นทำใบงาน เร่ือง สมการแบร์นูลลี
2.4 นักเรียนทำโจทย์ปัญหาท่ีครใู ห้ ลงในสมดุ

เคร่ืองบินลำหนงึ่ ต้องมีแรงยก 900 นวิ ตนั ต่อตารางเมตร จึงจะสามารถบินได้ ถ้าอตั ราเร็วของอากาศที่ผา่ น
สว่ นลา่ งของปกี เท่ากับ 100 เมตรตอ่ วินาที จงหาอัตราเรว็ ของอากาศทีผ่ า่ นส่วนบนของปีก เพ่ือให้เกิดแรงยก
900 นวิ ตนั ตอ่ ตารางเมตร (กำหนดความหนาแน่นของอากาศขณะนน้ั เทา่ กบั 1.2 กิโลกรัมตอ่ ลกู บาศกเ์ มตร)

ขน้ั ท่ี 3 ขัน้ อธิบายและลงข้อสรปุ
3.1 ครูสุม่ นักเรียน ออกมาเฉลยแบบฝกึ หดั หนา้ ชน้ั เรียน
3.2 ครนู ำนักเรียนอภิปรายเพ่อื นำไปสูก่ ารสรุปโดยใชค้ ำถามตอ่ ไปนี้

1) 2 = − 2∆ จากสมการ 2 เปน็ ลบเนื่องจากอะไร (แนวการตอบ
2 เปน็ ลบเนอ่ื งจาก แรง 2 มที ิศตรงขา้ มกับการเคลอ่ื นที่ของของไหล)

2) ความสมั พันธร์ ะหว่างงานและพลงั งานกล่าววา่ อย่างไร (แนวการตอบ งาน
ท้ังหมดท่ีกระทำต่อระบบเท่ากบั พลงั งานจลนร์ วมของระบบท่เี ปลีย่ นไป)

3) จงอธิบายความหมายของสมการแบร์นลู ลี (แนวการตอบ ผลรวมของความดัน
พลังงานจลน์ต่อหนึ่งหน่วยปรมิ าตรและพลงั งานศักยโ์ นม้ ถว่ งตอ่ หน่งึ หนว่ ยปริมาตร ณ ตำแหนง่ ใด ๆ
ภายในทอ่ ที่ของไหลผา่ น มีค่าคงตวั เสมอ)

4) จาก ข้อ 3) คา่ คงตัว สามารถเขยี นได้อีกรูป คือ (แนวการตอบ + 1 2 +
2

h = ค่าคงตัว)

113

5) การประยุกต์ใช้สมการแบร์นูลลเี พอื่ หาความเร็วของของเหลวทไ่ี หลพุ่งออกจาก
ถังหรือภาชนะท่รี ่วั เรียกวา่ (แนวการตอบ กฏของตอรร์ เี ชลลี (Torricell's theorem))

6) จากภาพลักษณะของเคร่ืองพ่นละอองน้ำ เคร่อื งทำงานโดยอาศยั หลักการแบร์นูล

ลีอย่างไร (แนวการตอบ เมื่อบีบหรือกดยางที่ตำแหน่ง ทำให้อากาศไหลไปในท่อด้วยอัตราเร็วสูง

ทำให้เกดิ ความดันต่ำ 2 เหนือทอ่ แนวดิ่ง น้ำในขวดจงึ ถูกดนั ขนึ้ มาตามทอ่ เพราะความดนั ของเหลวท่ี
ผวิ หนา้ ของขวดมีความดัน 1 เท่ากับความดันบรยากาศ ( 1 > 2) น้ำท่ไี หลมาในท่อแนวนอนถูก
อากาศดันออกไปตามท่อ)

7) สมการของแบร์นลู ลใี ชอ้ ธิบายเกย่ี วกบั ปกี เครื่องบินอย่างไร (แนวการตอบ
อธบิ ายการเกดิ แรงยกของปีกเครื่องบนิ ขณะเคร่อื งบนิ เคล่ือนท่ี จะมีอากาศเคล่ือนผา่ นปีกเคร่ืองบนิ
โดยอากาศบรเิ วณด้านบนของปกี เคร่ืองบนิ มีอตั ราเรว็ สูงกว่าอัตราเรว็ ของอากาศบรเิ วณผิวปีก
ดา้ นล่าง และความดนั ของอากาศท่ีผวิ ปกี ด้านบนนอ้ ยกวา่ ท่ผี วิ ปีกด้านล่างจงึ เปน็ ผลให้เกดิ แรงยกขนึ้
กระทำท่ีปีกเครอ่ื งบิน)

3.3 ครแู ละนักเรยี นร่วมกนั อภิปรายจนได้ขอ้ สรุป เร่ือง สมการแบร์นูลลี และการประยุกต์ใช้
สมการแบร์นลู ลี
ข้นั ท่ี 4 ขนั้ ขยายความรู้

4.1 นักเรียนสนทนาซักถามครู และร่วมกันอภิปราย เกย่ี วกับตัวอยา่ ง สมการแบรน์ ลู ลี

4.2 นกั เรยี นรว่ มกันสบื คน้ แกป้ ัญหาแบบฝึกทักษะ

ข้นั ท่ี 5 ขั้นประเมินผล
5.1 ครูตรวจใบงาน เรื่อง สมการแบรน์ ูลลี
5.2 ครูตรวจสมุดนกั เรียนในการทำแบบฝึกทกั ษะ

8. ส่อื การเรียนร/ู้ แหล่งเรยี นรู้ วธิ ีการวัด เครื่องมือ เกณฑก์ ารประเมิน
8.1 ใบความรู้ เรือ่ ง สมการแบรน์ ลู ลี
8.2 ใบงาน เรือ่ ง สมการแบร์นูลลี 1) ตรวจใบงาน เรอื่ ง 1) แบบประเมนิ การ 1) นักเรียนสามารถ
8.3 อินเทอรเ์ น็ต สมการแบรน์ ูลลี ทำกจิ กรรม ตอบคำถามได้
8.4 ห้องสมุด 2) ใบงาน เร่อื ง ระดับดี ผา่ นเกณฑ์
สมการแบรน์ ูลลี
9. การวัดและประเมนิ ผล
จดุ ประสงคก์ ารเรยี นรู้

ด้านความรู้ (K)
1) นกั เรยี นอธบิ ายสมการแบร์นลู ลีได้
2) นักเรียนอธิบายหลักการทำงานของ
อุปกรณ์ต่างๆ โดยใช้สมการความต่อเนื่อง
และสมการแบรน์ ูลลีได้

จุดประสงคก์ ารเรียนรู้ วธิ ีการวัด เครื่องมือ 114
ดา้ นกระบวนการ (P)
1) นักเรยี นคำนวณหาปริมาณต่าง ๆ ท่ี เกณฑก์ ารประเมิน
เกีย่ วข้องได้
1) ตรวจสมุดนกั เรยี น 1) แบบประเมนิ การ 1) นักเรยี นสามารถ
ดา้ นคุณลกั ษณะ (A) ในการทำแบบฝกึ ทำกจิ กรรม ทำแบบฝกึ หัดได้
1) ใฝเ่ รยี นร้แู ละมุ่งมั่นในการทำงาน ทักษะ 2) แบบฝกึ ทักษะ ระดับดี ผ่านเกณฑ์

1) ตรวจใบงาน เร่อื ง 1) แบบประเมนิ การ 1) นักเรียนทำภาระ
สมการแบร์นูลลี ทำกจิ กรรม งานท่ไี ด้รบั มอบหมาย
2) ตรวจสมุดนกั เรยี น 2) ใบงาน เรื่อง ไดร้ ะดับดี ผา่ นเกณฑ์
ในการทำแบบฝกึ สมการแบรน์ ลู ลี
ทักษะ 3) แบบฝกึ ทักษะ

10. เกณฑก์ ารประเมินผลงานนักเรยี น

เกณฑ์การประเมนิ แบบ Rubrics ของการทำกจิ กรรม เรอ่ื ง สมการแบรน์ ลู ลี

ประเด็นการ คา่ นำ้ หนัก แนวทางการให้คะแนน
ประเมิน คะแนน

ด้านความรู้ 3 ตอบคำถามไดถ้ ูกต้องครบถ้วน จำนวน 5-7 ขอ้

(K) 2 ตอบคำถามไดถ้ ูกต้องครบถ้วน จำนวน 2-4 ขอ้

1 ตอบคำถามได้ถูกต้องครบถ้วน จำนวน 1 ข้อ หรอื ตอบคำถามไม่ถูกต้องทง้ั 7 ข้อ

ดา้ น 3 แสดงวิธกี ารหาคำตอบได้ถกู ต้องครบถว้ น

กระบวนการ 2 แสดงวิธีการหาคำตอบได้ถูกต้อง แต่ไมค่ รบถ้วน

(P) 1 แสดงวิธีการหาคำตอบไม่ถูกต้อง

ดา้ น 3 ทำภาระงานที่ไดร้ ับมอบหมายเสรจ็ ภายในเวลาท่ีกำหนด และเรียบรอ้ ยถูกต้องครบถว้ น

คณุ ลกั ษณะ 2 ทำภาระงานที่ได้รับมอบหมายเสร็จภายในเวลาท่ีกำหนด แต่งานยงั ผดิ พลาดบางสว่ น

(A) 1 ทำภาระงานท่ีได้รับมอบหมายเสร็จ แตล่ า่ ช้า และเกดิ ข้อผิดพลาดบางสว่ น

ระดับคะแนน 3 หมายถงึ ระดับดมี าก
คะแนน 2 หมายถงึ ระดบั ดี
คะแนน 1 หมายถึง ระดบั พอใช้
คะแนน

115

116

117

118

119

ใบความรู้ เร่อื ง สมการแบร์นลู ลี

สมการแบร์นลู ลี
พิจารณาของไหลอุดมคติที่ไหลผ่านสองตำแหน่งในทออันหนึ่งที่มีระดับความสูงต่างกันและมีขนาด

ของท่อตา่ งกัน ความสมั พนั ธข์ องปรมิ าณต่าง ๆ ของของไหลขณะผ่านทอ่ ที่ตำแหน่งทั้งสอง ดงั น้ี
เริ่มจากพิจารณาของไหลเริ่มต้นไหลจากตำแหน่งสูง 1จากระดับอ้างอิงในช่วงเวลา ∆ ผ่าน

พน้ื ท่ีหนา้ ตดั 1ด้วยความเร็ว 1 ได้ระยะ ∆ 1 และมีปริมาตร ∆ 1ดังแสดงในรูป 17.22 ก.
ในชว่ งเวลา ∆ เดยี วกัน จะมีการไหลทตี่ ำแหน่งสงู 2จากระดับอา้ งองิ ผ่านพืน้ ท่ีหนา้ ตดั 2 ด้วย

ความเร็ว 2 ได้ระยะ ∆ 2 และมีปริมาตร ∆ 2 ดังรปู 17.22 ข.
เนื่องจากของไหลในอุดมคติไม่สามารถอัดได้ ดังนั้นของไหลที่เคลื่อนที่ผ่านตำแหน่งทั้งสองจะมี

ปริมาตร ∆ เท่ากัน และมีมวล ∆ เท่ากัน ตามสมการ ∆ = ∆ พิจารณาการเปลี่ยนแปลง
พลงั งานได้ดังนี้

รปู 17.22 แสดงการไหลของของไหลในท่อที่มีพื้นทีห่ นา้ ตัดไมค่ งตัวและไหลจาก
ความสงู 1ไปสู่ 2 ความเร็วเปล่ียนจาก 1 เป็น 2

ความสูงเปลี่ยนไปจะมีพลังงานศกั ย์โน้มถว่ งท่ีเปลี่ยนแปลงไปคือ

∆ = ∆ 2 − ∆ 1 = ∆ ( 2 − 1)

ความเรว็ เปลยี่ นไปจะมพี ลงั งานจลน์ทเ่ี ปล่ียนแปลงไปคือ

120

∆ = 1 (∆ ) 22 − 1 (∆ ) 12 = 1 ∆ ( 22 − 12)
2 2 2
หากพิจารณาการไหลของของไหลเกดิ จากแรงกระทำเนื่องจากความดนั ในของไหลตามสมการ =

สามารถพิจารณางานทเี่ กิดข้ึนจากการเคล่ือนที่ของของไหล ตามสมการ

= ∆
= ∆
= ∆

การเคลอ่ื นทีข่ องของไหลสามารถหางานทีเ่ กิดจากแรงกระทำในระยะ ∆ 1 และ ∆ 2 ได้คอื

1 = 1∆
2 = − 2∆

2 เปน็ ลบเน่ืองจาก แรง 2 มที ิศตรงข้ามกับการเคลื่อนท่ีของของไหล
จากความสมั พันธร์ ะหวา่ งงานและพลังงานกล่าวว่า งานท้ังหมดท่ีกระทำต่อระบบเท่ากบั พลงั งานจลน์
รวมของระบบทเ่ี ปลี่ยนไป ซึ่งเขยี นเป็นสมการได้ว่า

= ∆
1 + 2 + = 2 − 1

โดยงานของแรงโนม้ ถ่วงของโลกจาก 1ไป 2คือ = − ( 2 − 1)

จะได้ 1 + (− 2 ) + (− ( 2 − 1)) = 1 22 − 1 12
2 2

เน่อื งจาก = แทนค่าในสมการข้างต้นจะได้



1 + 1 12 + 1 = 2 + 1 22 + 2
2 2

นัน่ คือ + 1 2 + h = ค่าคงตวั
2

สมการนเ้ี รียกว่า สมการแบร์นลู ลี ซึง่ กลา่ วว่าผลรวมของความดันพลังงานจลน์ต่อหนึ่งหน่วยปริมาตร
และพลังงานศักยโ์ น้มถ่วงต่อหน่ึงหน่วยปรมิ าตร ณ ตำแหนง่ ใด ๆ ภายในท่อท่ีของไหลผ่าน มคี า่ คงตวั เสมอ
กฎของตอรร์ ีเชลลี

การประยุกต์ใช้สมการแบร์นูลลีเพื่อหาความเร็วของของเหลว ที่ไหลพุ่งออกจากถังหรือภาชนะที่ร่ัว

เรียกว่า กฏของตอร์รีเชลลี (Torricell's theorem) โดยพิจารณาถังขนาดใหญ่มีพื้นที่หน้าตัด 2 ภายใน
บรรจุของเหลวความหนาแน่น เมื่อเจาะรูข้างๆ ถังที่ความลึก ℎ จากระดับผิวของของเหลว ให้รูอยู่ที่

ตำแหน่ง 1 และรูมีพื้นที่หน้าตัด 1 เปิดออกสู่บรรยากาศจึงมีของเหลว ณ ตำแหน่งนี้จึงมีความดันเป็น 0
และของเหลวพุ่งออกมาดว้ ยความเรว็ 1 ดงั รูปที่ 17.23 ให้ของเหลวทผ่ี ิวด้านบนอยู่ท่ีตำแหนง่ 2 ความเร็วที่
จดุ นีเ้ ท่ากบั 2

121

จากสมการแบร์นูลลีทีต่ ำแหน่งท่ี 1 และตำแหนง่ ท่ี 2 เขียนไดด้ งั นี้

1 + 1 + 1 12 = 2 + 2 + 1 22
2 2
ถังขนาดใหญ่มีพื้นที่หน้าตัดมากกว่าของรรู ่ัวมาก ๆ หรือ 2 >> 1 และระดับน้ำทีด่ ้านบนของถัง

จะมีอัตราเร็วน้อยกวา่ นำ้ ทไ่ี หลออกจากรู ทำใหป้ ระมาณไดว้ ่า 2 << 1 ตามสมการขา้ งตน้ จงึ ลดรปู เหลือ

0 + 1 + 1 12 = 0 + 2
2
1
2 12 = ( 2 − 1)

1 = √2 ℎ

เห็นไดว้ ่าอัตราเรว็ ของนำ้ ทไี่ หลออกจากรูรว่ั เม่ือ 2 << 1 มีค่าเทา่ กับอตั ราเร็วของวัตถุท่ตี กอย่าง

อสิ ระจากความสงู ℎ ตามสมการ 1 = √2 ℎ เรยี กวา่ กฎของตอรร์ เี ชลลี
เครอ่ื งพ่นละอองนำ้

รูปท่ี 17.24 แสดงลกั ษณะของเครื่องพน่ ละอองน้ำ เครือ่ งทำงานโดยอาศัยหลักการแบร์นูลลี เม่ือบีบหรือ

กดยางที่ตำแหน่ง ทำให้อากาศไหลไปในทอ่ ด้วยอัตราเร็วสูงทำให้เกิดความดนั ต่ำ 2 เหนือท่อแนวดิง่ น้ำ
ในขวดจึงถูกดันขึ้นมาตามท่อเพราะความดันของเหลวที่ผิวหน้าของขวดมีความดัน 1 เท่ากับความดัน
บรรยากาศ ( 1 > 2) น้ำทไ่ี หลมาในทอ่ แนวนอนถูกอากาศดันออกไปตามท่อ

รูป 17.24 แสดงลักษณะของเครอ่ื งพ่นละอองน้ำ

122

ปกี เครอื่ งบิน
สมการของแบร์นูลลีใช้อธิบายการเกิดแรงยกของปีกเครื่องบินที่มีลักษณะดังรูป 17.25 ขณะเครื่องบิน

เคลื่อนที่ จะมีอากาศเคลื่อนผ่านปีกเครื่องบิน โดยอากาศบริเวณด้านบนของปีกเครื่องบิน มีอัตราเร็วสูงกว่า
อตั ราเรว็ ของอากาศบริเวณผวิ ปีกด้านล่าง และความดันของอากาศทผ่ี ิวปีกด้านบนน้อยกว่าที่ผิวปีกด้านล่างจึง
เป็นผลให้เกดิ แรงยกขึน้ กระทำท่ีปีกเครื่องบนิ นอกจากแรงยกดังกล่าวแลว้ ยงั มแี รงยกท่เี กดิ จากหลักฟิสิกส์อื่น
ๆ ร่วมด้วย ซึง่ จะได้ศกึ ษาในระดบั ทส่ี ูงขึ้นตอ่ ไป

ตัวอย่าง อตั ราเร็วของลมพายุท่ีพัดเหนือหลังคาบา้ นหลังหนึ่งเป็น 40 เมตรตอ่ วนิ าที ถ้าหลังคาบ้านนีม้ พี ้ืนท่ี

175 ตารางเมตร แรงยกทกี่ ระทำกบั หลังคาบ้านเป็นกนี่ วิ ตัน กำหนดใหค้ วามหนาแนน่ ของอากาศขณะน้ัน

เทา่ กบั 0.3 กิโลกรัมตอ่ ลูกบาศกเ์ มตร และ g = 10 เมตรต่อวนิ าทยี กกำลงั สอง

วธิ ที ำ จากสมการของแบรน์ ูลลี

P1 + 1  1 v12 +  1g h1 = P2 + 1  2 v 2 +  2g h2
2 2 2

ให้ อัตราเรว็ ทพ่ี ัดเหนอื หลงั คา v1 = 40 m/s

อัตราเรว็ ที่พัดใต้หลงั คา v2 = 0 m/s

ความดันเหนอื หลงั คา คือ P1

ความดันเหนอื หลังคา คือ P2

ความดันทีก่ ระทำต่อหลังคา คอื P1 – P2

จะได้ P1 - P2 = 1 2 v22 - 1 1 v12 + 2gh2 - 1gh1
2 2

แต่ 2 = 1 และ ( h2 - h1 = 0 ) 1
2
P1 - P2 =  ( v 22 - v12 ) +  ( h2 - h1 )

P1 - P2 = 1 ( 0.3 ) (1600 – 0 ) + ( 0.3 ) ( 0 )
2
P1 - P2 = 240 N / m2
จาก F = PA

123

จะได้ F = (P1 - P2)A
F = ( 240 )( 175 )
F = 42,000 นิวตัน

ตอบ แรงยกท่ีกระทำกับหลังคาบา้ นเปน็ 42,000 นวิ ตนั
แบบฝึกทกั ษะ

1. อัตราเร็วของลมพายุที่พัดเหนอื หลังคาบ้านหลังหนึ่งเป็น 20 เมตรต่อวินาที ถ้าหลังคาบ้านน้ีมีพืน้ ท่ี
160 ตารางเมตร แรงยกที่กระทำกับหลังคาบ้านเป็นกี่นิวตัน กำหนดให้ความหนาแน่นของอากาศขณะนั้น
เท่ากับ 0.4 กิโลกรมั ต่อลูกบาศกเ์ มตร และ g = 10 เมตรต่อวนิ าทยี กกำลังสอง

2. ถ้าต้องการให้น้ำพุงออกจากปลายท่อน้ำดับเพลิงด้วยความเร็ว 10 m/s ซึ่งอยู่ห่างจากปลายท่อ
เล็กน้อย กำหนดให้ เส้นผ่านศูนย์กลางของท่อ A และ B เท่ากับ 10 cm และ 6 cm ตามลำดับและความดัน
บรรยากาศ 105 นิวตันต่อ ตารางเมตรจงหาความดันที่จุด A ซึ่งอยู่ห่างจากปลายท่อเล็กน้อย ( กี่นิวตัน/ตร.
เมตร )

B
A

124

ช่ือ ชั้น เลขที่ อ

ใบงาน เรื่อง สมการแบร์นลู ลี

คำช้แี จง จงตอบคำถามต่อไปนีใ้ ห้ถกู ต้องครบถว้ น

1) 2 = − 2∆ จากสมการ 2 เป็นลบเนอื่ งจากอะไร
ตอบ ผลรวมของความดนั พลงั งานจลนต์ ่อหนึง่ หนว่ ยปริมาตรและพลงั งานศักย์โน้มถ่วงต่อหน่ึงหน่วปรมิ าตร

ณ ตำแหนง่ ใ ด ๆ ภายในทอ่ ท่ีของไหลผา่ น มคี ่าคงตวั เสมอ

2) ความสัมพนั ธ์ระหว่างงานและพลงั งานกลา่ วว่าอย่างไร

ตอบ ผลรวมข องความดนั พลังงานจลนต์ ่อหนง่ึ หนว่ ยปรมิ าตรและพลงั งานศกั ย์โนม้ ถว่ งตอ่ หนง่ึ หน่วย

ณ ตำแหน่งใด ๆ ภา ยในท่อทข่ี องไหลผ่าน มีคา่ คงตวั เสมอ

3) จงอธบิ ายความหมายของสมการแบรน์ ลู ลี ว
ตอบ ผลร

4) จาก ข้อ 3) ค่าคงตวั สามารถเขยี นได้อีกรปู คือ
ตอบ ผลรวม ของความดนั พลังงานจลน์ต่อหนงึ่ หน่วยปรมิ าตรและพลังงานศกั ยโ์ นม้ ถ่วงตอ่ หนง่ึ หนว่ ย

ณ ตำ แหนง่ ใด ๆ ภายในท่อทขี่ องไหลผ่าน มีคา่ คงตวั เสมอ

5) การประยุกต์ใชส้ มการแบร์นูลลเี พอ่ื หาความเรว็ ของของเหลวที่ไหลพุ่งออกจากถงั หรือภาชนะท่รี ่วั เรียกวา่
ตอบ ผลร วมของความดันพลังงานจลน์ต่อหนง่ึ หน่วยปรมิ าตรและพลงั งานศักยโ์ น้มถ่วงต่อหนงึ่ หน่วย
ณ ตำแ หนง่ ใด ๆ ภายในทอ่ ท่ีของไหลผา่ น มคี ่าคงตวั เสมอ

6) จากภาพลกั ษณะของเครอื่ งพน่ ละอองนำ้ เครื่องทำงานโดยอาศยั หลกั การแบรน์ ูลลีอย่างไร
ตอบ เมื่อบบี หรื อกดยางที่ตำแหน่ง ทำใหอ้ ากาศไหลไปในท่อด้วยอตั ราเร็วสูงทำให้เกดิ ความดันต่ำ 2
เหนอื ท่อ แนวด่งิ นำ้ ในขวดจึงถูกดันข้นึ มาตามทอ่ เพราะความดนั ของเหลวท่ผี วิ หน้าของขวดมคี วามดนั 1
บร รยากาศ ( 1 > 2) น้ำที่ไหลมาในท่อแนวนอนถูกอากาศดันออกไปตามท่อ

7) สมการของแบรน์ ูลลใี ช้อธบิ ายเก่ยี วกับปกี เครื่องบินอย่างไร
ตอบ อธบิ าย การเกดิ แรงยกของปีกเคร่ืองบิน ขณะเคร่อื งบินเคลื่อนท่ี จะมีอากาศเคล่ือนผ่านปีกเครื่องบนิ
โดยอากาศบริเวณด้านบนของปกี เคร่ืองบนิ มีอัตราเรว็ สงู กว่าอัตราเรว็ ของอากาศบริเวณผิวปีกด้านลา่ ง แล
ะความดนั ของอากาศทผ่ี วิ ปกี ดา้ นบนนอ้ ยกวา่ ทีผ่ ิวปกี ด้านล่างจึงเป็นผลให้เกิดแรงยก ขึ้นกระท

125

ช่ือ ชั้น เลขท่ี อ

เฉลยใบงาน เรอ่ื ง สมการแบร์นลู ลี

คำชแ้ี จง จงตอบคำถามต่อไปนีใ้ หถ้ กู ต้องครบถว้ น

1) 2 = − 2∆ จากสมการ 2 เป็นลบเนื่องจากอะไร ด
ตอบ 2 เปน็ ลบเนื่องจาก แรง 2 มที ศิ ตรงขา้ มกับการเคล่ือนท่ีของของไหล

2) ความสัมพันธ์ระหว่างงานและพลังงานกล่าวว่าอย่างไร
ตอบ งานทง้ั หมดท่ีกระทำต่อระบบเท่ากับพลงั งานจลนร์ วมของระบบทเี่ ปลยี่ นไป

3) จงอธบิ ายความหมายของสมการแบรน์ ลู ลี
ตอบ ผลรวมของความดันพลังงานจลนต์ ่อหน่ึงหนว่ ยปริมาตรและพลังงานศักย์โน้มถว่ งต่อหนงึ่ หนว่ ย
ปริมาตร ณ ตำแหนง่ ใด ๆ ภายในท่อทขี่ องไหลผา่ น มีคา่ คงตัวเสมอ

4) จาก ข้อ 3) คา่ คงตัว สามารถเขยี นได้อีกรูป คือ
ตอบ + 1 2 + h = ค่าคงตัว

2

5) การประยุกต์ใช้สมการแบร์นูลลีเพื่อหาความเร็วของของเหลวท่ไี หลพุ่งออกจากถงั หรือภาชนะท่ีร่ัว เรียกว่า

ตอบ กฏของตอร์รเี ชลลี (Torricell's theorem) อ

6) จากภาพลักษณะของเคร่อื งพ่นละอองน้ำ เคร่อื งทำงานโดยอาศยั หลักการแบร์นูลลีอย่างไร
ตอบ เม่ือบบี หรือกดยางที่ตำแหน่ง ทำใหอ้ ากาศไหลไปในท่อดว้ ยอตั ราเรว็ สงู ทำให้เกิดความดนั ต่ำ 2
เหนอื ท่อแนวดงิ่ น้ำในขวดจึงถูกดันข้นึ มาตามท่อเพราะความดันของเหลวทผี่ ิวหนา้ ของขวดมีความดัน 1
เท่ากับความดัน บรรยากาศ ( 1 > 2) นำ้ ท่ีไหลมาในท่อแนวนอนถูกอากาศดนั ออกไปตามท่อ

7) สมการของแบรน์ ลู ลีใช้อธิบายเก่ียวกบั ปีกเครื่องบนิ อย่างไร
ตอบ อธบิ ายการเกิดแรงยกของปีกเคร่อื งบนิ ขณะเคร่ืองบินเคลอ่ื นที่ จะมีอากาศเคล่ือนผ่านปีกเคร่อื งบนิ โดย
อากาศบริเวณด้านบนของปีกเคร่อื งบิน มีอตั ราเร็วสงู กวา่ อัตราเร็วของอากาศบริเวณผิวปีกด้านล่าง และความ
ดนั ของอากาศท่ีผิวปกี ด้านบนน้อยกวา่ ทผ่ี วิ ปกี ด้านล่างจงึ เป็นผลให้เกิดแรงยกข้นึ กระทำท่ีปกี เคร่ืองบนิ )

126

เฉลยแบบฝึกทัษะ

1. อัตราเรว็ ของลมพายุทพี่ ัดเหนือหลังคาบา้ นหลงั หน่งึ เป็น 20 เมตรต่อวินาที ถ้าหลังคาบ้านนม้ี พี ้นื ที่

160 ตารางเมตร แรงยกทีก่ ระทำกบั หลังคาบ้านเป็นกน่ี ิวตัน กำหนดให้ความหนาแน่นของอากาศขณะนน้ั

เทา่ กับ 0.4 กโิ ลกรมั ตอ่ ลกู บาศก์เมตร และ g = 10 เมตรต่อวนิ าทยี กกำลังสอง

วิธที ำ จากสมการของแบร์นูลลี

P1 + 1  1 v12 +  1g h1 = P2 + 1  2 v 2 +  2g h2
2 2 2

ให้ อตั ราเรว็ ทพ่ี ัดเหนอื หลงั คา v1 = 20 m/s

อัตราเรว็ ทพ่ี ัดใตห้ ลังคา v2 = 0 m/s

ความดันเหนือหลงั คา คือ P1

ความดันเหนอื หลงั คา คือ P2

ความดนั ท่ีกระทำตอ่ หลงั คา คอื P1 – P2

จะได้ P1 - P2 = 1 2 v22 - 1 1 v12 + 2gh2 - 1gh1
2 2

แต่ 2 = 1 และ ( h2 - h1 = 0 ) = 1  ( v 22 - v12 ) +  ( h2 - h1 )
P1 - P2 2

P1 - P2 = 1 ( 0.4 ) (……. – 0) + ( 0.4 )(0 )
2

P1 - P2 = ………….. N / m2

จาก F = PA

จะได้ F = (P1 - P2)A
F = ( …….. )( ……… )

F = ………. นวิ ตัน

ตอบ แรงยกท่ีกระทำกับหลังคาบา้ นเป็น ………… นวิ ตัน

127

2. ถา้ ต้องการให้นำ้ พงุ ออกจากปลายท่อน้ำดับเพลงิ ดว้ ยความเรว็ 10 m/s ซึ่งอยู่ห่างจากปลายทอ่ เล็กนอ้ ย

กำหนดให้ เสน้ ผ่านศูนยก์ ลางของท่อ A และ B เทา่ กบั 10 cm และ 6 B
cm ตามลำดับและความดันบรรยากาศ 105 นวิ ตนั ต่อ ตารางเมตรจงหา A

ความดันที่จุด A ซ่ึงอยู่หา่ งจากปลายท่อเล็กนอ้ ย ( กี่นวิ ตนั /ตร.เมตร )

วิธที ำ จากสมการความต่อเนื่องของการไหล Av = ค่าคงตวั

จะได้ AAvA = ABvB

(5 cm)(…… cm) vA = (…….cm)(3 cm) (…… m/s)
= ……. m/s
vA
จากสมการของแบรน์ ลู ลี =

P1 + 1  1 v12 +  1g h1 P2 + 1  2 v 2 +  2g h2 ,
2 2 2

แต่ B = A = 103 kg/m3 และ h2 - h1 = 0

จะได้ PA + 1  A v2A +  Ag h1= PB + 1  B v 2B +  Bg h2
PA 2 2
1 1
PA = PB + 2  B v 2B 2  A v 2A +  B g h2 -  Ag h1

= 105 N /m2 + 1 ( 103 kg/m3)( v 2B - ………) + ( 103 kg/m3)( 10 m/s2)
2

( h2 - h1 )

PA = 105 N /m2 + 1 ( 103 kg/m3)( 100 - ………) + ( 103 kg/m3)( 10 m/s2)
2

( ……. )

PA = ………………. N /m2

128